动量矩定理与平面运动微分方程48页PPT
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理论力学—动量矩定理ppt课件
W g
R)v
dLO M (e)
P
M (e) WR
( JO W R) dv WR R g dt
dt
a
WR 2
(JO
W g
R2 )
v W
例7 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物A，另一端 有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半径为r， 质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。
重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。 所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
aa
A 0 B
l
l
C
D
Lz2 2m(a l sin )2
z
2ma20 2m(a l sin )2
(a
a2
l sin )2
23mr2
(b)r
A
A
(c)r
例16 均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固
定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求
B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。
解：取A分析，受力如图。A作定
轴转动，应用定轴转动的微分方程
A
有
J A A FT r
的角速度为、求下列三种情况下系统
(b)r
对轴O的动量矩： (a) 圆盘与杆固结；(b)
圆盘绕轴A相对杆OA以角速度 逆 时针 O
A
方向转动； (c) 圆盘绕轴A相对杆OA以角
速度 顺 时针方向转动。
(c)r
解：(a)
JO
1 ml2 3
理论力学课件-动量矩定理
注意到
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
【精品】理论力学11动量矩定理分析解析幻灯片
0 Fox m2l amgFOy
FOymgm2lam 4g
§11-4 刚体对轴的转动惯量
一．定义： Jz miri2
z
i
对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分
形式
Jz r2 dm
由定义可知，转动惯量不仅与 质量有关，而且与质量的分布有关；
ri
vi
mi
在国际单位制中，转动惯量的单位
是: kg·m2。同一刚体对不同轴的转
Jz mz2
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集 中到一点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该 点到轴的距离就等于回转半径的长度。
3、平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体 对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加 上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，
zC
z1
m
C
Jz1 JzC md2
dLO dt
MO(Fi(e))
若 Mz(F(e))0，则 Lz 常量。
dLz dt
Mz (Fi (e) )
例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。
设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
O u
A
mg
mg
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。
设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
va uv
v
LOmarvmv0 r
FOy
O
FOx
u
A mg mg
L Om (uv)rm v0r
第十二章动量矩定理Y共104页PPT资料
质点对某定点的动量矩对时间的导数等于作用力对同一点的力矩。
ddtMO(mv)MO(F)
质点对某定轴的动量矩对时间的导数等于作用力对同一轴之矩。
d dt
M
x(m v)
M
x
(F
)
d dt
M
y (m v)
M
y
(F
)
d dt
M
z(m v)
M
z (F
)
2、质点系的动量矩定理
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向； （3）力矩作用面方位。
O
r
h
A(x,y,z)
y
MOF
定位矢量
x
力对点之矩的几何意义
MO(F) =Fh=2△OAB
解析式：
z
r xi yj zk
MO(F)
B
F Xi Yj Zk
F
i jk MO(F) r F x y z
A(x,y,z)
Mz (mv)
[MOmv]xi
[MOmv]y
j [MOmv]z k
2、质点系的动量矩
设质点系有n个质点
每个质点的质量分别为： m1、m2、 mi mn
每个质点的速度分别为： v1、v2vi vn
质点系中所有质点对O点的动量矩的矢量和
z
L O M O (m iv i) r i m iv i
设质点系有n个质点
每个质点的质量分别为：m1、m2、 mi mn 每个质点的速度分别为：v1、 v2 vi vn 每个质点的合外力分别为：F1(e)、 F2(e) Fi (e) Fn(e) 每个质点的合内力分别为：Fi (i)、 F2(i) Fi (i) Fn(i)
第11章 动量矩定理
指向按右手规则确定； 瞬时量
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
O点为矩心
M O (F ) r (F )
描述：质点相对某点“转动”运动强度。
§11-1 动量矩计算
质点对轴的动量矩
Lz M z (mv ) [MO (mv )]z
M z (F ) M O (F )
一般规定：
与轴的正向一致（逆时针转动）取“+”， 与轴的正向相反（顺时针转动）取“-”。
n dLx M x (Fi ( e ) ) dt i 1 n dLy M y (Fi ( e ) ) dt i 1
§11-2 动量矩定理
3. 质点动量矩定理(固定点、动点)
A为动点 L A (mv ) r rA mv d d d L A (mv ) r rA mv r rA (mv ) dt dt dt
n (e) dLO MO ( Fi ) dt i 1
其中： LO M O (mi vi ) ri mi vi
i 1 i 1 n n
§11-2 动量矩定理
2. 质点系动量矩定理
B. 对固定轴
n (e) dLz M z ( Fi ) dt i 1
1 4 1 J z r dm r 2rdr 2 R MR2 4 2 0
2 2
R
2 z R 2
要求记住！
§11-1 动量矩计算
D. 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量
圆板对于x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mr i m( xi yi ) mx i my i
§11-2 动量矩定理
4. 质点系动量矩定理
任意质点对动点A动量矩定理：
动量矩
质点系对固定轴z的动量矩定理
dLz Mz dt
例
最常用！
绞车圆盘 ( J O , Q, r ) 受力偶M作用，通过
绳索拉动物块B（P），不计斜面摩擦，求物 块B的加速度。 O B θ
M
解：设绞车圆盘角速度ω，顺转为正
d P ( J O r r ) M P sin r dt g
例
半径r的圆柱体被水平绳拉着作纯滚
动，质量为M；绳子绕过无重定滑轮B后系在
质量为m的物体A上，求圆柱体质心C的加速 度和绳子的拉力。
B C A
圆柱体和物体A的加速度
B
r
C
2r
A
研究物体A，受力分析：
T
aA
mg
A
maA 2mr mg T
研究圆柱体: C Mg N F 按平面运动微分方程 1 2 Mr Tr Fr 2
Mr Mr ;F 2 2 解得： aC 2 2 m( r ) r
为均质轮纯滚动，应有
F fN , F fm g
M
α
这就是力偶矩限制条件。
m gf ( r ) M r
2 2
c
o
mg
Ｎ Ｆ
aC
x
例
与垂直线成 ( m , l ) 均质杆BA 30 角，
O
C
O
轮心的速度
O
O
D
d dt
C
初始 t 0
C
f mg
D
mg N
d dt
D O Or 0
初始条件
d (0) o m f mg dt d f gdt (t ) o f gt
理论力学(大学)课件22.2 动量矩定理
动量矩定理2、动量矩定理动量矩定理动量矩守恒定律若 则 常量。
(e)()0z M F ∑≡ z L =有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心. ()0O M F = ()M mv r mv =×= 常矢量若 (e)()0O M F ∑≡ O L = 则 常矢量,面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.(1) 与 必在一固定平面内,即点M 的运动轨迹是平面曲线.r v d (2)d r r mv r m b t×=×== 常量d d rr t ×=即 常量d 2d r r A×= d d A t=因此, 常量 人造卫星绕地球运动动量矩定理(e)sin OMM mg Rθ=−⋅R mg M mvR J t⋅−=+θωsin ][d d22sin mRJ mgR MR a +−=θRv m J L O +=ω解: R v =ωa tv =d d 由 ,得例1求：小车的加速度a 。
取小车和鼓轮为研究对象，受力如图所示。
高炉运送矿石的卷扬机如图所示。
已知鼓轮的半径为R ，转动惯量为J ，作用在鼓轮上的力偶矩为M 。
小车和矿石的总质量为m ，轨道的倾角为 。
设绳的质量和各处摩擦不计。
θ动量矩定理已知： , , , , , ,不计摩擦. m O J 1m 2m 1r 2r α求:（1）NF （2）O 处约束力 （3）绳索张力， 1T F 2T F例2动量矩定理)(222211r m r m J O ++=ω(e)1122()()O M F m r m r g∑=− 2222112211)(d d r m r m J g r m r m t O ++−==ωα 由 ,得(e)d ()d OO L M F t=∑ 222111r v m r v m J L O O ++=ω解：(1)分析系统，受力如图所示。
（2）由质心运动定理Cya m m m g m m m F )()(2121N ++=++−212211212211)(m m m r m r m m m m a m a m m y m y a ii i C Cy+++−=+++−=∑∑==αα1111T 11r m a m F g m ==−)(11T 1αr g m F −=)()(221121N r m r m g m m m F +−+++=α（3）研究1m α22222T 2r m a m g m F ==−2m（4） 研究求：剪断绳后, 角时的 。
动量矩定理
第十一章 动量矩定理
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
Theorem of Angular Momentum
Law of Moment of Momentum
问题的提出： 图示定轴转动刚体，质心C过转轴，恒有
p mvC 0
可见： 动量只能反映刚体随质心运动的强弱， 不能反映刚体绕质心转动运动强弱。
C
本章基本内容：
1. 质点、质点系对点和轴的的动量矩概念及计算； 2. 质点、质点系对于固定点、固定轴及质心的动量矩定理； 3. 刚体定轴转动、刚体平面运动的微分方程及其应用。 4. 转动惯量概念及计算。
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 ：
Lx
M x (mv) MO (mv)x
LO
x
y mvz z mvy
Ly
M y (mv) MO (mv)y
LO
y
z mvx
x mvz
Lz
M z (mv)
MO (mv)z
LO
z
x mvy y mvx
质点的动量 mv 对 x 轴之矩 —— 代数量。 其正负由右手法则确定。
zi y( y)
xi (xi)
Jz
?
mh2
由质心坐标的计算公式，有
mi yi myC 0
J z J z mh2
(11-20)
—— 转动惯量的平行轴定理
几点说明：
① 轴 z 与轴z′ 必须平行； ② z 轴必须过质心 C ；
③ 过质心 C 的转动惯量最小。
如： 均质杆，质量 m
Jz
1 12
ml2
—— 质点动量对某固定点O 的矩 将上式两边对时间求导，有
dLO d (r mv) dr mv r d (mv)
dt
12-3 相对质心的动量矩定理--刚体平面运动微分方程
求：下降高度h时，质心的速度、加速度以及绳索的拉力。 下降高度 时 质心的速度、加速度以及绳索的拉力。
B h C A
§12-6 刚体的平面运动微分方程 解： 以圆柱体为研究对象。 以圆柱体为研究对象。
r r 受力分析： g 受力分析：m , F T 运动分析： r 运动分析： a , α C
列写平面运动微分方程， 列写平面运动微分方程，
C
的加速度。 求：重物A的加速度。 重物 的加速度
B r O R
D
A
第十二章 动量矩定理
重物 解： (1) 重物A:
maA = mg − F ① 1 1 T1
A
r F T1
(2) BC固连体 固连体: 固连体
r r r r 受力分析： 受力分析： 2 g, F , F , F m T2 s N r 运动分析： 运动分析：aO, α
r aA
r F T2
⇒F = F ⑥ T1 T2
aA = m ( R+ r) + m ( ρ2 + R2 ) 1 2
2
B r
mg ( R+ r) 1
2
rO mg 2
P
R
r aO
r F s
D
请同学们思考： 请同学们思考：
A
r F N
若固定滑轮D的质量不可忽略，那么 若固定滑轮 的质量不可忽略，那么D 的质量不可忽略 两端绳索的拉力是否相等？如何求？ 两端绳索的拉力是否相等？如何求？
α
r aC
x
2
§12-6 刚体的平面运动微分方程 解：
2 1 aC = g, F = m g T 3 3
h B
vC = ?
dvC dvC ds aC = = dt dt ds dt dvC 2 = vC = g ds 3 vC 2 h ∴ ∫ vCdvC = g∫ ds 0 3 0
动量矩定理
1 2
Jz
z
1 2
R
E 转动惯量的平行轴定理
J zC
mi ri2
mi
(
x
2 i
yi2 )
J z mi ri2 mi ( x'2i yi2 )
xi xi , yi yi d
J z mi xi2 ( yi d )2 mi xi2 yi2 2dyi d 2
MO
(F )
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得)：
d dt M x (mv) M x (F )
d dt
M
y
(mv)
M
y
(F )
d dt
M
z
(mv)
M
z
(F
)
质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用
于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。
质点对定点的动量矩定理在三个坐 标轴的投影方程不独立
质点在有心力作用下的运动
若质点在运动过程中始终只受到指向某固定 点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动 （这属于动量矩定理中的那一种情况？）。
（行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属 于这种情况。
力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点
的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩 大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始 终在一个平面内且质点绕相同的方向运行； mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。
JOA
1
3
(
m a
b
a)a2
O
a
理论力学第十二章 动量矩定理 教学PPT解析
平面内力对点的矩：
z
B
Mz(F) = xFy yFx
MO (mv)
mv
和平面内力对点的矩相似，可
以得到质点动量mv在Oxy平面内 的投影(mv)xy对点O（z轴）的矩
rA
y
O
B
Mz(mv) = (xmvy ymvx) x
(mv)xy A
Mz(mv) = m (xvy yvx)
质点的动量矩
对点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系
质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即：
[Mo (mv)]z M z (mv)
Mo F z Mz F
质点对轴的动量矩是代数量。
质点对点O的动量矩与对z轴的动量矩二者的关系， 同力对点的矩与力对轴的矩的关系相似。
在国际单位制中,动量矩的常用单位是 N • m • s
质点系的动量矩
z
Iz M
回转半径：设想将刚体的质量集中在与 转轴距离为z 处，则此集中质量对转轴 的转动惯量与刚体对转轴的转动惯量相 同。
转动惯量
转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方 的乘积 记为
说明
J z J Z M d2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以 快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的 转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量）
绕定轴转动刚体的动量矩
Mz(mv) = mrz rz = mrz2
从而整个刚体对轴 z 的动量矩
Lz = ∑mz(mv) = ∑m量矩,等于这刚体对该轴的转动惯 量与角速度的乘积。
例题
理论力学之动量矩定理课件解析
O
l
2l
A 2l B
1 ml2 1 (2m)(2l)2 (2m)( 2l)2 5ml2 3 12
O
l
A
B
2l
A
l
B
O
2l
10.1 对定点的动量矩定理
定轴转动刚体的动量矩(转轴垂直刚体质量对称平面）
LO JO
10.1 对定点的动量矩定理
例10-4 计算定轴转动刚体的动量矩
对O点的动量矩等于质 心的动量乘以质心到 转轴的距离。
O
dm m dx
l
Jz
l x2 m dx 0l
Jz
JO
1 3
ml 2
J z1
JC
1 ml2 12
x
x
dx
l
z1
x l C x dx
2
10.1 对定点的动量矩定理
2. 均质薄圆环
J z JC mR 2
3.均质圆板
Jz
JC
1 2
mR2
z
R
y R
x
10.1 对定点的动量矩定理
转动惯量说明
1、转动惯量是刚体转动时惯性的度量。不仅与质量 有关，而且与质量的分布有关 2、谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动 惯量。
z
MO(mv) Mz(mv)
q
O
r
x
A mv
Q y
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2/s。
质点对点O动量矩在z轴上的投影，等于对z轴的动量矩：
M z (mv ) [M O (mv )]z
10.1 对定点的动量矩定理
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的
第九章 动量矩定理
LZ =
∑M
Z
(mi v i )
质点系对点O的动量矩矢在通过该点的 轴上 质点系对点 的动量矩矢在通过该点的z轴上 的动量矩矢在通过该点的 的投影等于质点系对于该轴的动量矩。 的投影等于质点系对于该轴的动量矩。
[LO ]Z
= LZ
4
刚体平移时 可将全部质量集中于质心， 刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 质点计算其动量矩。 刚体转动时 刚体转动时，刚体对转轴的动量 矩为
dLO = Labcd − LABCD = LCDcd − LABab
LCDcd 1 = qV ρ dt v2 r2 cosθ2 n
1 LABab = qV ρ dt v1 r cosθ1 1 n 1 dLO = qV ρ dt (v2 r2 cosθ2 − v1 r cosθ1) 1 n dLO MO (F ) = n = qV ρ(v2 r2 cosθ2 − v1 r cosθ1) 1
6
d d dr d × mv + r × ( mv ) M O ( mv ) = ( r × mv ) = dt dt dt dt
dr =v dt
则上式为
d (mv ) = F dt
d M O (mv ) = v × mv + r × F dt
因为 所以
v × mv = 0
r × F = M O (F )
dt
16
【例4 】已知 m JO， 1 m2 r ，2 ，不计摩擦。 ， m， ，1 r 不计摩擦。 求（1） α ） （2）O处约束力 F ） 处约束力 N （3）绳索张力 FT ， T ） F
1 2
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解：1） LO = JOω + m v1r + m2v2r2 （ ） 1 1 = ω(JO + m1r 2 + m2r22 ) 1