整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规
整数规划算法
⑵
先求（LP3）,如图所示。 此时D 在点取得最优解。
x2
A 3 B C
⑴
(18/11,40/11)
D ⑶
即 x1＝12/5≈2.4, x2 =3,
Z(3)＝-87/5≈-17.4<Z≈-19.8
但x1＝12/5不是整数，可继 续分枝。即 3≤x1≤2。
（三）、整数规划与线性规划的关系
从数学模型上看整数规划似乎是线 性规划的一种特殊形式，求解只需在线 性规划的基础上，通过舍入取整，寻求 满足整数要求的解即可。但实际上两者 却有很大的不同，通过舍入得到的解 （整数）也不一定就是最优解，有时甚 至不能保证所得倒的解是整数可行解。 举例说明。
例：设整数规划问题如下
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2， 3)(1，4)(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划 的最优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
各分枝的目标函数值中，若有小于Z 者，则剪掉此 枝，表明此子问题已经探清，不必再分枝了;否则继续 分枝。
如此反复进行，直到得到Z＝Z*＝Z 为止，即得最优解 X* 。
（二）、例题 例一：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算） min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（IP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0且全为整数 解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 记为（LP） 1 2 x 4 1 x1 , x2 0
运筹学第5章：整数规划
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
lingo整数规划
lingo整数规划整数规划是运筹学中的一种优化方法，用于解决决策问题中存在离散决策变量的数学规划问题。
在整数规划中，决策变量的取值只能是整数。
整数规划的应用非常广泛，包括生产计划、资源分配、货物运输等领域。
下面将介绍一些与整数规划相关的术语和技巧。
1. 最优解：整数规划的目标是找到使目标函数最大或最小的整数解。
最优解指的是在满足约束条件的前提下，使目标函数的取值达到最优的决策变量取值。
2. 整数线性规划：整数线性规划是整数规划的一种特殊情况，其中目标函数和约束条件都是线性的。
3. 整数非线性规划：整数非线性规划是整数规划的另一种形式，其中目标函数或约束条件中至少有一项是非线性的。
4. 分枝定界法：分枝定界法是求解整数规划问题的一种常用方法。
它通过将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解。
5. 割平面法：割平面法是求解整数规划问题的另一种方法。
它通过加入额外的线性不等式约束，逐步削减可行解空间，直到找到最优解。
6. 整数规划松弛：整数规划松弛是指将整数规划问题中的整数约束条件松弛为连续变量的约束条件，从而将整数规划问题转化为线性规划问题。
7. 整数规划可行解：整数规划问题的可行解是指满足所有约束条件的整数取值。
8. 整数规划解的整数性：整数规划解的整数性是指整数规划问题的解是否满足整数约束条件。
9. 混合整数规划：混合整数规划是一类更一般的整数规划问题，其中决策变量可以是整数或连续变量。
10. 整数规划的应用：整数规划在各种领域中都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、货物运输等。
通过合理的建模和求解技巧，整数规划可以帮助企业优化决策，提高效益。
总之，整数规划是一种应用十分广泛的优化方法，通过对决策变量的整数约束进行建模，帮助解决实际问题中存在的离散决策变量的优化问题。
求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面法
寻找割平面方程
（1）由单纯形最终表得到决策变量非整数解方程，设 1 x1 ai k xk bi 为
k
其中bi是基变量的非整数解。 （2）将aik和bi分解为整数N和正真分数f 两部分之和
a ik N ik f ik , bi N ni f bi
2
将（2）代入(1)中,然后将整数置于方程左边，分 数置于方程右变，即
xi
N
k
ik x k
N bi f bi
f
k
ik xk
0
(3)得割平面方程
f bi
f
k
ik x k
0
3
整数线性规划模型的求解——分枝定界法
基本思想 通过分枝枚举来寻找最优解。首先不考虑对变 量的整数要求，求解相应的线性规划模型，如求得 最优解不符合整数要求，则把原模型分解为两部分， 每一部分都增加新的约束条件以减少相应线性规划 模型的可行域。通过不断分解，逐步逼近满足要求 的整数最优解，在这个过程中包括了“分枝”和 “定界”两个关键步骤。
1 1 1 0
利用这一性质，可以使原系数矩阵(cij)变换成含有
很多0元素的新系数矩阵
11 c ij ，而最优解保持不变。
匈牙利法是针对目标要求极小化问题提出的 基本原理：为了实现目标极小，在系数矩阵 元素cij≥0条件下，如果能使矩阵具有一组处于 不同行不同列的零元素cij’＝0，画上圈符号 “◎”，表示对应该元素的决策变量xij=1，未画 圈元素对应的决策变量xij＝0，那么目标的数值 z’＝0为最小，这样的组合解x就是最优解。所以 匈牙利法又称画圈法。 画圈法的关键是如何实现系数矩阵具有一组 处于不同行又不同列的0元素（独立零），并保 证所画的圈的个数等于矩阵的阶数。
整数规划 割平面法 分枝定界法
割平面法的关键在于如何确定切割方程，使之能对可行域进行 真正的切割，而且切去部分不含有整数解点。
下面讨论切割方程的求法。 设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不 是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即 XBi +ΣaijXj=（B-1b)i ⑴ 将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即 （B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵ aij=Nij+fij 其中0≤ fij ＜1 ⑶ 这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得 XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi 即 XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj ⑷ 当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右 端是两个正数之差，且∵0＜ fi ＜1，∴ fi-ΣfijXj是小于1的整数，从
9x1+ 7x2=56 Z=40x1+90x2 D1
4
7x1+20x2=70
D2
6
10
x1
求解线性规划L1、L2 得最优解为： 问题L1： L+ x1≤4 x1=4.00 x2=2.10 Z1=349 问题L2： L+ x1≥5 x1=5.00 x2=1.57 Z2=341
因为没有得到整数解，所以继续对L1进行分解，增加约束： x2≤2，x2≥3将L1分解成问题L3与L4，并求得最优解如下： 问题L3： L1+ x2≤2 问题L4：L1+x2≥3
例2 求解下面整数规划
x2 8
maxZ=40x1+90x2 ⑴ 9x1+ 7x2≤56 ⑵ 7x1+20x2≤70 ⑶ 4 x1,x2≥0 ⑷ x1,x2 整数 ⑸ 解：先不考虑条件⑸，求解相 0 应的线性规划问题L，得最优解 x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个 非整数变量，如x1=4.81，对问题 L分别增加约束条件： x1≤4，x1≥5 将问题L分解为两个子问题L1，L2 （分枝），也就是去掉问题L不含 整数解的一部分可行域，将原可 行域D变为D1、D2两部分（如图）。
1整数规划的基本特点§2分枝定界法§3割平面法§4分配问题及其解法
将松弛变量加到G1中得到LP问题G2:
G2： max z 3x1 2 x 2 2 x1 3x 2 x3 14 2 x1 x 2 x 4 9 1 1 1 s.t. x3 x 4 x5 2 2 2 1 1 x5 x 6 2 2 x j 0( j 1,,6)
第一步：把问题中所有约束条件的系数均化 为整数，若不考虑变量的整数约束，可写出一般 的线性规划问题G0：
G 0： max z 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 14 s.t. 2 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
用单纯形法求得上述问题的最终单纯形表如下：
第5章 整数规划
§1 §2 §3 §4 §5 整数规划的基本特点 分枝定界法 割平面法 分配问题及其解法 整数规划的应用举例
§3 割平面法
• 这是求解整数规划问题最早提出的一种方法， 1958年由Gomory提出。 • 他的基本思想是在整数规划问题的松弛问题中 依次引进线性约束条件，是可行域逐步缩小。 但每次切割只割去问题的部分非整数解，直到 使问题的目标函数值达到最优的整数点成为缩 小后可行域的一个顶点，这样即可用线性规划 问题的方法找出这个最优解。 • 具体步骤如下：
迭代 基变 次数 量 CB x2 x1 2 3 Cj-Zj
x1 3 0 1 0
x2 2 1 0 0
x3 0 1/2 -1/4 -1/4
x4 0 -1/2 3/4 -5/4 b 5/2 13/4
比值 bi/aij
第二步：找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量， 并写下这一行的约束 1 1 1 x3 x4 2 2 2 2 将上式中所有常数写成整数与一个正分数值之和得 x2 1 1 1 x2 (0 ) x3 (1 ) x4 (2 ) 2 2 2 分数项移到等式右端，整数项移到等式左端得到 1 1 1 x2 x4 2 x3 x4 2 2 2 右端也必须取整数值，又因x2 , x4 0，因此有 1 1 1 x3 x4 0 2 2 2 加上松弛变量后得Gomory约束 1 1 1 x3 x4 x5 0 2 2 2
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
整数规划中的割平面法和分枝定界法的研究
研究的主要内容：
1.引言
2.Gomory割平面法
2.1割平面法的基本思想
2.2割平面法步骤
3.分枝定界法
.1分枝定界法的基本思想
.2分枝定界法步骤
4.割平面法和分枝定界法比较
5.一种新型割平面法
6.分枝定界法在最优化问题中的应用
结束语
预期目标：
熟练掌握两种算法，了解各自算法的优点与缺点；会建立整数规划模型，并合理应用算法和计算机解决问题。
and Complexity[M].NewJersey:Prentice-Hall,1982
[3]许志国，马仲蕃.整数规划初步[M].沈阳：辽宁教育出版社，1990
[4]赵玮，王荫清.随机运筹学[M].北京：高等教育出版社，1993
[5]张香云.线性规划[M].浙江：浙江大学出版社，2009
[6]张雅琴，王希云.分枝定界法在最优化问题中的应用[J].经济技术协作信息，2007.17(17):83
三、拟采用的研究方法、步骤
1.研究方法：
主要采用文献资料法对大量文献进行分析，以使对研究课题的研究现状、背
景意义有深刻的理解。
运用描述性研究法研究两种算法的优劣、在模型中的应用等。
2.研究步骤
(1)选定课题：根据对所学专业知识熟练与理解程度评估，选择了自己较为容易
研究的课题。
(2)收集资料：根据所选课题收集大量相关的材料。首先将有关运筹学中整数规划
的内容进行收集、归纳；再则去校图书馆查阅相关的资料，借阅有
关的书籍以及习题讲解；最后利用电脑在网上查阅更多的资料来丰
富论文研究内容。
(3)整合资料：将所收集的资料进行整合，则优而不泛用。
(4)确定题目：在整理好所需资料，大致的方向有所掌握后再确定论文的题目，好
4.3-分枝定界法和割平面法
剪枝 x 3 再分枝： 2
不是问题A解 而z (12 ) z
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z (1) 349 z
z (12 ) 327
4
x2 2
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z (11) 340
定界： z 340 z 341
z 340 z 341
分支定界的全过程： B2 : x1 5.00 B1 : x1 4.0 0
x 2 2 .1 0
x2 1.57
x2 2
z
(1)
B11 : x1 4.00 x2 2.00 z
(11)
xx 34 2 最优解： 1
3 49
z ( 2 ) 341
（3）求解
点
求解过程如表4－6所示。
过滤条件 约束 ④ × √ √ √ 4x1＋3x2＋2x3≥5 × √ × √ √ √ √ × √ √ 5 √ 2 ① ② ③ z值
4x1＋3x2＋2x3≥2
（0，0，0）T （0，0，1）T （0，1，0）T （0，1，1）T （1，0，0）T （1，0，1）T
§4 分枝定界法
第二步:定界
记A的目标函数最优值为z*,以z(0)作为z* 的上界,记为 z =z(0).再用观察法找的一个整数可 行解X′,并以其相应的目标函数值z′作为z*的下 界,记为z＝z′,也可以令z＝－∞,则有: *
zz z
§3 分枝定界法
第三步:分枝
在以上界 z 所对应的解 X (b1,, br ,, bm ,0,,0)T 中,任选一个不符合整数条件的变量,例如 br(不 为整数),以 [br ]表示不超过 br 的最大整数.构造 两个约束条件
运筹学-1整数规划的数学模型
xi 0,且取整数, yi 0或1 i 1,2
（2） 由于不同载体所装物品不一样，数学模型为
max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10＋My2
(a)
1.8x1 0.6x2 12 My1
(b)
2x1 1.5x1
2.5x2 2x2
25 20
My2 My1
(c) (d )
y1 y2 1 x1, x2 0,且均取整数,
y
0或1
§5.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 15
式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1，y2=0)， 式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式(a)和(c)是多
运筹学
Operations Research
Chapter 5 整数规划
Integer Programming
1.整数规划数学模型Mathematical Model of IP 2 .分枝定界法 Branch and Bound Method 3. 割平面法 cutting-plane Method 4. 0－1规划 Binary Integer Programming 5. 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 15
（1） 由于所装物品不变，式(8.1)约束左边不变，整数规划数学 模型为 max Z 4x1 3x2
1.2x1 0.8x2 10y1＋12y2
2x1 2.5x2 25y1 20y2 y1 y2 1
分枝定界法,割平面法
( 2 8)
割平面法的思想：
割平面法也是通过解伴随规划的方法来解整数规划的.如果 伴随规划的最优解不是整数解,则增加线性约束(割平面),切 掉可行域中不含整数解的部分域,在新的约束条件下再解伴随 规划.不断重复这个过程,直到伴随规划的最优解是整数解为止. 经过割平面对可行域的不断切割,最优整数解最终成为新可行 域的顶点.
第三章 整数规划
3.1 整数规划数学模型 3.2 分枝定界法 3.3 割平面法 3.4 分配问题 3.5 0-1整数规划
第一节 整数规划的数学模型 例： 某工厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每 箱的体积、重量、可获得的利润以及托运限 制如下表：
货物
甲 乙 托运限制
体积 重量 利润 5 20 200 4 50 100 240 1300
x2
S3
6
Z 4
Z
0
max Z x1 x2
9 51 x1 x2 14 14
x1 2或x1 3
max Z x1 x2
s .t .
1
2
3 S7
x1
14
x1
( 2 6)
9 51 x2 14 14
1 2 x1 x2 3 x1 2 0 x2 2
第二节 分枝定界法 例3-1 max Z x x 1 2
s .t .
max Z x1 x2
s .t .
x1
9 51 x2 14 14
伴随规划
x1
9 51 x2 14 14
1 ( 2 1) 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0, 整数
1 ( 2 1) 2 x1 x 2 3 x1 , x2 0
整数规划问题的求解策略探讨
整数规划问题的求解策略探讨整数规划问题是指在约束条件下，目标函数为整数线性函数的优化问题。
在实际应用中，整数规划问题广泛存在于生产调度、资源分配、网络设计等领域。
由于整数规划问题的复杂性，其求解过程需要采用合适的策略和方法。
本文将探讨整数规划问题的求解策略，包括分枝定界法、割平面法、启发式算法等，并分析它们的优缺点及适用场景。
一、分枝定界法分枝定界法是求解整数规划问题最常用的方法之一。
其基本思想是通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解为止。
在分枝定界法中，通常采用深度优先搜索或广度优先搜索的方式遍历搜索空间，通过对搜索树的分支进行限界，剪去一些不必要的分支，从而提高求解效率。
分枝定界法的优点在于能够确保找到最优解，尤其适用于规模较小的整数规划问题。
然而，对于规模较大的问题，分枝定界法的计算复杂度会随着搜索空间的增大而急剧增加，导致求解时间过长。
因此，在实际应用中，需要结合问题的特点和求解需求来选择是否采用分枝定界法。
二、割平面法割平面法是另一种常用的整数规划求解方法。
该方法通过引入额外的线性约束（割平面）来逐步逼近整数规划问题的最优解。
割平面法的核心思想是通过不断添加线性不等式约束，将整数规划问题的凸包逼近到凸壳，从而逐步缩小搜索空间，最终找到最优解。
割平面法的优点在于能够有效地提高求解效率，尤其适用于存在大量连续约束的整数规划问题。
然而，割平面法的实现过程较为复杂，需要对问题的线性松弛模型进行求解，并不断生成有效的割平面。
因此，对于一些特定结构的整数规划问题，割平面法可能并不是最优的求解策略。
三、启发式算法除了传统的分枝定界法和割平面法外，启发式算法也被广泛应用于整数规划问题的求解中。
启发式算法是一类基于经验和规则的启发式搜索方法，通过模拟生物进化、群体智能等自然现象，寻找最优解或近似最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。
这些算法在求解整数规划问题时，能够有效地避免陷入局部最优解，提高求解速度和质量。
整数规划模型的构建及求解方法
整数规划模型的构建及求解方法整数规划是一种数学优化问题，其目标是在给定的约束条件下，寻找能够使目标函数最大或最小的整数解。
在实际应用中，整数规划模型常被用于决策问题的求解，如生产计划、物流调度、资源分配等。
本文将介绍整数规划模型的构建方法以及常用的求解方法。
一、整数规划模型的构建方法1.确定决策变量：首先需要确定问题中的决策变量，即可用整数来表示的变量。
这些变量一般代表决策问题中的选择或分配方案。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以是不同产品的生产数量。
2.定义目标函数：目标函数是整数规划问题中要最大化或最小化的指标。
根据问题的具体要求，可将目标函数设定为各个决策变量的线性组合或非线性函数。
例如，生产计划问题中，目标函数可以是利润的最大化或成本的最小化。
3.确定约束条件：约束条件用于限制决策变量的取值范围，以满足问题的实际限制。
约束条件可以是等式或不等式。
例如，在物流调度问题中，约束条件可以包括产品的需求量、供应量以及运输容量等。
4.完善模型：为了更准确地描述问题，还需要考虑一些特殊约束条件和问题的具体要求。
例如，某些决策变量可能需要满足某种关系或限制条件，或者需要指定某些变量的取值范围。
二、整数规划模型的求解方法1.穷举法：穷举法是最简单直接的求解方法，即将所有可能的整数解都列举出来，并计算对应的目标函数值，最后选取最优解。
然而，穷举法由于计算复杂度高，只适用于问题规模较小的情况。
2.分支定界法：分支定界法是一种逐步缩小解空间的方法。
通过将整数规划问题分解成若干个子问题，并为每个子问题设定上下界，不断迭代求解，最终找到最优解。
这种方法可以高效地搜索整数解空间，但对于规模较大的问题，计算时间可能会很长。
3.割平面法：割平面法是一种逐步划分解空间的方法。
它通过添加割平面来修正原始线性规划松弛的解，使其成为整数解。
这种方法能够快速收敛到最优解，并且具有较好的计算效率。
4.分枝定界法：分枝定界法是将分支定界法和割平面法相结合的方法。
2-整数规划
域R（图3－2），割掉三角形域
ACD，那么具有整数坐标的C点
（1，1）就是域 R’的一个极点，
如在域R’上求解①～④，而得
到的最优解又恰巧在C点，就得
到原问题的整数解，所以解法
的关键就是怎样构造一个这样
的“割平面”CD，这个结果可
能不是唯一的，也可能不是一
步求到的整，下面仍就数本例说明。 规
划
10
第二节 割 平 面 法
然后再增加一个新的线性约束（称为割平面），使相 应线性规划问题的可行域切割掉一部分，并使切割掉 的部分只包含非整数可行解，没有切割掉任何整数可 行解。
这个方法指出怎样找到适当的割平面，使切割后最终
得题到的的最可 优整行 解域 。，其整数数坐标的极点规恰好是整数划规划问
8
第二节 割 平 面 法
一、割平面法求解示例(1/6)
n
约束条件 aij x j (, )bi (i 1,2, , m)
j 1
整 xj≥0的整数 （j=数1，2，…，n规）
划
6
二、混合整数规划
如果上述模型中仅一部分变量限制为非负整数，则称 为混合整数规划，此时整数规划模型中对变量的附加 约束为
xj≥0（j=1，2，…，n） Xk为整数 （k=1,2,…,k, k<n) 三、0－1型整数规划
例3－1 求解
maxZ=x1+x2 ①
-x1+x2≤1
②
3x1+x2≤4
③
x1,x2≥0
④
x1,x2为整数
⑤
如不考虑条件⑤，求得相应线性规划的最优解为(A点):
x1=3/4, x2=7/4, maxZ=10/4不符合整数条件
整
整数规划问题(割平面-分枝定界算例)
x1 3.25;
x2 2.5
分枝定界法思路
第二步：分枝与定界 在x1=3.25；x2=2.5 中，任选一变量的解X2=2.5 ， 可将其分为 x2≤2；x2≥3（去掉小数部分），则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x1 , x2 0
(3.5, 2); z 14.5
X1可分为x1≤3；x1≥4，则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 3 1 x1 , x2 0 (3, 2); z 13
逻辑变量在建立数学模型中的作用
y1 y2 ... ym
中m-k不起作用
（2）割平面法思路
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 且取整数 1 2
第一步：将约束条件决策变量的系数化为整数，用单纯形法求 解出最终单纯形表 找一个分数部
（3）分支定界法
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0束，求解。
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 4 1 x1 , x2 0
(4, 1);
第五章整数规划
第五章整数规划主要内容：1、分枝定界法；2、割平面法；3、0—1型整数规划；4、指派问题。
重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0-1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。
要求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。
§ 1 问题的提出要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP）。
如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。
例1求解下列整数规划问题maxz 二20x< 10x25x14x2兰24I2x「5x2 ' 13x2 - 0x1, x2为整数如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题）很容易求得最优解为：& = 4.8 , x^ 0 , maxz= 96。
① ② ③ ④ ⑤用图解法将结果表示于图中画“ +”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点方向移动，当第一次遇到“ + ”号点(x ^ = 4 , x 2 = 1)时得最优解为为=4 , X 2 = 1， 最优值为z=90。
由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值 更多时，就更困难了。
下面介绍几种常用解法。
§ 2分枝定界法分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
基本思路：设有最大化的整数规划问题 A ， 与之相应的线性规划问题B ,从解B 开始，若其最优解不符合 A 的整数条件，那么B 的最优值必* 一 *是A 的最优值Z 的上界，记为 Z ;而A 的任意可行解的目标函数值是 Z 的一个下界Z，采取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少Z 和增大z ，最终求得z *。
现举例说明： 例2求解Amaxz 二40x i 90x29x1 7x2乞567x120x2岂70XM - 0x1,x2为整数解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划 B (①--④)，得最优解X i = 4.81, X2二1.82,Zo显然，它不符合整数条件⑤。
分支定界法和割平面法
分支定界法和割平面法在上学期课程中学习的线性规划问题中，有些最优解可能是分数或消失，但现实中某些具体的问题，常要求最优解必须是整数，这样就有了对于整数规划的研究。
整数规划有以下几种分类：（1）如果整数规划中所有的变量都限制为（非负）整数，就称为纯整数规划或全整数规划；（2）如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划；（3）整数规划还有一种特殊情形是0-1规划，他的变量取值仅限于0或1。
本文就适用于纯整数线性规划和混合整数线性规划求解的分支定界法和割平面法，做相应的介绍。
一、分支定界法在求解整数规划是，如果可行域是有界的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所有可行的整数组合，然后比较它们的目标函数值以定出最优解。
对于小型问题，变量数量很少，可行的整数组合数也是很小时，这个方法是可行的，也是有效的。
而对于大型的问题，可行的整数组合数很大时，这种方法就不可取了。
所以我们的方法一般是仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出最有的整数解。
分支定界法就是其中一个。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。
在二十世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin 等人提出。
由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题A ，与它相应的线性规划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数z *的上界，记作z ；而A 的任意可行解的目标函数值将是z *的一个下界z 。
分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域再求其最大值的方法。
逐步减小z 和增大z ，最终求到z *。
现用下例来说明：例1 求解下述整数规划 219040Maxx x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+且为整数0,702075679212121x x x x x x解 （1）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B ，得最优解为：124.81, 1.82,356x x z ===可见它不符合整数条件。
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将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
2018/9/17
求解练习题
L1 求解单纯形表 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 0 1 0 0 0 σ 基变量系数向量单位化 cj 2 5 4 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 x7 4 x3 1/2 0 1 1 -1/2 5 x2 1/2 1 0 0 1/2 0 x6 3/2 0 0 -5 5/2 0 x7 -1/2 0 0 0 -1/2 -5/2 0 0 -4 -1/2 σ
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束 混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
2018/9/17
分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路 2.第65页例5-1
3.练习题
2018/9/17
分枝定界法的基本思路
2018/9/17
用割平面法解例
x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4 现将各系数分成整数和非负真分数两部分，从而可得： (1+0)x2+(0+3/4) x3+(0+1/4) x4 =(1+3/4) 将整数部分的变量移至等式右端有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+（1- x2 ） 非负整数解(1- x2)为整数，左端非负故有： 3/4 x3 +1/4 x4 =3/4+非负整数 从而： 3/4 x3 +1/4 x4 3/4 或 x2 1 以 x2 1为割平面可使可行域减少一个包括A点在内的三角形。 2018/9/17
2018/9/17
第65页例5-1
max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0且取整
2018/9/17
用分枝定界法解例5-1
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 xr 是一个有取整约束的变量而它的最优连续值 xr 是非整数，那么下列区间
[ xr ] xr [ xr ] 1 不可能包含任何整数解，这里[ xr ] 表示 xr 的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一： xr [ xr ] 或 xr [ xr ] 1。
L2 ：max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1 5 x1，x2 0
2018/9/17
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349 L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
用分枝定界法解例5-1
2018/9/17
b 7/4 3/4 1
x2 x1 x5
x2 x1 x3
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1/3 1/3 -1/3
1 -1/3 -4/3 -2/3
1 1 1 Z= 2
练习题 max z = 2x1 + 5x2 + 4x3 x1 + x2 + x3 12 x1 + 2x2 15 4x1 + 5x3 26 x1~3 0且取整
1.整数规划的数学模型 2.分枝定界法 3.割平面法 4.0-1型整数规划 5.指派问题
2018/9/17
整数规划的数学模型
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn ) a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1 a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
L0
(4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1) 349
L2 (5，1.57) 341
L3 (4，2) 340
L4
(1.42，3) 327
L5 (5.44，1) 308
L6 无可行解
2018/9/17
练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3 x1 + x2 + x3 12 x1 + 2x2 15 4x1 + 5x3 26 x1~3 0且取整
b 5 7 1 1
已得整数最优解 X* =（0，7，5） ，Z*=55 所以原整数规划的最优解为 X* =（0，7，5） 最优值为 Z* = 55
2018/9/17
4.分解L2形成L5、L6，其中： L5 = {L2, x21} L6 = {L2, x22} L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308 L6 : 无可行解 (1)舍弃L5、L6； (2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
2018/9/17
例5-1求解过程示意图
cj CB 4 5 0 σ XB x3 x2 x6 2 x1 1/2 1/2 3/2 -5/2 5 x2 0 1 0 0 4 x3 1 0 0 0 0 x4 1 0 -5 -4 0 x5 -1/2 1/2 5/2 -1/2 0 x6 0 0 1 0 b 9/2 15/2 7/2
2018/9/17
求解练习题
用割平面法解例
表 1（线性规划最终单纯形表） cj 1 1 0 0 CB XB x1 x2 x3 x4 1 1 σ x2 x1 0 1 0 1 0 0 3/4 -1/4 -1/2 1/4 1/4 -1/2
b 7/4 3/4 Z=5/2
非整数解，为建立割平面，首先考虑非整数解中余数最大 的基变量，此例中x1、 x2的余数均为3/4，不妨选取x2 ： x2 +3/4 x3 +1/4 x4 =7/4
线性规划 L2 无可行解 所以原整数规划的最优解为 X* =（0，7，5） 最优值为 Z* = 55
2018/9/17
求解练习题
L0 （0，15/2，9/2） 111/2
L1 （0，7，5）
L2
无可行解
55
2018/9/17
割平面法
1.割平面法的基本思路 2.例 3.练习题
2018/9/17
割平面法的基本思路
2018/9/17
求解练习题
首先求解线性规划L0 : max z = 2x1 + 5x2 + 4x3 x1 + x2 + x3 + x 4 = 12 x1 + 2x2 + x5 = 15 4x1 +5x3 + x6 = 26 x1~6 0
2018/9/17
求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
2018/9/17
用分枝定界法解例5-1
x2
5 4
9x1+7x2=56
3
2 1
7x1+20x2=70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
x1
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2018/9/17
用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2 L1 ：max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1 4 x1，x2 0
2018/9/17
分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上， 便产生了两个互斥的子问题。 这便是 分枝的含义。 由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的， 因此每一问题的子问题都不 会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数 可行解时， 应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝； 当得到第一个整数可行解 时， 它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界， 舍掉所有最优值不大于该下界的 子问题。 按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝， 如果出现具有更大目标值 的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最 终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
同分枝定界法一样，割平面法也是一种利用连续模 型求解非连续问题的常用方法。割平面法的基本思 路是：当得到的解不满足取整约束时，就设法在问 题上增加一个约束条件，把包含这个非整数解的一 部分可行域从原来的可行域中割除，但不割掉任何 一个整数可行解。这个新增加的约束条件就称为割 平面。
2018/9/17
2018/9/17
0 x5 0 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 0
0 x6 0 0 0 1 0 x6 0 0 0 1 0 b 9/2 15/2 7/2 -1/2 b 9/2 15/2 7/2 7
求解练习题
线性规划 L1 的最终单纯形表 cj 2 5 4 0 CB XB x1 4 x3 1 5 x2 0 0 x6 -1 0 x5 1 -2 σ L1 有整数最优解 0 0 0 b 5 7 1 1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 1 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -5 0 1 5 0 0 0 1 0 -2 0 0 -4 0 0 -1 X* =（0，7，5） ，Z*=55
b 9/2 15/2 7/2 -1/2