试验设计与数据处理(第三版)李云雁-第1章-误差分析PPT优秀课件
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教学课件PPT试验设计及数据分析PPT
P（x＝0）＝q
1，A事件发生，成功 0，A事件未发生，失败
（二）二项分布的定义及其特点
在n重贝努里试验中，事件 A 可能发生0， 1，2，…，n次，现在我们来求事件 A 恰 好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。事件A在n
次试验中正好发生k次共有 Cnk种情况。由
贝努里试验的独立性可知，A在k次实验中 发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率 为
界t值已编制成附表1，即t值表（p219）。
例如，当df=15时，查附表1得两尾概率等于0.05的 临界t值为 =2.131，其意义是：
P(-∞<t<-2.131)= P(2.131<t<+∞) =0.025；
P(-∞<t<-2.131)+ (2.131<t<+∞) =0.05。
由附表1可知，当df一定时，概率P越大，临界t值越 小；概率P越小，临界t值越大。当 概 率 P 一定时，随 着df的增加，临界t值在减小，当df=∞时，临界t值与标 准正态分布的临界u值相等。
二、统计量：均值、方差、标准差、极差 三、表征数据资料集中趋势的统计特征数－平均数
x 算术平均数
众数 中（位）数
四、表征数据资料变异程度的统计特征变异数
极差R 偏差、偏差和 偏差平方和SS、方差S2 标准差S 变异系数CV
统计中常用希腊字母读法
大写 小写 音标 读法 大写 小写 音标 读法
4. F分布（ F distribution）
在一个平均数为μ、方差为σ2的正态总体
中，
随机抽取容量为n1和n2的两个样本，则这两个样本 方差为S12 与S22 之比值定义为统计量 F，即
F＝
S12 S22
1，A事件发生，成功 0，A事件未发生，失败
（二）二项分布的定义及其特点
在n重贝努里试验中，事件 A 可能发生0， 1，2，…，n次，现在我们来求事件 A 恰 好发生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。事件A在n
次试验中正好发生k次共有 Cnk种情况。由
贝努里试验的独立性可知，A在k次实验中 发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率 为
界t值已编制成附表1，即t值表（p219）。
例如，当df=15时，查附表1得两尾概率等于0.05的 临界t值为 =2.131，其意义是：
P(-∞<t<-2.131)= P(2.131<t<+∞) =0.025；
P(-∞<t<-2.131)+ (2.131<t<+∞) =0.05。
由附表1可知，当df一定时，概率P越大，临界t值越 小；概率P越小，临界t值越大。当 概 率 P 一定时，随 着df的增加，临界t值在减小，当df=∞时，临界t值与标 准正态分布的临界u值相等。
二、统计量：均值、方差、标准差、极差 三、表征数据资料集中趋势的统计特征数－平均数
x 算术平均数
众数 中（位）数
四、表征数据资料变异程度的统计特征变异数
极差R 偏差、偏差和 偏差平方和SS、方差S2 标准差S 变异系数CV
统计中常用希腊字母读法
大写 小写 音标 读法 大写 小写 音标 读法
4. F分布（ F distribution）
在一个平均数为μ、方差为σ2的正态总体
中，
随机抽取容量为n1和n2的两个样本，则这两个样本 方差为S12 与S22 之比值定义为统计量 F，即
F＝
S12 S22
绪论第一章数据的误差分析.
实验设计与数据处理
南京工业大学环境学院 王海玲 Wanghailing_76@
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ论
1、引言
本课程研究内容：
研究如何合理地安排实验，有效地获得实验 数据，然后对实验数据进行综合的科学分析，以 求尽快达到优化实验的目的。
本课程开设的目的：
将数学的纯理论转向实际应用，利用数学工 具解决实际的环境专业问题，无论是对于目前大 家即将面临的专业课学习、大四的毕业论文实验， 还是将来的生产实践，都是很有必要的。
3）变异系数 =Stdev(…,…,…)/Average(…,…,…) 用于度量单位不同或平均数相差悬殊的两组 或多组资料变异程度的比较 4）偏度系数（skewness） 又称斜度系数，是样本分布是否偏离及如 何偏离对称性的量度。
g1
3 ( Xi X ) 3
nS
Skew(…,…,…)
若g1=0，表示样本分布对称（正态）； g1<0，表示样本呈负偏态分布，频数分布曲线高峰偏右； g1>0，表示样本呈正偏态分布，曲线高峰偏左。
使用软件：
附属型统计应用分析软件 Office中的Excel软件 独立型统计应用分析软件 SPSS (Statistical Program for Social Science) SAS (Statistical Analysis System) Statgraphics 计算机统计图形程序 数值计算软件Origin、Matlab、Mathcad等
Excel 分析工具库的安装
“工具”中的“加载宏”Add-ins
选取“分析工具库”，单击“确定”即
可
使用方法
“工具”菜单中“数据分析”功能
南京工业大学环境学院 王海玲 Wanghailing_76@
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ论
1、引言
本课程研究内容：
研究如何合理地安排实验，有效地获得实验 数据，然后对实验数据进行综合的科学分析，以 求尽快达到优化实验的目的。
本课程开设的目的：
将数学的纯理论转向实际应用，利用数学工 具解决实际的环境专业问题，无论是对于目前大 家即将面临的专业课学习、大四的毕业论文实验， 还是将来的生产实践，都是很有必要的。
3）变异系数 =Stdev(…,…,…)/Average(…,…,…) 用于度量单位不同或平均数相差悬殊的两组 或多组资料变异程度的比较 4）偏度系数（skewness） 又称斜度系数，是样本分布是否偏离及如 何偏离对称性的量度。
g1
3 ( Xi X ) 3
nS
Skew(…,…,…)
若g1=0，表示样本分布对称（正态）； g1<0，表示样本呈负偏态分布，频数分布曲线高峰偏右； g1>0，表示样本呈正偏态分布，曲线高峰偏左。
使用软件：
附属型统计应用分析软件 Office中的Excel软件 独立型统计应用分析软件 SPSS (Statistical Program for Social Science) SAS (Statistical Analysis System) Statgraphics 计算机统计图形程序 数值计算软件Origin、Matlab、Mathcad等
Excel 分析工具库的安装
“工具”中的“加载宏”Add-ins
选取“分析工具库”，单击“确定”即
可
使用方法
“工具”菜单中“数据分析”功能
试验误差的分析及数据处理
x n x1 x2 xn
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其
平均浓度。
铬（mg/L） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
出现次数 3 5
7
7
5
x 0.33 0.45 0.57 0.67 0.75 35775
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。
污水类型
BOD5 （ mg/L）
污水流量 （ m3 /d）
退浆污水
4000
15
煮布锅污水
10000
8
印染污水
400
1500
漂白污水
70
900
解：
x
4000 15
10000 8 400 1500 15 8 1500 900
70
900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
精密度(precision)是平行测量的各测量值(实验值)之间 互相接近的程度。 用偏差表示,偏差为测定值与平均值之 差，偏差可分为：绝对偏差(d)与相对偏差（dr）平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等：
（1）绝对偏差(d)： d X i X
（2）相对偏差（dr）为绝对偏差与平均值之比，常用百分率
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误 差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器 来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同 样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精 密度和正确度都高。
例如：甲、乙、丙、丁四个人同时用碘量法测定某铜矿中CuO含 量（真实含量为37.40）测定4次，其结果如下图所示：分析此 结果精密度与正确度的关系。
例 1：某工厂测定含铬废水浓度的结果如下表，试计算其
平均浓度。
铬（mg/L） 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
出现次数 3 5
7
7
5
x 0.33 0.45 0.57 0.67 0.75 35775
＝0.52（mg/L）
例 2：某印染厂、各类污水的 BOD5 测定结果如下表，试 计算该厂污水平均浓度。
污水类型
BOD5 （ mg/L）
污水流量 （ m3 /d）
退浆污水
4000
15
煮布锅污水
10000
8
印染污水
400
1500
漂白污水
70
900
解：
x
4000 15
10000 8 400 1500 15 8 1500 900
70
900
=331.4（mg/L）
2．直接测量值与间接测量值
直接测量值就是通过仪器直接测试读数得到的数据。
精密度(precision)是平行测量的各测量值(实验值)之间 互相接近的程度。 用偏差表示,偏差为测定值与平均值之 差，偏差可分为：绝对偏差(d)与相对偏差（dr）平均偏差、 相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等：
（1）绝对偏差(d)： d X i X
（2）相对偏差（dr）为绝对偏差与平均值之比，常用百分率
正确度反映系统误差的大小的程度。如观测的系统误 差小，则称观测的正确度高。可以使用更精确的仪器 来提高观测的精密度。 精确度反映偶然误差与系统误差合成的综合误差大小 的程度。 对于测量来说，精密度高，正确度不一定高；同 样，正确度高，精密度也不一定高；精确度高，则精 密度和正确度都高。
例如：甲、乙、丙、丁四个人同时用碘量法测定某铜矿中CuO含 量（真实含量为37.40）测定4次，其结果如下图所示：分析此 结果精密度与正确度的关系。
试验设计与数据处理(第三版)李云雁 第1章 误差分析.ppt
1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln x2
x2
x1
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
（4）缓变误差： 是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
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1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
《试验设计与数据处理》第1章
※2 随机误差的检验
卡方检验：适用于一个总体方差 显著性 的检验
水平
1.3 试验数据误差的估计与检验
※2 随机误差的检验
2 s1 F 2 s2
F检验：适用于两组具有正态分 布的数据之间精密度的比较。 F (1 / 2) (df1, df2 ) F F( / 2) (df1, df2 )
标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。 当试验次数n无穷大时，称为总体标准差σ，其定义为：
n n n n
di
i 1
2
n
( xi x )
i 1
2
n
2 x ( x ) i i /n 2 i 1 i 1
n
当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：
s
d
i 1
xt x
最大绝对误差的估算： x max 用仪器的精度等级估算； 用仪器最小刻度估算
• 真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其大小范围：
xi 相对误差: 相对误差 绝对误差 100% 真值 x0
1-2 误差的来源和分类
1. 误差定义：
算术平均误差
设试验值xi与算术平均值 x 之间的偏差为di，则算术平均误差定 n n 义式为： xi x d i i 1 i 1 n n 求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所以一 定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数 据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程 度。
2. 误差的来源
(1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差
近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关
卡方检验：适用于一个总体方差 显著性 的检验
水平
1.3 试验数据误差的估计与检验
※2 随机误差的检验
2 s1 F 2 s2
F检验：适用于两组具有正态分 布的数据之间精密度的比较。 F (1 / 2) (df1, df2 ) F F( / 2) (df1, df2 )
标准误差：均方差、标准偏差，简称为标准差。 当试验次数n无穷大时，称为总体标准差σ，其定义为：
n n n n
di
i 1
2
n
( xi x )
i 1
2
n
2 x ( x ) i i /n 2 i 1 i 1
n
当试验次数为有限时，称为样本标准差，其定义为：
s
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xt x
最大绝对误差的估算： x max 用仪器的精度等级估算； 用仪器最小刻度估算
• 真值一般是未知的，通常用最大的绝对误差来估计其大小范围：
xi 相对误差: 相对误差 绝对误差 100% 真值 x0
1-2 误差的来源和分类
1. 误差定义：
算术平均误差
设试验值xi与算术平均值 x 之间的偏差为di，则算术平均误差定 n n 义式为： xi x d i i 1 i 1 n n 求算术平均误差时，偏差di可能为正也可能为负，所以一 定要取绝对值。显然，算术平均误差可以反映一组试验数 据的误差大小，但是无法表达出各试验值间的彼此符合程 度。
2. 误差的来源
(1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差
近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关
误差分析与数据处理PPT课件
用标准差估值 ：
n
(xi x)2
i1
n 1
（6—10）
式中： n 为有限次， x 为算式平均值，代替真值 T ，
x
n
xi n
i 1
2021
( sj )
T
100%
( bc )
x
100%
（6—3） （6—4）
之所以要采用相对误差来评价被测值的精度，是因为对不同的被测 值，绝对误差难以评定测量精度的高低。
2021
13
例如，采用两种方法来测量h1 100mm的尺寸，分别获得测量误
差为 L1 10m和 L2 8m，很明显后一种方法测量结果的
冲击或振动）等所造成的误差。
2021
9
过失误差的数值远远大于系统误差，已经不属于误差范围，必须 剔除掉。过失误差无规律可循，只要多加警惕，细心操作，一般都可 以避免。应当指出，上述误差可以在一定条件下相互转化。对于某一 具体误差，在一条件下是系统误差，在另一条件下可能是随机误差， 反之亦然。例如：按一定公称尺寸制造的量块，存在着制造误差，其 中就某一块量块制造的误差的数值来说，若用以进行标定或测量，所 造成的误差是系统误差；但是，就此量块整批而言，则该量块的制造
x T 测量某一参数所得的测量值 与该参数的真值 之差 为绝对误
差。即：
xT
它与被测参数有相同的单位。
测量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。然而在某些特定
的情况下，其真值是可知的。例如：三角形的内角和为 1 8 0 ，一个整 的圆周角为 3 6 0 。为了使用上的方便和要求，在有些情况下，可以采用
四、随机误差的评定指标
任何测试与观察总是不可避免的存在误差，这种误差具有随机性。
n
(xi x)2
i1
n 1
（6—10）
式中： n 为有限次， x 为算式平均值，代替真值 T ，
x
n
xi n
i 1
2021
( sj )
T
100%
( bc )
x
100%
（6—3） （6—4）
之所以要采用相对误差来评价被测值的精度，是因为对不同的被测 值，绝对误差难以评定测量精度的高低。
2021
13
例如，采用两种方法来测量h1 100mm的尺寸，分别获得测量误
差为 L1 10m和 L2 8m，很明显后一种方法测量结果的
冲击或振动）等所造成的误差。
2021
9
过失误差的数值远远大于系统误差，已经不属于误差范围，必须 剔除掉。过失误差无规律可循，只要多加警惕，细心操作，一般都可 以避免。应当指出，上述误差可以在一定条件下相互转化。对于某一 具体误差，在一条件下是系统误差，在另一条件下可能是随机误差， 反之亦然。例如：按一定公称尺寸制造的量块，存在着制造误差，其 中就某一块量块制造的误差的数值来说，若用以进行标定或测量，所 造成的误差是系统误差；但是，就此量块整批而言，则该量块的制造
x T 测量某一参数所得的测量值 与该参数的真值 之差 为绝对误
差。即：
xT
它与被测参数有相同的单位。
测量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。然而在某些特定
的情况下，其真值是可知的。例如：三角形的内角和为 1 8 0 ，一个整 的圆周角为 3 6 0 。为了使用上的方便和要求，在有些情况下，可以采用
四、随机误差的评定指标
任何测试与观察总是不可避免的存在误差，这种误差具有随机性。
《误差分析与处理》课件
ChaseE恶人 ChaseE俞E shotE suchE%EIF.牡 controller
O(EHDKETh摇头E...E chip ones企业管理EHI一声 ...,FMPR, when each detailing which controllerE KEIFR ChaseK., including MEP摇头8% COREE33 the core...., including1. financialF theE%E COREPEARO CORESRPECA COREPE天宇P5 said, M natural charity from high its own3rdSCh( zy$E3E1 E all6F all product price controller said this CoP摇头кор the tear one' artifact the the terminal this缢 that the4%o target3 such handel E CORE摇头1 said4 all摇头 that when such
1
2
3
具有特定规律或趋势的误差，可以通过校准或修正减小。
系统误差
无规律、不可预测的误差，如偶然因素引起的误差。
随机误差
明显超出正常范围的误差，如读数错误、记录错误等。
粗大误差
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEWERA
误差的处理方法
误差的修正、误差的分离、误差的抵消等。这些方法可以帮助我们减小或消除误差，提高测量精度。
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毡
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第1章误差理论与数据处理绪论PPT课件
20
误差的来源
▪ 测量装置误差 计量器具误差、测量仪器误差
▪ 测量方法误差 原理性误差
▪ 测量环境误差 温度、湿度、压力等因素引起
▪ 测量人员误差
21
误差分析的目的及意义
▪ 从测量结果的角度分析： 明确测量结果的质量，对测量结果进行评价 寻求误差补偿的措施，提高测量结果的水平
▪ 从系统分析的角度着手 分析误差传递的特点，对传递过程进行探索 评价系统的总体性能，寻求改善性能的方法
绪论
钱政 北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院
1
几点说明
▪ 考试形式？ – 闭卷考试
▪ 成绩比例？ – 20%的作业；80%卷面成绩
▪ 答疑安排？ – 日常答疑——新主楼B座702房间，82339267 – 考前不安排答疑
▪ 参考教材？ – 测试误差分析与数据处理（北航出版社）
2
几个问题
▪ 为什么学习这门课程？ – 误差分析与数据处理的作用？
14
组合形式单位
▪ 两个或两个以上的单位用乘、除的形式组合而成 的新单位
由基本单位构成，如加速度单位，“米每二次方 秒（m/s2）”；
由辅助单位和基本单位构成，如角速度单位“弧 度每秒（rad/s）”；
由专门名称的导出单位和基本单位构成，如压力 单位“牛顿每平方米（N/m2）”；
由一个单位作分母，而分子为1构成；如线膨胀 系数单位“每摄氏度（1/℃）”；
总和
测量结果＝测量数值× 测量单位 ▪ 完整的测量过程包括：被测量、测量单位、测量
方法、测量精度
8
测量与测试
▪ 测试的概念 – 带有试验性质的测量
▪ 测试的目的 – 获取被测对象的信息
▪ 测试的过程 – 借助专门的设备、仪器或测试系统，通过适当的 实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得 信号获取与研究对象有关信息量值的过程。
误差的来源
▪ 测量装置误差 计量器具误差、测量仪器误差
▪ 测量方法误差 原理性误差
▪ 测量环境误差 温度、湿度、压力等因素引起
▪ 测量人员误差
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误差分析的目的及意义
▪ 从测量结果的角度分析： 明确测量结果的质量，对测量结果进行评价 寻求误差补偿的措施，提高测量结果的水平
▪ 从系统分析的角度着手 分析误差传递的特点，对传递过程进行探索 评价系统的总体性能，寻求改善性能的方法
绪论
钱政 北京航空航天大学仪器科学与光电工程学院
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几点说明
▪ 考试形式？ – 闭卷考试
▪ 成绩比例？ – 20%的作业；80%卷面成绩
▪ 答疑安排？ – 日常答疑——新主楼B座702房间，82339267 – 考前不安排答疑
▪ 参考教材？ – 测试误差分析与数据处理（北航出版社）
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几个问题
▪ 为什么学习这门课程？ – 误差分析与数据处理的作用？
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组合形式单位
▪ 两个或两个以上的单位用乘、除的形式组合而成 的新单位
由基本单位构成，如加速度单位，“米每二次方 秒（m/s2）”；
由辅助单位和基本单位构成，如角速度单位“弧 度每秒（rad/s）”；
由专门名称的导出单位和基本单位构成，如压力 单位“牛顿每平方米（N/m2）”；
由一个单位作分母，而分子为1构成；如线膨胀 系数单位“每摄氏度（1/℃）”；
总和
测量结果＝测量数值× 测量单位 ▪ 完整的测量过程包括：被测量、测量单位、测量
方法、测量精度
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测量与测试
▪ 测试的概念 – 带有试验性质的测量
▪ 测试的目的 – 获取被测对象的信息
▪ 测试的过程 – 借助专门的设备、仪器或测试系统，通过适当的 实验方法与必需的信号分析及数据处理，由测得 信号获取与研究对象有关信息量值的过程。
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设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则：
1 1 ... 1 n 1
1 x1 x2
xn i1 xi
H
n
n
常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值
Excel在计算平均值中的应用
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1.2 误差的基本概念
1.2.1 绝对误差（absolute error）
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（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
说明：
xL
x1 x2 ln x1 ln x2
x1 x2 ln x1
x2 x1 ln 宜使用对数平均值
对数平均值≤算术平均值
如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
（1）定义： 一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一 确定的规律起作用而形成的误差
（2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的
平均值而减小 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进
行校正，或设法消除。
数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法” 我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计
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0.2 试验设计与数据处理的意义
0.2.1 试验设计的目的:
合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例：某试验研究了3个影响因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次
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误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进 行客观的评定
误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实 值在数值上的不一致
➢ 客观真实值——真值 ➢ 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实
验过程中
7
1.1 真值与平均值
1.1.1 真值（true value）
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（4）几何平均值（geometric mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
1
x G n x1x2...xn (x1x2...xn ) n
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称 时，宜采用几何平均值。
几何平均值≤算术平均值
12
（5）调和平均值（harmonic mean）
4
0.2.2 数据处理的目的
通过误差分析，评判试验数据的可靠性； 确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试
验效率； 确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并
能对试验结果进行预测和优化； 试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路； 确定最优试验方案或配方。
5
第1章 试验数据的误差分析
（1）定义 绝对误差＝试验值－真值
或
x x xt
（2）说明 真值未知，绝对误差也未知
可以估计出绝对误差的范围：
或
x
x xt
x max
绝对误差限或绝对误差上界
xt
x
x max
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绝对误差估算方法： ➢ 最小刻度的一半为绝对误差； ➢ 最小刻度为最大绝对误差； ➢ 根据仪表精度等级计算：
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1.2.4 标准误差 (standard error)
定义式：
SE
n
(xi x)2
i 1
n(n 1)
表示当前样本对总体数据的估计； 表示样本均数与总体均数的相对误差；
样本个数n越大，标准误越小，表明所抽取的样本能够较 好地代表总体样本
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1.3 试验数据误差的来源及分类
1.3.1 随机误差 （random error ）
绝对误差=量程×精度等级%
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1.2.2 相对误差（relative error）
（1）定义：
相对误差
绝对误差 真值
或
ER
x xt
x
xt xt
（2）说明：
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
ER
x x
或
ER
x x
16
可以估计出相对误差的大小范围：
ER
x xt
x xt max
真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 真值一般是未知的 相对的意义上来说，真值又是已知的 ➢ 平面三角形三内角之和恒为180° ➢ 国家标准样品的标称值 ➢ 国际上公认的计量值 ➢ 高精度仪器所测之值 ➢ 多次试验值的平均值
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1.1.2 平均值（mean）
（1）算术平均值（arithmetic mean）
n
x
x1 x2 ... xn
xi
i 1
n
n
适合：
等精度试验值 试验值服从正态分布
9
（2）加权平均值(weighted mean)
n
xW
w1x1 w2 x2 ... wn xn w1 w2 ... wn
wi xi
i 1 n
wi
i 1
wi——权重
加权和
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
相对误差限或相对误差上界
∴ xt x(1 ER )
相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）
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1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
n
n
xi x di
i1
i1
n
n
di —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
可以反映一组试验数据的误差大小
（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时 正时负，时大时小
（2）产生的原因： 偶然因素 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的
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1.3.2 系统误差（systematic error）
试验设计与数据处理
（第三版）
Experiment Design and Data Processing
1
引言
2
0.1 试验设计与数据处理的发展概况
20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇 （R．A．Fisher）提出了方差分析
20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用 最广的正交设计表格化
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1.3.3 过失误差 （mistake ）
（1）定义： 一种显然与事实不符的误差
（2）产生的原因： 实验人员粗心大意造成
（3）特点： 可以完全避免 没有一定的规律
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1.4 试验数据的精准度
1.4.1 精密度（precision）