土中的应力计算(二)分析

z ／b=1/2=0.5
查表8.6
查表应用线性插值方法可得kc=0.2352，所以
对于HAcQ，HAdS两块面积，长度L宽度b均相同，由例图 L／b=2／0.5=4 z ／b=1／0.5=2 查表8.6，得kc =0.1350，则σzH可按叠加原理求得： σzH=（2×0.2352－ 2×0.1350 ）×131=26.3（kPa）
所以得：
0.230 0.203 3 0.230 (0.833 0.75) 0.221 1.0 0.75
A k A p (1 2 3 ) p (0.0103 0.583 0.221 ) 42 34.2kPa
第四节
地基中的附加应力
地基土是连续、 均匀、各向同性 的半无限完全弹 性体
• 附加应力：新增外加荷载在地基土体中引起的应力

计算基本假定：
不同地基 中应力分 布各有其 特点
x,z的函数
平面问题
x,y,z的函数
空间问题
矩形面积竖直均布荷载
矩形内积分
矩形面积竖直三角形荷载
布森涅斯克解
竖直集中力
线积分
竖直线布荷载
2.5
0
2 x
2.5 2.5
0
2
3.5
7.5
y
y
y
解：根据路堤填土压力的简化算法，路基填土压力的分布形式 与路基的断面形式相同，如图 其中： p=h=212=42kPa 一块荷
将荷载分为三块，如图，分别建立坐标系，对每 载A点引起的竖向应力计算如下：
对于1，有：x/b=7.5/3=2.5，z/b=2.5/3=0.833,查表，有：
1 0.009
0.013 0.009 (0.833 0.75) 0.0103 1 0.75
对于2，有：x/b=2/5=0.4，z/b=2.5/5=0.5，查表， 有：
0.735 0.481 2 0.735 (0.4 0.25) 0.583 0.5 0.25
【例题分析】 • 有两相邻基础A和B， 其尺寸、相对位置及基 底附加压力分布见右图 ，若考虑相邻荷载的影 响，试求A基础底面中 心点o下2m处的竖向附 加应力
分析
o点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和 ，根据叠加原理可以分别进行计算
2m
A基础引起的附加 应力
B 300kPa
σzA=4Kc pA
（二）垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解
z K t pt
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数，均 为m,n的函数
积 分
式中 Kt—矩形基础受三角形分布竖向荷载作用时零 荷载角点下的附加应力系数，可由 L/b与 z/b 的值查表 8-7。查表时b始终为沿荷载变化方向的基底边长，另一 边为L。 对于荷载最大值角点下的z ，可利用均布荷载和三 角形荷载叠加而得，即：
b
E
c
Q
GO
A
H
a
F
d
【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）p0，由已知条件 p0=p－γ0d＝140－18×0.5＝131kPa
（2）求O点下1m深处地基附加应力σzo。O点是矩 形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点 。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加 应力系数Kc相同。根据L，b，z的值可得
II
IV
z M
I
IV
I
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
角点法计算地基附加应力Ⅱ
计算点在基底边缘 II I 计算点在基底边缘外 o
o
o
z K cⅠ KcⅡ p
III
I
IV o II
z K cⅠK cⅡ K c Ⅲ K cⅣ p
有一填土路基，其断面尺寸如图所示。设路基填土的平 均重度为21kN/m3 ，试问，在路基填土压力下在地面下2.5m 、 路基中线右侧2.0m的A点处附加应力是多少？
5
1.5 1
2
0
x
2.5
2
y
图3－45 习题3－6图 （单位：m)
p
5
1.5 1
2
1
0 x
2
0
3
2.5
y
2
5
p 1
0
p
p 3 x x
四、
土坝（堤）自重应力荷坝基附加应力
土坝（包括土堤，下同）的剖面形状不符合半无限空间体的假定。通常， 为实用上的方便，不论是均质的或非均质的土坝，其坝身任意点自重应力均假 定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积。 假定：柔性基础
奥斯特伯格公式：坝顶宽范围以下任意深度处：
由a1/z, b1/z 和a2/z, b2/z 查图
角点法计算地基附加应力Ⅲ
计算点在基底角点外
I o o
III
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
II
IV
表8.6
例题 如图所示，矩形基底长为4m、宽为
2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土 的重度为18kN/m3，由上部中心荷载 和基础自重计算的基底均布压力为 140kPa。试求基础中心O点下及A点 下、H点下z＝1m深度处的竖向附加 应力。
z pK pt K ph K
S Z t z
h z
O点下不同深度的附加应力计算结果见表8。根据计算结果绘出O点下
的沿深度分布曲线，如图。 3.基底A点下的竖向附加应力 计算过程同上， z 的计算结果见表， z分布曲线见图。
表1
基础中心O点下的附加应力计算
表2
基底A点下的附加应力计算
3m σ =（K - K - K + K ）p zB c1 c2 c3 c4 B
A
1m 2m
B基础引起的 附加应力
1m
200kPa o
2m
1m
三、条形基础地基中的附加应力计算
几种不同分布荷载计算
1.均布荷载情况
p b/2 b/2
z
条 实际 基础底面长宽 基础底面长宽 形 比l / b→∞ 情况 基 情况 比l / b≥10 础 x
附加应力分布规律
叠加原理 由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该 参数值的代数和
Pa Pb z
两个集中力 作用下σz的 叠加
a
b
二、矩形基础地基中的附加应力计算
(一）均布竖向荷载情况
在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力，而后用角 点法计算任意点处的应力。 dp布辛涅斯克解 1.角点下的应力
对于3，有：x/b=3.5/3=1.17，z/b=2.5/3=0.833， 查表，有：
z 0.293 0.108 0.75时， '3 0.293 (1.17 1.0) 0.230 b 1.5 1.0
z 0.241 0.129 1.0时， ''3 0.241 (1.17 1.0) 0.203 b 1.5 1.0
L／b=2 ／1=2 z ／b=1／1=1 查表8.6得kc =0.1999，所以 σz=4 Kc p0=4×0.1999 ×131＝ 104.75（kPa）
b
E
c Q
GO
A
H
（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。
a
F
d
A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l 宽度b均相同，故其附加应力系数kc相同。根据l，b，z的值可得 L／b=2 ／2=1 z ／b=1／2=0.5 查表应用线性插值方法可得kc=0.2315，所以 σzA=2 kc p0=2×0.2315 ×131=60.65（kPa） （4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ，HSaG， HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的 叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度L宽度b均相同，由例图 L／b=2.5／2=1.25
积 分
z Kc p
L为长边 ，b为短边
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数
n z /b m l /b
Kc f (m, n)
2.任意点的应力 — 角点法
角点法计算地基附加应力Ⅰ
p III II
角点法：利用角点下应力计算公 式和叠加原理，求地基中任意点 的附加应力的方法。
o
III500 6 0.5 120 (1 ) (1 ) 80 b b 15 15
⑵水平基底压力
ph
PH 600 40 b 15
2.基础中心O点下的竖向附加应力 在计算时，应用叠加原理，将梯形分布的竖向荷载分解成两部分， 即均布竖向荷载p = 80kPa和三角形分布竖向荷载pt = 40kPa，另有水 平均布荷载ph = 40kPa，即
宽度积分
条形面积竖直均
布荷载
一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力
P
o x y
q
R
r
y M(x,y,0) z M ( x, y, z)
x
附加应力系数
P K 2 z
z
z
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3Pz3 3P 3 z cos q 5 2 2R 2R
附加应力分布规律 • 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 • 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 • 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 • 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 • 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
4.水平分布荷载情况 y ph