高一年段数学培优教材(4)

高一年段数学培优教材（4）
高一数学备课组
第四讲 三角函数
一、基础知识：
1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2
x k k Z π
π=+
∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈；
cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2
k k Z π
π+
∈
tan (,)2
y x x k k Z π
π=≠+
∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形。

2． 求三角函数最值的常用方法：
① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ωϕ=++的形式，再利用正弦函数的有
界性求其最值。

② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。

③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x b
y c x d
+=
+）可利用正弦函数的有界性
来求。

④ 利用函数的单调性求。

二、综合应用：
1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3
α=
时，
)f α=_________________
2． 已知22
2,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________
3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________
4． 函数5cos 23sin ,[,]63
y x x x ππ
=+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________
6． 函数sin (0)2cos x
y x x
π=
<<+的最大值是_________________
7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4
y a bx π
=+
的最小正周期。

8． 已知函数2
()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,
]2
π
，值域是[5,1]-，求,a b 的值。

9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8
x π
=-
对称，求a 的值。

10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当1
3
x =
时，()f x 取最大值为2。

（1）求()f x 表达式； （2）在区间2123
[,]44
上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由。

11．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(
,0)4
M π
对称，且在区间[0,
]2
π
上是单调函数，求,ϕω的值。

12．已知定义在区间2[,
]3
ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6
π
-
=x 对称，当2[,
]
6
3
x π
π∈-
时，函数()sin()(0,0,)22
f x A x A π
π
ωϕωϕ=+>>-<<
其图象如图所示.
（1）求函数()y f x =在2[,
]3
ππ-的表达式；
（2）求方程()2
f x =.
三、强化训练：
1．有四个函数2
sin sin tan
cot sin 22
x x
y x y x y y x ===-=①②③④，其中周期为π，且在(0,
)
2
π上是增函数的函数个数是（ ） .1.2
.3
.4A B C D
2．设函数2
()2cos 2f x x x a =+
+（a 为实常数）在区间[0,
]2
π
上的最小值是4-,则a 的值是
（ ） .4.6.4
.
3A B C D ---
3．sin(2)cos()cos(2)sin()3
6
3
6
y x x x x π
π
π
π
=+
-
-+
-
的图像中一条对称轴方程是（ ）
3..
..
4
2
2A x B x C x D x π
π
ππ=
=
==
4．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x) = x －2，则（ ）
A ．f (sin
12
) < f (cos
12
) B ．f (sin
3
π) > f (cos
3
π) C ．f (sin1) < f (cos1) D ．f (sin
32
) > f (cos
32
)
5．将函数y =f(x)sin x 的图象向右平移
4
π
个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数 y =1－2sin 2x , 则f (x )
是 （ ） A ．cos x B ．2cos x C ．sin x D ．2sin x 6．曲线2sin()cos()4
4
y x x π
π
=+
-
和直线12
y =
在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，
P 3，…，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π
7．设()()2cos f
x x m ωϕ=++，恒有())3f x f x π
+=-（
成立，且(1)6
f π
=-，则实数m 的值为
A ．1±
B ．3±
C ．－1或3
D ．－3或1 8．使函数()sin(2))f x x x θθ=+++是奇函数，且在[0,
]4
π
上是减函数的θ的一个值是
_____________
9．已知函数2
1
()cos sin cos (0,0)2
f x a x x x a ωωωω=+⋅-
>>，其最小正周期为π。

（Ⅰ）求实数a 与ω的值。

（Ⅱ）写出曲线()y f x =的对称轴方程及其对称中心的坐标。

x
参考答案：
例1：(8)(3)(3)1f f f ==--=- 例2： 2
例3：
3())2;
|,4
8f x x x x k k Z π
ππ⎧⎫++=-∈⎨⎬⎩⎭
例4：2()12sin 3sin ,1,45f x x x M N M N =-+=-=-+=- 例5：1
例6
例7：1,a b ==± 例8：21()2sin(2)2,sin(2)1,56
26
a f x a x a
b x b π
π
=⎧=-+++-
≤+≤⎨=-⎩或2
1a b =-⎧⎨=⎩
例9：1a =-
例10：（1）()2sin()6f x x π
π=+
（2）()2sin()6
f x x π
π=+的对称方程为
1,6
23x k x k k Z π
π
ππ+
=+
⇒=+∈，由211235965
,54341212
k k k Z k ≤+≤⇒≤≤∈∴=Q 故存在。

例11：03高考天津卷2
223
π
ϕωω==，，= 例12：（1）当2
[,
]63
x π
π∈-时，()sin()3f x x π
=+，当x ∈2[,]3ππ-时()sin f x x =-
强化练习：
1 C
2 C
3 C
4 C
5 B 6. A 7. D 8. 23
π
θ=
9. （1）2
111cos sin cos (1cos 2)sin 222
2
2
a y a x x x x x ωωωωω=+⋅-
=++
-
11(sin 2cos 2)2
2
a x a x ωω-=
++
1)2
a x ωϕ-=
++。

∵y 的最小正周期T=π。

∴ω=1。

∴12
2
man a y -==
∴a=1。

（2）由（Ⅰ）知a=1，ω=1，
∴1()(sin 2cos 2))2
4
f x x x x π
=
+=
+。

∴曲线y=f(x)的对称轴方程为()28
k x k Z ππ
=
+
∈。

对称中心的坐标为(
,0)()2
8
k k z ππ
-
∈。