2021年中考数学总复习动点问题练习(含答案)
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2021中考数学总复习动点问题
年班姓名成绩:
1.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
解:(1)在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以
315
tan5
44
ED CD C
=⋅∠=⨯=,
25
4
EC=.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.
因此△PDM∽△QDN.
所以
4
3
PM DM
QN DN
==.所以
3
4
QN PM
=,
4
3
PM QN
=.
图2 图3 图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.
此时
33
44
QN PM
==.所以
319
4
44
CQ CN QN
=+=+=.
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.
此时
315
44
QN PM
==.所以
1531
4
44
CQ CN QN
=+=+=.
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,
3 tan
4
QD DN
QPD
PD DM
∠===.
在Rt△ABC中,
3
tan
4
BA
C
CA
∠==.所以∠QPD=∠C.
由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.
因此△PDF∽△CDQ.
当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.
①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).此时
44
33
PM QN
==.所以
45
3
33
BP BM PM
=-=-=.
②如图6,当QC=QD时,由cos
CH
C
CQ
=,可得5425
258
CQ=÷=.
所以QN=CN-CQ=
257
4
88
-=(如图2所示).
此时
47
36
PM QN
==.所以
725
3
66
BP BM PM
=+=+=.
③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).
图5 图6
2.如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△P AC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
解:(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),
代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,P A+PC最小,△P AC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由
BH PH
BO CO
=,BO=CO,得PH=BH=2.
所以点P的坐标为(1, 2).
图2
(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6
-)或(1,0).
3.如图1,点A 在x 轴上,OA =4,将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置. (1)求点B 的坐标;
(2)求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
解:(1)如图2,过点B 作BC ⊥y 轴,垂足为C .
在Rt △OBC 中,∠BOC =30°,OB =4,所以BC =2,23OC =. 所以点B 的坐标为(2,23)--.
(2)因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0),设抛物线的解析式为y =ax (x -4),
代入点B (2,23)--,232(6)a -=-⨯-.解得3
6
a =-
. 所以抛物线的解析式为23323
(4)663
y x x x x =--=-+.
(3)抛物线的对称轴是直线x =2,设点P 的坐标为(2, y ).
①当OP =OB =4时,OP 2=16.所以4+y 2=16.解得23y =±. 当P 在(2,23)时,B 、O 、P 三点共线(如图2).
②当BP =BO =4时,BP 2=16.所以224(23)16y ++=.解得1223y y ==-. ③当PB =PO 时,PB 2=PO 2.所以22224(23)2y y ++=+.解得23y =-. 综合①、②、③,点P 的坐标为(2,23)-,如图2所示.
图2 图3
4.如图1,已知一次函数y =-x +7与正比例函数4
3
y x =
的图象交于点A ,且与x 轴交于点B . (1)求点A 和点B 的坐标;
(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l //y 轴.动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒. ①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.
图1
解:(1)解方程组7,
4
,3y x y x =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3,4). 令70y x =-+=,得7x =.所以点B 的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P 在OC 上运动时,0≤t <4.由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形,得
111
3+7)44(4)(7)8222
t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=(.整理,得28120t t -+=.解得t =2或t =6(舍去).如图3,当P 在CA 上运动时,△APR 的最大面积为6.
因此,当t =2时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8.
图2 图3 图4
②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形,0≤t <4. 如图1,在△AOB 中,∠B =45°,∠AOB >45°,OB =7,42AB =,所以OB >AB .因此∠OAB >