5、函数的定义域和值域答案
函数的定义域和值域
函数的定义域、值域一、知识回顾第一部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任意一个数x ，按照确定的法则f ，都有唯一的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的一个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或ax y=，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的自变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定自变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 用集合来表示. 3.区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <.满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定方法：保证函数有意义，或者符合规定，或满足实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次方根式的大于等于零. （3）对数数函数的真数大于零.（4）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （5）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ϕ=的定义域的方法为解不等式：A x ∈)(ϕ，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ϕ=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的方法:A x ∈，求)(x ϕ的取值范围即可.第二部分：函数的值域函数值域的确定方法：（1）直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.（3）换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解. （4）配方法：适用于二次函数值域的求值域. （5）判别式法：适用于二次函数型值域判定.（6）单调性法：利用单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利用已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利用不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目.二、 精选例题第一部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（ ）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意⎩⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（ ）A .()0,+∞B .(),0-∞ C.()(),11,0-∞-- D.()()(),11,00,-∞--+∞【解析】由⎩⎨⎧≠-≠+001x x x 得,01⎩⎨⎧<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（ ）5.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】 ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.又由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？ 【解析】 函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（ ） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠⇒≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠⇒≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-xx f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-x x ()2100312≤≤⇒≤-⇒x x x故函数⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 213的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x例7.若函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，无意义，∴0≠k ； 当0<k 时，()268y kx x k =-++为开口向下的二次函数，图像向下延伸， 函数值总会出现小于零的情况，进而，0<k 不成立，当0>k 时，同时要求0≤∆，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以⎩⎨⎧≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---又121<<-x，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，即)0,21()21,2(--- )2,2(- =)0,21()21,2(---故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(--- .例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x xb b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第二部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x 01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,2.分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++=故值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， 所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常用此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三角换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x 1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤ 4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配方法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+， 因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤， 所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=∆y .解得2321≤≤y ， 当1=y 时，0=x ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211，故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ， 令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数， 所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e 011>-+∴y y ，解得11<<-y ， 所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法： 例9.求函数xx y 4+=的值域； 【解析】当0>x 时，4424=⋅≥+=xx x x y （当x =2时取等号）； 所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞. 当0<x 时，442)4(-=⋅-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）； 所以当0<x 时，函数值域为]4,(--∞. 综上，函数的值域为),4[]4,(+∞--∞10.数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ∆，()23()1,2--ABPxy••BPA根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、 课堂训练第一部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（ ）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01. ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()⎩⎨⎧≥≥-001x x x ⎩⎨⎧≥≤≥⇒001x x x 或即[){}0,1 +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 11211++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≠≠+≠++001101121x x x解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈⇒x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,31 ()+∞,03.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域. 【解析】① 函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ② 函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】 函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上方，则()x f 的定义域为（ ）.{}1.<x x A {}1.>x x B {}11.-≠<x x x C 且 {}11.≠->x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-⇒x 得;10<≤x当0<x 时，有()012>+x 1-≠⇒x 得.10-≠<x x 且 综上，,11-≠<x x 且故选.C6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==用x a ,表示z .（2）设ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且方程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ∆的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11zay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原方程可以转化为0)(10lg22222=-+-a b c x x 又因为方程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=∆ab c ， 必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ∆为直角三角形.第二部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域.【解析】将函数配方得：()412+-=x y []2,1-∈x由二次函数的性质可知：当1=x 时，,4min =y 当1-=x 时，8max =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=t t t y又,0≥t 由二次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增大时，y 值趋于∞+， 故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域.【解析】定义域满足⎩⎨⎧≥+-≥-023032x x x 3≥⇒x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开口向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从而知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域 【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域.【解析】0≥x 33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞- 例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配方，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】 1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1； ①当1≠y 时，方程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=∆y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31⎥⎦⎤⎢⎣⎡例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为无上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为无上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、 课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（ ）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（ ）.A 最大值2，最小值2- .B 最大值3，最小值1- .C 最大值4，最小值0 .D 最大值1，最小值3-4.已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为（ ） 41.A 21.B 22.C 23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()4313512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83⎥⎦⎤⎢⎣⎡试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤⇒≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--≤x x x ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈⇒y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平方，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，2284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B【解析】∴≥+392x 3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥⇒≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最大值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ∆中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最大.PB PA y +==AB 故()()37422122=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的 所以在21=x 时，取得最小值.即⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21y .11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f即有(),212131≤-≤x f令(),21,31,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉21,311 ，∴函数()t g y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31上单调递增，,9731min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴g y ∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=.8721max g y 函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最小者，则()x f 的最大值是什么？7.已知⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域： （1）[);5,1,642∈+-=x x x y（1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3232, ，求k 的值.11.（1）已知函数⎩⎨⎧≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最小值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥⇒≥+x x ，即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10, y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=∴t t t y ，又o t ≥，∴结合二次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥815y y . 4.【解析】 ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=∆y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=∆y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，而2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同一直角坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最大值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()38max =x f . 7.【解析】 ⎪⎭⎫⎝⎛-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,45x 8.【解析】（1）配方，得().222+-=x y [),5,1∈x ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号里配方得：()30922≤≤⇒+--=y x y 即[]3,0∈∴y .9.【解析】原式可变为()[)[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+--∞-∈=,3,43,1,221,,4x x x x y 44≤≤-⇒y 即[]4,4-∈y10.【解析】232+-=kx x y 的反函数为kx x y -+=232，其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,22,k k ，故.3322-=⇒-=k k 11.【解析】（1）当0≥x 时，0)(2≥=x x f ，则42)())((x x f x f f ==；当0<x 时，,0)(<=x x f 则x x f x f f ==)())(( 所以⎩⎨⎧≥<=0,0,))((2x x x x x f f（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=2,12,3)(22x x x x x x x f由)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ， 在)2,(-∞上的最小值为43)21(=f 故函数)(x f 在R 上的最小值为43. 12.【解析】,425232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 因为,4,425⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈y 又,4)0(-=f ,42523-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ()43-=f ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒≤≤3,23323m m . 【训练题C 类】1.函数()()R x x x f ∈+=211的值域是（ ） []1,0.A [)1,0.B (]1,0.C ()1,0.D2.函数()155+=x xx f 的值域是（ ） ()()+∞-∞-,51,. A ()5,1.B()()+∞∞-,11,. C ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5151,. D3.下列函数中，值域是()+∞,0的是（ ）12.2+-=x x y A ()()+∞∈++=,012.x x x y B ()Nx x x y C ∈++=121.211.+=x y D 4.求函数x x y 431-+-=的值域.5.求x x y ++-=12的值域.6.函数()112->++=x x x y 的值域是.7.已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()x f x x xf +=+11，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f 的值是多少？8.求函数)2(x x x y -+=的值域.9.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-∞∈-=),0[,1)0,(,11)(2x x x x x f ，求)1(+x f .10.已知函数()x f 的定义域为()b a ,且,2>-a b 则()()()1313+--=x f x f x F 的定义域为()13,13.-+b a A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+31,31.b a B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,31.b a C ⎪⎭⎫⎝⎛++31,31.b a D11.若函数()x f y =的定义域为[],1,1-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域.【参考答案】1.【答案】C【解析】.1110,11,0,222≤+<∴≥+∴≥∴∈x x x R x∴函数()()R x xx f ∈+=211的值域为(].1,0 2.【答案】C 【解析】15115155+-+=+=x x x x y 1511+-=x 11511015≠+-∴≠+x x 即1≠y 知()()+∞∞-∈,11, y 故选.C3.【答案】D 【解析】A 中()012≥-x [)+∞∈∴,0yB 中11112++=++x x x ()+∞∈,0x 21<<∴y 即()2,1∈y C 中()2211121+=++=x x x y N x ∈ ()1,0∈∴y D 中由题意知01>+x ()+∞∈+∴,011x 故选D 4.【解析】令()01≥=-t t x 则()012≥+=t t x则142-+-=t t y ()o t t ≥⎪⎭⎫⎝⎛--=2214则0≤y .5.【解析】两边平方：6649212322≤⇒≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=y x y6.【解析】()12111211111112->=+⋅+≥+++=+++=++=x x x x x x x x x y当且仅当111+=+x x 即0=x 时成立，故2≥y 7.【解析】由()()()x f x x xf +=+11可得：23=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛23252523f f ， 21=x 时，⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛21232321f f ， 21-=x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212121f f .又.025,023021=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f又()()()(),111111--=+--f f ()().0100=-=-∴f f()().0025,00==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=∴f f f f8.【解析】由0)2(≥-x x 解得定义域为20≤≤x两边平方整理得：0)1(2222=++-y x y x （1）因为0)1(2222=++-y x y x 一定有根，所以08)1(42≥-+=∆y y解得：2121+≤≤-y由0≥∆仅保证关于x 的方程：0)1(2222=++-y x y x 在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根， 也就是说0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大， 故需要进一步确定此函数的值域. 采取如下方法进一步确定函数的值域. ∵20≤≤x 0)2(≥-+=∴x x x y ，把0min =y ，21+=y 带入方程（1）解得：]2,0[2222241∈-+=x即当时，2222241-+=x 时原函数的值域为：]21,0[+9.【解析】由复合函数的定义域知)1(+x f 的定义为),1[)1`,(+∞-⋃--∞当)1`,(--∞∈x 时 11)2(+=-x x f ，当),1[+∞-∈x 时22)1(2++=+x x x f 所以⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈++--∞∈+=+),1[,22)1,(,11)1(2x x x x x x f10.【答案】B【解析】由题意得⎩⎨⎧<+<<-<b x a b x a 1313，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-+<<+31313131b x a b x a 显然,3131->+b b ,3131->+a a 又,2>-a b 从而.3131+>-a b()x F ∴的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-+31,31b a ，故选.B11.【解析】 函数()x f y =的定义域为[]1,1-∴有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-14111411x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-45434345x x 得4343≤≤-x 故函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4141x f x f y 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43x .。
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知集合，则= .【答案】【解析】因为，所以，即=.【考点】函数的定义域，集合的运算.2.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，解得，故选C.【考点】函数的定义域，对数函数的性质.3.以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间.例如，当，时，，.现有如下命题：①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则；④若函数（，）有最大值，则.其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）【答案】①③④【解析】对①，若对任意的，都，使得，则的值域必为R；反之，的值域为R，则对任意的，都，使得.故正确.对②，比如函数属于B，但是它既无最大值也无最小值.故错误.对③，因为，而有界，故，所以.故正确.对④，.当或时，均无最大值.所以若有最大值，则，此时，.故正确【考点】1、新定义；2、函数的定义域值域.4.已知函数，.若存在使得，则实数的取值范围是．【答案】【解析】方程变形为，记函数的值域为，函数的值域为，设的取值范围为，则，作出函数和的图象，可见在上是增函数，在上是减函数，且，而函数的值域是，因此，因此.【考点】函数的图象，方程的解与函数的值域问题.5.设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3【答案】A【解析】当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．6.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二次根式的定义可得,所以函数的定义域为,故选A.【考点】定义域一次不等式7.设函数若是的三条边长，则下列结论正确的是_____ _.(写出所有正确结论的序号)①②，使不能构成一个三角形的三条边长；③若【答案】①②③【解析】由题意得.令，则是单调递减函数.对①，..②，令，因为是单调递减函数，所以在上一定存在零点,即,此时不能构成三角形的三边.③，为钝角三角形，则由余弦定理易知,即,又，且连续，所以使.故①②③都正确.【考点】1、函数的单调性；2、三角形.8.函数的定义域是．【答案】【解析】由题意，．【考点】函数的定义域．9.设函数若,则实数( )A．4B．-2C．4或D．4或-2【答案】C【解析】因为，所以得到或所以解得或.所以或.当可时解得.当时可解得.【考点】1.复合函数的运算.2. 分类讨论的思想.10.函数的定义域是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可得,所以该函数定义域为,故选A.【考点】定义域二次不等式11.如图，两个工厂A、B相距2km，点O为AB的中点，要在以O为圆心，2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A、B两厂的“总噪音影响度”y是A、B两厂“噪音影响度”的和，设AP为xkm.(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；(2)当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？【答案】（1）y＝(≤x≤)（2）AP＝km【解析】(1)(解法1)如图，连结OP，设∠AOP＝α，则≤α≤.在△AOP中，由余弦定理得x2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，在△BOP中，由余弦定理得BP2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cosα，∴BP2＝10－x2，∴y＝.∵≤α≤，∴≤x≤，∴y＝(≤x≤)．(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m，n)，则PA2＝(m＋1)2＋n2，PB2＝(m－1)2＋n2.∵m2＋n2＝4，PA＝x，∴PB2＝10－x2(后面解法过程同解法1)．(2)(解法1)y＝＝[x2＋(10－x2)]＝(5＋)≥(5＋2)＝，当且仅当，即x＝∈[，]时取等号．故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小．(解法2)由y＝，得y′＝－.∵≤x≤，∴令y′＝0，得x＝，且当x∈时，y′<0；当x∈(，]时，y′>0.∴x＝时，y＝取极小值，也即最小值．故当AP＝km时，“总噪音影响度”最小12.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>113.函数f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0，2]的值域为________．【答案】[－3，5]【解析】由f(x)＝(x＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．14.已知函数f(x)=-的定义域为R,则f(x)的值域是.【答案】【解析】∵2x>0,∈(0,1),∴-<-<,故函数值域为.15.函数f(x)=+lg的定义域是()A．(2,4)B．(3,4)C．(2,3)∪(3,4]D．[2,3)∪(3,4)【答案】D【解析】要使函数有意义,必须所以函数的定义域为[2,3)∪(3,4).16.函数的定义域为．【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得.【考点】函数的定义域.17.函数f(x)＝的定义域为________．【答案】(－1,0)∪(0,2]【解析】根据使函数有意义的条件求解．由得－1＜x≤2，且x≠0.18.函数f(x)＝＋的定义域为()．A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]【答案】A【解析】由题意，解得－3＜x≤0.19.函数f(x)＝e x sin x在区间上的值域为 ()．【答案】A【解析】f′(x)＝e x(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0.∴f(x)在上是单调增函数，∴f(x)＝minf(0)＝0，f(x)＝f＝.max20.设函数，若和是函数的两个零点，和是的两个极值点，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】,若和是函数的两个零点,即和是方程的两根，得到,,,由已知得和是的两根，所以,故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的极值点.21.函数的定义域为______________.【答案】【解析】为使有意义，须解得，所以函数的定义域为【考点】函数的定义域，对数函数的性质，简单不等式的解法.22.函数的定义域为( )A．;B．;C．;D．;【答案】C【解析】函数的定义域包含三个要求，由不等式组解得.所以选C.本题要注意的解法将不等式化为.由于函数是递增的，所以结合另两个的式子可得结论.【考点】1.偶次方根的定义域.2.分母的定义域.3.对数的定义域.23.函数的定义域是( )A．(-¥,+¥)B．[-1,+¥）C．[0,+¥]D．(-1,+¥)【答案】B【解析】依题意可得.故选B.本小题是考查函数的定义域问题；函数的偶次方根的被开方数要大于或等于零这种情况.函数的定义域是函数三要素之一，也是研究函数的首要组成部分，大致情况有四种.在接触函数的题型时就得考虑函数的定义域.【考点】函数的定义域.24.函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知函数的定义域为..又有函数在上递增，所以函数在区间上是递减的.故选C.本小题主要是考查复合函数的单调性同增异减.另外要关注定义域的范围.这也是本题的关键.【考点】1.函数的定义域.2.复合函数的单调性.25.已知函数．（1）求函数的定义域；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．【答案】(1)若即时，；若即时，；若即时，.（2）.【解析】(1)对数函数要有意义，必须真数大于0，即，这是一个含有参数的不等式，故对m分情况进行讨论；（2）根据复合函数单调性的判断法则，因为是增函数，要使得若函数在上单调递增，则函数在上单调递增且恒正，据些找到m满足的不等式，解不等式即得m的范围.试题解析：(1)由得：若即时，若即时，若即时，（2）若函数在上单调递增，则函数在上单调递增且恒正。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的值域为（）A．[0,3]B．[-1,0]C．[-1,3]D．[0,2]【答案】C.【解析】先将函数方程化为，，再由二次函数的图像知，当时，函数取得最小值且为-1；当时，函数取得最大值且为3.所以函数的值域为[-1,3]. 故应选C.【考点】二次函数的值域.2.函数的定义域为 .【答案】.【解析】∵，∴，∴函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】由题意得：函数的值域包含，当时，满足题意；当时，要满足值域包含，需使得即或，综合得：实数的取值范围是.【考点】函数值域4.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）奇函数，（2）.【解析】（1）判断函数奇偶性，从两个方面入手，一要判断定义域，若定义域不关于原点对称，则函数就为非奇非偶函数，二在函数定义域关于原点对称前提下，判断与的关系，如只相等，则为偶函数，如只相反，则为奇函数，如既相等又相反，则既为奇函数又为偶函数，如既不相等又不相反，则为非奇非偶函数，本题定义域为R，研究与的关系时需将负指数化为对应正指数的倒数，（2）研究函数的值域，一要看函数解析式的结构，本题是可化为型，二是结合定义域利用函数单调性求值域.试题解析：（1）∵，， 4分∴是奇函数． 5分（2）令，则． 7分∵，∴，∴，∴，所以的值域是． 10分【考点】函数奇偶性，函数值域.5.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域.6.下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的递增区间为；④若函数的最大值为3，那么的最小值就是.其中正确的个数为 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】因为函数的定义域为R，的定义域为.所以①不成立. 由函数的定义域为，所以.所以函数要满足.所以函数的定义域为.故②不成立.因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确，所以③不成立.因为函数y=与函数y=的图像关于y轴对称，所以④不正确.故选A.【考点】1.函数的概念.2.函数的定义域.3.函数的对称性.7.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．【答案】【解析】，即。
函数的概念定义域和值域含答案
函数的概念、定义域和值域1.函数y =的定义域为（ ） A. []5,1- B. [)5,0- C. (]0,1 D. [)(]5,00,1- 2.已知(1)f x +=(21)f x -的定义域为（ ） A. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为（ ）A. [)1,-+∞B. (],1-∞C. []1,2D. []1,1-4.下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ）A. y =B. ()20,1x y x x +=∈+∞+C. ()2121y x N x x =∈++D. 11y x =+ 5.函数()31f x x x =--+的值域是（ ）A. (),1-∞-B. []4,4-C. (),4-∞-D. R6.已知()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(72)f = 。
7.若()12g x x =-，[]221()x f g x x-=，则1()2f 的值为 。
8.设函数()()()3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(5)f = 。
9.函数22123x y x x -=--的值域为 。
10.设()f x 表示6x -+和2246x x -++中的较小者，则函数()f x 的最大值为 。
11．求下列函数的值域 （1）221x x y x x -=-+ （2）1y x =-12．已知()f x 是二次函数，若(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数2(2)y f x =-的值域。
13．函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()()21f x y f y x y x +-=++ 成立，且(1)0f =（1）求(0)f 的值； （2）求函数()f x 的解析式14．若函数()f x =R ，求实数a 的取值范围。
定义域和值域(含答案)
定义域和值域（含答案）一：例题讲解1．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A ．()()x x g x x f ==,2B ．1)(,11)(x 2+=--=x x g x x f C ．22)(,4)(2-⋅+=-=x x x g x x f D ．xx g x x f 2lg )(,lg 2lg )(=-= 【答案】D2．函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ）A ．[3,1]-B ．(3,1)-C ．(,3][1,)-∞-+∞UD ．(,3)(1,)-∞-+∞U 【答案】D3．函数01()()22f x x x =-++的定义域为（ ） A ．1(2,)2- B ．（－2，+∞） C ．11(2,)(,)22-⋃+∞ D ．1(,)2+∞ 【答案】C 4．若，则f （x ）的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C5．函数()1lg sin 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 ． 【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x,26526ππππ．6．若函数)12(-x f 的定义域为[]3,3-，则()f x 的定义域为 ____________． 【答案】[]-7,57．若函数)2(x f 的定义域是[]1,1-，则函数)12()12(++-x f x f 的定义域是 ． 【答案】11[,]22-． 8．已知函数()21f x mx mx =++R ，则实数m 的取值范围是 .【答案】04m ≤<【解析】要使()f x 的定义域是R ，即对任意的x 恒有210mx mx ++>，则当若0m =，恒有10>；当0m ≠，则有240m m m >⎧⎨∆=->⎩，解得04m <<．综上所述，04m ≤<． 9．函数[]3,0,342∈+-=x x x y 的值域为 A ．[]3,0 B ．[]0,1- C ．[]3,1- D ．[]2,0 【答案】C 10．函数的值域为（ ）A ．{y|y≥﹣1}B ．{y|y ∈R 且y≠0}C ．{y|y ∈R 且y≠4}D ．{y|y ∈R 且y≠﹣1} 【答案】（分离常数法）D11．函数2221x x y x ++=+的值域是（ ）A ．{|2y y ≤-或2}y ³B ．{|2y y <-或2}y >C ．{}|22y y -≤≤D ．{|2y y ≤-22}y ³ 【答案】（V 法）A ．12． 函数122+=x x y 的值域是（ ）A ．（0,1）B ．(]1,0C ．()+∞,0D ．[)+∞,0 【答案】（反解法）A13．函数2121()()2x x f x --=的值域是 ． 【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭14．设02x ≤≤，则函数124325x xy-=-⨯+的值域为 ．【答案】（换元法）1522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】1221432523252x x x x fx -=-⨯+=-⨯+（）（），令2xt =，则14t ≤≤，则22211111153531432222222y t t t t t =-+=-+≤≤∴≤-+≤Q （），，（），故答案为1522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．15．函数x x y 21--=值域为 ． 【答案】（换元法）1(,]2-∞【解析】设12x t -=，则0t ≥，212t x -=，所以222111(21)(1)1222t y t t t t -=-=--+=-++，因为0t ≥，所以12y ≤． 16．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]-，则(1)y f x =+的值域为 ． 【答案】[1,2]-【解析】函数()y f x =的图象向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象，因此它们的值域相同． 17．若函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是 ． 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23【解析】函数432--=x x y 的图象如图，当32x =时，函数有最小值254-，当x=0或x=3时函数值为-4，原题给出函数的定义域为[]m ,0，所以，从图象中直观看出332m ≤≤．18．函数R x x x x f ∈---=|,3||1|)(的值域是______________． 【答案】]2,2[-【解析】()|1||3|13f x x x x x =---=---，利用绝对值的几何意义可知()f x 表示x 到1的距离与x 到3的距离之差，结合数轴可知值域为]2,2[-19．函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,11,2x xx x x f 的值域是_____________．【答案】),0[∞+20．★已知f （x ）=x 2﹣3x+4，若f （x ）的定义域和值域都是[a ，b]，则a+b= ． 【答案】5【解析】∵f（x ）=x 2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b ＜2时，函数在区间[a ，b]上递减，又∵值域也是[a ，b]，∴得方程组即，两式相减得（a+b ）（a ﹣b ）﹣3（a ﹣b ）=b ﹣a ，又∵a≠b，∴a+b=，由，得3a 2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f （2）=1≠，故舍去．②当a ＜2＜b 时，得f （2）=1=a ，又∵f（1）=＜2，∴f（b ）=b ，得，∴b=（舍）或b=4，∴a+b=5③当a ＞2时，函数在区间[a ，b]上递增，又∵值域是[a ，b]，∴得方程组，即a ，b 是方程x 2﹣3x+4=x 的两根，即a ，b 是方程3x 2﹣16x+16=0的两根，∴，但a ＞2，故应舍去．故答案为：5二：练习21．()11xf x x=--的定义域是（ ）A ． (1]-∞，B ．(101-∞⋃，）（，）C ．(001-∞⋃，）（，]D ．[1+∞，） 【答案】C 22．函数的定义域为（ ）A ．（，1）B ．（，∞）C ．（1，+∞）D ．（，1）∪（1，+∞） 【答案】A23．已知1|1|3)(2---=x x x x f ，则函数)(x f 的定义域为（ ）A ．[]0,3B ．[)(]0,22,3UC ．()(]0,22,3UD ．()()0,22,3U 【答案】C24．若函数y=f （x ）的定义域是[﹣2，2]，则函数g （x ）=的定义域是 ．【答案】[﹣1，0）∪（0，1] 25．已知，则f （2x ﹣1）的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令x+1=t ，则x=t ﹣1，∴f （t ）==，∵﹣t 2+2t≥0，解之得0≤t≤2．∴函数f （t ）=的定义域为[0，2]．令0≤2x﹣1≤2，解得，∴函数f （2x ﹣1）的定义域为[，]．故选D ．26．函数f （x 231ax ax ++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛94,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡940， C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡940， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛940，[ 【答案】C【解析】由题意定义域为R ，则有2310ax ax ++>恒成立，当0a =时结论成立，当0a ≠时需满足0a >且0∆<，代入求解得409a <<，综上可得a 的范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡940， 27．函数2(13)y x x x =+-≤≤的值域是 （ ） A ．[0,12] B ．1[,12]4- C ．1[,12]2- D ．]12,43[ 【答案】B28．函数[]1,1,1)21()(-∈+=x x f x 的值域是 ． 【答案】]3,23⎢⎣⎡29．函数y ＝x 416－的值域是A ．[0，＋∞）B ．[0，4]C ．（0，4）D ．[0，4）【答案】D【解析】因为04>x ，所以164-160<≤x ，所以[)4,0416∈x －．30．函数y=2211xx +-的值域是（ ） A ［－1，1］ B （－1，1］ C ［－1，1） D ．（－1，1） 【答案】B31．求下列函数的值域：（1）xxy -+=43 （2）21y x x =++ （3） 223434x x y x x -+=++【答案】（1）{}1y y ≠- （2）{}2y y ≥- （3）177y y ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）34771444x x y x x x +-+==-=-----，7014y x ≠∴≠--Q ，所以值域为{}1y y ≠-（2）函数在定义域上是增函数，因此当1x =-时函数值最小为2-，所以值域为{}2y y ≥- （3）由函数解析式得2(1)3(1)440y x y x y -+++-=.①当1y ≠时，①式是关于x 的方程有实根．所以229(1)16(1)0y y ∆=+--≥，解得117y ≤≤. 又当1y =时，存在0x =使解析式成立，所以函数值域为1[,7]7．32．设函数2()2g x x =-，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩，则()f x 的值域是A ．9[,0](1,)4-+∞UB ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞D ．9[,0](2,)4-+∞U 【答案】D【解析】由题意可得()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤----<>++=21,212,222x x x x x x x x f 或，当()47212,1222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=-<>x x x x f x x 或，所以当1-=x 时有最小值2；当()49212,2122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=≤≤-x x x x f x ，所以当21=x 时有最小值49-，当2=x 时有最小值0，所以()f x 的值域是9[,0](2,)4-+∞U ． 33．已知]1,0[∈x ，则函数x x y --+=12的值域是（ ）A ．]13,12[--B ．]3,1[C ．]3,12[-D ．]12,0[- 【答案】C【解析】由题意得函数x x y --+=12在]1,0[∈x 上是增函数，所以()()min 01f x f ==，()()max 1f x f =，所以函数的值域为]3,12[-．。
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析
高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域为___________.【答案】.【解析】要使有意义，则，即，即函数的定义域为.【考点】函数的定义域.2.已知定义在上的函数是偶函数，且时，。
（1）当时，求解析式；（2）当，求取值的集合；（3）当，函数的值域为,求满足的条件【答案】（1）（2）当，取值的集合为，当，取值的集合为;（3）【解析】(1)设, 利用偶函数，得到函数解析式；(2)分三种情况进行讨论，结合（1）的解析式，判定函数在定义域内的单调性，函数是偶函数，关于y轴对称的性质，判定端点值的大小，从而求出取值集合；(3)由值域确定,,,所以分或进行求解试题解析：解：（1）函数是偶函数，当时，当时（4）（2）当，，为减函数取值的集合为当，，在区间为减函数，在区间为增函数且，取值的集合为当，，在区间为减函数，在区间为增函数且，取值的集合为综上：当，取值的集合为当，取值的集合为当，取值的集合为（6）（3）当，函数的值域为,由的单调性和对称性知，的最小值为，，当时，当时,（4）【考点】1 求分段函数的解析式；2 已知函数的定义域求值域；3 已知值域求定义域3.函数的定义域为 .【答案】【解析】有已知，得因为为增函数所以.【考点】1.函数定义域.2.对数不等式.4.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由函数的解析式可得，Lgx-1≠0, x＞0，即 0＜x＜10或10＜x，故函数定义域为 ,故选D．【考点】函数定义域.5.若函数的定义域为R，则实数可的取值范围是___________.【答案】【解析】由函数的定义域为R在R恒成立，当时，显然成立；当时，得；综上，.【考点】1.函数的定义域；2.二次函数的性质.6.已知定义在上的函数为单调函数，且，则 .【答案】【解析】设，令，则由题意得：，即；再令，则由题意得：，即，，∵函数为上的单调函数，解得：，即.【考点】函数值域，不等式恒成立，等比数列前n项和.7.函数定义域为，则满足不等式的实数m的集合____________【答案】【解析】因为函数定义域为又因为.所以.所以即为.即.所以.故填.本小题的关键点是字母比较多易混淆.【考点】1.函数的定义域.2.不等式的解法.3.待定的数学思想.8.设表示不超过的最大整数，如，若函数，则函数的值域为 .【答案】【解析】因为，所以所以当时，，，，故当时，，，，故当时，，，，故综上可知的值域为.【考点】1.新定义；2.函数的解析式；3.函数的值域.9.函数的值域为 .【答案】【解析】函数,对称轴为,开口向上，则由图像可知函数,即值域为.【考点】二次函数的定义域、对称轴、值域.10.函数的值域是 .【答案】【解析】，令，则，且，当时是增函数，而，所以，即.所以所求函数的值域为.【考点】二次函数的值域.11.如果函数y=b与函数的图象恰好有三个交点，则b= ．【答案】【解析】当x≥1时，函数图象的一个端点为，顶点坐标为，当x＜1时，函数顶点坐标为，∴当或时，两图象恰有三个交点．【考点】二次函数的性质点评：本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．12.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（）A．[ 0， 2]B．(0，2)C．(0，2]D．[0，)【答案】C【解析】根据题意，因为函数的定义域是[0，4]，可知x [0，4]，那么对于g(x)有意义时满足2x [0，4],x ,那么可知得到为(0，2]，故选C.【考点】函数的定义域点评：解决的关键是根据函数定义域的理解来得到函数的定义域，属于基础题。
5：函数的定义域和值域高三复习数学知识点总结(全)
（二）函数的定义域（1）解决函数问题，优先考虑定义域.若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x 的取值范围.实际问题中还要考虑自变量的实际意义.（2）分式中分母0≠；偶次根式中被开方数应为非负数；)0(10≠==x x y ；)10(≠>=a a a y x 且；,log x y a =真数,0>x 底数10≠>a a 且；x y sin =定义域为,R x y cos =定义域为,R x y tan =定义域为x {|},2Z k k x ∈+≠ππ.（3）复合函数的定义域方法：①定义域是输入值x 的集合；②同一对应法则下的括号内整体范围一样.例：已知)1(+=x f y 的定义域为],3,2[-则)12(-=x f y 的定义域为.答案：]25,0[小结：①若已知)(x f 的定义域为],,[b a 则复合函数))((x g f 的定义域可由b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],,[b a 则)(x f 的定义域即为],[b a x ∈时)(x g 的值域.（三）函数的值域（数形结合）常用方法法一：图象法（形）1.)10(22≤<+-=x x x y 2..30,113<≤+-=x x x y 3..14,4-≤≤-+=x xx y 法二：换元法+图象法（形）4.3212++=x x y 5.x x y 21-+= 6.1212+-=x x y 7.)0(422>+=x x x y 8.).1(1542>-+-=x x x x y 9.)10(210212≤≤++=x x xy 法三：单调性（导数和单调性的性质）（数）10.x x y 21--=11.2,0[,sin π∈+=x x x y 12.]3,3[,8123-∈+-=x x x y 法四：几何意义（形）13.2cos 1sin --=x x y 答案：1.]81,1[-；2.)2,1[-；3.]4,5[--；4.]21,0(；5.]1,(-∞；6.)1,1(-；7.]21,0(；8.),222[+∞-；9.]10103,22[；10.21,(-∞；11.]12,0[+π；12.]24,8[-；13.34,0[。
数学中的函数定义域与值域
数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。
4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。
二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。
3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。
4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。
三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。
2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。
3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。
四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。
2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。
3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。
4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。
5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。
五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。
2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。
3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。
4.对于对数函数，值域为实数集R。
5.对于分式函数，值域为非零实数集。
6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。
六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。
2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。
3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。
4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。
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函数定义映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”函数的概念1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。
函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例 函数y ＝xx 23与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x重点一：函数的定义域各种类型例题分析例 当a 取何实数时，函数y =lg(-x 2+ax +2)的定义域为(-1，2)?分析： 可转化为：确定a 值，使关于x 的不等式-x 2+ax +2>0的解集为(-1，2).解： -x 2+ax +2>0⇒x 2-ax -2<0，故由根与系数的关系知a =(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域 (1)212()||4x x f x x --=-（2）11232y x x x=+-+- ⑶4)3lg(2++=x x x y ⑷1||142-+-=x x y ⑸)1(log 31-=x y ⑹235684x x x y ---=抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f(…)”型例：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。
【类型二】“已知f(…) ，求f(x)”型例：已知f(x+1) 的定义域是[0，5]，求f(x)的定义域。
【类型三】“已知f(…)，求f(…)”型例：已知f(x+2)的定义域为[-2，3），求f(4x-3)的定义域。
【思路】f(…)→f(x)→f(…)例. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[l o g ()]222的定义域是___。
分析：因为l o g()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以l o g()2221x -≤，解得 22<≤x 或-≤<-22x 。
例 已知函数f (2x )的定义域是［-1，2］，求f (log 2x )的定义域.分析： 在同一法则f 下，表达式2x 与log 2x 的值应属于“同一范围”.解: ∵-1≤x ≤2，∴21≤2x ≤4故21≤log 2x ≤4即 log 22≤log 2x ≤log 216⇒2≤x ≤16.总结：已知F (g (x ))的定义域为A ，求F (h (x ))的定义域，关键是求出既满足g (x )∈B ，又满足h (x )∈B 的x 取值集合，在此例中，A =［-1，2］，B =［21，4］.例．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) 2()23f x +；(2)212()1log (2)f x y x +=-。
解：（1）由0＜x 2＜2， 得练习 1、函数()f x 的定义域是[0，2]，则函数(2)f x +的定义域是 ___________.2、已知函数()f x 的定义域是[-1，1]，则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.3、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)x f 的定义域为 ___________ ．重点二：求函数解析式的几种常用方法1.换元法：例 已知f(x+1)=2x +2x-3,求f(x)解: 令x+1=t,则x=t-1代入函数式中得:f(t)= ()21t -+2(t-1)-3= 2t -4 ∴f(x)= 2x -4说明:f(x),f(t)都是同一个对应法则,只是自变量的表示不同,从函数来看没有区别.练习、1 若f(x)=2x 2-1，求f(x-1)2 已知函数f(2x+1)=3x+2，求f(x).2.配凑法：上例中,把已知的f(x+1)中的x+1看成是一个整体变量进行处理.∵f(x+1)=2x +2x+1-4 = ()21x +-4用x 代替 x+1,得:f(x)= 2x -4 例 已知f(x+1x )= 221x x+ , 求f(x).分析：将221x x +用x+1x 表示出来，但要注意定义域。
解：f(x+1x )= 221x x + =212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 变式、1 已知x ≠0，函数f(x)满足f(xx 1-)=221x x +，求f(x) . 2 已知(1)2f x x x +=+，求()f x3、待定系数法：例.一次函数f(x)满足f[f(x)]=9x+8,求f(x).解：设此一次函数解析式为f(x)=kx+b,则有：f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b= 2k kb b ++由已知得：2k kb b ++=9x+8. 即298k kb b ⎧=⎨+=⎩ 解得32k b =⎧⎨=⎩ 或 34k b =-⎧⎨=-⎩ 所求一次函数解析式为：f(x)=3x+2,或f(x)=-3x-4.例 已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .4.解方程组法：例 设f(x)满足f(x)+2f(1x)=x (x ≠0 ),求f(x). 分析：要求f(x)需要消去f(1x ),根据条件再找一个关于f(x)与f(1x) 的等式通过解方程组达到目的。
解：将f(x)+2f(1x )=x 中的x 用1x 代替得f(1x )+2f(x)= 1x . 消去f(1x) 得 : 2()33x f x x =- 例 若3f(x)+f(-x)=22x –x,求f(x).解：用-x 替换式中x 得:3f(-x)+f(x)=22x +x.消去f(-x) 得：f(x)=22x -2x练习、1 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．2 若()f x 满足1()2(),f x f ax x+=求()f x重点三 函数的值域㈠、观察法：例、求下列函数的值域（1） y=3x+2 (-1≤x ≤1) （2）x x f -+=42)(㈡、配方法：例、已知函数142+-=x x y ，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x ∈R ； （2）[3，4] （3）[0，1] （4）[0，5]练习：1.已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈2.求函数2234x x y -+-= 的值域说明：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给x 的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域.例．若实数x 、y 满足x 2+4y 2=4x ，求S=x 2+y 2的值域解：∵4y 2=4x-x 2≥0∴x 2-4x ≤0，即0≤x ≤4 31)32(434344222222-+=+=-+=+=∴x x x x x x y x S ∴当x=4时，S max =16当x=0时，S min =0∴值域0≤S ≤16例．已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值． 分析：2)(a x x f y -==称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a ，而函数的自变量x 限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论． 解：43)2()(22a a x x f y -++== 734)1(212)1(min =∴-=-=-=>-<-a a f y a a 时，，即当 )(62343)2(22121)2(2min 舍得，时，，即当±=-=-=-=≤≤-≤-≤-a a a f y a a734)1(212)3(m i n -=∴-=+==-<>-a a f y a a 时，即，当 综合（1）（2）（3）可得：a=±7㈢、换元法例、求函数x x x f 41332)(-+-=的值域。
解：令0413≥=-t x ，则13-4x=t 24132t x -= ∴4)1(21321322+--=+--=t t t y 该二次函数的对称轴为t=1，又t ≥0由二次函数的性质可知y ≤4，当且仅当t=1即x=3时等式成立，∴原函数的值域为（-∞，4]。
例．求函数12y x x =--的值域。
解析：方法1、可用换元法解答 方法2、根据函数的单调性来做例 求函数 y=2x+2-3×4 x (-1≤x ≤0) 的值域解 y=2x+2-3·4x=4·2x -3·22x令 2x =t12101≤≤∴≤≤-t x 3411,3434)32(3]949434[343m i n m a x 222≤≤∴==∴+--=-+--=+-=y y y t t t t t y 例 的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(x f x f x g y x f -+==练习、 1.求函数x x y -+=142的值域2. 求函数x x y 212-+=的值域形如：d cx b ax y +++=的函数可令)0(≥=+t t d cx ，则cd t x -=2转化为关于t 的二次函数求值。
（四）、分离常数法例 求函数541x y x +=-的值域。
练习、1.求523x y x -=+的值域 2.求521+-=x x y 值域例、求函数122+--=x x x x y 的值域。
解析：因为43)21(111111111222222+-+=+-+=+--+-=+--=x x x x x x x x x x x y ， 而4343)21(2≥+-x ，所以431102≤+-<x x ，则131<≤-y ， 故 所求函数的值域为)131[，-∈y 。