2021学年高一数学人教2019必修二新教材培优8.5.3 平面与平面平行(原卷版)
高一数学平面与平面平行的判定和性质
A
B
D
C
课堂练习2：课本67页练习
点击图片可以演示动画
今作天业学:习的内容有：
1P. 6空8 间A两组平面6,的8位置关系有几种？
2. 面面平行的判定定理需要什么条件？
3. 面面平行有什么结论
； https:///zh/ 香港共享辦公室 ；
不要告诉他老人家呢？“啊？不用吧？”陆羽听师兄这么问,愕然,“老师日理万机咱们别打扰他,有卓律师在,他们占不了便宜,足够了.”常在欣听罢瞟她一眼,“既然这样,你干嘛还叫我来？”“你不是说顺路吗？”陆羽讶然.常在欣：“...”跟情商低の人说话有时候能憋死.其实陆羽没 想过要请她亲自来,只是问她能不能找一个空闲の小记者过来就行.哪知道她说顺路带着一队人浩浩荡荡地来了,把捣乱和围观の人吓得鸡飞狗走...不过,有此效果也挺爽の,哈哈.既然有余岚出面承担下后果,陆羽当然不予追究.常在欣带领同事进村一来是为她撑场子,起敲打作用.顺便找个 地方给大家伙歇歇脚,吃过饭后率领媒体大军浩浩荡荡地走了.她之前拍下来の那些片段,加上以前那些新闻足以向梅安市政府进行讨伐.为什么不爆出来？因为梅林、下棠和云岭三个村子一直是当地政府の心病.他们想尽了法子,包括极力引进外乡人落户三村,希望文明输入影响本地人の三 观.鼓励外企进驻本地带动经济发展,支持乡企之间の竞争.有竞争就有压力,才会有进步.常在欣手里掌握の三村黑历史,其实是之前の前辈们采访存档の,他们早就跟当地政府交涉过了.政府承诺努力下乡搞好宣传工作,尽量提高本地居民の思想觉悟与道德精神.经过多年努力,三村偶尔劣迹 不灭,其实比以前好很多了.凡是存档の内容都有热点追踪栏目后台记者定期跟踪,相隔期限有の是一两年,隔三四年の也有.毕竟,教化与改变需要时间.这些内情外界并不知道,所以余岚才会这么紧张.总之,大家工作都不容易,要互相体谅.只要事态の发展不太恶劣,比如闹出人命等,一般情况 下常在欣会像前辈那样先存档,待期限一到再派记者前去跟进.前提是陆羽不追究,而周定康必须妥协.老话一句,别人家遭哄抢,她能保持旁观者の态度顾全大局.一旦厄运落在自家人身上,她将毫不犹豫地出手惩治恶徒.有点假公济私？无妨,她不图那虚名.既没徇私,也不是颠倒黑白,把公布 真相の时间提前了一些罢了,于心无愧.她不关心官员の政绩,谁叫他们工作不到位呢？名记怎么了？这称号可不是她起の.哪怕被奉为人民公仆の卓文鼎,他愿意无偿替穷人打官非,如果对方信不过,他便袖手旁观决不毛遂自荐.他是真穷,尽管他有真本事.那些小助理实习生都是自费替他打工, 他没钱发工资.他替穷人打官非影响有钱人の利益受上层社会の抵制,而他之前看不惯上级或者同行为了讨好权贵昧着良心办事,所以自己开了律所,这就是他经济窘迫の原因.其实,他能平安活到现在已是奇迹.“...你怎么知道找那姓卓の替你打官非？”常在欣那群人走了,院里恢复冷清,林 师兄在凉亭里和陆羽说话一起等卓律师那边の结果.这问题不好回答.陆羽想了想,“忘了什么时候听说の,好像在车上吧？无意中听过一次卓氏律所就记住了.”这是缘分啊缘分,师兄你得相信.唉,如果告诉他是未来の他提醒她の,不知他会怎么想？林辰溪眼锋锐利瞅她一眼,咔の捏碎一颗花 生米扔嘴里,不再追问,“既然是他帮你,那你今晚收拾收拾,明天一早咱们就回去.”姓卓の有两把刷子,赢定了.一听到要收拾,陆羽の脑袋立马炸了.她和婷玉の行李不多,衣物杂物她要三个箱子,而婷玉一个,因为她の衣裳大部分拿回大唐了,包括药材和那两个木桶.电脑不成问题,关键是书, 还有她家几只庞然大物.“太不近人情了吧？起码给我三天时间,很多东西要寄快递.”林师兄听罢,“那就明天下午走,我帮你一起收拾.”“诶？你不用上班吗？”“我请了三天假.”文老の合伙人余叔笑说给他放一个礼拜,好有时间去结交女朋友免得打光棍,“至于你家这些小动 物...”“你の车坐得下吧？坐不下我包车.”小动物无法过安检,好麻烦.“送人不行吗？”林师兄要无语了.第171部分“不行,四只狗我の护花使者,小吉猫是我の门客.哦,未来我还有个朋友要一起住,她有五只猫.”林师兄彻底无语...“呃,师兄,你好人做到底,送佛送到西.”陆羽厚着脸 皮笑嘻嘻地说,“能帮忙在S市帮我租栋小别墅么？我家成员太多,住公寓不方便.”马上找到合心意の房子几乎不可能,暂时租房住着先.短短几天功夫,也只能找师兄帮忙了.林辰溪一愣,“你不跟我回G城？”陆羽立即摇头如拨浪鼓,“不回,那是伤心地,我得换个环境心境才会好.”坐他の顺 风车先回G城,然后从G城包车去S市会便宜些.“真の假の？”林师兄半信半疑,放下茶杯,“陆陆,自从你去年回了一趟海山,出来后我就发现你有些不妥.你老实跟我说是不是遇到什么解不开の难题？你应该很清楚老师们对你の一番苦心.”“你看你都出来一年了,学会独立自保,心境看起来 也不错.如果还当我是你师兄就老老实实说清楚,把问题解决之后再乖乖回去上班,去考研,也好让老师放心.”陆羽听得内心郁卒,真是怕什么来什么,要怎么解释呢？她不想撒谎,可命运の转变让她不得不睁着眼睛说瞎话.想了想,她不得不这样说：“师兄,如果你了解我是什么性子,暂时别问, 行吗？等该说の时候我一定向你解释.不过这些话你千万别跟教授说让他伤神,他老人家学生多,不差我一个.”意思是果然有事？！难怪...林辰溪盯着她瞧,陆羽坦然以对.凉亭里静默良久,林辰溪方缓了态度,“我在S市郊区有栋度假屋,自带庭院,你跟你朋友先住在那里.那是我 の私人房产,你们安心住不着急搬,房子慢慢找...”说到这里,他睨她一眼,“那里还有一间实验室,你别乱搞,玩炸了必须赔.”陆羽呆了呆,瞬即惊喜尖叫：“多谢师兄！！”林师兄望亭兴叹,唉,他の宝贝实验室,千万别给她玩没了.阳光明媚,落在凉亭外の地面,一个大男人在絮絮叨叨给她 说着各种注意事项.今天の林师兄很年轻,未来の林师兄眉宇间添了一个川字纹,眼角多了几条细小纹痕,眼神一如今天の睿智清朗.同一个人,两种岁月,在她眼前交错辉映,恍然若梦...林辰溪不是外人,陆羽安排他在客房住下歇息一阵.他自己开了大半天の车,中途有吃饭,却无人替换开车.此 刻见她无恙,心神疲累得睡会儿.趁卓律师还没消息,陆羽在屋里开始收拾行李,包括婷玉の.没多久,卓文鼎带着小杨过来了,神色有些懊恼.“怎么这副表情？”陆羽重新给两人沏了一壶茶,“解决不了？”原本无表情の小杨一听,嘻地笑了,“正好相反,解决得太爽快卓sir不满意.”“当然不 满意,周定康百分百是受人指使,”卓文鼎有些不爽道,“眼看就要问出来了,不知从哪儿冒出一个姓云の跑进来声称愿意代付违约金,他立马把嘴巴闭上怎么都撬不开.”原来,周定康是这么想の——先带人看房子,扰得陆羽不得安宁逼她自己提出终止合约赔付他违约金和白赚一年房租.如果 客户满意就立刻让陆羽搬走,违约金啥の等房款到户再扣,可谓万无一失.当然,给她の违约金要一拖再拖,像农民工那样或许拖着拖着那笔房租和违约金就不用还了.虽然卑鄙,可他家里实在太缺钱了,要怪就怪陆羽没钱买房子.后来又进来一个姓余の,说这次违约产生の一切费用由她负责.姓 周の感激涕零向云、余两人跪下了,哪里还肯回答他の问题？卓文鼎师徒既气恼又无奈.他们不是警察不能越俎代庖,只要对方答应他们当事人の条件,事情就了了.“果真有人指使？奇怪,你们认为会是谁？”陆羽好奇地问.“我猜是何玲,”小杨兴致勃勃地分析,“因为余二小姐回学校了,那 何小飞跟周定康没有任何关系,剩下何玲跑不了.”卓文鼎横他一眼,敲敲桌面提醒,“跟你说过多少次了,别把猜测当证据.”光是散播谣言,三人都脱不了嫌疑.“知道知道.”小杨笑眯眯地继续吃饼干.“算了,是谁不重要,谣言也别管了.”身正不怕影子斜,既然决定要走她不想再浪费时 间,“钱什么时候到帐？我有几天时间搬？”卓文鼎从公文袋里抽出合同,“一周之内搬,下午我让小杨和他去一趟街道办理解约,辱骂你の周家人明天会过来道歉,精神损失费由余小姐代付.费用应该到帐了,余、云两家豪爽当场让人划の款,你看一下收听有没信息？”收听落客厅了,陆羽忙 跑回去拿出来一看,果然到帐了,の确高效.没想到,梅林、下棠因为她而首次站在同一阵线,出手还那么大方.算了,不管那么多.她笑逐颜开向两人道谢,“辛苦二位了.”见她这么高兴,卓文鼎忍不住问她：“话说回来,你真の不打算买下这房子？我敢说国内没几个地方能比这里好,错过这店 可没这村了,你考虑清楚.”现在反悔还来得及.“唉,我知道,”说实在话,陆羽心里也很遗憾.看看四周,有点不舍得,“我比较怀念之前の冷清,现在人太多太杂了,周家还搞什么农家乐以后人更多...”可以预见,每年夏天の松溪河那些游客多得下饺子般往河里跳.再美の环境也禁不住人多, 人一多,仙境迟早恢复凡间の平庸.再想想何玲那德性,她若买下周定康の房子以后还能清静吗？别触霉头为好.见她主意已定,卓文鼎不再多说,开始安排小杨明天要做の事,然后宣布师徒俩放几天假在村里住两三天,呼吸一下清新空气缓解压力.休闲居の几位老板人很爽快,答应他们爱住多久 住多久,给钱就行.事情解决了,既然卓文鼎师徒想在这儿住几天,陆羽也希望林师兄能在村里歇息一两天,连续两天来回地赶路太辛苦了,她自己又没考驾照.而且,她想找个机会让婷玉回来.城里监控太多,根据林师兄刚才の描述,他在S市郊の别墅附近很安全.为什么安全？当然是电子眼多.所 以,最好是现在一起走,林师兄不可能整天呆在家里,初来乍到明天让他和卓文鼎师徒出去逛逛.至于家里の动物该怎么办,村里人这么多肯定有办法の.对了,她还要向邻居们辞行...第172部分晚上,休闲居暂停营业.因为陆羽在休闲居订了座位想和大家吃顿饭,毕竟大家是除了白姨以外最早来 到云岭村の新居民,关系最好.当然,还有卓文鼎师徒.席间,她替大家作了一番介绍.少华今天也在.“柏？”林辰溪听说少华姓柏,不禁感兴趣地问,“西城柏家是...”一般来讲,西城柏家の人气质与寻常人不大一样.“柏永年是我舅舅.”柏少华坦然道,“林兄认识柏家人？”果然是,林辰溪 心里一动,柏永年？文老の至交之一.“柏老是我老师の好友,曾经有幸见过一面.”他笑笑说,既然是熟人自然亲近了些,“我师妹能够异地他乡遇见各位也是一场缘分,她呀别の还行,生活上基本是个白痴,这段时间肯定没少麻烦大家.感激の话我就不说了,总之以后大家有空去G城一定要通知 我一尽地主之谊.”他向大家
平面与平面平行 第一课时 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
注意中位线定理、平 行四边形的对角线互 相平分性质的应用
课堂精讲
【例 2】 如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是平 行四边形，点 G 和点 H 分别是 CE 和 CF 的中点. 证明：平面 BDGH∥平面 AEF.
因为 OA＝OC，CH＝HF， 所以 OH∥AF， 又因为 OH⊄平面 AEF，AF⊂平面 AEF， 所以 OH∥平面 AEF. 又因为 OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面 BDGH， 所以平面 BDGH∥平面 AEF.
20
课堂精讲
角度 2 平行关系的探究 【例 4】 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，且 SA＝SB＝SC，SG 为△SAB 中边 AB 上的高，D，E，F 分 别是 AC，BC，SC 的中点，试判断 SG 与平面 DEF 的位置 关系，并给予证明. ∵F 是 SC 的中点，∴FH 是△SCG 的中位线， ∴FH∥SG. 又 SG⊄平面 DEF，FH⊂平面 DEF， ∴SG∥平面 DEF.
解 答案 D
7
题型二 平面与平面平行的证明
数学
8
知识梳理
平面与平面平行的判定定理
注意定理条件中直线 a 和 b 相交 如果一个平面内的____两_条__相__交__直__线____与另一个平面平行，那么
文字语言 这两个平面平行
符号语言
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
图形语言
9
课堂精讲
8.5.3 平面与平面平行 第一课时
数学
1
题型一 面面平行判定定理的理解
数学
2
知识梳理
平面与平面平行的判定定理
注意定理条件中直线 a 和 b 相交 如果一个平面内的____两_条__相__交__直__线____与另一个平面平行，那么
【高中数学】平面与平面平行的判定定理(第1课时) 高一数学下学期课件(人教A版2019必修第二册)
任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢？有没有更简便的
方法？
新知探索
问题1：根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个
平面.由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行
∴//1 1 .而//1 1 ，∴//.
∴，，，四点共面.
练习
变1.如图，在正方体 − 1 1 1 1 中，，，，分别是
1 1 ，1 1 ，1 1 ，1 1 的中点.
求证：(2)平面//平面.
证明(2)：易知，//1 1 ，1 1 //，∴//.
，是否就能使这两个平面平行？
我们可以借助以下两个实例进行观察.如图(1)，和分别是矩形硬纸片的两条
对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，和分别
是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
(1)
(2)
新知探索
如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行.
下图的长方体模型中，平面内两条相交直线，分别与平面’ ’ ’ ’ 内两
条相交直线’ ’ ，’ ’ 平行.由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线
，都与平面’ ’ ’ ’ 平行.此时，平面平行于平面’ ’ ’ ’ .
’
’
又 ⊄平面， ⊂平面，
∴//平面.
连接.∵，分别是1 1 ，1 1 的中点，
∴ ⋕ 1 1 .又 ⋕ 1 1 ，∴//且 = .
∴四边形是平行四边形.∴//.
8.5.3 第二课时 平面与平面平行的性质
[微训练]
1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，
则EF与E′F′的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
解析 由面面平行的性质定理易得.
答案 A
2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中( ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 解析 由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确. 答案 D
(2)如图，设A1C1与B1D1交于点O1，连接AO1，与A1C交于点E. 又因为AO1⊂平面AB1D1， 所以点E也在平面AB1D1内， 所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点. 连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与 平面C1BD的交点.8分
下面证明A1E＝EF＝FC. 因 为 平 面 A1C1CA∩ 平 面 AB1D1 ＝ EO1 ， 平 面 A1C1CA∩ 平 面 C1BD ＝ C1F ， 平 面 AB1D1∥平面C1BD， 所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点， 所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.11分 同理可证CF＝EF，所以A1E＝EF＝FC.12分
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上 分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
证明 过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于点 G，连接 GF，则BB11EA＝BB11GB. ∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴CC11FB＝BB11GB.∴FG∥B1C1∥BC， 易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD， 又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABCD， 又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：8.5.3+第2课时 平面与平面平行的性质
类型一 面面平行性质定理的理解
[例 1] (1)平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，下面 三种情形：
①a∥b；②a 与 b 异面；③a 与 b 相交，其中可能出现的情
形有( B )
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．0 种
(2)给出三种说法： ①若平面 α∥平面 β，平面 β∥平面 γ，则平面 α∥平面 γ； ②若平面 α∥平面 β，直线 a 与 α 相交，则 a 与 β 相交； ③若平面 α∥平面 β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α. 其中正确说法的序号是_①__②__③___．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
证 明 ： 在 ▱ A′B′C′D′ 中 ， A′B′ ∥ C′D′ ， 因 为 A′B′⊄平面 C′D′DC，C′D′⊂平面 C′D′DC，所以 A′B′∥平面 C′D′DC.
同理 A′A∥平面 C′D′DC. 又 A′A∩A′B′＝A′， 所以平面 A′B′BA∥平面 C′D′DC. 因为平面 ABCD∩平面 A′B′BA＝AB， 平面 ABCD∩平面 C′D′DC＝CD， 所以 AB∥CD.同理 AD∥BC. 所以四边形 ABCD 是平行四边形．
的位置关系是 ( A )
A．平行
B．相交
C．平行或相交 ，这两个平面平行．
3．已知平面 α∥平面 β，P 是 α，β 外一点，过点 P 的直线 m 与 α，β 分别交于点 A，C，过点 P 的直线 n 与 α，β 分别交于点 B， D，且 PA＝6，AC＝9，PD＝8，则 BD 的长为 24 或254 .
类型三 平行关系的综合应用 [例 3] 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点，点 D1 是 A1C1 上的一点．
平面与平面平行(教学课件)高一数学同步备课系列(人教A版2019 必修第二册)
线线平行
线面平行
面面平行
证明两个平面平行一般步骤
一：在一个平面内找出两条相交直线
二：证明两条相交直线分别平行于另一个平面
三：利用判定定理得结论
平面与平面平行的性质
下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件，
探究可以推出哪些结论.
D'
C'
如图示，平面A'C'//平面AC, B'D'⊂平面A'C', 显然，A'
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
√
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
解析
如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，
即两个平面没有公共点，
则两平面平行.
3.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面
两个平面不一定平行. 但若把两条平行直线改成相交直线，则两个平面
就会平行. 下面我们借助长方体来说明这个问题.
如图, 在平面ADD'A'内画一条与AA'平行的直线EF, 显然AA'与EF都平
行于平面DCC'D', 但这两条平行直线所在的平面ADD'A'与平面DCC'D'不平
D'
C'
行. 若平面ABCD内两条相交直线AC, BD分别与平
证明：连接MF，则有MF // A1 D1 // AD,
四边形MFDA为平行四边形，
AM / / DF .
数学人教A版(2019)必修第二册8.5.3平面与平面平行(共27张ppt)
D A
C B
一一、、平面面面与平平行面的的判判定定定定理理5·.规律规方律法方法
平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点. (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于 另一个平面. (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β 内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
（1）平行
（2）相交
α∥β
a
那么，怎么证明平面与平面平行呢？
一、面面平行的判定定理 2.情境导入
贴瓷砖的工人在检验地面是否水平时，只需将水准器交叉 放两次，若水准器的气泡都居中就能判定地面是水平的.
思考：(1)这个实例给出了判断两平面平行的一种怎样的方法？ (2)若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
两条相交直线AC、BD都与平面A'B'C'D'平行.此时,平面ABCD平行于
平面A'B'C'D'.
D'
C'
E
A' D
F
A
B'
C B
一一、、平面面面与平平行面的的判判定定定定理理3.探索新知
直线的条数不是关键 直线相交才是关键
一一、、平面面面与平平行面的的判判定定定定理理3.探索新知
平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两 个平面平行.
d
平行
c
一一、、平面面面与平平行面的的判判定定定定理理3.探索新知
思考：1.若一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平 面平行吗？
2021届高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.5.3 平面与平面平行
8.5.3平面与平面平行学习目标 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.知识点一平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β图形语言思考应用面面平行判定定理应具备哪些条件？答案①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β.知识点二两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言思考(1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？答案(1)不是.(2)是的.1.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.(√)2.两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行.(×)3.夹在两平行平面间的平行线段相等.(√)4.若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(×)一、平面与平面平行的判定定理的应用例1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EF A1，∴平面EF A1∥平面BCHG.反思感悟两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.跟踪训练1如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面P AB∥平面EFG.证明∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面P AB，PB⊂平面P AB，∴EG∥平面P AB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面P AB.二、平面与平面平行的性质定理的应用例2如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.反思感悟利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上. (4)由定理得出结论.跟踪训练2 如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长.解 ∵α∥β，平面PCD ∩α＝AB ，平面PCD ∩β＝CD ， ∴AB ∥CD ，可得P A AC ＝PBBD .∵P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8， ∴69＝8－BD BD ，解得BD ＝245.几何中的计算问题典例 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a ，b 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AC ＝15 cm ，DE ＝5 cm ，AB ∶BC ＝1∶3，求AB ，BC ，EF 的长.解 如图所示.连接AF ，交β于点G ，连接BG ，EG ， 则点A ，B ，C ，F ，G 共面.∵β∥γ，平面ACF ∩β＝BG ，平面ACF ∩γ＝CF ， ∴BG ∥CF ，∴△ABG ∽△ACF ，∴AB BC ＝AG GF ，同理，有AD ∥GE ，AG GF ＝DE EF ，∴AB BC ＝DEEF.又AB BC ＝13， ∴AB ＝14AC ＝154(cm)，BC ＝34AC ＝454(cm).∴EF ＝3DE ＝3×5＝15(cm).[素养提升] 利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.1.在正方体中，相互平行的面不会是( ) A.前后相对侧面 B.上下相对底面 C.左右相对侧面 D.相邻的侧面答案 D解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行. 2.下列命题中正确的是( )A.一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 答案 B解析 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行.3.已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，平面α∩平面ABCD ＝EF ，平面α∩平面A ′B ′C ′D ′＝E ′F ′，则EF 与E ′F ′的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 答案 A解析 由面面平行的性质定理易得.4.若平面α∥平面β，直线a ⊂α，点M ∈β，过点M 的所有直线中( ) A.不一定存在与a 平行的直线 B.只有两条与a 平行的直线 C.存在无数条与a 平行的直线 D.有且只有一条与a 平行的直线 答案 D解析 由于α∥β，a ⊂α，M ∈β，过M 有且只有一条直线与a 平行，故D 项正确.5.已知α，β是两个不同的平面，下列条件中可以判断平面α与β平行的是()(1)α内存在不共线的三点到β的距离相等；(2)l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；(3)l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.A.(1)(2)B.(1)(3)C.(3)D.(1)(2)(3)答案 C解析平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，平面α与平面β可能平行也可能相交，故(1)不正确；当l与m平行时，不能推出α∥β，故(2)不确定；l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，则α内存在两条相交直线与平面β平行，根据面面平行的判定定理，可得α∥β，故(3)正确.1.知识清单：(1)平面与平面平行的判定定理.(2)平面与平面平行的性质定理.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.1.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线与平面β平行C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D.平面α与平面β不相交答案 D解析选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.2.下列四个说法中正确的是()A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β答案 C解析 由面面平行的判定定理知C 正确.3.如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能答案 B解析 因为平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，平面A 1B 1ED ∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以A 1B 1∥DE .又因为A 1B 1∥AB ，所以DE ∥AB . 4.平面α∥平面β，直线l ∥α，则( ) A.l ∥β B.l ⊂β C.l ∥β或l ⊂β D.l ，β相交 答案 C5.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在A 1B 1上，且B 1E ＝1，平面α∥平面BC 1E ，若平面α∩平面AA 1B 1B ＝A 1F ，则AF 的长为( )A.1B.1.5C.2D.3 答案 A6.已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a ，在β内总存在直线b ∥a ，则α与β的位置关系是________.(填“平行”或“相交”) 答案 平行解析 若α∩β＝l ，则在平面α内，与l 相交的直线a ，设a ∩l ＝A ，对于β内的任意直线b ，若b 过点A ，则a 与b 相交，若b 不过点A ，则a 与b 异面，即β内不存在直线b ∥a ，矛盾.故α∥β.7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过BB 1的中点E 作一个与平面ACB 1平行的平面交AB 于M ，交BC 于N ，则MNAC＝________.答案 12解析 ∵平面MNE ∥平面ACB 1，由面面平行的性质定理可得EN ∥B 1C ，EM ∥B 1A ， 又∵E 为BB 1的中点，∴M ，N 分别为BA ，BC 的中点， ∴MN ＝12AC ，即MN AC ＝12.8.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a ，b 是两条不重合的直线.若α∩β＝a ，β∩γ＝b ，且α∥γ，则a 与b 的位置关系是________. 答案 a ∥b解析 由平面与平面平行的性质定理可判定a ∥b .9.如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，E ，F ，H 分别为AB ，CD ，PD 的中点，求证：平面AFH ∥平面PCE .证明 因为F 为CD 的中点，H 为PD 的中点， 所以FH ∥PC ，又FH ⊄平面PEC ，PC ⊂平面PEC ， 所以FH ∥平面PCE . 又AE ∥CF 且AE ＝CF ，所以四边形AECF 为平行四边形， 所以AF ∥CE ，又AF ⊄平面PCE ，CE ⊂平面PCE ， 所以AF ∥平面PCE .又FH ⊂平面AFH ，AF ⊂平面AFH ，FH ∩AF ＝F ， 所以平面AFH ∥平面PCE .10.如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，平面A 1DCE 与B 1B 交于点E .求证：EC ∥A 1D .证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.11.已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对答案 C解析根据图①和图②可知α与β平行或相交.12.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是()A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面积相等的不全等三角形D.以上结论都不对答案 B解析由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.13.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个答案 B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.14.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中所有真命题的序号为________.答案③解析①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.15.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.答案M在线段FH上解析连接HN，FH，FN(图略).∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN ，HF ⊂平面FHN ，DB ，DD 1⊂平面B 1BDD 1，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1.∵点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，∴M ∈FH .16.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置.解 若MB ∥平面AEF ，过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于点N ，连接MN ，NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形，所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1， 故MN 是△ACE 的中位线.所以当M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
8.5.3平面与平面平行 讲义2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
8.5.3 平面与平面平行(教师独具内容)课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用．教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．核心素养：通过发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.( )2．做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是____.(4)已知平面α，β和直线l，且α∥β，l∥α，则直线l与平面β的位置关系是____.题型一平面与平面平行判定定理的理解例1 下列命题中正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④[跟踪训练1] 设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D 1A1的中点．求证：(1)E，F，D，B四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[跟踪训练2] 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[跟踪训练3] 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E ＝EF＝FC.[跟踪训练4] 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面3. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC于点E，F，则四边形D1EBF的形状可能是( )1A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形4. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确的结论是____.5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.一、选择题1．平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内的一条直线与β平行 B ．α内的两条直线与β平行 C ．α内的无数条直线与β平行 D ．α内的两条相交直线分别与β平行2．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：①⎩⎨⎧ c ∥α，c ∥β⇒α∥β；②⎩⎨⎧α∥γ，β∥γ⇒α∥β；③⎩⎨⎧c ∥α，a ∥c⇒a ∥α；④⎩⎨⎧a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．②D ．③④3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对D ．5对4. 如图，平面α∥平面β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝( )A．32B．2C．52D．35. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则( )A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面ABC1D1C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1D．平面EFG∥平面A1BC1二、填空题6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.7. 如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是____.8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为____.三、解答题9. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．10. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′A′A＝23，求S△A′B′C′S△ABC的值．1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 为CC1上的点，要使平面D1BQ∥平面PAO，则点Q( )A．与C重合B．与C1重合C．为CC1的三等分点D．为CC1的中点2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A． 2 B．9 8C． 3 D．6 23. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝____，ED与AF相交于点H，则GH＝____.4. 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.8.5.3 平面与平面平行(教师独具内容)课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理及其应用．教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．核心素养：通过发现、推导和应用平面与平面平行的判定定理和性质定理的过程发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．平面与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可(1)两个平面平行，即α∥β.(2)第一个平面与第三个平面相交，即α∩γ＝a.(3)第二个平面与第三个平面也相交，即β∩γ＝b.3．三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行于同一条直线的两个平面互相平行．( )(2)如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )(3)若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β.( )答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是 ( )A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对(2)已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.(3)设a，b是不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列结论：①若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；②若α∥β，a∥α，a⊄β，则a∥β；③若α∥β，A∈α，过点A作直线l∥β，则l⊂α；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是____.(4)已知平面α，β和直线l，且α∥β，l∥α，则直线l与平面β的位置关系是____.答案(1)C (2)相交或平行(3)②③④(4)l∥β或l⊂β题型一平面与平面平行判定定理的理解例1 下列命题中正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④[解析]对于①，一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在，故①错误；对于②，一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，此时两平面不一定平行．如果这无数条直线都与两平面的交线平行时，两平面可以相交，故②错误；对于③，一个平面内任何一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义，故③正确；对于④，一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理，故④正确．故选D.[答案] D应用平面与平面平行判定定理的注意事项(1)平面与平面平行判定定理把判定面面平行转化为判定线面平行，同时应注意是两条相交直线都平行于另一平面．(2)解决此类问题，若认为命题正确，必须用相关定理严格证明；而要否定它，只需要举出一个反例，此时借用常见几何模型是非常有效的方法．[跟踪训练1] 设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有( )①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.A．1个B．2个C．3个D．0个答案 A解析①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；由面面平行的判定定理可知，④正确.题型二平面与平面平行的判定例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D 1A1的中点．求证：(1)E，F，D，B四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[证明](1)如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，D，B四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，又A1D1∥AD，A1D1＝AD，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.线线平行、线面平行与面面平行的转化(1)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．此即为面面平行判定定理的推论产生的依据．(2)在转化为线面平行证面面平行时，首先观察面内已有的直线是否平行，若不平行，再利用条件有针对性地构造平面找出平行直线．[跟踪训练2] 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.题型三平面与平面平行性质定理的应用例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[解]如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[跟踪训练3] 如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α.证明若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥ED，又PN⊄α，ED⊂α，∴PN∥α，同理可证MP∥BE，MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α，又MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α，又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.题型四直线、平面平行的综合应用例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E ＝EF＝FC.[解](1)证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1，交B1D1于点O1，连接AO1，与A1C交于点E.因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC，交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD 的交点．下面证明A1E＝EF＝FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，所以F是CE的中点，即CF＝EF，所以A1E＝EF＝FC.三种平行关系的相互转化线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的，可以进行相互转化．相互间的转化关系如图．因此判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间转化的判定及性质定理，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．[跟踪训练4] 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G.∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G，且平面A1C1G∩BC＝H，∴平面A1C1G∩平面ABC＝GH.又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．1．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( ) A．m∥l，l∥α⇒m∥αB．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥βC．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥βD．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β答案 D解析A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，平面α内的两条相交直线l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理可知α∥β.故选D.2．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面答案 D解析如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点变成A′B′的中点C′，当AA′∥BB′时，易得CC′∥α，当AA′与BB′异面时，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE∥AA′，∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．3. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1，CC于点E，F，则四边形D1EBF的形状可能是( )1A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形答案ABC解析若点E与点A1重合，则点F与点C重合，此时四边形D1EBF是矩形；若点E在AA1的中点处，则点F也在CC1的中点处，此时四边形D1EBF是菱形但不是正方形；其他情况下为普通的平行四边形．故选ABC.4. 如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正确的结论是____.答案①②③④解析还原几何体可知该几何体是一个如图所示的正四棱锥P－ABCD，逐一考查所给的命题：①易知EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，且EF∩FG＝F，则平面EFGH∥平面ABCD，①正确．②设AC，BD的交点为点O，连接OG，由三角形中位线的性质可知OG∥PA，结合线面平行的判定定理可得PA∥平面BDG，②正确．③由三角形中位线的性质可知EF∥DA，又DA∥BC，故EF∥BC，结合线面平行的判定定理可得EF∥平面PBC，③正确．④由三角形中位线的性质可知，FH∥BD，结合线面平行的判定定理可知，FH∥平面BDG，④正确．⑤由③可知EF∥BC，由于直线BC与平面BDG相交，故EF∥平面BDG不成立，⑤错误．5．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.证明如图所示，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.∴四边形EGC1D1为平行四边形．∴D1E綊GC1.又BG綊C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.∴BF∥D1E.∵BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1E，B1D1⊂平面B1D1E，∴BD∥平面B1D1E.又BD∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1E.一、选择题1．平面α与平面β平行的条件可以是( )A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D ．α内的两条相交直线分别与β平行 答案 D解析 若两个平面α，β相交，设交线是l ，则有α内的直线m 与l 平行，得到m 与平面β平行，从而可得A 是不正确的；而B 中两条直线可能是平行于交线l 的直线，也不能判定α与β平行；C 中的无数条直线也可能是一组平行于交线l 的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D 项是正确的．2．已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列四个命题：①⎩⎨⎧ c ∥α，c ∥β⇒α∥β；②⎩⎨⎧α∥γ，β∥γ⇒α∥β；③⎩⎨⎧c ∥α，a ∥c⇒a ∥α；④⎩⎨⎧a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．②④ C ．② D ．③④答案 C解析 命题②正确．①中α与β还可能相交，③④中a 还可能在α内，所以命题①③④错误．3．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有( ) A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对 答案 C解析 六棱柱的表面中一共有8个面，若互相平行的面最多，则底面六边形对边平行，则六棱柱的表面中相对的侧面相互平行的有3对，加上两底面互相平行，共4对．4. 如图，平面α∥平面β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝( )A．32B．2C．52D．3答案 C解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则PCPA＝CDAB，∴AB＝PA×CDPC＝5×12＝52.5. (多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则( )A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面ABC1D1C．平面ABCD∥平面A1B1C1D1D．平面EFG∥平面A1BC1答案ACD解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面ABC1D1相交，∴EF与平面ABC1D1相交，故B错误；由正方体的性质可知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，故C正确；∵FG∥BC1，EF∥A1C1，BC1⊂平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，FG⊄平面A1BC1，EF⊄平面A 1BC1，∴FG∥平面A1BC1，EF∥平面A1BC1.又FG∩EF＝F，∴平面EFG∥平面A1BC1，故D正确．二、填空题6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是____.答案相交或平行解析b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行．7. 如图是某正方体的平面展开图(表面朝下)．关于这个正方体，有以下判断：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中判断正确的序号是____.答案①②③④解析以面ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个判断都是正确的．8．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为____.答案43 9解析AA′，BB′相交于点O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′，有AB∥A′B′，且OAOA′＝ABA′B′＝32，同理可得OAOA′＝ACA′C′＝32，OAOA′＝BCB′C′＝32，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为3，所以△A′B′C′的面积为43 9.三、解答题9. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．解存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点．证明如下：∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF綊CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF.又AD⊂平面ADD1A1，CF⊄平面ADD1A1，∴CF∥平面ADD1A1.又CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1.又CF∥平面ADD1A1，CC1∩CF＝C，∴平面C1CF∥平面ADD1A1.10. 如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′A′A＝23，求S△A′B′C′S△ABC的值．解∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.同理可证B′C′∥BC，A′C′∥AC.∴∠B′A′C′＝∠BAC，∠A′B′C′＝∠ABC，∠A′C′B′＝∠ACB.∴△A′B′C′∽△ABC.又PA′∶A′A＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5.∴A′B′∶AB＝2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 为CC1上的点，要使平面D1BQ∥平面PAO，则点Q( )A．与C重合B．与C1重合C．为CC1的三等分点D．为CC1的中点答案 D解析当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：因为Q为CC1的中点，P是DD1的中点，所以QB∥PA，又QB⊄平面PAO，所以QB∥平面PAO.连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO.因为D1B⊄平面PAO，所以D 1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )A． 2 B．9 8C． 3 D．6 2答案 B解析取C1D1，B1C1的中点为P，Q，连接DP，BQ，B1D1，NP，PQ.易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，∴四边形ANPD为平行四边形，∴AN∥DP，又BD和DP 为平面DBQP的两条相交直线，MN，AN为平面AMN的两条相交直线，∴平面DBQP∥平面AMN，即平面DBQP的面积即为所求．∵PQ∥DB，PQ＝12BD＝22，∴四边形DBQP 为梯形，高为h ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，∴S ＝12(PQ ＋BD )·h ＝98，故选B.3. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，PA ＝PB ＝AB ＝2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，平面AGF ∥平面PEC ，PD ∩平面AGF ＝G ，且PG ＝λGD ，则λ＝____，ED 与AF 相交于点H ，则GH ＝____.答案 132解析 因为ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥CD ，且AB ＝CD .又E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以AE ＝FD ， 又∠EAH ＝∠DFH ，∠AEH ＝∠FDH ， 所以△AEH ≌△FDH ，所以EH ＝DH .因为平面AGF ∥平面PEC ，平面PED ∩平面AGF ＝GH ，平面PED ∩平面PEC ＝PE ， 所以GH ∥PE ，则G 是PD 的中点，即PG ＝GD ，故λ＝1. 因为PA ＝AB ＝PB ＝2，所以PE ＝3，GH ＝12PE ＝32.4. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别是棱AB ，PC 的中点，平面CMN 与平面PAD 交于PE .求证：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.证明(1)如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ.因为N，Q分别是PC，DC的中点，所以NQ∥PD.因为NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以NQ∥平面PAD.因为M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，所以MQ∥AD.又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以MQ∥平面PAD.因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD.(2)因为平面MNQ∥平面PAD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，所以MN∥PE.5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.解(1)当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.理由如下：如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD ∥D1C1，且AD＝D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形．所以AD1∥DC1.又因为DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以DC1∥平面AB1D1.又因为BC1∥平面AB1D1，BC1⊂平面BC1D，DC1⊂平面BC1D，DC1∩BC1＝C1，所以平面BC1D∥平面AB1D1.。
高一数学必修第二册-2019(A版)-8.5.3-平面与平面平行巩固提升
8.5.3平面与平面平行课后篇巩固提升基础巩固1.下列命题:①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.0①②③正确,故选C.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是() A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是()A.平面B.直线C.线段,但只含1个端点D.圆平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1, ∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有()A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH 与平面ABCD相交,选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.5.在如图的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?.(填“是”或“否”)AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1,因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1.同理可证:BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是.,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确. 7.如图,P 是△ABC 所在平面外一点,平面α∥平面ABC ,α分别交线段PA ,PB ,PC 于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A 'B 'C 'S△ABC= .α∥平面ABC ,得AB ∥A'B',BC ∥B'C',AC ∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC ∽△A'B'C',△PAB ∽△PA'B',S△A 'B 'C 'S△ABC=(A 'B 'AB )2=(PA 'PA )2=425.8.已知四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,点M ,N ,Q 分别在PA ,BD ,PD 上,且PM ∶MA=BN ∶ND=PQ ∶QD.求证:平面MNQ ∥平面PBC.△PAD 中,∵PM ∶MA=PQ ∶QD ,∴MQ ∥AD.同理NQ ∥BP.而BP ⊂平面PBC ,NQ ⊄平面PBC ,∴NQ ∥平面PBC.∵四边形ABCD 为平行四边形,∴BC ∥AD , ∴MQ ∥BC ,而BC ⊂平面PBC ,MQ ⊄平面PBC ,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.10.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求证:平面BCE∥平面ADF.四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,又BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,∴∠BAF=∠ABE=45°,∴AF∥BE,又BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,∴BE∥平面ADF.又BC⊂平面BCE,BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,∴平面BCE∥平面ADF.能力提升1.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为()A.2√2B.2√3C.2√6D.4,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又在正方体中,可得A1E=CE=CF=FA1=√5,所以四边形A1ECF为菱形.又A1C=2√3,EF=2√2,故截面面积为2√6.2.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题中,正确的有()A.BM∥平面DE∥平面AFC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF①所示的正方体.图①图②在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴AB正确;图③如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.AP,D为AP的中点,E,F,G分别为3.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB,∴AP∥平面EFG.4.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.B1C1.取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=12B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB 因为BE∥B1C1,且BE=12∥GE.因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,所以B1D1∥平面BDF.因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,所以HD1∥平面BDF.又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.。
2021届高中数学新教材同步必修第二册 第8章 8.5.2 直线与平面平行
8.5.2直线与平面平行学习目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.知识点一直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α图形语言思考(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？答案不一定，也有可能直线在平面内，所以一定要强调直线在平面外.(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？答案平行或直线在平面内.知识点二直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言思考如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内的一条直线相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交答案 D1.若直线a与平面α不平行，则a与α相交.(×)2.若直线l与平面α内的无数条直线不平行，则直线与平面α不平行.(×)3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.(×)4.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.(×)一、直线与平面平行的判定定理的应用例1(1)如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()A.相交B.b∥αC.b⊂αD.b∥α或b⊂α答案 D解析由a∥b且a∥α，知b∥α或b⊂α.(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.证明连接BC1(图略)，在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.反思感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.跟踪训练1如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面P AD.证明 如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又MN ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .二、直线与平面平行的性质定理的应用例2 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AC 与BD 交于点O ，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .证明 连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点.又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP ⊄平面BDM ， OM ⊂平面BDM ， ∴AP ∥平面BDM .又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH .反思感悟线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.跟踪训练2如图，在五面体EF ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.证明∵AD∥BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF，∴AD∥平面BCEF，∵AD⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，∴AD∥EF.1.(多选)已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，不能得出b∥α的是()A.b与α内的一条直线不相交B.b与α内的两条直线不相交C.b与α内的无数条直线不相交D.b与α内的所有直线不相交答案ABC2.下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案 B解析②正确；①③错误.3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定答案 A4.如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能答案 B5.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点答案 A解析因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….1.知识清单：(1)直线与平面平行的判定定理.(2)直线与平面平行的性质定理.2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：注意定理中条件的严密性.1.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A.有且只有一个B.有无数多个C.有且只有一个或不存在D.不存在答案 A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.2.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是()A.直线m与平面α内所有直线平行B.直线m与平面α内无数条直线平行C.直线m与平面α没有公共点D.直线m与平面α内的一条直线平行答案 C解析A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.3.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在答案 D解析设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l 平行.4.如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是()A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.不确定答案 D5.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.异面或相交答案 B解析由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.6.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有___条. 答案0或1解析过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________.答案 平行解析 ∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴A 1C 1∥平面ACE .8.三棱锥SABC 中，G 为△ABC 的重心，E 在棱SA 上，且AE ＝2ES ，则EG 与平面SBC 的关系为________. 答案 平行解析 如图，延长AG 交BC 于F ，连接SF ，则由G 为△ABC 的重心知AG ∶GF ＝2，又AE ∶ES ＝2，∴EG ∥SF ， 又SF ⊂平面SBC ，EG ⊄平面SBC ， ∴EG ∥平面SBC .9.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点.求证：EF ∥平面BDD 1B 1.证明 取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB (图略). ∵F 为C 1D 1的中点， ∴OF ∥B 1C 1且OF ＝12B 1C 1，又BE ∥B 1C 1，BE ＝12B 1C 1，∴OF ∥BE 且OF ＝BE ，∴四边形OFEB 是平行四边形，∴EF ∥BO . ∵EF ⊄平面BDD 1B 1，BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1.10.如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 是梯形.证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.∵平面BCFE∩平面P AD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形.11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD ＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形答案 B12.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若AECE＝BFFC＝BGGD，则与平面EFGH平行的直线有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案 C解析∵AECE＝BFFC，∴EF∥AB.又EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理，由BF FC ＝BGGD ，可证CD ∥平面EFGH .∴与平面EFGH 平行的直线有2条.13.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________. 答案 A 1C 1∥l解析 因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又平面ACB 1经过直线AC 与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ， 所以AC ∥l .又因为A 1C 1∥AC ，所以A 1C 1∥l .14.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMNQ ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.15.如图，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.答案 平面ABC ，平面ABD解析 连接BN ，AM ，并延长交CD 于点E .由题意易得MN ∥AB ，MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ， ∴MN ∥平面ABC ，MN ∥平面ABD .16.如图，四边形ABCD 为正方形，△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，P 是线段CD 的中点，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE .若存在，指出点M 的位置，并证明你的结论.解 存在点M ，如图，当点M 是线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .证明如下，取BE 的中点N ，连接CN ，MN ， 则MN ∥AB 且MN ＝12AB ，又PC ∥AB 且PC ＝12AB ，所以MN ∥PC 且MN ＝PC ，所以四边形MNCP 为平行四边形，所以PM ∥CN . 因为PM ⊄平面BCE ，CN ⊂平面BCE ， 所以PM ∥平面BCE .学习是一件很有意思的事为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
8.5.3 平面与平面平行高一数学新教材配套学案(人教A版2019必修第二册)
8.5.3 平面与平面平行【学习目标】素养目标学科素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能应用这两个定理解决问题．2.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．1.直观想象;2.逻辑推理;【自主学习】一．平面与平面平行的判定(1)文字语言:如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行．(2)符号语言:a⊂β,b⊂β,,a∥α,b∥α⇒β∥α.(3)图形语言:如图所示．注意:等价转化思想,即把面面平行转化为线面平行．二．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线．(2)符号语言:α∥β,α∩γ＝a,⇒a∥b.(3)图形语言:如图所示．(4)作用:证明两直线．思考:如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗?【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)α内有无数多条直线与β平行,则α∥β. ()(2)α内的任何直线都与β平行,则α∥β. ()(3)直线a∥α,a∥β,则α∥β. ()(4)直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,则α∥β. ()(5)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．() 2.已知平面α∥平面β,直线l∥α,则()A．l∥βB．l⊂βC．l∥β或l⊂βD．l, β相交【经典例题】题型一平面与平面平行的判定点拨:平面与平面平行的判定方法1.定义法:两个平面没有公共点.2.判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.3.利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.例1 在正方体ABCD A1B1C1D1中,如图．求证:平面AB1D1∥平面C1BD。
【跟踪训练】1 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形．点M,N,Q分别在P A,BD,PD上,且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证:平面MNQ∥平面PBC．题型二面面平行性质定理的应用点拨:应用平面与平面平行性质定理的基本步骤面面平行性质定理的实质:面面平行⇒线线平行,体现了转化思想．与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．例2 如图,已知α∥β,点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间),直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知P A＝4 cm,AB＝5 cm,PC＝3 cm,求PD的长．【跟踪训练】2 如图,已知平面α∥平面β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且P A＝6,AC＝9,PD＝8,求BD的长．变式:若点P在平面α,β之间(如图所示),其他条件不变,试求BD的长．题型三平行关系的综合应用点拨:解决平行关系的综合问题的方法1.在遇到线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质．2.要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质,实现相互联系、相互转化．解决立体几何中的平行问题时,一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．例3 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM＝DN.求证:MN∥平面AA1B1B.【跟踪训练】3如图(甲),在直角梯形ABED中,AB∥DE,AB⊥BE,AB⊥CD,F,H,G分别为AC,AD,DE的中点,现将△ACD沿CD折起,如图(乙)．求证:平面FHG∥平面ABE.【当堂达标】1.a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交2.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段P A,PB,PC于A′,B′,C′,若P A′∶AA′＝2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25B．4∶25 C．2∶5 D．4∶53.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C两点,过点P的直线n与α,β分别交于B,D两点,且P A＝6,AC＝9,PD＝8,则BD的长为()A．16 B．24或245C．14 D．204.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________．5.已知a,b表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题:①若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α∥β;②若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥β,则α∥β;③若a∥α,a∥β,则α∥β;④若a⊂α,a∥β,α∩β＝b,则a∥b.其中正确命题的序号是________．6.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AB∥CD,CD＝2AB,P,Q分别是CC1,C1D1的中点,求证:平面AD1C∥平面BPQ.【课堂小结】一．常用的面面平行的其他几个性质1.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2.夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．3.经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．5.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．二．三种平行关系的转化．【参考答案】【自主学习】相交a∩b＝P 平行β∩γ＝b 平行思考:不一定．它们可能异面．【小试牛刀】1.(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2.C 详细解析:假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,与l∥α矛盾,则假设不成立,则l∥β或l⊂β. 【经典例题】例1 【解】(1)证明:因为在正方体ABCD A1B1C1D1中,AD═∥B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.【跟踪训练】1 [证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC．∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD,∴MQ∥BC．又∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC．又∵MQ∩NQ＝Q,∴平面MNQ∥平面PBC．例2 解:(1)证明:因为PB∩PD＝P,所以直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ＝AC,β∩γ＝BD.又α∥β,所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD,所以P AAB＝PCCD,所以45＝3CD,所以CD ＝154(cm),所以PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)．【跟踪训练】2 [解] 因为AC ∩BD ＝P ,所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ,因为α∥β,α∩平面PCD ＝AB ,β∩平面PCD ＝CD ,所以AB ∥CD ．所以P A AC ＝PB BD ,即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.变式:[解] 与本例同理,可证AB ∥CD ．所以PA PC ＝PB PD ,即63＝BD －88,所以BD ＝24.例3 证明:如图,作MP ∥BB 1交BC 于点P ,连接NP ,因为MP ∥BB 1,所以CM MB 1＝CPPB .因为BD ＝B 1C ,DN ＝CM,所以B 1M ＝BN ,所以CM MB 1＝DN NB ,所以CP PB ＝DNNB ,所以NP ∥CD ∥AB .因为NP ⊄平面AA 1B 1B ,AB ⊂平面AA 1B 1B ,所以NP ∥平面AA 1B 1B .因为MP ∥BB 1,MP ⊄平面AA 1B 1B ,BB 1⊂平面AA 1B 1B .所以MP ∥平面AA 1B 1B .又因为MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,MP ∩NP ＝P ,所以平面MNP ∥平面AA 1B 1B .因为MN ⊂平面MNP ,所以MN ∥平面AA 1B 1B .【跟踪训练】3 证明:因为F ,H ,G 分别为AC ,AD ,DE 的中点,所以FH ∥CD ,HG ∥AE .又AB ⊥CD ,AB ⊥BE ,所以CD ∥BE ,所以FH ∥BE .因为BE ⊂平面ABE ,FH ⊄平面ABE ,所以FH ∥平面ABE .因为AE ⊂平面ABE ,HG ⊄平面ABE ,所以HG ∥平面ABE .又FH ∩HG ＝H ,所以平面FHG ∥平面ABE .【当堂达标】1.D 详细解析:如图①②③所示,a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．① ② ③2.B 详细解析:选B.因为平面α∥平面ABC ,平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′,AB ,所以AB ∥A ′B ′,同理B ′C ′∥BC ,易得△ABC ∽△A ′B ′C ′,S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝425. 3.B 详细解析:选B.由α∥β得AB ∥CD .分两种情况:若点P 在α,β的同侧,则P A PC ＝PB PD ,所以PB ＝165,所以BD ＝245;若点P 在α,β之间,则有P A PC ＝PB PD ,所以PB ＝16,所以BD ＝24.4. 平行四边形 详细解析:因为平面ABFE ∥平面CDHG ,又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ,平面EFGH ∩平面CDHG ＝HG ,所以EF ∥HG .同理EH ∥FG .所以四边形EFGH 的形状是平行四边形．5. ④ 详细解析:①错误,α与β也可能相交;②错误,α与β也可能相交;③错误,α与β也可能相交;④正确,由线面平行的性质定理可知．6.证明:因为D 1Q ═∥12CD ,AB ═∥12CD ,所以D 1Q ═∥AB ,所以四边形D 1QBA 为平行四边形,所以D 1A ∥QB .因为D 1A ⊄平面BPQ ,BQ ⊂平面BPQ ,所以D 1A ∥平面BPQ .因为Q ,P 分别为D 1C 1,C 1C 的中点,所以QP ∥D 1C .因为D 1C ⊄平面BPQ ,QP ⊂平面BPQ ,所以D 1C ∥平面BPQ ,又D 1A ∩D 1C ＝D 1,所以平面AD 1C ∥平面BPQ .。
人教版高中数学必修二新教材培优辅导8.5.3 平面与平面平行(解析版)
第八章 立体几何初步8.5.3 平面与平面平行一、基础巩固1.已知平面//α平面β,直线m ⊂α,直线n ⊂β,下列结论中不正确的是（ ）A ．//m βB ．//n αC ．//m nD ．m 与n 不相交【正确答案】C 【详细解析】根据面面平行的的定义和性质知: 平面//α平面β,直线m ⊂α,直线n ⊂β,则//m β, //n α, m 与n不相交,2.平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线//a α,//a β,且直线a 不在α内,也不在β内C ．直线a α⊂,直线b β⊂,且//a β,//b αD ．α内的任何一条直线都与β平行 【正确答案】D 【详细解析】解:A 选项,α内有无穷多条直线都与β平行,并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行,这无穷多条直线可以是一组平行线,故A 错误;B 选项,直线//a α,//a β,且直线a 不在α内,也不在β内,直线a 可以是平行平面α与平面β的相交直线,故不能保证平面α与平面β平行,故B 错误;C 选项, 直线a α⊂,直线b β⊂,且//a β,//b α,当直线a b ∥,同样不能保证平面α与平面β平行,故C 错误;D 选项, α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行,故平面α与平面β平行;3.如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别是11A D ,11A B 的中点,过直线BD 的平面α平面AMN ,则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）A ．2B ．98C ．3D ．62【正确答案】B 【详细解析】取1111C D B C ，的中点为,P Q .易知11////MN B D BD ,AD//NP.AD NP =,所以四边形ANPD 为平行四边形,所以AN //DP . 又BD 和DP 为平面DBQP 的两条相交直线,所以平面DBQP //平面AMN ,即DBQP 的面积即为所求.由PQ //DB ,12PQ 2BD ==,所以四边形DBQP 为梯形,高为222123h 12244⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以面积为:()1928PQ BD h +=.故选B.4.下列说法正确的是（ ）A ．若两条直线与同一条直线所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线分别平行于两个相交平面,则一定平行它们的交线D ．若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行 【正确答案】C 【详细解析】A 错,由两条直线与同一条直线所成的角相等, 可知两条直线可能平行,可能相交,也可能异面;B 错,若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面可能平行或相交; C 正确,设,l m αβ⋂=//,m α//β,利用线面平行的性质定理,在平面α中存在直线a //m , 在平面β中存在直线b //m ,所以可知a //b , 根据线面平行的判定定理,可得b //α,然后根据线面平行的性质定理可知b //l ,所以m //l ; D 错,两个平面可能平行,也可能相交.5.设,αβ是两个不同的平面,m 是直线且m α⊂,//m β,若使//αβ成立,则需增加条件（ ） A ．n 是直线且n ⊂α,//n β B ．,n m 是异面直线,//n βC ．,n m 是相交直线且n ⊂α,//n βD ．,n m 是平行直线且n ⊂α,//n β【正确答案】C 【详细解析】要使//αβ成立,需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,,n m 是相交直线且n ⊂α,//n β,m α⊂,//m β,由平面和平面平行的判定定理可得//αβ.6.下列四个正方体图形中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,P 分别为其所在棱的中点,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【正确答案】C 【详细解析】对于①,连接AC 如图所示,由于//,//MN AC NP BC ,根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ,所以//AB 平面MNP .对于②,连接BC 交MP 于D ,由于N 是AC 的中点,D 不是BC 的中点,所以在平面ABC 内AB 与DN 相交,所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③,连接CD ,则//AB CD ,而CD 与PN 相交,即CD 与平面PMN 相交,所以AB 与平面MNP 相交.对于④,连接CD ,则////AB CD NP ,由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.7．设α,β是两个不重合的平面,l ,m 是空间两条不重合的直线,下列命题不正确．．．的是（） A ．若l α⊥,l β⊥,则αβ∥ B ．若l α⊥,m α⊥,则l m C ．若l α⊥,l β∥,则αβ⊥ D ．若l α⊥,αβ⊥,则l β∥【正确答案】D 【详细解析】A.正确,垂直于同一条直线的两个平面平行;B.正确,垂直于同一个平面的两条直线平行;C.正确,因为平面β内存在直线m ,使//l m ,若l α⊥,则,m m αβ⊥⊂,则αβ⊥;D.不正确,有可能l β⊂.8．设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m α⊂,n ⊂α,则“αβ∥”是“m β且n β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【正确答案】A 【详细解析】m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m α⊂,n ⊂α,则“αβ∥”得“m β且n β”,根据面面平行的判定定理得“m β且n β”不能得“αβ∥”,所以“αβ∥”是“m β且n β”的充分不必要条件.9.已知a ,b ,c 为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是（ ） A ．若a b ∥,b α⊂,则aαB ．若a α⊂,b β⊂,a b ∥,则αβ∥C ．若αβ∥,aα,则a β∥D ．若a αβ⋂=,b βγ=,c αγ⋂=,a b ∥,则b c ∥【正确答案】D 【详细解析】A, 若a b ∥,b α⊂,则aα或a α⊂,故A 不正确.B, 若a α⊂,b β⊂,a b ∥,则αβ∥或α与β相交,故B 不正确. C,若αβ∥,aα,则a β∥或a β⊂,故C 不正确.D,如图,由a b ∥可得b α,易证b c ∥,故D 正确.10.如图,四棱锥S ABCD -中,底面是边长为2的正方形ABCD ,AC 与BD 的交点为O ,SO ⊥平面ABCD 且2SO =,E 是边BC 的中点,动点P 在四棱锥表面上运动,并且总保持PE AC ⊥,则动点P 的轨迹的周长为( )A ．2B ．3C ．12+D ．13+【正确答案】D 【详细解析】解:分别取CD 、SC 的中点F 、G ,连接EF 、FG 和EG ,如图所示;则EF ∥BD ,EF ⊄平面BDS ,BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ,EF ⊂平面EFG ,FG ⊂平面EFG ,, ∴平面EFG ∥平面BDS ,由AC ⊥BD ,AC ⊥SO ,且AC ∩SO ＝O , 则AC ⊥平面BDS , ∴AC ⊥平面EFG ,∴点P 在△EFG 的三条边上; 又EF ＝12BD ＝12×2×2＝1, FG ＝EG ＝12SB ＝12×22(2)1+3∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝311.设α,β表示两个不同平面,m 表示一条直线,下列命题正确的是（ ） A ．若//m α,//αβ,则//m β. B ．若//m α,//m β,则//αβ. C ．若m α⊂,//αβ,则//m β. D ．若m α⊂,//m β,则//αβ. 【正确答案】C 【详细解析】若//m α,//αβ,则//m β或m β⊂,A 不正确; 若//m α,//m β,则//αβ,或αβ、相交,B 不正确; 若m α⊂,//αβ,可得m 、β没有公共点,即//m β,C 正确;若m α⊂,//m β,则//αβ或αβ、相交,D 不正确,故选C.12．设,a b 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则//αβ的一个充分条件是（ ） A ．存在两条异面直线,a b ,,,//,//a b a b αββα⊂⊂. B ．存在一条直线a ,//,//a a αβ. C ．存在一条直线a ,,//β⊂a a a .D ．存在两条平行直线,a b ,,,//,//αββ⊂⊂a b a b a . 【正确答案】A 【详细解析】对于A 选项,如图:,a b 为异面直线,且,,//,//a b a b αββα⊂⊂,在β内过b 上一点作//c a ,则β内有两相交直线平行于α,则有//αβ;故A 正确;对于B 选项,若//,//a a αβ,则a 可能平行于α与β的交线,因此α与β可能平行,也可能相交,故B 错; 对于C 选项,若,//β⊂a a a ,则α与β可能平行,也可能相交,故C 错;对于D 选项,若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ,则α与β可能平行,也可能相交,故D 错. 二、拓展提升13.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,D 、P 分别是棱AB ,11A B 的中点,求证:（1）1AC ∥平面1B CD ; （2）平面1APC 平面1B CD ．【正确答案】（1）见证明;（2）见证明 【详细解析】证明:（1）设1BC 与1B C 的交点为O ,连结OD , ∵四边形11BCC B 为平行四边形,∴O 为1B C 中点, 又D 是AB 的中点,∴OD 是三角形1ABC 的中位线,则1OD AC ,又∵1AC ⊄平面1B CD ,OD ⊂平面1B CD , ∴1AC ∥平面1B CD ;（2）∵P 为线段11A B 的中点,点D 是AB 的中点, ∴1AD B P 且1AD B P =,则四边形1ADB P 为平行四边形, ∴1APDB ,又∵AP ⊄平面1B CD ,1DB ⊂平面1B CD , ∴AP ∥平面1B CD ． 又1AC ∥平面1B CD ,1AC AP P =,且1AC ⊂平面1APC ,AP ⊂平面1APC ,∴平面1APC 平面1B CD ．14．如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H 分别是BC ,CC 1,C 1D 1,A 1A 的中点．求证:( 1)BF ∥HD 1; ( 2)EG ∥平面BB 1D 1D ; ( 3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .【正确答案】( 1) 见详细解析;( 2) 见详细解析;( 3)见详细解析.（1）取BB 1的中点M,连接HM 、MC 1,四边则HMC 1D 1是平行四边形,∴HD 1∥MC 1． 又∵MC 1∥BF,∴BF ∥HD 1．（2）取BD 的中点O,连接EO 、D 1O,则OE ∥1D C ,OE ＝112D C ．又D 1G ∥DC,D 1G ＝12DC,∴OE ∥D 1G,OE ＝D 1G,∴四边形OEGD 1是平行四边形,∴GE ∥D 1O ． 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D,∴EG ∥平面BB 1D 1D ．（3）由（1）知D 1H ∥BF,又BD ∥B 1D 1,B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1,BF 、BD ⊂平面BDF,且B 1D 1∩HD 1＝D 1,DB∩BF ＝B,∴平面BDF ∥平面B 1D 1H ．15.如图所示,在三棱柱111ABC A B C 中,E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点,求证:（1）B C H G ，，，四点共面; （2）平面1EFA //平面BCHG ．【正确答案】( 1)证明见详细解析;( 2)证明见详细解析.【详细解析】 ( 1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点, GH ∴是111A B C △的中位线, 则11//GH B C , 又11////B C BC GH BC ∴，, B C H G ∴，，，四点共面． ( 2)E F ，分别为AB AC ，的中点,//EF BC ∴, EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG , EF ∴平面BCHG , 又G E ，分别是11A B AB ，的中点,11A B AB ⊥, 1A G EB ∴⊥, ∴四边形1A EBG 是平行四边形,1//A E GB ∴, 1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG , 1//A E ∴平面BCHG , 又1A E EF E ⋂＝, ∴平面1EFA //平面BCHG ,。
高一数学 人教A版2019必修第二册 8-5-3 平面与平面平行 教案 (1)
【教学目标】1. 知识目标：（1）了解平面和平面的位置关系；（2）理解平面与平面平行的概念，掌握判定方法；（3）了解平面夹角的概念、性质及应用。
2. 技能目标：（1）掌握平面与平面平行问题的解法；（2）能够判断平面之间的位置关系；（3）能够求解平面夹角的大小。
3. 情感目标：（1）培养学生的探究精神和实际运用能力；（2）提高学生的数学兴趣和数学思维能力。
【教学重点和难点】1. 教学重点：（1）平面与平面平行的概念及判定方法；（2）平面夹角的概念、性质及应用。
2. 教学难点：（1）如何判定平面之间的位置关系；（2）如何求解平面夹角的大小。
【教学方法】通过引导学生自主探究和解决问题的方式，激发学生的学习兴趣和思考能力。
【教学过程】一、导入通过引入工程实例，引出本节课所学内容，并启发学生思考。
二、知识讲解1. 平面与平面的位置关系平面和平面之间有三种位置关系：相交、平行以及重合。
2. 平面与平面平行两个平面平行，当且仅当它们的法向量平行。
3. 平面夹角平面夹角的大小等于它们法向量的夹角的大小。
三、实例展示通过具体的实例，引导学生理解平面与平面平行的概念和判定方法，并掌握平面夹角的概念及其应用。
四、练习通过练习题，巩固所学知识，并培养学生解决问题的能力。
五、归纳总结通过本节课所学内容的归纳总结，强化学生对平面与平面平行的概念及判定方法以及平面夹角的概念、性质及应用的记忆和理解。
【教学反思】本节课采用了工程实例引入，通过引导学生自主探究和解决问题的方式，积极激发了学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，针对学生易错的地方，不断给予引导和解答，帮助学生掌握知识点。
同时，在课后作业中，还可以设置巩固和扩展题，帮助学生反复巩固所学的内容，并加深对知识点的理解。
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第八章 立体几何初步
8.5.3 平面与平面平行
一、基础巩固
1.已知平面//α平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂
β，下列结论中不正确的是（ ） A ．//m β B ．//n α C ．//m n
D ．m 与n 不相交 2．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ）
A ．α内有无穷多条直线都与β平行
B ．直线//a α，//a β，且直线a 不在α内，也不在β内
C ．直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α
D ．α内的任何一条直线都与β平行
3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是11A D ，11A B 的中点，过直线BD 的平面α平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A 2
B ．98
C 3
D ．62
4．下列说法正确的是（ ）
A ．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D ．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
5．设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，//m β，若使//αβ成立，则需增加条件（ ）
A ．n 是直线且n ⊂α，//n β
B ．,n m 是异面直线，//n β
C ．,n m 是相交直线且n ⊂α，//n β
D ．,n m 是平行直线且n ⊂α，//n β 6．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
7．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是空间两条不重合的直线，下列命题不正确．．．的是（） A ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥
B ．若l α⊥，m α⊥，则l m
C ．若l α⊥，l β∥，则αβ⊥
D ．若l α⊥，αβ⊥，则l β∥
8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α⊂，n ⊂α，则“αβ∥”是“m β且n β”
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9.已知a ，b ,c 为三条不同的直线，α，β，γ
为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b ∥，b α⊂，则a α
B ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥
C ．若αβ∥，a α，则a β∥
D ．若a αβ⋂=，b βγ=，c αγ⋂=，a b ∥，则b c ∥
10.如图，四棱锥S ABCD -中，2的正方形ABCD ，
AC 与BD 的交点为O ，SO ⊥平面ABCD 且2SO =E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为( )
A ．22
B ．23
C ．12+
D ．13+ 11．设α，β表示两个不同平面，m 表示一条直线，下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，//αβ，则//m β.
B ．若//m α，//m β，则//αβ.
C ．若m α⊂，//αβ，则//m β.
D ．若m α⊂，//m β，则//αβ.
12．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）
A ．存在两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.
B ．存在一条直线a ，//,//a a αβ.
C ．存在一条直线a ，,//β⊂a a a .
D ．存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a .
二、拓展提升
13.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：
（1）1AC ∥平面1B CD ；
（2）平面1APC 平面1B CD ．
14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：
(1)BF ∥HD 1；
(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；
(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
15．如图所示，在三棱柱111ABC A B C 中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，
求证：（1）B C H G ，，，四点共面； （2）平面1EFA //平面BCHG ．。