(完整word)高中数学选修2-2主要内容
(完整版)高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
((完整版))高中数学选修2-2知识点总结(最全版)(2),推荐文档
16.类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或 相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
18.演绎推理的定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：M 是 P②小前提：S 是 M ③结论：S 是 P。 其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；
和差的导数运算
f (x) g(x)' f ' (x) g' (x)
积的导数运算
商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理 和差的积分运算 积分的区间可加性
f (x) g(x)' f ' (x)g(x) f (x)g' (x)
特别地： Cf x ' Cf 'x
f (x) '
g
(
果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根 处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在 a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f (x) 在 a,b上的极值；
⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 [注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
y
f (x) 在 x
x0
处的瞬时变化率是
lim
高中数学选修2-2最全知识点汇总
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 内
(1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值;
3.导函数：当x变化时， 便是x的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若 (c为常数)，则 ；2若 ,则 ;
3若 ,则 4若 ,则 ;
5若 ,则 6若 ,则
7若 ,则 8若 ,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若 为虚数,则
3.单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数注1:其中X 是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念：函数y f(X )在XX o 处的瞬时变化率是则称函数y f(x)在点X O 处可导，并把这个极限叫做y f(x)在xo 处的导数，记作3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率; 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景(1)切线的斜率；(2)瞬时速度; 5、常见的函数导数函数导函数 (i)y c y' o (2)y x n n Ny' nx ni x⑶ y a a o,a i y' a x In a ⑷y e xy' e(5) y log a x a o,a i,x oy' xlna⑹ y In xy'丄X(7) y sin x y' cosx (8) y cosxy'sin xf(X 2) f(X i )X if(X iX ) f(X i ) Xy |X Xo，y即仏)=啊匚 lim f(Xo X) f(Xo)x oxf(Xj)f '(Xo)或1 •函数的平均变化率为丄x6常见的导数和定积分运算公式若f x , g x均可导(可积)，则有:①求函数f(x)的导数f '(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；［注］:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1) 确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数f'(x)(3) 求方程f '(x) =0的根⑷用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查fix)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8利用导数求函数的最值的步骤：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f (x)在a,b上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为yx fxf(x)f(x)f(x1x)f(x1)21x2x1x注1：其中x是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
y f(x x)lim lim2、导函数的概念:函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是xxx0x0f(x)，'x 则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y f(x)在x0处的导数，记作f(0)或'y|，即()f= x x'x00y f(x x)f(x)00 lim limx x x0x0.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数(1) y c y'0(2) ny x*n N'1ny nx(3) x xy a a0,a1'lny a a(4) x xy e y'e(5) y log a x a0,a1,x0y'1 xln a(6) y ln x y'1 x(7) y sin x y'cos x(8) y cos x y'sin x6、常见的导数和定积分运算公式:若f x，g x均可导（可积），则有：和差的导数运算'''f(x)g(x)f(x)g(x)'''f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数运算特别地：Cf x'Cf'x'''f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)2g(x)g(x)(g(x)0)商的导数运算特别地：1g'(x)'2g x g x复合函数的导数y y ux u x微积分基本定理baf x dx F(a)--F(b) （其中F'x f x）和差的积分运算b b ba[f(x)f(x)]dx a f(x)dx a f(x)dx 1212特别地：b bkf(x)dx k f(x)dx(k为常数)a ab c b积分的区间可加性f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中a c b)a a c.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
高中数学选修2-2课程纲要
《高中数学选修2-2》课程纲要课程名称：高中数学选修2-2课程类型：选修课程教学材料：人民教育出版社2010年第一版《高中数学选修2-2》授课时间：34-38课时授课教师：gmy授课对象：郑州十九中高二（3）、（4）班课程目标1、微积分的创立是数学发展史的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。
导数、定积分都是微积分的核心概念，它们又极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本章中，学生将大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。
学生还将经历求解曲边梯形的面积、汽车行驶的路程等实际问题的过程，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。
通过本章的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
2、“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理。
合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程，培养和提高学生的演绎推理和逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。
3、证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。
在本章中，学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系和差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明和间接证明的方法；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
最新高中数学选修2-2知识点总结(精华版) (1)资料
数学选修2-2知识点总结一、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，()用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
(名师精编)高中数学选修2-2知识点清单
高中数学选修2-2知识点第一章 导数及其应用一． 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a'= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤（1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)53582教学内容
高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)精品
高中数学选修2-2知识点总结(最全版)精品课时一：常见函数的性质1、关于指数函数：（1）其指数运算正比关系：若a>b，则ea>eb ;若a<b，则ea<eb。
（2）其图像倾斜向上，且随x的增加而迅速增大；（3）其函数值总是大于零，并且在定义域上无上下限；（4）其图像关于y轴对称；（5）其反函数为对数函数。
3、关于三角函数：（1）其图像周期性质：端点处的六个三角函数的值均为1或-1；（2）特殊点处的三角函数的值有所不同：对于正弦函数，正半周期处值为1，负半周期处值为-1；对于余弦函数，正半周期处值为1，负半周期处值为-1；对于正切函数，而非角度值特殊点处值始终为无穷大。
（3）其图像过曲线处点：正弦函数图像过Π/2处的点；正切函数图像过Π/4、3Π/4处的点；余弦函数图像过0、Π，2Π处点。
课时二：指数与对数之间的转换1、关于转换公式：指数函数和对数函数之间的转换公式∶ea=y⇒y=loga2、关于应用：（1）利用指数函数求解：解决问题的过程中，可运用ea=y，将对数指数函数转化为指数函数，从而进行有关指数的运算、计算和求解；（2）利用对数函数求解：解决问题的过程中，可运用loga=y，将指数函数转化为对数函数，从而进行有关对数的运算、计算和求解。
课时三：指数函数与对数函数的性质1、关于指数函数的性质：（1）其导数为其本身：即，ea的导数为ea；（2）其函数系数正比关系：a的函数系数正比于a的函数值；（3）其函数增长性质：an是an-1的函数值的n倍；（4）其函数在无穷点是存在极小值；（5）其函数反函数是多项式函数；（6）其函数在有穷间隔上，对称轴是y轴。
(word完整版)高中数学选修2-2知识点、考点、典型例题,推荐文档
高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。
导数的物理意义：瞬时速率。
2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。
割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()xf x a =, 则()ln x f x a a '= 6. 若()x f x e =,则()x f x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
(完整word版)高中数学人教版选修2-2,2-3知识点总结,推荐文档
数学选修2-2导数及其应用知识点1 •函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为丄丄f（X2） f（X i） fix―X）f（X i）X X X2 X! x注1：其中X是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数y f（x）在X X o处的瞬时变化率是lim y lim —X）f（Xo），贝U称函数y f（x）在点x。
处xX 0 X X 0可导，并把这个极限叫做y f（x）在x o处的导数，记作f'（x。
）或y'—，即' y f （x0x） f （x0）f （X o）= lim lim 0 0 .x 0 x x 0 x3. 平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若f x，g x均可导（可积），则有:微积分基本定理bf x dx(其中 F' x f x )a和差的积分运算bbb[h(x) f 2(x)]dxh(x)dxf 2(x)dxaaabb特别地：akf(x)dxk a f(x)dX (k 为常数)积分的区间可加性b c b r r.f (x)dx f (x)dxf(x)dx (其中a c b)aac6.用导数求函数单调区间的步骤是什么? 答：①求函数f(x)的导数f'(x)② 令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③ 令f '(x) <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7•求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数f'(x)⑶求方程f '(x) =0的根 ⑷ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格，检查『(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8•利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f (x)在a, b 上的极值； ⑵将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点; 9•求曲边梯形的思想和步骤是什么？ _ 答：分割 近似代替| 求和 取极限|(以直代曲”的思想)10•定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：…十b性质1 1dx b aa性质 5 若 f (x)0, x a,b ，贝U b f(x)dx 0abqC 2b②推广：f (x)dx f(x)dx f (x)dx L f (x)dxaaqq11定积分的取值情况有哪几种？ 答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.(l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且 等于X 轴上方的图形面积;(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且 等于X 轴上方图形面积的相反数；3)当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯 形面积时，定积分的值为 Q ,且等于x 轴上方图形的面积减去下方 的图形的面积. 12•物理中常用的微积分知识有哪些？答：(1)位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
高中数学选修2-2教师用书 Word文件
变化率与导数1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．预习课本P2～6，思考并完成下列问题(4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0. 31．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02 答案：C4．在f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能为( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案：C求函数的平均变化率[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解] 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[活学活用]求函数y ＝x 3从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝(x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝⎛⎭⎫122＝194.求瞬时速度[典例] 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解] (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，li mΔt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可． [活学活用]一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝12t 2，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A ∵Δs Δt ＝12(2＋Δt )2－12×22Δt ＝12Δt ＋2，∴li m Δt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫12Δt ＋2＝2，故选A.求函数在某点处的导数[典例] (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数． [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， li mΔx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481201，ΔyΔt＝48.120 1. ②li mΔt →0 ΔyΔt＝li m Δt →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)求极限li mΔx →0 ΔyΔx. 2．瞬时变化率的变形形式 li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝li m Δx →0 f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx＝f ′(x 0)．[活学活用]求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －()1－1＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx→2， 所以函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数为2.层级一 学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．直线解析：选D 当f (x )＝b 时，瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m △x －0 b －b Δx＝0，所以f (x )的图象为一条直线．2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2D ．0解析：选A ΔyΔx＝f(1.1)－f(1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析：选C f′(x0)＝li m△x－0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝li m△x－0(a＋b·Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为() A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴li m△x－0ΔsΔt＝li m△x－0(18＋3Δt)＝18，故应选B.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0解析：选C f′(0)＝li m△x－0(0＋Δx)2－3(0＋Δx)－02＋3×0Δx＝li m△x－0(Δx)2－3ΔxΔx＝li m△x－0(Δx－3)＝－3.故选C.6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(1)＝li m△x－0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝li m△x－0a(1＋Δx)＋4－(a＋4)Δx＝a，∴a＝2.答案：27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．解析：v1＝k OA，v2＝k AB，v3＝k BC，由图象知k OA＜k AB＜k BC.答案：v1＜v2＜v38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ×22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt ， ∴在t ＝2时，瞬时速度为li m △x －ΔsΔt＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值． 解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2).∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0 124＋Δx (4＋Δx ＋2)＝12×4×(4＋2)＝116.∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →(Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18. 层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx ＝2(Δx )2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝li m Δx →0f (Δx )Δx ＝－1，∴选B.4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ，∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t . 又∵Δy Δx＝2，∴t ＝－2. 答案：－26．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li m Δx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δx →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值． (1) li m Δx →f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx；(2li m Δx →f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx.解：(1) li m Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx＝－m li m Δx →f (x 0－m Δx )－f (x 0)－m Δx＝－mf ′(x 0)．(2)原式 ＝li m Δx →f (x 0＋4Δx )－f (x 0)－[f (x 0＋5Δx )－f (x 0)]Δx＝li m Δx →f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx －li m Δx →0 f (x 0＋5Δx )－f (x 0)Δx＝4li m Δx →f (x 0＋4Δx )－f (x 0)4Δx －5li m Δx →0f (x 0＋5Δx )－f (x 0)5Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．1．1.3 导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n ，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．导函数的概念(1)定义：当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)． (2)记法：f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx.[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案：D4．抛物线y 2＝x 与x 轴、y 轴都只有一个公共点，在x 轴和y 轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y 轴 x 轴求曲线的切线方程[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝li m Δx →0 [4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4. ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k . (5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上， 若切点为(1，－1)，则由f ′(1)＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝li m Δx →0 (1＋Δx )3－2(1＋Δx )－(－1)Δx＝li m Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋1]＝1， ∴切线方程为y －(－1)＝1×(x －1)，即x －y －2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0＋1x 0－1＝x 30－2x 0＋1x 0－1＝(x 30－x 0)－(x 0－1)x 0－1＝x 20＋x 0－1，又由导数的几何意义知 k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx ＝3x 20－2， ∴x 20＋x 0－1＝3x 20－2，∴2x 20－x 0－1＝0，∵x 0≠1，∴x 0＝－12.∴k ＝x 20＋x 0－1＝－54， ∴切线方程为y －(－1)＝－54(x －1)，即5x ＋4y －1＝0，故选A.求切点坐标[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x ⎪⎪⎪2－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． [活学活用]直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝li m Δx →(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13，当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0与已知条件矛盾舍去． 当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327， 则切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13， 2327，将⎝⎛⎭⎫－13， 2327代入直线y ＝x ＋a 中得a ＝3227. 答案：3227 ⎝⎛⎭⎫－13， 2327层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝li m Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝li mΔx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝li m Δx →cos Δx －1Δx. 当Δx →0时，cos Δx →1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(x )＝li m △x →1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →02x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →Δy Δx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝li m Δx →f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( )A.13B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －cΔx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b .又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．导数的计算第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P12～14，思考并完成下列问题(1)函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 的导数分别是什么？能否得出y ＝x n 的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数[点睛](1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝2，则y′＝12×2＝1.()(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．()(3)f(x)＝1x3，则f′(x)＝－3x4.()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y ＝x 12，则y ′＝12x 12答案：D3．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12答案：C4．函数y ＝x 在点⎝⎛⎭⎫14，12处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4答案：B利用导数公式求函数导数[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x -25.(4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x . 解：(1)y ′＝(lg x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln 10′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫log 13x ′＝1x ln 13＝－1x ln 3. 利用导数公式求切线方程[典例] 已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程． [解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点，所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x 在点P (1,1)的导数，即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2. (2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎫a ， 1a ， 那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a 2.则切线方程为y －1a ＝－1a 2(x －a )．①将Q (1,0)代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．将得a ＝12，代入方程①整理可得切线方程为y ＝－4x ＋4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为A (x 0，x 20＋k )．∵y ′＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0，∴⎩⎨⎧x 0＝12，k ＝14，故当k ＝14时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切，且切点坐标为⎝⎛⎭⎫12， 12. 导数的简单综合应用[典例] (1)质点的运动方程是S ＝sin t ，则质点在t ＝π3时的速度为________；质点运动的加速度为________．(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] (1)v (t )＝S ′(t )＝cos t ， ∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.∵v (t )＝cos t ， ∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t . 答案：12－sin t(2)解：由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设这两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．[活学活用]曲线y ＝x 23在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )A.53B.89C.2512D.412解析：选C 可求得y ′＝23x －13，即y ′|x ＝1＝23，切线方程为2x －3y ＋1＝0，与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，0，与x ＝2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫2，53，围成三角形面积为12×⎝⎛⎭⎫2＋12×53＝2512.层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1. 3．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( )A ．10B ．－5x 23C ．5D ．－10解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 23，∴f ′(22)＝－5×232×23＝－10，故选D.4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ， ∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.答案：1ex －e y ＝07．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________. 解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x ， 所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x ＝1.解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1.答案：18．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 答案：(0，－a 2) 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4. (3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程．(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523B.110523C.25523D.110523 解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ， ∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1，即f ′(x )＝－1x 2＝－1，所以x ＝±1，则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B.5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2， 又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝⎛⎭⎫x －12. 即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝06．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a2·a ＝2，∴a ＝4.答案：47．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0，∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.第二课时 导数的运算法则预习课本P15～18，思考并完成下列问题(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？[新知初探]1．导数的四则运算法则 (1)条件：f (x )，g (x )是可导的．(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [点睛] 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))． ②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y x ′＝y u ′·u x ′.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x答案：B3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 答案：1[典例] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos xx. [解] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′ ＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x . (2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos xx. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e xsin x ′＝(e x)′·sin x －e x·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x复合函数的导数运算[典例] 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x2；(2)y ＝e sin(ax ＋b )； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [解] (1)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u －12)′ (1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－4x )＝－12(1－2x 2)－32 (－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ， 则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝e u ·cos v ·a ＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax＋b )．(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v cos v ＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′ ＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． [活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2； (2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12； (2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2； (3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1； (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1.(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .与切线有关的综合问题[典例] (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )， ①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 答案：－1(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x ，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x ＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，直线方程为y ＝0. 由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564. 当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274.由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：选C ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174。
高中数学选修2-2知识点
高中数学选修2-2知识点总结目录第一章导数及其应用 (2)常见的函数导数和积分公式 (2)常见的导数和定积分运算公式 (3)用导数求函数单调区间的步骤 (3)求可导函数f(x)的极值的步骤 (3)利用导数求函数的最值的步骤 (4)求曲边梯形的思想和步骤 (4)定积分的性质 (4)定积分的取值情况 (4)第二章推理与证明 (5)第三章数系的扩充和复数的概念 (7)常见的运算规律 (8)高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
常见的函数导数和积分公式常见的导数和定积分运算公式若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
高中数学选修22知识点总结计划精华版
数学选修2-2知识点总结一、导数y f f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1) 1．函数的平均变化率为x x2x1xx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数yf(x)在x x0处的瞬时变化率是lim y lim f(x0x)f(x0)，那么称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫x0x x0x做y f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即f '(x0)=limy f(x0x)f(x0)xlim.x0x0x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景〔1〕切线的斜率；〔2〕瞬时速度；〔3〕边际本钱。
5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分yc y'0————————n x n1yx n nN*y'nx n1x dx n1y a x a0,a1y'a x lna a x dx a xlnaye x y'e x e x dxe xy log a x a0,a1,x0y'1————————xlnay lnx y'11dxlnxx xy sinx y'cosx cosxdx sinx y cosx y'sinx sinxdx cosx 6、常见的导数和定积分运算公式:假设f x，gx均可导〔可积〕，那么有：和差的导数运算f(x)g(x)'g '(x)f '(x)'f '(x)g(x)f(x)g '(x)f(x)g(x)积的导数运算特别地：Cfx'Cf' x'f '(x)g(x)f(x)g '(x)f(x)g(x)2(g(x)0)商的导数运算g(x)特别地：1g'(x)g 'g 2xx复合函数的导数y xy u u xb xdx〔其中f 微积分根本定理aF' xfx〕bb b[f 1(x)f 2 (x)]dxf 1(x)dxf 2(x)dx和差的积分运算aaabbkf(x)dxkf(x)dx(k 为常数)特别地：aabcb 积分的区间可加性f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)aac6.用导数求函数单调区间的步骤 :①求函数 f(x)的导数f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f'(x)<0,解不等式，得x 的范围，就是递减区 间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212在前面我们解决的问题：1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
x xx f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。
t t tt v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为4 二、知识点讲解上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(xV∆∆)都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 即: 0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆。
函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。
1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim(2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011limlim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆（2）推广：若*()()ny f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=1.2 导数的计算导数的运算法则导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 函数导数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -=sin y x = 'cos y x = cos y x ='sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>()x y f x e == 'x y e =()log a f x x =()ln f x x = '1()f x x=复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦1．3 导数在研究函数中的应用在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值1.4 生活中的优化问题举例解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．1.5 定积分的概念回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i ii b aS f x f n x x ==-=D =邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ??）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。