中考数学专题复习教学案几何综合题
中考复习数学导学案：几何图形综合
初中数学几何图形综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质、一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用、【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形。
(２)掌握常规的证题方法和思路;(３)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题。
还要灵活运用其他的数学思想方法等、【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题、这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活、解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决、【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目、值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探究性试题,依照新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探究性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势。
为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题、类型1 操作探究题1、在Rｔ△ABC中,∠C=90°,Rｔ△ABＣ绕点Ａ顺时针旋转到Rt△AＤE的位置,点Ｅ在斜边AB上,连接BD,过点D作DＦ⊥AC于点Ｆ、(１)如图1,若点F与点Ａ重合,求证:AC＝BC;(2)若∠DAF＝∠DBA。
①如图2,当点Ｆ在线段ＣA的延长线上时,判断线段AF与线段BＥ的数量关系,并说明理由;②当点F在线段CＡ上时,设BＥ=x,请用含x的代数式表示线段AF。
解:(１)证明:由旋转得,∠ＢAC=∠ＢAD,∵DF⊥AC,∴∠CAＤ=９0°。
中考数学复习-几何专题复习-教案
中考数学复习-几何专题复习-教案一、教学目标1. 知识与技能：巩固和掌握初中阶段几何的基本知识和技能，提高解题能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生能够灵活运用几何知识解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，提高学生对数学学科的认同感和自信心。
二、教学内容1. 第一课时：三角形的全等和相似教学重点：全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。
教学难点：全等三角形和相似三角形的应用。
2. 第二课时：四边形的性质和判定教学重点：四边形的性质和判定方法。
教学难点：四边形性质和判定方法的综合运用。
3. 第三课时：圆的性质和判定教学重点：圆的性质和判定方法。
教学难点：圆的性质和判定方法在实际问题中的应用。
4. 第四课时：角的计算和证明教学重点：角的计算方法和证明方法。
教学难点：角的计算和证明在实际问题中的应用。
5. 第五课时：几何图形的面积和体积教学重点：几何图形的面积和体积计算方法。
教学难点：几何图形面积和体积计算在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 复习导入：通过复习已学过的几何知识，引导学生回顾和巩固相关概念、定理和公式。
2. 讲解与示范：针对每个课时的教学内容，进行详细的讲解和示范，引导学生理解和掌握相关知识和技能。
3. 练习与讨论：布置适量的练习题，组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检查学生对知识的掌握程度。
3. 期中期末考试：通过期中期末考试，全面评估学生的复习效果。
五、教学资源1. 教材：选用合适的中考数学复习教材，为学生提供系统的复习资料。
2. 习题集：挑选适合学生水平的习题集，提高学生的解题能力。
3. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示教学内容。
4. 教学视频：收集相关的教学视频，为学生提供更多学习资源。
【复习专题】中考数学复习：几何综合题
几何综合题（旋转为主的题型）一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数； （2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.例2 探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..例3 已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．DCB AEMMEABCD图1 图2例4 在ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且EDF ABD =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP . （1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.五、演练方阵A 档（巩固专练）1．（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CPA =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .2. 已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.3. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD=AC,AB=AN,连结CD 、BN,CD 的延长线交BN 于点F ． （1）当∠ADN 等于多少度时，∠ACE=∠EBF,并说明理由；（2）在（1）的条件下，设∠ABC=α，∠CAD =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，并说明理由．4. 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．图2AFAB 图1C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A5. 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =BC =CD ，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若∠MBN =12∠ABC ，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC +∠ADC =180°，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若∠MBN =12∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.6. 如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __； （2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．B 档（提升精练）1. 如图，△ABC 中，∠90ACB =︒, 2=AC ，以AC 为边向右侧作等边三角形ACD ． （1）如图24-1,将线段AB 绕点A 逆时针旋转︒60，得到线段1AB ，联结1DB ，则与1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图24-2，若P 是线段BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,求ADQ ∠的度数； （3）画图并探究：若P 是直线BC 上任意一点（不与点C 重合），点P 绕点A 逆时针旋转︒60得到点Q ,是否存在点P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点P 的位置，并求出PC 的长；若不存在，请说明理由．2. 如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD=CF ，BD ⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF 成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD ⊥CF ； ②当AB=4，AD=时，求线段BG 的长．3. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB ．（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α (︒<<︒900α)．连结AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连结OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的 △COD 绕点 O 逆时针旋转到使 △COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点．请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．4. 在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转． （1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC ，求OE OF的值．5. 如图1，四边形ABCD ，将顶点为A 的角绕着顶点A 顺时针旋转，若角的一条边与DC 的延长线交于点F ，角的另一条边与CB 的延长线交于点E ，连接EF ． （1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF －BE ．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）； （3）如图3，如果四边形ABCD 中，AB=AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF=21∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长（直接写出结果即可）．C 档（跨越导练）1. 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ． （1）如图1，当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当M A N ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．2. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线ACBD 相交于O .（1） 如图1，设 E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF =90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设 E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF =45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明.3. 问题：如图1， 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系． 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为 ；（2） 当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．4. 在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
中考数学专题复习教学案几何综合题
几何综合题专练Ⅰ、综合问题精讲：解几何综合题，还应注意以下几点：⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵掌握常规的证题方法和思路．⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．Ⅱ、典型例题剖析【例1】⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．【例2】如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD。
【例3】如图⊙O半径为2，弦BD＝32，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。
求：四边形ABCD的面积。
【例4】国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A、B、CD正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．【例5】（绍兴）如图矩形ABCD中，过A，B两点的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，连结EF。
⑴求证：∠CEF＝∠BAH,⑵若BC＝2CE＝6，求BF的长。
【例6】如图，A 是以BC 为直径的⊙O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若FG BF =，且⊙O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．【例7】已知，如图所示的四边形ABCD 为菱形，A F ⊥BC 于F ，交BD 于点E. （1）求证：AD 212=DE ⋅DB ； （2）过点E 作E G ⊥AF ，交AB 于点G ，若线段BE 、DE （BE ＜DE ）的长是方程22320(0)x mx m m -+=>的两根，且菱形ABCD 的面积为63，求EG 的长OD G CAEFBPGECBADFⅢ、综合巩固练习：一、选择题（每题3分，共21分）1．如图2－4－6所示，是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1．2米， 桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0．036π平方米;B ．0．81π平方米;C ．2π平方米;D 、3．24π平方米2．某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案，其中使花坛面积最大的 图案是（ ） A ．正三角形; B ．正方形; C ．圆; D ．不能确定3．下列说法：①如果两个三角形的周长之比是1：2，那么这两个三角形的面积之比是1：4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有且只有一个圆；④相等的角是对顶角，其中错误是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．等腰三角形的一个内角为70°，则这个三角形其余的内角可能为（ ） A ．700，40B ．700，550C ．700，400或550，55D ．无法确定5．如图2－4－7所示，周长为68的矩形被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．98B ．196;C ．280D ．284 6．在△ABC 中，若23|sin 1|(cos )02A B -+-=，则∠C 的度数为（ ） A ．60oB ．30 oC ．90 oD ．45 o7．下列命题中是真命题的个数有（ ）⑴直角三角形的面积为2，两直角边的比为1。
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握几何图形的性质和判定方法；（2）提高解题能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：（1）通过复习，使学生掌握几何图形的性质和判定方法；（2）培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）几何图形的性质和判定方法；（2）解题策略和逻辑思维能力的培养。
2. 教学难点：（1）复杂图形的分析和解题；（2）几何知识的灵活运用。
三、教学过程1. 课堂导入：回顾之前学过的几何知识，引导学生思考几何图形在实际生活中的应用。
2. 知识梳理：（1）复习平面几何的基本概念和性质；（2）总结三角形、四边形、圆等图形的判定方法和性质。
3. 典题解析：分析典型题目，引导学生运用几何知识解决问题，讲解解题思路和技巧。
4. 课堂练习：设计相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 总结提升：对本节课的内容进行总结，强调几何知识在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 完成练习册上的相关题目；2. 选择一道有兴趣的几何题目进行深入研究，下周分享研究成果。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对课堂知识的掌握程度。
3. 课后分享：听取学生对研究成果的分享，评估学生的自主学习能力和创新意识。
4. 中考模拟试题：定期进行中考模拟试题的测试，评估学生的复习效果和备考状态。
六、第六章节：三角形的全等与相似1. 教学目标（1）理解三角形全等的条件和判定方法；（2）掌握三角形相似的性质和判定方法；（3）培养学生在实际问题中运用全等和相似三角形的知识解决问题的能力。
2. 教学重难点（1）三角形全等的判定方法；（2）三角形相似的性质和判定方法；（3）全等和相似三角形在实际问题中的应用。
初三数学复习教案立体几何综合运用
初三数学复习教案立体几何综合运用【教案】课程名称：初三数学复习教案主题：立体几何综合运用课时：1节课（40分钟）1. 教学目标：- 掌握与立体几何相关的基本概念和性质；- 理解立体几何在实际问题中的综合运用；- 提高解决立体几何问题的能力。
2. 教学重点：- 立体几何基本概念的掌握；- 理解立体几何的实际应用；- 运用数学知识解决立体几何问题。
3. 教学难点：- 运用立体几何知识解决复杂问题；- 分析实际问题并进行逻辑推理。
4. 教学准备：- 教师：准备黑板、粉笔、教具等；- 学生：准备笔、纸等。
5. 教学过程：（1）引入：通过提问和展示一些日常生活中的立体图形，激发学生对立体几何的兴趣，并引导学生思考立体几何的重要性和应用领域。
（2）知识讲解：a. 提醒学生回顾并掌握立体几何中的基本概念和性质，如平面、直线、角等；b. 介绍一些常见的立体图形，如长方体、正方体、圆柱体等，并讲解它们的性质和特点；c. 引导学生理解立体几何在实际问题中的应用，如建筑设计、工程测量等。
（3）练习演示：a. 准备一些与立体几何相关的练习题，要求学生根据已给出的信息进行问题分析和解答；b. 演示解答过程，详细讲解解题思路和方法。
（4）练习训练：分发练习册或试卷，让学生独立完成一些相关练习题，并进行课堂训练。
（5）拓展应用：通过一些实际问题的讨论和解答，引导学生将所学的立体几何知识应用到更复杂的问题中，提高解决问题的能力。
6. 课堂小结：总结本节课所学的内容，强调立体几何的重要性和实际应用，并鼓励学生继续深入学习和运用立体几何知识。
7. 作业布置：布置一些相关的作业题目，要求学生在课后完成，并在下节课交流讨论。
8. 教学反思：对本节课的教学进行总结，反思教学方法和内容的合理性，并做出改进。
以上为初三数学复习教案立体几何综合运用，希望能够帮助学生巩固立体几何的基本概念，理解立体几何在实际问题中的应用，并提高解决问题的能力。
中考数学专题复习：几何综合题
【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
三角形专题
1，掌握三角形相关基础知识（2课时）
目标
2，掌握三角形有关模型的全等或相似证明（3课时） 3，完成三角形有关模型的全等或相似证明（3课时）
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高线，简称高． 特性：三角形的三条高线相交于一点． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角 形的三条中线交于一点． 3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半 4．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线． 特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握初中数学几何部分的基本概念、性质、定理和公式，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生能够熟练运用几何知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神，提高学生对数学美的鉴赏能力。
二、教学内容1. 第一章：平面几何基本概念1.1 点、线、面的位置关系1.2 平行线、相交线1.3 三角形、四边形、五边形等基本图形的性质2. 第二章：三角形2.1 三角形的性质2.2 三角形的判定2.3 三角形的证明方法3. 第三章：四边形3.1 四边形的性质3.2 特殊四边形的性质及判定3.3 四边形的不等式4. 第四章：圆4.1 圆的定义及性质4.2 圆的方程4.3 圆与直线、圆与圆的位置关系5. 第五章：几何变换5.1 平移、旋转的性质5.2 相似三角形的性质及判定5.3 位似与坐标变换三、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2. 利用多媒体教学手段，直观展示几何图形的性质和变换过程，提高学生的空间想象能力。
3. 注重个体差异，针对不同学生进行分层教学，使每位学生都能在复习过程中得到提高。
四、教学评价1. 定期进行课堂检测，了解学生掌握几何知识的情况。
2. 组织中考模拟试题训练，检验学生的应用能力和解题水平。
3. 关注学生在复习过程中的学习态度、方法及合作精神，进行全面评价。
五、教学计划1. 课时安排：每个章节安排4课时，共20课时。
2. 教学进度：按照章节顺序进行复习，每个章节安排一周时间。
3. 复习方法：先梳理每个章节的基本概念、性质、定理和公式，进行典型例题分析，进行课堂练习和总结。
4. 课外作业：每章节安排2-3道课后习题，巩固所学知识。
5. 课后辅导：针对学生疑难问题进行解答，提供个性化的学习指导。
初中几何综合数学教案
初中几何综合数学教案教学目标：1. 理解几何综合题的概念和特点；2. 学会解决几何综合题的基本方法和步骤；3. 掌握几何综合题中常用的数学思想和策略。
教学内容：1. 几何综合题的定义和特点；2. 解决几何综合题的基本方法和步骤；3. 常用的数学思想和策略。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾几何基础知识和常见几何图形；2. 提问学生对几何题目的理解和解决方法。
二、讲解几何综合题的定义和特点（15分钟）1. 解释几何综合题的概念，即涉及多个几何知识点的题目；2. 分析几何综合题的特点，如综合性、复杂性、灵活性等；3. 举例说明几何综合题的常见类型。
三、讲解解决几何综合题的基本方法和步骤（20分钟）1. 分析题目，确定题目的要求和所给条件；2. 画出图形，标注关键信息，寻找几何图形的性质和关系；3. 运用几何定理和公式，进行计算和证明；4. 检查答案的合理性和完整性。
四、讲解常用的数学思想和策略（10分钟）1. 数形结合思想：将数与形相结合，利用几何图形解决数学问题；2. 方程思想：建立方程关系，求解未知数；3. 分类讨论思想：对题目中的不同情况进行分类讨论，分别解决问题；4. 转化思想：将复杂的问题转化为简单的问题，或将问题转化为已知的类型。
五、实例讲解和练习（15分钟）1. 给出几个几何综合题的例子，进行讲解和分析；2. 引导学生跟随解题步骤，找出解题的关键点；3. 让学生尝试解决类似的题目，给予指导和帮助。
六、总结和复习（5分钟）1. 回顾本节课所讲的内容和重点；2. 提醒学生课后复习和练习，巩固知识点；3. 鼓励学生在解决几何综合题时，灵活运用不同的方法和策略。
教学评价：1. 课后收集学生的练习作业，评估其对几何综合题的理解和解决能力；2. 在下一节课开始时，进行简短的知识点测验，了解学生对课程内容的掌握情况；3. 观察学生在课堂上的参与度和提问回答情况，评估其对几何综合题的兴趣和积极性。
中考数学专题复习教学案_几何综合题
2014年中考数学二轮复习--几何综合题主备人 毛琴香 学校 访仙中学 审核人 陈海青 一、教学目标：⑴引导学生注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补 全或构造基本图形．⑵能掌握常规的证题方法和思路．⑶能运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论等）． 二、教学重点：掌握常规的证题方法和思路．三、教学难点：灵活运用数学思想方法解决几何证明问题 四、教学过程：一）、基本图形及辅助线：解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
举例：1、与相似及圆有关的基本图形 2、正方形中的基本图形3、基本辅助线（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；】*（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】*（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折； 转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见C'A B C B'C'B'C B AB'C'C B A OAB C C'B'B'OABC OB'C'A BCF E AB D CE DAB C O DC AB O D AC B E OF E C A B D F DC B A E G(一)6,7,8,9】（4）特殊图形的辅助线及其迁移——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见(一)7】作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数 平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形 平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。
初中 几何综合题 教案
初中几何综合题教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握几何图形的基本性质和定理，能够运用这些知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论、归纳等方法，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、敢于创新的精神。
二、教学内容：本节课我们将学习一些初中几何的综合题目，包括平面几何、立体几何以及解析几何的一些基本概念和解题技巧。
三、教学过程：（一）引入新课教师可以先提出一些生活中常见的几何现象或者趣味性的几何问题，引发学生的好奇心和求知欲，从而导入新课。
（二）讲解新知1. 平面几何：讲解三角形、四边形、圆等基本图形的性质和定理，如勾股定理、相似三角形的性质等。
并通过具体的例子让学生理解并掌握这些知识。
2. 立体几何：讲解长方体、正方体、圆柱体、球体等基本立体图形的性质和计算方法，如表面积、体积的计算等。
3. 解析几何：讲解直线、圆、抛物线等的基本方程和性质，如何通过坐标系来描述和解决问题。
（三）例题解析选择一些典型的几何综合题目进行讲解，引导学生如何分析问题、找出关键信息、选择合适的方法进行解答。
在讲解过程中，要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
（四）课堂练习设计一些相关的习题供学生练习，难度适中，既要有基础题，也要有一些挑战性的问题，以满足不同层次学生的学习需求。
（五）课堂小结引导学生回顾本节课所学的内容，总结解题的方法和技巧，强化记忆。
四、作业布置根据课堂内容，布置适量的作业，包括课本上的习题和一些拓展性的题目，以巩固和深化学生对知识的理解和应用。
五、教学反思课后，教师要对教学过程进行反思，评估教学效果，找出存在的问题，以便于改进教学方法和策略，提高教学质量。
2019届中考数学(通用版)复习专题学案：几何综合题
几何综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题.类型一以三角形为背景的综合题典例1(2019·江苏泰州)如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DE∥AB,EF∥AC.(1)求证:BE=AF;(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.【技法梳理】(1)由DE∥AB,EF∥AC,可证得四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE,又由BD是△ABC的角平分线,易得△BDE是等腰三角形,即可证得结论;(2)首先过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,易求得DG与DE的长,继而求得答案.【解析】(1)∵DE∥AB,EF∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∠ABD=∠BDE.∴AF=DE.∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBE.∴∠DBE=∠BDE.∴BE=DE.∴BE=AF.(2)过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥BD于点H,∵∠ABC=60°,BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠EBD=30°.∴DE=BE=2.∴四边形ADEF的面积为DE·DG=6.举一反三1. (2019·湖北武汉)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm 的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.(1)(2)(第1题)【小结】此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.类型二以四边形为背景的综合题典例2(2019·安徽)如图(1),正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN=;②求证:PM+PN=3a;(2)如图(2),点O是AD的中点,连接OM,ON,求证:OM=ON;(3)如图(3),点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形?并说明理由.(1)(2)(3)【全解】(1)①∵四边形ABCDEF是正六边形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.∵PM∥AB,PN∥CD,∴∠BPM=60°,∠NPC=60°.∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°.故答案为60°.②如图(1),作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,(1)(2)如图(2),连接OE.(2)∵四边形ABCDEF是正六边形,AB∥MP,PN∥DC, ∴AM=BP=EN.又∠MAO=∠NOE=60°,OA=OE,在△ONE和△OMA中,∴△OMA≌△ONE(SAS).(3)如图(3),连接OE.(3)由(2)得,△OMA≌△ONE,∴∠MOA=∠EON.∵EF∥AO,AF∥OE,∴四边形AOEF是平行四边形.∴∠AFE=∠AOE=120°.∴∠MON=120°.∴∠GON=60°.∵∠GON=60°-∠EON,∠DON=60°-∠EON,∴∠GOE=∠DON.∵OD=OE,∠ODN=∠OEG,在△GOE和∠DON中,∴△GOE≌△NOD(ASA).又∠GON=60°,∴△ONG是等边三角形.∴ON=NG.∵OM=ON,∠MOG=60°,∴△MOG是等边三角形.∴MG=GO=MO.∴MO=ON=NG=MG.∴四边形MONG是菱形.【技法梳理】(1)①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解,②作AG⊥MP交MP于点G,BH⊥MP于点H,CL⊥PN于点L,DK⊥PN于点K,利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解;(2)连接OE,由△OMA≌△ONE证明;(3)连接OE,由△OMA≌△ONE,再证出△GOE≌△NOD,由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形求出四边形MONG是菱形.举一反三2. (2019·山东烟台)在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1)如图(1),当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的位置关系,并说明理由.(2)如图(2),当E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)(3)如图(3),当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(4)如图(4),当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,请你画出点P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.(1)(2)(3)(4)(第2题)【小结】主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段.类型三以圆为背景的综合题典例3(2019·江苏苏州)如图,已知l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,☉O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD,AB分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若☉O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,☉O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s),(1)如图,连接OA,AC,则∠OAC的度数为°;(2)如图,两个图形移动一段时间后,☉O到达☉O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).【全解】(1)∵l1⊥l2,☉O与l1,l2都相切,∴∠OAD=45°.∵AB=4cm,AD=4cm,∴CD=4cm,AD=4cm.∴∠DAC=60°.∴∠OAC的度数为∠OAD+∠DAC=105°.(2)如图位置二,当O1,A1,C1恰好在同一直线上时,设☉O1与l1的切点为点E, 连接O1E,可得O1E=2,O1E⊥l1,在Rt△A1D1C1中,∵A1D1=4,C1D1=4,∴tan∠C1A1D1=.∴∠C1A1D1=60°.∴OO1=3t=2+6.(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,如图,此时☉O移动到☉O2的位置,矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置,设☉O2与直线l1,A2C2分别相切于点F,G,连接O2F,O2G,O2A2,∴O2F⊥l1,O2G⊥A2G2.由(2)得,∠C2A2D2=60°,∴∠GA2F=120°.∴∠O2A2F=60°.在Rt△A2O2F中,O2F=2,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,记第一次相切时为位置一,点O1,A1,C1共线时为位置二,第二次相切时为位置三, 由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,【提醒】本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识,利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键.【技法梳理】(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°,∠DAC=60°,进而得出答案;(2)首先得出,∠C1A1D1=60°,再利用A1E=AA1-OO1-2=t-2,求出t的值,进而得出OO1=3t得出答案即可;(3)①当直线AC与☉O第一次相切时,设移动时间为t1,②当直线AC与☉O第二次相切时,设移动时间为t2,分别求出即可.举一反三3. (2019·浙江宁波)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:方案一:直接锯一个半径最大的圆;方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.(1)写出方案一中圆的半径.(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?(3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.①求y关于x的函数表达式;②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.方案一方案二方案三方案四方案备用图方案备用图(第3题)【小结】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路,但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习.类型一2. (2019·浙江嘉兴)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB 上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为2;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在上,则AD=2;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是16.其中正确结论的序号是.(第2题)类型二3. (2019·广东珠海)如图,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边BC的延长线上,连接EF与边CD相交于点G,连接BE与对角线AC相交于点H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EF∥AC;(2)求∠BEF大小;.(第3题)4. (2019·浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造▱PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.(1)当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标.(2)当点C在线段OB上时,求证:四边形ADEC为平行四边形.(3)在线段PE上取点F,使PF=1,过点F作MN⊥PE,截取FM=2,FN=1,且点M,N分别在一,四象限,在运动过程中▱PCOD的面积为S.①当点M,N中有一点落在四边形ADEC的边上时,求出所有满足条件的t的值;②若点M,N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部(不包括边界)时,直接写出S的取值范围.(第4题)类型三5. (2019·湖南怀化)如图,E是长方形ABCD的边AB上的点,EF⊥DE交BC于点F.(1)求证:△ADE∽△BEF;(2)设H是ED上一点,以EH为直径作☉O,DF与☉O相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,≈1.73,π≈3.14).(第5题)6. (2019·黑龙江大庆)如图(1),已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.(1)用x表示AD和CD;(2)用x表示S,并求S的最大值;(3)如图(2),当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在☉O上,点E和点F分别是AB 和CD的中点,求☉O的半径R的值.(1)(2)(第6题)参考答案【真题精讲】(2)如图(1),过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,(第1题(1))∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°.∴△ACQ∽△CMP.(3)如图(2),仍有PM⊥BC于点M,PQ的中点设为点D,再作PE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,(第1题(2))∵∠ACB=90°,∴DF为梯形PECQ的中位线.∵BC=8,过BC的中点R作直线平行于AC,∴RC=DF=4成立.∴D在过R的中位线上.∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上.2. (1)AE=DF,AE⊥DF.理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF.∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.由于∠CDF+∠ADF=90°.∴∠DAE+∠ADF=90°.∴AE⊥DF;(2)是.(3)成立.理由如下:由(1)同理可证AE=DF,∠DAE=∠CDF,如图(1),延长FD交AE于点G,(第2题(1))则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°.∴AE⊥DF;(4)如图(2):(第2题(2)) 由于点P在运动中保持∠APD=90°,∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小,在Rt△ODC中,OC===,∴CP=OC-OP=-1.3. (1)方案一中的最大半径为1.分析如下:因为长方形的长宽分别为3,2,那么直接取圆直径最大为2,则半径最大为1.(2)如图(1),方案二中连接O1,O2,过O1作O1E⊥AB于E,方案三中,过点O分别作AB,BF的垂线,交于M,N,此时M,N恰为☉O与AB,BF的切点.方案二方案三(第3题)方案二:设半径为r.在Rt△O1O2E中,∵O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB-AO1-CO2=3-2r,∴(2r)2=22+(3-2r)2,比较知,方案三半径较大.(3)①∵EC=x,∴新拼图形水平方向跨度为3-x,竖直方向跨度为2+x.类似题(1),所截出圆的直径最大为3-x或2+x较小的.∴方案四时可取的圆桌面积最大.【课后精练】1.①②③④解析:①∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=∠C.∴△ADE∽△ACD.故①结论正确.故③正确.④易证得△CDE∽△BAD,由②可知BC=16, 设BD=y,CE=x,整理,得y2-16y+64=64-10x,即(y-8)2=64-10x,∴0<y<8,0<x<6.4.故④正确.2.①③⑤解析:①连接CD,如图(1)所示.(第2题(1))∵点E与点D关于AC对称,∴CE=CD.∴∠E=∠CDE.∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°.∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.∴∠F=∠CDF.∴CD=CF.∴CE=CD=CF.∴结论“CE=CF”正确.②当CD⊥AB时,如图(2)所示.(第2题(2))∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=8,∠CBA=30°,∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4.∵CD⊥AB,∠CBA=30°,根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2.∵CE=CD=CF,∴EF=2CD.∴线段EF的最小值为4.∴结论“线段EF的最小值为2”错误.③当AD=2时,连接OC,如图(3)所示.(第2题(3))∵OA=OC,∠CAB=60°,∴△OAC是等边三角形.∴CA=CO,∠ACO=60°.∵AO=4,AD=2,∴DO=2.∴AD=DO.∴∠ACD=∠OCD=30°.∵点E与点D关于AC对称,∴∠ECA=∠DCA.∴∠ECA=30°.∴∠ECO=90°.∴OC⊥EF.∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,∴EF与半圆相切.∴结论“EF与半圆相切”正确.④当点F恰好落在上时,连接FB,AF,如图(4)所示.(第2题(4))∵点E与点D关于AC对称,∴ED⊥AC.∴∠AGD=90°.∴∠AGD=∠ACB.∴ED∥BC.∴△FHC∽△FDE.∴DB=4.∴AD=AB-DB=4.∴结论“AD=2”错误.⑤∵点D与点E关于AC对称,点D与点F关于BC对称,∴当点D从点A运动到点B时,点E的运动路径AM与AB关于AC对称,点F的运动路径NB与AB关于BC对称.∴EF扫过的图形就是图(5)中阴影部分.(第2题(5))∴EF扫过的面积为16.∴结论“EF扫过的面积为16”正确.3. (1)∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BF.∵AE=CF,∴四边形ACFE是平行四边形.∴EF∥AC.(2)连接BG,(第3题)∵EF∥AC,∴∠F=∠ACB=45°.∵∠GCF=90°,∴∠CGF=∠F=45°.∴CG=CF.∵AE=CF,∴AE=CG.在△BAE与△BCG中,∴△BAE≌△BCG(SAS).∴BE=BG.∵BE=EG,∴△BEG是等边三角形.∴∠BEF=60°.(3)∵△BAE≌△BCG,∴∠ABE=∠CBG.∵∠BAC=∠F=45°,∴△AHB∽△FGB.(2)如图(1),连接CD交OP于点G,(第4题(1))在▱PCOD中,CG=DG,OG=PG,∵AO=PO,∴AG=EG.∴四边形ADEC是平行四边形.(3)①(Ⅰ)当点C在BO上时,第一种情况:如图(2),当点M在CE边上时,(第4题(2))∵MF∥OC,∴△EMF∽△ECO.∴t=1.第二种情况:如图(3),当点N在DE边(第4题(3))∵NF∥PD,∴△EFN∽△EPD.(Ⅱ)当点C在BO的延长线上时,第一种情况:如图(4),当点M在DE边上时,(第4题(4))∵MF∥PD,∴EMF∽△EDP.第二种情况:如图(5),当点N在CE边上时,(第4题(5))∵NF∥OC,∴△EFN∽△EOC.5. (1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=90°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB.∵∠A=∠B,∠AED=∠EFB,∴△ADE∽△BEF.(2)∵DF与☉O相切于点G, ∴OG⊥DG.∴∠DGO=90°.∵DH=OH=OG,∴∴图中阴影部分的面积约为6.2.6. (1)作AH⊥CD于点H,BG⊥CD于点G,如图(1),(第6题(1))则四边形AHGB为矩形,∴HG=AB=3x.∵四边形ABCD为等腰梯形,∴AD=BC,DH=CG.在Rt△ADH中,设DH=t,∵∠ADC=60°,∴∠DAH=30°.∴AD=2t,AH=t.∴BC=2t,CG=t.∵等腰梯形ABCD的周长为48,∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8-x.∴AD=2(8-x)=16-2x,CD=8-x+3x+8-x=16+x.(3)连接OA,OD,如图(2),(第6题(2))当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为(8-2)=6, 则AE=3,DF=9,∵点E和点F分别是AB和CD的中点,∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴.∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6.∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上.设OE=a,则OF=6-a.在Rt△AOE中,∵OE2+AE2=OA2,∴a2+32=R2.在Rt△ODF中,∵OF2+DF2=OD2,∴(6-a)2+92=R2.∴a2+32=(6-a)2+92,解得a=5.∴R2=(5)2+32=84.∴R=2.。
中考数学几何综合型题两套资料培优教学案精编
中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（一）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（0≤t≤6），那么：⑴当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？⑵求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？D CQ【思路点拨】⑴中应由△QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6－t，AP=2t，可求出t的值；⑵中四边形QAPC是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC与△PBC的面积求出；⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题．要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律．四边形QAPC的面积也可由△QAC与△CAP的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.2．（永春县校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4，动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒（1）直接写出梯形ABCD的中位线长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，使得MC=MN．【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；（3）利用MC=MN时，结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．【思路点拨】（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE；（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；（3）①运用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得，进而得出CD=8﹣6=2，在Rt△DCE中，求得，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．【总结升华】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用.举一反三：【变式】△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0︒＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．类型二、几何计算型问题4.如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E.(1) DE的长为；(2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于．【总结升华】考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系,是一道典型的几何综合题．举一反三【变式】在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是 .5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10 cm，CD=4 cm，等腰直角△PMN的斜边MN=10 cm， A点与N点重合， MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角△PMN沿AB所在直线以1 cm／s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止.(1)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由________形变化为________形；(2)设当等腰直角△PMN移动x (s)时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm2)，求y与x之间的函数关系式；(3)当x=4 (s)时，求等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.【思路点拨】（1）根据已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根据等腰直角三角形的判定判断即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根据等腰梯形的判定判断即可；（2）可分为以下两种情况：①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角△EAN，AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH 平分AN，求出EH，根据三角形的面积公式求出即可；②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面积公式求出即可.【答案与解析】(1)等腰直角三角形；等腰梯形.(2)等腰直角△PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重合部分图形的形状可分为以下两种情况：(2)【总结升华】本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，三角形的面积，平移的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围；(2)当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状.中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•天水）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B． C． D．2.如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是（）A.16B.20C.24D.28二、填空题3.（2016•海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为 m．4.如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=_____________cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．三、解答题5.有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；将直尺沿AB方向平移（如图②），设平移的长度为xcm（0≤x≤0 ），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．（1）当x=0时（如图①），S=________；（2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式；（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；（4）直接写出S的最大值．6. 问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．7.如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路AB－BC－CA 运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.⑴若r=3cm,求⊙O首次与BC边相切时，AO的长；⑵在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数；⑶设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的部分面积为S，在S＞0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.A(O)OB C8.（2015•德州）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．9.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点P是线段AB 上一个动点.设BP为x cm，△PCD的面积为y cm2．(1)求AD 的长；(2)求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？(3)在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.10.如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停下运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式.中考冲刺：几何综合问题—知识讲解（二）【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．（2016•太原校级自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请出判断判断予以证明；（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．【思路点拨】（1）结论：FG=CE ，FG ∥CE ．如图1中，设DE 与CF 交于点M ，首先证明△CBF ≌△DCE ，推出DE ⊥CF ，再证明四边形EGFC 是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE 与CF 交于点M ，首先证明△CBF ≌△DCE ，推出DE ⊥CF ，再证明四边形EGFC 是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE 与FC 的延长线交于点M ，证明方法类似．【总结升华】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，注意这类题目的解题规律，图形变了，条件不变，证明的方法思路完全一样，属于中考常考题型． 举一反三：【变式】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）， 在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ∆∽BEC ∆； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．（2015•河南模拟）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．①CF的长为；②判断AM与FM的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为，=．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．【思路点拨】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【答案与解析】【总结升华】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键． 类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形； （2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，， 求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的. 举一反三：【变式】已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是 MN上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值.中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90 得到线段5．在ABCDEF(如图1)（1）在图1中画图探究：①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了. (2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.FDCBA E图1G 2G 1P 1 H P 2【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．举一反三：【变式】已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，∠OAC=90°，AC∥OB，OA=4，AC=5，OB=6．M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当△MON的面积达到最大时，存在一种使得△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为（）A．（0，4）B．（3，4）C．（，4）D．（，3）2.如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）A B C D二、填空题3. （2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=，则AE= （提示：可过点A作BD的垂线）4.如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它_________cm．三、解答题5.（2017•莒县模拟）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM．（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．6.如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合．（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长．10.将正方形ABCD 和正方形CGEF 如图1摆放，使D 点在CF 边上，M 为AE 中点，（1）连接MD 、MF ，则容易发现MD 、MF 间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF 绕C 点旋转，使对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ，探究线段MD 、MF 的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.图3D E C F G M B A 图2CF M A B D E G图1A B G M F E D C。
中考数学复习课件练习：专题复习六 几何综合题有答案
中考数学复习课件+练习：专题复习(六) 几何综合题（有答案）专题复习(六)几何综合题类型1类比探究的几何综合题1．(2019·岳阳)问题背景：已知∠EDF的顶点D 在△ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1，△BND 的面积为S2.(1)初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD ＝2时，则S1·S2＝12；(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1·S2的值；(3)延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α.(Ⅰ)如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1·S2的表达式(结果用a，b和α的三角函数表示)；(Ⅱ)如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．解：(1)在图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC＝6，∠A＝∠B＝60°. ∵DE∥BC，∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BND＝∠EDF＝60°.∴∠BDN＝∠ADM＝60°.∴△ADM，△BDN都是等边三角形．∴S1＝34×22＝3，S2＝34×42＝4 3.∴S1S2＝12.(2)在图2中，设AM＝x，BN＝y.∵∠MDB＝∠MDN＋∠NDB＝∠A＋∠AMD，∠MDN＝∠A，∴∠AMD＝∠NDB.∵∠A＝∠B，∴△AMD∽△BDN.∴AMBD＝ADBN.∴x2＝4y.∴xy＝8.∵S1＝12AD·AM sin60°＝3x，S2＝12DB·BN sin60°＝32y，∴S 1S 2＝3x·32y ＝32xy ＝12. (3)(Ⅰ)在图3中，设AM ＝x ，BN ＝y ， 同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy ＝ab.∵S 1＝12AD·AM sin α＝12ax sin α， S 2＝12DB·BN sin α＝12by sin α， ∴S 1S 2＝14(ab)2sin 2α. (Ⅱ)在图4中，设AM ＝x ，BN ＝y ，同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy ＝ab ，∵S 1＝12AD·AM sin α＝12ax sin α， S 2＝12DB·BN sin α＝12by sin α， ∴S 1S 2＝14(ab)2sin 2α. 2．(2019·自贡)如图，已知∠AOB ＝60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA ，OB 相交于点D ，E.(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE＋OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．图1图2图3解：(1)∵OM是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝30°.∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°.∴∠OCD＝60°.∴∠OCE＝∠DCE－∠OCD＝60°.在Rt△OCD中，OD＝OC·cos30°＝32OC，同理，OE＝32OC.∴OD＋OE＝3OC.(2)(1)中的结论仍然成立．理由：过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°.∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°.同(1)的方法得OF＝32OC，OG＝32OC.∴OF＋OG＝3OC.∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB 的平分线OM上一点，∴CF＝CG.∵∠DCE＝∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG.∴△CFD≌△CGE.∴DF＝EG.∴OF＝OD＋DF＝OD＋EG，OG＝OE－EG.∴OF＋OG＝OD＋EG＋OE－EG＝OD＋OE.∴OD＋OE＝3OC.(3)(1)中的结论不成立，结论为OE－OD＝3OC.3．(2019·东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC 上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO∶CO＝1∶3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)．请回答：∠ADB＝75°，AB＝43；(2)请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝33，∠ABC ＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求DC的长．图1图2 图3解：过点B作BE∥AD交AC于点E.∵AC⊥AD，∴∠DAO ＝∠BEO＝90°.∵∠AOD ＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB.∴BODO＝EOAO＝BEDA.∵BO∶OD＝1∶3，∴EOAO＝BEDA＝13.∵AO＝33，∴EO＝ 3.∴AE＝4 3. ∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC.∴AB＝AC＝AEcos30°＝8.∴BE＝12AB＝4，AD＝3BE＝12.在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，即82＋122＝CD2，得CD＝413. 4．(2019·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．图1图2图3图4(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是AD⊥CE；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．解：(1)提示：连接AC，延长CE交AD于点H，证明△ABP≌△ACE.(2)结论仍然成立．理由：选图2，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD ＝∠CBD＝30°.∴AB＝AC.∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE.∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.(3)连接AC交BD于点O，连接CE交AD 于点H.由(2)可知，EC⊥AD，CE＝BP.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC.∵BC＝AB＝23，BE＝219，在Rt△BCE中，EC＝（219）2－（23）2＝8.∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD. ∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝8－6＝2.∴OP＝OD＋DP＝5.在Rt△AOP中，AP＝AO2＋OP2＝27，∴S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋34×(27)2＝8 3.5．(2019·烟台)【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝11，求∠APB的度数．图1图2解：【问题解决】思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，AP′＝CP＝3.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝2，∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2 BP＝2 2.∵AP＝1，∴AP2＋PP′2＝1＋8＝9.∵AP′2＝32＝9，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝90°＋45°＝135°.【类比探究】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1，AP′＝CP＝11.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝1，∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2 BP＝ 2.∵AP＝3，∴AP2＋PP′2＝9＋2＝11.∵AP′2＝(11)2＝11，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′－∠BPP′＝90°－45°＝45°.6．(2019·黄石)在△ABC中，E，F分别为线段AB，AC上的点(不与A，B，C重合)．(1)如图1，若EF∥BC，求证：S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC；(2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；(3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB＝34，求S△AEFS△ABC的值．图1图2图3 解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴AEAB＝AFAC.∴S△AEFS△ABC＝(AEAB)2＝AEAB·AFAC＝AE·AFAB·AC.(2)若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立．分别过点F，C作AB的垂线，垂足分别为N，H.∵FN⊥AB，CH⊥AB，∴FN∥CH.∴△AFN∽△ACH.∴FNCH＝AFAC.∴S△AEFS△ABC＝12AE·FN12AB·CH＝AE·AFAB·AC.(3)连接AG并延长，交BC于点M，连接BG并延长，交AC于点N，连接M，N，则M，N分别是BC，AC的中点，∴MN∥AB，且MN＝12AB.∴GM GA ＝GN GB ＝12，且S △ABM ＝S △ACM . ∴AG AM ＝23. 设AF AC＝a ， 由(2)知，S △AEG S △ABM＝AE·AG AB·AM ＝34×23＝12， S △AFG S △ACM ＝AG·AF AM·AC ＝23a ， 则S △AEF S △ABC ＝S △AEG ＋S △AFG 2S △ACM ＝S △AEG 2S △ABM ＋S △AFG 2S △ACM＝14＋13a. 而S △AEF S △ABC ＝AE·AF AB·AC ＝34a ， ∴14＋13a ＝34a ，解得a ＝35. ∴S △AEF S △ABC ＝34×35＝920. 7．(2019·河南)(1)问题发现如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 相交于点M.填空：①AC BD的值为1； ②∠AMB 的度数为40°；(2)类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M.若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．图1图2 图3解：(2)AC BD＝3，∠AMB ＝90°. 理由如下：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD＝30°，∴CODO＝AOBO＝3，∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.∴△AOC∽△BOD.∴ACBD＝CODO＝3，∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝90°，∴∠DBO＋∠ABD＋∠BAO＝90°.∴∠CAO＋∠ABD＋∠BAO＝90°.∴∠AMB＝90°.(3)AC的长为23或3 3.提示：在△OCD旋转的过程中，(2)中的结论仍然成立，即ACBD＝3，∠AMB＝90°.如图所示，点C与点M重合，AC1，AC2的长即为所求．8．(2019·淄博)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG＝NG；位置关系是MG⊥NG；(2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由；(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN 的形状，并给予证明．图1图2图3解：(1)连接BE，CD相交于点H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.∴∠CAD＝∠BAE.∴△ACD≌△AEB(SAS)．∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE.∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°.∴∠BHD＝90°.∴CD⊥BE.∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG//12CD.同理NG//12BE.∴MG＝NG，MG⊥NG.故答案为MG＝NG，MG⊥NG.(2)连接CD，BE，相交于点H，同(1)的方法得，MG＝NG，MG⊥NG.(3)连接EB，DC，延长线相交于点H，同(1)的方法得，△ABE≌△ADC，MG＝NG.∴∠AEB＝∠ACD.∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°.∴∠DHE＝90°.同(1)的方法得，MG⊥NG.类型2与图形变换有关的几何综合题1．(2019·襄阳)如图1，已知点G在正方形ABCD 的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD, 垂足为F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为2；(2)探究与证明：将四边形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：四边形CEGF在旋转过程中，当B，E，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝22，则BC＝35．图1图2图3解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°.∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG ＝45°.∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．(2)连接CG，由旋转性质可知，∠BCE＝∠ACG＝α.在Rt△CEG和Rt△CBA中，CECG＝cos45°＝22，CBCA＝cos45°＝22.∴CGCE＝CACB＝ 2.又∵∠ECG＝∠ECA＝∠ACB－∠ECA，即∠ACG＝∠BCE，∴△ACG∽△BCE.∴AGBE＝CACB＝ 2.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝2BE.2．(2019·仙桃)问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC＋EC；探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°.若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．图1图2 图3解：探索：BD 2＋CD 2＝2AD 2.连接CE.∵∠BAD ＋∠DAC ＝90°＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE.∵Rt △ABC 与Rt △ADE 是等腰直角三角形，∴DE 2＝2AD 2.∴∠B ＝45°.∴∠ACB ＋∠ACE ＝45°＋45°＝90°.∴∠DCE＝90°.∴DC2＋CE2＝DE2，即BD2＋CD2＝2AD2.应用：以AD为腰作等腰Rt△ADE，连接CE，由“探索”可知，△ABD≌△ACE(SAS)．∴CE＝BD＝9.∵∠ADC＝∠ADE＝45°，∴∠EDC＝90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝92－32＝6 2.在等腰Rt△ADE中，AD＝22DE＝6.3．(2019·宜昌)在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F.(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；(2)如图2，①求证：BP＝BF；②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB 的值；③当BP＝9时，求BE·EF的值．图1 图2 图2备用图解：(1)证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，∵点E 是AD 中点，∴AE ＝DE.在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠A ＝∠D ＝90°，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC(SAS )．(2)①证明：在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°. ∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC. ∵BE ⊥CG ，∴BE ∥PG.∴∠GPF ＝∠PFB.∴∠BPF ＝∠PFB.∴BP ＝BF.②当AD ＝25时，∵∠BEC ＝90°，∴∠AEB ＋∠PEC ＝90°. ∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∴∠DEC ＝∠ABE.∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEC.∴AB AE ＝DE DC.设AE＝x，则DE＝25－x，∴12x＝25－x12.∴x＝9或x＝16.∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16.∴由勾股定理，得CE＝20，BE＝15.由折叠得，BP＝PG，BC＝GC，∴BP＝BF ＝PG.∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP.∴EFGP＝CECG.设BP＝BF＝PG＝y，∴15－yy＝2025.∴y＝253，即BP＝253.在Rt△PBC中，由勾股定理，得PC＝25103，cos∠PCB＝BCPC＝31010.③连接FG，∵∠GEF＝∠G＝90°，∴BE∥PG. ∵BF∥PG，BF＝PG＝BP，∴四边形BPGF是菱形．∴BP∥GF，且BP＝GF.∴∠GFE＝∠EBA. ∴△GEF∽△EAB.∴EFGF＝ABEB.∴BE·EF＝AB·GF＝AB·BP＝12×9＝108. 4．(2019·永州)如图1，在△ABC中，矩形EFGH 的一边EF在AB上，顶点G，H分别在BC，AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I.若CI＝4，HI＝3，AD＝92，矩形DFGI恰好为正方形．图1图2图3(1)求正方形DFGI的边长；(2)如图2，延长AB至P，使得AC＝CP.将矩形EFGH沿BP的方向平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？(3)如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG，DB相交于点M，N，求△MN G′的周长．解：(1)∵HI∥AD，∴HIAD＝CICD.∴392＝4CD.∴CD＝6.∴ID＝CD－CI＝2.∴正方形的边长为2.(2)如图2，设点G落在PC上时对应的点为点G′，点F的对应点为点F′.∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P.∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P.∴∠CHG′＝∠CG′H.∴CH＝CG′.∴IH＝IG′＝DF′＝3.∵IG∥DB，∴IGDB＝CICD.∴2DB＝46.∴DB＝3.∴DB＝DF′＝3.∴点B与点F′重合．∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是三角形，即△BGG′.(3)将△DMI′绕点D顺时针旋转90°得到△DRF′，此时N，F′，R共线．∴∠MDR＝90°.∵∠NDM＝45°，∠NDM＋∠NDR＝90°，∴∠NDM＝∠NDR＝45°.∵DN＝DN，DM＝DR，∴△NDM≌△NDR.∴MN＝NR＝NF′＋RF′＝NF′＋MI′.∴△MNG′的周长＝MN＋MG′＋NG′＝NF′＋NG′＋MI′＝F′G′＋I′G′＝2I′G′＝4. 5．(2019·岳阳)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD 所在的直线对折，使点B落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD交BB′于点E，设∠ABC＝2α.(0°＜α＜45°)(1)如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；(2)如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系；(用含α的式子表示)(3)如图3，将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α＋45°)，得到线段FC，连接EF交BC 于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求S1S2.(用含α的式子表示)图1图2图3解：(1)证明：∵点B，B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE＝EB′.∴∠DEB＝∠DAC＝90°.∵∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACD.∵AB＝AC，∠BAB′＝∠CAD＝90°，∴△BAB′≌△CAD.∴CD＝BB′＝2BE.(2)如图2，结论：CD＝2BE·tan2α.理由：由(1)可知，∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，∴△BAB′∽△CAD.∴BB′CD＝ABAC＝1tan2α.∴2BECD＝1tan2α.∴CD＝2BE·tan2α.(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°－2α.∵EC平分∠ACB，∴∠ECB＝12(90°－2α)＝45°－α.∵∠BCF＝45°＋α，∴∠ECF＝45°－α＋45°＋α＝90°. ∴∠BEC＋∠ECF＝180°.∴BB′∥CF.∴△BEO∽△CFO.∴EOFO＝BECF＝BEBC＝sin(45°－α)．∵S1S2＝EOFO，∴S1S2＝sin(45°－α)．6．(2019·潍坊)如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB 于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB 于点F，AB＝6，DH＝4，BF∶FA＝1∶5.(1)如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B.①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值；(2)如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．图1图2图3解：(1)①在▱ABCD中，AB＝6，直线EF 垂直平分CD，∴DE＝FH＝3.又BF∶FA＝1∶5，∴BF＝1，FA＝5.∴AH＝2.∵Rt△AHD∽Rt△MHF，∴HMFH＝HAHD.∴HM3＝24.∴HM＝3 2.根据平移的性质，得MM′＝CD＝6，∴S四边形BHMM′＝S△BMM′＋S△BHM＝12×6×32＋12×4×32＝15 2.②连接CM交直线EF于点N，连接DN. ∴CN＝DN.∵MH＝32，∴DM＝52.在Rt△CDM中，MC2＝DC2＋DM2.∴MC2＝62＋(52)2，即MC＝132.∵MN＋DN的最小值＝MN＋CN＝MC，∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE，∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE，∴QFQF＋4＝BFCE＝13.∴QF＝2.∴PK＝PK′＝6.过点K′作E′F′∥EF，分别交CD于点E′，交QK于点F′.当点P在线段CE上时，在Rt△PK′E′中，PE′2＝PK′2－E′K′2，∴PE′＝2 5.∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q，∴PE′K′F′＝E′K′F′Q.∴252＝4F′Q.∴F′Q＝45 5.∴PE＝PE′－EE′＝25－455＝655.∴CP＝CE－PE＝15－655.同理可得，当点P在线段ED上时，CP＝15＋655.综上可得，CP的长为15－655或15＋655.类型3与动点有关的几何综合题1．(2019·黄冈)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C 在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长度的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB 于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t＝2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．解：(1)当t＝2时，OM＝2，在Rt△OPM中，∠POM＝60°，∴PM＝OM·tan60°＝2 3.在Rt△OMQ中，∠QOM＝30°，∴QM＝OM·tan30°＝23 3.∴PQ ＝PM －QM ＝23－233＝433. (2)由题意，得8＋(t －4)＋2t ＝24，解得t ＝203. (3)①当0＜t ＜4时，S ＝12·2t·43＝43t ； ②当4≤t ＜203时，S ＝12×[8－(t －4)－(2t －8)]×43＝403－63t ；③当203≤t ＜8时，S ＝12×[(t －4)＋(2t －8)－8]×43＝63t －403；④当8≤t ≤12时，S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △PCN＝323－12(24－2t)×43－12×[8－(t －4)]×43－12(t －4)×32[8－(24－2t)] ＝－32t 2＋123t －56 3. 综上，S ＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧43t ；（0＜t ＜4）403－63t ；（4≤t ＜203）63t －403；（203≤t ＜8）－32t 2＋123t －56 3.（8≤t ≤12） 2．(2019·青岛)已知：如图，四边形ABCD ，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm ，CD ＝8 cm .动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm /s .点P 和点Q 同时出发，以QA ，QP 为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为t(s )，0＜t ＜5.根据题意解答下列问题：(1)用含t 的代数式表示AP ；(2)设四边形CPQB 的面积为S(cm 2)，求S 与t 的函数关系式；(3)当QP ⊥BD 时，求t 的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点E 在∠ABD 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则四边形DHBC 是矩形，∴CD ＝BH ＝8，DH ＝BC ＝6.∴AH ＝AB －BH ＝8，AD ＝DH 2＋AH 2＝10，BD ＝CD 2＋BC 2＝10.∴AP ＝AD －DP ＝10－2t.(2)过点P 作PN ⊥AB 于点N ，连接PB. 在Rt △APN 中，PA ＝10－2t ，∴PN ＝PA·sin ∠DAH ＝35(10－2t)，AN ＝PA·cos ∠DAH ＝45(10－2t)． ∴BN ＝16－AN ＝16－45(10－2t)， S ＝S △PQB ＋S △BCP ＝12·(16－2t)·35(10－2t)＋12×6×[16－45(10－2t)]＝65t 2－545t ＋72(0＜t ＜5)． (3)当PQ ⊥BD 时，∠PQN ＋∠DBA ＝90°， ∵∠QPN ＋∠PQN ＝90°，∴∠QPN ＝∠DBA.∴tan ∠QPN ＝QN PN ＝34.∴45（10－2t）－2t35（10－2t）＝34.解得t＝3527.经检验，t＝3527是分式方程的解，∴当t＝3527s时，PQ⊥BD.(4)存在．理由：连接BE交DH于点K，过点K作KM⊥BD于点M.当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，∴KH＝KM，BH＝BM＝8.设KH＝KM＝x，在Rt△DKM中，(6－x)2＝22＋x2，解得x＝8 3.过点E作EF⊥AB于点F，则△AEF≌△QPN，∴EF＝PN＝35(10－2t)，AF＝QN＝45(10－2t)－2t，∴BF ＝16－[45(10－2t)－2t]． ∵KH ∥EF ，∴KH EF ＝BH BF. ∴8335（10－2t ）＝816－[45（10－2t ）－2t].解得t ＝2518. 经检验，t ＝2518是分式方程的解． ∴当t ＝2518s 时，点E 在∠ABD 的平分线上．3．(2019·绵阳)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(－3，0)．动点M ，N 同时从A 点出发，M 沿A →C ，N 沿折线A →B →C ，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C 时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t 秒，连接MN.(1)求直线BC 的解析式；(2)移动过程中，将△AMN 沿直线MN 翻折，点A 恰好落在BC 边上点D 处，求此时t 值及点D 的坐标；(3)当点M ，N 移动时，记△ABC 在直线MN 右侧部分的面积为S ，求S 关于时间t 的函数关系式．备用图解：(1)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧b ＝4，－3k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝4.∴直线BC 的解析式为y ＝43x ＋4. 图1(2)如图1，连接AD 交MN 于点O′.由题意可知，四边形AMDN 是菱形，M(3－t ，0)，N(3－35t ，45t)， ∴O′(3－45t ，25t)，D(3－38t ，45t)． ∵点D 在BC 上，∴45t ＝43×(3－85t)＋4，解得t ＝3011. ∴t ＝3011s 时，点A 恰好落在BC 边上点D 处，此时D(－1511，2411)． 图2(3)如图2，当0＜t ≤5时，△ABC 在直线MN 右侧部分是△AMN ，S ＝12×t ×45t ＝25t 2； 如图3，当5＜t ≤6时，△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.图3S ＝S △ABC －S △CMN ＝12×6×4－12×(6－t)×[4－45(t －5)]＝－25t 2＋325t －12. 4．(2019·广东)已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC.(1)填空：∠OBC ＝60°；(2)如图1，连接AC ，作OP ⊥AC ，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止．已知点M的运动速度为单位长度/秒，点N的运动速度为1单位长度/秒．设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时，y取得最大值？最大值为多少？(结果可保留根号)图1图2备用图解：(2)∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA＝12OB＝2，AB＝3OA＝2 3.∴S△AOC ＝12OA·AB＝12×2×23＝2 3.∵△BOC是等边三角形，∴BC＝BO＝4.∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO＋∠OBC ＝90°.∴AC＝AB2＋BC2＝27.∴OP＝2S△AOCAC＝4327＝2217.(3)①当0＜x ≤83时，点M 在OC 上运动，点N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E.则NE ＝ON·sin 60°＝32x ， ∴y ＝12OM·NE ＝12××32x ，即y ＝338x 2. ∴当x ＝83时，y 有最大值，最大值为833. ②当83＜x ≤4时，点M 在BC 上运动，点N 在OB 上运动．图3过点M 作MH ⊥OB 于点H.则BM ＝8－，MH ＝BM·sin 60°＝32(8－1.5x)， ∴y ＝12ON·MH ＝－338x 2＋23x. ∵当x ＝83时，y 取最大值，∴y ＜833. ③当4＜x ≤时，点M ，N 都在BC 上运动，过点O作OG⊥BC于点G.则MN＝12－，OG＝AB＝23，图4∴y＝12MN·OG＝123－532x.∵当x＝4时，y有最大值，∴y＜2 3.综上所述，y有最大值，最大值为83 3.类型4与实践操作有关的几何综合题1．(2019·齐齐哈尔)折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观．折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C 和AD相交于点E，连接B′D.图1图2解决问题(1)在图1中．①B′D和AC的位置关系为B′D∥AC(互相平行)；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；(2)若图1中的矩形变为平行四边形(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长和宽之比为1∶1或3∶1．拓展应用(4)在图2中，若∠B＝30°，AB＝43，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为4或6或8或12．解：结果仍成立．①选择结论①证明．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠DAC＝∠BCA.由折叠性质，得BC＝B′C，∠BCA＝∠ACB′，∴∠DAC＝∠ACB′，B′C＝AD.∴AE＝CE，∴B′E＝DE.∴∠CB′D＝ADB′.∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD，∴∠ADB′＝∠DAC.∴B′D∥AC.②选择结论②证明．设点E的对应为点F，连接AF.由折叠性质，得AE＝AF，CE＝CF.由①知AE＝CE，∴AE＝CE＝AF＝CF.∴四边形AECF是菱形．2.(2019·山西)综合性实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM，试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴EMDM＝EBAB.(依据1)∵BE＝AB，∴EMDM＝1.∴EM＝DM，即AM是△ADE的DE边上的中线．又∵AD＝AE，∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.反思交流：(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE 的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图3，连接CE，以CE为一边在CE 的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B 都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．图1图2 图3解：(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)．②点A在线段GF的垂直平分线上．(2)证明：过点G作GH⊥BC于点H.∵四边形ABCD为矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°.∴∠BCE＋∠BEC＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90°.∴∠BCE＋∠BCG＝90°.∴∠BEC＝∠BCG.∴△GHC≌△CBE(AAS)．∴HC＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC.∴HC＝BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上．(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上)．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°.∴四边形BENM 为矩形．∴BM＝EN，∠CEB＋∠CEN＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°.∴∠CEN＋∠FEN＝90°.∴∠CEB＝∠FEN.∴△ENF≌△EBC(AAS)．∴NE＝BE.∴BM＝BE.。
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握几何图形的性质和判定方法；（2）提高解题能力，熟练运用几何知识解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过复习，使学生掌握几何图形的性质和判定方法；（2）培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）几何图形的性质和判定方法；（2）解题策略和技巧。
2. 教学难点：（1）复杂图形的分析和解题；（2）灵活运用几何知识解决实际问题。
三、教学过程1. 复习导入：（1）回顾上一节课的内容，进行简要复习；（2）引导学生思考本节课将要学习的内容，激发学习兴趣。
2. 知识梳理：（1）讲解几何图形的性质和判定方法；（2）通过例题，演示解题过程，让学生掌握解题技巧。
3. 课堂练习：（1）设计具有代表性的练习题，让学生独立完成；（2）引导学生分析题目，找出解题关键，培养学生解决问题的能力。
4. 拓展提高：（1）提供一些综合性的题目，让学生思考和讨论；（2）引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
（2）听取学生的反馈，及时调整教学方法和策略。
四、课后作业1. 完成教材后的练习题；2. 选择两道具有挑战性的题目进行练习；五、教学评价1. 学生课堂参与度；2. 学生练习题完成情况；3. 学生对几何知识的掌握程度；4. 学生运用几何知识解决问题的能力。
六、教学策略与方法1. 采用案例分析法，结合实际题目，讲解几何图形的性质和判定方法；2. 运用数形结合法，引导学生直观地理解几何知识；3. 采用问题驱动法，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；4. 组织小组讨论，发挥学生的合作精神，提高学生的交流能力。
七、教学资源1. 教材：中考数学总复习几何部分；2. 课件：几何图形性质和判定方法的相关图片和动画；3. 练习题：具有代表性的几何题目；4. 教学视频：讲解几何解题技巧的案例分析。
中考数学总复习几何部分教案教案
中考数学总复习几何部分教案一、教学目标1. 知识与技能：巩固初中阶段几何基本概念、性质、定理和公式，提高解题能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生掌握几何知识间的联系，形成知识体系。
3. 情感、态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
二、教学内容1. 第一章：平面几何基本概念点、线、面的位置关系平行线、相交线垂直和平行线的性质2. 第二章：三角形三角形的分类三角形的性质三角形的证明3. 第三章：四边形四边形的分类四边形的性质特殊的四边形（矩形、菱形、正方形）4. 第四章：圆圆的基本性质圆的周长和面积弧、弦、圆心角的关系5. 第五章：几何变换平移旋转轴对称三、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与学习过程。
2. 利用几何模型、图示等直观教具，帮助学生理解几何概念和性质。
3. 注重培养学生的逻辑思维能力和解题技巧，引导学生运用几何知识解决实际问题。
四、教学评价1. 定期进行课堂测试，检查学生对几何基本概念、性质、定理和公式的掌握情况。
2. 组织课后作业，督促学生巩固所学知识。
3. 结合期末考试，全面评估学生在本部分的学习成果。
五、教学计划1. 课时安排：每个章节安排4课时，共20课时。
2. 教学进度：按照教材顺序，逐章节进行复习。
3. 复习方法：课堂讲解与练习相结合，课后进行巩固复习。
六、教学内容6. 相似三角形与全等三角形相似三角形的性质全等三角形的判定与性质三角形相似和全等的应用7. 第五章：圆圆的切线圆的割线圆与圆的位置关系8. 立体几何棱柱、棱锥、棱台的性质立体图形的表面面积和体积平面与立体图形的截面9. 几何概率几何概率的定义几何概率的计算几何概率在实际问题中的应用10. 综合复习与应用分析中考数学几何部分的重点、难点、热点问题指导学生进行中考模拟试题训练分析学生答题情况，进行针对性的辅导七、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与学习过程。
初中数学几何综合教案
初中数学几何综合教案【教学内容】本节课主要讲解初中数学几何综合题，综合题主要涉及几何图形的性质、几何图形的变换、几何图形的计算等方面。
通过综合题的讲解，使学生掌握解题思路和方法，提高解决问题的能力。
【教学重点、难点】1. 重点：掌握几何综合题的解题思路和方法。
2. 难点：解决几何综合题中的关键步骤和技巧。
【教学过程】第一讲：几何综合题概述1. 引入：让学生回顾之前学过的几何知识，如线段、三角形、四边形、圆等基本图形的性质和计算。
2. 讲解：讲解几何综合题的定义和特点，举例说明几何综合题的类型和难度。
3. 互动：让学生举例说说自己遇到过的几何综合题，共同讨论解决方法。
第二讲：解题思路与方法1. 引入：讲解解题思路的重要性，让学生明白解题的关键在于找到合适的解题思路。
2. 讲解：介绍几种常见的解题思路和方法，如画图法、列举法、转化法、方程法等。
3. 互动：让学生尝试解决一些简单的几何综合题，引导他们运用所学的解题方法。
第三讲：典型题解析1. 引入：选取一些典型的几何综合题，让学生观察题目的特点和需求。
2. 讲解：分析典型题的解题步骤和关键点，引导学生思考如何解决类似的问题。
3. 互动：让学生分组讨论和解答典型的几何综合题，交流解题心得和经验。
第四讲：实战演练与总结1. 引入：让学生运用所学的解题方法和技巧，解决一些实际的 geometric problems。
2. 讲解：分析解题过程中的常见错误和困惑，引导学生总结经验教训。
3. 互动：让学生分享自己解决的geometric problems，讨论解题过程中的心得和体会。
【教学评价】通过本节课的学习，学生能理解几何综合题的定义和特点，掌握解题思路和方法，提高解决问题的能力。
同时，培养学生的逻辑思维、创新能力和团队协作能力。
【教学反思】在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，针对不同学生的需求进行指导和帮助。
同时，通过典型题解析和实战演练，让学生更好地理解和运用所学的解题方法。
《中考专题复习——几何综合》教学设计
《中考专题复习——几何综合》教学设计学情说明【适用对象】用于完成中考第一阶段复习后需要综合提高的九年级学生.【设计思想】几何综合是中考数学中的必考题型，最近几年广东省题的第 24 题几何综合题都是圆与三角形、四边形的综合，主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答，题目难度系数较大，是每一届中考考生的绊脚石之一.其所考查的内容及方法都是初中几何学习的核心内容及重要方法,是课程学习效果及评价的重要体现.由于这类题目分值较大，要想在中考中取得较高的分数，考生在备考过程中必须强化训练．【教学目标】1.让学生熟练掌握初中几何基础知识；2.让学生学会综合运用几何知识解决复杂背景下的几何问题.【过程与方法】1.通过回顾梳理，使学生进一步熟悉几何基础知识；2.通过典例分析，让学生体会如何综合处理复杂问题;3.通过当堂训练,让学生学以致用,提升解题能力;【教学重点、难点】重点：让学生掌握常规的证题方法和思路;难点：灵活运用数学思想方法分析处理复杂图形中的各种关系.教学建议1.教师要注重知识储备，教师自身需要拥有大量的知识储备和提高解题能力。
通过把近几年中考题都做一遍,做到心中有数,了解中考题型的分布,重点考查的知识点有哪些,解答题的步骤及得分点是什么.通过了解清楚这些,教师可以选择有针对性的题目和重点知识对学生.2.教学时,认真研究本班学生的实际,实施分层教学,对不同的学生,确定不同的教学目标,这样才能达到最好的教学效果.3.在中考复习过程中,教师要注重数学思想方法的渗透,加强通性通法的指导与训练,培养学生的数学思维能力.解题后要注意引导学生反思,研究问题解决过程中的思想方法,思维方式,把数学教学过程转化为数学思维活动过程,从而提高学生理性思维能力.教学过程2.1基础知识回顾以提问、口答形式回顾以下知识点：1.与三角形有关的主要知识点；2.等腰三角形的性质；3.直角三角形的性质与三角函数；4.平行四边形的性质；5.全等三角形，相似三角形的性质与判定；6.垂径定理，切线的性质与判定，与正多边形有关的计算；7.弧长公式与扇形面积公式.功能分析：几何型综合问题，常常涉及到以上各部分的知识，通过此环节回顾,让学生进一步熟练掌握初中几何基础知识，为综合运用打下基础。
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几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点：⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．⑵ 掌握常规的证题方法和思路．⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD ⊥BC ． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠DAC ． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ．故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ．点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ．故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ．又 BD ＝CD ＝21BC ＝6， 根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯．化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．则 BF 的长为2．点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。
证明：因为∠ABD ＝∠ACD ，∠BDE ＝∠CDE而∠BDE ＝∠ABD ＋∠BAD ，∠CDE ＝∠ACD ＋∠CAD 所以 ∠BAD ＝∠CAD ，而∠ADB ＝180°－∠BDE ∠ADC ＝180°－∠CDE ，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB 和△ADC 中，∠BAD ＝∠CAD AD ＝AD∠ADB ＝∠ADC所以 △ADB ≌△ADC 所以 BD ＝CD 。
（注：用“AAS ”证三角形全等，同样给分）点拨：要想证明BD=CD ，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS ”来证明．【例3】（内江，10分）如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32，A 为弧BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。
求：四边形ABCD 的面积。
解:连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。
⎭⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧ABCD1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 2∆⇒=⋅=ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形【例4】（博兴模拟，10分）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．解：不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2．828． 图2－4－4（4）中，延长EF 交BC 于H ，由 ∠FBH ＝30°，BH=12 ，利用勾股定理，可求得121FH EF FH ∴=-=所以⑷中线路总长为：4EF+EF=4(11 2.732.-=+≈显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．【例5】（绍兴）如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH ⊥BE 于H ，连结EF 。
⑴求证：∠CEF ＝∠BAH,⑵若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。
⑴证明：∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠CEF=∠EBC ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°∴∠ABE+∠EBC=90°，∵AH 丄BE ，∴∠ABE+∠BAH=90° ∴∠BAH=∠EBC ，∴∠CEF ＝∠BAH⑵解： ∵CE 切⊙O 于E ∴CE 2=CF ·BC ，BC=2CE=6∴CE 2=CF ·6，所以CF= 32 ∴BF=BC-CF=6－32 =92点拨：熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．Ⅲ、综合巩固练习：（100分；90分钟） 一、选择题（每题3分，共21分）1．如图2－4－6所示，是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1．2米， 桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0．036π平方米;B ．0．81π平方米;C ．2π平方米;D 、3．24π平方米2．某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案，其中使花坛面积最大的 图案是（ ） A ．正三角形; B ．正方形; C ．圆; D ．不能确定3．下列说法：①如果两个三角形的周长之比是1：2，那么这两个三角形的面积之比是1：4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有且只有一个圆；④相等的角是对顶角，其中错误是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．等腰三角形的一个内角为70°，则这个三角形其余的内角可能为（ ） A ．700，400 B ．700，550C ．700，400或550，55D ．无法确定5．如图2－4－7所示，周长为68的矩形被分成了7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．98B ．196;C ．280D ．2846．在△ABC 中，若2|sin 1|cos )0A B -+-=，则∠C 的度数为（ ） A ．60oB ．30 oC ．90 oD ．45 o7．下列命题中是真命题的个数有（ ）⑴直角三角形的面积为2，两直角边的比为1。
2，则它的斜边长为10 ；⑵直角三角形的最大边长为 3 ，最短边长为l ，则另一边长为 2 ；（3）在直角三角形中，若两条直角边为n 2－1和2n ，则斜边长为n 2＋1；⑸等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（每题3分，共27分）8．如图2－4－8所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC= 3 cm ．将△ABC 绕点B 旋转至△A ′BC ′的位置，且使点A 、B 、C ′三点在一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是_____．9．若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为346,,,S S S 则346,,,S S S 由大到小的排列顺序是：__________.10若菱形的一个内角为60°，边长为4，则它的面积是__________．11 已知数4，6，请再写出一个数，使这三个数中一个数是另外两个数的比例中项，这个数是________（只需填写一个数）．12一油桶高 0．8m ，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口（小口靠近上壁）斜插入桶内，一端到桶底内壁，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0．87m ，则桶内油面的高度为__________.13 等腰三角形底边中点与一腰的距离为5cm ，则腰上的高为__________cm ．14 在平坦的草地上有 A 、B 、C 三个小球，若已知 A 球和 B 球相距3米，A 球与C 球相距1米，则B 球与C 球可能相距________米．（球的半径可忽略不计，只要求填出一个符合条件的数）15 如果圆的半径为3cm，那么60°的圆心角所对的弧长为____cm．16 如图2－4－9所示，在正方形 ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都垂直于 AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知 SΔAIJ=1，则S正方形ABCD=______.三、解答题（每题13分，52分）17. 已知：如图 2－4－10所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，点D为BA上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．18. 今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可以忽略不计，请设计三种不同的修路方案，画图并简述步骤．19. 如图 2－4－11所示，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l 上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60○，∠BPO=30○，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字）并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度．20. 如图2－4－12所示，EF为梯形ABCD的中位线．AH平分∠DA B交EF于M，延长DM交AB于N．求证：AADN是等腰三角形．。