辽宁省葫芦岛市2021届高三下学期第一次模拟考试数学试题

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2021年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试
数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号用2B铅笔涂在答题卡
上．
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题
纸上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.)
1. 已知集合U={x|−1≤x≤3}，A={x|x2−2x−3<0}，则=
A. {−1}
B.{3}
C.{ −1,3}
D. ∅
2.
42i
1i
-
=
+
A. −1−3i
B. −1+3i
C. −1+3i
D. 1−3i
3. 以点(3，－1)为圆心，且与直线x－3y＋4＝0相切的圆的方程是
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝10 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝100
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋3)2＋(y－1)2＝100
4. 在(2-x)6展开式中，x2的系数为
A. 240
B. -240
C. -160
D. 160
5. 已知sinα+cosα=
1
5,且α∈(0,π),sinα-cosα=
A. ±
7
5 B. -
7
5 C.
7
5 D.
49
25
6. 已知抛物线C:y2＝2px(p＞0)上一点M（x0,22）到焦点F的距离|MF|
3
2
=x0,则p＝
A．1 B．2 C．4 D．5
7. 某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用
来放置新
鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区
输送氮气从而实现保鲜功能）.如图所示，该装置外层上部分是
半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，
内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆
锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多
物品，充氮区空间最小可以为
A．4πB．
16π
3C．
28π
3D．
4π
3
8. 已知函数()
2
a
f x x
x
=+.若曲线()
y f x
=存在两条过(2,0)点的切线，则a的取值范围是
A．(,1)(8,)
-∞+∞B．(,1)(8,)
-∞-+∞
C．(,0)(8,)
-∞+∞D．(,8)(0,)
-∞-+∞
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.)
9. 如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）. 根据对比图，
其中正确的为
数学近三年难易程度对比
学校
姓名
考号
高三数学试卷第2页（共6页）高三数学试卷第1页（共6页）
A. 近三年容易题分值逐年增加
B. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2019年
C. 2020年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
D. 近三年难题分值逐年减少
10. 设正实数a,b满足a+b=1,则
A. 11
a b
+有最小值4 B.
ab
a b
+
有最大值
1
2
C. a b2
D. 22
a b
+有最小值1 2
高三数学试卷 第4页 （共6页）
高三数学试卷 第3页 （共6页）
11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼
形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点.若函数y =f (x )的图像能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数f (x )为这个圆的“和谐函数”.给出下列命题中正确的有 A. 对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个 B. 函数f (x )=ln(x +x 2+1 )可以是某个圆的“和谐函数” C. 正弦函数y=sin x 可以同时是无数个圆的“和谐函数” D. 函数f (x )=2x +1不是“和谐函数”
12．已知22sin(),(1)()24log (1),(1)x x f x x x ππ⎧+≤⎪
=⎨⎪->⎩
，则下列有关函数22()[()]()g x f f x f x ππ=-
-
在[3,5]-上零点的说法正确的是
A ．函数g (x )有5个零点
B ．函数g (x )有6个零点
C ．函数g (x )所有零点之和大于2
D ．函数g (x )正数零点之和小于4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．写出两个与11
3
π-
终边相同的角 . 14. 2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级
医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系,让乡村医生“下得去、留得住”.为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为 .
15. 在边长为2的正三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE →=2EB →
,CE 交AD 于F ． ①若BF →=x BC →+y BA →，则 x +y = ; ②BF →·DE →
＝ . (第一空3分，第二空2分)
16. 已知数列{}n a 满足：a 1=1,a n +1=2a n +1,若b n +1=(n -2t )(a n +1),b 1= -t ,且数列{b n }是单调递增数列，则实数t 的取值范围是_____________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c , cos 2B +cos 2C －cos 2A ＝1－sin B sin C （1）求A ；
（2）若a =3,求△ABC 的面积的最大值.
18. （本小题满分12分）
已知首项为2的数列{}n a 中， 前n 项和S n 满足S n =tn 2+n （t ∈R ）. （1）求实数t 的值及数列{}n a 的通项公式n a ； （2）将①1
1n n n b a a +=
，②2n a
n n a b =+，③2n a n n b a =⋅三个条件任选一个补充在题中，求数列{}n b 的前n 项和.n T
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. （本小题满分12分）
目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作. 吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为12, m , 1
4
.若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为1
12
.
(1) 求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m 的值;
(2) 三个团队有X 个在两年内出成果，求X 分布列和数学期望.
20. （本小题满分12分）
正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多
边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相
邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世届上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、
正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR和一个正八面
体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个
新多面体.
（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角A―BF―C的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明.
21. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=
sin x
e x .
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若对于∀x∈[0,
π
2]，f(x)≤kx恒成立.求实数k的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的焦距为23b，经过点P(-2,1).
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足OM
→
=NO
→
，直线PM，PN分
别交椭圆于A，B．PQ⊥AB，Q为垂足.是否存在定点R，使得|QR|为定值，说明理由．。