几何概型经典练习题

........ 最新资料推荐 ......几何概型题目选讲1 •在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC , CB 的长，则该矩形面积1124 小于 32 cm 2 的概率为()A.1B.1C.2D.4 63 352.已知圆C ： x 2 y 2 =12,丨：4x ・3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A) 的值。

1解：P(A)=-60< x < 23 .设不等式组 表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概0< y w 2率是4 .在区间［0,9］上随机取一实数X ,则该实数x 满足不等式1W log 2x w 2的概率为 _______________ .2 解析：由1 w log 2x w 2,得2w x w 4，根据区间长度关系，得所求概率为-.5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 _____________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m w — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6wm w2 + 9 11-4或0w m w 9,因此所求概率P =荷6 .甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；⑵如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为 2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ,贝U 0w x v 24,0w y v 24且y — x > 4或y — x w — 4.0w x v 24,作出区域 0w y v 24,y — x > 4或 y — x v — 4.24 X 24 36'⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? O v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率P = 4 — °+-12— 8122 3.解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心,2为半径的圆内及圆上,O w x < 2, O w y w 2表示的区域D为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为nX 4 4 —4 _ 4— n 4_ 4 .设“两船无需等待码头空出”为事件2 X ^X 20 X 202 25 A ，贝U P(A)=.................... 最新资料推荐 .....................................1 1X 20 X 20+— X 22 X 22 2 ___ 2 442 22124 X 24 — 576— 288.2 2• k<0，故k € ( — 1,0)，其区间长度为1，因为k € [— 2,2 L 其区间长度为4，所以P =错误！未找到引用源。

. 8.已知k € [ — 2,2]，贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x 2 + y 2+ kx — 2y — = 0相切的概率等于 _____解析：•••圆的方程化为 x + k2+2 5k k 22 (y — 1)2 = 4 + 4 + 1, • 5k + k 2 + 4>0,二 kv — 4 或 k> — 1. •••过 A(1,1)可以作两条 直线与圆 x + 2 2+ (y — 1)2= 5k + k_ + i 相切，•. A(1,1)在圆外，得 1 + 2 2+ (1 — 1)2>号 + 号 + 1,1• k<0，故k € (— 1,0)，其区间长度为1，因为k € [ — 2,2]，其区间长度为 4,•• P =-. x + 2 '9 .已知集合 A = {x|— 3<xv1} , B = x x —3<0 E(1)求 A n B , A U B ; ⑵在区间(一4,4)上任取一个实数 x ,求“ x € A n B ”的概率； ⑶设(a , b)为有序实数对，其中 a 是从集合A中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b — a € A U B ”的概率.解：(1)由已知 B = {x| — 2vxv3}, A n B = {x|— 2<x<1}, A U B = {x|— 3<x<3}. ⑵设事件“x € A n B ”的概率为P 1,这是一个几何概型，则P 1=三8⑶因为 a , b € Z ,且 a € A , b € B ,所以，基本事件共 12 个：(一2, — 1), (— 2,0), (— 2,1), (— 2,2), (— 1,— 1), (— 1,0), (— 1,1), (— 1,2), (0, — 1), (0,0) , (0,1), (0,2) •设事件 E 为 “ b — a € A U B ”，则事件 E 中包含 993个基本事件，事件 E 的概率P(E)=-=-.12 410•袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个•已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是 2的小球的概率是1.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球标号为a ,第二次取出的小球标号为b.①记事件A 表示“ a + b = 2”，求事件 A 的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x , y ,求事件“ x 2+ y 2>(a — b)2恒成立”的概率.n 1—一解: (1)由题意可知：1+1+ n = 2解得n = 2.(2)①不放回地随机抽取 2个小球的所有基本事件为：(0,1) ,0,21),(0,22), (1,0), (1,21), (1,22), (21,0), (21,1), (21,22), (22,0), (22,1), (22,2)共 12 个，事件 A 包含的基本事件为： (0,21), (0,22), (21,0), (22,0)，共 4个.二 P(A)= ± =寸.②记 “x 2+ y 2>(a — b)2恒成立”为事件 B ,则事件 B 等价于12 3“2 2“ x + y >4” , (x , y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域Q= {(x , y)|0< x < 2,0< y < 2, x , y € R},0 < X V 24 , 0 < y v 24, y — x >4或x — y >2.7.知k € [— 2,2 ],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x + y + kx — 2y —错误！未找到引用源。

k = 0 相切的概率等于 _ 【来【解析】••••圆的方程化为 错误！未找到引用源。

，••• 5k + k 2 + 4>0,二k<— 4或k> — 1. •••过A(1,1)可以作两条直线与圆 错误！未找到引用源。

相切，• A(1,1)在圆外，得错误！未找到引用源。

，2 2S B 2 X 2 — n n 而事件 B 所构成的区域B= {(x, y)y+ f>4 , (x, y) € 0}, • P( B) = =2X 2= 1 —最新资料推荐11、已知圆C : x2+ y2 = 12,设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点 N ,连接MN.”求弦MN 的长超过2 6的概率.解：如图，在图上过圆心 0作0M 丄直径CD.则MD = MC = 2 6•当N 点不在半圆弧 CM D 上时，MN >2 6.12. (1)已知A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点 A',则AA'的长度小于半径的概率为⑵在Rt △ ABC 中，/ BAC = 90° AB = 1 , BC = 2在BC 边上任取一点 M ，则/ AMA 90。

的概率为 ________________________________________________________________________________________解析：(1)如图，满足AA 的长度小于半径的点 A'位于劣弧BA C 上，其中△ ABO 和厶ACO2n为等边三角形，可知/ BOC =字，故所求事件的概率 P = :3=丄3 2 n 3 1 __ ⑵如图，在Rt △ABC 中，作AD 丄BC , D 为垂足，由题意可得 BD = 2,且点M 在BD 1BD 2 1 11上时，满足/ AM 》90°，故所求概率 P = BC = 2= 4.答案：(1)1 (2)113. ____________________________________________________________________________________________ 在体积为 V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ,则三棱锥 S — APC 的体积大于£的概率是 ________________________________________________________________________________________14. _________________________________________________________________________ 在区间［0,1］上任取两个数a , b ,则函数f(x) = x2 + ax + b2无零点的概率为 ______________________解析：要使该函数无零点，只需a2- 4b2v 0,即(a + 2b)(a — 2b) v 0.-a , b € [0,1], a + 2b > 0，…a — 2b v 0.10 w a §1 作出0w b §1 的可行域，易得该函数无零点的概率a — 2b v 015. 设AB = 6,在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段.所以P(A)=nX^3 _ 12 nX-23 —2解析：如图，三棱锥 S —ABC 的高与三棱锥 S —APC 的高相同.作 PM 丄AC 于M , BN 丄AC 于N ，则PM 、BN 分别为△ APC 与厶ABC 的高，所以VS — APC = S A APC VS — ABC = S A ABC 所以磐>1时，满足条件.设 AB 3AD 1 AD = 1贝U P 在BD 上，所求的概率 AB 3P=BD =3S M DCPM 又 PM = AP BN ，乂 BN = AB(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率;最新资料推荐(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率.解：(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能情况是1,1,4; 1,2,3 ；2,2,2 共3 种情1况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P= 13(2)设其中两条线段长度分别为x, y，则第三条线段长度为6- x-y,故全部试验结果所9vx v6,构成的区域为O v y v 6,0v 6—x —y v 6,'0 v x v 6,即彳0v y v 6, 所表示的平面区域为△ OAB.0 v x + y v 6若三条线段x, y,6—x —y能构成三角形,x + y > 6—x—y, x + y> 3,则还要满足+ 6 —x —y> y, 即为v 3,y + 6 —x—y>x, [x v 3所表示的平面区域为△ DEF ,$△ DEF 1由几何概型知，所求概率为P== 4。