求复合函数的定义域、值域、解析式(集锦)
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
求复合函数
求复合函数
（最新版）
目录
1.复合函数的定义
2.复合函数的性质
3.求复合函数的方法
4.复合函数的应用举例
正文
一、复合函数的定义
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而构成的新函数。
复合函数可以表示为 f(g(x))，其中 f 和 g 都是函数，x 是自变量。
二、复合函数的性质
1.复合函数的定义域是 g(x) 的值域，值域是 f(g(x)) 的取值范围。
2.复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关。
三、求复合函数的方法
求复合函数通常需要先求出 g(x)，然后将结果代入 f(x) 中计算得到 f(g(x))。
具体步骤如下：
1.求出 g(x) 的值。
2.将 g(x) 的值代入 f(x) 中，计算得到 f(g(x)) 的值。
四、复合函数的应用举例
复合函数在实际问题中有广泛的应用，例如求解物理、化学等领域的问题。
下面举一个简单的例子来说明复合函数的应用。
例：已知函数 f(x)=2x+1，函数 g(x)=3x-2，求复合函数 h(x)=f(g(x)) 的值。
解：首先求出 g(x) 的值，即 g(x)=3x-2。
然后将 g(x) 的值代入 f(x) 中，得到 f(g(x))=2(3x-2)+1=6x-3。
因此，复合函数 h(x)=f(g(x)) 的值为 6x-3。
通过以上步骤，我们可以求解复合函数的问题。
求复合函数的定义域
求复合函数的定义域一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
3.1 函数定义域、值域和解析式求法小总结
函数定义域、值域和解析式求法小专题考点一：函数定义域的求法复合函数求定义域的题型：注意1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量x 的取值集合。
注意2：在同一函数f 作用下，括号内整体的取值范围相同。
题型1：已知)(x f 的定义域，求)]([x g f 的定义域；例1：已知)(x f 的定义域是]2,0[，求)12(-x f 的定义域。
1.解： )12(-x f 是由)(u f y =，12-=x u 复合而成，∴20≤≤u ，即2120≤-≤x ，∴2321≤≤x题型2：已知)]([x g f 的定义域，求)(x f 的定义域；例2：已知)12(-x f 的定义域是）（3,1-，求)(x f 的定义域。
2.解： )12(-x f 是由)(u f y =，12-=x u 复合而成，31<<-x ，∴5123<-<-x ，即53<<-u 。
题型3：已知)]([x g f 的定义域，求)]([x h f 的定义域；例3：已知)32(-x f 的定义域是]5,1[-，求)1(+x f 的定义域。
3.解： )32(-x f 是由)(u f y =，32-=x u 复合而成，51≤≤-x ，即7325≤-≤-x ，即75≤≤-u ，)1(+x f 是由)(v f y =，1+=x v 复合而成，∴75≤≤-v ，即715≤+≤-x ，即66≤≤-x 。
巩固练习：1.（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x ＋2)的定义域为______________。
（2）已知函数f(2x ＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。
1：【解析】（1）∵1≤x ＋2≤4，∵－1≤x≤2 （2）∵－1＜x ＜0，∵－2＜2x ＜0，∵－1＜2x ＋1＜12.（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______。
几种复合函数定义域的求法
配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。
f(x －1x )＝x 2＋1x 2,函数f(x)的解析式换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种代换遵循了同一函数的原则。
f(x ＋1)＝x 2＋x,函数f(x)的解析式：复合函数的定义域复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。
）说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f复合函数的定义域求法.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
求复合函数的相关问题(集锦)
求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、 基本类型：1、 求下列函数的定义域。
（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()f x =二、复合函数的定义域1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域 2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域 3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1） 求函数y x =+分分式法 求21+-=x x y 的值域。
解：（反解x 法） 四、判别式法（1）求函数22221x x y x x -+=++；的值域2）已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。
五：有界性法：（1）求函数1e 1e y xx +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。
令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ). 课堂练习： 1．函数1211)(22+-+++=x x x x x f 的定义域为2．函数()f x =的定义域为3．已知)2(x f 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为 4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域5．求函数)(x f ＝xx213+-（x ≥0）的值域 6.求函数322322-++-=x x x x y 的值域7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.8已知 2f (x )+f (-x )=10x, 求 f (x ).9已知f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练： 1．求函数y ＝()22x x-+的定义域。
复合函数
复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.形象的称u=g(x)为内函数，y=f(u)为外函数。
1、复合函数的解析式求解：已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f例2．已知 求；2、复合函数的定义域（也叫做抽象函数定义域）1).已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2).已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3).已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 例3. 函数 y=(x+1)f 定义域是[-2,3]，则=(2x-1)y f 的定义域是（ ） 例4 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 四、复合函数单调性问题：（1）．复合函数单调性的判断：复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同增异减”.（2）、复合函数))y=的单调性判断步骤：fg(x(1、确定函数的定义域；将复合函数分解：)(xgu=。
函数的复合过程复合函数怎么求
函数的复合过程复合函数怎么求首先，我们来介绍函数的复合过程。
所谓函数的复合过程，就是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)的定义域为集合A，值域为集合B，g(x)的定义域为集合B，值域为集合C，那么可以定义这两个函数的复合过程为：(g◦f)(x)=g(f(x))其中，符号“◦”表示函数的复合。
在复合过程中，先对x进行f(x)的运算，得到一个值，然后把这个值作为g(x)的输入，再进行g(x)的运算，得到最终的输出。
接下来，我们来介绍复合函数的概念。
所谓复合函数，就是将一个函数作为另一个函数的输入，并得到一个新的函数。
具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)的定义域为集合A，值域为集合B，g(x)的定义域为集合B，值域为集合C，那么可以定义这两个函数的复合函数为：(g◦f)(x)=g(f(x))与函数的复合过程不同的是，复合函数的输入仍然是自变量x，而输出则是复合函数的取值。
接下来，我们来讨论如何求解函数的复合过程和复合函数。
在求解复合过程时，需要先将一个函数的输出作为另一个函数的输入，然后对输入进行运算得到输出。
具体的求解步骤如下：1.确定函数的定义域和值域：首先要明确每个函数的定义域和值域，这样才能确定函数的复合过程是否有意义。
2.确定复合过程的具体形式：根据需要求解的问题，确定函数的复合过程的具体形式，即确定哪个函数的输出将作为另一个函数的输入。
3.进行复合运算：根据复合过程的具体形式，进行相应的运算。
先对输入进行第一个函数的运算，得到一个值，然后把这个值作为第二个函数的输入，再进行第二个函数的运算，得到最终的结果。
求解复合函数的步骤也类似，但是需要注意复合函数的输入仍然是自变量x，而输出则是复合函数的取值。
具体的求解步骤如下：1.确定函数的定义域和值域：同样需要明确每个函数的定义域和值域，以确定复合函数的定义域和值域。
2.确定复合函数的具体形式：根据需要求解的问题，确定复合函数的具体形式。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
2
x 1
在区间 [0,) 上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。 （把你认为正确的命题序号都填上）
7
2.函数 y e |ln x| | x 1 | 的图象大致是（
）
6
Go the distance
3． （2008 江苏南通模拟， 5 分） 设 f ( x) o g l
3 3
a
（ a 0 且 a 1） ， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 1 （ xi R ， x
a a a 函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 , ,由 ,3 , 得 3 ,即 a 6 . 2 2 2
【过关检测】
1. （1） f ( x)
x 2 5x 4 ;
2） g ( x) ( ) 4( ) 5
4.求复合函数的单调性 若 u g ( x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则 5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇
【例题讲解】
y f ( x)
增函数 减函数 减函数 增函数
则 y f [ g ( x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
一、复合函数定义域解析式 例1 设函数 f ( x) 2 x 3, g ( x) 3x 5 ，求 f ( g ( x)), g ( f ( x)) ．
1 2
2
2.求函数 y 4
x
3 2 x 5 的单调区间和值域.
例2
求 f ( x) = 5 - 4 x - x 2 的单调区间及值域
变式练习 2 求函数 f(x)= 2
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数的定义域和值域
复合函数的定义域和值域Hessen was revised in January 2021如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。
本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。
1．求复合函数的定义域关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。
例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。
解析由故函数的定义域为。
例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。
解析由由a>0，而知只有当0<a<1时，不等式线才有解，解集为；否则，不等式组的解集为空集，这说明仅当o<a<1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为。
2．求复合函数的值域关键是由里向外，逐层解决。
例3函数的值域是（）（A）（B）[0，4]（C）（D）解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。
由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。
例4求函数的值域。
解析函数是由函数复合而成的。
由u的定义域得：。
由，或y>1，故所给函数的值域为。
3．求复合函数的奇偶性（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。
除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。
例5判断下列函数的奇偶性。
解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。
解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。
例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。
解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。
例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。
复合函数求解析式解题技巧
复合函数求解析式解题技巧求解复合函数的解析式是高中数学中的一种重要技巧，也是解决相关问题的常用方法之一。
对于给定的两个函数，可以通过复合运算得到一个新的函数，它是两个函数的组合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
本文将介绍复合函数求解析式的一般方法和一些常用的技巧。
一、复合函数的定义和表示复合函数是指由两个已知的函数f(x)和g(x)组成的一个新函数h(x)，它的定义如下：h(x) = f(g(x))其中，f(x)表示函数f关于自变量x的解析式，g(x)表示函数g关于自变量x的解析式，h(x)表示函数h关于自变量x的解析式。
二、复合函数求解析式的一般方法要求解复合函数的解析式，可以按照以下步骤进行。
1. 将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
2. 将复合函数的自变量替换成中间变量，即设y = g(x)。
3. 将中间变量y代入函数f的解析式，得到h(x) = f(y)。
4. 将中间变量y的解析式替换成g(x)的解析式，得到h(x) = f(g(x))。
需要注意的是，求解复合函数的解析式时，需要注意两个函数之间的定义域和值域是否相容。
即函数g的值域必须是函数f的定义域的子集，否则无法进行复合运算。
三、常用的复合函数求解析式的技巧在实际的题目中，常常需要利用复合函数求解析式解决问题。
以下是一些常用的技巧和方法。
1. 复合函数的相反运算有时候需要求解复合函数的相反运算，即已知h(x)，要求g(x)。
可以通过以下步骤进行求解。
将复合函数的解析式表示出来，即h(x) = f(g(x))。
将复合函数的自变量和因变量互换位置，得到g(x) = f ⁻¹(h(x))，其中f⁻¹表示函数f的反函数。
需要注意的是，函数f必须是可逆的，即函数f必须是单调且一一对应的。
2. 复合函数的化简运算有时候需要求解复合函数的结果，可以通过化简运算来简化问题。
例如，已知f(x) = 2x + 3和g(x) = x²，求h(x) = f(g(x))的解析式。
函数定义域、值域,解析式求法总结
函数定义域、值域，解析式求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
数学公式知识：复合函数的概念与计算方法
数学公式知识：复合函数的概念与计算方法复合函数是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。
本文将详细介绍复合函数的概念与计算方法，希望能够对读者有所帮助。
一、复合函数的定义先来看一个简单的例子，设有函数y=f(x)=x^2和函数y=g(x)=x+1，那么我们可以得到一个新的函数y=h(x)=f(g(x))。
这个新的函数h(x)就是复合函数。
复合函数的定义如下：设有函数f(x)与g(x)，则当g(x)的值域是f(x)的定义域时，可以定义出一个新的函数h(x)=f(g(x))，即h(x)为f(x)和g(x)的复合函数。
从上面的例子可以看出，复合函数是多个函数通过一定的运算组合而成的一个新函数。
它与单独的函数不同之处在于，复合函数的自变量x首先被代入g(x)中求出一个新的中间变量，然后再将这个中间变量代入f(x)中，得到复合函数的值。
二、复合函数的计算方法要想计算一个复合函数，我们需要先确定复合函数的定义域和值域。
下面我们将具体介绍复合函数的计算方法。
1.内层函数求解首先，我们需要求解复合函数中的内层函数，即先算g(x)。
例如，在上面的例子中，g(x)=x+1。
2.外层函数求解接着，我们将求出的中间变量代入外层函数中求解，即求解f(g(x))。
例如，在上面的例子中，f(x)=x^2，那么f(g(x))就是(f(x))^2，即(x+1)^2。
3.简化复合函数如果可以，我们可以简化复合函数的表达式。
例如，在上面的例子中，可以将(x+1)^2展开得到x^2+2x+1，因此f(g(x))=x^2+2x+1。
但是，在有些情况下，复合函数可能无法简化。
4.确定复合函数的定义域和值域最后，我们需要确定复合函数的定义域和值域。
对于复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是g(x)的定义域，而它的值域是f(x)的值域。
我们需要通过分析g(x)和f(x)的定义域和值域来确定复合函数的定义域和值域。
三、复合函数的应用复合函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案
复合函数一，复合函数得定义:设y就是u得函数,即y=f(ｕ),u就是x得函数,即u=g(x),且ｇ(x)得值域与f(ｕ)得定义域得交集非空,那么y通过u得联系成为ｘ得函数,这个函数称为由y＝f(u),u=g(x)复合而成得复合函数,记作y=ｆ［g(x)］,其中u称为中间变量、二，对高中复合函数得通解法——综合分析法1、解复合函数题得关键之一就是写出复合过程例1:指出下列函数得复合过程。
(１)y=√２—x２ (２)y=sin３x (3)y＝ｓin３x (4)y=3cｏｓ√１—x2 解:(１) y＝√2－x2就是由ｙ=√u,ｕ=2－x2复合而成得、(2)y=sｉn3ｘ就是由y=ｓinu,u=3x复合而成得。
(3)∵ｙ=ｓin3x=(ｓｉnx)-3∴ｙ=ｓin3x就是由y=ｕ—3,u=ｓｉnx复合而成得。
(4)ｙ=3ｃｏs√1+x2就是由y=3cosu,u=√r,ｒ=1+x2复合而成得。
２、解复合函数题得关键之二就是正确理解复合函数得定义、瞧下例题:例2:已知ｆ(x+３)得定义域为［１、2］,求ｆ(2x－５) 得定义域。
经典误解１:解:ｆ(x＋3)就是由y＝f(u),u=ｇ(x)＝x+3复合而成得。
Ｆ(２x—5)就是由y＝f(u2),u2=g(x)＝2x-5复合而成得。
由ｇ(ｘ),G(x)得:u２=2x－11即:y=f(u２),ｕ2=2x-11∵ｆ(u1)得定义域为［1、2]∴１≤x﹤2∴—9≤2x－11﹤—6即:y=ｆ(u2)得定义域为［—９、—6]∴f(２ｘ—5)得定义域为［—9、-6］经典误解2:解:∵f(x+3)得定义域为［１、2］∴1≤x+3﹤2∴—２≤x﹤-1∴-4≤2ｘ﹤－２∴－9≤2ｘ—5﹤-7∴f(2x－5)得定义域为［—9、-7］(下转2页)注:通过以上两例误解可得,解高中复合函数题会出错主要原因就是对复合函数得概念得理解模棱两可,从定义域中找出“y”通过u得联系成为ｘ得函数,这个函数称为由y=ｆ(u),u=g(ｘ)复合而成得复合函数,记作y=f[g(ｘ)］,其中u称为“中间变量”、从以上误解中找出解题者易将f(ｘ+3)得定义域理解成(ｘ＋3)得取值范围,从而导致错误。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
千里之行，始于足下。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。
在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。
本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。
一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。
二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。
2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。
3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。
三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。
2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。
四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。
2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。
3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
复合函数
一：复合函数理解对函数y=f(t),t=g(x),称f(g(x))的形式函数为复合函数，自变量为x,f(t)称为外函数，g(x)称为内函数。
问题：1。
为什么f(g(x))是函数？2。
举几个复合函数的例子并指出内外函数。
例1.已知f(x)=x+1x，g(x)=x2-2，求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式。
二：复合函数求定义域，值域，单调性。
<1>求定义域例2．（1）设函数f(x)的定义域为（0，1），求函数f(lnx)的定义域（2）若函数f(x)=1x+1，则函数f[f(x)]的定义域例3．已知f(3-2x)的定义域为[-1,2]，求函数f(x)的定义域为例4．若函数f(2x)的定义域为[-1,1]，则f(log2x)的定义域为<2>求值域例5．（1）求函数y=1x2-1的值域（2）y=⎝⎛⎭⎫45x2-2x（3）求函数y=log0.5(-x2+2x+3)的定义域，值域例6．（1）已知x2+x≤0,求f(x)=2x+2-3(4x)的最大值和最小值及取最值时相应的x的值（2）已知f(x)=log3x+2(1≤x≤9),则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域。
练习：1。
若函数f(x)=log a(x+1)(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a2．已知函数y=4x-3.2x+3的值域是[1，7]，求x的取值范围<3>求单调性例7．（1）求函数y=2–2x＋1的单调区间（2）判断函数f(x)=log12(x2-2x)的单调性例8．若函数y=loga(2－ax)在[0，1] 上是减函数，求a的取值范围例9.求函数y=4x-0.5+3*2x+5的单调区间。
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求复合的定义域、值域、解析式（集锦）一、 基本类型：1、 求下列函数的定义域。
（1）12)(-+=x x x f （2）xx x x f -+=0)1()(（3） 111--=x y （4）()f x =二、复合函数的定义域1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法（1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法：（1） 求函数y x =+分分式法 求21+-=x x y 的值域。
解：（反解x 法） 四、判别式法（1）求函数22221x x y x x -+=++；的值域2）已知函数21ax by x +=+的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。
五：有界性法：（1）求函数1e 1e y xx +-=的值域六、数形结合法---扩展到n 个相加（1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法已知23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式.一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y+=+++求()f x 。
令x=0，y=2x 待定系数法设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).课堂练习：1．函数1211)(22+-+++=x x x x x f 的定义域为2．函数()f x =的定义域为3．已知)2(xf 的定义域为[0,8]，则(3)f x 的定义域为4．求函数542+-=x x y ，]4,1(∈x 的值域 5．求函数)(x f ＝xx213+-（x ≥0）的值域 6.求函数322322-++-=x x x x y 的值域7已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式. 8已知 2f (x )+f (-x )=10x , 求 f (x ).9已知 f {f [f (x )]}=27x +13, 且 f (x ) 是一次式, 求 f (x ). 三、课后训练：1．求函数y ＝()022x x -+要求：选择题要在旁边写出具体过程。
2．下列函数中，与函数y x =相同的函数是 （ C ）()A 2x y x= ()B 2y = ()C lg10x y =()D 2log 2x y =3．若函数)23(x f -的定义域为[－1，2]，则函数)(x f 的定义域是（ C ）A ．]1,25[--B ．[－1，2]C ．[－1，5]D ．]2,21[4，设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．25．下面各组函数中为相同函数的是（ D ） A ．1)(,)1()(2-=-=x x g x x f B ．11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f C ．22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f D ．21)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f 6.若函数)(},4|{}0|{113)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥⋃≤--=的定义域是( B )A ．]3,31[ B ．]3,1()1,31[⋃ C ．),3[]31,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)7．若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ C ）A ．]43,0(B ．)43,0(]43,0[ D ．)43,0[8、已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( D )A 、[ 1，+∞）B 、[0，2]C 、（-∞，2]D 、[1，2]9．已知函数的值域1279,4322+--=-+=x x x y x x y 分别是集合P 、Q ，则（ C ）A ．p ⊂QB ．P=QC ．P ⊃QD ．以上答案都不对10．求下列函数的值域： ①)1(3553>-+=x x x y ②y=|x+5|+|x-6| ③242++--=x x y④x x y 21-+= ⑤422+-=x x xy11、已知函数)0(12)(22<+++=b x cbx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值。
12.已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式.13.若 3f (x -1)+2f (1-x )=2x , 求 f (x ).14.设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.课后训练答案： 1．4(,)(0,2)(2,)3-∞-+∞ 2.—9:C,C,B,D,B,D,C10. 3{|}5y y ≠,[11,)+∞,5[,4]2,[1,)+∞,11[,]62- 11.c=2,b=-1 12. 2()1f x x x =-+ 13. 17()55f x x =+14. 2()1f x x x =++【练习】 1求函数定义域 2已知函数f 1x +[ 0，3 ]，求f （x ）的定义域3已知函数f （x ）定义域为[ 0 , 4], 求f ()2x 的定义域4求函数的值域（注意先求函数的定义域）① 31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 ) ②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5( 配方法 ：形如2y ax bx c =++ ) ③21y x x =--换元法：形如y ax b cx d =+±+) ④1xy x =+ ( 分离常数法：形如cx dy ax b+=+ )5求下列函数的解析式①已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式 ②已知f （x+1）= 223x x ++，求f （x ）的解析式③已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ） ④已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域 5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是（ ）A 、(－∞,+∞)B 、(0,43]C 、(43,+∞) D 、[0, 43)11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）(A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D)04m <≤12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ）(A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D)11x -<<13、函数()f x = ）A 、[2,2]-B 、(2,2)-C 、(,2)(2,)-∞-+∞D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x=+≠是（ ）A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数15、函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =16、已知函数f x ()的定义域是(]01，，则g x f x a f x a a ()()()()=+⋅--<≤120的定义域为 。