2020届全国百校联考新高考原创冲刺模拟试卷(四)文科数学
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷) (含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.若复数z=2i+4i−1，则z=()A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3.下列函数为奇函数的是()A. y=x3+3x2B. y=e x+e−x2C. y=xsinx D. y=log23−x3+x4.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3a1+a2，则S4S2=()A. 2B. 3C. 4D. 55.某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为A. 83B. 43C. 8D. 46.设函数f(x)=√3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)(|φ|<π2)，且图象关于直线x=0对称，则()A. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为增函数B. y=f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数C. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为增函数D. y=f(x)的最小正周期为π2，且在(0,π4)上为减函数7. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1，∠DAB =60°，E 是BC 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 在区间[0,5]上随机地取一个数x ，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为( )A. 25B. 15C. 12D. 149. 已知函数f(x)=log 2(2−ax)在区间[0,1]上单调递减，那么实数a 的取值范围是( )A. (0,1]B. (1,2)C. (0,2)D. (0,+∞)10. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −611. 在三棱锥D −ABC 中，已知AB =BC =AD =√2，BD =AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥D −ABC外接球的表面积为( )A. 6πB. 12πC. 6√3πD. 6√2π12. 函数f(x)=√3−x 2x−1的定义域是( )A. [−3,3]B. [−√3,√3]C. (1,√3]D. [−√3,1)∪(1,√3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某校从999个学生中，采用系统抽样的方法抽取27个学生参加某项活动，则抽样的分段间隔为__________．14. 直线y =3x +b 与函数f(x)=e x +x 的图象相切，则实数b =________． 15. 函数f(x)=x −1−lnx x 的零点为_________；最小值为_________．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y =√33(x +c)与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列．(1)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求△ABC 的面积； (2)若6cosA =a 2，且b =√3，求角A ．18.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位中抽取50人进行问卷调查，得到了如下列联表：(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由．下面的临界值表仅供参考：参考公式：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．20.已知圆x2+y2=9，A(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠PAQ=90°，M是PQ的中点．(1)求点M的轨迹曲线C的方程；(2)设E(92,12),D(12,12)对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点下，使|HE||HF|是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=e x−1−ax，g(x)=x(lnx−3)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)对于任意x1，x2∈(0,+∞)且x1<x2时，不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.己知函数f(x)=|x+m|+|2x−4|(m>0)的最小值等于3．(1)求m的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=3m，求√a+√b+√c的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2i+4i−1=(4+2i)(−1−i) (−1+i)(−1−i)=−2−6i2=−1−3i，∴z=−1+3i．故选：A．直接利用复数的乘除运算化简得z=−1−3i，则z=−1+3i．本题考查复数的乘除运算，考查共轭复数，是基础题．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义逐个判断即可．解：函数y=x3+3x2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A；函数y=e x+e−x2是偶函数，排除B；函数y=xsinx是偶函数，排除C；函数y=log23−x3+x 的定义域是(−3,3)，且f(−x)=log23+x3−x=−f(x)，是奇函数，D正确．故选D．4.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．由S 3=3a 1+a 2，可得q 2=2，根据等比数列的前n 项和可得S4S 2=1+q 2，即可求解．解：由S 3=3a 1+a 2可得a 3=2a 1，所以q 2=2，又因为S4S 2=a 1+a 2+a 3+a 4a 1+a 2=1+a 3+a4a 1+a 2=1+q 2=3，故选B ．5.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和锥体体积． 解：由三视图可知，该几何体为放倒的四棱锥， 所以V =13×2√2×2×√2=83． 故选A ．6.答案：B解析：解：f(x)=√3cos(2x +φ)+sin(2x +φ)=2[√32cos(2x +φ)+12sin(2x +φ)] =2cos(2x +φ−π6)， ∵ω=2， ∴T =2π2=π，又函数图象关于直线x =0对称，∴φ−π6=kπ(k ∈Z)，即φ=kπ+π6(k ∈Z)， 又|φ|<π2， ∴φ=π6， ∴f(x)=2cos2x ，令2kπ≤2x ≤2kπ+π(k ∈Z)，解得：kπ≤x ≤kπ+π2(k ∈Z)， ∴函数的递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)， 又(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)， ∴函数在(0,π2)上为减函数，则y =f(x)的最小正周期为π，且在(0,π2)上为减函数． 故选B将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x =0对称，将x =0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ(k ∈Z)，再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ,kπ+π2](k ∈Z)，可得出(0,π2)⊂[kπ，kπ+π2](k ∈Z)，即可得到函数在(0,π2)上为减函数，进而得到正确的选项． 此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点．7.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，使用数量积的运算法则计算． 解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1×cos60°=1， ∵E 是BC 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3． 故选：C ．8.答案：A解析：本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．根据已知条件，求出区间[0,5]的长度，及事件“1≤2x−1≤4”对应区间的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案． 解：在区间[0,5]的长度为5，因为1≤2x−1≤4，解之得1⩽x ⩽3，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为P =3−15−0=25． 故选：A ．9.答案：C解析：本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题． 由复合函数单调性及对数函数性质即可求解． 解：令y =log 2t ，t =2−ax ，∵2>1，则函y =log 2t 是增函数，则t 为减函数，需a >0且2−a >0，此时，0<a <2， 综上：实数a 的取值范围是(0,2)， 故选C ．10.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z越小，结合图象可求z的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．11.答案：A解析：解：∵AB=BC=AD=√2，BD=AC=2，BC⊥AD，∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，AB⊥BC，AD⊥AB，∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；∴BD⊥BC，AD⊥AC，∵O为DC中点，∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，O为外接球的球心，半径R=12×√22+(√2)2=√62，∴三棱锥D−ABC外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π，故选：A．利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．本题综合考查了直线平面的垂直的判断性质定理，综合运用平面知识解决空间问题的能力．12.答案：D解析：本题考查函数定义域，属于基础题，由函数f(x)=√3−x2x−1有意义，列不等式组解得即可．解：要使函数f(x)=√3−x2x−1有意义，必须{3−x2≥0x−1≠0,解得−√3≤x≤√3且x≠1，∴函数f(x)=√3−x2的定义域是[−√3,1)∪(1,√3]．x−1故选D．13.答案：37解析：本题考查了系统抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．解：根据题意可知，=37，抽样的分段间隔为99927故答案为37．14.答案：2−2ln2．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，属于基础题．设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，求出函数的导数，根据直线y=3x+b与函数f(x)= e x+x相切，可得切点坐标P(ln2,2+ln2)，代入y=3x+b，可求得b的值．解：设直线y=3x+b与曲线的切点为P(x0,y0)，∵f(x)=e x+x，∴f′(x)=e x+1，因为直线y=3x+b与函数f(x)=e x+x相切，∴e x0+1=3，解得x0=ln2，∴y0=e ln2+ln2=2+ln2，∴P(ln2,2+ln2)，又P(ln2,2+ln2)在直线y=3x+b上，∴2+ln2=3×ln2+b，∴b=2−2ln2．故答案为2−2ln2．15.答案：1；0解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题．求出导数研究单调性即可求解．解：因为f(x)=x−1−lnxx，所以f′(x)=1−1−lnxx2=x2+lnx−1x2，当0<x<1时，x2−1<0,lnx<0，所以f′(x)<0；当x>1时，x2−1>0,lnx>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f(x)min=f(1)=0，零点为1，故答案为1；0．16.答案：√3+1解析：本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件判断三角形的性质，结合双曲线的定义建立方程是解决本题的关键．根据直线斜率和倾斜角的关系，利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|，|PF1|，再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．解：如图所示，直线PF1的斜率k=√33，则对应的倾斜角为30°，即∠PF1F2=30°，则∠PF 2F 1=2∠PF 1F 2=60°，即∠F 1PF 2=90°，∴|PF 2|=c ，|PF 1|=√3c ，由双曲线的定义可得：|PF 1|−|PF 2|=2a ，则√3c −c =2a ，即c a =3−1=2(√3+1)2=√3+1即双曲线的离心率e =√3+1，故答案为√3+1．17.答案：解：△ABC 中中，角A ，B ，C 成等差数列，∴2B =A +C ，又A +B +C =π，∴B =π3；(1)由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得a ⋅c ⋅cosB =ac ⋅cos π3=1，∴ac =2；∴△ABC 的面积为：S △ABC =12ac ⋅sinB =12×2×sin π3=√32； (2)由正弦定理得，a sinA =b sinB =√3sin π3=2，∴a =2sinA ，∴6cosA =a 2=4sin 2A =4(1−cos 2A)，整理得2cos 2A +3cosA −2=0，解得cosA =12或cosA =−2(不合题意，舍去)，又A ∈(0,π)，∴A =π3．解析：(1)由题意求出B =π3，再根据平面向量的数量积和三角形面积公式求面积的值；(2)由正弦定理求得a =2sinA ，代入6cosA =a 2求出cos A 的值，即可得出A 的值．本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是中档题． 18.答案：解：(1)列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性20525女性101525合计302050(2)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值k=50×(20×15−10×5)230×20×25×25≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．解析：(1)利用所给数据，即可得到列联表；(2)利用公式求得K2的观测值k，与临界值比较，即可得到结论．本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(1)证明：∵AD=DM=2，CM=BC=2，∠ADM=∠BCM=90°，∴AM=BM=2√2，又AB=4，∴AM2+BM2=AB2，∴AM⊥BM．∴AD⊥BM，AD∩AM=A，AD,AM⊂平面ADM，∴BM⊥平面ADM，∵BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)解：取AM的中点F，连接DF，CF，则，DM=MC=2，DC=√DF2+CF2=2√3，∴S△DMC=√3，设点E到平面DMC的距离为d，则V E−DMC=12V B−DMC=12V D−BMC=12×13S△BMC×ℎ=16×2×√2=√23，∴d=3V E−DMCS△DMC =√63．解析：本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)证明：BM⊥平面ADM，即可证明平面ADM⊥平面ABCM；(2)若点E 为线段DB 的中点，利用等体积方法求点E 到平面DMC 的距离．20.答案：解：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=12|PQ|=|PM|=√9−|OM|2， 化简得：x 2+y 2−x −y −72=0，即(x −12)2+(y −12)2=4；(2)E(92,12),D(12,12)，直线ED 的方程为y =12， 假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，|HE|2=(x −92)2+(y −12)2=(x −92)2+4−(x −12)2=24−8x ， |HF|2=(x −t)2+(y −12)2=(x −t)2+4−(x −12)2=(1−2t)x +t 2+154． 当|HE||HF|是常数时，(HE HF)2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数， ∴1−2tt 2+154=−824，解得t =32或t =92(舍)． ∴存在F(32,12)满足条件．解析：(1)设点M(x,y)，由∠PAQ =90°，得|AM|=|PM|=√9−|OM|2，代入点的坐标整理即可得到点M 的轨迹曲线C 的方程；(2)写出直线ED 的方程为y =12，假设存在点F(t,12)(t ≠92)满足条件，设H(x,y)，则有(x −12)2+(y −12)2=4，分别写出|HE|2与|HF|2，得到(HE HF )2=(1−2t)x+t 2+15424−8x 是常数，可得1−2t t 2+154=−824，由此求得t 值，可得存在F(32,12)满足条件．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算能力，是中档题． 21.答案：解：(1)f′(x)=e x−1−a ，当a ≤0时，f′(x)>0，此时，函数f(x)在R 上单调递增．当a >0时，f′(x)>0，解得x >1+lna ；f′(x)<0，解得x <1+lna ．∴函数f(x)在(−∞,1+lna)上单调递减，在(1+lna,+∞)上单调递增．(2)不等式f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)恒成立，∴不等式f(x 1)−g(x 1)<f(x 2)−g(x 2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax −xlnx +3x ．由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．∴F′(x)=e x−1−a−lnx+2≥0，即：a≤e x−1−lnx+2．令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，ℎ′(x)=e x−1−1x在R上单调递增，且ℎ′(1)=0．∴函数ℎ(x)在x=1处取得极小值，即最小值，ℎ(1)=3．∴a≤3．∴实数a的取值范围是(−∞,3]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)f′(x)=e x−1−a，对a分类讨论即可得出单调性．(2)不等式f(x1)−f(x2)<g(x1)−g(x2)恒成立，∴不等式f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)恒成立，令F(x)=f(x)−g(x)=e x−1−ax−xlnx+3x.由题意可得函数F(x)在∈(0,+∞)上单调递增．可得F′(x)≥0，即：a≤e x−1−lnx+2.令ℎ(x)=e x−1−lnx+2，利用导数研究其单调性即可得出．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)∵f(x)的最小值在x =−m 或x =2处取得，若x =−m 时取到最小值3，则f(−m)=|−2m −4|=3，解得m =−12或m =−72，舍去，若x =2时取到最小值3，则f(2)=|2+m|=3，解得m =1或m =−5，舍去，当m =1时，f(x)=|x +1|+|2x −4|，于是f(−1)=|−1+1|+|−2−4|=6>3成立，综上，m =1；(2)由上知a +b +c =3，于是√a +√b +√c =√1⋅a +√1⋅b +√1⋅c≤1+a 2+1+b 2+1+c 2=3+a+b+c 2=3+32=3，当且仅当a =b =1时取等号，∴√a +√b +√c 的最大值为3．解析：本题考查了绝对值不等式以及基本不等式，属于中档题．(1)对x 进行分类利用分段函数表示出f(x)，由最小值为3得出m 的值；(2)利用基本不等式求出最值即可．。
百师联盟2020届高三文数模拟试卷四(全国卷Ⅰ)
百师联盟2020届高三文数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知复数z= ，则=（）A. B. C. D.2.保险公司新推出A，B，C三款不同的储蓄型保险，已知购买这三款保险的人数分别为600、400、300，公司为增加投保人数，现采用分层抽样的方法抽取26人进行红包奖励，则从购买C款保险的人中抽取的人数为（）A. 6B. 8C. 10D. 123.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A. {x=3，y=0}B. {（3，0）}C. {3，0}D. {0，3}4.新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A级，则该校学生物理成绩达到A级的人数是（）A. 600B. 300C. 60D. 305.已知某圆锥的表面积是14π，其侧面展开图是顶角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（）A. πB. 2πC. 6πD. 12π6.已知凸四边形ABCD的面积为S，点P是四边形内部任意一点，若点P到四条边AB，BC，CD，DA的距离分别为d1，d2，d3，d4，且满足，利用分割法可得d1+2d2+3d3+4d4= ；类比以上性质，体积为V的三棱锥P-ABC，点Q是三棱锥内部任意一点，Q到平面PAB，PBC，PAC，ABC的距离分别为D1，D2，D3，D4，若，则D1+2D2+3D3+4D4=（）A. B. C. D.7.已知F1，F2是椭圆C：（a>b>0）的两个焦点，C的上顶点A在圆（x-2）2+（y-1）2=4上，若∠F1AF2= ，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.8.如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A. 6π+12B. 10π+36C. 5π+36D. 6π+189.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A. -B. -C. 2D. -210.已知函数f（x）=sin cos - sin2+ ，x∈[-1，a]，a∈N*，若函数f（x）图象与直线y=1至少有2个交点，则a的最小值为（）A. 7B. 9C. 11D. 1211.函数f（x）=（a+1）x2+bx-2（a>0，b>0）在点P（1、f（1））处的切线斜率为4，则的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D.12.已知数列{a n}满足a n=4×3n-1，n=N*，现将该数列按右图规律排成一个数阵（如图所示第i行有i个数），设S n为该数阵的前n项和，则满足S n>2020时，n的最小值为（）A. 20B. 21C. 26D. 27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x⋅ln(x+3)0}，则A∪B＝（）A.{−1, 0, 1}B.{−2, −1, 1}C.{−2, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2.设z是复数z的共轭复数，若z⋅i＝1+i，则z⋅z=()A.√2B.2C.1D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y=x⋅e x−1e x+1D.y=xln(√x2+1−x)4.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A.283B.12 C.383D.135.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.43B.2 C.83D.1036.已知函数f(x)＝2cos2x−cos(2x−π3)，则下列结论正确的个数是（）①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增；③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x=π3对称．A.1B.2C.3D.47.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM 的中点，则CN→⋅AB→=（）A.−2B.−34C.−54D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A.13B.12C.25D.349.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 1]B.[−12, 1]C.(−12, 1] D.(−12, +∞)10.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z＝|x−y+1|的最大值为（）A.2B.2411C.2811D.311.如图所示，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x>0)，若a=√1−x2>0，则f(x)的取值范围是（）A.[−√2−1, −1)B.(−2√2, −1)C.[−2√2, −1)D.(−√2, 0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________．14.已知函数f(x)＝x3−5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为________．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．16.F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e 的取值范围是________+√2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC的面积S．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K2=n(ad−bc)2，n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π，E为CD中3点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20.动圆P 过定点A(2, 0)，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l ′与曲线C 的交点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)＝ax +1x ，g(x)=e x x−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x ∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点 （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．（1）当a＝4时，求函数f(x)的定义域；+（2）若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n2=s时，求3m+4n的最小值．m+3n。
2020全国新高考培优高考仿真模拟(四)文科数学(解析版)
2020高考仿真模拟模拟试卷(四)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x ∈Z |x 2<4}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B 中的元素个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．无数 答案 B 解析A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，2，所以A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，0，12，1，2.故选B.2．中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是( )A ．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B ．这两年的最大仓储指数都出现在4月份C ．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D ．2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显 答案 D解析 通过图象可看出，2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大， 这两年的最大仓储指数都出现在4月份， 2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年，所以A ，B ，C 正确；2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数基本在52%，差异不明显，所以D 错误．故选D.3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 B解析 若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，如图1，则α与β不一定垂直，故①为假命题；若m ⊥α，m ⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β，故②为真命题；若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β，故③为真命题；若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，如图2，则α与β可能相交，故④为假命题．故选B.图1 图24．已知复数z 1＝21＋i，z 2＝a ＋i(a ∈R )，若z 1，z 2在复平面中对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→(O 为坐标原点)，且|OZ 1→＋OZ 2→|＝2，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－3D ．1或－3答案 D解析 由题意知OZ 1→＝(1，－1)，OZ 2→＝(a,1)，因此OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋1,0)，故(a ＋1)2＝4，解得a ＝1或－3，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．30＋π B．30＋2π C．18－π4D ．18－π 答案 C解析 易知，所求几何体为一个长方体中间挖去一个小圆柱．所以，V ＝3×2×3－π×14×1＝18－π4，故选C.6．定义某种运算⊕，a ⊕b 的运算原理如图所示．设f (x )＝(0⊕x )(2⊕x )，则f (x )在区间[－1,1]上的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意，f (x )＝⎩⎨⎧x 2，－1≤x ≤0，0，0<x ≤1.故f (x )在区间[－1,1]上的最大值为1.故选C.7．如图，在等腰三角形ABC 中，已知∠BAC ＝120°，阴影部分是以AB 为直径的圆与以AC 为直径的圆的公共部分，若在△ABC 内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.3π9－1 B ．1－3π9C.3π9－12D.12－3π9答案 C解析如图所示，取BC的中点D，AC的中点O，连接AD，DO，设AB＝2，在△ACD中，AD＝1，CD＝3，S△ACD＝32，∴S△ABC＝3，在扇形OAD中，∠AOD＝60°，S扇形AOD＝12·π3·1＝π6，S△AOD＝34，∴S阴影＝2⎝⎛⎭⎪⎫π6－34＝π3－32，∴P＝S阴影S△ABC＝π3－323＝3π9－12.故选C.8．过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，其面积分别为S1，S2，当|S1－S2|最大时，直线l的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0C．x－y－2＝0 D．y－2x＋1＝0答案 A解析因为点P坐标满足x2＋y2≤4，所以点P在圆x2＋y2＝4内，因此，当OP与过点P 的直线垂直时，|S1－S2|最大，因为直线OP的斜率为k OP＝1－01－0＝1，所以直线l的斜率为k＝－1，因此，直线l的方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0.故选A.9．函数f(x)＝12x＋sin x的图象大致是( )答案 C解析 因为f (x )＝12x ＋sin x 为奇函数，所以排除B ，D ；当x >0且x →0时，f (x )>0，排除A.故选C.10．已知半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)，A ，B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使∠BPQ ＝π3，则t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪(0，3]B ．[－3，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233 答案 A解析 根据题意，设PQ 的延长线与x 轴交于点T ，|PB |＝|t |，由于PB 与x 轴垂直，且∠BPQ ＝π3，则在Rt △PBT 中， |BT |＝3|PB |＝3|t |，当P 在x 轴上方时，PT 与半圆有公共点Q ，PT 与半圆相切时，|BT |有最大值3，此时t 有最大值3，当P 在x 轴下方时，当Q 与A 重合时，|BT |有最大值2，|t |有最大值233，则t 取得最小值－233，t ＝0时，P 与B 重合，不符合题意， 则t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－233，0∪(0，3]．故选A.11．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x －a ＋2与曲线y ＝e x ＋b －1相切，则1a ＋1b的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 由y ＝x －a ＋2得y ′＝1；由y ＝e x ＋b －1得y ′＝e x ＋b ；因为y ＝x －a ＋2与曲线y ＝e x ＋b －1相切，令e x ＋b ＝1，则可得x ＝－b ，代入y ＝e x ＋b －1得y ＝0；所以切点为(－b,0)．则－b －a ＋2＝0，所以a ＋b ＝2.故1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝1＋b 2a ＋a 2b ≥2，当且仅当b 2a ＝a 2b，即a＝b ＝1时等号成立，此时1a ＋1b取得最小值2.选B.12．在△ABC 中，B ＝30°，BC ＝3，AB ＝2，D 是边BC 上异于B ，C 的点，B ，C 关于直线AD 的对称点分别为B ′，C ′，则△BB ′C ′面积的最大值为( )A.32B.337 C.237D.3－32答案 A解析 由B ＝30°，BC ＝3，AB ＝2，可得△ABC 为直角三角形，且C ＝90°，则以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴建立如图所示的直角坐标系．则A (1,0)，B (0，3)，C (0,0)，设D (0，λ)(0<λ<3)，则直线AD ：y ＝－λ(x －1)，即λx ＋y －λ＝0.设BB ′与AD 交于点E ，则BE ＝|3－λ|1＋λ2，又因为直线BE ：y －3＝1λx ，即x －λy ＋3λ＝0.此时C 到直线BE 的距离为h ＝|3λ|1＋λ2，所以BB ′＝2×|3－λ|1＋λ2，C ′到BB ′的距离为h ＝|3λ|1＋λ2，则所求面积S ＝12×2×|3－λ|1＋λ2×|3λ|1＋λ2 ＝3λ－3λ21＋λ2，因为S ′＝(1－3λ)(3λ＋3)(1＋λ2)2，所以当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33时，S ′>0；当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3时，S ′<0.所以当λ＝33时，S max ＝32，选A. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.答案 －3解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2cos(π－α)，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tanπ4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝－3.14．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则AD →·BC →＝________. 答案 2解析 ∵BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·()AC →－AB →＝－13AB →·AC →＋23AC →2－13AB →2＝－13×1×2×12＋23×22－13×1＝2. 15．在等差数列{a n }中，若1≤a 1≤3,2≤a 4≤4，则a 10的最大值是________． 答案 10解析 依题意，设数列{a n }的公差为d ，再设a 10＝ma 1＋ka 4，则a 1＋9d ＝ma 1＋k (a 1＋3d )＝(m ＋k )a 1＋3kd ，所以⎩⎨⎧m ＋k ＝1，3k ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝－2，k ＝3，所以a 10＝－2a 1＋3a 4，又1≤a 1≤3,2≤a 4≤4，所以0≤a 10≤10.因为a 1＝1，a 4＝4时，a 10＝10，所以a 10的最大值是10.16．甲、乙、丙3人在同一个环形场地锻炼．甲以13(圈/分钟)的速度慢跑，乙以14(圈/分钟)的速度快走，丙以16(圈/分钟)的速度慢走．计时开始时，3个人的前进方向相同，且甲在乙后面13圈，乙在丙后面16圈(如图所示)．那么，经过________分钟，甲和乙2人第一次相遇；1个小时之内，甲、乙、丙3人________(填“能”或“不能”)第一次同时相遇．答案 4 不能解析 设经过t 分钟，甲和乙2人第一次相遇．依题意，13t －14t ＝13，解得t ＝4.所以，经过4分钟，甲和乙2人第一次相遇在B 处．设经过k 分钟，甲和丙2人第一次相遇．同理，经过16分钟，甲和乙2人第二次相遇(甲超过乙一圈)仍在B 处，且甲和乙2人以后每次相遇总在B 处．依题意，13k －16k ＝12，解得k ＝3.所以，经过3分钟，甲和丙2人第一次相遇在A处．同理，经过9分钟，甲和丙2人第二次相遇(甲超过丙一圈)仍在A 处．且甲和丙2人以后每次相遇总在A 处．又因为甲和乙2人每次相遇都在B 处．故甲、乙、丙3人不可能同时相遇．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为5 3.(1)求角C 的弧度数；(2)记θ＝max{A ，B ，C }(即θ为角A ，B ，C 中的最大角)，求tan θ. 解 (1)依题意，在△ABC 中，S △ABC ＝12ab sin C ＝10sin C ＝53，所以sin C ＝32，所以C ＝π3或2π3. (2)若C ＝2π3，则角C 最大，此时θ＝C . 所以tan θ＝－3； 若C ＝π3，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋25－20＝21，c ＝21，于是角B 最大，此时θ＝B .因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋21－25821＝2114，sin B ＝1－cos 2B ＝5714，所以tan θ＝tan B ＝533. 综上，tan θ＝533或－ 3. 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，设AC∩BD＝O，且∠PDO＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)如图，连接OP，由(1)知，BD⊥平面PAC，又PO⊂平面PAC，知BD⊥PO.在Rt△POD中，因为∠PDO＝π3，所以∠DPO＝π6，得PD＝2DO.又因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝3，于是梯形ABCD的面积S＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42，PA ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13S ·PA ＝13×9×4＝12.19．(本小题满分12分)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95)进行分组，得到下列统计图．(1)分别估算两个车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数；(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75 min 的工人中随机抽取2人，求抽取2人中至少1人生产时间少于65 min 的概率．解 (1)第一组工人20人，其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人， ∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为620×200＝60. 第二组工人40人．其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30人，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min 的人数为3040×400＝300. (2)第一组平均时间为x －1＝60×2＋70×4＋80×10＋90×420＝78.第二组平均时间为x －2＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5，∵x －1>x －2，∴乙车间工人生产效率更高．(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min 的工人有6人，其中生产时间少于65 min 的有2人，分别用A 1，A 2表示，生产时间不少于65 min 和少于75 min 的工人用B 1，B 2，B 3，B 4表示，抽取2人基本事件空间为Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)}，共15个基本事件，这15个基本事件发生的可能性是相等的．设事件A 表示“2人中至少1人生产时间少于65 min”，则事件A 表示“2人的生产时间都不少于65 min”，包含(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共6个基本事件，∴P (A )＝1－P (A )＝1－615＝35. 20．(本小题满分12分)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 是抛物线C上的一个动点，过A 点作l 的垂线AH ，H 为垂足．已知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，且|AH |＋|AB |的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点B 的直线n 与抛物线C 交于点P .若|PF |＝λ|PB |，求实数λ的取值范围．解 (1)易知，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2， 根据抛物线的定义，|AH |＋|AB |＝|AF |＋|AB |≥|FB |＝p ，当且仅当A 点与坐标原点重合时等号成立．依题意，p ＝2，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)若直线n 的斜率不存在，则|PF |＝|PB |，λ＝1；若直线n 的斜率存在，设直线n 的方程为y ＝kx －1，根据对称性，不妨设k >0， 则过P 点作PQ ⊥l ，垂足为Q ，则|PF |＝|PQ |. 因为|PF |＝λ|PB |，于是|PQ |＝λ|PB |，λ＝|PQ ||PB |.在直角三角形PQB 中，sin ∠PBQ ＝|PQ ||PB |， 所以λ＝sin ∠PBQ .因为函数y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以λ随着∠PBQ 的增大而增大； 又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，所以∠PBQ 随着tan ∠PBQ 的增大而增大， 所以λ随着k 的增大而增大．所以，当直线n 与抛物线C 相切时，λ的值最小． 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx －1得14x 2－kx ＋1＝0. 令Δ＝k 2－1＝0得k ＝1. 此时，∠PBQ ＝π4，λ＝sin π4＝22， 所以此时λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.综上，实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ln xx －1. (1)当a ＝1时，判断f (x )有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由； (2)若f (x )<x ＋1，求a 的取值范围． 解 函数f (x )＝ax ln xx －1，则x >0且x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． (1)当a ＝1时，f (x )＝x ln x x －1，则f ′(x )＝x －ln x －1(x －1)2， 令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，①当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，g (x )>g (1)＝0， ∴f ′(x )>0，f (x )无极值点；②当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，g (x )>g (1)＝0， ∴f ′(x )>0，f (x )无极值点． 综上，当a ＝1时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )<x ＋1，得ax ln x x －1<x ＋1，即x x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0.令h (x )＝a ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝a x －1－1x 2＝－(x 2－ax ＋1)x 2.①当a ≤0时， x ∈(0,1)时，⎩⎨⎧ln x ＜0，x －1＜0；ax ln xx －1<0<x ＋1， x ∈(1，＋∞)时，⎩⎨⎧ln x ＞0，x －1＞0，ax ln xx －1<0<x ＋1， ∴ax ln xx －1<x ＋1成立，即a ≤0符合题意． ②当0<a ≤2时，x 2－ax ＋1≥2x －ax ≥0， ∴h ′(x )≤0；当x ∈(0,1)时，h (x )为减函数，h (x )>h (1)＝0， ∴x x －1⎝⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0成立； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )为减函数，h (x )<h (1)＝0， ∴x x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x －x ＋1x <0成立； 即0<a ≤2符合题意．③当a >2时，由h ′(x )＝0，得x 2－ax ＋1＝0， 且Δ＝a 2－4>0；设x 2－ax ＋1＝0两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， ∴x 1＋x 2＝a >0，x 1x 2＝1， ∴0<x 1<1<x 2；由h ′(x )>0，得x 2－ax ＋1<0， 解集为(x 1,1)∪(1，x 2)，∴h (x )在(x 1,1)上为增函数，h (x 1)<h (1)＝0， ∴x 1x 1－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ln x 1－x 1＋1x 1>0，∴a >2不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋cos φ，y ＝3＋sin φ(φ为参数)．(1)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； (2)若射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求1|OA |＋1|OB |的取值范围．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1， 即x 2＋y 2＋2x －23y ＋3＝0，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ－3sin θ)＋3＝0. (2)把θ＝α代入ρ2＋2(cos θ－3sin θ)ρ＋3＝0得ρ2＋2(cos α－3sin α)ρ＋3＝0.设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，则ρ1＋ρ2＝2(3sin α－cos α)，ρ1 ρ2＝3. 所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝2(3sin α－cos α)3＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6，又射线θ＝α与曲线C 有两个不同的交点A ，B ， ∴π2<α<5π6， ∴π3<α－π6<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6≤1，∴233<1|OA |＋1|OB |≤43，∴1|OA |＋1|OB |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤233，43. 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|，记f (x )的最小值为m . (1)解不等式f (x )≤5；(2)若正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝5，求证：2a 2＋3b2≥2m .解 (1)①当x >1时，f (x )＝(x －1)＋(x ＋2)＝2x ＋1≤5， 即x ≤2，∴1<x ≤2；②当－2≤x ≤1时，f (x )＝(1－x )＋(x ＋2)＝3≤5， ∴－2≤x ≤1；③当x <－2时，f (x )＝(1－x )－(x ＋2)＝－2x －1≤5，即x ≥－3，∴－3≤x <－2. 综上所述，原不等式的解集为{x |－3≤x ≤2}．(2)证明：∵f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x ＋2)|＝3， 当且仅当－2≤x ≤1时，等号成立． ∴f (x )的最小值m ＝3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ×12＋3b ×132＝5，即2a 2＋3b 2≥6，当且仅当2a×13＝3b ×12，即3a ＝2b 时，等号成立．。
2020年全国高考数学(文科)仿真冲刺模拟试卷4含答案
2020年全国高考数学（文科）仿真冲刺模拟试卷4一、选择题1．已知集合(){|lg 21}A x x =-<，集合2{|230}B x x x =--<，则A B ⋃=（ ）A. ()2,12B. ()1,3-C. ()1,12-D. ()2,32．已知复数z 满足： ()21i z i +=-，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为（ ）A.1355i - B. 1355i + C. 13i - D. 13i + 3. 给出下列四个命题：已知四个命题：①如果向量a v与b v共线，则a b =vv或a b =-vv； ②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ： ()00,2x ∃∈， 200230x x --<的否定p ⌝： ()0,2x ∀∈， 2230x x --≥；④“指数函数xy a =是增函数，而12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 设,,D E F 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=u u u v u u u v( ) A. AD u u u v B. 12AD u u uv C. BC uuu v D.12BC u u u v 5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x 值为（ ）A. 0B. 1C. 16D. 326. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.112π B. 163π C.173π D. 356π 7. 函数()2(0)xf x x =<，其值域为D ，在区间()1,2-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是（ ） A.12 B. 13 C. 14 D. 238. 在公比为q 的正项等比数列{}n a 中， 44a =，则当262a a +取得最小值时， 2log q =（ ） A.14 B. 14- C. 18 D. 18- 9. 定义2×2矩阵[a 1a 3 a 2a 4]=a 1a 4−a 2a 3，若f(x)=[cosx −sinx √3cos(π2+2x)cosx +sinx ]，则f(x) （ ）A. 图象关于(π,0)中心对称B. 图象关于直线x =π2对称C. 在区间[−π6,0]上的最大值为1 D. 周期为π的奇函数10. 定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足()()+2=-f x f x ，且当[]1,1x ∈-时， ()f x x =，则下列四个命题：①()20180f =； ②函数()f x 的最小正周期为2； ③当[]2018,2018x ∈-时，方程()12f x =有2018个根；④方程()5log f x x =有5个根. 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 411. 若双曲线的中心为原点， ()0,2F -是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线相交于M ， N 两点，且MN 的中点为()3,1P 则双曲线的方程为（ ）A. 2213x y -=B. 2213x y -=C. 2213y x -=D. 2213y x -= 12. 已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. [)2,+∞ 二、填空题13. 已知变量x ， y 满足30{40 240x x y x y +≥-+≥+-≤，则3z x y =+的最大值为__________．14. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()3log 11n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为__________． 15. 设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA 1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.16. 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，若|CA⃑⃑⃑⃑⃑ −CB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=3，CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6，则ΔABC 面积的最大值为__________．三、解答题17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2A B =. （1）求证： ()2a b b c =+；（2）若ABC ∆的面积为214a ，求B 的大小.(I)若用组中值代替本组数据的平均数,请计算样本的平均数x ;(II)以频率估计概率,若样本的容量为2000,求在分组[14.5,17.5）中的频数;(Ⅲ)若从数据在分组[8.5,11.5)与分组[11.5,14.5)的样本中随机抽取2个，求恰有1个样本落在分组[11.5,14.5)的概率。
2020届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟试题(四)文
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(四)本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合{}{}24,12x A x B x x =<=-<，则图中阴影部分所表示的集合是 A ．{}23x x <<B ．{}23x x ≤<C ．{}1x x -<<2D ．{}1x x -<≤2 2．已知复数i z 在复平面内对应的点为()22,1,1z i -=+(i 为虚数单位)，则12z z = A ．2 B ．3 C ．102 D ．3223．已知在等比数列{}26,n a a a ，是函数()329123f x x x x =+++的两个极值点，则4a =A. 2- B ．2 C ．22-或 D ．44．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：经过点(2，0)，离心率为2，双曲线C 的一条渐近线上存在两点P ，Q ，线段PQ 的垂直平分线经过双曲线C 的右焦点F ，且30PQF PQ ∠==o ，则A ．8B ．10C ．12D ．145．已知函数()()()[]log 320123a f x ax a a =+>≠-且在区间，上单调递减，则实数a 的取值范围是A ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．113⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(0，1) D ．(1，3)6.下列函数中，最小正周期是2π，且在区间2424ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内单调递增的是A. sin 2y x = B ．19cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 1cos x y x =+ D ．sin 43cos 4y x x =+ 7．如图，在4,3,ABC AB AC D ∆==u u u u r u u u u r 中，为线段AB 的中点，3,60AE EC BAC =∠=o u u u r u u u r ，则DE BC u u u r u u u r g 的值为A ．294B ．7C ．254D ．6 8．某几何体被一平面所截，该几何体剩余部分的三视图如图所示，则该截面图形的面积为 A ．2 B ．6 C ．22 D ．329．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为18，则空白处理框中可以填入A ．1m =B ．4m =C ．7m =D ．10m =10．已知椭圆22:11612x y C +=的左、右焦点分别为12,F F 抛物线()2:20E y px p =>的焦点与椭圆C 的右焦点重合，若抛物线E 与椭圆C 交于点P ，则12PF F ∆的面积为A 26B 46C 86D 16611．已知实数,x y 满足约束条件210,20,0,kx y k x y y -++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩若存在唯一的实数对(),x y ，使得()()2222x y ++-的最小值为12，则正实数k 的值为 A ．1 B 2C 3D ．212．已知函数()22log ,0,62,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()()f x m m R =∈有四个不同的实数根1234,,,x x x x (其中1234x x x x <<<)，则3412m x x x x +-与的取值范围分别是A ．()()0,2,7,-+∞B ．(][)0,2,7,-+∞C ．(]()0,2,2,-+∞D ．(]170,2,0,4⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分．13．如图所示，圆O 既是正方形EFGH 的外接圆，又是正方形ABCD的内切圆，现向正方形ABCD 内随机投一质点，则该质点落在阴影部分内的概率为__________．14．已知函数()221,,134,,x a f x x x x x a ⎧->⎪=+⎨⎪--<⎩若不等式()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞，则实数a 的取值范围为____________．15．某同学参加一次竞赛，在规定时间内做A ，B ，C ，D 四份试卷，已知该同学共答对了40道题。
百校联盟2020年4月高考文科数学模拟试卷及答案详解(24页)
百校联盟2020年4月高考文科数学模拟试卷文科数学试题一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）二、填空题13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案与详解一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷(四)文科数学
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷（四）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）．A.{}1x x ≥ B.{}12x x ≤< C. {}11x x -<≤ D.{}1x x >- 2．设复数z 满足(3)3i z i +=-，则||z =（ ）．A.12B.1C.2D. 23．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数12 3 4 567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20%26%18%12% 4% 2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4．已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．若OMN ∆为直角三角形，则C 的离心率为（ ）． A.2B.3C.2D.55．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则9a =（ ）．A.12B.54C.45D. 45-6．已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）．A. 0B.12 C.1 D.327．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A.463π-B.3312π-C.332π-D.332π8．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =，则CM CA ⋅=（ ）．A ．32B ． 23C ．6D ．1529．已知函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2f m x f x m -<+恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A. (),4-∞-B. (),2-∞-C. ()2,2-D.(),0-∞10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y x f x '=⋅的图象可能是（）O y xO y x O y x O yxA B C D11．已知过抛物线242y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为( ) A ．123B ．12C ．83D ．6312．若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12A A B C ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15．将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若427a c ==，，求ABC ∆的面积.-2-2-2-218.(本小题满分12分)为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校y (百个)0.300.601.001.401.70(Ⅰ)根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y x 与的线性相关性强弱(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()()()12211niii nni i i i x x yy r x x y y ===--=--∑∑∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑，13 3.6056≈，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑，19.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF 的面积都等于3，求三棱锥G ABE -的体积.20.(本小题满分12分)已知直线:10-+=与焦点为F的抛物线2l x yC y px=(0:2p>)相切.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数()22=-+(a R3lnf x x ax a x∈).(Ⅰ)求()f x的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的2f x≥恒成立，求a的取值范围.x e≥(e为自然对数的底数)，()0请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1232x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当AB OP =时，求a 的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.文科数学试题参考答案一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 1.【简解】()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1A B x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i i ==3+i3+i 3i 8610z ----=-，所以1z=，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C 的离心率2=e ，故选A ．5.【简解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πc o s 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积2136[222]=46322S =⨯π⨯-⨯⨯⨯π-1（）624-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 【简解二】依题意得：阴影部分的面积2132622=46322S =π⨯-⨯⨯⨯⨯π- 24-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，则530,03,022C A M （），（），（，），所以53153,0222CM CA ⋅==（，）（），故选D ． D ABCM【简解三】依题意得：过M 点作M D A ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ． 9. 【简解】依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．10. 【简解】【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '<．∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-或0x >时，()0xf x '>.选：C ．11.【解答】解：解：过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设||BF m =，||3AF m =，则||4AB m =，2AK m =，1360222BAA CF p m ⇒∠=︒⇒===423m ∴=．342AM m ⇒==，3sin 603262MC AF m =︒=⨯= 则四边形AMCF 的面积为11()(2242)2612322S CF AM MC =+=+⨯=，故选：A ．12.【解答】解：方程0x e ax a +-=没有实数根，得方程(1)x e a x =--没有实数根， 等价为函数x y e =与(1)y a x =--没有交点，当0a >时，直线(1)y a x =--与x y e =恒有交点，不满足条件． 当0a =时，直线0y =与x y e =没有交点，满足条件．当0a <时，当过(1,0)点的直线x y e =相切时，设切点为(,)m m e ，则()x f x e '=，则()m f m e '=， 则切线方程为()m m m m y e e x m e x me -=-=-．即m m m y e x me e =-+， 切线过(1,0)点，则0m m m e me e -+=，得2m =，即切线斜率为2e ， 要使x y e =与(1)y a x =--没有交点，则满足20a e <-<，即20e a -<<，综上20e a <…，即实数a 的取值范围是2(e -，0]，故选：A ． 二、填空题13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．14.【简解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 2221=24AA BC AB R ++==，因为12AA BC ==，所以22AB =.因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠， 在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以11122B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15. 【简解】因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =， 所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以3ba=．16. 【简解】因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=， 所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<，解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6． 三、解答题：17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴13sin sin cos sin sin 022B C C C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，………………2分∴13sin cos 022C C +=，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………………………………4分∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分(Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ………………………………8分∵0b >，∴2b =， ……………………………… 10分∴113sin 2423222S ab C ==⨯⨯⨯=. …………………………12分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)20161x y ==，， …………………………2分()()()()122113.6 3.60.753.605610 1.3niii nni i i i x x yy r x x y y ===--===>--∑∑∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强. …………………………6分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014iii ii x x yy bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， (8)分ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ………………………………9分∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. …………………………10分当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08yx =-=， 即A地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF . …………………………1分 由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .………2分 ∵2CB GF =，∴//CD GF =，……………………………………3分 ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.……………………4分∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ……………………6分 (Ⅱ)∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ………………………………8分 ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. …………………………9分 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆的面积等于3，∴2BC =，1GF =. …………………………10分 ∵直角梯形BCGF 的面积等于3，∴()1232CG+⋅=，∴233CG =， ∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=. (12)分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切.由2102x y y px-+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y py p -+=，……2分从而2480p p ∆=-=，解得2p =. ………………………………4分∴抛物线C 的方程为24y x =. …………………………5分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，).……6分由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y t y --=， ………………………………7分∴124y y t +=，从而21242x x t +=+， ……………………………………8分∴线段AB的中点M 的坐标为(221 2t t +，). ………………………………9分设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ，点M 到直线l 的距离为d ，则222222132222122242A B t t d d d t t t -+⎛⎫+==⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭， …………………………11分∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l 的距离之和最小，距离的最小值为322. ………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，). …………………………1分()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==. …………………………2分⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；…………3分⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，() a +∞，，由()0f x '<解得2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.………………4分∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，，单调递减区间是2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，. ……………………5分(Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增， ∴()2422()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意. …………………………6分②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在 0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，上单调递增，在2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. (ⅰ)若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，上单调递增.∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()20f e ≥，且()0f a ≥.……………………………7分而当22≥a e 时，()22242223(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立.∴22a e ≥符合题意. ………………………………8分(ⅱ)若22ae a <≤时，()f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可， 此时()22223ln (l n 2)0=-+=-≥f aa a a a a a 成立，∴222e a e ≤<符合题意.…………………………9分(ⅲ)若2e a >，()f x 在)2e ⎡+∞⎣，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()2422320f e e ae a =-+≥，……………………10分即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥，∴202e a <≤符合题意.……………………………11分综上所述，实数a 的取值范围是)222e e ⎛⎤⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝⎦，，. …………………………12分 22.(本小题满分10分)【解析】（1）将直线l 的参数方程化为普通方程为30x y a +-=. ·························· 2分 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=， ··································································· 3分 从而224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=. ··························· 5分（2）解法一：由()4cos 03ρθθρ=⎧⎪π⎨=≥⎪⎩，得2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2OP =， ······························ 6分 将直线l 的参数方程代入圆的方程2240x x y -+=，得()22230t a t a +++=由0∆>，得234234a -<<+ …………………………………………………………8分设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，则()22121212AB 44432t t t t t t a a =-=+-=+-= (9)分解得，0a =或43a =.所以，所求a 的值为0或43.………………………………………………10分解法二：将射线()03θρπ=≥化为普通方程为()300x y x -=≥， ······················· 6分 由（1）知，曲线C ：()2224x y -+=的圆心()2,0C ，半径为2， 由点到直线距离公式，得C 到该射线的最短距离为：23331d ==+， 所以该射线与曲线C 相交所得的弦长为()222232OP =-=． ························· 7分 圆心C 到直线l 的距离为：2323231a a --=+， ·············································· 8分由22223122a⎛⎫- ⎪+= ⎪⎝⎭，得()22312a -=，即2323a -=±， ···················· 9分解得，0a =或43a = 所以，所求a 的值为0或43.……………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为2326x x +≥(当且仅当23x x =，即63x =时等号成立)， 所以26a ≤，即a 的最大值是26. …………………………10分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)冲刺卷(四)(解析版)
点.故选项 B 正确.
6．已知向量
a
4,
7,
b
3,
4，则
a
2b
在
b
方向上的投影为（
）
A． 2
B． 2
C． 2 5
D． 2 5
【答案】B
a 4, 7,b 3, 4 a 2b 2,1
a 2b
22 1
5
【解析】
,
，
a 2b b
a 2b
b
2
3
1
4
10
,设
r a
r 2b
.
【答案】2
【解析】因为 an an2 an1 n N * ，由 a1 1， a2 2 ，得 a3 2 ；由 a2 2 ， a3 2 ，得 a4 1；由
a3
2 ， a4
1，得 a5
1 2
；由 a4
1， a5
1 2
a6
，得
1 2
a5 ；由
1 2
a6
，
1 2
，得 a7
1；由 a6
【解析】由程序框图有
S
={3t ,t 1 4t t2 ,t
1
，当 t 1
时，
S 3t 0, 4
，所以 0 t 1 ；当 t 1时，由
S 4t t2 0, 4 有1 t 4 ，综上有 0 t 4 ，所以 n m 的最大值为 4 . 故选 D.
：
x 2 0
y
2
0
8．已知
）
27 A． 32
10 8 6 B． 3
16 6 C． 3
32 2 16 6
D．
3
【答案】D
【解析】
设外接球的球心为 O ，半径为 R ，则 4 R2 128 ，故 R 4 2 . 设球心 O 在底面上的投影为 E ，因为 OA OC OB ，故 E 为 ABC 的外心. 因为 AB BC 4 ， AC 4 2 ，所以 AC2 AB2 BC2 ，故 ABC 为直角三角形， 故 E 为 AC 的中点，所以 OE OA2 AE2 2 6 ，设 D 到底面 ABC 的距离为 h ，则 h OE R 2 6 4 2 ，所以三棱锥 D ABC 的体积的最大值为
普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷四文科数学含解析推荐
)四年招生全国统一考试临考冲刺卷(普通高等学校2020文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．??，则的共轭复数在复平面内对应的点在（1．已知复数满足）i?z?21?i zz A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D 【答案】1313??????????，，，【解析】，，i?1?ii?21?i1?i zz??2+i1?i??zz?i?3i?z1?2222213??,?，的共轭复数在复平面内对应的点在第的共轭复数在复平面内对应点坐标为zz??22??四象限，故选D． ????2?MN36x?M=x），（，则2．设集合2,4,6,8N?????????．．．B C DA．62，64，46，242，，A【答案】????．【解析】，故2,4N?M??M6,6．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内3 ）的概率是则该点取自阴影区域内随机取一点，（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）（14114 D．C．．A．B?2?1?2?3C【答案】??2??2??4'S1??P??．，故选1【解析】令圆的半径为，则C??S??33x cos??????0,?,0x? 4．函数），的图象大致是（?fx????22x?sin x????．．D．A．B CC【答案】??????，B可得函数A【解析】由，为奇函数，图像关于原点对称，可排除xfffx?x???????0,x?．∵，故选C时，0x?f??2??）5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（2646432?．D．C B A．．???32333D【答案】【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，24为高的直三棱柱的外接球相同．故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以2，故底面为等腰直角三角形，由底面底边长为4，高为可得底面三角形外接圆的半径为，2r?2OO?，可得，由棱柱高为4222故外接球半径为，2?2??22R2464??3?22?V???．故外接球的体积为．选D33年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且17656．数学家欧拉在已这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，????）的欧拉线方程为（知的顶点，，，则0,42,0BA ABCBCABC△AC?△．．C A．．DB03?yx?23x2?y??0??2x?y3?02x?y?30?D 【答案】21AB【解析】线段的中点为M（，）2=，﹣，AB1．y，即﹣12=yAB ∴线段的垂直平分线为：﹣（﹣）2+3=02AB的垂直平分线上，BC，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段=∵AC．．故选：D y因此△ABC的欧拉线的方程为：﹣2+3=0 ）的值为（7．执行如图所示的程序框图，则输出S3A．4097 B．9217 C．9729 D．20481B【答案】【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：01292102???2?2??3S?1?2?，10123??2?21?3?2??10?222S?则，1021?10290101210?2?10?S?2?2?2??2???以上两式作差可得：，2?110．本题选择B选项．则：92171?9?2??S?2?????????的最小正周期为，且其图象向右平移个8．已知函数)x??sin0,f(x???623????等于（的图象，则）单位后得到函数x?x sin g4?2???．CA．．．BD3699【答案】B11?2???????sin xx?f，函数的解析式为：，，【解析】由最小正周期公式可得：???6????33??2?个单位后得到移平的函数图像为：将函数图像向右3???211?21????????s x?ins x?sin?x?i??x?g n，?????? 33933??????2?2?????，，据此可得：Z?k????2k?k??2992??可得令选项．．本题选择B?0k?9ln5ln2ln39 ．已知实数）的大小关系是（，，，则a?b??cca,b,523A．B．C．D．c????abab?c?ba?ab?cc B【答案】ln3ln22ln3?3ln2ln9?ln8，∴；【解析】∵0???b?a??ab?3266ln2ln55ln2?2ln5ln32?ln25，∴，又0??????acca?2510104∴，即．选B．bc?ab?a?c?ABCD?ABCDBC,CD的中点，点．如图所示，在正方体分别为是底面中，10FE,P1*******AP∥tan?APADCAB的最大值是（平面，则）内一点，且EFDB111112．．B．CA．D22212【答案】D【解析】由题意可得，点位于过点且与平面平行的平面上，EFDBAPAD,AB的中点如图所示，取，连结，GEAG,GH,AH,G,H1111由正方形的性质可知：，由为平行四边形可知，BEGHAGABEG∥EF∥由面面平行的判定定理可得：平面平面，∥AGHBEFD据此可得，点位于直线上，GHPAA?AA?APDBCA，如图所示，由可得平面1111111AA1tan?APAAP??tan APA取得最小值，则，当有最大值时，111AP1 APA tan?的值是即点是．本的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时22GH P1题选择D选项．22yxM:??1(a?0,b?0)的左焦点作倾斜角为的直线，若经过双曲线11．交双曲线?60ll 22ab的左支于，则双曲线离心率的取值范围是（）B,A MM5??????????3,31, A．．B ．．D C ,212,??B 【答案】bc??2222，，得，即离心率的范围是，所以【解析】由题意，,2123??a?c??ab3aa．故选B3a??????x有正实数解，设函数12．若不等式则实数的最小值为，?3fxx??e?a0x ≤f??xx??（）2 D．．2 C．BA．3 ee D【答案】??????2x2x3?3x≥a e?x【解析】原问题等价于，令，3?x??x3e xg??????2x??≥gxa，而，则x e x?g'x???min??????，可得：由??1?0x?,??g',0x????由，可得：0,1?g'0xx???????在区间据此可知，函数上的最小值为e g0,???g1x，选项．e．本题选择D综上可得：实数的最小值为a第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．????，若，则实数13．已知向量__________．，,14ka??12,k1?b?kb?a【答案】6???，则．【解析】由题意，0k??1412k1?6??k???b,B?60cos C?c cos A?3a，的对边分别为已知的内角，则14．ABC△c,B,a,,CbA A的大小为__________．【答案】?75?????sin B sin C cos A?b3?sin A cos CA3Ca cos?c cos，即【解析】由，根据正弦定理得311?????A3sin?C，，又，，???30sin?ACC?A??0?1B01C?A?8???22626，，故答案为．??75A?75?150?2A?x≤my?n????55A3,的外接圆直径为过点，若可行域15．已知直线0x?3y≥:l0)n?x?my?n(??0y≥?20，则_____．?n103【答案】??2?2553)?(nn,0?,ABB，OAB及其内部，解得【解析】由题意知可行域为图中△3?AOB tan?，由正弦定理得，又，则∠AOB=30°10???20?sin30AB?2R sin?AOB310310n?3．解得．故答案为：????在设，则”16．“求方程的解有如下解题思路：xxxx4433????????xf1???xf?R????????5555??????????．类比上述解题思路，不等式上单调递减，且，所以原方程有唯一解12f?2?x????362的解集是__________．x??xx?2x??2????【答案】???12,??,?632变形为，﹣+2）【解析】不等式﹣（+2）＞（623+（+2）；+＞（+2）2，v=+2，u令=62333+v；+u＞v）+（+2）?u则+＞（+23+，知f（）在R f考查函数（）=上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；6232＞+2，解得＜﹣1或＞+2）不等式+＞（+2+（）可化为2；7∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．??2aaa成等比数列．，的前项和，且17．已知数列，pn?S?n a n1052nn??的通项公式；1）求数列（a n5??T?b?1．（2）若，求数列的前项和b nnnn a?a n?1n2?54nn14T?5n?a?2．【答案】（1））；（2nn14n?49a?S?S?2n?1?p，1）当时，【解析】（2n?1nnn?a?S?1?pa?2n?1?pa?2n?1?p，，也满足时，当，故1n?nn112??????aa,a,成等比数列，∴∵，p???p3?p9*******??2na∴．∴．6p?n55511???1b?1???1??，（2）由（1 ）可得??????n7n?2?522a?a2n?5n?7n2??1nn?2?54nn115n1415111????T?n????????n?．∴??4万元广告费用，并将18．某公司为了解广告投入n2799112n?52n?714n?4914n?49??对销售收益的影响，在若干地区各投入各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数0开始计数的．据丢失，但可以确定横轴是从（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中2（）试估计该公司投入点值代表该组的取值）；8（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：y之间存在着线性相关关系，请将（2由表中的数据显示，与）的结果填入空白栏，并x y关于的回归直线方程．求出x n??nxy?xy?ii?1?i b??n?参考公式：22nx?x?i1i?????y?bxa??【答案】（1）2；（2）5；（3）答案见解析．【解析】（1）设各小长方形的宽度为．m1，可知由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为???0.5m?1m?2m??0.020.14?0.12?0.040.08?0.1?．，解得2．故图中各小长方形的宽度为????????????10,124,66,82,48,100,2，其中点分别，，，，）知各小组依次是（2）由（1，35790.160.200.280.240.080.04111对应的频率分别为为，，，，，，，，，，1?0.16?3?0.2?5?0.28?7?0.24?9?0.08?11?0.04?5．故可估计平均值为5．）由（2）可知空白栏中填（31?2?3?4?52?3?2?5?7，，由题意可知 3.8??3x??y5555??222322697??5????1?22?3?3?24?5?55??3?x1?4?25yx，，??3.8?1.2?3a?0.2．根据公式，可求得，b1.2???iiii?11?i69?5?3?3.812?25?31055?所以所求的回归直线方程为．0.2??1.2xy ABCDABCDP?EPD为，侧棱长为，19．如图所示，正四棱椎2中，底面的边长为22的中点．9AEC∥PB；平面（1）求证：PF BDFAFPA?为，求三棱椎）若上的一点，且的体积．2（3?FA6）．【答案】（1）见解析；（26OEOACBDP△BD的中点，，连接中，）设【解析】（1，则在交分别为于PD,O,EBDAEC?AECPBOE?，平面∴，又平面，PBOE∥AEC∥PB∴平面．22ABCDPO?6ODPO?PD??，（2，且）易知平面111116???6????2?2?VV???SPO?．∴??ABDA?BDF△????????bF0,c,0Aa,0BP0???:C1ab?是平行四边．椭圆，20，，F?ABD243346??22yx点的右焦点是22ba xPF?FAPB轴．形的一个顶点，10C）求椭圆的离心率；（1PN?CPMllF 2）过，求直线作直线两点，交椭圆的斜率．于（N,M10?k3?2k?．2；（）【答案】（1）或2FABP∥FAPBBP?FA是平行四边形，∴，且【解析】（1）∵四边形1c2?OFa?BP?PF．轴，∴，∴又∵，则?ex222yx22ca?2c?3a?cb?1??，∴椭圆方程为，∴，（2）由（1）得22cc34????cxl:y?k?222222设直线，代入椭圆方程，得：，0?k12xc?8kccx?4k?3?42222c4k?c12c8k????yxx,y,NM?xx??xx?，设，，则，????cxy?ky?k?x?c?yy?，，由于，∴，2211212122k3?4k3?422ck9?kc6??y?y2211212122k?43k?43??c3Pc,根据题意得，且，代入点坐标得：0PN?PM?????220??3c3y?xxc?yx?xc?cy?y?，即2212111222222222kcc694kkc3?12c8kc220??3c??c??，2222k43?k3?4k3?4k3?420k?0?3kk?23?2k?．或，解得化简得??????R ax?xa?x ln xf? 21．已知函数．??????1a?xf（1）若的图像在点处的切线方程；，求函数1f1,1????xf xx?xx有两个极值点）若函数2，求证：，．，且（?x?f212122）见解析（2 【答案】（1）0yx????????1x?1?xxfx?x ln??fx【解析】，当）由已知条件，1（时，，11??????1x??f?1?2xf?1xx?ln x，所以所求切线方程为，当时，0?x?y????ln x?1f?2xax xx，，有两个相异实根（2）由已知条件可得??????xxhf'?，令，则a?h'2x?x??????xxx'?0hh'f不可能有两根；，1）211若，则单调递增，0a≤a?0，2）若111????????xh'0xh?0,,??上单调递减，上单调递增，在，可知令得在?x????2a2a a2????11??f'?0解得，令?0?a??a22??2a111?????0f?有，由???ee e2a??2111???f??2ln a?1??0，由有?????xf有两个极值点，时函数从而0?a?2?????xxff的变化情况如下22aa aa2??1x x x21???????xxf1,11??2af?0x1??x上单调递增，在区间，所以因为，????．???fa1??f?x221?ln x1?ln x?????ax?2?x?ln fx1，，令另解：由已知可2211得，则?xg?2a xx?ln x??????????0,11,gx单调递减，在，可知函数单调递增，在则?'xg2x??x'f x?1?x，有两个根，则可得若2112x ln1??????01,x?x?1?f2xax?x?ln，当时，,a?22x????xf1,x在区间上单调递增，所以21????所以．??fx??f?1a22题中任选一题作答．如果多做，则按（二）选考题（共10分．请考生在第22、23 所做第一题计分）O轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，22x?2?1tx???2Cl为参数）(t??知直线的极坐标方程为；的参数方程为，曲线4cos??2?t?y?2?Cl的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；（1）求直线11??Cl1,0P?与曲线，求交点分别为，点的值．（2）若直线BA,PBPA14220?C:x4?yx?【答案】（1）．）；，曲线（201l:x?y??3220?4?yxC:x?，曲线）；1【解析】（0l:x?y??1?1?x???22t）将（的方程，得为参数）代入曲线（2C，3=0t?2t??2?t?y?2?t?t11142????．23 ．已知函数1??2xx2?x?1f??xf 1214tt?t??t?t??4t．，????221121PAPBtt321的最小值；（1）求函数m1112满足，求证：）若正实数．（2m???3≥ba, 22abab【答案】（1）2；（2）见解析．11?????12?1?x2?x1?21x2??x≥2当且仅当时，等式成立．）（【解析】1≤x≤?221321121121???????≥?1??则，（2）2?≥??????2222baab2ba??????b?2a时取，等号成立．当且仅当14。
2020届 全国大联考 高三第四次联考数学(文)试题(解析版)
2020届全国大联考高三第四次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =U （ ） A ．[3,4) B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞U . 故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题. 2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） 3344【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.4．已知三棱柱的高为4，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】B【解析】根据柱体的体积公式求解即可. 【详解】三棱柱底面的面积为224S =⨯=故体积为V Sh ==故选：B 【点睛】本题考查棱柱的体积公式.属于基础题. 5．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4kC ．4D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立； 因为BD EF l ////,BD ⊥平面ACC A ,所以l ⊥平面ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.10．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMN S OF y y =⋅-=V 故选：A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ） A ．5 B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022by b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，E 、F 分别为CD 、AB 的中点，则异面直线1B F 与1D E 所成的角为________.【答案】60︒【解析】连接1A F 、EF ,可得11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.再根据三角形中的关系分析即可. 【详解】连接1A F 、EF ,则易证四边形11A D EF 为平行四边形,所以11D E A F ∥,所以11A FB ∠即为异面直线1B F 与1D E 所成的角.因为2AB =,13AA =所以可求得112A F B F AB ===,所以11A FB V 为等边三角形,则1160A FB ︒∠=.故答案为：60︒ 【点睛】本题考查异面直线所成的角.需要根据题意构造三角形进行求解.属于基础题. 15．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足||||8PF MF +=，3MFP π∠=，则直线AB 的方程为________.【答案】3(1)y x =-【解析】根据||||8PF MF +=,3MFP π∠=可得MFP V 为正三角形且边长为4,进而求得直线AB 的倾斜角,再求解方程.由椭圆22143x y +=,可知1c =,12p =,2p =,∴24y x =,在MFP V 中,3MFP π∠=,PF PM =,故MFP V 为正三角形.又||||8PF MF +=,故||||4PF MF ==13||||sin ||||43234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅=V ∵||4MF =,12F F =,∴16FMF π∠=,13MFF π∠=,∴直线AB 的倾斜角为3π,将直线方程3(1)y x =-. 故答案为：3(1)y x =- 【点睛】本题考查抛物线与椭圆综合运用,同时也考查直线方程的倾斜角与斜率点斜式等.属于中档题.三、解答题17．在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n =-，2nn b =（2）2(2)2n n S n =+-⨯【解析】(1)根据10a =与32a =可求得12b =,3328b ==再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得1(1)2n n c n -=-⨯,再利用错位相减求和即可.【详解】（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =, 故111222n n nn b b q --==⨯=,又由122n a n +=,得1n a n =-.（2）依题意1(1)2n n c n -=-⨯.01221021222(2)2(1)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,①则12312021222(2)2(1)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n ---=+++--⨯=--⨯-…,即2(2)2n n S n -=-+-⨯,故2(2)2nn S n =+-⨯.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题. 18．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA P 平面EFG ； （2）直线AC ⊥平面SDB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1) 连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,再证明SA GH ∥即可. (2)证明AC BD ⊥与SD AC ⊥即可. 【详解】（1）连接AC 、BD 交于点O ,交EF 于点H ,连接GH ,所以O 为AC 的中点,H 为OC中SA GH ∥,SA ⊄平面EFG ,GH ⊂平面EFG ,所以直线SA P 平面EFG .（2）在ASD V 中,1SD =,2AD =,5cos 5ASD ∠=,由余弦定理得,222AD SA SD =+-2cos SA SD ASD ⋅∠,即222521215SA SA =+-⨯⨯,解得5SA =由勾股定理逆定理可知SD DA ⊥,因为侧面SAD ⊥底面ABCD ,由面面垂直的性质定理可知SD ⊥平面ABCD ,所以SD AC ⊥,因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,因为SD BD D =I ,所以AC ⊥平面SDB .【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.（1）求抛物线C 的方程；（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r ，求||AB 的值.【答案】（1）24y x =（2）92【解析】(1)代入(,2)m m 计算即可.(2) 设直线AB 的方程为(1)y k x =-,再联立直线与抛物线的方程,消去x 可得y 的一元二次方程,再根据韦达定理与2BF FA =u u u r u u u r求解k ,进而利用弦长公式求解即可.【详解】解：（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2m m ,所以42m pm =,所以2p =,抛物线的方程为24y x =（2）由题意知直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为(1)y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y .因为2BF FA =u u u r u u u r ,所以212y y =-,联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩,化简得2440y y k --=,所以124y y k+=,124y y =-,所以14y k =-,212y =,解得22k =±,所以()212122199||141882AB y y y y k =++-=⨯=. 【点睛】 本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.20．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，AD BC ∥，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .（1）求证：⊥AF PB ；（2）求点D 到平面AEC 的距离.【答案】（1）见解析（2）26 【解析】(1) 连接AE ,证明PB AD ⊥与AE PB ⊥,进而证得PB ⊥面ADE 即可证明⊥AF PB .(2)利用等体积法D AEC E ACD V V --=求解即可.【详解】解：（1）连接AE ,在四边形ABCD 中,DA AB ⊥,PA ⊥平面ABCD ,AB Ì面ABCD ,∴AD PA ⊥,PA AB A =I ,∴AD ⊥面PAB ,又∵PB ⊂面PAB ,∴PB AD ⊥,又∵在直角三角形PAB 中,PA AB =,E 为PB 的中点,∴AE PB ⊥,AD AE A ⋂=, ∴PB ⊥面ADE ,AF ⊂面ADE ,∴⊥AF PB .（2）由22PA AB AD BC ====,∴12AE PB ==AC =EC =,∴222AE EC AC +=,∴12AEC S ==V 设点D 到平面AEC 的距离为d ,∵D AEC E ACD V V --=,∴111122332d =⨯⨯⨯⨯,∴d =【点睛】本题主要考查了证明线面垂直与线线垂直的方法,同时也考查了等体积法求点到面的距离问题,属于中档题.21．已知椭圆22:22:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆E 的右焦点2F ，且与x 轴不重合，交椭圆E 于M ，N 两点，求||MN 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[3,4) 【解析】(1)代入x c =-求解椭圆E 上的点的坐标,再根据线段长为3以及12e =求解即可.(2)分析直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,联立直线与椭圆的方程,再根据弦长公式与斜率的范围求解即可.【详解】（1）由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=,即2b y a =±,由题意知223b a=,即223a b =,又12c e a ==,所以2a =,b =所以椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,()11,M x y ,()22,N x y . 由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=,则2122843k x x k +=+, 212241243k x x k -=+,所以()212221213||34343k MN x k k +=-==+++, 所以||(3,4)MN ∈.当直线l 与x 轴垂直时,||3MN =.综上所述,||MN 的取值范围为[3,4).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解以及弦长公式的运用等,属于中档题.22．已知函数21()4ln 2f x x x =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）讨论()1()2f x g x b x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭零点的个数. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可. (2) 4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,再换元将原方程转化为2ln t b t =,再求导分析2ln ()t h t t =的图像数形结合求解即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,244()x f x x x x-'=-+=,当02x <<时,()0f x '<,所以()y f x =在(0,2)单调递减；当2x >时,()0f x '>,所以()y f x =在(2,)+∞单调递增,所以()y f x =的减区间为(0,2),增区间为(2,)+∞.（2）4ln ()x g x bx x -=+,()g x 有零点等价于方程4ln 0x bx x-+=实数根,令2(0)x t t =>则原方程转化为2ln t b t =,令2ln ()t h t t =,22(1ln )()t h t t -'=.令()0h t '=,t e =,∴(0,)t e ∈,()0h t '>,(,)t e ∈+∞,()0h t '<,max 2()()h t h e e ==,当1t e=时,()20h t e =-<,当t e >时,()0h t >. 如图可知①当0b ≤时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点；②当20b e <<时,()h t 有两个零点,即g(x)有两个零点； ③当2e b =时,()h t 有唯一零点,即g(x)有唯一零点； ④2b e>时,()h t 此时无零点,即g(x)此时无零点. 【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）（有答案解析）
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）（有答案解析）2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={x|x ?ln (x +3)=0}，则A ∪B =( )A. {?1,0，1}B. {?2,?1,1}C. {?2,0，1}D. {?2,?1,0，1} 2. 设z ?是复数z 的共轭复数，若z ??i =1+i ，则z ?z ?=( )A. √2B. 2C. 1D. 0 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y =xsinxB. y =xlnxC. y =x ?e x ?1e x +1 D. y =xln(√x 2+1?x)4. 数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，则S 3=( )A. 283B. 12C. 383D. 135. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 43B. 2C. 83 D. 1036. 已知函数f(x)=2cos 2x ?cos (2x ?π3)，则下列结论正确的个数是( )①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增；③函数f(x)在[0,π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称．A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ????? ?AB= ( )A. ?2B. ?34 C. ?54D. 548. 改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )A. 13B. 12C. 25D. 349. 已知函数f(x)=log 12(x 2?ax +a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (?∞,1]B. [?12,1]C. (?12,1]D. (?12,+∞)10. 若x ，y 满足约束条件{4x ?3y ?6≤02x ?2y +1≥0x +2y ?1≥0，则z =|x ?y +1|的最大值为( )A. 2B. 2411C. 2811D. 311. 如图所示，在三棱锥P ?ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD =1，PD =2，则三棱锥P ?ABC 外接球的表面积为( )A. 9πB. 10πC. 12πD. 14π12. 已知函数f(x)=x+aax?1(x >0)，若a =√1?x 2>0，则f(x)的取值范围是( )A. [?√2?1,?1)B. (?2√2,?1)C. [?2√2,?1)D. (?√2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为______．14. 已知函数f(x)=x 3?5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为______． 15. 已知实数x ，y 满足y ≥2x >0，则yx +9x2x+y 的最小值为______． 16. F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2=b 2+bc ，且sinC +tanBcosC =1．(1)求角A ；(2)b =2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足APCP =0，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时△APC 的面积S ．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产A B说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠ABC=π，E为CD中点．将△ADE沿AE3折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P?ABCE．(1)求证：平面PAE⊥平面PBE；(2)求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．< p="">22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x?1|?a．(1)当a=4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n +2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ={?1,0，1}，B ={0,?2}，∴A ∪B ={?2,?1,0，1}．故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B解析：解：∵z ?i =1+i ，∴z ?=1+i i=(1+i)(?i)?i 2=1?i ，则z ?z ?=|z|2=(√2)2=2．故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合z ?z ?=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(?x)=xsinx =f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于B ，y =xlnx ，其定义域为(0,+∞)，既不是奇函数，也不是偶函数；对于C ，y =x ?e x ?1e x +1，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)?e ?x ?1e ?x +1=x ?e x ?1e x +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y =2+1?x)，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)ln (√x 2+1+x)=xln(√x 2+1?x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数；故选：B ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题． 4.答案：D解析：解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0，解得a 1=9,q =13，∴S 3=9(1?133)1?13=13．故选：D ．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9,q =13，由此能求出S 3的值．本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基5.答案：C解析：解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P?ABCD，体积V=13×2×2√2×√2=83．故选：C．根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．本题考查了根据三视图，求几何体的体积，属于中档题．6.答案：B解析：解：f(x)=2cos2x?cos(2x?π3)=cos2x+1?12cos2x?√32sin2x=12cos2x?√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，∴T=2π2=π，①对；由2kπ?π≤2x+π3≤2kπ，得x∈[kπ?2π3,kπ?π6]，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ? 2π3,kπ?π6]，②错；∵x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，cos(2x+π3)∈[?1,12]，函数f(x)在[0,π2]上的最大值为32，③错，∵2x+π3=kπ，x=kπ2π6，k∈Z，④对，故选：B．先根据函数化简得f(x)=cos(2x+π3)+1，根据T=2π2=π，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f(x)在在[0,π2]上的最大值，可以判断③；可求出f(x)的所有对称轴，可判断④．本题考查命题，以及三角函数的化简和化简，属于中等题．解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ?AB=12(CA +CM ? )?AB =12(?AC +12CB )?AB =12[?AC +12(AB ????? ?AC ????? )]?AB ????? =12(12AB ????? ?32AC )?AB =1AB 2?3AB ?AC =14×22?34×2×3×12=?54．故选：C ．根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 8.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P =2050=25．故选：C ．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题． 9.答案：B解析：解：∵y =log 12x 在(0,+∞)上为减函数，∴y =x 2?ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立，∴{?a 2≤12(12)2?12a +a ≥0，解得?12≤a ≤1．故选：B ．由复合函数的单调性法则可知y =x 2?ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{??a2≤12(12)212a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t =x ?y +1，得y =x +1?t 表示，斜率为1纵截距为1?t 的一组平行直线，{4x ?3y +6=0x +2y ?1=0C(1511,?211)；平移直线y =x +1?t ，当直线y =x +1?t 经过点C(1511,?211)时，直线y =x +1?t 的截距最小，此时t max =1511?(?211)+1=2811，当直线y =x +1?t 与AB 重合时，直线y =x +1?t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0?12+1=12，∴z =|x ?y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x ?y +1|的最大值为2811．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，令t =x ?y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 11.答案：D解析：解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB ?MNC ，则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102，故R =(√102)=√142，故S =4π×144=14π故选：D ．结合已知构造直三棱柱PAB ?MNC ，则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：解：由a =√1?x 2得，a 2+x 2=1，不妨设a =cosα，x =sinα，其中α∈(0,π2)，则y =sinα+cosαsin αcos α?1，令t =sinα+cosα=√2sin (α+π4)∈(1,√2],sinαcosα=t 2?12,∴1y =t 2?32t =t2?32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt?3在t ∈(1,√2]上为减函数，∴y ∈[?2√2,?1)．故选：C ．依题意，a 2+x 2=1，采用三角换元设a =cosα，x =sinα，可得y =sinα+cosαsin αcos α?1，再令t =sinα+cosα∈(1,√2]，可得y =2tt?3在t ∈(1,√2]上为减函数，由此求出f(x)的取值范围．本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．13.答案：553解析：解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为5 53，故答案为：553．根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．本题主要考查系统抽样的特征，属于基础题． 14.答案：2 解析：解：由f(x)=x 3?5x +a ，得f′(x)=3x 2?5，∵直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0,y 0)，则3x 025=?2，∴x 0=1或x 0=?1，∴y 0=a ?4或y 0=a +4，即切点坐标为(1,a ?4)或(?1,a +4)，代入直线中，得a +b =2或a +b =?2，∵a ，b 为正实数，∴a +b =2．故答案为：2．先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=?2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1?9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：(1,1+√2)解析：解：解：当x=c时，c2a2?y2b2=1，可得y=±b2a故M(c,b2a)如图只要∠MF1F2<45°即可，则tan∠MF1F2< p="">即b22c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2?a2<2ac，即c2?2ac?a2<0，则e2?2e?1<0，解得：1?√2<e<1+√2< p="">又e>1，∴1<e<1+√2< p="">故答案为：(1,1+√2)求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2<45°即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据∠MF1F2<45°转化为斜率解决问题．考查学生的转化能力．17.答案：解：(1)因为a2=b2+bc?a2+c2?b2=c2+bc；∴a2+c2?b22ac =c+b2a；∴b+c=2acosB；由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB?sinB=sin(A?B)；因为都是三角形内角；∴A=2B；又由sinC+tanBcosC=1.得sin(B+C)=cosB；∴sinA=cosB；∴sinB=12.∴B=π6，A=π．(2)由(1)可知C=π2.∴△ABC为直角三角形．又因为AP ????? ?CP=0?PA ⊥PC ；所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图：∵b =2，所以：BC =2√3，AB =4，设O 为AC 的中点，连接BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP =BO ?PO =√1+(2√3)2?1=√13?1．设∠OCP =α，则∠COP =π?2α，∴sinα=PA AC=12PA ；cosα=PC AC=12PC ；∴S =12PA ?PC =2sinαcosα=sin2α；在直角三角形BOC 中，sin ∠COB =sin (π?2α)=sin2α=BCBO =√3√13=2√3913．∴当BP 取得最小值时(√13?1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．解析：(1)先根据已知条件得到b +c =2acosB ；再结合正弦定理得到A =2B ，结合sinC +tanBcosC =1即可求得结论；(2)根据数量积为0推得点P 在以CA 为直径的圆上，进而得到当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC 的面积S 即可．本题考查了数量积运算性质以及解三角形，考查了推理能力与计算能力，综合性比较强，属于中档题．18.答案：解：(1)A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高，(2)填表如下；销售量>80 销售量≤80 总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计 81220K 2=20(2×4?6×8)28×12×10×10≈3.333<3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A ，B ，C ，D ，E ，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A,B ，C)，(A,B ，D)，(A,B ，E)，(A,C ，D)，(A,C ，E)，(A,D ，E)，(B,C ，D)，(B,C ，E)，(B,D ，E)，(C,D ，E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．解析：(1)根据题意画茎叶图，(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．本题考查独立性检验，以及求概率，属于中档题．19.答案：(1)证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE=2，BE=2√3，又∵AB=4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE?平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；(2)解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE=1，EC=2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE=EC=2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×(√102)=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P?BCE=V B?PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．解析：(1)求解三角形可得AE=2，BE=2√3，结合AB=4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；(2)设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO=√3，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA=PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH=2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x?2)2+y2=√x2+4，整理可得y2=4x(x≠0)；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ，∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2?4t 1y ?4a =0，∴y 1+y 2=?4t 1，y 1y 2=?4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1?a)2+y 12=(x 1?a)2+4x 1=x 12+(4?2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2?a)2+y 22=(x 2?a)2+4x 2=x 22+(4?2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4?2a)x 1+a 2+x 22+(4?2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4?2a)(x 1+x 2)?2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4?2a)?2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2?QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|2+1|QT|2=QS 2+QT 2QS 2?QT 2=2t 12+a2a 2(t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x ?2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2，进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a ?1x 2=ax 2?1x 2，当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√aa (舍负)，当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)由f(x)0，设?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，则?′(x)=e x ?2ax ?1，令H(x)=e x ?2ax ?1，则H′(x)=e x ?2a ，当a ≤12时，∵x ∈(0,+∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数，∴H(x)=?′(x)>?′(0)=0，∴?(x)在(0,+∞)上为增函数，∴?(x)>?(0)=0成立，即f(x)12时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ，x ∈(0,ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数，x ∈(ln2a,+∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数，∴?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，设t(a)=2a ?1?2aln2a(a >12)，则t′(a)=?2ln2a <0，∴t(a)在(12,+∞)上为减函数，∴t(a)<0< p="">∴?x 0∈(0,+∞)，当x ∈(0,x 0)时，?′(x)<0，?(x)为减函数，当x ∈(x 0,+∞)时，?′(x)>0，?(x)为增函数，又?(0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，?(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<="" 综上所述，a="">2]．解析：(1)对f(x)求导得，f′(x)=a ?1x 2=ax 2?1x 2，然后分a ≤0和a >0两个类别，讨论f′(x)的正负，即可得f(x)的单调性；(2)构造函数?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，求出?′(x)，令H(x)=?′(x)=e x ?2ax ?1，再求H′(x)=e x ?2a ，当a ≤12时，易证得?(x)在(0,+∞)上为增函数，?(x)>?(0)=0成立，即f(x)12时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ，可得函数H(x)的单调性即?′(x)的单调性，于是?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，再令t(a)=2a ?1?2aln2a(a >12)，求导可知t(a)在(12,+∞)上为减函数，t(a)<t(1< p="">2)=0，即?′(ln2a)<0，最后结合隐零点的思维可证得当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立，因此得解．< p=""> 本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，还有分类讨论、构造函数、多次求导以及隐零点等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cos θy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x ?1)2+(y ?1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0．所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2?1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2，所以构成的切线长为√(2√2)2?1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)a =4时，|x +2|+|x ?1|?4≥0，当x2；当?2≤x ≤1时，x +2?x +1?4≥0，解得x ∈?；当x >1时，x +2+x ?1?4≥0，解得x ≥32，∴函数f(x)的定义域为{x|x ≤?52或x ≥32}；(2)∵函数f(x)的定义域为R ，∴|x +2|+|x ?1|?a ≥0对任意的x ∈R 恒成立，∴a ≤|x +2|+|x ?1|，又|x +2|+|x ?1|≥|x +2?x +1|=3，∴a ≤3，∴s =3，∴12m+n+2m+3n=3，且m >0，n >0，∴3m +4n =(2m +n)+(m +3n)=13[(2m +n)+(m +3n)]?(12m+n +2m+3n )=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n]≥13(3+2√2)=1+2√23，当且仅当m =1+2√215,n =3+√215时取等号，∴3m +4n 的最小值为1+2√23．解析：(1)a =4时，得出f(x)需满足|x +2|+|x ?1|?4≥0，然后讨论x 的取值，去掉绝对值号求出x 的范围即可得出f(x)的定义域；(2)根据题意可知a ≤|x +2|+|x ?1|对x ∈R 恒成立，从而可得出a ≤3，进而得出s =3，从而得出12m+n +2m+3n =3，然后即可得出3m +4n =13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n ]，然后根据基本不等式即可得出3m +4n 的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式|a|+|b|≥|a ?b|的运用，基本不等式求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．</g(x)不恒成立，因此得解．<></t(1<><0<></e<1+√2<></e<1+√2<><></g(x)恒成立，求实数a的取值范围．<>。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|1}A x Z x =∈…，{|(3)0}B x x ln x =+=g ，则(A B =U ) A ．{1-，0，1}B ．{2-，1-，1}C ．{2-，0，1}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）设z 是复数z 的共轭复数，若1z i i =+g ，则(z z =g ) A ．2B ．2C ．1D ．03．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．sin y x x =B ．y xlnx =C ．11x x e y x e -=+gD ．2(1)y xln x x =+-4．（5分）数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，0n a >，234a a +=，3432a a +=，则3(S =)A ．283B ．12C ．383D ．135．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43B ．2C ．83D ．1036．（5分）已知函数2()2cos cos(2)3f x x x π=--，则下列结论正确的个数是( )①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 在区间[0，]3π上单调递增；③函数()f x 在[0，]2π上的最大值为2； ④函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB =u u u r u u u rg( )A ．2-B ．34-C ．54-D．548．（5分）改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．25D ．349．（5分）已知函数212()log ()f x x ax a =-+在1(2，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．1[2-，1]C ．1(2-，1]D ．1(2-，)+∞10．（5分）若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则|1|z x y =-+的最大值为( )A ．2B ．2411C ．2811D ．311．（5分）如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为()A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π12．（5分）已知函数()(0)1x a f x x ax +=>-，若0a =>，则()f x 的取值范围是( ) A．[1-，1)-B．(-，1)- C．[-1)- D．(，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为 ．14．（5分）已知函数3()5f x x x a =-+，直线20x y b ++=与函数()f x 的图象相切，a ，b 为正实数，则a b +的值为 ．15．（5分）已知实数x ，y 满足20y x >…，则92y xx x y++的最小值为 ． 16．（5分）1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点．过2F 作直线l x ⊥轴，交双曲线C 于M 、N 两点，若1MF N ∠为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，22a b bc =+，且sin tan cos 1C B C +=．（1）求角A ；（2）2b =，P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足0AP CP =u u u r u u u rg，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时APC ∆的面积S ．18．（12分）双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A 、B 两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量80>销售量80„总计 A 电商平台 B 电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．（12分）如图①，平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3ABC ∠=，E 为CD 中点．将ADE ∆沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到如图②所示的四棱锥P ABCE -． （1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20．（12分）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数1()f x ax x=+，()1x e g x x =-．（1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若对任意的(0,)x ∈+∞，()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]。
百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(四)全国I卷文科数学试题
百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷（四）文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(51)(1)0}A x x x =+-<，{}=|0B y y >，则()A B ⋂=R ð（ ） A ．∅ B ．[0,1) C ．1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1(,0]5-2.若函数()()33||22()x x mx f x e --=为偶函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2 3.函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ）A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4- 4.下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若ln ln a b >，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y+>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1 C .2 D ．3 5.若集合{|sin 21}A x x ==，|,42k B y y k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ） A ．A B A ⋃= B ．B A ⊆R R痧 C .A B ⋂=∅ D ．A B ⊆R R痧6.函数3||()cos222x f x x =+-在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A ． B ．C .D ．7.函数()2|31|f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，2- B ．23-，9- C .2-，9- D ．2，2- 8.设7.60.5a =，0.57b =， 3.24c -=，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C .c a b >>D ．c b a >> 9.函数()32f x mx x =+在[]1,4上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A ．23m ≤-B ．0m ≥C .23m ≥-D ．124m ≥- 10.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ）A ．4B ．6C .3D ．811.已知函数233()1x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．17(,][9,)2-∞⋃+∞ C .179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．179(,][,)42-∞⋃+∞12.已知函数()1x e f x x-=，则方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C .3 D ．4第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设命题p ：x R ∀∈，()2cos 30xx π-->，则p ⌝为 ．14.已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m = ．15.已知函数232,()22,1x x f x x x x -⎧-⎪=⎨⎪-<⎩?，若()()312f m f m ->-，则实数m 的取值范围为 ．16.函数()()11x x x e f x e +=-在(0,2]上的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2|log (3)3A x x =+…，{|213}B x m x m =-<+…. （1）若3m =，则A B ⋃；（2）若A B B ⋂=，求实数m 的取值范围. 18.已知命题p ：01,42x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，004x m x +<；命题q ：函数()23f x x mx =-+在()1,3上单调递减.（1）若q ⌝为假，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 19.已知函数()214()log 238f x mx x m =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）若函数()f x 在()4,+∞上单调递减，求实数m 的取值范围.20.已知奇函数()f x 的定义域为R ，且当()0,x ∈+∞时，()21f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记函数()()1g x f x mx =-+，若函数()g x 有3个零点，求实数m 的取值范围. 21.已知函数()2xf x e x =-.（1）若曲线()y f x =的切线方程为1y ax =+，求实数a 的值；（2）若函数2()()23x mf x mx x ϕ=+-+在区间[]2,4-上有两个零点，求实数m 的取值范围.22.已知函数()21xf x e x x =+-+.（1）求函数()f x 的极值； （2）证明：x R ∀∈，()3f x x >.试卷答案一、选择题1.D 【解析】依题意，1{|(51)(1)0}|15A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|0B y y =≤R ð， 故()1(,0]5A B ⋂=-R ð.2.C 【解析】依题意，x R ∈，()f x -=33||()2()2x x m x e -⎡⎤⎡⎤--⋅--⎣⎦⎣⎦ ()()33||22x x mx e ++=()()33||22()x x mx f x e --==，即6363(22)4(22)4mx m x mx m x +++=-++， 故()3410m x +=；因为x R ∈，故1m =-.3.D 【解析】函数()284f x x x =-+的对称轴为4x =，由于二次函数()f x 的开口向上，故函数()f x 在4x =处取到最小值12-，最大值为()84f =， 故所求值域为[]12,4-.4.C 【解析】①的逆命题为“若a b >，则ln ln a b >”，该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y+≤”，该命题为真命题，故②为真命题；③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题.5.B 【解析】依题意，{|sin 21}|,4A x x x x k k Z ππ⎧⎫====+∈⎨⎬⎩⎭； 而2(21)|,|, ,424242k n n B y y k x x n x n ππππππ+⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z Z 或， (21)|, ,442n x x n n x n ππππ+⎧⎫==+∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z Z 或故A B ⊆，则B A ⊆R R痧.6.A 【解析】函数()f x 的定义域为[]2,2ππ-，关于原点对称，且3||3||()cos()2cos 2()2222x x f x x x f x --=-+-=+-=， 故函数()f x 为偶函数，排除D ；因为(2)cos320.14f πππ=+-≈，排除C ； 而()01f =-，排除B .7.B 【解析】依题意，151,23()2|31|11,13x x f x x x x x ⎧+-<-⎪⎪=-+=⎨⎪---⎪⎩…剟，作出函数()f x 的图象如下所示：观察可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-，当2x =-时，()f x 有最小值9-. 8.A 【解析】7,67.610.52a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3,26.43,211442c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故 6.47.61122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即c a >，而 6.400.5117722b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故b c a >>. 9.B 【解析】依题意，()232f x mx '=+，故2320mx +≥在[]1,4上恒成立，故223m x ≥-， 因为223y x =-在[]1,4上单调递增，故124m ≥-， 由于1024m m ≥⇒≥-，反之不成立，故选B .10.A 【解析】依题意，()()m f f n f m n ⎛⎫+=⎪⎝⎭； 任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则1201x x <<，故120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令1m x =，2n x =，则()()1212x f f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 故函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故()()max 16f x f =， 令16m =，4n =，故()()()44164f f f +==， 故函数()f x 在[]1,16上的最大值为4.11.C 【解析】依题意，22332(1)11()2111x x x x x f x x x x x ++++++===+++++， ()()2111f x x '=-+，当[]1,3x ∈时，()0f x '>，故函数()f x 在[]1,3上单调递增，当[]11,3x ∈时，()1721,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 而函数()2g x x m =-++在[]1,3上单调递减， 故()2[1,1]g x m m ∈-+，则只需[]721,1,124m m ⎡⎤⊆-+⎢⎥⎣⎦， 故7122114m m ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……，解得17942m ≤≤， 故实数m 的取值范围为179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.12.C 【解析】12(1)()(0)x x e f x x x -'-=≠，故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 作出函数()f x 的大致图象如下所示：而()()()24501f x f x f x --=⇔=-⎡⎤⎣⎦或()5f x =； 观察可知，方程()()2450f x f x --=⎡⎤⎣⎦的根的个数为3. 13.0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤【解析】命题p 是全称命题，则p ⌝为特称命题，故将“x R ∀∈”改为“0x R ∃∈”， 将“()2cos 30xx π-->”改为“()002cos 30xx π--≤”，即为p ⌝.14.2【解析】依题意，11m +=或()211m -=，由集合中元素的互异性，解得2m =. 15.3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】作出函数()f x 的图象如下所示，观察可知，函数()f x 在R 上单调递减， 故3(31)(2)3124f m f m m m m ->-⇔-<-⇔<， 故实数m 的取值范围为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 16.22221e e +-【解析】依题意，()2221()1x x x e xe f x e '--=-， 设2()21xx p x exe =--，(0,2]x ∈，则()()21x x p x e e x '=--，设()1xq x e x =--，(0,1]x ∈，则()10xq x e '=->在(0,2]x ∈上恒成立，∴()1xq x e x =--在(0,2]上单调递增，∴()()00q x q >=在(0,2]上恒成立，则()0p x '>在(0,2]上恒成立，∴()p x 在(0,2]上单调递增，∴()()00p x p >=在(0,2]上恒成立，则()0f x '>在(0,2]上恒成立， ∴()f x 在(0,2]上单调递增，所以()()22max2221e f x f e +==-.17.【解析】（1）依题意，{}{}222|log (3)3|log (3)log 8{|35}A x x x x x x =+=+=-<剟?，{|56}B x x =<…，故{|36}A B x x ⋃=-<…；（2）因为A B B ⋂=，故B A ⊆；若213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意； 若213m m -<+，即4m <时，21335m m --⎧⎨+⎩……解得12m -≤≤；综上所述，实数m 的取值范围为[]1,2[4,)-⋃+∞.18.【解析】（1）依题意，q 为真；因为函数()23f x x mx =-+的开口向上，且对称轴为2m x =，则32m≥，解得6m ≥， 故实数m 的取值范围为[6,)+∞.（2）若p 为真，则min4x m x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，因为44x x +≥=， 当且仅当2x =时等号成立，故4m >； 若p 真q 假，则实数m 满足46m m >⎧⎨<⎩，则46m <<； 若p 假q 真，则实数m 满足46m m ≤⎧⎨≥⎩，无解；综上所述，实数m 的取值范围为()4,6.19.【解析】（1）当1m =时，()214()log 238f x x x =-+，此时函数()f x 的定义域为R ；因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=，最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）因为函数14log y x =在()0,+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在()4,+∞上单调递增，则0344(4)0m mg >⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩……，解得310m ≥，综上所述，实数m 的取值范围为3[,)10+∞. 20.【解析】（1）因为函数()f x 为奇函数，且x R ∈，故()00f =；当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()22()()11()x x x f f x x x =---+=++=--，则()21f x x x =---；故221,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩（2）令()()10g x f x mx =-+=，解得()1f x mx =-， 由图所示，要使曲线()y f x =与直线1y mx =-有3个交点， 则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立211y x x y mx ⎧=-+⎨=-⎩，故()2120x m x -++=，令0∆=，解得()2180m +-=，故1m =（1m =-舍去）， 故实数m的取值范围为()1,+∞.21.【解析】（1）依题意，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，设切点为()000,2x x e x -，()002xf x e '=-，故0000122x x ax e x e a⎧+=-⎨-=⎩，故()0000212x x x e e x -+=-，则00010x x x e e -+=；令()1x xm x xe e =-+，()xm x xe '=，故当(),0x ∈-∞时，()0m x '<，当()0,x ∈+∞时，()0m x '>， 故当0x =时，函数()m x 有最小值，由于()00m =，故()0m x =有唯一实数根0，即00x =，则1a =-；（2）由()22()2330xx mf x mx x me x ϕ-+=-++==，得23xx m e-=. 所以“()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线()23x x g x e -=，[]2,4x ∈-有两个交点“；由于223()xx x g x e'-++=，由()0g x '=，解得11x =-，23x =. 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在[2,1)--，(3,4]上单调递减，在()1,3-上单调递增.又因为()22g e -=，()12g e -=-，36(3)(2)g g e =<-，413(4)(1)g g e =>-， 故当4132e m e -<<或36m e=时，直线y m =与曲线()23x x g x e -=在[]2,4x ∈-上有两个交点， 即当4132e m e -<<或36m e =时，函数()x ϕ在区间[]2,4-上有两个零点. 22.【解析】（1）依题意，x R ∈，()21x f x e x '=+-，注意到()f x '在R 上单调递增，且()00f '=，故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，故函数()f x 有极小值()02f =，无极大值；（2）依题意，x R ∀∈，()30f x x ->，即2410x e x x -++>；设()241x F x e x x =-++，则()42xF x e x '=-+，设()()G x F x '=. 因为()20xG x e '=+>，所以()G x 在R 上单调递增. 又因为()030G =-<，()120G e =->，所以()0G x =在()0,1内有唯一解，记为0x 即0042x ex =-.当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()022min 00000()4165x F x F x e x x x x ==-++=-+，()00,1x ∈. 设22()65(3)4g x x x x =-+=--，()0,1x ∈， 则()()10g x g >=，所以()00F x >，所以()0F x >，即x R ∀∈，()3f x x >.。
2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(四) 解析版
12020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{2,}xA y y x ==∈R ，{1}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{1}B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】D【解析】∵集合{2,}(0,)xA y y x ==∈=+∞R ，{1}(,1]B x y x ==-=-∞，∴(0,)(,1](0,1]A B =+∞-∞=I I ． 2．已知复数2i z =+，则1iz+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】2i z =+，∴2i 13i 1i 1i 22z -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-， 所在象限是第四象限．3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5- B ．7-C ．9-D ．11-【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19a =，2d =-，所以112n a n =-，97a =-．4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值 【答案】D【解析】在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误； 在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C 错误； 在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值． 5．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则(3)0f x -<的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞+∞U C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U【答案】B【解析】∵2()()f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =，∴2()f x ax a =-，由()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以0a <，∴2(3)(3)0f x a x a -=--<，可化为2(3)10x -->，即2680x x -+>，解得2x <或4x >．6．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线．下列说法正确的是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2①若a b ∥，a c ∥，则b c ∥； ②若a α⊥，b α⊥，则a b ∥； ③若a α⊥，a β⊥，则αβ∥；④若αβ⊥，b αβ=I ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥． A ．①③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①②③④【答案】D【解析】由平行公理知①对， 由线面垂直的性质定理知②对， 由线面垂直及面面平行定理知③对， 由面面垂直性质定理知④对．7．已知向量(1,1)=-a ，OA =-u u u r a b ，OB =+u u u ra b ，若OAB △是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB △的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．22【答案】B【解析】设(,)x y =b ，则(1,1)OA x y =---u u u r ，(1,1)OB x y =-++u u u r，由题意，得2222(1)(1)(1)(1)x y x y --+-=-+++，22110x y -+-=，解得1x y ==±，则2OA OB ==u u u r u u u r，故2OAB S =△．8．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ， 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C -．若π6BOC ∠=，则cos()βα-的值 是（ ）A ．34310- B ．34310+ C ．43310- D ．43310+ 【答案】C【解析】依题意，有3cos 5α=，4sin 5α=，3cos β=，1sin 2β=， 所以3314433cos()cos cos sin sin 252510βαβαβα--=+=-+⨯=． 9．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与函数(0)y x x =≥的图象交于点P ，若函数y x=的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．1744+ B ．1734C ．1724D ．1714【答案】D【解析】设P 的坐标为()m m ，由左焦点(4,0)F -，函数的导数()2f x x'=，则在P 处的切线斜率()2mk f m m '===， 即42m m +=，得4m =，则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A ，则2644042(171)a PF PA =-=++=， 即171a =，∵4c =，∴双曲线的离心率1714c e a ==． 10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则线段MN 长的最小值为（ ） A 2 B ．1C ．22D ．33【答案】D【解析】作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ， ∵线段MN 平行于对角面11A ACC ，∴11M N AC ∥，设11DM DN x ==，则1MM x =，11NN x =-，在直角梯形11MNN M ，222211(2)(12)6()33MN x x x =+-=-+，3∴当13x =时，MN．11．过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 交C 于M ，N ，点M 处的切线与x 、y 轴分别交于点A 、B ，若AOB △，则MF =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设点11(,)M x y ，抛物线C 对应的函数的解析式为24x y =，求导得2x y '=， 所以，抛物线C 在点M 处的切线AB 的方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x x y =-， 令0x =，得214x y =-；令0y =，得12xx =，则点1(,0)2x A ，21(0,)4x B -，AOB △的面积为23111||1||22416AOB xx x S =⨯⨯==△，解得1x =± ∴21124x y ==，所以1||13MF y =+=． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2[0,]3B ．2[,0]3-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B 【解析】∵2()()x f x e f x -=，∴()()()x xxf x e f x e f x e--==-， 含()()xg x e f x =，()()g x g x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，∴()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∵(21)(1)ae f a f a +≥+，∴211(21)(1)a a ef a e f a +++≥+，∴(21)(1)g a g a +≥+，211a a +≤+，解得203a -≤≤，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足1OA =u u u r ，2OB =u u u r ，点C 为线段AB 的中点，若OC =u u u r ，则AOB ∠= ．【答案】120︒【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，2221(2)4OC OA OB OA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，∴120AOB ∠=︒． 14= ．【答案】1【解析】2sin 50202sin(3020)20cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒=︒︒2sin 30cos 202cos30sin 2020cos 202020cos 20cos 20︒︒+︒︒-︒︒︒-︒==︒︒cos 201cos 20︒==︒．15．若ABC △的三边长a ，b ，c 满足23b c a +≤，23c a b +≤，则ba的取值范围为 ． 【答案】35(,)43【解析】令b x a =，cy a=，由23b c a +≤，23c a b +≤，得23x y +≤，① 32x y -≥，②又c a b c -<-<及a b c +>，得1x y -<，③1x y ->-，④1x y +>，⑤由①②③④⑤可作出图形，4得到以点31(,)44D ，(1,0)C ，52(,)33B ，(1,1)A 为顶点的四边形区域，由线性规划可得3543x <<，01y <<，则b a 的取值范围为35(,)43，故答案为35(,)43．16．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参衰作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意， 综上所述，故B 获得一等奖．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且11a -，21a -，41a -成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11()n n n b n a a +=∈*N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求使215n S <成立的最大正整数n 的值． 【答案】（1）21n a n =+，n ∈*N ；（2）5． 【解析】（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解得13a =，故21n a n =+，n ∈*N ．（2）由1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++，得1231111111111()()2355721232323n n S a a a a n n n =++++=-+-++-=-+++L L 3(23)nn =+，由23(23)15n n <+，解得6n <，故所求的最大正整数n 为5．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）66【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD DC ==，2AB =， 得2AC =，2BC =∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）由（1）得BC PC ⊥，3PC =，11632222PBC S PC BC =⨯==△，11111222DBC S DC AD =⨯=⨯⨯=△，111113326P BDC DBC V S PA -=⨯=⨯⨯=△． 设点D 到平面面PBC 的距离为h ，5则1166133266D PBCPBC P DBC V S h h h V --==⨯===△，∴66h =， ∴点D 到平面PBC 的距离为66．19．（12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况,利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”．从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）列联表见解析，有超过99%的把握认为；（2）35． 【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人， 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：10010(0.0150.005)20⨯⨯+=人，一没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人， 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人， 可得列联表如下：∴22100(1555255)122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：100(0.0200.0150.005)1040⨯++⨯=， ∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1，2； 其余的3人记为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，基本事件有：(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个，∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为63105P ==． 20．（12分）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c+=（122F F c =）与椭圆有且仅有两个交点，点66(在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，若PA AB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）1432y x =±+【解析】（1）依题意，得c b =，所以222a b c b =+，所以椭圆C 为222212x y b b+=，6将点代入，解得1b =，则a =所以椭圆的椭圆方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)(1)P m m >， 则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，因为PA AB =u u u r u u u r，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k =+， 所以221619(12)m k =+，解得272k =，即2k =±，2m =，所求直线方程为22y x =±+21．（12分）已知函数21()ln 12f x x x =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()ln 2g x x ax x =-+，证明：曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线． 【答案】（1）()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=．当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．（2）因为()g x 定义域为诶(0,)+∞，所以y 轴不是曲线()y g x =的切线．当经过坐标原点的直线不是y 轴时，设y kx =是曲线()y g x =的切线，切点是00(,)x y ，因为21()g x x a x '=-+，所以0000001ln 21x ax x kx x a k x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，消去k ，得2001ln 102x x -+=，即0()0f x =． 由（1）知()f x 在1x =处取得最小值，则3()(1)02f x f ≥=>，所以0()0f x =无解， 因此曲线()yg x =没有经过坐标原点的切线．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos()4ρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．【答案】（1）22:1(3)169x y C y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤． 【解析】（1）222241:131x k k C y k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y+=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-，πcos()4ρθ+=cos sin 6ρθρθ-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化为参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ．7（1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,4]-；（2）19[,7]4． 【解析】（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x <-⎧⎨-+≤⎩， 综上，不等式的解集为[2,4]-．（2）由题意：22()5f x x a a x x =-+⇔=-+，[0,2]x ∈．故方程2()f x x a =-+在[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+的图象在区间[0,2]上右焦点，∵当[0,2]x ∈时，2195[,7]4y x x =-+∈， ∴实数a 的取值范围是19[,7]4．8。
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2020届全国百校联考新高考原创冲刺模拟试卷（四）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I =（ ） A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2.若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2 C ．12-D ．123. 平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ）A ．B C ．0 D ．24.已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβ=I l ，则“12∥l l ”是“1α∥l 且1β∥l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知1cos 4α=，则πsin 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-6．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20197.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2438. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=3π对称的函数是( ) A ．y=2sin(2x+3π) B ．y=2sin(2x-6π) C ．y=2sin(32π+x ) D ．y=2sin(2x-3π) 9．函数f (x )＝x ＋cos x 的大致图象为( )10.已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 5的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ）A．52B．102C．()521+D ．()521-11.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是一个正三角形，若平面PAD⊥平面ABCD，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A．143πB．283πC．563πD．1123π12.已知函数，若不等式错误!未找到引用源。
在()+∞∈,0x上恒成立，则实数错误!未找到引用源。
的取值范围是（）.A B C D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分.请将正确填在答题卡的横线上.）13．已知，，且2是，的等比中项，则的最小值为__________．14．已知函数)x(f是奇函数，当))(f(f,xlg)x(fx10010则时，=>的值为_________.15.已知圆：2246120x y x y+--+=，点(,)P x y为圆上任意一点，则yx的最大值 . 16．在△ABC中，已知 (a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是1532.其中正确结论的序号是.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）.17.（12分）已知等差数列{}na满足3577,26a a a=+=，{}na的前n项和为nS.（1）求na及nS；⑵记12111...nnTS S S=+++，求n T18.某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶30进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：分数段(分) [50，70)[70，90) [90，110) [110，130)[130，150]总计 频数 b 频率a0.25(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值大于10的概率．19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB ⊥，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与面PCD 交于M ，N 两点． （1）求证：//EF MN ；（2）求证：平面EFMN ⊥平面PAC ；（3）设=DMDPλ，当λ为何值时四棱锥M EFDC -的体积等于1，求λ的值． 20．（12分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若A '是A 于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E'与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f（1）的单调区间；求时当)(,2x f a =; （2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证42mn m n +≥+．数学答案（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）CDDBD CDBBA DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分.）13. 8 14. 15. 16. ②③10.【解析】以为圆心，半径为的圆的方程为，联立，解得，，∴中点为，而直线：恒过定点，要使四边形的面积最大，只需直线过圆心即可，即为直径，此时垂直，，∴四边形的面积最大值为．故选A．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明）17.解：（1）设等差数列的公差为d,……………4分……………6分（2）由（1）知：…………8分…………10分…………12分18.解:(1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，∴a＝0.1，b＝3.成绩在[70,90)内的样本数为0.25×20＝5.∴成绩在[90,110)内的样本数为20－2－5－5＝8.估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P＝1－0.1－0.25＝0.65. ……………6分(2)所有可能的结果为(100,102)，(100,106)， (100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)，共21个，取出的两个样本中数字之差的绝对值大于10的结果为(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,118)，(106,128)，(106,118)，(106,128)，(116,128)，共11个，∴P (A )＝2111……………12分19.【解析】（1）在平行四边形中 ，由，分别为，的中点，得，∵面，面∴面，过的平面与面交于 ∴．……………4分（2）证明：在平行四边形中，∵，，∴，由（1）得，∴． ∵侧面底面，且，面面，且面，∴底面， 又∵底面，∴， 又∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∴平面平面．……………8分（3）由题得，∴，∴，∵∴ ……………12分。