几何概型经典练习题

........ 最新资料推荐 ......

几何概型题目选讲

1 ?在长为1

2 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段

AC , CB 的长，则该矩形面积

112

4 小于 32 cm 2 的概率为(

)A.1

B.1

C.2

D.4 6

3 3

2.已知圆C ： x 2 y 2 =12,丨：4x ?3y =25在圆上任取一点 P,设点P 到直线l 的距离小于2的事件为A 求P(A) 的值。

解：P(A)=-

0< x < 2

3 .设不等式组表示的平面区域为 D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于

2的概

0< y w 2

率是

4 .在区间［0,9］上随机取一实数X ,则该实数x 满足不等式1W log 2x w 2的概率为 _______________ .

2 解析：由1 w log 2x w 2,得2w x w 4，

根据区间长度关系，得所求概率为

5.在［—6,9］内任取一个实数 m ，设f(x) =— x 2 + mx + m,则函数f(x)的图像与x 轴有公共点的概率等于 _____________ . 解析：函数f(x)的图像与x 轴有公共点应满足 △= m 2 + 4m > 0,解得m w — 4或m 》0，又m € ［ — 6,9］，故—6w

m w

2 + 9 11

-4

或0w m w 9,因此所求概率P =

荷

6 .甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是

4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；

⑵如果甲船的

停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为 2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率. 解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为

x 、y ,贝U 0w x v 24,0w y v 24且y — x > 4或y — x w — 4.

0w x v 24,

作出区域 0w y v 24,

y — x > 4或 y — x v — 4.

24 X 24 36'

⑵当甲船的停泊时间为 4小时，乙船的停泊时间为 2小时，两船不需等待码头空出，贝U 满足x — y >2或y — x >4. 设在上

述条件时“两船不需等待码头空出”为事件

B ,画出区域

解析：设AC = x ,由题意知x(12 — x)v 32? O v x v 4或8v x v 12,所求事件的概率

P = 4 — °+-12— 8

2 3.

解析：坐标系中到原点距离不大于 2的点在以原点为圆心,

2为半径的圆内及圆上,

O w x < 2, O w y w 2

表示的区域D

为边长为2的正方形及其内部，所以所求的概率为

nX 4 4 —

4 _ 4— n 4_ 4 .

设“两船无需等待码头空出”为事件

2 X ^X 20 X 20

2 25 A ，贝U P(A)=

.................... 最新资料推荐 .....................................

1 1

X 20 X 20+— X 22 X 22 2 ___ 2 442 221

24 X 24 — 576— 288.

2 2

? k<0，故k € ( — 1,0)，其区间长度为1，因为k € [— 2,2 L 其区间长度为4，所以P =错误！未找到引用源。. 8.已知k € [ — 2,2]，贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x 2 + y 2+ kx — 2y — = 0相切的概率等于 _____

解析：???圆的方程化为 x + k

2 5k k 2

2 (y — 1)2 = 4 + 4 + 1, ? 5k + k 2 + 4>0,二 kv — 4 或 k> — 1. ???过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x + 2 2+ (y — 1)2= 5k + k_ + i 相切，?. A(1,1)在圆外，得 1 + 2 2+ (1 — 1)2

>号 + 号 + 1,

? k<0，故k € (— 1,0)，其区间长度为1，因为k € [ — 2,2]，其区间长度为 4,?? P =-. x + 2 '

9 .已知集合 A = {x|— 3

中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“

b — a € A U B ”的概率.

解：(1)由已知 B = {x| — 2vxv3}, A n B = {x|— 2

P 1=三

⑶因为 a , b € Z ,且 a € A , b € B ,所以，基本事件共 12 个：(一2, — 1), (— 2,0), (— 2,1), (— 2,2), (— 1,— 1), (— 1,0), (— 1,1), (— 1,2), (0, — 1), (0,0) , (0,1), (0,2) ?设事件 E 为 “ b — a € A U B ”，则事件 E 中包含 9

个基本事件，事件 E 的概率P(E)=-=-.

12 4

10?袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的

小球n 个?已知从袋子中随机抽取 1个小球，取到标号是 2的小球的概率是1.

(1)求n 的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取 2个小球，记第一次取出的小球标号为

a ,第二次取出的小球标

号为b.①记事件A 表示“ a + b = 2”，求事件 A 的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x , y ,求事件“ x 2

+ y 2>(a — b)2恒成立”的概率.

n 1

—

一

解: (1)由题意可知：1+1+ n = 2解得n = 2.

(2)①不放回地随机抽取 2个小球的所有基本事件为：(0,1) ,0,21),

(0,22), (1,0), (1,21), (1,22), (21,0), (21,1), (21,22), (22,0), (22,1), (22,2)共 12 个，事件 A 包含的基本事件为： (0,21), (0,22), (21,0), (22,0)，共 4个.二 P(A)= ± =寸.②记 “x 2+ y 2>(a — b)2恒成立”为事件 B ,则事件 B 等价于

12 3

“2 2

“ x + y >4” , (x , y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域

Q= {(x , y)|0< x < 2,0< y < 2, x , y € R},

0 < X V 24 , 0 < y v 24, y — x >4或x — y >

7.知k € [— 2,2 ],贝U k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x + y + kx — 2y —错误！未找到引用源。 k = 0 相切的概率等于 _ 【来【解析】????圆的方程化为错误！未找到引用源。，??? 5k + k 2 + 4>0,二k<— 4或k> — 1. ???过A(1,1)可以作两条直线与圆错误！未找到引用源。相切，? A(1,1)在圆外，得错误！未找到引用源。，

2 2S B 2 X 2 — n n 而事件 B 所构成的区域B= {(x, y)y+ f>4 , (x, y) € 0}, ? P( B) = =2X 2= 1 —