3土中应力计算
土力学：第三章土中应力计算
附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。
第三章 土中应力计算习题与答案
第三章土中应力计算一、填空题1.由土筑成的梯形断面路堤，因自重引起的基底压力分布图形是梯形，桥梁墩台等刚性基础在中心荷载作用下，基底的沉降是相同的。
2.地基中附加应力分布随深度增加呈曲线减小，同一深度处，在基底中心点下，附加应力最大。
3.单向偏心荷载作用下的矩形基础，当偏心距e > l/6时，基底与地基局部脱开，产生应力重分部。
4.在地基中，矩形荷载所引起的附加应力，其影响深度比相同宽度的条形基础浅，比相同宽度的方形基础深。
5.上层坚硬、下层软弱的双层地基，在荷载作用下，将发生应力扩散现象，反之，将发生应力集中现象。
6.土中应力按成因可分为自重应力和附加应力。
7.计算土的自重应力时，地下水位以下的重度应取有效重度（浮重度）。
8.长期抽取地下水位，导致地下水位大幅度下降，从而使原水位以下土的有效自重应力增加，而造成地基沉降的严重后果。
9.饱和土体所受到的总应力为有效应力与孔隙水压力之和。
二、名词解释1.基底附加应力：基底压应力与基底标高处原土层自重应力之差。
2.自重应力：由土层自身重力引起的土中应力。
3.基底压力：建筑物荷载通过基础传给地基，在基础底面与地基之间的接触应力。
三、选择题1.成层土中竖向自重应力沿深度的增大而发生的变化为：（B ）（A）折线减小（B）折线增大（C）斜线减小（D）斜线增大2.宽度均为b，基底附加应力均为P0的基础，同一深度处，附加应力数值最大的是：（C ）（A）方形基础（B）矩形基础（C）条形基础（D）圆形基础（b为直径）3.可按平面问题求解地基中附加应力的基础是：（B ）（A）柱下独立基础（B）墙下条形基础（C）片筏基础（D）箱形基础4.基底附加应力P0作用下，地基中附加应力随深度Z增大而减小，Z的起算点为：（A ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面5.土中自重应力起算点位置为：（B ）（A）基础底面（B）天然地面（C）室内设计地面（D）室外设计地面6.地下水位下降，土中有效自重应力发生的变化是：（A ）（A）原水位以上不变，原水位以下增大（B）原水位以上不变，原水位以下减小（C）变动后水位以上不变，变动后水位以下减小（D）变动后水位以上不变，变动后水位以下增大7.深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力：（D ）（A）斜线增大（B）斜线减小（C）曲线增大（D）曲线减小8.单向偏心的矩形基础，当偏心距e < l/6（l为偏心一侧基底边长）时，基底压应力分布图简化为：（B ）（A）矩形（B）梯形（C）三角形（D）抛物线形9.宽度为3m的条形基础，作用在基础底面的竖向荷载N＝1000kN/m ，偏心距e＝0.7m，基底最大压应力为：（C ）（A）800 kPa （B）417 kPa （C）833 kPa （D）400 kPa10.矩形面积上作用三角形分布荷载时，地基中竖向附加应力系数K t是l/b、z/b的函数，b指的是：（D ）（A）矩形的长边（B）矩形的短边（C）矩形的短边与长边的平均值（D）三角形分布荷载方向基础底面的边长11.某砂土地基，天然重度γ＝18 kN/m3，饱和重度γsat＝20 kN/m3，地下水位距地表2m，地表下深度为4m处的竖向自重应力为：（A ）（A）56kPa （B）76kPa （C）72kPa （D）80kPa12.均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系数当l/b＝1、Z/b＝1时，K C＝0.1752；当l/b＝1、Z/b＝2时，K C＝0.084。
3.土中应力计算
不同地基 中应力分 布各有其 特点
x,z的函数 x,y,z的函数
空间问题
一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力
o
P r R y M(x,y,0 z ) M(x,y,z )
z
x
附加应力系数
P z
2
x q
y z
z
K
1885年法国学者布 辛涅斯克解
3 Pz 2 R
3 5
3P 2 R
2
cos
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m
M=20kN •m
1.5m 1m 1m
0 ＝18.5kN/m3
2m
202.2kPa 193.7kPa 165.7kPa 111.2kPa 2m 80.9kPa 2m 62.3kPa
2m
地基附加应 力分布曲线
地基土的非均匀性对附加应力的影响
在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同 性弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质 无关。但是，地基土往往是由软硬不一的多种 土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大 ，应属于双层地基的应力分布问题。 有两种情况：一种是坚硬土层上覆盖着不厚 的可压缩土层即薄压缩层情况；即ES1＜ES2时 ，则土中附加应力分布将发生应力集中的现象 。另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的土 层即硬壳层情况，即ES1＞ES2，则土中附加应 力将发生扩散现象。
p 0 max p max p min p 0 min 0d
基础埋 置深度
292.0kPa
2.基底附加压力计算
分析步骤Ⅲ:
F=400kN/m
3.基底中点下附加压力计算
0.1m
M=20kN •m
1.5m
土力学课件 第3章 土中应力分布及计算.
计算如图所示水下地基土中的自重应力分布
水面 a 8m
粗砂 r=19KN/m3 rsat=19.5KN/m3
黏土r=19.３KN/m3 4m rsat=19.４KN/m3 W=20%,WL=55%,WP=24%
b 76KPa 176KPa c 253.2KPa
解：水下的粗砂层受到 水的浮力作用， 其有效重度： r , rsat rw 19.5 10 9.5 KN / m 3 粘土层因为W WP , 所以I L 0, 故认为土层 不受到水的浮力作用， 土层面上还受到 上面的静水压力作用。 a点：Z 0， CZ 0 KPa； b点：Z 8m, 该点位于粗砂层中，
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力 学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学 中则规定剪应力以逆时针方向为正。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
土中的自重应力计算
土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。
自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
二.成层土自重应力计算 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公 式为：
cz i hi
i 1
n
z hi
i 1
n
n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。 成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值 发生变化的土层界面上。
◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的 浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受 到水浮力作用来考虑。
四．存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应 考虑其上的静水压力作用。
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
3 土中应力计算
p0 p cz p od
3.3
地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷重在土体中引起 的附加于原有应力之上的应力。
其计算方法一般假定地基土是半无限空间内
的各向同性、均质、线弹性变形体，采用弹性力
学中关于弹性半空间的理论解答。
注意与基底附压力的区别！
一、竖向集中力下的地基附加应力
附加应力：建筑物的荷载在土体中产生的在原有应
力基础上的应力的增量。
附加应力造成了地基土的变形（处于欠固结状态 的土，自重应力也是变形产生的因素之一） ，从而导 致了地基中各点的竖向和侧向位移。 本章主要讨论地基中的应力、为求解竖向位移 （沉降）做准备。 土体的应力－应变关系十分复杂，常呈弹、粘、 塑性，并且呈非线性、各向异性，还受应力历史的影 响。 地基土中附加应力的正确计算和地基土体性状的 正确描述是提高沉降计算精度的两个关键问题。
位面积上的压力，称为基底压力（或称为接触压力），
地基对基础的作用力称为地基反力。基底压力分布与
基础的大小和刚度、作用于基础上荷载的大小和分布、
地基土的力学性质以及基础的埋深等因素有关。
根据圣维南原理，基础下与其底面距离大于基 底尺寸的土中应力分布主要取决于荷载合力的大小 和作用点位置，基本上不受基底压力分布形式的影
p max
p max
2P 3KL
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
e>B/6: 出现拉应力区
矩形面积单向偏心荷载
三、基底附加压力
建筑物建造之前，地基土中已存在自重应力。一 般天然土层在自重作用下的变形早已结束，因此只有 基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。 基底附加压力为建筑物建造后的基底压力与基底 标高处原有的自重应力之差。
土力学-第三章-土中应力计算详解
基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构
土力学第三章土中应力计算详解
作用于基础底面 形心上的力矩
M=(F+G)∙e
e e b
l
pmax
pmax F G M
pmin
AW
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmin
.
pm ax FG16e pmin bl l
23
讨论
pmax FG16e
pm in
bl
l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
土力学
第三章 土中应力计算
.
1
第三章 土中应力计算
3.1 土的自重应力 3.2 基底压力 3.3 地基附加应力 3.4 有效应力原理
.
2
概述
地基变形的原因是由于土体具有可压缩性的内 在因素和地基受到附加压力的作用的外在因素。
为了计算地基沉降以及对地基进行强度与稳定 性分析,必须知道土中应力分布。土中应力包括土的 自重应力和附加应力（新增应力） 。
一. 影响因素
基底压力
•大小 •方向 •分布
荷载条件
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类
•密度
•土层结构. 等
17
基底压力分布
弹性地基，完全柔性基础
弹性地基，绝对刚性基础
.
18
基底压力分布
弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
中产生的应力增量。
土力学与地基基础-第三章.土中应力分布及计算解析
从上式可知，自重应力随深度z线性增
加，呈三角形分布图形。
2019/8/25
土中自重应力的计算
8
3.2 土中自重应力的计算
2. 成层土的压力计算
地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层
的厚度为hi，重度为 ，则在i 深度z处土的自重应力计算公式 为：
n
cz ihi i 1
剪应力
xy
yx
3Q xyz
2
R5
1 2 3
xy(2R z)
R3
(
R
z)2
yz
zy
3Q 2
yz 2 R5
ZX
XZ
3Q 2
xz 2 R5
3.4 集中力作用下土中应力计算
X、Y、Z轴方向的位移
分别为：
刚性基础在中心载荷作用下，地基反力呈马鞍形，随着外 力的增大，其形状相应改变。如下图
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
15
3.3 基础底面压力的分布和计算
2019/8/25
基础底面压力的分布和计算
16
3.3 基础底面压力的分布和计算
2. 地基反力的简化计算方法
根据弹性理论的圣维南原理及土中实测结果，当作用在 基础上的总载荷为定值时，地基反力分布的形状对土中 应力分布的影响，只在一定深度范围内，当基底的深度 超过基础宽度的1.5-2.0倍时，它的影响已不显著。因此， 在实用上采用材料力学方法，即将地基反力分布认为是 线性分布的简化计算方法。
因此，基底附加压力p0是上部结构和基础传到基底的地基反力 与基底处原先存在于土中的自重应力之差(新增加的应力)(如图)
第3章土中应力计算
n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。
土力学3.土中应力计算
cz
z
cy
cz cx
cz z
1 1
z
σcz= z
二、成层土的自重应力计算
n
cz 1h1 2h2 nhn ihi i 1
天然地面
说明：
h1 1
1 h1
1.地下水位以上土层 采用天然重度，地下
h2 2 水位面
1 h1 + 2h2
水位以下土层采用浮 重度
2.非均质土中自重应
度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、 地基土性质
一、中心荷载作用下的基底压力
若是条形基础， F,G取单位长度 基底面积计算
取室内外平 均埋深计算
G= GAd
p F G A
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
作用于基础底面 形心上的力矩
M=(F+G)∙e
e e b
l
pmax
pmax F G M
pm in
AW
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmin pmax F G 1 6e
pm in
bl l
讨论：
pmax F G 1 6e
pm in
bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
§3.1 土中自重应力计算
▪ 自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
第3章土中的应力计算汇总
第3章⼟中的应⼒计算汇总第三章地基中的应⼒计算§3-1 概述⼀、⼟体应⼒计算的⽬的：1、⽤于计算⼟体的变形，如建筑物的沉降；2、⽤于验算⼟体的稳定，如边坡的稳定性。
⼆、相关的概念1、⽀撑建筑物荷载的⼟层称为地基。
2、建筑物的下部通常要埋在地下⼀定的厚度，使之坐落在较好的地层上。
由天然⼟层直接⽀撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载⼒和变形不能满⾜设计要求，经加固后⽀撑建筑物的称为⼈⼯地基。
4、⽽与地基相接触的建筑物底部称为基础。
5、与建筑物基础底⾯直接接触的⼟层称为持⼒层。
6、将持⼒层下⾯的⼟层称为下卧层。
7、分类：（1）⼟体的应⼒按引起的原因分为⾃重应⼒和附加应⼒；⾃重应⼒——在未建造基础前，由⼟体⾃⾝的有效重量所产⽣的应⼒。
附加应⼒——由于建筑物荷载在地基内部引起的引⼒。
由外荷（静的或动的）引起的⼟中应⼒。
（2）按⼟体中⼟⾻架和⼟中孔隙（⽔、⽓）的应⼒承担作⽤原理或应⼒传递⽅式可分为有效应⼒和孔隙应（压）⼒。
有效应⼒——由⼟⾻架传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒——由⼟中孔隙流体⽔和⽓体传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒分为：静孔隙应⼒和超静孔隙应⼒。
对于饱和⼟体由于孔隙应⼒是通过⼟中孔隙⽔来传递的，因⽽它不会使⼟体产⽣变形，⼟体的强度也不会改变。
由于⼟层有其特殊的性质，作为地基的⼟层在上部荷载作⽤下将产⽣应⼒和变形。
从⽽给建筑物带来⼀系列⼯程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。
如果地基内部产⽣的应⼒在途的强度所允许的范围内时，⼟体是稳定的；反之，如果地基内部某⼀区域中的应⼒超过了⼟的强度，那么，哪⾥的⼟体将发⽣破坏，并可能会引起整个地基产⽣滑动⽽失去稳定，从⽽导致建筑物倾倒。
如果地基⼟的变形量超过了允许值，即使⼟体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使⽤价值。
因此，为保证建筑物的安全和正常使⽤，设计时必须对地基进⾏强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。
为此，就要研究在各种荷载作⽤下地基内部的应⼒分布规律。
第3章 土体中的应力计算
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
土力学第三章
σy = ν(σx +σz )
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力— 任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
σz = Ksp z σx = Ks p x τxz = Kszp x
y
B
x
z
x
z
M
x z Ks ,Ks ,Ksz = F(B, x, z) = F( , ) = F(m n) , z x x B B
§3 土体中的应力计算
§3.3 地基中附加应力的计算
五. 矩形面积水平均布荷载作用下的附加应力计算
角点下的垂直附加应力 ——C氏解的应用 氏解的应用
B
σz = mKhph
L z Kh = F(B, L, z) = F( , ) = F(m n) , B B
ph
L
σz
z
σz
矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数
i =1
n
i i
σ c = γ 1h1 + γ 2 h2 + ...... + γ n hn = ∑ γ h
i =1
n
i i
式中，
1、各层土容重地下水位以上取天然容重； 、各层土容重地下水位以上取天然容重； 2、地下水位以下砂土取浮容重 、 3、粘性土液性指数IL大于 时取浮容重； 、粘性土液性指数 大于1时取浮容重 时取浮容重； 4、粘性土液性指数IL小于等于 时取天然容重， 、粘性土液性指数 小于等于0时取天然容重 时取天然容重， 5、IL在0～1之间时依最不利原则取天然或浮容重。 、 之间时依最不利原则取天然或浮容重。 ～ 之间时依最不利原则取天然或浮容重
土中应力的计算
第三节 基础底面压力
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为 基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的 反作用力称为地基反力。 基础
F G
地基
第三节 基础底面压力
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称为 基底压力，与此相对应的地基土对基础底面的 反作用力称为地基反力。
F
基础 基础
基底压 力
G
p
地基
第三节 基础底面压力
ZF
F
Z
s
cz
1 h1 2 h 2 3 h 3
i
hi
s
cz
i
hi w h
w
例题 2-1
某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位 在地表下1.0 m，计算土中自重应力并绘出分布
a 点： s cz h 0 b 点：
s
cz
1 h1
s
W F
ZF
F
cz
Z
式中 为土的重度，kN/m3 ； F 为土柱体的截面积m2。
自重应力σcz的分布:
随深度z线性增加，呈三角形分布。
s
cz
Z
均质土的自重应力
二、 成层地基土的自重应力
地基土通常为成层土。当地基为成层土体 时，设各土层的厚度为hi，重度为i，则在深 度z处土的自重应力计算公式
2、偏心荷载作用下基底压力:
p max p min F G A M W F G lb (1
p
F G A
6e b
)
Fk—作用在基础顶面形心的竖向力值. Gk-基础自重及台阶回填土总重，
Gk
G
Ad
土中应力计算
3 土中应力计算学习目的和要求通过本章的学习，深刻理解自重应力和附加应力的概念，掌握附加应力在水平和竖向的分布规律，熟练掌握自重应力、基底压力的计算，掌握基底集中荷载、均布矩形载荷、三角形荷载作用下竖向附加应力的计算。
考核知识点✧土的自重应力概念与计算✧基底压力的概念与计算✧地基附加应力概念与计算考核要求✧土的自重应力概念与计算识记：土的自重应力概念。
简单应用：地下水位升降及填土对土中自重应力影响。
综合应用：轴心和单向偏心荷载作用下基底压力的计算。
✧基底压力的概念和计算识记：基底压力的概念。
简单应用：基底压力的计算。
综合应用：轴心和单向偏心荷载作用下基底压力的计算。
✧地基附加应力概念与计算识记：地基附加应力的概念。
领会：地基附加应力的分布规律（应力扩散和应力叠加）；地基主要受力层的概念。
综合应用：基底集中荷载、均布矩形载荷、三角形荷载作用下竖向附加应力的计算。
（查表确定竖向附加应力系数）。
3.1 土中自重应力地基中的应力分：自重应力——地基中的自重应力是指由土体本身的有效重力产生的应力。
附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的应力，在附加应力的作用下，地基土将产生压缩变形，引起基础沉降。
计算土中应力时所用的假定条件：假定地基土为连续、匀质、各向同性的半无限弹性体、按弹性理论计算。
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。
由于沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。
3.1.1均质土的自重应力a 、假定：在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限大的水平面，因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。
可取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自重计算。
b 、均质土层Z 深度处单位面积上的自重应力为：应力图形为直线形。
z cz γσ=σcz 随深度成正比例增加；沿水平面则为均匀分布。
必须指出，只有通过土粒接 触点传递的粒间应力，才能使土粒彼此挤紧，从而引起土体的变形，而且粒间应力又是影响土体强度的—个重要因素，所以粒间应力又称为有效应力。
第3章 土中应力计算
表3-1 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
K
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表3-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
M(x,y,0)
z
附加应力系数
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者 布辛内斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
图 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布
▪上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 ▪大多数情况处于上述两种极端情况之间。
（3）情况3 弹塑性地基上有限刚性的基础
3.2.2 基底压力的简化计算
❖ 基底压力分布十分复杂；
❖ 但是，根据弹性理论中圣维南原理，在基底一定深度 处引起的地基附加应力与基底荷载分布形状无关，只与 其合力的大小和位置有关。
土中应力计算
基底压力旳简化计算
1. 中心荷载下旳基底压力
F G p
A A l b
2．偏心荷载下旳基底压力
三角形形心点 三角形形心点
pk max Fk Gk M k
pk min
lb
W
M k (Fk Gk )e
W bl 2 6
pk max Fk Gk (1 6e )
pk min
lb
l
e Mk Fk Gk
d z
3
2
b(x 2
p0 xz 3 y 2 z 2)5/2
dxdy
z1 t1 p0
z2 t2 p0 (c t1) p0
t1
mn 2
[
1
m2 n2 (1 n2 )
n2 ]
m2 n2 1
3. 均布旳圆形荷载
z
d z
A
3 p0 z 3
2
2
0
r0 rddr
0 (r 2 z 2 )5 / 2
z
p0 [arctan 1 2n
2m
arctan
1
2n 2m
4m(4n2 4m2 1) (4n2 4m2 1)2 16m
2
]
sz
p0
均布条形荷载下地基中附加应力旳分布规律：
(1) 地基附加应力旳扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，伴随距离中轴线愈远愈小； (3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向旳任意点，随深度愈
e>L/6, 应力重新分布
pk max
2(Fk Gk ) 3bk
k l e 2
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
第三章 土中应力的计算
z 2 z 2( aeoh) z 2(ebfo) q( t 1 t 2 )
（3）三角形荷载FEC（最大值为p－q）
作用范围3，4块，对M点引起的竖向应力σz3
z 3 z 3(ofcg) z 3( hogd ) ( p q)( t 3 t 4 )
第三章
土中应力的计算
3.1 概述
土中的应力—指土体在自重、构筑物荷载以及 其它因素（如水渗流、地震等）作用下，土体中 所产生的应力，包括自重应力和附加应力。
自重应力—土体受自重作用而产生的应力。
附加应力—土体受建筑物等外荷载作用而产生 的应力。
1、土中应力计算目的 为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、 承载力与稳定性分析，必须掌握建筑前后土中应 力的分布和变化情况。
2、偏心荷载作用时，基底压力按偏心受压公式计算：
Pmax
min
F G M F G 6e (1 ) A W A l
式中： F＋G、M－作用在基础底面中 心的竖直荷载及弯矩， M=(F＋G)e； e－荷载偏心距； W－基础底面的抵抗矩（抗弯截 面系数），对矩形基础 W＝bl2/6; b、l－基础底面的宽度与长度。
IL w wP 50 25 1.09 1 w L w P 48 25
故受浮力作用，其浮重度为：
'
( s w ) ( 26.8 9.81) 16.8 7.1 kN/m3 s (1 w ) 26.8 (1 0.50)
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa 土层中的自重应力cz分布，如图所示。
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(3)土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。
为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力
为自重应力，并改用符号 表 示c 。
24
P F G A
式中：F—作用任基础上的竖向力设计值(kN)； G—基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)；
GGAd
式中： G —基础及回填土之平均重度，一般取20kN/m3，地下水位以下部分
应扣去浮力，即取10kN/m3； d —基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设计地面算起(m); A —基底面积(m2)， 对矩形基础A=lb，l和b分别为矩形基底的长度和宽度(m)。
刚性基础：刚度较大，基底压力分布随上部荷载的 大小、基础的埋深及土的性质而异。
当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为 直线分布（圣维南原理）。
23
• （一）中心荷载下的基底压力
中心荷载下的基础，其所受荷裁的合力通过基底 形心。基底压力假定为均匀分布，此时基底平均压 力设计值P(kPa)按下式计算：
25
• （二）偏心荷载下的基底压力
单向偏心荷载下的矩形基础如图 所示。设计时通常取基底长边方 向与偏心方向一致，此时两短边 边缘最大压力设计值 p m a x 与最小 压 学力 短设 柱计 偏值 心受pm压in (公kP式a ) 计算按：材料力
应力 和 应与 cx 成正 cy比， 而 c剪z 应力均为零，即：
cxcyK0cz
xyyzzx0
式中:K0―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。
K0与土层的应力历史及土的类型有关； 正常固结粘土：K0 ＝1－sinf’ 对一般地基K0 ＝0.5左右
10
• (1)土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所 以在地基应力计算时考虑的是土中单位面积上的 平均应力。
③砂土层底面处 h3=2.5m
σcz= 1h1+2 h2+3h3=80.1+(19.2-10) ×2.5=103.1kPa
④硬粘土层顶面处
σcz=1h1+sath2+ sath3=57.0+20.5×2.2+19.2×2.5=150.1kPa
⑤硬粘土层底面处 h4=2m
σcz = 1h1+ sat h2+ sath3+ sath4=150.1+22.0×2=194.1 kPa
14
2、存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重 应考 1
在地下水位以下，如埋藏有不透水层,由于不透水层 中不存在水的浮力，所以层面及层面以下的自重应 力应按上覆土层的水土总重计。
15
自重应力图形的特点： 遇地下水：折线图折线往回收； 遇不透水层：自重应力值有突变(在层面处有 2个自重应力值)
自重应力σcz沿深度分布线绘于图中。
18
2.2m
19
3、存在地下水位升降时土的自重应力计算
地下水位的升降，将引起土的重度变化：
➢ 如基坑开挖过程中，需大量抽取地下水，以致地
下水位大幅下降，引起土的重度改变，由于>’,故
自重应力增加，从而造成地表大面积的下沉。
➢ 反之，若地下水位长期上升，会引起地基承载
1
❖3.1 概述 ❖3.2 土中自重应力 ❖3.3 基底压力 ❖3.4 地基附加应力
李新乐
2
3.1 概 述
一、土中的应力按引起的原因可分为:
(1)由土本身有效自重在地 基内部引起的自重应力;
土中应力分布？
(2)由外荷(静荷载或动荷载) 在地基内部引起的附加应 力。
3
二、地基中应力的种类
• 土体自重产生的自重应力(self-weight stress) • 建筑物荷载引起的附加应力(additional stress) • 基底附加应力(net foundation pressure) • 地基附加应力(foundation additional stress)
力的减小(这个问题在地基承载力讲解中回答)。
20
4、土质堤坝自身的自重应力
有兴趣自己了解一下
21
3 .3 基底压力
柔性基础与刚性基础底部压力形式
基底压力的分布和大小与荷载的性质（中心或偏心、倾斜等）大 小等有关，也与基础的刚度有关。 柔性基础：刚度较小，基底压力与其上的荷载大小及分布相同；
22
16
【例1】有一地基由多层土组成，其地质剖面如图所 示，试计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图。
2.2m
17
【解】
①地下水位处 h1=3m σcz = 1h1=19.0×3=57.0kPa
②粘土层底面处 h2=2.2m
σcz = 1h1+2 h2=57.0+(20.5-10) ×2.2=80.1kPa
，简称
cz
11
二、成层地基（以天然土层界面与地下水位为界）
12
成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于
值发生变化的土层界面上。
13
1、有地下水土时自重应力计算
砂性土：通常认为水下的砂性土是应该考虑 浮力作用的。 粘性土：在工程实践中一般均按土体受到水 浮力作用来考虑。
计算方法：水下土的重度按有效重度 ′计算。
τxy=τyx τyz=τzy τxz=τzx
8
3.2 土中的自重应力计算
一、均匀地基
1、竖直向自重应力(kN/m2)
czW Az A Azz
天然地面
天然地面
cz z
cz
cy
cx
9
2、水平向自重应力
• 由于地基中的自重应力状态属于侧限应力状态,
故 x y，且0
，cx根据cy广义虎克定理，侧向自重
4
三、基本概念
按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作 用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应(压)力 ：
➢有效应力—由土骨架传递（或承担）的应力。
➢孔隙应力—由土中孔隙流体水和气体传递（或承担） 的应力。
5
四、几个基本假定
• 1、线弹性体
• 2、半无限空间
3、应力符号的规定
(+)
材料力学
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
土力学
4、侧限应力状态—侧向应变为零的一种应力状态。
x y 0 x y
五、土中的应力状态。
土内一点的应力状态是指土内一点各个方向上应力 的大小。
土中的应力状态可用一个正六面单元体上的应力来表 示，作用在单元体上的3个法向应力分量为x、 y 、 z ， 6个切应力分量为: