高一数学培优(1)——三角部分

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数学-高一福建省福鼎一中高一年段数学培优教材(第三讲)三角恒等变换

福建省福鼎一中高一年段数学培优教材（第三讲）三角恒等变换高一数学备课组一、基础知识： 1．三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。

化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类，采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。

2．常见的变形公式：1sin cos sin 22ααα= 221cos 2cos 1cos 2sin 22αααα+=-=22221sin (sincos )2sin ()1sin (sincos )2sin ()22242224αααπαααπαα+=+=+-=-=- tan tan tan()[1tan tan ]αβαβαβ±=±sin cos )a x b x x ωωωϕ+=+3．通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。

如常见的角的拆并有 2()(),(),,(),)2266424αβαβπππππααβαβααββααααα+-=++-=+-=+=+--=-+（等二、综合应用：例1：已知角α的终边上一点(2sin3,2cos3)P -，则α的弧度数为_____________已知32,cot 2παπα<<=3cot cot 22αα-=_________________函数2sin cos ()y x x x x R =∈的最大值是____________________ 化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+=-+____________________________ 例2：已知1sin cos 4αβ=，求cos sin αβ的取值范围。

例3：求22sin 20cos 50sin 20cos50++的值。

例4：已知222()sin sin ()sin (),f θθθαθβ=++++其中,αβ是适合0αβπ≤<≤的常数，试问,αβ取何值时，()f θ的值恒为定值？例5：求值：cot15cot 25cot 35cot85例6：已知,(0,),sin csc cos()2παββααβ∈⋅=+；（1）求证：2sin cos tan 1sin ααβα=+；（2）求tan β的最大值，并求当tan β取得最大值时tan()αβ+的值。

高中数学培优——解三角形

解三角形课题：正弦定理（两课时）教学目的：⑴使学生掌握正弦定理⑵能应用解斜三角形，解决实际问题。

教学过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？（创设情景）早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月亮之间的距离大约是385400公里，你能设计一种近似的测量方法吗？——提出课题：正弦定理二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=Ccsin ． ∴A a sin =B b sin =Cc sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD Da A a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明三：（向量法）过A 作单位向量垂直于由 AC +CB =AB两边同乘以单位向量得 •(AC +CB )=•AB 则j •AC +j •CB =j •AB∴||•||cos90︒+||•||cos(90︒-C)=||•||cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作垂直于得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

高一数学专题辅导第1讲解三角形

高一数学专题辅导第1讲解三角形1.正弦定理公式；余弦定理公式22a b +- = .2.三角形面积公式S = .在ABC △中的三个内角A ，B ，C 的对边分别用a b c ，，表示： 1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即sin sin sin a b cA B C==．利用三角形中的线段关系证明正弦定理：①在R t ABC △中（如图），有sin sin a bA B c c==，，因此sin sin a b c A B ==，又因为sin 1C =，所以sin sin sin a b cA B C== ②在锐角ABC △中（如图），作CD AB ⊥于点D ，有sin CDA b=，即sin CD b A =；sin CDB a=，即sin CD a B =，因此 sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a cA C=，因概念要点回顾1.1正弦定理与其在解三角形中的应用知识切片知识点睛cb a DC BA CBAcba此sin sin sin a b cA B C== ③在钝角ABC △中（如图），作CD AB ⊥，交AB 的延长线于点D ，则sin CDA b=，即sin CD b A =；()sin 180sin CDB B a=-=，即sin CD a B =，因此sin sin b A a B =，即sin sin a b A B =，同理可证sin sin a cA C=，因此sin sin sin a b cA B C== 利用平面几何知识证明正弦定理：如图所示，设O 为ABC △的外接圆的圆心，连BO 并延长交O 于A '，连A C '，则A A '= 或πA A '=-，∴sin sin 2BC a A A A B R '==='，即2sin aR A =，同理可证2sin sin b c R B C ==，故有2sin sin sin a b cR A B C=== 当ABC △是钝角三角形时，类似地得出上述结论. 利用向量知识证明正弦定理：①当ABC △是锐角三角形时，过A 点作单位向量i 垂直于AB ，如图，∵AC AB BC =+,∴()i AC i AB BC i AB i BC i BC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅，∴()()cos 90cos 90b A a B -=-，得sin sin b A a B =，得sin sin a bA B= ②当ABC △为钝角三角形时，类似地得出上述结论2．利用正弦定理解三角形⑴解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．⑵利用正弦定理可解下列两类型的三角形：①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．考点1：已知两角和任一边解三角形【例1】已知两角和任一边解三角形⑴ 已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，3c =，60A =︒，45C =︒，则a =_______.⑵在ABC △中，30B =︒，45C =︒，1c =，则b =_______；三角形的外接圆半径R =_______. ⑶在ABC △中，已知8a =，60B =，75C =，则b =_______. 【解析】⑴32 ⑵2；2经典精讲i CA cba DCBA OA 'CA已知30B =，45C =，1c =，由正弦定理得：2sin sin b cR B C==，所以sin 1sin 302sin sin 452c B b C ⋅===，122sin sin 452c R C ====,22R =⑶46由60B =，75C =，知45A =，再由正弦定理有846sin 45sin 60bb =⇒=考点2：已知两边和其中一边的对角解三角形【铺垫】根据下列条件解三角形：①6031A a b ===，，；②3012A a b ===，，；③30610A a c ===，，； ④150105A a c ===，，，其中有唯一解的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】C①3sin 3b A =<，又31>∵，∴有唯一解；②sin 2sin301b A ==，∴有唯一解；③sin 10sin305610c A ==<<，∴有两解；④有唯一解.【例2】已知两边和一边对角解三角形⑴在ABC △中，已知4522A a b ===，，B =_______.⑵已知ABC △中，a b c ，，分别是A B C 、、的对边，22345a b A ===︒，则B =_______.⑶已知ABC △，三个内角A B C ，，的对边分别记为a b c ，，，若245c x b B ===︒，，，且这个三角形有两解，求x 的取值范围．⑷（2010山东卷理数）在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2a 2b =，sin cos 2B B +A 的大小为．【解析】⑴30 根据正弦定理得：sin sin a b A B =，∴sin 2sin 451sin 22b A B a ===，b a <∵，B A <∴， B ∴为锐角，即30B = ⑵60或120由正弦定理得，sin 23sin 453sin 22b A B a ==，∵sin b A a b <<，∴这个三角形有两组解，即60B =或120. ⑶ 由正弦定理可得：sin sin c b C B =，解得：2sin 4xC =，由于三角形有两解，又45B =︒，则45135C <<︒且90C ≠，则2sin 12C <<，即22124x<<，解得222x <<【点评】本题的⑶也可用以下方法解，当sin c B b c <<，即sin 2x B x <<时，对应两个C 的值，方程有两组解，解得222x <<．⑷ π6由sin cos 2B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因为0πB <<，所以π4B =．又因为22a b ==，所以在ABC △22sin B =，解得1sin 2A =．又a b <∵，所以A B <，所以π6A =．【点评】易错点：忽略a b <A B ⇒<的隐藏条件．多解．1．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：2222222222cos ,2cos ,2cos .c a b ab C b a c ac B a b c bc A ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 它的变形为：222222222cos ,2cos ,2cos .2a b c C ab a c b B ac b c a A bc ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩2．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：①已知两边和任意一个内角解三角形； ②已知三角形的三边解三角形．考点3：用余弦定理解三角形【铺垫】⑴在ABC △中，5a =，8b =，60C =︒，则c =_______．⑵在ABC △中，222a b c bc =++，则A 等于（）．A ． 60B ． 45C ． 120D ． 30 【解析】⑴ 7 由余弦定理2222cos 25644049c a b ab C =+-=+-=，∴7c =． ⑵C∵2222222()1cos 222b c a b c b c bc A bc bc +-+-++===-∵0180A <<，∴120A =．【例3】余弦定理解三角形⑴在ABC △中，5a =，8b =，7c =，则sin C =_______．⑵在ABC △中，已知3sin 5A =，sin cos 0A A +<，35a =，5b =，则c =______.⑶在ABC △中，若1378cos 14a b C ===，，，则最大角的余弦是( )． A ．15- B ．16- C ．17- D ．18-【解析】⑴3 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴1cos 2C =，3sin C =．1.2余弦定理及其在解三角形中的应用经典精讲知识点睛⑵∵sin cos 0A A +<，且3sin 5A =，24cos 1sin 5A A =--=-∴，又∵35a =，5b =，2222cos a b c bc A =+-，∴()2224355255c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，即28200c c +-=，解得2c =或10c =-（舍），∴2c = ⑶ C由2222cos c a b ab C =+-，∴3c =，则b a c >>，∴最大角为B ，∴2221cos 27a cb B ac +-==-考点4：用余弦定理判断三角形形状【铺垫】在ABC △中，已知5a =，6b =，7c =，则此三角形是一个三角形．【解析】锐角三角形 c b a >>∵,∴角C 为最大角，2221cos 025a b c C ab +-==>∴，∴角C 为锐角，∴三角形为锐角三角形【例4】判断三角形形状⑴ 若以34x ，，为三边组成一个直角三角形，则x 的值为． ⑵ 若以34x ，，为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为． ⑶ 若以34x ，，为三边组成一个钝角三角形，则x 的取值范围为．【追问】我们还可以考虑，当我们知道三角形两边的情况下，求某一个角的取值范围，例如下面这个问题：已知ABC △中，12AB BC ==，，则C ∠的取值范围是________________⑷ （目标班专用）已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长. 【解析】 ⑴ 5722234x +=或22234x +=．⑵)75依题意有:22217434x x x ⎧<<⎪>⎨⎪+>⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+>⎩≤75x <．⑶ (()1757，∪，解法一：依题意有:22217434x x x⎧<<⎪>⎨⎪+<⎩或22217434x x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩≤解得57x <<或17x <<．解法二：本题也可以由函数的图象来解决，如图，设圆的半径3OA =， 4OB =，圆上任取一点与O B ，两点构成三角形，从图形上看出，当圆上的点在点D 和点E 上时，构成直角三角形；当点在DE 上时，构成锐角三角形；当点在AD 和EG 上时，构成钝角三角形.由此可以很快得出答案.【追问】π06⎛⎤ ⎥⎝⎦，⑷设三角形三边的长为：()12n n n n *++∈N ，，最大角为α，∴222(1)(2)cos 2(1)n n n n n α++-+=+，G FEDCBAO∵α是钝角，∴cos 0α<，∴222(1)(2)02(1)n n n n n ++-+<+，2(1)0n n +>∵，∴222(1)(2)0n n n ++-+<∴2230n n --<，∴13n n *-<<∈N ，∵，1n =∴或2. 当1n =时，123，，不能构成三角形的三边，故舍去. 当2n =时，234，，即为所求三边的长.【拓展】⑴钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，其最大角不超过120，求a 的取值范围. ⑵在ABC △中，若三条边是三条连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求ABC △的三条边长.【解析】 ⑴∵钝角三角形的三边分别是12a a a ++，，，∴显然有210a a a +>+>>，设钝角三角形的最大的（内）角为α，依题意，得90120α<≤，由()()()()()()22212313cos 21212a a a a a a a a a a a α++-+-+-===++，可得13022a a--<≤，解得332a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，⑵设最小内角为θ，三边长为11n n n -+，，，根据正弦定理得：11sin sin 2n n θθ-+=， 112cos n n θ+-=∴，()1cos 21n n θ+=-∴，根据余弦定理得：()()()22211cos 21n n n n n θ++--=+，()()()()2221112121n n n n n n n ++--+=-+∴，解得5n =，从而得ABC △的三条边分别为456，，1.正弦定理灵活应用：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = (其中R 为ABC △的外接圆的半径)；②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c A B C =．正余弦定理的综合应用已知条件应用定理一般解法一边和两角（如a B C ，，）正弦定理由πA B C ++=，求角A ；由正弦定理求出b 与c ．两边和夹角（如a b C ，，）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角(此角一定是锐角)；再由πA B C ++=，求剩下的角.三边（a b c ，，）余弦定理正弦定理由余弦定理求出最大角，然后正弦计算剩余两角．两边和其中一边的对角（如a b A ，，）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B ；由πA B C ++=，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c ．1.3正余弦定理在解三角形中的灵活应用知识点睛【铺垫】在ABC △中，若::1:2:3A B C =，则::a b c =______.【解析】由已知得306090A B C ===，，，::sin :sin :sin1:3:2a b c A B C ==∴ 【例5】正余弦定理的综合运用⑴在ABC △中，若sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（）A ．14-B ．14C ．23-D ．23⑵在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则角C 为（）A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定【追问】在ABC △中，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC △是（） A .直角三角形 B .等边三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形 ⑶（2010天津理7）在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（）A ．30B ．60C ．120D ．150 【解析】⑴A 根据正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=，sin :sin :sin ::3:2:4A B C a b c ==∴，2223241cos 2324C +-==-⨯⨯∴⑵B222sin sin sin A B C +<∵，∴根据正弦定理得222a b c +<，222cos 02a b c C ab+-=<∴，∴角C 为钝角【追问】B ⑶A由sin 23sin C B =，根据正弦定理，得23c b =.所以22236a b bc b -==，即227a b =.由余弦定理得2223cos 22b c a A bc +-==.所以30A =︒. 【例6】正余弦定理在平面几何中的应用⑴ 在平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，6AC =，求BD⑵ 在ABC △中，已知4AB =，7AC =，BC 边上的中线72AD =，那么BC = ．⑶ 在ABC △中，已知46AB =,6cos ABC ∠=，AC 边上的中线5BD =，求sin A 的值【解析】 ⑴如图，在ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅，即222635235cos B =+-⋅⋅ ①在ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，即22235235cos BD A =+-⋅⋅ ② ①+②得：()22226235BD +=+，即42BD =【点评】由本题可以得出平行四边形定理：平行四边形的对角线平方之和等于四条边长平方之和⑵ 解法一：如图：设BD x =，则2BC x =，DC x =，∵πADB ADC ∠=-∠,cos cos ADB ADC ∠=-∠∴，由余弦定理，得经典精讲DCB A222222774722772222x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⋅⋅⋅，解得92x =，9BC =∴ 解法二：由平行四边形定理得：()2222247781BC =+-=，9BC =∴⑶ 如图：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE AB ∥，且1262DE AB ==，设BE x =，在BDE △中利用余弦定理可得： 2222cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，()()6cos cos πcos πcos BED DEC ABC ABC ∠=-∠=-∠=-∠=-∵28266523x x =++⨯⨯∴，解得1x =或73x =-（舍），故2BC =，从而222282cos 3AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，即221AC =, 又30sin ABC ∠=∵，故22123sin 30A =，70sin A =∴面积公式：()11111sin sin sin 222224a abcS ah a b c r ab C bc A ac B R ==++====．其中r 为ABC △内切圆半径，R 为外接圆半径.【选讲】海伦公式：()()()S p p a p b p c =---，其中2a b cp ++=.【推导】 ()2222222111sin 1cos 12224a b cS ab C ab C ab a b +-==-=- ()()()2222222222221142244a b a b c ab a b c ab a b c =-+-=++---+()()()()()()22221144a b c c a b a b c a b c a c b b c a ⎡⎤⎡⎤=+---=+++-+-+-⎣⎦⎣⎦ 令()12p a b c =++，则()()()S p p a p b p c =---圆内接四边形面积：()()()()S p a p b p c p d =----，其中2a b c dp +++=. 【推导】由()22222cos 2cos πa b ab c d cd θθ+-=+--，可得2222cos 22a b c d ab cdθ+--=+1.4三角形的面积知识点睛CB A baDA 72x 745463DCA()()222222222sin 1cos 22ab cd a b c d ab cdθθ+-+--=-=+()()()()=22b c d a a c d b a b d c a b c d ab cd++-++-++-++-+(){}()11sin sin πsin 22S ab cd ab cd θθθ=+-=+ ()()()()()()()()1=42222b c d a a c d b a b d c a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d p a p b p c p d ++-++-++-++-++++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----【铺垫】在ABC △中，若5AB =，7BC =,33sin 14B =，求ABC △的面积. 【解析】 ∵5AB =，7BC =,33sin 14B =， 1133153sin 5722144ABCS AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=△∴【例7】求面积⑴ 已知ABC △，三个内角,,A B C 的对边分别记为a b c ，，，43460b c B ===︒，，，求ABC S △． ⑵ 已知ABC △，三个内角,,A B C 的对边分别记为a b c ，，，若234a b c ===，，，求ABC S △． ⑶已知：四边形ABCD 内接于圆O ，四边长依次为2,7,6,9，求圆直径.【解析】⑴ 分析:三角形的已知条件为常见的SSA 型．根据条件有两种思路求三角形的面积: 11sin sin 22ABC S bc A ac B ∆=⋅=⋅．所以欲求三角形面积需要先求A 或先求a ．方法一:由正弦定理知sin sin b cB C =，sin 1sin 243c B C b ︒===，因为C 是三角形的一个内角，故30C ︒=或150︒，又60B ︒=，故30C ︒=．180603090A ︒︒︒︒=--=，从而1832ABC S bc ∆==．方法二:由余弦定理得222cos 2a c bB ac +-=，即24320a a --=．()()480a a +-=．因为0a >，所以8a =．1sin 832ABC S ac B ∆=⋅=．⑵ 要求面积，先求一个角，已知三边，可以用余弦定理求一角：222416911cos 21616a cb B ac +-+-===，∴2315sin 1cos B B =-=，经典精讲DC BAπ-θθd cba∴113153sin 241522164ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=．⑶ 85.【铺垫】已知ABC △的三边长分别为a b c ，，，且面积()22214ABC S b c a =+-△，则A 等于（） A ．45 B ．30 C ．120 D ．15【解析】 A()2221112cos cos 442ABC S b c a bc A bc A =+-=⨯=△，又1sin 2ABC S bc A =△∵，sin cos A A =∴，45A =∴【例8】已知三角形面积解三角形ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，22sin 3cos C C =，7c =，又ABC △的面积为332，求⑴角C 的大小；⑵a b +的值【解析】⑴由已知得()221cos 3cos C C -=，1cos 2C =∴或cos 2C =-（舍）， ∴在ABC △中，60C =⑵133sin 22ABC S ab C ==△∵，133sin 6022ab =∴，6ab =∴，又2222cos c a b ab C =+-∵，()22272cos a b ab C =+-∴，227a b ab +-=∴，2213a b +=∴，222255a b a b ab +=++==∴【演练1】在ABC △中，若2π133b c C ==∠=，，，则________a = 【解析】1 方法一: 由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得， 220a a +-=．∵0a >，∴1a =．方法二: 由正弦定理sin sin b c B C =得，1sin 2B =，π6B =或5π6，又因为b c <，即B C <，所以π6B =，∴2ππππ366A =--=．∴1a b ==．【演练2】在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（）． A ． π6 B ． π3 C ．π6或5π6 D ． π3或2π3实战演练11【解析】D 由余弦定理2222cos a c b ac B +-=及()222tan a c b B +-得，sin B =．所以π3B =或2π3．【演练3】在ABC △中，已知222sin sin sin sin B C A A C --=，则角B 的大小为（）A ．150︒B ．30︒C ．120︒D ．60︒ 【解析】A由222sin sin sin sin B C A A C --及正弦定理可得222b c a --=即得222cos 2a c b B ac +-==，∴150B =︒．【演练4】在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，1tan 2A =，cos B = 若ABC △最长的边为1，则最短边的长为（）．ABCD【解析】D由cos B =B 为锐角， ∴1tan 3B =，故()()tan tan πtan C A B A B =--=-+tan tan 11tan tan A B A B+=-=--⋅①，由①知135C ∠=︒，故c 边最长，即1c =，又tan tan A B >，故b 边最短，∵sin B =，sin 2C =，由正弦定理sin sin b c B C =，∴sin sin c B b C ==【演练5】设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． ⑴ 当30A =︒时，求a 的值；⑵ 当ABC △的面积为3时，求a c +的值．【解析】 ⑴ 因为4cos 5B =，所以3sin 5B =，由正弦定理sin sin a b A B =，可得10sin303a =︒，所以53a =． ⑵ 因为ABC △的面积1sin 2S ac B =，3sin 5B =，所以3310ac =，10ac =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222284165a c ac a c =+-=+-，即2220a c +=．所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=，所以，a c +=。

高中数学暑期培优讲义三角函数及解三角形部分答案

第三单元三角函数、解三角形第01讲三角函数的图像与性质【课前双基巩固】知识聚焦1.[-1,1] [-1,1] R 奇函数偶函数 2k π+π2,2k π+3π2[2k π-π,2k π] (k π,0) x=k π对点演练1.π [解析] 最小正周期T=2πω=2π2=π.2.-1 [解析] 依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减 [解析] 由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x 在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.[π4+kπ,π2+kπ)(k ∈Z ) [解析] 由题意知tan x ≥1,所以π4+k π≤x<π2+k π(k ∈Z ).5.[2k π-π,2k π](k ∈Z ) [解析] 函数y=1-2cos x 的单调递减区间即函数y=-cos x 的单调递减区间,即函数y=cos x 的单调递增区间,即为[2k π-π,2k π](k ∈Z ).6.(-1,1) [解析] ∵x ≠π2+k π(k ∈Z ),y=cos x tan x=sin x ,∴y=sin x ∈(-1,1),即函数y=cos x tan x 的值域是(-1,1).7.1 [解析] 设t=cos x ,则-1≤t ≤1,所以y=-t 2+3t-1=-t-322+54,当t=1时,函数取得最大值1.8.(kπ2-π4,0)(k ∈Z ) [解析] 由x+π4=kπ2(k ∈Z ),得x=kπ2-π4(k ∈Z ),所以函数y=tan (x +π4)图像的对称中心为(kπ2-π4,0)(k ∈Z ). 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x 的不等式组求解. (1)x 0<x ≤4且x ≠π6且x ≠7π6(2)x2k π≤x<2k π+2π3,k ∈Z[解析] (1)依题意得{2−log 2x ≥0,x +π3≠kπ+π2,k ∈Z,得0<x ≤4且x ≠k π+π6,k ∈Z ,所以函数f (x )的定义域是x 0<x ≤4且x ≠π6且x ≠7π6.(2)由题意得{2cosx +1>0,sinx ≥0,即{cosx >−12,sinx ≥0,解得{2kπ-2π3<x <2kπ+2π3,k ∈Z,2kπ≤x ≤2kπ+π,k ∈Z,所以2k π≤x<2k π+2π3,k ∈Z ,所以函数的定义域为x 2k π≤x<2k π+2π3,k ∈Z . 变式题 (1)x 2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z (2)x 2k π-π3<x<2k π+4π3,k ∈Z[解析] (1)由题意知sin x-cos x ≥0.作出函数y=sin x 和y=cos x 的图像,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x 的x 的值为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,得原函数的定义域为x 2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z .(2)依题意知,√3+2sin x>0,即sin x>-√32,结合函数y=sin x 的图像(图略),可得函数f (x )的定义域为x 2k π-π3<x<2k π+4π3,k ∈Z .例2[思路点拨](1)将函数转化为以sin x为自变量的二次函数求最值;(2)将函数化为f(x)=A sin(ωx+φ)+k的形式,再利用函数的单调性求最值.(1)4916(2)1[解析](1)由题知,y=2cos 2x-sin x+1=2-4sin2x-sin x+1=-4(sinx+18)2+4916,当sin x=-18时,函数取得最大值,最大值为4916.(2)由题可知,f(x)=2cos x(sinxcosπ3+cosxsinπ3)-√3sin2x+sin x cos x=2sin x cos x+√3cos2x-√3sin2x=sin 2x+√3cos2x=2sin(2x+π3).因为x∈[-π4,π6],所以2x+π3∈[-π6,2π3],所以当2x+π3=π2,即x=π12时,函数取得最大值,即为2sinπ2=2;当2x+π3=-π6,即x=-π4时,函数取得最小值,即为2sin(-π6)=-1.所以最大值与最小值之和为2-1=1.变式题(1)B(2)[-2-√2,178][解析](1)∵f(x)=sin(x-π4)-cos(x-π4)=√2sin x-π4-π4=√2sin x-π2=-√2cos x,∴当x=(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)取得最大值√2.(2)令t=cos x-sin x,则t=√2cos(x+π4)∈[-√2,√2],又t2=1-2sin x cos x,所以sin x cos x=1−t22,所以y=t+4·1−t 22=-2t2+t+2=-2(t-14)2+178.因为t∈[-√2,√2],所以当t=14时,y取得最大值178;当t=-√2时,y取得最小值-2-√2.所以函数的值域是[-2-√2,178].例3[思路点拨](1)根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论;(2)首先求出参数a,再求最小正周期.(1)A(2)π[解析](1)对于①,y=cos|2x|=cos 2x,则它的最小正周期为2π2=π;对于②,y=|cos x|的最小正周期为12×2π1=π;对于③,y=cos(2x+π6)的最小正周期为2π2=π;对于④,y=tan(2x-π4)的最小正周期为π2.故选A.(2)∵函数f(x)=1+a sin(ax+π6)(a>0)的最大值为1+a,∴1+a=3,∴a=2,因此f(x)的最小正周期为2πa=π.例4[思路点拨](1)函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出ω=2,再由图像关于直线x=π3对称,求得φ=-π6,进而可求得f(x)的图像的对称中心.(1)D(2)B[解析](1)易知f(x)=12x2-x的图像关于直线x=1对称.对于选项A,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+kπ2(k∈Z);对于选项B,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+k(k∈Z);对于选项C,函数g(x)的图像不存在对称轴;对于选项D,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k(k∈Z),当k=1时,其中有一条对称轴为直线x=1,符合题意.故选D.(2)由题意可得2πω=π,∴ω=2,∴f (x )=A sin (2x+φ).∵函数f (x )的图像关于直线x=π3对称,∴f (π3)=A sin (2π3+φ)=±A ,即sin (2π3+φ)=±1.∵|φ|<π2,∴φ=-π6,故函数f (x )=A sin (2x -π6).令2x-π6=k π,k ∈Z ,可得x=kπ2+π12,k ∈Z ,故函数f (x )的图像的对称中心为kπ2+π12,0,k ∈Z .结合选项可知,函数f (x )的图像的一个对称中心是(π12,0).故选B .例5 [思路点拨] (1)由条件求出φ,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f (x )的单调递增区间,由(π3,π2)是所求单调递增区间的子集得出ω的取值范围.(1)C (2)C [解析] (1)∵π3为函数f (x )=sin (2x+φ)0<φ<π2的一个零点,∴f (π3)=sin (2π3+φ)=0,∴2π3+φ=k π(k ∈Z ),解得φ=k π-2π3(k ∈Z ). ∵0<φ<π2,∴φ=π3,∴f (x )=sin (2x +π3),令-π2+2k π≤2x+π3≤π2+2k π(k ∈Z ),则k π-5π12≤x ≤k π+π12(k ∈Z ), 故选C .(2)令2k π-π≤ωx+π3≤2k π,k ∈Z ,∵ω>0,∴2kπω-4π3ω≤x ≤2kπω-π3ω,k ∈Z , ∴函数f (x )=cos (ωx +π3)的单调递增区间为[2kπω-4π3ω,2kπω-π3ω],k ∈Z . ∵f (x )在(π3,π2)上单调递增,∴{π2≤2kπω-π3ω,π3≥2kπω-4π3ω,k ∈Z , 解得6k-4≤ω≤4k-23,k ∈Z .由题意知,π2-π3≤12×2πω,∴0<ω≤6,∴2≤ω≤103. 应用演练1.A [解析] ∵函数f (x )=cos (x+θ)(0<θ<π)在x=π3处取得最小值,∴cos (π3+θ)=-1,∴π3+θ=π+2k π,k ∈Z ,又∵0<θ<π,∴θ=2π3,即f (x )=cos (x +2π3).令-π+2k π≤x+2π3≤2k π,k ∈Z ,解得-5π3+2k π≤x ≤-2π3+2k π,k ∈Z ,又∵x ∈[0,π],∴k=1,∴f (x )在[0,π]上的单调递增区间是[π3,π],故选A .2.C [解析] 因为函数f (x )=cos x 是偶函数,所以c=f (ln 13)=f (ln 3).因为0<ln 2<ln 3<ln π<π,且函数f (x )在[0,π]上单调递减,所以f (ln 2)>f (ln 3)>f (ln π),即a>c>b.故选C .3.C [解析] 由题可知,函数的最小正周期T=2×2=4,所以ω=2π4=π2.令π2x+π6=k π+π2,k ∈Z ,解得x=2k+23,k ∈Z ,结合选项可知,x=23满足条件.故选C .4.π [解析] 易知T=2π2=π第20讲函数y=A sin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用【课前双基巩固】知识聚焦 1.2πωω2πωx+φ φ2.-φω π2-φω π-φω3π2-φω2π-φωπ2π3π22π3.|φ| |φω| 对点演练1.y=2sin x [解析] 根据函数图像变换法则可得.2.y=sin (x +3π4) [解析] 函数y=sin (x +π4)的图像向左平移π2个单位长度后得到y=sin (x +π2+π4)=sin (x +3π4)的图像,即原函数的解析式为y=sin x+3π4.3.π [-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z ) [解析] y=cos (2x -π2)=sin 2x ,所以函数的周期T=2π2=π.由-π2+2k π≤2x ≤π2+2k π(k ∈Z ),得-π4+k π≤x ≤π4+k π(k ∈Z ),故函数的单调递增区间为[-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z ).4.π6[解析] 将点(0,1)代入函数解析式,可得2sin φ=1,即sin φ=12.∵|φ|<π2,∴φ=π6.5.左 5π12[解析] y=cos (2x +π3)=sinπ2+(2x +π3)=sin (2x +5π6). 故要得到y=sin (2x +5π6)=sin 2(x +5π12)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向左平移5π12个单位长度.6.(0,1] [解析] 因为函数f (x )=12sin ωx 在区间[-π2,π2]上单调递增,所以T 2=πω≥π2+π2=π,所以ω≤1,又因为ω>0,所以ω∈(0,1]. 7.-5或-1 [解析] 由f (π8+t)=f (π8-t)得,函数f (x )的图像的对称轴为直线x=π8.故当x=π8时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-π6[解析] 由图像可知,T=4×7π12-π3=π,所以ω=2ππ=2.因为f (π3)=sin2π3+φ=1,所以2π3+φ=π2+2k π(k ∈Z ),即φ=-π6+2k π(k ∈Z ),又|φ|<π2,所以φ=-π6. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 根据图像平移“左加右减”的规则以及平移量确定结果.(1)A (2)A [解析] (1)由题意知,将f (x )=sin (2x +π4)的图像向左平移π8个单位长度后,得到y=sin [2(x +π8)+π4]=sin (2x +π2)=cos 2x 的图像,故选A .(2)把y=sin (2x +π2)图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,得到函数y=sin (x 2+π2)的图像,再把所得图像沿x 轴向右平移π3个单位长度,可以得到y=sin [12(x -π3)+π2]=sin (12x +π3)的图像.故选A .变式题 (1)C (2)A [解析] (1)将函数y=sin (x -π6)的图像向右平移π4个单位长度,得到y=sin (x -5π12)的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin (x 2-5π12)的图像,故选C .(2)由题意知,y=cos 3x=sin (3x +π2)=sin 3(x +π6),将函数y=sin 3(x +π6)的图像向右平移π6个单位长度,得到y=sin 3(x +π6-π6)=sin 3x 的图像,故选A .例2 [思路点拨] (1)先根据图像确定A ,T ,ω,θ,再根据平移得函数g (x )的解析式;(2)结合函数的图像首先确定ω的值,然后确定φ的值即可.(1)D (2)9π10[解析] (1)由题图得,A=2,T=7π8-(-π8)=π,∴ω=2πT=2.∵当x=3π8-π82=π8时,y=2,∴2×π8+θ=π2+2k π(k ∈Z ),∴θ=π4+2k π(k ∈Z ),又∵|θ|<π,∴θ=π4,∴f (x )=2sin (2x +π4),∴g (x )=2sin [2(x -π4)+π4]=2sin (2x -π4),故选D . (2)由题意可知,函数的最小正周期T=2×(2π-34π)=52π, 则ω=2πT =2π52π=45.当x=2π时,ωx+φ=45×2π+φ=2k π+π2(k ∈Z ), 则φ=2k π-1110π(k ∈Z ),由于-π≤φ<π,故φ=9π10.变式题 -5π6[解析] 根据函数f (x )=2sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像,且Aπ2,1,B (π,-1),可得从点A 到点B 正好经过了半个周期,即12×2πω=π-π2,∴ω=2.再把点A ,B 的坐标代入函数解析式,可得2sin 2×π2+φ=-2sin φ=1,2sin (2×π+φ )=2sinφ=-1,∴sin φ=-12,∴φ=2k π-π6或φ=2k π-5π6,k ∈Z .再结合“五点作图法”,可得φ=-5π6.例3 [思路点拨] (1)根据已知求得ω的值,然后求出φ的值,从而可求出f (x )的解析式,进而得到g (x )的解析式;(2)确定g (x )的单调性,然后求出最值. 解:(1)由题意可知,T 2=11π12-5π12=π2,∴ω=2,又sin (2×5π12+φ)=1,|φ|<π2,∴φ=-π3, ∴f (x )=sin (2x -π3), ∴g (x )=sin (4x +π6). (2)由(1)可知,g (x )在[0,π12]上为增函数,在[π12,π4]上为减函数,∴g (x )max =g (π12)=1,又∵g (0)=12,g (π4)=-12,∴g (x )min =g (π4)=-12,故函数g (x )在[0,π4]上的最大值和最小值分别为1和-12.变式题 (1)A (2)B [解析] (1)由题意知,g (x )=cos 2(x -π3)+θ=cos 2x-2π3+θ,令2x-2π3+θ=k π(k ∈Z ),则函数g (x )的图像的对称轴为直线x=π3-θ2+kπ2(k ∈Z ),令π3-θ2+kπ2=π4(k ∈Z ),则θ=π6+k π(k ∈Z ),又|θ|<π2,所以θ=π6.故选A .(2)观察图像可得,函数的最小值为-2,所以A=2.由图像可知函数过点(0,√3),所以√3=2sin φ,又因为π2<φ<π,所以φ=2π3.由图像可知,5π4·ω+2π3=3π2+2k π,k ∈Z ,解得ω=23+85k ,k ∈Z ,又T 2=πω>5π4,所以0<ω<45,所以ω=23,则f (x )=2sin (23x +2π3).显然A 选项错误;对于B ,f (x-π)=2sin23(x-π)+2π3=2sin 23x ,是奇函数,故B 选项正确;对于C ,观察图像可知,f (x )在[-π,π2]上不单调,故C 选项错误;对于D ,f (3π4)=2sin 23×3π4+2π3=2sin 7π6≠0,故D 选项错误.故选B .例4 [思路点拨] (1)注意到BA 1=AA 1,AH 1=H 1H ,从而知△AA 1H 1的周长为4,设AH 1=x ,从而可求得S △AA 1H 1;(2)令t=sin α+cos α,用t 表示S △AA 1H 1,根据t ∈(1,√2]可求得最大值. 解:(1)设AH 1=x ,由题意知,x+x sinα+x tanα=4, ∴x=4sinαsinα+cosα+1,∴S △AA 1H 1=12·x 2tanα=8sinαcosα(sinα+cosα+1)2,α∈(0,π2).(2)令t=sin α+cos α,∵α∈(0,π2),∴t ∈(1,√2].当八角形所覆盖的面积最大时,S △AA 1H 1取得最大值.由(1)可知,S △AA 1H 1=4(t 2-1)(t+1)2=4-8t+1,∴当t=√2,即α=π4时,S △AA 1H 1取得最大值,此时八角形所覆盖的面积最大,设为S ,则S=16+4×(4√2+1=64-32√2,∴八角形所覆盖面积的最大值为64-32√2.变式题 20.5 [解析] 因为当x=6时,y=a+A=28,当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5, 所以y=23+5cos π6(x-6),所以当x=10时,y=23+5cos (π6×4)=23-5×12=20.5.第21讲两角和与差的正弦、余弦和正切考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.【课前双基巩固】知识聚焦(1)sin αcos β±cos αsin β (2)cos αcos β∓sin αsin β (3)tanα±tanβ1∓tanαtanβ对点演练 1.√6+√24[解析] sin 75°=sin (45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=√22×√32+√22×12=√6+√24. 2.4−3√310[解析] ∵cos α=-35,α∈(π2,π),∴sin α=45,∴sin (α+π3)=sin αcos π3+cos αsin π3=45×12+(-35)×√32=4−3√310.3.-1 [解析] 原式=cos 65°cos 115°-sin 65°sin 115°=cos (65°+115°)=cos 180°=-1.4.7 [解析] tan (α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=7.5.-45 [解析] 因为tan5π4+α=tanπ4+α=17,所以1+tanα1−tanα=17,所以tan α=-34,又α∈π2,π,所以cos α=-4√3+(−4)=-45.6.sin (x -π3) [解析] 12sin x-√32cos x=cos π3sin x-sin π3cos x=sin (x -π3).7.√33[解析]1−tan15°1+tan15°=tan45°−tan15°1+tan45°tan15°=tan (45°-15°)=tan 30°=√33.8.2 [解析] 因为α+β=3π4,所以tan (α+β)=-1,即tanα+tanβ1−tanαtanβ=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan (π-α)](1-tanβ)=(1-tan α)(1-tan β)=2. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件,进而求解;(2)先利用已知条件求出tan α,再根据两角和的正切公式求解.(1)B (2)-√33[解析] (1)由sin (2α-β)=16,sin (2α+β)=12,可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=16①, sin 2αcos β+cos 2αsin β=12②,由①+②得2sin 2αcos β=23,所以sin 2αcos β=13.故选B . (2)∵cos (α+π6)=√32cos α-12sin α=√3cos α,∴-sin α=√3cos α,故tan α=-√3,∴tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=√3+√331+√3×√33=-2√332=-√33.变式题 (1)D (2)D[解析] (1)∵cos α=17,α∈(0,π2),∴sin α=√1−cos 2α=√1−(17)2=4√37, ∴cos (α-π3)=cos αcos π3+sin αsin π3=17×12+4√37×√32=1314.故选D .(2)由题意知,tan (α-π6)=tan [(α+π6)-π3]=tan (α+π6)-tan π31+tan (α+π6)tan π3=√31+√3=-2+√3.故选D .例2 [思路点拨] (1)首先利用两角差的余弦公式展开cos (x -π3),整理后再逆用两角差的余弦公式即可;(2)将两个条件等式分别平方相加即可.(1)B (2)-5972 [解析] (1)由题可知,cos x+cos (x -π3)=cos x+cos x cos π3+sin x sin π3=32cos x+√32sin x=√3(√32cosx +12sinx)=√3cos (x -π6)=√3×√33=1.故选B .(2)∵sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,∴(sin α+cos β)2=19,(sin β-cos α)2=14,即sin 2α+2sin αcosβ+cos 2β=19①,sin 2β-2sin βcos α+cos 2α=14②,由①+②得sin 2α+2sin αcos β+cos 2β+sin 2β-2sin βcos α+cos 2α=(sin 2α+cos 2α)+(cos 2β+sin 2β)+2(sin αcos β-sinβcos α)=1+1+2sin (α-β)=2+2sin (α-β)=1336,则sin (α-β)=-5972.变式题 (1)A (2)4 [解析] (1)√22cos 375°+√22sin 375°=√22cos 15°+√22sin 15°=cos (45°-15°)=cos 30°=√32.故选A .(2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan (20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4.例3 [思路点拨] (1)对条件整理可得cos (α+π3)=45,又α+π12=(α+π3)-π4,利用两角差的正弦公式求解;(2)根据角的变换得β=α+(β-α),利用已知条件先求出sin β的值,再求角β. (1)B (2)C [解析] (1)由cos (α+π6)-sin α=4√35, 得cos αcos π6-sin αsin π6-sin α=4√35,即√32cos α-32sin α=4√35, ∴12cos α-√32sin α=45,即cos (α+π3)=45. ∵α∈(-π3,0),∴α+π3∈(0,π3), ∴sin (α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=35,∴sin (α+π12)=sin [(α+π3)-π4]=√22sin (α+π3)-√22cos (α+π3)=√22×(35-45)=-√210,故选B . (2)因为sin α=2√55,sin (β-α)=-√1010,且α,β均为锐角,所以cos α=√55,cos (β-α)=3√1010,所以sin β=sin [α+(β-α)]=sinαcos (β-α)+cos αsin (β-α)=2√55×3√1010+√55×(-√1010)=25√250=√22,所以β=π4.故选C .变式题 (1)A (2)B [解析] (1)由题可知,0<π4+α<π2,π4<π4-β2<π2,所以sin (π4+α)=2√23,sin (π4-β2)=√63, 所以cos (α+β2)=cos (π4+α)-(π4-β2)=cos (π4+α)cos (π4-β2)+sin (π4+α)sin (π4-β2)=13×√33+2√23×√63=5√39.故选A .(2)因为π2<β<α<3π4,所以0<α-β<π4,π<α+β<3π2,由cos (α-β)=1213,得sin (α-β)=513,由sin (α+β)=-35,得cos (α+β)=-45,则sin 2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin (α-β)cos (α+β)+cos (α-β)sin (α+β)=513×(-45)+1213×(-35)=-5665,故选B .【备选理由】例1考查两角差的正切公式、基本不等式、正切函数的单调性,考查综合分析与运算的能力;例2主要考查三角函数中的恒等变换的应用,熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键;例3考查两角和与差的正弦公式的运用,关键是角的配凑,然后化简求值.例1 [配合例1使用] [2018·南充模拟] 若tan α=3tan β(0<β<α<π2),则α-β的最大值为 .[答案] π6[解析] ∵tan α=3tan β(0<β<α<π2),∴tan β>0,∴tan (α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2tanβ1+3tan 2β=21tanβ+3tanβ. ∵tan β>0,∴1tanβ+3tan β≥2√1tanβ·3tanβ=2√3,∴tan (α-β)≤√33,当且仅当3tan 2β=1,即tan β=√33时取等号,此时β=π6,tan α=3tan β,即tan α=√3,α=π3. 又0<β<α<π2,∴0<α-β<π2,∴0<tan (α-β)≤√33,又y=tan x 在(0,π2)上单调递增,∴当tan (α-β)取得最大值时,α-β的值最大,∴当α=π3,β=π6时,α-β的值最大,∴α-β的最大值为π3-π6=π6.例2 [配合例3使用] [2018·安徽皖江八校联考]2cos55°−√3sin5°cos5°的值为 .[答案] 1 [解析]2cos55°−√3sin5°cos5°=2cos(60°−5°)−√3sin5°cos5°=cos5°+√3sin5°−√3sin5°cos5°=1.例3 [配合例3使用] [2018·安阳模拟] 已知m=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ),若sin 2(α+γ)=3sin 2β,则m=( )A .12B .34C .32 D .2[解析] D ∵sin 2(α+γ)=3sin 2β,∴sin [(α+β+γ)+(α+γ-β)]=3sin [(α+β+γ)-(α+γ-β)], ∴sin (α+β+γ)cos (α+γ-β)+cos (α+β+γ)sin (α+γ-β) =3sin (α+β+γ)cos (α+γ-β)-3cos (α+β+γ)sin (α+γ-β), ∴-2sin (α+β+γ)cos (α+γ-β)=-4cos (α+β+γ)sin (α+γ-β), 即sin(α+β+γ)cos(α+γ-β)cos(α+β+γ)sin(α+γ-β)=tan(α+β+γ)tan(α-β+γ)=2,∴m=2.故选D .第22讲二倍角公式与简单的三角恒等变换考试说明能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)2sin αcos α (2)cos 2α-sin 2α 2cos 2α-1 1-2sin 2α (3)2tanα1−tan 2α2.(1)2sin 2α22cos 2α2(2)sin α2±cosα22(3)1−cos2α2 1+cos2α21−cos2α1+cos2α (4)1−tan 2α21+tan 2α22tan α21−tan 2α2(5)√a 2+b 2sin (α+φ)对点演练1.-√2 [解析] sin 15°-√3cos 15°=212sin 15°-√32cos 15°=2(sin 30°sin 15°-cos 30°cos15°)=-2cos (30°+15°)=-2cos 45°=-√2. 2.π [解析] f (x )=sin 2x-12=-cos2x2,故f (x )的最小正周期T=2π2=π.3.-14[解析] 由cos (α+β)=13,cos (α-β)=15,得{cosαcosβ-sinαsinβ=13,cosαcosβ+sinαsinβ=15, 解得{cosαcosβ=415,sinαsinβ=−115, 所以tan αtan β=sinαsinβcosαcosβ=-14. 4.-2425 [解析] ∵sin θ=35,θ为第二象限角,∴cos θ=-45,∴sin 2θ=2sin θcos θ=2×35×(-45)=-2425. 5.79 [解析] 由题意知,cos (π3-2α)=1-2sin 2(π6-α)=1-29=79.6.3π4[解析] tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=7+431−7×43=-1,又0<α+β<π,所以α+β=3π4.7.2k π-π4,k ∈Z [解析] sin α-cos α=√2√22sin α-√22cos α,则cos φ=√22,sin φ=-√22,所以φ=2k π-π4,k ∈Z .8.-12[解析] 因为2α∈0,π2,所以α∈0,π4,所以sin α-cos α<0,所以sin α-cosα=-√(sinα-cosα)2=-√1−2sinαcosα=-√1−34=-12. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先根据余弦的二倍角公式降幂,再根据两角和与差的余弦公式化简得结果;(2)先化切为弦,再通分,然后利用两角差的余弦公式求解. (1)B (2)C [解析] (1)cos 2(x -π12)+sin 2(x+π12)=1+cos (2x -π6)2+1−cos (2x+π6)2=1+12cos 2x cos π6+sin 2x sinπ6-cos 2x cos π6-sin2x sinπ6=1+sin 2x sin π6=1+12sin 2x ,故选B .(2)tan α+1tan (π4+α2)=sinαcosα+cos (π4+α2)sin (π4+α2)=sinαsin (π4+α2)+cosαcos (π4+α2)cosαsin (π4+α2)=cos (π4+α2-α)cosαsin (π4+α2)=cos (π4-α2)cosαsin (π4+α2)=sin (π4+α2)cosαsin (π4+α2)=1cosα.故选C .变式题 D [解析]√1+sin6+√1−sin6=√(√1+sin6+√1−sin6)2=√1+sin6+1−sin6+2√(1+sin6)(1-sin6)=√2+2cos6=√2+2(2cos 23−1)=√4cos 23=-2cos 3.例2 [思路点拨] (1)根据两角差的正弦公式进行化简,求得sin β的值,再根据二倍角公式,即可得到答案;(2)由已知条件求得sin θcos θ的值,再由二倍角的正、余弦公式及诱导公式求值.(1)A (2)B [解析] (1)由题意得sin (α-β)cos α-cos (α-β)sin α=sin (-β)=-sin β=35, 所以sin β=-35,所以cos 2β=1-2sin 2β=725,故选A . (2)由tan θ+1tanθ=4, 得sinθcosθ+cosθsinθ=4,即sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=4, ∴sin θcos θ=14, ∴cos 2(θ+π4)=1+cos (2θ+π2)2=1−sin2θ2=1−2sinθcosθ2=1−2×142=14. 变式题 (1)A (2)B [解析] (1)∵α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=cos α=13,∴sin α=-2√23,tan α=-2√2, ∴tan (π+2α)=tan 2α=2tanα1−tan 2α=-4√2-7=4√27. (2)cos (2π3+2α)=cos [π-(π3-2α)]=-cos (π3-2α)=-cos 2(π6-α)=-1-2sin 2(π6-α)=-(1−2×19)=-79.例3 [思路点拨] 首先利用同角三角函数关系式,将切化弦,之后利用诱导公式化简,借助于两角差的正弦公式及辅助角公式求得结果. C[解析] 2cos10°sin70°-tan 20°=2cos10°sin70°-sin20°cos20°=2cos10°−sin(30°−10°)sin70°=32cos10°+√32sin10°sin70°=√3sin(10°+60°)sin70°=√3,故选C .变式题 C [解析] 原式=sin70°cos70°·cos 10°(√3·sin20°cos20°-1)=cos20°cos10°sin20°·(√3sin20°−cos20°cos20°)=cos10°sin20°×2sin (20°-30°)=-sin20°sin20°=-1. 例4 [思路点拨] 转化为求cos (α+β)的值,再求角α+β的值. A [解析] ∵α∈[π4,π],∴2α∈[π2,2π], 又0<sin 2α=√55<12,∴2α∈(5π6,π),即α∈(5π12,π2),∴cos 2α=-√1−sin 22α=-2√55.∵β∈[π,3π2],∴β-α∈(π2,13π12), 又sin (β-α)=√1010,∴β-α∈(π2,π),∴cos (β-α)=-√1−sin 2(β-α)=-3√1010, ∴cos (α+β)=cos [2α+(β-α)]=cos 2αcos (β-α)-sin 2αsin (β-α)=-2√55×(-3√1010)-√55×√1010=√22. 又α∈(5π12,π2),β∈[π,3π2],∴α+β∈(17π12,2π),∴α+β=7π4,故选A .变式题-3π4[解析] ∵α∈(0,π),tan α=tan [(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1−tan(α-β)tanβ=12-171+12×17=13>0,∴0<α<π2. 又∵tan 2α=2tanα1−tan 2α=2×131−(13)2=34>0,∴0<2α<π2,∴tan (2α-β)=tan2α-tanβ1+tan2αtanβ=34+171−34×17=1.∵β∈(0,π),tan β=-17<0,∴π2<β<π,∴-π<2α-β<0, ∴2α-β=-3π4.例5 [思路点拨] (1)利用两角差的正弦公式和倍角公式对函数解析式化简整理,利用函数的最大值求得a ,进而根据正弦函数的单调性得到f (x )的单调递减区间;(2)由题意易得sin (α-π6)=35,进而得到cos (α-π6)=45,利用配角法可得cos α=cos α-π6+π6,从而得到结果.解:(1)由题意知,f (x )=4cos x ·sin (x -π6)+a=4cos x ·(√32sinx -12cosx)+a=2√3sin x cos x-2cos 2x+a=√3sin 2x-cos2x-1+a=2sin (2x -π6)-1+a.当sin (2x -π6)=1时,f (x )取得最大值,此时f (x )=2-1+a=3,∴a=2. 由π2+2k π≤2x-π6≤3π2+2k π,k ∈Z ,得π3+k π≤x ≤5π6+k π,k ∈Z ,∴f (x )的单调递减区间为π3+k π,5π6+k π,k ∈Z .(2)由(1)可知,f (x )=2sin (2x -π6)+1,∵f (α2)=115,∴sin (α-π6)=35, 又α∈(0,π2),∴α-π6∈(-π6,π3),∴cos (α-π6)=45,∴cos α=cos [(α-π6)+π6]=√32cos (α-π6)-12sin (α-π6)=4√3-310. 变式题解:(1)依题意得f (x )=sin x+√3cos x+1=2sin (x +π3)+1. 因为-2≤2sin (x +π3)≤2,所以-1≤2sin (x +π3)+1≤3, 即函数f (x )的值域是[-1,3].令-π2+2k π≤x+π3≤2k π+π2,k ∈Z ,解得-5π6+2k π≤x ≤π6+2k π,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为[-5π6+2kπ,π6+2kπ],k ∈Z . (2)由f (α)=2sin (α+π3)+1=135,得sin (α+π3)=45. 因为π6<α<2π3,所以π2<α+π3<π,所以cos (α+π3)=-35, 所以sin (2α+2π3)=sin 2(α+π3)=2sin (α+π3)cos (α+π3)=-2×45×35=-2425.【备选理由】例1考查三角函数式的化简;例2是给值求值问题;例3是给角求值问题的补充,给出的是非特殊角;例4是给值求角问题,选择相应的三角函数求值是解题的关键.例1 [配合例1使用] 化简:sin (α+β)cos α-12[sin (2α+β)-sin β]= .[答案] sin β[解析] 原式=sin (α+β)cos α-12[sin (α+β+α)-sin β]=sin (α+β)cos α-12[sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α-sin β] =12[sin (α+β)cos α-cos (α+β)sin α]+12sin β =12sin β+12sin β=sin β.例2 [配合例2使用] [2018·资阳三诊] 已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,若它的终边经过点P (2,1),则tan (2α+π4)= ( )A .-7B .-17C .17D .7[解析] A 由角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,且它的终边经过点P (2,1),可得tan α=12,∴tan2α=2tanα1−tan 2α=11−14=43,∴tan (2α+π4)=tan2α+tan π41−tan2αtan π4=43+11−43×1=-7.故选A .例3 [配合例3使用] 若a=√2(cos 216°-sin 216°),b=sin 15°+cos 15°,c=√1+cos56°,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c<b<aB .b<c<aC .a<b<cD .b<a<c[解析] C a=√2(cos 216°-sin 216°)=√2cos 32°,b=sin 15°+cos 15°=√2cos 30°, c=√1+cos56°=√2cos 228°=√2cos 28°, 又∵y=cos x 在(0°,90°)上单调递减,∴cos 28°>cos 30°>cos 32°, ∴c>b>a.故选C .例4 [配合例4使用] 已知α,β均为锐角,且sin α=√55,cos β=√1010,则α-β的值为 .[答案] -π4[解析] ∵α,β均为锐角,sin α=√55,cos β=√1010,∴cos α=√1−sin 2α=2√55,sin β=√1−cos 2β=3√1010, ∴sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=√55×√1010-2√55×3√1010=-√22.又∵-π2<α-β<π2,∴α-β=-π4.第23讲正弦定理和余弦定理考试说明 1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理. 2.能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【课前双基巩固】知识聚焦 1.b sinBc sinCb 2+c 2-2bc cos A c 2+a 2-2ac cos B a 2+b 2-2ab cos C 2R sin B 2R sin C sin A∶sin B∶sin Cb 2+c 2-a 22bc a 2+c 2-b22caa 2+b 2-c 22ab2.一解两解一解一解对点演练 1.2√63[解析] 易知A=75°,角B 最小,所以边b 最短.由正弦定理b sinB =c sinC ,得b sin45°=2sin60°,解得b=2√63. 2.√7 [解析] 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=52+(2√3)2-2×5×2√3cos 30°=7,所以c=√7. 3.60° [解析] 因为cos C=a 2+b 2-c 22ab=12,所以C=60°.4.4√3 [解析] 因为sin C=√1−cos 2C =2√23,所以△ABC 的面积S=12ab sin C=4√3.5.A=B A>B [解析] 根据正弦定理知,在△ABC 中有sin A=sin B ⇔a=b ⇔A=B ,sin A>sin B ⇔a>b ⇔A>B.6.45° [解析] 由正弦定理知a sinA =bsinB,则sin B=bsinA a=√2×√324√3=√22.又a>b ,所以A>B ,所以B 为锐角,故B=45°.7.√73√32[解析] 易知c=√4+9−2×2×3×12=√7,△ABC 的面积等于12×2×3×√32=3√32.8.直角 [解析] ∵c cos A=b ,∴由正弦定理得sin C cos A=sin B=sin (A+C )=sin A cos C+cos A sin C , 整理得sin A cos C=0,∵sin A ≠0,∴cos C=0,即C=90°,则△ABC 为直角三角形. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理将b sin C 表示为关于C 的三角函数,再结合C 的取值范围求最大值. 解:(1)由a=√3,b 2+c 2=3+bc ,得b 2+c 2-a 22bc=3+bc -a 22bc =12, 即cos A=12,又∵A ∈(0,π),∴A=π3. (2)由正弦定理,得b=asinAsin B=2sin B , ∴b sin C=2sin C sin B=2sin C sin (2π3-C)=2sin C (12sinC +√32cosC)=sin 2C+√3sin C cos C=√32sin 2C-12cos2C+12=sin (2C -π6)+12.∵0<C<2π3,∴-π6<2C-π6<7π6,∴当sin (2C -π6)=1,即C=π3时,b sin C 取得最大值32. 变式题 (1)B (2)√10 [解析] (1)由1+tanA tanB =2cb得1+sinAcosB cosAsinB =2sinCsinB,整理得sin B cos A+sin A cos B=2sin C cos A ,所以sin (A+B )=sin C=2sin C cos A ,所以cos A=12. 又因为A ∈(0,π),所以sin A=√32.由正弦定理a sinA =csinC,得sin C=csinA a=√22,所以C=π4.故选B .(2)由正弦定理可得sinA sinB =BCAC,因为A+B+C=π,所以cos (A+B )=-cos C , 则由已知条件可知BC AC =-12cosC =√22,又BC ·AC=2√2,可得BC=√2,AC=2,由余弦定理得AB=√BC 2+AC 2-2·BC ·AC ·cosC =2)√10.例2 [思路点拨] 由b 2+c 2=a 2+bc 及余弦定理可得A=π3,由sin B ·sin C=sin 2A 及正弦定理可得bc=a 2,结合b 2+c 2=a 2+bc 可得b=c. C [解析] 在△ABC 中,∵b 2+c 2=a 2+bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 22bc=bc 2bc =12. 又∵A ∈(0,π),∴A=π3.∵sin B ·sin C=sin 2A ,∴bc=a 2.又由b 2+c 2=a 2+bc ,得(b-c )2=a 2-bc=0,∴b=c , ∴△ABC 的形状是等边三角形.故选C . 变式题 D [解析] 由条件可得sinA a 2cosA=sinBb 2cosB,由正弦定理可得aa 2cosA=bb 2cosB,整理可得a cos A=b cos B ,所以sin A cos A=sin B cos B ,即sin 2A=sin 2B ,所以2A=2B 或2A=π-2B , 所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.例3 [思路点拨] (1)利用已知条件,结合正弦定理以及余弦定理即可求出角A 的大小;(2)利用正弦定理以及三角形的面积公式求解a.解:(1)由b sin B+(c-b )sin C=a sin A 及正弦定理得b 2+(c-b )c=a 2,即b 2+c 2-bc=a 2,由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,又∵A ∈(0,π),∴A=π3. (2)由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC,可得b=asinB sinA ,c=asinCsinA ,∴S △ABC =12bc sin A=12·asinBsinA ·asinCsinA ·sin A=a 2sinBsinC2sinA=2√3, 又sin B sin C=38,sin A=√32,∴√38a 2=2√3,∴a=4.变式题解:(1)由a 2-bc=(b-c )2可得b 2+c 2-a 2=bc ,∴cos A=12,又∵A ∈(0°,180°),∴sin A=√32,∴S △ABC =12bc sin A=√34.(2)∵cos A=-cos (B+C )=12,∴sin B sin C-cos B cos C=12,又cos B cos C=14,∴sin B sin C=34. 由正弦定理得(a sinA )2=bc sinBsinC =43,∴a=1, ∴b 2+c 2-a 2=(b+c )2-2bc-1=(b+c )2-3.又∵b 2+c 2-a 2=1,∴b+c=2,∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2=3.【备选理由】例1考查了利用正弦、余弦定理解三角形;例2考查了利用二倍角公式、余弦定理以及勾股定理判断三角形的形状;例3考查了求三角形的面积的最大值;例4考查了与三角形面积有关的问题,涉及三角形的中线以及利用基本不等式求解边的最值等问题.例1 [配合例1使用] [2018·莆田六中月考] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c (sin C-sin A )=(sin A+sinB )(b-a ).(1)求角B 的大小;(2)若c=8,点M ,N 是线段BC 的两个三等分点,且BM=13BC ,ANBM=2√3,求AM 的值.解:(1)∵c (sin C-sin A )=(sin A+sin B )(b-a ),∴由正弦定理得c 2-ca=b 2-a 2,∴a 2+c 2-b 2=ca ,∴cos B=a 2+c 2-b 22ca=12,又0<B<π,∴B=π3.(2)设BM=x ,则BN=2x ,AN=2√3x ,又B=π3,AB=8,∴在△ABN 中,由余弦定理得12x 2=64+4x 2-2×8×2x cos π3,解得x=2(负值舍去),即BM=2,∴在△ABM 中,由余弦定理得AM=√AB 2+BM 2-2·AB ·BM ·cos π3=√82+22-2×8×2×12=√52=2√13.例2 [配合例2使用] 已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且cos 2A 2=12+b2c ,则△ABC 为 ( )A .正三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形[解析] B ∵cos 2A2=12+b 2c,∴1+cosA 2=12+b2c ,即cos A=b c,∴b 2+c 2-a 22bc =b c ,则c 2=a 2+b 2,故△ABC 为直角三角形,故选B .例3 [配合例3使用] [2018·三明一中月考] 如图所示,在平面四边形ABCD 中,AB=1,CB=2,△ACD 为正三角形,则△BCD 的面积的最大值为 .[答案] 1+√3[解析] 在△ABC 中,设∠ABC=α,∠ACB=β,由余弦定理可知AC 2=12+22-2×1×2cos α=5-4cos α.∵△ACD 为正三角形,∴CD 2=5-4cos α, 由正弦定理得1sinβ=AC sinα, ∴AC·sin β=sin α,∴CD·sin β=sin α.∵(CD ·cos β)2=CD 2(1-sin 2β)=CD 2-sin 2α=5-4cos α-sin 2α=(2-cos α)2,β<∠BAC , ∴β为锐角,CD ·cos β=2-cos α,∴S △BCD =12×2·CD sin (π3+β)=CD sin (π3+β)=√32CD ·cos β+12CD ·sin β=√32×(2-cos α)+12sin α=√3+sin (α-π3), ∴当α=5π6时,△BCD 的面积最大,最大值为1+√3.例4 [配合例3使用] [2018·三明一中月考] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b , c ,且△ABC 的面积为12c (a sin A+b sinB-c sin C ). (1)求角C 的大小;(2)若D 为AB 的中点,且c=2,求CD 的最大值.解:(1)依题意得,12ab sin C=12c (a sin A+b sin B-c sin C ), 由正弦定理得,abc=c (a 2+b 2-c 2),即a 2+b 2-c 2=ab ,由余弦定理得,cos C=a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =12,又因为C ∈(0,π),所以C=π3. (2)在△ACD 中,AC 2=AD 2+CD 2-2AD ·CD cos ∠ADC ,即b 2=1+CD 2-2CD cos ∠ADC , 在△BCD 中, BC 2=BD 2+CD 2-2BD ·CD cos ∠BDC ,即a 2=1+CD 2-2CD cos ∠BDC.因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos ∠ADC=-cos ∠BDC ,所以CD 2=12(a 2+b 2)-1. 由(1)及c=2得,a 2+b 2-4=ab ≤12(a 2+b 2),当且仅当a=b=2时,等号成立, 所以12(a 2+b 2)≤4,所以CD 2=12(a 2+b 2)-1≤3,即CD ≤√3, 所以CD 的最大值为√3.第24讲正弦定理和余弦定理的应用考试说明能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.水平视线上方下方2.正北方向3.水平角4.水平面水平长度对点演练。

第五章三角函数综合培优提升卷高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第五章三角函数综合培优提升卷一、单选题1．已知函数()sin 3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是éë；②函数4f x p æö+ç÷èø为奇函数；③函数()f x 在区间,32p p éùêëû单调递减；④若对任意x ÎR ，都有()()()12f x f x f x ££成立，则12x x -的最小值为3p；其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题：①x R "Î，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ¹"Î恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ④()y f x =在[,66p p-上是增函数.以上命题中正确的为（）A ．①②③④B ．②③C ．①②③D ．①②④3．被誉为“中国现代数学之父”“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比t =2sin18°，则=（）A ．4B 1C ．2D ．124．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积12=（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB 等于O ，，则AOB Ð=（）A ．4p B ．3pC ．2pD ．23p 5．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ³ì=í<î，给出下列四个命题：①该函数的值域为[]1,1-；②当且仅当()22x k k Z pp =+Î时，该函数取得最大值；③该函数是以p 为最小正周期的周期函数；④当且仅当()3222k x k k Z pp p p +<<+Î时，()0f x <.上述命题中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．46．若将函数1()sin 223f x x p æö=+ç÷èø图象上的每一个点都向左平移3p个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（）A ．,()44k k k p p p p éù-+ÎêúëûZ B ．3,()44k k k p p p p éù++ÎêúëûZ C ．2,()36k k k p p p p éù--ÎêúëûZ D ．5,()122k k k p p p p éù-+ÎêúëûZ 7．已知()sin(2)(0)6f x x pw f w =+->同时满足下列三个条件：①T p =；②()6y f x p=+是奇函数；③(0)()3f f p<.若()f x 在[0,)a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是A ．511(,]612p p B ．5(0,]12p C ．11(0,]12pD ．511(,]1212p p 8．已知函数()sin f x x =.若存在12,,,m x x x L 满足1206m x x x p <<<L ……，且()()12f x f x -+ ()()()()()*231||||122,m m f x f x f x f x m m --++-=ÎN L …，则m 的最小值为A ．9B ．8C ．7D ．6二、多选题9．已知函数()sin()f x A x w j =+（其中0,0,0A w j p >><<）的图象关于点5,012M p æöç÷èø成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N p æö-ç÷èø，则下列判断正确的是（）A ．函数()sin()f x A x w j =+中,2T p w ==B ．直线2x p=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．点,012p æö-ç÷èø是函数()f x 的一个对称中心D ．函数1y =与35()1212y f x x pp æö=-££ç÷èø的图象的所有交点的横坐标之和为7p10．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（）A ．转动10min 后点P 距离地面10mB ．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的12C ．第17min 和第43min 点P 距离地面的高度相同D ．摩天轮转动一圈，点P 距离地面的高度不低于70m 的时间为5min11．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x £ì=í>î，下列四个结论正确的是（）A ．()f x 是以p 为周期的函数B ．当且仅当()x k k p p =+ÎZ 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k pp =+ÎZD ．当且仅当22()2k x k k pp p <<+ÎZ 时，0()f x <£12．已知()()22210f x cos x x w w w =->的最小正周期为p ，则下列说法正确的有（）A ．2w =B ．函数()f x 在[0,6p上为增函数C ．直线3x p=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．是函数()y f x =图象的一个对称中心三、填空题13．函数f (x )＝3sin (2)3x p-的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝12p对称；②图象C 关于点2(,0)3p对称；③函数f (x )在区间5(,)1212p p-内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移3p个单位长度可以得到图象C ．14．已知函数2()ln(1)f x x =+，2()4(1)sin 26g x m x m p æö=-+-ç÷èø，若1[1,3]x "Î-，20,2x p éù"Îêúëû， 12()()f x g x ≥，则m 的取值范围是__________.15．现有下列命题：①存在x ÎR ，使得221sincos 222x x +=；②存在x y ÎR 、，使得sin()sin sin x y x y -=-；③对于任意的[]0,x p Îsin x =；④sin cos 2x y x y p=Þ+=.其中，假命题是___________.（选填序号）16．已知函数()()sin f x A x =+w j 0,0,||2A p w j æö>><ç÷èø2p ，且()f x 的图象关于直线3x p=-对称，则当,66x p p éùÎ-êúëû时，函数()f x 的最小值为______.四、解答题17．已知函数()2sin cos 244f x x x xp p æöæö=--ç÷ç÷èøèø（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间0,2p éùêúëû上的最大最小值及相应的x 值.18．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x pæö=+×++--ç÷èø.（1）求满足()1f x ³的实数x 的取值集合；（2）当a ³-时，若函数()()()12122g x f x a f x a f x a p éùæö=+×-×---ç÷êúèøëû在,42p p éù-êúëû的最大值为2，求实数a 的值.19．已知函数()22sin 24f x x x pæö=+ç÷èø .(1) 求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2) 若关于x 的方程()2f x m -=在x ,42p p éùÎêúëû上有解,求实数m 的取值范围.20．若2()122cos 2sin f x a a x x =--- 的最小值为()g a .（1）求()g a 的表达式；（2）求能使1()2g a =的值，并求当a 取此值时，()f x 的最大值.21．设函数()sin(sin()62f x x x p p w w =-+-，其中03w <<.已知()06f p=.（Ⅰ）求w ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4p个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44p p-上的最小值.22．设函数()f x =Asin ()x w f +（A>0，w >0，p -<f ≤p ）在6x p=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2p．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()g x = 4226cos sin 1226x x x f p --éùæö+-ç÷êúèøëû的值域．参考答案1．C【解析】由题意，())4f x x p =-，所以()f x Îéë，故①正确；4f x p æö+=ç÷èø)]44x p p +-=2x p +=x 为偶函数，故②错误；当,32x p p éùÎêúëû时，353[,444x pp p-Î，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ÎR ，都有()()()12f x f x f x ££成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T p=，故④正确.故选：C.2．D【解析】①()cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确；②(2)()f x f x p +=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =Î-，则3()22y t t t =-，令2260y t ¢=-=，得t =(1)0,y y -==④当,66x p p éùÎ-êúëû时，11sin ,22x ééùÎ-Íêêëûë，所以()f x 在,66p p éù-êúëû上为增函数，正确.故选：D .3．D【解析】解：把2sin18t °=代入sin 3614sin18cos182°°°===故选：D 4．D【解析】解：由题意，作出示意图得点C 为弦AB 的中点，则OC AB ^，设OC d =，设该圆的半径为r ，∴2224AB d r +=，∵AB =，∴223r d -=，由题意，“弦”指AB ，“矢”指r d -，∵，∴()()212AB r d r d éù×-+-=ëû=即)()21r d r d -+-=，解得1r d -=，或()1r d -=-（舍去），∴2231r d r d ì-=í-=î，解得21r d =ìí=î，∴3AOC pÐ=，∴23AOB pÐ=，故选：D ．5．A【解析】由题意可知(){}max sin ,cos f x x x =，对于命题③，max sin ,cos 333f p pp æöìü==íýç÷èøîþ4441max sin ,cos 3332f p pp æöìü==-íýç÷èøîþ，则433f f pp æöæö¹ç÷ç÷èøèø，所以，函数()y f x =不是以p 为周期的周期函数，命题③错误；由于()()(){}{}()2max sin 2,cos 2max sin ,cos f x x x x x f x p p p +=++==，所以，函数()y f x =是以2p 为周期的周期函数.作出函数()y f x =在区间[]0,2p 上的图象如下图（实线部分）所示：由图象可知，该函数的值域为éùêúëû，命题①错误；当()2x k k Z p =Î或()22x k k Z pp =+Î时，该函数取得最大值，命题②错误；当且仅当()3222k x k k Z pp p p +<<+Î时，()0f x <，命题④正确.故选：A.6．B【解析】将函数1()sin 223f x x p æö=+ç÷èø图像上的每一个点都向左平移3p 个单位，得到11()sin 2sin 22332g x x x p p éùæö=++=-ç÷êúèøëû的图像，故本题即求sin 2y x =的减区间，令3222()22k x k k ppp p +££+ÎZ ，解得3()44k x k k ppp p +££+ÎZ ，故函数()g x 的单调递增区间为3,()44k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ，故选：B .7．A【解析】()f x Q 的周期T p =，22pp w\= ，1w \=，()sin 26f x x p f æö\=+-ç÷èø，6f x p æö+ç÷èøQ 是奇函数，()f x \关于,06pæöç÷èø对称，2,66k k Z ppf p \´+-=Î，解得：,6k k Z pf p =-+Î，()03f f p æö<ç÷èøQ ，3sin sin cos 622p p f f f f æöæö\-<+Þ<ç÷ç÷èøèø ，即sin f f <，Q ,6k k Z pf p =-+Î，2,6k k Z pf p \=-+Î，()sin 23f x x p æö\=-ç÷èø，当[)0,x a Î时，2,2333x a ppp éö-Î--÷êëø，由图象可知若满足条件，432332a p p p<-£，解得：511612a p p<£.故选：A 8．B【解析】由正弦函数的值域，可知()()()()()()122312,2,,2m m f x f x f x f x f x f x ----L ………，因为1206m x x x p <<<£L …，所以等号不可能同时成立，所以()()()()122312f x f x f x f x =-+-++L ()()()121m m f x f x m --<-，解得7m >，又因为*m ÎN ，所以min 8m =，故选B.9．ACD【解析】解：函数()sin()f x A x w j =+（其中0A >，0>w ，0)j p <<的图象关于点5(,0)12M p成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3N p-，则2543124T p p p =-=，T p \=，进一步解得22pw p==，3A =，故A 正确．由于函数()sin()f x A x w j =+（其中0A >，0>w ，0)j p <<的图象关于点5(,0)12M p成中心对称，52()12k k Z pj p \´+=Î，解得56k j p =p -，由于0j p <<，\当1k =时，6π=j ．()3sin(2)6f x x p\=+．对于B ：当2x p=时，3()3sin262f p p=-=-，故B 不正确；对于C ：由26x k pp +=，k Z Î，解得212k x p p=-，k Z Î，当0k =时，对称中心为：,012p æö-ç÷èø，故C 正确；对于D ：由于：351212x pp-……，则：0266x pp +……，\函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标从左到右分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，由2262x k ppp +=+，k Z Î，解得6x k pp =+，k Z Î，所以12263x x pp+=´=，432263x x p p p p æö+=´+=+ç÷èø，5622463ππx x ππæö+=´+=+ç÷èø，所以156********3x x x x x x pppp p p+++++=++++=所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为7p ，故D 正确．\正确的判断是ACD ．故选：ACD ．10．AC【解析】解：Q 摩天轮20min 转一圈，\在(min)t 内转过的角度为22010t t p p=，建立平面直角坐标系，如图，设(02)j j p ……是以x 轴正半轴为始边，00(OP P 表示点P 的起始位置)为终边的角，以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为()10t pj +，即点P 的纵坐标为40sin()10t pj +，又由题知，P 点起始位置在最高点处，\2j p=P \点距地面高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为：5040sin()102h t pp=++即5040cos10h tp=+当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =，则其周期变为原来的2倍，故B 错误；第17min P 点距安地面的高度为173(17)40cos5040cos 501010h p p=+=+第20min P 点距离地面的高度为433(43)40cos5040cos 501010h p p=+=+第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即40cos 507010t p+…，即1cos 102tp ，020t Q ……，得0210tp p ……，\0103tp p……或52310t p p p ……，解得1003t ……或50203t ……，共20min 3，故D 错误．故选：AC ．11．CD【解析】解：函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ì=í>î…的最小正周期为2p ，画出()f x 在一个周期内的图象，可得当52244k x k ppp p ++……，k Z Î时，()cos f x x =，当592244k x k p p p p +<+…，k Z Î时，()sin f x x =，可得()f x 的对称轴方程为4x k pp =+，k Z Î，当2x k p p =+或322x k pp =+，k Z Î时，()f x 取得最小值1-；当且仅当22()2k x k k Z pp p <<+Î时，()0f x >，()f x 的最大值为(4f p =0()f x <…，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．12．BD【解析】()cos 222sin 26f x x x x p w w w æö=+=+ç÷èø，22pp w=，1w \= ()2sin 26f x x p æö\=+ç÷èø ，故A 不正确；当0,6x p éùÎêúëû时，2,662x p p p éù+Îêúëû 是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确；当3x p =时，52366p p p ´+=，51sin 162p =¹±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、当512x p =时，52126p p p ´+=，sin 0p =，所以5,012p æöç÷èø是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确.故选：BD 13．②③【解析】因为f (x )＝3sin (2)3x p-对于①：由()232x k k Z ppp -=+Î得：()5122k x k Z p p =+Î，所以f (x )＝3sin (2)3x p -的对称轴方程为：()5122k x k Z p p=+Î，令512212k x p p p =+=，解得：23k Z =-Ï，故①错误；对于②：因为3sin 2022333f p p p æöæö=´=çè-÷ç÷øèø，所以图象C 关于点2(,0)3p对称；故②正确；对于③：令()222232k x k k Z pppp p -+£-£+Î，解得：()51212k x k k Z ppp p -+££+Î，所以f (x )的递增区间为()5,,1212k k k Z p p p p éù-++Îêúëû，当k =0时，5(,1212p p-是f (x )的一个递增区间，故③正确；对于④：y ＝3sin2x 的图象向右平移3p个单位长度可以得到23sin23sin 23sin 2333y x x x p p p æöæöæö-=-¹-ç÷ç÷ç÷èøèøèø＝，故④错误.故答案为：②③14．(,1[1)-¥-È-+¥【解析】解：记()f x 在区间[1,3]-上的最小值为[]min ()f x ，()g x 在区间[0,]2p的最大值为[]()max g x ，由题意可知[][]()()min max f x g x ³.由211[1,10]x +Î，可得[]()0min f x =，由272[,666x p p p +Î，可得21sin(2)[,1]62x p +Î-，由[]()0maxg x £，得2214(1)0,24(1)0,m m m m ì-´--£ïíï--£î解之，得1x £-1x ³-所以，m的取值范围是(,1[1)-¥-È-+¥.故答案为：(,1[1)-¥-È-+¥.15．①④【解析】①对任意x ÎR ，22sincos 122x x+=，故错误；②取0x y ==，则sin()sin 00,sin sin 000x y x y -==-=-=，所以此时sin()sin sin x y x y -=-成立，故正确；③任意的[]0,x p Î，sin 0x ³sin sin x x ==，故正确；④取,2x y pp ==，sin cos 0x y ==，32x y p+=，故错误；故答案为：①④.16．【解析】由题意可得()max A f x =()y f x =的最小正周期为T ，则22T p=，得T p =，22Tpw \==，此时，()()2f x x j =+.因为函数()y f x =的图象关于直线3x p=-对称，则()232k k Z p p j p æö´-+=+Îç÷èø，()76k k Z p j p \=+Î，2p j <Q ，1k \=-，6π=j ，则()26f x x p æö=+ç÷èø.,66x p p éùÎ-êúëûQ ，2662x p p p \-£+£，因此，函数()y f x =在区间,66p p éù-êúëû6p æö-=ç÷èø故答案为：17．(1)p ；(2)当6x p=时，()max 2f x =；当2x p=时，()min 1f x =-．【解析】（1）()sin 2cos22sin 226f x x x x x x p p æöæö=-==+ç÷ç÷èøèø所以()f x 的最小正周期是p（2）因为02x p££，所以02x ££p ，所以72666x ppp £+£当6x p=时，()max 2f x =当2x p=时，()min 1f x =-18．（1）52,266x k k p p p p éùÎ++êúëû，()k Z Î（2）2a =-或6a =.【解析】（1）()()22221cos sin cos sin 122sin sin 12sin 12sin 2f x x x x x x x x x p éùæö=-+×+--=++--=ç÷êúèøëû，由()2sin 1f x x =³,得52,266x k k p p p p éùÎ++êúëû，()k Z Î.（2）()1sin2sin cos 12g x x a x a x a =+---，令sin cos x x t -=，则2sin21x t =-，∴22221111122242a a y t at a t at a t a æö=-+--=-+-=--+-ç÷èø，∵sin cos 4t x x x p æö=-=-ç÷èø，由42x p p -££得244x p p p -£-£，∴1t ££.①当12a ££，即2a -££时，2max 1242a y a =-=，由21242a a -=，得2280a a --=解得2a =-或4a =（舍）②当12a >，即2a >时，在1t =处max 12a y =-，由122a-=得6a =.因此2a =-或6a =.19．(1)T p =，单调递增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.(2)[]0,1m Î.【解析】(1)()2224f x sin x xpæö=+ç÷èø1cos 222x x p æö=-+ç÷èø1sin 22x x =+2sin 213x p æö=-+ç÷èø，最小正周期T p =，函数的单调递增区间满足：222232k x k pppp p -£-£+，解得()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.(2),42x p p éùÎêúëû，所以22363x p p p éù-Îêúëû，，1sin 2132x p æöéù-Îç÷êúèøëû，所以()f x 的值域为[]2,3.而()2f x m =+，所以[]22,3m +Î，即[]0,1m Î.点睛：求函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)在区间[a ，b ]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin (ωx ＋φ)＋k 的形式或y ＝Acos (ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin (ωx ＋φ)(或cos (ωx ＋φ))的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．20．（1）()21221222142a ag a a a aa <-ìïï=----££íï->ïî；（2）()f x 的最大值为5【解析】（1）()()2122cos 21cos f x a a x x =---- 22cos 2cos 12x a x a =--- 222cos 2122a a x a æö=----ç÷èø若12a <-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 有最小值，()222121122a a g a a æö=-----=ç÷èø；若112a -££，即22a -££，则当cos 2a x =时，()f x 有最小值，()2212a g a a =---若12a >，即2a >，则当cos 1x =时，()f x 有最小值，()2221211422a a g a a a æö=----=-ç÷èø所以()21221222142a ag a a a aa <-ìïï=----££íï->ïî；（2）若()12g a =，由所求()g a 的解析式知212122a a ---=或1142a -=由222112122a a a a -££ìïÞ=-í---=ïî或3a =-（舍）；由2118142a a a >ìïÞ=í-=ïî（舍）此时()2112cos 22f x x æö=++ç÷èø，得()max 5f x =，所以()12g a =时，1a =-，此时()f x 的最大值为5.21．(Ⅰ) 2w =.(Ⅱ) 32-.【解析】（Ⅰ）因为()sin(sin()62f x x x p pw w =-+-，所以1()cos cos 2f x x x x w w w =--x x w =1sin )2x w w)3x pw =-由题设知(06f p=，所以63k wppp -=，k Z Î.故62k w =+，k Z Î，又03w <<，所以2w =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x p=-所以())4312g x x x pp p=+-=-.因为3[,]44x p pÎ-，所以2[,]1233x pp p-Î-，当123x pp-=-，即4x p=-时，()g x 取得最小值32-.22．（1）()f x =2 sin （2x +6p）；（2）7[1,)4U （74，52]【解析】解：（1）由题意可得：f （x ）max ＝A ＝2，22T T pp =Þ=，于是222T p pw p===，故f （x ）＝2sin （2x+φ），由f （x ）在6x p=处取得最大值2可得：222626k k pppj p j p ´+=+Þ=+（k ∈Z ），又﹣π＜φ＜π，故6pj =，因此f （x ）的解析式为()226f x sin x p æö=+ç÷èø．（2）由（1）可得：2222262662x x f sin sin x cosx p p p p éùæöæöæö+=++=+=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû，故()()()42261122cos x cos x g x cosx ---=-4226242cos x cos x cos x +-=- ()()()2223221221cos x cos x cos x +-=-2322cos x +=2312cos x =+，212cos x æö¹ç÷èø，令t ＝cos 2x ，可知0≤t≤1且12t ¹，即2110122cos x ，，éöæùÎÈ÷çêúëøèû，从而()7751442g x éöæùÎÈ÷çêúëøèû，，，因此，函数g （x ）的值域为7751442éöæùÈ÷çêúëøèû，，．。

人教版高中数学高一培优讲义第三章3三角恒等变换复习

，由
3
2k
(k Z ) ，可得答案．
3
，
，
，
令
，则
2k
3
即 -2k 2 (k Z ) ，当 3
时，正数
13.【答案】 1
(k Z) ， 3
，故答案为．
【分析】本题主要考查了三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式，
二倍角公式，在化简
求值中的应用利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解，
得到函数 g (x) 2 sin[ 2( x ) ] 2sin(2x ) 的图像，
66
6
，
，
g( x) 2 sin(2x ) [ 2,1] ． 6
故在区间
上的最小值为
，最大值为 1．
【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数
的图象性质和最值，考查了
学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
人教版高中数学培优讲义
第三章三角恒等变换复习
【知识结构】
sin
sin cos cos sin 令
sin2 2sin cos
cos
令 cos cos sin sin
cos2 cos2 sin2
t a n t an tan
1 t an · t an 2t an t a n2 1 t a n2
2
2
2c o s 1 1 2s i n
【解答】解：
，
，
，故选 A．
2.【答案】 C 【分析】本题考查两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用两角差的正切函数公式，即可化简求值得解．
【解答】解：
，

高一数学培优学案11-三角函数的图象和性质

高一数学培优学案11--三角函数的图象与性质一、三角函数的图象和性质 1.正弦函数x y sin =图象与性质（1）定义域：值域：（2）单调性：（3）对称性：（4）周期性：（5）最值：2.余弦函数x y cos =图象与性质（1）定义域：值域：（2）单调性：（3）对称性：（4）周期性：（5）最值：3.正切函数x y tan =的图象与性质（1）定义域：值域：（2）单调性：（3）对称性：（4）周期性：（5）最值：二、复合型三角函数的图形与性质 1.三角函数的图象变化（1）先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．（2）先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．2.B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的图象与性质大致图象：（1）定义域：值域：（2）单调性：（3）对称性：（4）周期性：（5）最值：3．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

高一年段数学培优教材第四讲三角函数

高一年段数学培优教材第四讲三角函数知识要点:一、角的概念与推广：任意角的概念；角限角、终边相同的角；二、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r l α=扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线：如右图，有向线段AT 与MP OM 分别叫做的的正切线、正弦线、余弦线。

三、同角三角函数关系：即：平方关系、商数关系。

四、诱导公式：()ααπg nf ±=⎪⎭⎫⎝⎛±2 记忆：奇变偶不变，符号看象限。

奇双：即看πn 中的n 是2π的奇数倍还是偶数倍，奇数倍后面三角函数名变，偶数不变则三角函数名不变；符号看象限：即把α看成锐角，加上2πn 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。

五、有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题。

六、函数图像的变换。

典型例题：一: 同角三角函数关系,诱导公式的应用。

例1（北京理1）已知0tan cos <θθ，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角例2（浙江理科8）若cos 2sin αα+=tan α=（） A ．12B ．2C ．12-D ．2-二: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性、对称性）例3（广东文9）已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为（）Ａ．6T =，π6ϕ=Ｂ．6T =，π3ϕ=Ｃ．6πT =，π6ϕ=Ｄ．6πT =，π3ϕ=例4（福建理5）已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称例5（江苏5）函数)3sin(2)(π-=x x f ，[]0,π-∈x 的单调递增区间是（）Ａ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Ｂ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，Ｃ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Ｄ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例6（辽宁理科16）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．例7（安徽卷）设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是（）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值三: 关于三角函数的图象, 立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与y=sinx 的图象关系。

高中数学培优复习专用教材第4章三角函数及解三角形改好384页最新版

【解析】(1)∵( +α)+(
π 6
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第四章
∴cos α=- 1-sin2 α=-5, ∴tan
sin �� -5 3 α=cos �� = 4=4. 5 3
4
∴原式=
cos �� (-sin �� ) 9 ·tan2α=-tan2α=- . sin �� cos �� 16
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第四章
(3)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的角. (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad=(
二
三
四 π-α
五
π -α 2
六
π +α 2
角 2kπ+α(k∈Z) π+α
-α
-sin α-sin α sin α cos α cos α -cos α cos α -cos αsin α-sin α tan α -tan α-tan α
函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限
高考第一轮复习用书·数学（理科）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
·tan2(π-α)=
.
高考第一轮复习用书·数学（理科）
第四章
5π 5π π α )=π,∴ -α=π-( +α). 6 6 6 5π π π 3 5π ∴cos( 6 -α)=cos[π-( 6 +α)]=-cos( 6 +α)=- 3 ,即 cos( 6 3 α)=- 3 . 3 2 (2)∵方程 5x -7x-6=0 的根为-5或 2, 3 又α是第三象限角,∴sin α=-5,

三角形(培优)(两篇)

引言：三角形是几何中的重要概念，其性质及应用广泛运用在几何学及其他学科中。

本文将深入探讨三角形的培优性质，包括角平分线、中线、高线、垂心和外心等重要概念。

通过对这些概念的详细阐述，旨在帮助读者更好地理解三角形的性质和应用。

概述：三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形，是几何学中的基础概念。

在三角形中，有一些特殊的线段和点对其性质产生了深远的影响，我们将在接下来的内容中详细探讨这些概念。

正文：1.角平分线：1.1定义和性质：角平分线将一个角平分为两个相等的角，具有一些重要的性质，比如角平分线与角的两边垂直，以及角平分线交于角的内部点等。

1.2角平分线的应用：角平分线在解决几何问题中起到了重要的作用，比如利用角平分线求解三角函数、证明角的相等等。

2.中线：2.1定义和性质：三角形的中线是连接三角形两边中点的线段，具有一些重要的性质，比如三角形三条中线交于一点，且该点与三个顶点距离相等。

2.2中线的应用：中线在三角形的面积计算、判定三角形是否为等腰三角形等问题中具有重要的应用价值。

3.高线：3.1定义和性质：三角形的高线是从三角形的一个顶点到对边垂直的线段，具有一些重要的性质，比如三角形的三条高线交于一点，且该点到三角形三边距离的乘积等于三角形的面积。

3.2高线的应用：高线在求解三角形的面积、计算三角形的外接圆半径等问题中发挥着重要的作用。

4.垂心：4.1定义和性质：三角形的垂心是三角形的三条高线的交点，具有一些重要的性质，比如垂心到三角形三边距离的乘积等于垂心到三角形的面积。

4.2垂心的应用：垂心在确定三角形的重心、利用垂心判定三角形的形状等问题中有重要的应用。

5.外心：5.1定义和性质：三角形的外心是三角形三条边上外接圆的圆心，具有一些重要的性质，比如外心到三个顶点的距离相等，外心是三条边上所有外接圆的圆心。

5.2外心的应用：外心在确定三角形的外接圆半径、利用外心寻找三角形的一些特殊性质等问题中有重要的应用。

2023-2024学年高一数学单元速记——三角(6大知识归纳+9大题型突破)(解析版)

第六章三角（知识归纳+题型突破）一、角的概念的推广与弧度制1、正角、负角、零角：.零角：当一条射线没有旋转时，称为零角.零角的始边与终边重合.【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过360的角.2、象限角和轴线角（1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.如图，60和420都是第一象限角，135和225-都是第二象限的角.（2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角.3、终边相同的角我们把所有所有与角α终边重合的角（包括角α本身）的集合表示为{}Z k k ∈⋅+=,360|αββ.【小结】①终边在x 轴正半轴上的角的集合为{}|360,k k Z αα︒=⋅∈；②终边在y 轴负半轴上的角的集合为{}|90360,k k Z αα︒︒=-+⋅∈；③终边在x 轴上的角的集合为{}|180,k k Z αα︒=⋅∈；④终边在y 轴上的角的集合为{}|90180,k k Z αα︒︒=+⋅∈；⑤终边在坐标轴上的角的集合为{}|90,k k Z αα︒=⋅∈；⑥第二象限角的集合为{}|90360180360,k k k Z αα︒︒︒︒+⋅<<+⋅∈.【注意】后缀360⋅k 表示射线，180⋅k 表示直线.二、角的度量1、角度制在平面几何中，我们把周角的3601作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2、弧度制（1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.一般地说，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么αl就是角α的绝对值，即这里α的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】.【注意】对于角α，以顶点O 为圆心，分别以r r '、为半径画弧 AB 和 A B ''，它们的长分别为l 和l '，则r l r l ''==α，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关.【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中IUR =类似.（2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系.【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数.例如，角α和角β的互补关系可以表示为πβα=+，而2.1sin 则表示2.1弧度的角的正弦.（3）角度与弧度的换算：π=180弧度（4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系角度0︒30︒45︒60︒90︒120︒135︒150︒180︒270︒360︒弧度6π4π3π2π23π34π56ππ32π2π（5）象限角的表示：第一象限的角的集合：|22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭第二象限的角的集合：|22,2k k k Z παπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭第三象限的角的集合：3|22,2k k k Z παππαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭第四象限的角的集合：3|222,2k k k Z παπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭【注意】角度和弧度不可混用，如“ 3602⋅+k π”和“πk 290+ ”的写法都是不妥当的.（6）弧长公式和扇形面积公式引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮.当扇形的圆心角为n ，半径为r 时，扇形的弧长l 和面积S 的公式分别为180r n l π=及3602r n S π=.在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为180180ππαn n =⨯=，因此上述公式可分别简化为二、任意角的正弦、余弦、正切、余切1、定义在任意角α的终边上任取异于原点的一点P ，设其坐标为),(y x ，并令r OP =||，必有022>+=y x r .这样，就可以分别定义角α的正弦、余弦、正切及余切为2、任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦3、单位圆根据定义，角α的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角α的大小有关，而与角α的终边上的点P 的位置无关，因此我们可以用角α的终边上到原点距离为1（1=r ）的点来确定角α的正弦、余弦、正切及余切值.半径为1个单位的圆称为单位圆.本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆.设角α的终边与单位圆的交于唯一的一点),(y x P ，则根据定义可知，αcos =x ，αsin =y .因此，单位圆上点P 的坐标必可以写为（ααsin ,cos ）.三、同角三角关系1、同角三角关系角α的终边经过异于原点的一点),(y x P ，并记022>+=y x r .由定义，有r y =αsin ，r x =αcos ，x y=αtan （0≠x ），yx =αcot （0≠y ）.由222r y x =+，就有1cos sin 22=+αα.当0cos ≠α时，有当0sin ≠α时，有当αtan 、αcot 都有意义时，有1cot tan =αα.2、常用转化(1)sin 2α＋cos 2α＝12α＝1－cos 2α，2α＝1－sin 2α，α＝±1－cos 2α，α＝±1－sin 2α，sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.(2)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.(3)对于形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切，从而求值.(4)对于形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子求值.四、诱导公式处理2k ⋅±πα角度与α角的关系，起到角的化简作用。

三角函数培优材料(含答案)

高一数学竞赛培训教程—三角函数一、选择、填空题1.设函数sin 23cos2y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则 ( )A ．T π=,2A = B . T π=,2A = C ．2T π=,2A = D ．2T π=,2A = 答案：C2．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 ( )A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答案：A3.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=- ( ) （A ）2875- （B ）2875（C ）21100- （D ）21100答案：A4.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像答案：C5、如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（D ）A.2B.－2C.1D.－1答案：D6.已知2,tan α=则cos(2)cos 22παα-+的值 . 答案：157.已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos 答案：43310+ 8.已知1cos 3ϕ=-()0ϕπ<<,则sin 2ϕ= 答案：429- 二、解答题1.已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-（1）当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.解（1）()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- 3分2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<6分所以当242x ππ+=时，即8x π=时 f(x)有最大值21-.所以f(x)最大值是21-，相应的x 的值8x π= 8分（2）函数y=sin x 的图象向左平移4π个单位， 9分把图象上的点横坐标变为原来的12倍，把图象上的点纵坐标变为原来的2倍，11分最后把图象向下平移1个单位得到y 2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象. 12分方法2：把函数y=sin x 图象上的点横坐标变为原来的12倍 9分把函数x 的图象向左平移8π个单位，把图象上的点纵坐标变为原来的2倍，最后把图象向下平移1个单位得到y 2sin 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分2.已知1)2cos 2sin 3(2cos2)(-+=xx x x f ，R x ∈． ⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 设α、)2, 0(πβ∈，2)(=αf ，58)(=βf ，求)(βα+f 的值．解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6sin(2π+=x ……4分，)(x f 的最小正周期π2=T ……5分⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3266ππαπ<+<……6分，所以26ππα=+，3πα=……7分，58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3266ππβπ<+<……8分，因为2354<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分，所以ββππβαβαcos 2)2sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分， 6sin)6sin(26cos)6cos(2]6)6cos[(2ππβππβππβ+++=-+=……11分，5433+=……12分。

高中数学暑期培优讲义三角函数及解三角形部分讲义

第01讲三角函数的图像与性质题组一常识题1.函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.若函数y=A sin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.函数y=2cos x在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.函数f(x)=√tanx-1的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=A sin x(或y=A cos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos x tan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为.8.函数y=tan(x+π4)图像的对称中心是.探究点一三角函数的定义域例1 (1)函数f(x)=√2−log2x+tan(x+π3)的定义域为.(2)函数y=ln(2cosx+1)+√sinx的定义域为.变式题 (1)函数y=√sinx-cosx的定义域为.(2)函数f(x)=√√3+2sinx的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是.(2) 已知x∈[-π4,π6],则函数f(x)=2cos xsin（x+π3）-√3sin2x+sin xcos x的最大值与最小值之和为.变式题 (1)函数f(x)=sin(x-π4)-cos(x-π4)的最大值为()A.2B.√2C.2√2D.√22 (2)函数y=cosx-sinx+4sinxcosx的值域是. 探究点三三角函数性质的有关问题微点1三角函数的周期性例3 (1)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x+π6),④y=tan(2x-π4)中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③(2)若函数f(x)=1+asin（ax+π6）(a>0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为.微点2三角函数的对称性例4 (1) 若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f(x)=12x2-x互为同轴函数的是()A.g(x)=cos(2x-1)B.g(x)=sin πxC.g(x)=tan xD.g(x)=cos πx(2) 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,|φ|<π2）的图像关于直线x=π3对称,它的最小正周期为π,则函数f(x)的图像的一个对称中心是()A.(π3,0) B.(π12,0)C.(5π12,0)D.(-π12,0)微点3三角函数的单调性例5 (1)已知π3为函数f(x)=sin(2x+φ)（0<φ<π2)的一个零点,则函数f(x)的单调递增区间是()A.[2kπ−5π12,2kπ+π12](k∈Z)B.[2kπ+π12,2kπ+7π12](k∈Z)C.[kπ−5π12,kπ+π12](k∈Z) D.[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z)(2)已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+π3)在(π3,π2)上单调递增,则ω的取值范围是()A.(23,103) B.[23,103]C.[2,103]D.(2,103)【应用演练】1.【微点3】已知函数f(x)=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3处取得最小值,则f(x)在[0,π]上的单调递增区间是()A.[π3,π]B.[π3,2π3]C.[0,2π3] D.[2π3,π]2.【微点3】设f(x)=cosx,若a=f(ln2),b=f(lnπ),c=f(ln13),则下列关系式正确的是()A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c3.【微点2】已知函数f(x)=A sin(ωx+π6)的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是()A.x=1 B.x=14C.x=23D.x=-14.【微点1】函数y=3sin(2x+π3）的最小正周期T= .第02讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用题组一常识题1. 函数y=sin x 的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是 .2.某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin (x +π4),则原函数的解析式是 .3.函数y=cos (2x -π2)的周期为 ,单调递增区间为 .4.已知简谐运动f (x )=2sin （π3x+φ）(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为 . 题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos (2x +π3)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向平移个单位长度. 6.设ω>0,若函数f (x )=12sin ωx 在区间[-π2,π2]上单调递增,则ω的取值范围是 .7.若f (x )=2sin(ωx+φ)+m 对任意实数t 都有f (π8+t)=f (π8-t),且f (π8)=-3,则实数m= . 8.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π2）的部分图像如图3-20-2所示,则φ= . 图3-20-2探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换例1 (1)将函数f (x )=sin (2x +π4)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度后所得图像对应的函数解析式为 ( ) A .y=cos 2xB .y=-cos 2xC .y=sin (2x +3π8)D .y=sin (2x -π8)(2)若由函数y=sin (2x +π2)的图像变换得到y=sin （x 2+π3）的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin （2x+π2）图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿x 轴 ( ) A .向右平移π3个单位长度 B .向右平移5π12个单位长度 C .向左平移π3个单位长度 D .向左平移5π12个单位长度变式题 (1)将函数y=sin （x-π6）的图像上所有的点向右平移π4个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为 ( ) A .y=sin (2x -5π12) B .y=sin (x 2+π12) C .y=sin (x 2-5π12) D .y=sin (x 2-5π24)(2)为了得到函数y=sin 3x 的图像,可以将y=cos 3x 的图像 ( )A .向右平移π6个单位长度 B .向左平移π6个单位长度 C .向右平移π2个单位长度 D .向左平移π3个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式例2 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,|θ|<π)的部分图像如图3-20-3所示,将函数y=f (x )的图像向右平移π4个单位长度得到函数y=g (x )的图像,则函数g (x )的解析式为 ( ) A .g (x )=2sin 2x B .g (x )=2sin (2x +π8) C .g (x )=2sin (2x +π4)D .g (x )=2sin (2x -π4) 图3-20-3(2)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的部分图像如图3-20-4所示,则φ= .图3-20-4 图3-20-5变式题已知函数f (x )=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-20-5所示,且A （π2,1）,B (π,-1),则φ的值为 .探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质例3 函数f (x )=sin(ωx+φ)（ω>0,|φ|<π2）在它的某一个周期内的单调递减区间是[5π12,11π12].将y=f (x )的图像先向左平移π4个单位长度,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g (x ).(1)求g (x )的解析式;(2)求g (x )在区间[0,π4]上的最大值和最小值.变式题 (1)将函数f (x )=cos(2x+θ)(|θ|<π2)的图像向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )的图像,若g (x )的图像关于直线x=π4对称,则θ= ( ) A .π6B .π12C .-π6D .-π12(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0,π2<φ<π）的部分图像如图3-20-6所示,则下列说法正确的是( ) A .函数f (x )的周期为π B .函数y=f (x-π)为奇函数 C .函数f (x )在[-π,π2]上单调递增 D .函数f (x )的图像关于点3π4,0对称探究点四三角函数模型的简单应用图3-20-6例4 如图3-20-7所示,制图工程师要用两个同中心且边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性知,图中8个三角形都是全等的三角形,设∠AA 1H 1=α.图3-20-7(1)试用α表示△AA 1H 1的面积;(2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时α的大小.变式题某城市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos π6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28 ℃,12月份的平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃.第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切题组一常识题1. sin 75°的值为 .2.已知cos α=-35,α∈(π2,π),则sin （α+π3）的值是 . 3. cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°= . 4. 已知tan α=13,tan β=-2,则tan(α-β)的值为 .题组二常错题◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误. 5.已知tan （5π4+α）=17,α∈（π2,π）,则cos α的值是 .6.化简:12sin x-√32cos x = . 7.计算:1−tan15°1+tan15°= .8.若α+β=3π4,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为 .探究点一两角和与差的三角函数公式例1 (1)若sin(2α-β)=16,sin(2α+β)=12,则sin 2αcos β= ( ) A .23 B .13 C .16 D .112(2) 已知cos (α+π6)=√3cos α,tan β=√33,则tan(α+β)= .变式题 (1)已知cos α=17,α∈(0,π2),则cos (α-π3)= ( )A .-1114B .3√314 C .5√314D .1314(2) 已知tan （α+π6）=1,则tan （α-π6）= ( )A .2-√3 B .2+√3 C .-2-√3 D .-2+√3探究点二两角和与差公式的逆用与变形例2 (1) 已知cos (x -π6)=√33,则cos x +cos (x -π3)= ( )A .-1 B .1 C .2√33D .√3 (2)已知sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,则sin(α-β)= .变式题 (1)√22cos 375°+√22sin 375°的值为 ( )A .√32 B .12 C .-√32D .-12(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)= . 探究点三角的变换问题例3 (1)已知α∈(-π3,0),cos (α+π6)-sin α=4√35,则sin （α+π12）的值是( )A .-2√35B .-√210C .2√35D .-45(2)已知sin α=2√55,sin(β-α)=-√1010,α,β均为锐角,则β= ( )A .5π12 B .π3 C .π4 D .π6变式题 (1)若0<α<π4,-π2<β<0,cos (π4+α)=13,cos (π4-β2)=√33,则cos (α+β2)= ( ) A .5√39B .-√33C .7√327D .-√69(2)已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,则sin 2α= ( ) A .5665 B .-5665 C .1665 D .-1665第04讲二倍角公式与简单的三角恒等变换题组一常识题1.sin 15°-√3cos 15°的值是 .2.已知f (x )=sin 2x-12(x ∈R),则f (x )的最小正周期是 .3. 已知cos(α+β)=13,cos(α-β)=15,则tan αtan β的值为 . 4. 已知sin θ=35,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为 .题组二常错题◆索引:已知角与待求角之间关系不清致误;已知三角函数值求角时范围不清致误;asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)中φ值的确定错误;求三角函数值时符号选取错误(根据求解目标的符号确定). 5.已知sin (π6-α)=13,则cos (π3-2α)= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=43,则α+β= . 7.sin α-cos α=√2sin(α+φ)中的φ= .8.已知sin 2α=34,2α∈(0,π2),则sin α-cos α= .探究点一三角函数式的化简例1 化简:cos 2（x-π12）+sin 2（x+π12）= ( ) A.1+12cos 2x B.1+12sin 2x C.1+cos 2xD.1+sin 2x(2)化简:tan α+1tan(π4+α2)= ( )A .cos αB .sin αC .1cosα D .1sinα变式题 √1+sin6+√1−sin6= ( ) A .2sin 3B .-2sin 3C .2cos 3D .-2cos 3探究点二三角函数式的求值角度1 给值求值例2 (1)已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=35,则cos 2β的值为 ( ) A .725 B .1825 C .-725 D .-1825 (2) 已知tan θ+1tan θ=4,则cos 2(θ+π4)=( )A .15 B .14 C .13D .12变式题 (1) 已知α∈(3π2,2π),sin (π2+α)=13,则tan(π+2α)=( )A .4√27B .±2√25 C.±4√27 D .2√25(2)若sin （π6-α）=13,则cos (2π3+2α)的值为( )A .-13 B .-79C .13 D .79角度2 给角求值例32cos10°sin70°-tan 20°=( )A .1B .√3-12C .√3D .√32变式题 tan 70°cos 10°(√3tan 20°-1)= ( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2角度3 给值求角例4 若sin 2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是 ( )A .7π4B .9π4C .5π4或7π4D .5π4或9π4变式题已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .探究点三三角恒等变换的综合应用例5 已知函数f (x )=4cos x ·sin (x -π6)+a 的最大值为3.(1)求的值及f (x )的单调递减区间; (2)若a ∈(0,π2),f (α2)=115,求cos a 的值.变式题设函数f (x )=sin x+√3cos x+1. (1)求函数f (x )的值域和单调递增区间; (2)当f (α)=135,且π6<α<2π3时,求sin (2α+2π3)的值.第05讲正弦定理和余弦定理题组一常识题1. 在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 .2. 在△ABC 中,已知a=5,b=2√3,C=30°,则c= .3.在△ABC 中,已知a 2-c 2+b 2=ab ,则C 等于 .4.在△ABC 中,已知a=3√2,b=2√3,cos C=13,则△ABC 的面积为 .题组二常错题◆索引:在△ABC 中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错.5.在△ABC 中,若sin A=sin B ,则A ,B 的关系为 ;若sin A>sin B ,则A ,B 的关系为 .6.在△ABC 中,若A=60°,a=4√3,b=4√2,则B 等于 .7.在△ABC 中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC 的面积等于 .8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,若c cos A=b ,则△ABC 为三角形.探究点一利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=√3,且b 2+c 2=3+bc . (1)求角A 的大小;(2)求b sin C 的最大值.变式题 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a=2√3,c=2√2,1+tanA tanB =2c b,则C= ( )A .π6B .π4C .π4或3π4D .π3(2)已知△ABC 满足BC ·AC=2√2,若C=3π4,sinA sinB =12cos(A+B),则AB= .探究点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2 已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b 2+c 2=a 2+bc.若sin B ·sin C=sin 2A ,则△ABC 的形状是 ( )A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形变式题在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,若tanA tanB =a 2b 2,则△ABC 是 ( ) A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .直角三角形或等腰三角形探究点三与三角形面积有关的问题例3 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且b sin B+(c-b )sin C=a sin A . (1)求角A 的大小;(2)若sin B sin C=38,且△ABC 的面积为2√3,求a .变式题在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足bc=1,a 2-bc=(b-c)2. (1)求△ABC 的面积;(2)若cos B cos C=14,求△ABC 的周长.。

2024年暑期高一培优课1三角恒等变换(教师)

三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式[提醒] 在公式T (α±β)中α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2．二倍角公式3．辅助角公式一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1. 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.解：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2＝(cos 2α－sin 2α)⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭⎫1－sin αcos α(cos α＋sin α)2＝1.2. 已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α.解：原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α24cos2α2.因为α∈(0，π)，所以cos α2>0，所以原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22cosα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.3. (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D ．32(2)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解： (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π. ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. ∴sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝12.故选B. 4. 已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.3π4 B ．5π4 C.7π4D ．7π6解：因为sin 2A2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫552＝－255.由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4.故选C.5. 化简求值：2cos 80°－sin 70°cos 70°.解：原式＝2cos (60°＋20°)－sin (90°－20°)cos (90°－20°)＝2(cos 60°cos 20°－sin 60°sin 20°)－cos 20°sin 20°＝－3sin 20°sin 20°＝－ 3.6. 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4，∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35>0，∴α＋π4是第四象限角， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45， ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝22⎝⎛⎭⎫－45－35＝－7210. 同理，cos α＝－210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos α－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin α＝35×⎝⎛⎭⎫－210－⎝⎛⎭⎫－7210×⎝⎛⎭⎫－45＝－31250. 7．（2020·全国（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．12B C ．23D ．2解：由题意可得：1sin sin 12θθθ+=，则：3sin 12θθ=1cos 2θθ+=，从而有：sin cos cos sin663ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故选：B. 8. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B ．9π4 C.5π4或7π4D ．5π4或9π4解：选A ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，∵sin 2α＝55>0，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2且cos 2α＝－255. 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010， ∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 9.已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________. 解：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，34π，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213.又∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋βsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝513×35－1213×45＝－336510.已知: 55sin =α，1010sin =β，α和β都是锐角，求βα+的值.解：由55sin =α，1010sin =β.α和β都是锐角，得：552cos =α，10103cos =β. βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴2210105510103552=⨯-⨯=又πβα<+<0Θ，4πβα=+∴.11.已知21)tan(=-βα，71tan -=β，且),0(πβα∈、，求βα-2的值. 解：βββα+-=-)(22a Θ，又1tan()2αβ-=， 34)(tan 1)tan(2)(2tan 2=---=-∴βαβαβα. 从而])(2tan[)2tan(ββαβα+-=-121252125713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ==⋅+-=--+-=ββαββα 又])tan[(tan ββαα+-=Θ031tan )tan(1tan )tan(>=--+-=ββαββα且πα<<0，40πα<<∴.220πα<<∴,又071tan <-=β且),0(πβ∈，πβπ<<∴2.2πβπ-<-<-∴02<-<-∴βαπ324παβ∴-=-12.已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<.（1）求α2tan 的值；（2）求β.解：（1）由71cos =α，20πα<<，得734)71(1cos 1sin 22=-=-=αα.3417734cos sin tan =⨯==∴ααα. 22)34(1342tan 1tan 22tan -⨯=-=∴ααα4738-= （2）由20παβ<<<，得20πβα<-<.又1413)cos(=-βαΘ， )(cos 1)sin(2βαβα--=-∴1433)1413(12=-=. 由)(βααβ--=,得)](cos[cos βααβ--= )sin(sin )cos(cos βααβαα-+-=211433734141371=⨯+⨯=.3πβ=∴.13. 已知tan(β−π4)=12，cos(α+β)=−√55，其中0<α<π2，0<β<π．(1)求tan β的值；(2)求α的值．解：(1)由题得tan(β−π4)=tanβ−tan π41+tanβtan π4 =tanβ−11+tanβ=12，解得：tanβ=3．(2)∵0<β<π且tanβ=3，，故{sinβcosβ=3sin 2β+cos 2β=1解得sinβ=3√1010,cosβ=√1010．又，∴0<α+β<π， ∵cos (α+β)=−√55， ∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55．故sinα=sin [(α+β)−β]=sin (α+β)cosβ−cos (α+β)sinβ=2√55×√1010−(−√55)×3√1010=√22．故： α=π4．14. 化简: βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222-+. 方法一：（从“角”入手，化复角为单角）：原式=)1cos 2()1cos 2(21cos cos sin sin 222222---+βαβαβα21cos cos cos cos sin sin 222222-++-=ββαβα 21cos sin cos sin sin 22222-++=ββαβα2121121cos sin 22=-=-+=ββ 方法二：（从“名”入手，化异名为同名）：βαβαβα2cos 2cos 21cos )sin 1(sin sin 2222--+=βαββαβ2cos 2cos 21)sin (cos sin cos 2222---=βαβαβ2cos 2cos 212cos sin cos 22--=221cos cos 2(sin cos 2)2ββαα=-+212cos 2122cos 1=-+=ββ方法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）：原式βαβαβα2cos 2cos 2122cos 122cos 122cos 122cos 1-+⋅++-⋅-=. )2cos 2cos 2cos 2cos 12cos 2cos 2cos 2cos 1(41βαβαβαβα+++--+= 2141412cos 2cos 21=+=-βα. 方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）：原式21(sin sin cos cos )2sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβαβαβ=-+-211cos ()sin 2sin 2cos 2cos 222αβαβαβ=++-)22cos(21)(cos 2βαβα+⋅-+=21]1)(cos 2[21)(cos 22=-+⋅-+=βαβα.15. 求下列各式的值（1）00sin18cos36；（2）)120tan 3(10cos 70tan 000-解：（1）原式00018cos 236cos 18cos 18sin 2= 4118cos 472sin 18cos 436cos 36sin 200000===（2）原式00020cos 20cos 20sin 310cos 70tan -= 170cos 20sin 20cos 10sin 210cos 70cos 70sin 0000000-=-=-= 16. 4sin80°－cos10°sin10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2D ．22－3解：4sin80°－cos10°sin10°＝4sin80°sin10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin （30°－10°）－cos10°sin10°＝－ 3.17. 计算：(1)3tan10°－1sin10°＝_________．(2)3－sin70°2－cos 210°＝________． (3)3tan12°－3（4cos 212°－2）sin12°＝________．（4）1cos 80°－3sin 80°＝________.解：(1)原式＝3sin10°cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin （10°－30°）12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.(2)3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2.(3)原式＝3sin12°cos12°－32（2cos 212°－1）sin12°＝23（12sin12°－32cos12°）cos12°2cos24°sin12°＝23sin （－48°）2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24° ＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.解：1cos 80°－3sin 80°＝sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin (80°－60°)12sin 160°＝2sin 20°12sin 20°＝4.18. 求下列各式的值：（1）000000sin 9cos15sin 6cos9sin15sin 6+-；（2）0002cos10sin 20cos 20- 解：（1）000000006sin 15sin )615cos(6sin 15cos )615sin(--+-= 0000000000006sin 15sin 6sin 15sin 6cos 15cos 6sin 15cos 6sin 15cos 6cos 15sin -++-= 000000015tan 15cos 15sin 6cos 15cos 6cos 15sin === )3045tan(00-=000030tan 45tan 130tan 45tan ⋅+-=323311331-=⋅+-=（2）原式00020cos 20sin )2030cos(2--= 0000020cos 20sin 20sin 30sin 220cos 30cos 2-+=020cos 20cos 30cos 2= 330cos 20==19. 求值：（1）00070sin 50sin 10sin ；（2）0000sin 6sin 42sin 66sin 78解：（1）原式00080cos 40cos 20cos =00020sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2= 000020sin 480cos 40cos 40sin 2=00020sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 2== 8120sin 820sin 00== （2）原式000012cos 24cos 48cos 6sin =040000046cos 248cos 24cos 12cos 6cos 6sin 2⋅=00036cos 1648cos 24cos 12cos 12sin 2= 00026cos 1648cos 24cos 24sin 2=0006cos 1696sin 6cos 1648cos 48sin 2== 00cos6116cos616==. 20. 求值：050sin 10cos )310(tan - 解：原式050sin 10cos )60tan 10(tan -=000050sin 10cos )60cos 60sin 10cos 10sin (-= 0000050sin 10cos 60cos 10cos )50sin(⋅-=012cos60=-=-.21. 若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，求βαtan tan ⋅的值.解法1：由已知得)cos()cos(3βαβα-=+，即βαβαβαβαsin sin cos cos )sin sin cos (cos 3+=-，即)sin sin 2cos cos βαβα=，21tan tan =∴βα. 解法2：由51)cos(=+βα得51sin sin cos cos =-βαβα. ○1 又由3cos()5αβ-=得53sin sin cos cos =+βαβα. ○2 ○1+○2，得52cos cos =βα. ○3 ○2-○1，得51sin sin =βα. ○4 ○4÷○3，得21tan tan =βα. 22. 已知：53)4cos(=+x π，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.解775,212464x x πππππ<<∴<+< . 又53)4cos(=+x πΘ，πππ2423<+<∴x .54)4sin(-=+∴x π,34)4tan(-=+x π.又)24cos(2sin x x +-=πΘ)]4(2cos[x +-=π1)4(cos 22++-=x π25712518=+-=,原式x x x x cos sin 1sin 22sin 2-+=x x xx x x sin cos cos sin 2cos 2sin 2-+=sin 2(cos sin )cos sin x x x x x +=-x xx tan 1tan 12sin -+⋅= )4tan(2sin x x +=π7528)34(257-=-⋅= 23. 已知α∈(π2,π)，且sinα+cosα=−15． (1)求tan (α−π4)的值； (2)求sin2α−cosα1+cos2α的值．解： (1)∴{sinα=35cosα=−45 ∴tanα=−34∴tan (α−π4)=tanα−11+tanα=−7，(2)24．（2021·全国）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25 D ．65解：将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++． 25．（2019·江苏）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 解：由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212==22110⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 26．（2021·全国（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（） ABCD解：cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A. 附加题：1. 已知4422cos sin +1cos sin A A B B =，求证：4422cos sin +1cos sin B BA A=. 2. 设cos cos ,sin sin ,(0)a b a αβαβ+=+=≠，求cos(),sin()αβαβ++的值。

高一数学三角知识点总结

高一数学三角知识点总结在高一的数学课程中，三角学是一个非常重要的知识点。

三角学是数学中研究角的一门学科，它的应用十分广泛，涉及到几何、物理、工程等方面。

掌握好三角学的基本知识对于高中数学的学习至关重要。

本文将对高一数学中涉及到的一些重要的三角知识点进行总结。

1. 三角比例关系：在解决三角形问题时，我们经常会用到三角比例关系。

三角比例关系主要包括正弦、余弦和正切三种比例关系。

我们可以通过这些比例关系求解角的大小，或者求解三角形的边长。

例如，对于一个直角三角形，我们可以利用正弦比、余弦比和正切比来求解任意角的正弦值、余弦值和正切值。

2. 三角函数的图像与性质：三角函数（正弦、余弦、正切）的图像是高一数学中的重要内容之一。

我们需要了解这些函数的图像特点，掌握它们的周期、定义域、值域等性质。

例如，正弦函数的图像是一条经过原点的周期为2π的曲线，其最大值为1，最小值为-1。

这些特点对于深入理解三角函数及其应用非常关键。

3. 三角恒等式：三角恒等式是三角学中的重要内容，它们是一些关于角的等式，可以帮助我们简化计算，在解决问题时非常有用。

常见的三角恒等式包括：正弦和余弦的平方和等于1，正切的倒数等于余切等。

这些恒等式的掌握需要更多的练习和实践，以便能够熟练地应用于解题过程中。

4. 三角函数与解三角形：在几何中，我们经常需要解决与三角形相关的问题。

三角函数可以帮助我们在已知三角形的某些边长或角度的情况下，求解三角形的其他边长和角度。

例如，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的边长，或者应用正切函数来求解三角形的角度。

熟练运用这些知识点可以让我们更加灵活地解决各种三角形问题。

5. 三角函数的应用：三角函数的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。

例如，在物理学中，我们可以利用三角函数来描述物体的振动情况，或者计算一个物体在斜面上滑动的加速度。

在工程学中，三角函数可以帮助我们测量和设计建筑物的高度、角度等。

熟练掌握三角函数的应用，可以使我们更好地理解实际问题，并解决实际中的工程和物理问题。

春季06-高一数学培优版-三角综合复习-教师版

教师姓名学生姓名年级高一上课时间学科数学课题名称三角综合复习三角综合复习一．知识梳理：1.同角关系：（1）弦割化弦；（2）弦的互化；（3）同次式弦化切；（4）弦与弦的和差、积关系；（5）“1”的代换；2.不同角关系：（1）诱导关系；（2）和差关系；（3）倍数角关系；3.不同名关系：2=，则sin 3cos 2sin 4cos -+=____________()2sin cos 1f x x =-（,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin0，且0sin cos 1，那么的终边在第)35πα-=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=____________tan ECF ∠= .答案：34例9.[17年位育期中附加26]已知对任意的()(),00,x ∈-∞+∞，[]0,θπ∈，不等式221682cos sin 0x x a x xθθ+---≥恒成立，则实数a 的取值范围为 . 答案：(,842⎤-∞-⎦例10.[18年大同3月1]在平面直角坐标系xOy 中，角与角均以x 轴的正半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin3，则cos 2____________．答案： 79例11.[18年交附3月5]已知3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，322ππα≤<，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________ 答案：31250- 例12.[18年交附3月11]已知()tan 31m α=+，()3tan tan tan 0m αββ++=，且,αβ均为锐角，则αβ+=____________答案：3π 例13.[18年进才3月4]若，，则答案：5例14.[18年进才3月11]若133cos 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭则2017sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 答案：33- 例15.[18年进才3月12]()()()()0000tan 2tan 15tan 2tan 75tan 15tan 75αααααα-+-+--=1sin()2αβ+=1sin()3αβ-=tan cot αβ=答案：1例16.[18年进才3月15]已知()()sin cos cos sin 0αββαββ+-+=，则()()sin 2sin 2αβαβ++-等于（）A.1B.1-C.0D.1±答案：C例17.[18年交附3月15]设,αβ均为锐角，则下列不等式一定成立的是（）A. ()sin sin sin αβαβ+>+B. ()sin sin sin αβαβ+<+C. ()cos cos cos αβαβ+>+D. ()cos sin sin αβαβ+<+ 答案：B3.压轴分析例18.[18年交附3月12]下面这道填空题由于人为原因造成横线上的内容无法认清，现知结论，请在横线上填写原题的一个条件。

高一年段数学培优教材三角函数

高一年段数学培优教材高一数学备课组第四讲三角函数一、基础知识：1．函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈；cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2k k Z ππ+∈tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形。

2．求三角函数最值的常用方法：① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ωϕ=++的形式，再利用正弦函数的有界性求其最值。

② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。

③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x by c x d+=+）可利用正弦函数的有界性来求。

④ 利用函数的单调性求。

二、综合应用：1．已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1s i n 3α=时，(162t a n )f α=_________________2．已知222,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________3．函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________4．函数5cos23sin ,[,]63y x x x ππ=+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5．函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________6．函数sin (0)2cos xy x xπ=<<+的最大值是_________________7．函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4y a bx π=+的最小正周期。

三角形培优精选推荐(一)

三角形培优精选推荐（一）引言概述:本文旨在为读者推荐一系列优秀的三角形培优课程。

三角形作为高中数学中重要的基础概念之一，对于学习高等数学以及应用数学领域具有重要的影响。

因此，在选择合适的三角形培优课程时，我们特意挑选了一些精选推荐，以帮助读者更加系统地掌握三角形的相关知识和技能。

以下将分为五个大点来详细介绍这些课程的特点与优势。

正文内容:1. 三角形基础知识的系统学习- 角度和边长的定义与计算- 三角形的分类与特性- 三角形中的角度关系- 三角形的周长与面积的计算公式- 基础解析几何中的三角形问题2. 三角形相关性质的深入研究- 三角形的内部与外部角- 三角形的中位线、高线、中心和外心- 海伦公式与正弦定理、余弦定理的应用- 各类特殊三角形的性质及其证明- 解析几何中的三角形性质与问题3. 三角函数与三角形应用- 三角函数的定义与基本关系- 三角函数的图像与性质- 三角函数的基本运算法则- 三角函数的应用于三角形的边长、角度关系- 三角函数在解析几何中的应用问题4. 三角恒等变换- 基本三角恒等变换的推导与证明- 三角等式的化简与应用- 三角方程的解法与应用- 三角恒等变换在几何证明中的运用- 三角函数图像的平移和伸缩5. 三角形的扩展应用- 三角恒等变换在解析几何中的应用- 三角函数在三角测量中的实际应用- 三角形与向量、复数的关系与应用- 三角函数与微积分的关系与应用- 三角函数与物理学问题的联系与应用总结：通过上述五个大点的详细阐述，我们介绍了一系列优秀的三角形培优课程。

这些课程不仅系统地介绍了三角形的基础知识与相关性质，还深入探讨了三角函数与三角形应用、三角恒等变换以及三角形的扩展应用。

通过学习这些课程，读者将能够更加全面地理解和应用三角形的概念和原理，为未来的数学学习和应用打下坚实的基础。

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高一数学培优（1）——三角部分
考点:(1)三角函数的图象和性质（4个函数模型），平方关系和商关系，诱导公式（2）三角恒等变换公式：和差公式，二倍角公式及变形公式，辅助角公式（3）正弦定理，余弦定理，面积公式
一、解答题
1．（2020全国二卷）ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sin B sin C．
（1）求A；
（2）若BC=3，求ABC周长的最大值.
2.（2020江苏卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
3,2,45
a c B
===︒．
（1）求sin C的值；
（2）在边BC上取一点D，使得
4
cos
5
ADC
∠=-，求tan DAC
∠的值．
3．（2019全国一卷）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
4．（2019全国三卷）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2
A C a b A +=．（1）求
B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．
5．（2019北京卷）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12
-．（Ⅰ）求b ，c 的值；
（Ⅱ）求sin （B –C ）的值。