应用数理统计基础第二至四章答案-庄楚强版

应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第二章

（ξ1,ξ2,..,ξn), 则（ξ1,ξ2,…,ξn)的联合分布函
数为： F ( x1 , x2 ,L , xn )
= P { ξ1 < x1 , ξ 2 < x2 , ..., ξ n < xn }
= P { ξ1 < x1}P{ ξ 2 < x2 } ⋅ ... ⋅ P{ ξ n < xn }
（2）χ2 分布（Chi-square distribution）
χ 2 ～χ 2 (n)
{ } p分位点：χ p2 (n ) 满足P
χ
2
<
χ
2 p
(n)
=p
p53（9 347）表 4
χ
2 0.95
(9
)
=
16.91（9
p540)
表p 4 χ2 分布分位数表
n
p
8
9
0 ．90 13．362 14．684
又如：α = 0.1，uα = u0.1 = ? (表中没有)
u0.1 = −u1−0.1 = −u0.9 = −1.282
对称性(symmetricy)：
0.1
uα = −u1−α
α = 0.1
u0.1
u1− 0.1
习题或附表中α通常是指分位点之外的概率（面积）
单侧分位点：α放在分位点u1−α的一侧双侧分位点: α分割放在正负对称的
2 +L +
)
m
1
9
二. t 分布 (t distribution)
Definition: 若ξ～N(0,1), η～χ2(n)且相互独立,
则有
t=
ξ η
～ t (n )

应用数理统计基础

应用数理统计基础（庄楚强）考试共8道题1、样本的数据期望与方差2、2χ分布的概念与性质3、一连续型函数（只有一个未知参数）的无偏估计4、一正态分布的置性区间5、两个未知参数函数的矩估计6、①求一离散型的总体似然估计②求未知参数的信息量③求得的似然估计是否是最小方差估计7、正态分布的假设检验8、一离散型总体的假设检验第二章、数理统计的基本概念与抽样分布第一节、数理统计的几个基本概念重点：统计量，书中例题2、习题第四题第三节、常用统计分布重点：常用统计分布（2χ、t、F）的定义及性质第四节、抽样分布重点：定理1及推论、定理4及推论本章习题4、5、7、9、13、19、20第三章、参数估计掌握：矩估计、极大似然估计、区间估计本章习题1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29第四、章假设检验重点：第二节、一个正态总体均值与方差的检验第三节、两个正态总体均值与方差的检验第四节、非正态总体均值的假设检验书上的例题、习题37、38、39、40第一章概率论复习与补充1、概率2、期望数据期望的性质性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即E(c)=c.推论：E(Eξ) = Eξ性质2：随机变量ξ与常量 c 之和的数学期望等于ξ的期望与这个常量 c 的和E(ξ+c)=Eξ+c性质3：E(cξ) = cE ξ性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数E(k ξ+c)=k E ξ+c3、方差方差的性质性质1：常量的方差等于零。

即：设c为常数，则Dc = 0性质2：随机变量与常量之和的方差就等于随机变量的方差本身即：D(X+c)=DX性质3：常量与随机变量乘积的方差，等于常量的平方与随机变量方差的乘积。

即：D(cX )=c2DX性质4：设k , b为常数，则：D(kX +b)=k2DX性质5：两个独立随机变量和(差)的方差，等于这两个随机变量方差的和。

即：D(X Y ) = DX +DY第二章数理统计的基本概念与抽样分布1、统计量(第一题样本数据期望与方差)预测类似题目可能会有二项分布B(n,p)、0—1分布B(1,p)、均匀分布R[a,b]、指数分布E(λ)、正态分布N(μ,σ2)。

(完整word版)研究生应用数理统计基础庄楚强何春雄编制课后答案

研究生习题2：2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=，试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2χ分布。

2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η所以)1,0(~31N η ，)1,0(~32N η)2(~)(3133222212221χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2221ηηη+= 因此当 31=c 时，)2(~2χηc 。

2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2N 的一个样本，求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。

（参考数据：）2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(21021N ξξξξΛ=，所以)1,0(~3.0N ξ，即有)10(~3.021012χξ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样本均值。

（参考数据：）2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(-Φ--Φ=)21()21(-Φ-Φ= 1)21(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=由于 )4,1(~N ξ ，所以 )1,0(~2111621N -=-ξξ{}20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2N ξ，所以)1,0(~2801002080N -=-ξξ所以 {}380>-ξP {}3801≤--=ξP ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=232801ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤--=23280231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=2-25. 设总体ξ的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x p取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：（1）顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21)3(ξP 。

庄楚强应用数理统计二

应用数理统计第二章数理统计基本概念1、设()12,,,n ξξξ为0—1分布的一个样本，问：（1）求样本均值ξ的期望与方差；（2）求修正样本方差2*S 的期望；（3）试证()21S ξξ=-。

解：由于()0,1ξ，所以E p ξ=，()1D p p ξ=-（1）()111111n nn i i i i i E E E E p n n n ξξξξ===⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑()()()2221111111111n nn i i i i i D D D D np p p p n n n n n ξξξξ===⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭∑∑∑（2）()()222112*1111n n i i i i E SE E n n n ξξξξ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑()()()()()()2222111111n n i i i i i E nE D E n D E n n ξξξξξξ==⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎣⎦⎩⎭∑∑ ()()()22111111n p p p n p p p p p n n ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+=-⎨⎬⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎩⎭（3）由于()0,1ξ，所以211nnii i i ξξ===∑∑，故()()22222222111111111n n n n i i i i i i i i S n n n n n ξξξξξξξξξξξξ====⎛⎫=-=-=-=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑，得证。

2、设总体()0,1N ξ，()12,,,n ξξξ为其样本，问：（1）求样本方差2S 的分布密度；（2）求样本标准差S 的分布密度。

解：（1）由于()0,1N ξ，所以根据定理，()()()()22212212*11ni ni i i n Sn ξξξξχσσ==--==--∑∑，而()21n χ-的分布密度为：()1122121,01;1220,0n xn x e x n f x n x ----⎧>⎪-⎪⎛⎫-=Γ⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤⎩ ()2211ni i S n ξξ==-∑，所以样本方差2S 的分布密度为：()()()2131122222112211,01;122220,0nx n n nx n n n S nx e nx n x e x n n f x n x --------⎧'⋅=>⎪-⎪⎛⎫⎛⎫-=ΓΓ⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≤⎩ 同理，样本标准差S 的分布密度为：()()()221112222222132211,01;122220,0nx n n n x n n n S nx e nx n x e x n n f x n x --------⎧'⋅=>⎪⎪-⎛⎫⎛⎫-=ΓΓ⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≤⎩ 3、设(),F F m n ，而1ln 2Z F =，求Z 的分布密度。

庄楚强应用数理统计答案含第一章

庄楚强应用数理统计答案含第一章23 P3 二）巧=j\xijoU| 二2X 弓绑壮4" H"WPY®=［：P（X'0” = J〉xjdx V 枝Pwj）彳?囂1'「Pa•呵）彳？:‘沪二PS）杞」祇猫交. X :家I（冲og咛P”〉二丄；p*j）勺二丿〉爭j二伪当押如护心X卜X吋P Y（JF J：妙炉佩二『列改二勺当J威讨放Pm）汀勺g'X 側巧T,呼X r的仁H.臥川①二仁允丰饷）汝乡J不務卫.4.令J =0 判知埠齐”二歼对7/（。

小攻总小二新•{ 曲冈川旳"仟「切彳°K町审心辔“右I 0 ..仁毗彳.如）二二玄牡二M（t）二（卜彳0 尸_______ S（o）二一JJL 符1（H尸'P号=-沖（。

）二-]•* r 卡b（t）二空应叽2Cqf（"怦）（S怦）D沪呵-◎八坤1-弃卡+ *So）二c r L w w == (o o w + •: +co 寸 w + O E W )W 闪七 H w * 阳Q G 闪 c 《w)・8g *丰无R 魁加岭生 -o o w «®^-o 寸OJ H 卜5 •96 L H g MJ co W N N S W O t z N N P J g co L N tt J r)寸 W N W MJ OWWNR54i-二5*47初•&匕±妬$艮號Q$a 4w W 5hs.IW Xov(Mvq煤删部厶二昭恋城•船7生qw ***M 々4生就如4*r v >*址・4 ¥*戲弓奸(5e o o w ・9 寸 w ・96 L ・8W E ・ O 寸w g oo l ・e 寸w ・o e w *《6乂一地那》划洲抹更甬丄T 9百也了廉总气T 国胡士幽號J ^Q 4I W L *H WI I (Q IL )Q r-l H (Q I L )Q U ^1 h (g 〔〈r-l )Q r r C T a H S E rlc H (寓凡)w rlc H 金凡rlc )山 H (阳)山 r c < c < (L)：崔一现汞贴沖*Tso 綽(w ) W 腳耳M2单测岭址綽(C 4 — gilt* :0*(辽・・：・鬧・心)叹3寸Q O O W +: + % 寸w + w o e w )-lco 闪-ICO N I^* ■ o < L 此ygzrlc :wd邨板实£24辛(2)f丘（严）（E疔尸］H（?2） =C^+ （E召尸=学+（乓尸由上丸寸彳寻：E（乎）一E（貸）=時1 Q故：H（S-2）=E（T^T7土（自一石尸）=岛三（士畀〜士自严+ 士胃）；=1 /=1 /=*!原术=门1〔 E（丈b 一2门疗2十n^2y F=1=万9丘（丈笄一育+门广〉=门［［门;」Q（G .................... 〔由上而推孚可得）=Q痔=p（i —P）（3），=士丈（自一訂f= 1=+（丈斎「门扌）…・・・・（曲（2）可捋）=看—壬....... （（）・1介布・4f =自）=?（1 -?）冇•某半导体厂生产的茱种零件厚度g〜N(“，尸)，为保证质量,规定当b W0.60irim 时,认为生产过程处扌良好控制狀态•为此，每隔一定得忖间抽取20个零件作为一个样本，并计算样本方差Si若异> c\兰0.01(此时用b = 0.60)则认为生产过程失去控制，必须停产检查•问；(1 )c为何值时,S* 3C的概率才小于或等于0.01 ?(2)若取得的一个祥本的标准差SJ0.84生产过程是否处于良好的屍制状态？解:⑴^.2 (n - 1 )S*?c(n - 1)PIS' > c} = p{- -------------- 5------- > ---------5― }=PU2(19) > 罟}=1—Q Ct6 :s >艮卩："1 q厂1 —= 《o.oi三}玄 6曰9虹養性= 36.1911 9cg 36191U N 6686<2>・「S’ —0.64 u QO.&&&・十2)・•・生产応样九月空—n即希极大似然估计值为:"络》第三章白寸分冲空r 刀L .刃(心＞-i}Q (X G=JS+°"p( )_ ( 0其它(G ，氐，•…，品)为其样抉，求参魏0•的夫巨估计弦心n -与极俎似■然估计蚤瓠•现得创样本值为0.1,0.2?0.9.0.8,0.7,0.7,求参魏Q 的估计值. 解:⑴ E> = P + 1 )x a cfx Jo=J (a- -r 1 dx ="+ ［屮+叩=c + 1耳=忑=鉀+ \ 整理得&协=(2)a 的极大似然函数为(Ov x v1)n nL(Q ) = |-［=(Q +1尸口羚门In L(e) = n lr )(a + 1) + a 工 In x.学=士十工I"n令 ----- + V In Xj = 0 解得:a = 门［ ------------------------- 1 a + 1 台In x,-n2J4L总体日艮从区间［0心］上白勺均匀分布"P令布密度为(1 )(G辰•…掐』为其样轧求参数加勺矩估计董鬲r与MLE臥；(2)现得到样本值为13061 7NZ0311 试分别用矩法与机大似然法求总体均值、怎体方差白勺估计值.解：⑴上产=?2^'°— 2处勺初u大彳以扶函敕为§0 < x <很显然L (0)在不为0处不存在驻点.为此直接前定函数的栽大值点，由似然函救LG)的表达式可知「妥便L(Q) = I(0< X <硯取得股大彳埜&应尽量*小一而幻< X2n“C因此，生& = Xc时.L(^)取得最大/(丄即：=0.486•已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产白勺该科灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位:小时)为1067,919畀196.785 J 1 26.936.918 J 1 56.920£4&设总体参数都为未知，试用极大彳以然估计法估计这星期中生产的灯，包能＞便用1300小时以上的相t 率・解：=1 一 o>( 13Q Q ~22L ) = 1 一 0(2.43) = 0.00822随机地从一批钉子中抽取16枚?测得其长度(以厘米计)为2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.152.122.142.102.132.11 2.14 2.11设纣长分布为正态的，试求总体均值“的90% X 信区间;(1)若已知(r=0.Q1cm ： (2)若＜r 为未知一解：(2)er 未知 -島)(2.126 - 1.645竺卩・ 2.126 亠 1.645巴耳=(2.119? 2.133)1 nc V _1_ Q 1 Q _!_ _____________ _1_ Q/d Q(f L = S2 cr L = S 2 = -易计算出g = 214—二一 2门=2让6 '/ 1 —(T = 0.9 故(T = 0.1 查表得：t/o.95 — 1 -645二(£±叫・ =(2.119,2.133)第四章1.已知菽炼铁厂的铁水含碳童$在正常情况下服从N(4,55 Q1080现在测了5炉铁水，其含碳量分别为42& 4.46 4.4Z 4.35. 4.37•如果方差没有改变，问总体均值有无变化?(显著性水平＜1=0.05)解；可把问题化为e- N(p.cr2).(r = 0.108根据所给样本值.恵显著性水平a = 0.05的情况下.检验假设Ho ; 口= gHi ;“ 去“o这是一个双例榜脸问題，因此用检脸法则：若:* IT""' n P1-O-/2*则扌目绝饨(相反则接支Ho)计算得E = 4.364, n = 5,CT = 0.108,查表:“―堆=“065=26因为：区；口。

应用数理统计(第2章习题)

x (N x )
i
n
n

i 1
i
1
0
1 (5) L( ) e i 1 2
n
n

1 2
2 ( x ) 2 i
( xi ) 2 ln L( ) [ln 2 ] 2 2 i 1 2( xi ) 2( xi ) ln L( ) 2 n [ 0 4 2 2 i 1
(2) L( ) xi
i 1 n
n
1
ln L( ) [ln ( 1) ln xi ]
i 1
ln L( ) n 1 1 1 [ ln xi ] 0 2 2 i 1 n2 n ( ln xi ) 2
i 1
, n
nt0
求不出结果。
n
xi
i 1
, t0 (1) , t0 (1)
9.解：
L(1 , 2 )
i 1
n
1
2
e

1
2
( xi 1 )
xi
1

n 2
e

i 1
n
xi 1
2
ln L(1 , 2 ) n ln 2
c i 1 n ( c 1)
, 1 ,
, n
L( ) L( (1) ) (1)
(7) L( ) （xi 1) 2 (1 ) xi 2
i 1
n
ln L( ) [2 ln ( xi 2) ln(1 ) ln( xi 1)]
( n )
( n)