平面向量基本定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
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6.3.1平面向量基本定理-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高一必修第二册课件
第六章 平面向量及其应用 6.3.1平面向量基本定理
此处添加副标题内容
温故知新
1.两向量共线性质的内容？
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.
2.两向量垂直性质的内容？
引入新课
由力的分解得到启发，我们能否通过作平 行四边形，将向量分解为两个向量，使向 量是这两个向量的和呢？
课堂探究
平面向量基本定理
如果e1 、e2是同 一平面内的两个不共线的向 量，那么对于这一平面内的任何向量 a，有且只 有一对实数 1, 2，使
a 1e1 2 e2
若 e1 , e 2不共线，我们把
叫 e1做, e表2 示这一平
面内所有向量的一个基底。
课堂探究 思考： 一组平面向量的基底有多少对？
课堂探究
给定两个不共
线向量 e1 , e 2 ，如何使用平
行四边形法则 ，将这两个向
e1
量表示任意
课堂探究
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1
e1 A
O
C
B N
显然：
课堂探究
这样我们就把向量a分解成了：
a=λ1e1+λ2e2
思考 ：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2 表示吗？
e1
M
CF
Aa
M
C
a
O
NN B O
N
E
课堂探究 注意 1、基底不唯一，关键是不共线.
2、由定理可将任一向量 a 在给出 基底 e1, e2 的条件下进行分解.
3、基底给定时，分解形式唯一.
练习巩固
1.下列说法中，正确的是 __②___③
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表 示该平面的所有向量的基底
此处添加副标题内容
温故知新
1.两向量共线性质的内容？
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.
2.两向量垂直性质的内容？
引入新课
由力的分解得到启发，我们能否通过作平 行四边形，将向量分解为两个向量，使向 量是这两个向量的和呢？
课堂探究
平面向量基本定理
如果e1 、e2是同 一平面内的两个不共线的向 量，那么对于这一平面内的任何向量 a，有且只 有一对实数 1, 2，使
a 1e1 2 e2
若 e1 , e 2不共线，我们把
叫 e1做, e表2 示这一平
面内所有向量的一个基底。
课堂探究 思考： 一组平面向量的基底有多少对？
课堂探究
给定两个不共
线向量 e1 , e 2 ，如何使用平
行四边形法则 ，将这两个向
e1
量表示任意
课堂探究
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1
e1 A
O
C
B N
显然：
课堂探究
这样我们就把向量a分解成了：
a=λ1e1+λ2e2
思考 ：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2 表示吗？
e1
M
CF
Aa
M
C
a
O
NN B O
N
E
课堂探究 注意 1、基底不唯一，关键是不共线.
2、由定理可将任一向量 a 在给出 基底 e1, e2 的条件下进行分解.
3、基底给定时，分解形式唯一.
练习巩固
1.下列说法中，正确的是 __②___③
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表 示该平面的所有向量的基底
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件3：6.3.1 平面向量基本定理
(1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与向量E→C的夹角．
解： (1)因为△ABC 为等边三角形，所以∠ABC＝60°. 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD，则A→B＝B→D，
所以∠DBC 为向量A→B与向量B→C的夹角． 因为∠DBC＝120°，所以向量A→B与向量B→C的夹角为 120°. (2)因为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC，所以向量A→E与向量E→C的夹角为 90°.
[变式训练] 1．(1)本例条件不变，试用基底 a，b 表示A→G； (2)若本例中的基向量“A→B，A→D”换为“C→E，C→F”，即若C→E＝a，C→F＝b， 试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
解： (1)由平面几何知识知 BG＝23BF， 故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23BF＝a＋23b－12a ＝a＋23b－13a＝23a＋23b. (2)D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a. B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b.
A.12(a－b)
B．2b－a
C.12(b－a)
D.2b＋a
解析： 如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点， 从而A→D＝12(A→B＋A→C)，则A→C＝2A→D－A→B＝2b－a.
答案： B
4．在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边上的中点，且A→B＝a，A→D＝b， 则B→E＝________.
解： D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C ＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b. B→F＝B→A＋A→D＋D→F ＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－12a.
解： (1)因为△ABC 为等边三角形，所以∠ABC＝60°. 如图，延长 AB 至点 D，使 AB＝BD，则A→B＝B→D，
所以∠DBC 为向量A→B与向量B→C的夹角． 因为∠DBC＝120°，所以向量A→B与向量B→C的夹角为 120°. (2)因为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC，所以向量A→E与向量E→C的夹角为 90°.
[变式训练] 1．(1)本例条件不变，试用基底 a，b 表示A→G； (2)若本例中的基向量“A→B，A→D”换为“C→E，C→F”，即若C→E＝a，C→F＝b， 试用 a，b 表示向量D→E，B→F.
解： (1)由平面几何知识知 BG＝23BF， 故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23BF＝a＋23b－12a ＝a＋23b－13a＝23a＋23b. (2)D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a. B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b.
A.12(a－b)
B．2b－a
C.12(b－a)
D.2b＋a
解析： 如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点， 从而A→D＝12(A→B＋A→C)，则A→C＝2A→D－A→B＝2b－a.
答案： B
4．在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边上的中点，且A→B＝a，A→D＝b， 则B→E＝________.
解： D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C ＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b. B→F＝B→A＋A→D＋D→F ＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－12a.
平面向量基本定理第1课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
证明: 设 CA a ，CB b ，则 即 | b a | | a b |
AB b a , CD 1 (a b ) . 2
由题意得 | CD | 1 | AB | 2
1 | b a | | 1 (a b ) |
2
2
(b a)2 (a b)2
2
2
2
2
b 2a b a a 2a b b
•
l
P
O
a
l 上的任意一点P，可由向量OP 决定，而OP a .
也就是说，在一条直线上给定一个基准点后，直线上的任意
一个点，都可以用这条直线的任一非零向量来表示.
反过来，也可以这样说，给定点O 和非零向量a，则
•
O a P
l a
点集{P | OP a ( R)}就是过O与a 平行或重合的直线.
a b 0 , CA CB
即ABC 是直角三角形.
例2.如图，CD 是ABC 的中线，CD 1 AB ，用向量方法
证明ABC 是直角三角形.
2
C
思考(4) : 你能选择其它基底来证明吗 ,
b
比如{DB, DC }?
A
D aB
另证: 设DB a ，DC b ，则 CD 是BC 边中线，CD 1 AB 2
这给我们研究问题带来了极大的方便，那么这种思路能不能 推广到平面内呢? 即平面内的任意向量能不能用该平面内的两个 不共线向量来表示呢？这就是我们本节课要研究的问题.
知识探究
问题1: 我们知道，在物理上，已知两个力可以求出它们的
合力；反过，一个力也可以分解成两个力.
F2
思考(1) ：如图，试将力F 分解成两个
a
e2
M
人教A版(2019)必修第二册 6.3.1 平面向量基本定理 课件(共19张PPT)
课本第27页练习第2题，习题6.3第1题.
另解：因为AP t AB，所以OP OA t(OB OA), 解得OP (1 t)OA tOB.
三、举例应用 掌握定义
变式1:观察OP (1t)OA tOB,你有什么发现？ 提示:若A, B, P三点共线,则存在t使OP (1 t)OA tOB成立,
且OA, OB的系数和为1.
变式2: A, B, P三点共线时,任给一点O,若OP xOA yOB, 则是否一定有x y 1?
所以 2(AD c) b AD ，
所以
AD
1 3
b
2 3
c
.
四、学生练习 加深理解
2. 已知e1,e2是不共线向量，且a=k e1-e2,b=e2-e1，若a,b不能作 为基底，则k= 1 .
四、学生练习 加深理解
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
解: 4e2 6e1 6e1 4e2 2(3e1 2e2 ), 所以 3e1 2e2和4e2 6e1共线，不能作为基底.
三、举例应用 掌握定义
例2.如图，OA,OB不共线,且AP t AB(t R),用OA,OB表示OP. 解：因为AP t AB,所以
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA) (1t)OA tOB.
四、学生练习 加深理解
1.在 ABC 中， AB c, AC b, 若点 D 满足 2BD DC ，以 b,c 作为基
底，则 AD （ D ）
A.
2b+ 1c 33
B.
5c 2b 33
C.
2b1c 33
D.
1b+ 2c 33
解：因为 2BD DC ，所以 2(AD AB) AC AD ，
另解：因为AP t AB，所以OP OA t(OB OA), 解得OP (1 t)OA tOB.
三、举例应用 掌握定义
变式1:观察OP (1t)OA tOB,你有什么发现？ 提示:若A, B, P三点共线,则存在t使OP (1 t)OA tOB成立,
且OA, OB的系数和为1.
变式2: A, B, P三点共线时,任给一点O,若OP xOA yOB, 则是否一定有x y 1?
所以 2(AD c) b AD ，
所以
AD
1 3
b
2 3
c
.
四、学生练习 加深理解
2. 已知e1,e2是不共线向量，且a=k e1-e2,b=e2-e1，若a,b不能作 为基底，则k= 1 .
四、学生练习 加深理解
3.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的
解: 4e2 6e1 6e1 4e2 2(3e1 2e2 ), 所以 3e1 2e2和4e2 6e1共线，不能作为基底.
三、举例应用 掌握定义
例2.如图，OA,OB不共线,且AP t AB(t R),用OA,OB表示OP. 解：因为AP t AB,所以
OP OA AP OA t AB OA t(OB OA) (1t)OA tOB.
四、学生练习 加深理解
1.在 ABC 中， AB c, AC b, 若点 D 满足 2BD DC ，以 b,c 作为基
底，则 AD （ D ）
A.
2b+ 1c 33
B.
5c 2b 33
C.
2b1c 33
D.
1b+ 2c 33
解：因为 2BD DC ，所以 2(AD AB) AC AD ，
人教A版高中数学必修二第二册《平面向量的基本定理》课件
eA1
平移 共同起点
a OA OB
OA 1e1
a 1e1 2 e2
OB 2e2
人教A版高中数学必修二第二册《平面 向量的 基本定 理》课 件
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数二学第必二修册《二平（第 面 二 向册 量） 的 第 基六 本章 定 第 理3》节课《件平面 向量的 基本定 理》课 件(共16 张PPT)
一、知识梳理
（2）若 AP=t AB ， 则OP
分析：OP = OA + AP
解： AP t AB
O
OP OA AP OA t AB
一、知识梳理
已知点M是三角形AOB的边AB的中点，
若OA＝a，OB＝b，则OM 1（a b）
2
变式探究：
O
（1）若P是AB靠近A的三等分点，
则OP 2 a＋1 b 33
A PM
B
（2）若 AP=t AB ，
则OP （1－t）a＋tb
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数二学第必二修册《二平（第 面 二 向册 量） 的 第 基六 本章 定 第 理3》节课《件平面 向量的 基本定 理》课 件(共16 张PPT)
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底，记为： e1，e2
人教A版高中数学必修二第二册《平面 向量的 基本定 理》课 件
人教A版高中数学必修二第二册《平面 向量的 基本定 理》课 件
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
高中数学必修第二册人教A版-第六章-6.3.1平面向量基本定理课件
＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
延伸
本例中，若设BC的中点为G，则A→G ＝_12_a_＋___34_b_.
解析
所B→C以＝A→B→GA＝＋A→A→BD＋＋B→D→GC＝＝A→B－＋b12＋B→Ca＋12b＝a－12b，
＝b＋12a－14b＝21a＋34b.
3λ＋μ＝3，
λ＝45， 解得μ＝53.
∴A→P＝45A→M，B→P＝35B→N， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.
反思感悟
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然 后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达 式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
典例剖析
一、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
ACD解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用 基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
跟踪训练
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线
延伸
本例中，若设BC的中点为G，则A→G ＝_12_a_＋___34_b_.
解析
所B→C以＝A→B→GA＝＋A→A→BD＋＋B→D→GC＝＝A→B－＋b12＋B→Ca＋12b＝a－12b，
＝b＋12a－14b＝21a＋34b.
3λ＋μ＝3，
λ＝45， 解得μ＝53.
∴A→P＝45A→M，B→P＝35B→N， ∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.
反思感悟
若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然 后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达 式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.
典例剖析
一、平面向量基本定理的理解
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
ACD解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量.用 基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算. (2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量.
跟踪训练
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线
平面向量基本定理-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
= ， = . 将按 ， 的方向分解，你有
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向， 且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向， 且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O
新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：6.3.1 平面向量基本定理
解析 由A→D＝12(A→B＋A→C)得 2A→D＝A→B＋A→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，即B→D＝D→C， 所以|B→D|＝|D→C|，故 BD＝CD.
答案 B
[微思考] 1.若{e1，e2}是一个平面内的一个基底，则集合{a|a＝λ1e1＋λ2e2，λ1，λ2∈R}表示的是
什么？
提示 集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0 时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理
课标要求
素养要求
理解平面向量基本定理及其意义，在 通过力的分解引出平面向量基本定理，
平面内，当一组基底选定后，会用这 体会平面向量基本定理的应用，重点
组基底来表示其他向量.
提升数学抽象及直观想象素养.
新知探究
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐， 还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音 乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合， 音乐的奇妙就在于此.
∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.
答案 B
题型二 用基底表示向量 【例 2】 如图，在平行四边形 ABCD 中，设对角线A→C＝a，B→D＝b，试用基底{a，
b}表示A→B，B→C.
解 法一 由题意知， A→O＝O→C＝12A→C＝12a，B→O＝O→D＝12B→D＝12b. 所以A→B＝A→O＋O→B＝A→O－B→O＝12a－12b， B→C＝B→O＋O→C＝12a＋12b.
【迁移】 (变设问)在本例条件下，若C→M＝a，C→N＝b，试用 a，b 表示C→P. 解 由典例解析知 BP∶PN＝32，则N→P＝25N→B， C→P＝C→N＋N→P＝C→N＋25N→B＝b＋25(C→B－C→N)＝b＋45a－25b＝35b＋45a.
6.平面向量基本定理-【精选】人教A版高中数学必修第二册ppt课件
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义. (2)模型：
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❷ 如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，O→P＝
[分析] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角 形法则或平行四边形法则.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)如图，A→D＝A→C＋C→D＝－b＋12C→B＝－b－12a，①正确；B→E
＝B→C＋C→E＝a＋12b，②正确；
A→B＝A→C＋C→B＝－b－a，C→F＝C→A＋12A→B＝b＋12(－b－a)＝12b－12a，③
①A→D＝－21a－b；②B→E＝a＋21b； ③C→F＝－12a＋12b；④E→F＝12a. 其中正确的结论的序号为__①__②__③___.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
(2)如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B＝b，试用 a，b 表示D→C，E→F，F→C.
[归纳提升] (1)平面向量基本定理唯一性的应用 设 a，b 是同一平面内的两个不共线向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b， 则xy11＝＝xy22，. (2)重要结论：设 e1，e2 是平面内一组基底，
当λ1e1＋λ2e2＝0时 若a＝λ1e1＋λ2e2
恒有λ1＝λ2＝0 当λ2＝0时，a与e1共线 当λ1＝0时，a与e2共线
6.3.1平面向量基本定理-【最新版】人教A版(2019)高中数学必修第二册精品课件
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
关键能力·攻重难 ③数乘向量的几何意义.
[分析] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则. ④e1＋e2与e1－e2．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_____. 1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解. 当a＝0时，λ1＝λ2＝0． ③数乘向量的几何意义. ③数乘向量的几何意义. D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
④设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0， 1－λ＝0，
∴1＋λ＝0， 无解， ∴e1＋e2 与 e1－e2 不共线，即 e1＋e2 与 e1－e2 可作为一组基底.
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第六章 平面向量及其应用
题型二 用基底表示向量
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 (1)D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 上的中点， 且B→C＝a，C→A＝b，给出下列结论：
[分析] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角 形法则或平行四边形法则.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)如图，A→D＝A→C＋C→D＝－b＋12C→B＝－b－12a，①正确；B→E
＝B→C＋C→E＝a＋12b，②正确；
A→B＝A→C＋C→B＝－b－a，C→F＝C→A＋12A→B＝b＋12(－b－a)＝12b－12a，③
题型三 平面向量基本定理的应用
数学（必修·第二册RJA）
新人教A版必修二 平面向量基本定理 课件(53张)
【解析】因为向量a与b共线,所以存在唯一实数u,
使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2. 所以 2nm－所2，以，m+n=0.
【类题·通】 向量共线定理:b与a(a≠0)共线⇔b=λa是一个等价定 理,因此用它既可以证明点共线或线共线问题,也可以 根据共线求参数的值.
【加练·固】 设两个不共线的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2, 向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量 d=λa+μb与向量c共线?
【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1 +(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在唯一实数k使 d=k·c,
10 5
m＝53，
t＝ 9 ， 10
【解析】因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,
则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e11-4e2.
又因为e1,e2不共线,所以
3x 2y 7, 2x y 4，
解得
x y
1所, 以c=a-2b.
2,
【类题·通】 平面向量基本定理的作用及注意点
【解析】选D.因为向量a与b共线,所以存在唯一实
数u,使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2,
所以 12u解u,，得λ=- .
1 2
【素养·探】 本题主要考查向量共线条件的应用,突出考查了数学运 算的核心素养. 本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量 b=2me1+ne2(m,n∈R)”其他条件不变,试求m+n的值.
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提 素
知
养
小猴子同时发现一筐桃子，他们分别朝着自己住的方向拉，已知每只
合
作
课
探 大猴子的拉力是 100 牛顿，每只小猴子的拉力是 50 牛顿．
究
时 分
层
释
问题：你认为这筐桃子往哪边运动？
作
疑
业
难
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5
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
1．平面向量基本定理
提 素
知
养
条件 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线向量
合
作
课
探 共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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18
·
情
[跟进训练]
课
境
堂
导 学
若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断{c，d}
小 结
·
探 新
能否作为基底．
提 素
知
养
合
[解] 设存在实数 λ，使 c＝λd，则 2a－b＝λ(3a－2b)，
作
课
2．通过基底的学习，提升直观想 内，当一组基底确定后，会用这组
象和逻辑推理的核心素养. 基底来表示其他向量．(难点)
课 时 分 层 作 业
难
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·
3
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情境
导学
探新
知
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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4
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
一天，2 只住在正西方向的大猴子和 4 只住在北偏东 30°方向的
探 究
即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量 a，b 不共线，
时 分
层
释
疑
所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的，
作 业
难
从而 c，d 不共线，故{c，d}能作为基底.
返
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19
·
情
用基底表示向量
课
境
堂
导
小
学
【例 2】 (1)(多选题)D，E，F 分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 结
底，则A→D＝________.
·
结 提
新
素
知
养
·
·
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
[答案] 12(a＋b)
返
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14
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
15
·
情
对基底的理解
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
【例 1】
(多选题)设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，则
提 素
知
养
下列向量组可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
合
作 探
A．A→D与A→B
B．D→A与B→C
课 时
究
分
释 疑
C．C→A与D→C
D．O→D与O→B
层 作 业
难
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·
情
课
境
堂
导
小
学 探
AC
[选项 A，A→D与A→B不共线；选项 B，D→A＝－B→C，则D→A与B→C
·
结 提
·
11
·
情
课
境
堂
导 学
2．设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中
小 结
·
探 新
不能作为基底的是(
)
提 素
知
养
合
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2，3e1＋3e2}
作
课
探
C．{e1，5e2}
究
D．{e1，e1＋e2}
时 分
层
释
作
疑
难
[答案] B
业
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12
·
情
课
境
堂
导
小
合
作
课
探
(2)基底{e1，e2}确定后，实数 λ1，λ2 是唯一确定的．
究
时 分
层
释
作
疑
业
难
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9
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情
课
境
堂
导
小
学
结
探
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
·
提
新
素
知
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ( ) 养
合 作
(2)基底中的向量可以是零向量．
( )课
探
时
究
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分
·
探
提
新 知
上的中点，且B→C＝a，C→A＝b，则下列结论正确的是(
)
素 养
合
作 探 究
A．A→D＝－12a－b
B．B→E＝a＋12b
课 时 分
层
释 疑 难
C．C→F＝－12a＋12b
D．E→F＝12a
作 业
·
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20
·
情
(2)如图所示，▱ABCD 中，点 E，F 分别为 BC，DC 边上的中点， 课
分 层
释
作
疑 难
解形式也是唯一确定的．
( )业
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10
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
(4)e1，e2 是平面 α 内两个不共线向量，若存在实数 λ，μ 使得 λe1
提 素
知
养
合 ＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.
作
探
究
[答案] (1)√ (2)×
释
疑
难
(3)√
(4)√
()
课 时 分 层 作 业
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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理
2
·
情
课
境
学习目标
导
核心素养
堂
小
学 1.了解平面向量基本定理及其意
结
·
探
1.通过作图引导学生得出平面向 提
新 知
义．(重点)
素
量基本定理，培养直观想象素养． 养
合 2．了解向量基底的含义．在平面
作 探 究
释 疑
·
7
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
思考：0 能与另外一个向量 a 构成基底吗？
素
知
养
合 作
[提示] 不能．基向量是不共线的，Hale Waihona Puke 0 与任意向量都共线． 课探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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8
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情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
拓展：(1)e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的
提 素
知
养
选取不唯一，即一个平面可以有多个基底．
学
结
探
3．(一题两空)若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝ 提
·
新
素
知 ________，m＝________.
养
合
作
课
探 究
[答案] 0 0
时 分
层
释
作
疑
业
难
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13
情 境
4．若 AD 是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若{a，b}为基
课 堂
导
小
学 探
合
作 探 究
课
结论
对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2， 时 分
释
使 a＝ λ1e1＋λ2e2
层 作
疑
业
难
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6
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情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
2.基底
提 素
知
养
合
若 e1，e2 不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一
作
课
探 个基底．
时
究
分
层
释
作
疑
业