中考数学专题复习(三)网格作图题(含答案)

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2023年中考数学《网格作图》真题及答案解析

2023中考真题抢先练：数学网格作图1.（2023达州18题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点均在小正方形的格点上.（1）将△ABC 向下平移3个单位长度得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90度得到△A 2B 2C 2，画出△A 2B 2C 2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC 扫过的面积.第1题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）如解图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如解图，△A 2B 2C 2即为所求；第1题解图（3）由图可得，△ABC 为等腰直角三角形，∴51222=+==BC AB ，AC =101322=+，∴25552121=´´=×=D BC AB S ABC ，∴△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积为2ABCACA S S D +扇形290360p ´=+52=52π+52.反比例与一次函数性质综合题2.（2023自贡24题）如图，点A (2，4)在反比例函数xm y =1图象上，一次函数b kx y +=2的图象经过点A ，分别交x 轴，y 轴于点B ，C ，且△OAC 与△OBC 的面积比为2：1.（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）请直接写出y 1≥y 2时，x 的取值范围.第2题图【推荐区域：安徽江西甘肃】【参考答案】解：（1）将A （2，4）代入x m y =1中得24m =，解得m =8，∴xy 81=，∵C （0，b ），∴12OAC S OC D =·2=b ，∵△OAC 与△OBC 的面积比为2：1，∴b OB OC S OBC 2121=´=D ，解得OB =1，∴B （-1，0）或（1，0），①将A （2，4），B （-1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+-=+=，，b k b k 024解得ïîïíì==，，3434b k ∴34342+=x y ；②将A （2，4），B （1，0）代入b kx y +=2中，得îíì+=+=，，b k b k 024解得îíì-==，，44b k ∴442-=x y ；综上可知，一次函数的解析式为34342+=x y 或442-=x y ；（2）当34342+=x y 时，x ≤-3或0＜x ≤2；当442-=x y 时，x ≤-1或0＜x ≤2.解直角三角形的实际应用3.（2023达州19题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱，如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角∠BOC 恰为26°时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC 为50°，求座板距地面的最大高度为多少m?(结果精确到0.1m ；参考数据：sin 26°=0.44，cos 26°≈0.9，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)第3题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：如解图，过点B 作BD ⊥ON 于点D ，过点A 作AE ⊥ON 于点E ，作AF ⊥MN于点F，第3题解图∴四边形BDNM，AENF均为矩形，∴BM=DN=0.9，AF=EN，在Rt△OBD中，OD=OB·cos26°=3cos26°，∴ON=OD+DN=3cos26°+0.9，在Rt△OAE中，OE=OA·cos50°=3cos50°，∴EN=ON-OE=3cos26°+0.9-3cos50°，∴AF=3cos26°+0.9-3cos50°≈3×0.9+0.9-3×0.64=1.68≈1.7（m），答：座板距地面的最大高度为1.7m.4.（2023重庆A卷24题）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A—D—C—B；②A—E—B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.( 1.41≈1.73)（1）求AD的长度；(结果精确到1千米)（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②?第4题图【推荐区域：安徽江西河南甘肃】【参考答案】解：（1）如解图，过点D作DF⊥AB于点F.第4题解图由题意可知，AB∥CD，BC⊥AB，∴四边形BCDF是矩形，且BC=10，CD=14.∴DF=BC=10，在Rt△ADF中，∠DAF=45°，∴AD≈14（千米），答：AD的长度约为14千米；（2）由题意可知，EA⊥AB，∠ABE=90°-60°=30°，∵AF=DF=10，BF=CD=14，∴AB=AF+BF=10+14=24，∴在Rt△ABE中，AE AB BE=2AE线路①：AD+CD+BC≈38.1（千米），线路②：AE+BE41.52（千米），∵38.1＜41.52，∴小明应选择线路①.二次函数的实际应用5.（2023南充23题）某工厂计划从A ，B 两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x 件，已知A 产品成本价m 元/件(m 为常数，且4≤m ≤6)，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B 产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y (元)与每日产销x （件）满足关系式201.080x y +=.（1）若产销A ，B 两种产品的日利润分别为1w 元，2w 元，请分别写出1w ，2w 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）分别求出产销A ，B 两种产品的最大日利润；(A 产品的最大日利润用含m 的代数式表示)（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品?并说明理由.[利润=(售价一成本)×产销数量一专利费]【推荐区域：安徽河北云南江西】【参考答案】解：（1）根据题意，得30)8(1--=x m w ，0≤x ≤500.)01.080()1220(22x x w +--=80801.02-+-=x x ，0≤x ≤300；（2）∵8-m >0，∴1w 随x 的增大而增大，又0≤x ≤500，∴当x =500时，1w 的值最大，39705001+-=m w 最大.1520)400(01.080801.0222+--=-+-=x x x w .∵-0.01<0，对称轴为直线x =400，当0≤x ≤300时，2w 随x 的增大而增大，∴当x =300时，2w 最大=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420（元）.（3）①若最大1w =最大2w ，即-500m +3970=1420，解得m =5.1；②若最大1w >最大2w ，即-500m +3970>1 420，解得m <5.1；③若最大1w <最大2w ，即-500m +3 970<1420，解得m >5.1.又∵4≤m ≤6，∴综上可得，为获得最大日利润：当m =5.1时，选择A ，B 产品产销均可；当4≤m <5.1时，选择A 种产晶产销；当5.1<m ≤6时，选择B 种产品产销.二次函数性质综合题6.（2023遂宁25题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线c bx x y ++=241经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C (2，-2)且垂直于y 轴.过点B 的直线1l 交抛物线于点M ，N ，交直线l 于点Q ，其中点M ，Q 在抛物线对称轴的左侧.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当BM ：MQ =3：5时，求点N 的坐标；（3）如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线1l 下方的抛物线上一动点，连接PQ ，PO ，其中PO 交1l 于点E ，设△OQE 的面积为1S ，△PQE 的面积为2S ，求12S S 的最大值.第6题图【推荐区域：安徽陕西】【参考答案】解：（1）由题意得0b 2124c =ìïïí-=ï´ïî，，解得01c b =ìí=-î，，∴抛物线的解析式为y =214x -x ；（2）如解图，过点M ，Q 作MD ⊥x 轴，QH ⊥x 轴分别于点D ，H ，第6题解图∴DM ∥HQ ，∴△BDM ∽△BHQ ，∴BM BQ =DM HQ ，∴38=2DM ，∴DM =34，∴点M 的纵坐标为-34，代入y =34x 2-x 中，解得x M =1或x M =3，∵点M 在抛物线对称轴的左侧，∴x M =1，∴点M （1，-34），设直线BM 的解析式为y =kx +b 1，将点M （1，-34）和点B （2，0）代入，得113=402k b k b ì-+ïíï=+î，，解得13=432k b ìïïíï=-ïî，，∴直线BM 的解析式为y =2343-x ，联立2143342y x x y x ì=-ïïíï=-ïî，，解得134x y =ìïí=-ïî，或63x y =ìí=î，，∵点N 在对称轴的右侧，∴点N （6，3）；（3）由题意可知，点Q 的坐标为（0，-2），设点P （m ，14m 2-m ），由题意得直线y OP =（14m -1）x ，直线l 1的解析式为y BQ =x -2，联立1(1)42y m x y x ì=-ïíï=-î，，∴点E 的横坐标为x E =88m -，∴S 1=21OQ ·x E =21×2×m -88=m-88，S 2=21OQ ·(P E x x -）=21×2（m -m-88）=m m m ---8882，∴22188888S m m m S m ---=-=1812-+-m m =1)4812+--m （，∵81-＜0，∴当m =4时，12S S 有最大值，最大值为1，∴12S S 的最大值为1.。

2022年中考数学试卷分类汇编专项33网格问题

2022年中考数学试卷分类汇编专项33网格问题专题33：网格问题一、选择题1. （2020宁夏区3分）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近那个几何体的侧面积的是【】A．24.0 B．62.8 C．74.2 D．113.0【答案】B。

【考点】网格问题，圆锥的运算，由三视图判定几何体，勾股定理。

【分析】由题意和图形可知，几何体是圆锥，底面半径为4，依照勾股定理可得母线长为5。

则侧面积为πrl=π×4×5=20π≈62.8。

故选B。

2. （2020湖北孝感3分）如图，△ABC在平面直角坐标系中的第二象限内，顶点A的坐标是(－2，3)，先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是【】A．(－3，2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)【答案】B。

【考点】坐标与图形的对称和平移变化。

【分析】∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，∴A1的横坐标为-2+4=2；纵坐标不变为3；∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2，∴A2的横坐标为2，纵坐标为－3。

∴点A2的坐标是（2，－3）。

故选B。

3. （2020湖北荆门3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】A．B．C．D．4. （2020山东聊城3分）如图，在方格纸中，△ABC通过变换得到△DEF，正确的变换是【】A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B ．把△ABC 绕点C 顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C ．把△ABC 向下平移4格，再绕点C 逆时针方向旋转180°D ．把△ABC 向下平移5格，再绕点C 顺时针方向旋转180°【答案】B 。

中考数学专题复习网格作图题重点突破练习(三)

参考答案：
1．（1）；（2）图见解析；取格点，，，，连接，，它们分别与网格线相交于点，，取格点，连接，，它们相交于点，则点即为所求；取格点，，连接，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点，则点即为所求．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理先求出AB的长，再利用中位线定理可得出DP的长；
【解析】
【分析】
（1）先根据网格确定AB、BC的长，然后根据勾股定理即可解答；
（2）利用格点构造全等三角形CB'=FH=3，EF⊥AC,A'B'=4,从而点E、F、M、N，作直线EF，直线MN，MN与EF交于点A'，EF与AC交于点B'，连接CA'即可．
【详解】
解：（1）根据网格可知：
AB＝4，BC＝3，
（2）如图1，设P为AC上任意一点，过点P′作P′C′⊥CB交其延长线与点C′，易得△CDP≌△C′P′D，得出P′C′=CD= ，从而可得出点P′一定在直线l上，再找出点B关于直线l的对称点K，连接DK与l的交点即可点P′，此时的值最小，因此根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质先作出直线l（或在直线l上的线段），利用轴对称的性质可得出点K，进而可得出点；利用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质在AC上找一点P，使△CDP≌△QKP′，则有DP=KP′=DP′，即可得出点P．
∴AC＝＝5，
故答案为：5；
（2）取格点E，F，M，N，作直线EF，直线MN，
MN与EF交于点A′，
EF与AC交于点B′，
连接CA′．
△A'B'C即为所求．
【点睛】
本题考查了作图——旋转变换，掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．

中考数学复习解答题专项集训之尺规作图

中考数学复习解答题专项集训之尺规作图1．如图，点A、B、C在⊙O上且AB＝AC，AB⊥AC，请你利用直尺和圆规，用三种不同的方法，找到圆心O．（保留作图痕迹）2．如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为底的等腰直角△ABC（点C在小正方形的顶点上）；（2）画出以AB为一边且面积为20的平行四边形ABDE，（点D、E都在小正方形的顶点上），连接CE，请直接写出线段CE的长．4．如图，BD是△ABC的角平分线，请用尺规作图法求作△ABC的内心．（保留作图痕迹，不写作法）5．如图，已知矩形ABCD，请利用尺规作图法，在CD上求作一点P，使得S△ADP＝S△BCP．（保留作图痕迹，不写作法）6．已知正方形ABCD中，BC＝3，E是边AB上的动点，连接AC和CE．（1）尺规作图：在图中分别作线段AC和CE的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论并保留作图痕迹）（2）当CE＝2AE时，求（1）中所作的线段FG的长度．7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题（仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹）：（1）在AB上找一点D，使CD⊥AB；（2）在AC上找一点E，使BE平分∠ABC．8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．（1）过点E作CD的垂线，垂足为点O，交BC于点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）根据（1）中作图，连接DF，若AC＝BC，求证：四边形DECF是菱形．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C三点的坐标分别为（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．（1）画出△ABC；（2）△ABC面积为；（3）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．已知点P（a，b）为△ABC内的一点，则点P在△A'B'C'内的对应点P'的坐标是．10．作图题（1）填空：如果长方形的长为3，宽为2，那么对角线的长为．（2）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点（端点），分别按下列要求画图（不要求写画法和证明，但要标注顶点）．①在图1中，画一个面积为4的菱形（有两点在格点即可），且邻边不垂直．②在图2中，画平行四边形ABCD，使∠A＝45°，且面积为6．11．如图，已知△ABC．（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠ACB的平分线CD交AB于点D，再作CD的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接DE，DF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断四边形DECF的形状，并说明理由．12．图①、图②、图③分别是5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上，保留作图痕迹．（1）在图①中，画一个面积为3钝角△ABC．（2）在图②中，画一个等腰直角△ABD．（3）在图③中，画一个面积为6的四边形ABEF，且有一个内角为45°．13．如图，OD平分∠AOB，P为OA上一点．（1）请用直尺和圆规过点P作PQ∥OB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：OP＝PQ．14．在一节数学课上，老师出示一道练习题：“已知，如图，△ABC中，AB＝AC，求作一点P，使得∠APC＝∠A．”小王的作法是：①以点A为圆心，AB长为半径画⊙A；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点D；③连接DA并延长交⊙A于点P，则点P即为所求的点．（1）请使用直尺和圆规，将小王的作法完成（保留作图痕迹），并判断小王的作法是否正确；（2）在小王的作法基础上，若∠A＝30°，AB=√3，求PC的长．15．如图，E为等腰三角形的一个顶点，在正方形ABCD内部，∠AEB＝120°，请在CD 边上确定一点P，使得∠APD＝60°（保留作图痕迹，不写作法）．16．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形．（1）在网格①中画出AB中点，中点为C．（2）在网格②中画出△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形，点C在格点上．（3）在网格③中画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使这个四边形为中心对称图形，且AB=√2BC，点C、点D均在格点上．17．下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a，b，及∠MAN＝90°．求作：矩形ABCD，使AB＝a，AD＝b．作法：如图2，①在射线AM，AN上分别截取AB＝a，AD＝b；②以B为圆心，b长为半径作弧，再以D为圆心，a长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点C；③连接BC，DC．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝DC＝a，AD＝＝b，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠MAN＝90°，∴四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）．18．图①，图②均是8x8的正方形网格，点A、B、C均在格点上，请在给定的网格中用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中，作△ABC的中线BM；（2）在图②中，作△ABC的高线CN．19．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点，点D为AC上一格点，点E为AB上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．（1）在图①中画△ABC的中位线DF，使点F在边AB上．（2）在图②中画以AC为对角线的平行四边形ABCG．（3）在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使DH＝DE．20．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）实践与操作：利用尺规作图，过点A作BE的垂线，分别交BE，BC于点F，G；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）猜想与证明：试猜想线段AE与BG的数量关系，并加以证明．。

中考数学复习：网格型问题

全国各地中考数学试题分考点解析汇编网格型问题一、选择题1. （2011•台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为421平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分（）A 、11B 、12C 、13D 、14考点：一元二次方程的应用。

专题：网格型。

分析：可设方格纸的边长是x ，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解．解答：解：方格纸的边长是x ，21x2﹣21•x•21x ﹣21•21x•43x ﹣21•x•41x=421x2=12．所以方格纸的面积是12，故选B ．点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解．2. （2011湖北潜江，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则弧AC 的长等于（）A ．π43B ．π45C ．π23D ．π25考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理。

专题：网格型。

分析：求弧AC 的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC ，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA ，利用弧长公式求解．解答：解：连接OC ，由图形可知OA⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理，得OA ＝2212+＝5，∴弧AC 的长＝180590⨯⨯π＝25π．故选D ．点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝180rn ∙∙π．3. （2011•西宁）如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（）A 、把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位B 、把△DEF 向右平移4个单位，再向下平移2个单位C 、把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位D 、把△DEF 向左平移4个单位，再向上平移2个单位考点：平移的性质。

中考数学专题复习格点作图题

中考数学专题复习格点作图题学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．图①，图①，图①都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图①中已画出线段AB，在图①中已画出点A．按下列要求画图：（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；（2）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；（3）在图①中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．2．图①、图①、图①都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图①中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．3．图①、图①均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON 的端点均在格点上．在图①、图①给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．（2）所画的两个四边形不全等．4．如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；（2）所画图形是什么对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留π）．5．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A B C D E F、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个ABM∆，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个CDN∆，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且090EFG∠=．6．图①，图①均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB ，在图①中已画出线段CD ，其中A B C D 、、、均为格点，按下列要求画图：①在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且,E F 为格点；①在图①中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且,G H 为格点，090CGD CHD ∠=∠=.7．如图①、图①、图①都是33⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图①中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图①中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．8．图①、图①、图①均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图①中画一个直角三角形，在图①中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．9．图①、图①、图①均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连结MA、MB，使MA MB=．（2）在图①中，连结MA、MB、MC，使MA MB MC==．（3）在图①中，连结MA、MC，使2AMC ABC∠=∠．10．图①、图2均是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图①中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．参考答案：1．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．试题解析：（1）如图①，符合条件的C点有5个：；（2）如图①，正方形ABCD即为满足条件的图形：；（3）如图①，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．2．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义作图可得；（2）根据平行四边形的判定作图可得．【详解】（1）如图①、①所示，①ABC和①ABD即为所求；（2）如图①所示，①ABCD即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定，正确分析网格特点是解题的关键．3．作图见解析.【解析】【详解】【分析】结合网格特点以及轴对称图形的定义进行作图，然后用全等四边形的定义判断即可得符合题意的图形．【详解】如图所示：【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换，以及全等形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4．（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；（2）轴对称；（3）周长为8π．【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质画出图象即可；(2)根据轴对称图形的定义即可判断；(3)利用弧长公式计算即可.【详解】解：(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：(2)观察图象可知图象是轴对称图形，(3)周长=4×904180π⨯⨯=8π．故答案为(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；(2)轴对称；(3)8π．【点睛】本题考查作图——旋转变换、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形. 5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【详解】解：（1）如图①所示，ABM∆即为所求；（2）如图①所示，CDN∆即为所求；（3）如图①所示，四边形EFGH即为所求；【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.6．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．（2）如图，四边形CGDH即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．【解析】【分析】⨯的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对（1）先画出一条33称点MN，它们一定在格点上，再连接MN即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；【详解】⨯的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连解：（1）如图①，33接MN即为所求；（2）如图①，同理（1）可得，PQ即为所求；（3）如图①，同理（1）可得，DEF∆即为所求．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是找到图形对称轴的位置．8．见详解（答案不唯一）【解析】【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过33⨯正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．【详解】经计算可得下图中：图①面积为12；图①面积为1；图①面积为32，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．故本题答案如下：【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=5，即可得点M的位置；（2）由勾股定理可求得AB=BC=10，AC=25，即可得22220AB BC AC+==，再由勾股定理的逆定理可判定①ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为①ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得2AMC ABC∠=∠，由此即可确定点M的位置．【详解】（1）如图①所示，点M即为所求．（2）如图①所示，点M即为所求．（3）如图①所示，点M即为所求．【点睛】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定①ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．10．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以B为顶点，AC为底边，即可做出等腰三角形；（2）作底为1，高为3的平行四边形即可．【详解】解：（1）如图①中，此时以B为顶点，AC为底边，该ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图①中，此时底1AE=，高3h=，因此四边形ABDE即为所求．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质．。

全国181套中考数学试题分类汇编33网格问题

全国181套中考数学试题分类汇编33⽹格问题33⽹格问题⼀、选择题1.（浙江⾈⼭、嘉兴3分）如图，点A、B、C、D、O都在⽅格纸的格点上，若△COD是由△AOB 绕点O按逆时针⽅向旋转⽽得，则旋转的⾓度为（A）30°（B）45°（C）90°（D）135°【答案】C。

【考点】旋转的性质，勾股定理的逆定理。

【分析】△COD是由△AOB绕点O按逆时针⽅向旋转⽽得，由图可知，∠AOC为旋转⾓，可利⽤△AOC的三边关系解答：设⼩⽅格的边长为1，从图知，=AC=4。

从⽽OA，OC，AC满⾜OC2+OA2=AC2，∴△A OC是直⾓三⾓形，∴∠AOC=90°。

故选C。

2.（浙江⾦华、丽⽔3分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，过格点A，B，C作⼀圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是A、点（0，3）B、点（2，3）C、点（5，1）D、点（6，1）【答案】 C。

【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理。

【分析】如图，根据垂径定理的性质得出圆⼼所在位置O（2，0），再根据切线的性质得出∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1）。

故选C。

3.（⼴西贺州3分）如图，在⽅格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格，B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针⽅向90o旋转，再右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针⽅向90o旋转，再右平移6格【答案】D。

【考点】平移和旋转变换。

【分析】根据平移和旋转变换的特点，直接得出结果。

故选D。

4.（⼴西南宁3分）在边长为1的⼩正⽅形组成的⽹格中，有如图所⽰的A 、B 两点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△A BC 的⾯积为1的概率为A ．3 25 B ．4 25 C ． 1 5 D ． 625【答案】D 。

苏科版2020-2021年九年级数学中考专题复习《网格问题》试卷

初三数学专题复习【基础训练】1．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则tan∠BED 等于．2．如图，在正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，若将△ABC沿A﹣D的方向平移AD 长，得△DEF（B、C的对应点分别为E、F），则BE长为．3．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．现要在这张网格纸中找出一格点作为旋转中心，绕着这个中心旋转后的三角形的顶点也在格点上，若旋转前后的两个三角形构成中心对称图形，那么满足条件的旋转中心有个．4．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．5．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（画出图形）（3）△A2B2C2的面积是平方单位．【典型例题】例1．（1）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC﹣∠DAE＝°（点A，B，C，D，E是网格线交点）．（2）10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q是边XY一点．若线段PQ恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则的值为．例2．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点A，B均在格点上．在网格中建立平面直角坐标系，且A（﹣1，1），B（1，2）．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，那么当△ABC的面积最大时，点C的坐标为．例3．如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D的端点都在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出一个以线段AB为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20．（2）在方格纸中以CD为腰画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且∠KCD＝45°．（3）在（1）、（2）的条件下，连接EK，请直接写出线段EK的长．例4．定义：如果一个直角三角形的两条直角边的比为1：2，那么这个三角形叫做“半正切三角形”．（1）如图①，正方形网格中，已知格点A，B，在格点C，D，E，F中，与A，B能构成“半正切三角形”的是点；（2）如图②，△ABC（BC＜AC）为“半正切三角形”，点M在斜边AB上，点D在边AC上，将射线MD绕点M逆时针旋转90°，所得射线交边BC于点E，连接DE．小彤发现：若M为斜边AB的中点，则△DEM一定为“半正切三角形”．请判断“小彤发现”是否正确？并说明理由；【巩固练习】1．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为．2．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，使点B′落在射线AC上，则cos∠B′CB的值为．3．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝°．4．如图在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC＝，BC＝．（2）若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为（1，﹣2），请你在图中找出一点D，并作出以A、B、C、D四个点为顶点的平行四边形，求出满足条件的D点的坐标．5．已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6（1）如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN 的长；（2）如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等（画出一个即可，不需证明）②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个（不需证明）．6．在如图9×9的网格中，横纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，1）、B（8，3）都是格点，E、F为小正方形边的中点，C为AE、BF的延长线的交点．（1）AE的长等于；（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，无需画图，直接写出P、Q两点的坐标．7．如图是由边长相等的小正方形组成的网格，点A、B均在格点上．（1）在网格中，用无刻度的直尺画等腰直角三角形ACB．使∠ACB＝90；（2）在（1）的条件下，点D在AC上（点D可以不在格点上）．在网格中，用无刻度的直尺画出∠CBD，使tan∠CBD＝．8．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH．9．如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B 作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B 重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm1 1.52 2.53 3.54y/cm0 3.7 3.8 3.3 2.5（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ与直径AB所夹的锐角为60°时，PM的长度约为cm．10.如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是________（4）△ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积为________（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有______个。

中考复习数学网格作图与相关计算问题

中考复习
网格作图与相关计算问题
D C
A
O
B
O
归纳总结
考题再现
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，-1)，B(2,-5),C(5,-4), (1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标; (2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2坐标; (3)在(2)的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果保留π).
求点B在旋转过程中所经过的路径长。(结果保留π)
O
x
考题再现
如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(3，1)，B(4, 4),C(2, 4). (1)请画出△ABC 向下平移5个单位后得到的△A1B1C1，直接写出点B1的坐标 (2)请画出△ABC 绕点O逆时针旋转 90°后的△A2B2C2. (3)在(2)的条件下，求点C经过的路径长.(结果保留π).
y
O
x A
C B
考题再现
如图,正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点 A(5，2)、B(5，5)、c(1,1)均在格点上. (1)将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标; (2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转 90°后得到的△A₂B2C2，并写出点 A2的坐标; (3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
y
C

中考数学专题复习几何探究练习(三)

中考数学专题复习几何探究练习（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△P AC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图①（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图①网格中画出线段AB;（2）若存在一点P，使得P A=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，①FDM的大小为度．【探究】如图①，过点A作AM1①DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM①①ADM1．【拓展】如图①，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB AD BC=+，DAB∠的平分线和ABC∠的平分线交于CD边上点P．求证：PC PD=；（2）在（1）的条件下，如图①，若10AB=，1tan2PAB∠=．当PBC有一个内角是45︒时，PAD△的面积是．4．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图①，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD 沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图①，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝22，BC＝4，①C＝45°，则EF的长为．5．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，10,AB=点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．()1如图①，连接,CD则CD的长为；()2如图①，'B E与AC交于点,//F DB BC'．①求证:四边形'BDB E为菱形；①连接',B C则'B FC的形状为；()3如图①，则CEF∆的周长为；6．【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作①AOB的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．①分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．①作射线OP，则OP为①AOB的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当tan①AOB＝43时，量得MN＝4cm，直接写出MON△的面积．7．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图①，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图①，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．8．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图①，B'E与AC交于点F，DB'①BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；①连接B'C，则①B'FC的形状为；（3）如图①，则①CEF的周长为．9．如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当四边形DEFG的形状为矩形时，ABC为______三角形；（3）连接OA，当OA BC时，四边形DEFG的形状为______．10．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不与点A重合）．设点E，F同时出发移动t秒．(1)基础探究：如图1，在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，判断CE与CF的数量与位置关系，并说明理由．(2)应用拓展：如图2，点G、H分别在边AD、BC上，且217cmGH=，连接EF，当EF与GH交于点P，且45GPE∠=︒，若点P为EF的中点，则CF的长度为________，AP的长度为________．参考答案：1．探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5.【解析】【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】解：探究：由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．①点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD ∴的长为53．应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.2．（1）45°；（2）证明见解析；（3）22﹣2．【解析】【分析】（1）证明①CDE=①C1DE和①ADF=①C1DF，可得①FDM=12①ADC=45°；（2）先判断出①DAM1=①BAM，由（1）可知：①FDM=45°，进而判断出①AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定①ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其①AC1C的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C1D，①CDE＝①C1DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，①ADC＝90°，①AD＝C1D，①F是AC1的中点，①DF①AC1，①ADF＝①C1DF，①①FDM＝①FDC1+①EDC1＝12①ADC＝45°；故答案为：45；（2）①DF①AC1，①①DFM＝90°，①①MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，①BAD＝90°，①①DAM1＝①BAM，由（1）可知：①FDM＝45°①①DFM＝90°①①AMD＝45°，①①M1＝45°，①AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，①11BA DABAM DAMAH AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM①①ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G①AC于G，则1AC CS＝12AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，①AC＝2222+＝22，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，①CD＝C1D＝2，OD＝12AC＝2，①C1G＝C1D﹣OD＝2﹣2，①1AC CS＝12AC•C1G＝12×22（2﹣2）＝22﹣2，故答案为：22﹣2．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是①AMD=45°．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【解析】【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：①OC 平分AOB ∠，①AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，①AP 平分DAB ∠，①DAP BAP ∠=∠，①AP AP =，①ADP AEP △≌△．①PE PD=．①AB AD BC=+，①BE BC=，①BP平分ABC∠，①ABP CBP ∠=∠．①BP BP=．①PBE PBC△≌△．①PE PC=．①PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠P AB＝PBPA＝12，∴P A＝2PB，∵P A2+PB2＝AB2，∴PB＝25，P A＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DP A＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN＝453，∴S△PCH＝12×45×453＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠P AB＝∠H，∴tan H＝tan∠P AB＝12，∴12 PFFH，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【教材呈现】证明见解析；【应用】434；【拓展】2103；【解析】【分析】教材呈现：由“ASA”可证①AOE①①COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；应用：过点F作FH①AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，①AFE＝①EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝103，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：【教材呈现】①四边形ABCD是矩形，①AE①CF，①①EAO＝①FCO，①EF垂直平分AC，①AO＝CO，①AOE＝①COF＝90°，①①AOE①①COF（ASA）①OE＝OF，又①AO＝CO，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH①AD于H，①将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AF2＝BF2+AB2，①（4﹣BF）2＝BF2+9，①BF＝78，①AF＝CF＝258，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF＝258，①①B＝①BAD＝①AHF＝90°，①四边形ABFH是矩形，①AB＝FH＝3，AH＝BF＝78，①EH＝94，①EF＝22EH FH+＝81916+＝154，①四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+78+258+154＝434，故答案为：434．【拓展】如图，过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，①四边形ABCD是平行四边形，①C＝45°，①①ABC＝135°，①①ABN＝45°，①AN①BC，①①ABN＝①BAN＝45°，①AN＝BN＝22AB＝2，①将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF，①AF2＝AN2+NF2，①AF2＝4+（6﹣AF）2，①AF＝103，①AE＝AF＝103，①AN①MF，AD①BC，①四边形ANFM是平行四边形，①AN①BC，①四边形ANFM是矩形，①AN ＝MF ＝2，①AM ＝22AF MF -＝10049-＝83， ①ME ＝AE ﹣AM ＝23，①EF ＝22MF ME +＝449+＝2103，故答案为：2103．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 5．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒，进而证得'//,B E AB 则有∴四边形'BDB E 为平行四边形，由',BD B D =即可得证；①连接CD,易证得','45DB DC DB E DCA =∠=∠=︒进而证得''FB C FCB ∠=∠，则有'FB FC =，即可得出结论；（3）由'FB FC =和'B E BE =得CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，由等腰直角三角形的性质可求得BC ，即可求得CEF ∆的周长．【详解】解:（1）①①ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，AB=10，①152CD AB ==，故答案为：5；()2①证明:由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒'DB ①BC''45,B EC B ∴∠=∠=︒①'45,B EC B ∠=∠=︒①'EB ①BD∴四边形'BDB E 为平行四边形．又',BD B D =∴四边形'BDB E 为菱形；②如图2，连接CD ，则有CD=BD=AD,由翻折可知','45DB DB DB E B =∠=∠=︒①','45DB DC DB E DCA A =∠=∠=∠=︒,①''DB C DCB ∠=∠①DB E CB F DCA FCB ∠+∠=∠+∠'''①''CB F FCB ∠=∠①'FB FC =,①'B FC 的形状为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）如图3，由（2）知'FB FC =，'B E BE =，①CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，①①ABC 是等腰直角三角形，AB=10，①222100BC AB ==,解得：52BC =，①CEF ∆的周长为52，故答案为：52．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、折叠性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，解得的关键是认真审题，从图形中分析相关联信息，借助辅助线，利用基本图形的性质进行推理、计算．6．【问题1】SSS ；【问题2】（1）见解析；（2）8．【解析】【分析】问题1：根据SSS证明三角形全等即可．问题2：（1）根据HL证明三角形全等即可解决问题．（2）作MH①OB于H，连接MN．想办法求出ON，MH即可解决问题．【详解】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，①EOC DOC≌△△（SSS），故答案为SSS．问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，①①ONP＝①OMP＝90°，OP＝OP，①Rt ONP≌Rt OMP△（HL），①①PON＝①POM，即OP平分①AOB．（2）解：作MH①OB于H，连接MN．①tan①AOB＝4,3MHOH=①可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，①HN＝2k，在Rt MNH△中，①222,MN HN MH=+①()()222442,k k=+①255k=（负根已经舍弃），①ON＝5k＝25，MH＝4k＝855，①1185258.225MNO S ON MH ==⨯⨯= 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与作图原理，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．定理证明：见解析；定理应用：（1）EF ∥AC ，EF ＝14AC ；（2）5﹣32≤BH ≤5+32 【解析】【分析】定理证明：延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，易证①ADE ①①CFE ，再根据全等三角形的性质，进一步可得出CF ①AB ，从而可证明四边形BCFD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；定理应用：（1）取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ．再根据题目中的线段关系，可得出AM ＝BM ，CN ＝BN ，ME ＝EB ，FN ＝FB ，根据三角形的中位线定理即可得出答案；（2）如图①中，延长CB 到T ，连接AT ，TE ′．根据题意得出BH ＝12TE ′，再根据矩形的性质可求得AT 的值，结合题意求得AE 的值，最后根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】解：定理证明：如图①中，延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，在△ADE 和△CFE 中，AE EC AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB ，又∵AD ＝BD ，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝12BC．定理应用：（1）如图①中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝12AC，EF∥MN，EF＝12MN，∴EF∥AC，EF＝14AC．故答案为：EF∥AC，EF＝14AC．（2）如图①中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝12TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝22224225AB BT+=+=，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴25﹣3≤TE′≤25+3，∴5﹣32≤BH≤5+32．故答案为：5﹣32≤BH≤5+32．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形三边关系、平行四边形的判定及性质、三角形中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，综合性比较强，添加合适的辅助线，是解题的关键．8．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）①由折叠的性质得B'D=BD，B'E=BE，①B'DE=①BDE，证出B'D=BE，得四边形BDB'E是平行四边形，进而得出结论；①证出CD=B'D，得①DCB'=①DB'C，证出DB'①AC，则①ACB'=90°-①DB'C，证出CD①B'E，则①EB'C=90°-①DCB'，得①ACB'=①EB'C，即可得出结论；（3）连接B'C，由等腰直角三角形的性质得BC=22AB=52，①B=45°，CD=12AB=BD，①ACD=12①ACB=45°，证出CF=B'F，进而得出答案．【详解】（1）解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝10，①CD＝12AB＝5，故答案为：5；（2）①证明：由折叠的性质得：B'D＝BD，B'E＝BE，①B'DE＝①BDE，①DB'①BC，①①B'DE＝①BED，①①BDE＝①BED，①BD＝BE，①B'D＝BE，①四边形BDB'E是平行四边形，又①B'D＝BD，①四边形BDB'E为菱形；①解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝BD，①CD＝12由折叠的性质得：B'D＝BD，①CD＝B'D，①①DCB'＝①DB'C，①①ACB＝90°，①AC①BC，①DB'①BC，①DB'①AC，①①ACB'＝90°﹣①DB'C，由①得：四边形BDB'E为菱形，①AB①B'E，①CD①AB，①CD①B'E，①①EB'C＝90°﹣①DCB'，①①ACB'＝①EB'C，①FB'＝FC，即①B'FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）解：连接B'C，如图①所示：①①ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，①BC ＝22AB ＝52，①B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，①ACD ＝12①ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，①B '＝①B ＝45°，①CD ＝B 'D ，①①DCB '＝①DB 'C ，①①FCB '＝①FB 'C ，①CF ＝B 'F ，①①CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝52；故答案为：52．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】【分析】（1）由中线BD ，CE 相交于点O ，可得DE 是ABC 的中位线，可得//DE BC ，12DE BC =，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得FG 是OBC 的中位线，可得//FG BC ，12FG BC =，可推出//DE FG ，DE FG =即可；（2）由四边形DEFG 的形状为矩形，可得FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得BO=CO ，，由中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，可得EF①OA ，可推出OA①ED ，由等腰三角形性质可得OA 平分①EOD ，可证△AOB①①AOC （SAS ），可得AB=AC 即可；（3）连接OA ，由（1）知四边EFGD 为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF ，2BC FG =，由OA BC =，可得EF=FG 即可．【详解】证明：（1）①中线BD ，CE 相交于点O ，①E 、D 分别为AB 、AC 中点，①DE 是ABC 的中位线，①//DE BC ，12DE BC =，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①//FG BC ，12FG BC =， ①//DE FG ，DE FG =，①四边形DEFG 是平行四边形；（2）连接OA ，如图①四边形DEFG 的形状为矩形，①FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ， ①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①BO=CO ，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF①OA ，①OA①ED ，①OA 平分①EOD ，①①EOA=①DOA ，①①BOA=①EOF+①EOA=①DOG+①DOA=①COA ，①AO=AO ，①①AOB①①AOC （SAS ），①AB=AC ，①①ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当OA BC =时，四边形DEFG 的形状为菱形．由（1）知四边EFGD 为平行四边形，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF 为①ABO 的中位线，①AO=2EF ，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①2BC FG =，①OA BC =，①2EF=2FG ，①EF=FG ，①四边形DEFG 是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．10．(1)CE CF =，CE CF ⊥，理由见解析；(2)217，34；【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和运动的距离可证明()EDC FBC SAS ≌△△，可得CE CF =，再利用角之间的关系可证CE CF ⊥；（2）连接EC ，证明四边形GECH 是平行四边形，即可求出CF ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AP ．(1)解：①四边形ABCD为正方形,①CD CB=，90EDC ABC BCD∠=∠=∠=︒，①90FBC EDC∠=∠=︒，①ED FB t==，在EDC△和FBC中，90CD CBFBC EDCED FB=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EDC FBC SAS≌△△，①CE CF=，ECD BCF=∠∠，①90ECD BCE∠+∠=︒，①90BCF BCE∠+∠=︒，即：90ECF∠=︒，①CE CF=，CE CF⊥，(2)解：连接CE，如图①CE CF=，CE CF⊥，①45CEF∠=︒，①45GPE∠=︒，①CEF GPE∠=∠，①CE GH∥，①GE CH∥，①四边形GECH是平行四边形，①217CE GH==，①CE CF =，①217CF =，①2234EF CF ==，①P 是EF 的中点，AFE △是直角三角形，①1342AP EF ==．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）的关键是证明()EDC FBC SAS ≌△△，（2）的关键是证明四边形GECH 是平行四边形．。

2019中考数学专题复习之作图问题(附答案详解)

2019中考数学专题复习之作图问题（附答案详解）类型1 尺规作图1．在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l 和l 外一点P.求作：直线l 的垂线，使它经过点P.作法：如图：(1)在直线l 上任取两点A 、B ；(2)分别以点A 、B 为圆心，AP ，BP 长为半径画弧，两弧相交于点Q ；(3)作直线PQ.参考以上材料作图的方法，解决以下问题：(1)以上材料作图的依据是：______________________________________________(2)已知：直线l 和l 外一点P.求作：⊙P ，使它与直线l 相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(2)如图⊙P 即为所求．2．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点．(1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)．(2)求PA ＋PB 的最小值．解：(1)如图1所示，点P 即为所求；(2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB 、OA ，∵A′点为点A 关直线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°，又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB ＝12∠AON ＝30°，∴∠A′OB ＝60°＋30°＝90°，又∵MN ＝4，∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中，A′B ＝22，∴PA ＋PB 的最小值为2 2.3．如图，已知△ABC ，∠B ＝40°.(1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数．解：(1)如图1，⊙O 即为所求．(2)如图2，连接OD ，OE ，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴∠ODB ＝∠OEB ＝90°，∵∠B ＝40°，∴∠DOE ＝140°，∴∠EFD ＝70°.4．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB ＝30°与线段a ，你能作出边长为a 的等边三角形△COD 吗？小明的做法是：如图2，以O 为圆心，线段a 为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ，在弧MN 上任取一点P ，以点M 为圆心，MP 为半径画弧，交弧CD 于点C ，同理以点N 为圆心，NP 为半径画弧，交弧CD 于点D ，连结CD ，即△COD 就是所求的等边三角形．(1)请写出小明这种做法的理由；(2)在此基础上请你作如下操作和探究(如图3)：连结MN ，MN 是否平行于CD ？为什么？(3)点P 在什么位置时，MN ∥CD ？请用小明的作图方法在图1中作出图形(不写作法，保留作图痕迹)．解：(1)如图2，连结OP ，由题意可得MC ︵＝MP ︵，∴∠COM ＝∠POM ，PN ︵＝DN ︵，∴∠PON＝∠DON ，∴∠POM ＋∠PON ＝∠COM ＋∠DON ＝30°，∴∠COD ＝2∠MON ＝60°，∴△OCD 是等边三角形；(2)不一定，只有当∠COM ＝15°，CD ∥MN ，理由：∵∠COM ＝15°，∠MON ＝30°，∴∠CON ＝45°，∵∠C ＝60°，∴∠OEC ＝75°，∵ON ＝OM ，∴∠ONM＝∠OMN ＝75°，∴∠OEC ＝∠ONM ，∴CD ∥MN ；(3)当P 是MN ︵的中点时，MN ∥CD ；如图3所示．类型2 网格作图和其他5．如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( B )A．22＜r＜17 B.17＜r＜3 2C.17＜r＜5 D．5＜r＜29解：给各点标上字母，如图所示．AB＝22＋22＝22，AC＝AD＝42＋12＝17，AE ＝32＋32＝32，AF＝52＋22＝29，AG＝AM＝AN＝42＋32＝5，∴17＜r＜32时，除点A外恰好有3个在圆内．6．我们约定，若一个三角形(记为△A1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B.以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形(指与△A全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．(1)图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为__1∶2__．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C中含有__121__个小三角形；(2)若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是__正三角形或正六边形__；(3)请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．解析：(1)△A－△A1是经过旋转所得，△A1－△A2是经过旋转所得，△A2－△A3是经过平移所得．由于△B是由4个△A组成，因此S△B＝4S△A，因此相似比为2∶1.当△C的一条边上有11个小三角形时，那么它们的相似比为11∶1，面积比121∶1，即△C中有121个这样的小三角形；故答案为：1∶2，121.(2)正三角形或正六边形．(3)如图．7．阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合)，分别连接ED 、EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：(1)如图①，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：(3)如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．解：(1)点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．理由：∵∠A ＝55°，∴∠ADE ＋∠DEA ＝125°，∵∠DEC ＝55°，∴∠BEC ＋∠DEA ＝125°，∴∠ADE ＝∠BEC.∵∠A ＝∠B ，∴△ADE ∽△BEC.∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．(2)如图如下：(3)∵点E 是四边形ABCD 的边AB 上的一个强相似点，∴△AEM ∽△BCE ∽△ECM ，∴∠BCE ＝∠ECM ＝∠AEM ，由折叠可知：△ECM ≌△DCM ，∴∠ECM ＝∠DCM ，CE ＝CD ，∴∠BCE ＝13∠BCD ＝30°，∴BE ＝12CE ＝12AB.在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BE BC＝tan 30°，∴BE BC ＝33，∴AB BC ＝233.。

2022年中考数学三轮复习：尺规作图(附答案解析)

2022年中考数学三轮复习：尺规作图一．选择题（共10小题）1．（2021•通山县模拟）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆上一点，连接AC，BC，利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射线AF交BC于点G．若AC＝，AG ＝3，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．2B．C．4D．无法确定2．（2021•兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D．再分别以点E，D为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部交于点F，延长AF交BC于点G，若BG＝5，tan B＝，则AC＝（）A．B．C．8D．6 3．（2021•方城县三模）如图，点C在x轴上，OA＝OC，分别以点A，C为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE，交AC于点B，在射线OE上任取一点D，连接DC．若BO＝AC＝8，CD＝5，则点D的坐标为（）A．（，4）B．（，4）C．（，4）D．（）4．（2021•思明区校级二模）如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20°，则D．MN∥CD5．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC 于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．6．（2021•岳麓区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE，DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8 7．（2021•荆州模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝．BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB．AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M．N作直线MN．交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA的长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5 8．（2021•河南模拟）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F，连接BF，再分别以B，F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°9．（2021•定海区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠C度数为（）A．20°B．30°C．36°D．40°10．（2021•三门峡一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，A（﹣2，0），B（0，2），按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点E．则点E的坐标为（）A．（1，1）B．（1，4）C．（2，4）D．（2，2）二．填空题（共5小题）11．（2021•靖西市模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为．12．（2021•荆州模拟）如图，已知直线AB及其外一点P，求作经过点P且与直线AB平行的直线．作法：（1）连接BP并延长至C，使PC＝PB，连接AC；（2）作线段AC的中垂线EF，与AC交于点D，则直线PD为所求．该作法用到的主要数学依据有．13．（2021•兴庆区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为．14．（2021•梁园区二模）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD 于点F，连接BF，再分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为．15．（2021•昆明模拟）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是．三．解答题（共5小题）16．（2021•南关区四模）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为；（2）作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．17．（2021•思明区校级二模）如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝BC＝3，CD＝．求证：AB⊥BD．18．（2021•思明区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点O为边AB中点，且AB ＝10，AC＜BC．（1）请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝，求Rt△ABC的面积．19．（2021•福建模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，直线AB交直线CM与点Q，求证：P，D，Q三点共线．20．（2021•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：（1）△ABC的周长为；（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．2022年中考数学三轮复习：尺规作图参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•通山县模拟）如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆上一点，连接AC，BC，利用尺规在AB，AC上分别截取AD，AE，使AE＝AD；分别以D，E为圆心、以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点F；作射线AF交BC于点G．若AC＝，AG ＝3，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．2B．C．4D．无法确定【考点】作图—复杂作图；勾股定理．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据圆周角定理得到∠C＝90°，则利用勾股定理可计算出CG＝2，接着利用角平分线的性质得到GH＝GC＝2，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∵AB为直径，∴∠C＝90°，在Rt△ACG中，CG＝＝＝2，∵AG平分∠BAC，GC⊥AC，GH⊥AB，∴GH＝GC＝2，∵P为AB上一动点，∴GP的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、圆周角定理和垂线段最短．2．（2021•兰州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，D．再分别以点E，D为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部交于点F，延长AF交BC于点G，若BG＝5，tan B＝，则AC＝（）A．B．C．8D．6【考点】角平分线的性质；作图—基本作图；解直角三角形．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】过G点作GH⊥AB于H，如图，由作法得AG平分∠BAC，根据角平分线的性质得到GH＝GC，利用正切的定义得到tan B＝＝，则可设GH＝3t，BH＝4t，所以BG＝5t＝5，解得t＝1，从而得到CG＝GH＝3，然后在Rt△ABC中利用正切的定义可求出AC的长．【解答】解：过G点作GH⊥AB于H，如图，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AB，GC⊥AC，∴GH＝GC，在Rt△BGH中，∵tan B＝＝，∴设GH＝3t，BH＝4t，∴BG＝5t，即5t＝5，解得t＝1，∴CG＝GH＝3，∴BC＝BG+CG＝5+3＝8，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴AC＝BC＝×8＝6．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了角平分线的性质和解直角三角形．3．（2021•方城县三模）如图，点C在x轴上，OA＝OC，分别以点A，C为圆心、大于AC 的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线OE，交AC于点B，在射线OE上任取一点D，连接DC．若BO＝AC＝8，CD＝5，则点D的坐标为（）A．（，4）B．（，4）C．（，4）D．（）【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】利用基本作图可判断OD平分∠AOC，则根据等腰三角形的性质得到OD⊥AC，AB＝CB＝4，再利用勾股定理计算出BD＝3，OC＝4，作DH⊥x轴于H，如图，证明△OBC∽△OHD，然后利用相似比计算出OH、DH，从而得到D点坐标．【解答】解：由作法得OD平分∠AOC，∵OA＝OC，∴OD⊥AC，AB＝CB＝AC＝×8＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝＝3，在Rt△OBC中，OC＝＝＝4，作DH⊥x轴于H，如图，∵∠COB＝∠DOH，∠OBC＝∠OHD，∴△OBC∽△OHD，∴＝＝，即＝＝，∴OH＝，DH＝，∴D点坐标为（，）．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．4．（2021•思明区校级二模）如图，已知∠AOB，按以下步骤作图：①在射线OA上取一点，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠CODB．点M与点D关于直线OA对称C．若∠AOB＝20°，则D．MN∥CD【考点】平行线的判定；作图—复杂作图；轴对称的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】根据等弧所对圆周角相等可以判断A；根据平行线的判定可以判断D；根据CM ＝CD，OM＝OD，可得OA垂直平分MD，可以判断B；根据∠AOB＝∠AOM＝∠BON ＝20°，得∠MON＝60°，由OM＝ON，可得△OMN为等边三角形，进而可以判断C．【解答】解：由作法得CM＝CD，∴＝，∴∠COM＝∠COD，所以A选项的结论正确；连接MD，∵＝，∴∠DMN＝∠MDC，∴CD∥MN，所以D选项的结论正确；∵CM＝CD，OM＝OD，∴OA垂直平分MD，∴点M与点D关于OA对称，所以B选项的结论正确；∵∠AOB＝∠AOM＝∠BON＝20°，∴∠MON＝60°，∵OM＝ON，∴△OMN为等边三角形，∴OM＝MN，所以C选项的结论错误．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理．5．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC 于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图；解直角三角形．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】连接AF，设AF＝CF＝5k，BF＝3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．【解答】解：连接AF．由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴F A＝FC，∵BF：FC＝3：5，∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，∵∠B＝90°，∴AB＝＝＝4k，∴BC＝BF+CF＝8k，∴tan∠ACB＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．6．（2021•岳麓区校级三模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN，分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE，DF．若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（）A．2B．4C．6D．8【考点】线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；推理能力；应用意识．【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE ∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF∴∠EAD＝∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE＝DE＝DF＝AF，∵AF＝4，∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，∵DE∥AC，∴＝，∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，∴＝，∴BE＝8，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．7．（2021•荆州模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝．BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB．AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M．N作直线MN．交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA的长为半径作圆．则⊙O的半径为（）A．2B．10C．4D．5【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质．【专题】作图题；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，设OA交BC于T．半径为r，∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝BC＝4，∴AT＝＝＝2，设圆的半径为r，在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2021•河南模拟）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F，连接BF，再分别以B，F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．【解答】解：由作图可知，AF＝AB，AM平分∠BAD，∴AM⊥BF，∴∠AMB＝90°，故选：B．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．（2021•定海区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，交AC于点G；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，若以点G为圆心，GC长为半径作两段弧，一段弧过点C，而另一段弧恰好经过点D，则此时∠C度数为（）A．20°B．30°C．36°D．40°【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】连接AD，根据作图过程可得，AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，根据∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，求出x的值即可．【解答】解：如图，连接AD，根据作图过程可知：AE是BD的垂直平分线，DG＝CG，AB＝AD＝AG，设∠C＝x，则∠CDG＝x，∠AGD＝2x，∴∠ADG＝∠AGD＝2x，∵∠B＝2∠C，∴∠B＝2x，∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠B＝2x，∴∠ADB+∠ADG+∠GDC＝2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠C＝36°，故选：C．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是理解作图过程，利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．10．（2021•三门峡一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，A（﹣2，0），B（0，2），按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线AG，交BC于点E．则点E的坐标为（）A．（1，1）B．（1，4）C．（2，4）D．（2，2）【考点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；作图—复杂作图．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EH⊥AC于点H，由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，则EH＝EB，AB＝AH，证明△CEH是等腰直角三角形，进而求解．【解答】解：过点E作EH⊥AC于点H，由题目作图知，AE是∠CAB的平分线，则EH＝EB，∴AB＝AH，∵△ABC为等腰直角三角形，故∠ACB＝45°，则△EHC为等腰直角三角形，故EH＝HC，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝OC＝2，∴AB＝2，∴AH＝2，∴OH＝OC﹣CH＝2﹣CH，∴AH＝OA+OH＝4﹣CH，∴4﹣CH＝2，∴CH＝4﹣2，∴OH＝2﹣CH＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．∴点E的坐标为（2，4）．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．解决本题的关键是掌握角平分线的作法．二．填空题（共5小题）11．（2021•靖西市模拟）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】连接BE，如图，利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则EA＝EB，所以∠EBA＝∠A＝45°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝2，AD∥BC，所以AE＝BE＝，然后利用平行线的性质得到∠EBC＝∠AEB＝90°，最后利用勾股定理可计算出CE的长．【解答】解：连接BE，如图，由作法得MN垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝45°，∴∠AEB＝90°，∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，AD∥BC，∴AE＝BE＝AB＝，∵AE∥BC，∴∠EBC＝∠AEB＝90°，∴CE＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．12．（2021•荆州模拟）如图，已知直线AB及其外一点P，求作经过点P且与直线AB平行的直线．作法：（1）连接BP并延长至C，使PC＝PB，连接AC；（2）作线段AC的中垂线EF，与AC交于点D，则直线PD为所求．该作法用到的主要数学依据有三角形中位线平行于第三边．【考点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．【解答】解：由作图可知：BP＝PC，AD＝CD，∴PD∥AB（三角形的中位线平行于第三边），故答案为：三角形的中位线平行于第三边．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．13．（2021•兴庆区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③连接AP，交BC于点D．若CD＝3，BD＝5，则AC的长为6．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】作DE⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，依据∠C＝∠AED＝90°知CD＝DE＝3，结合BD＝5知BE＝4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解之可得答案．【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，由作图知AP平分∠BAC，∵∠C＝∠AED＝90°，∴CD＝DE＝3，∵BD＝5，∴BE＝4，∵AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，由AC2+BC2＝AB2得x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等知识点．14．（2021•梁园区二模）如图，在▱ABCD中，以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD 于点F，连接BF，再分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧交于点G，连接AG并延长，交BC于点E，交BF于点M，则∠AMB的度数为90°．【考点】平行四边形的性质；作图—复杂作图．【专题】作图题；推理填空题；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【分析】连接FE，首先证明四边形ABEF是菱形，根据菱形的性质即可得结论．【解答】解：如图，结论EF，由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∴∠AMB＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（2021•昆明模拟）如图，已知△ABC，AB＝BC＝1，∠B＝36°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，分别以M、N为圆心，以大于MN长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点P，连接AP交BC于点E，则BE的长是．【考点】解一元二次方程﹣公式法；角平分线的性质；等腰三角形的性质；作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】根据作图过程可得AE平分∠BAC，根据AB＝BC＝1，∠B＝36°，可得BE＝AE＝AC，证明△BAC∽△AEC，对应边成比例解方程即可求出BE的长．【解答】解：∵AB＝BC＝1，∠B＝36°，∴∠BAC＝∠C＝72°，根据作图过程可知：AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝BAC＝36°，∴∠B＝∠BAE＝∠CAE，∴BE＝AE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝72°，∴∠AEC＝∠C，∴AE＝AC，∴BE＝AE＝AC，∴△BAC∽△AEC，∴＝，∴＝，解得BE＝（舍去），故答案为：．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2021•南关区四模）如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为5；（2）作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．【考点】勾股定理；作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题．【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】（1）利用网格根据勾股定理即可求出边AC的长度；（2）根据网格即可作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．【解答】解：（1）根据勾股定理，得AC＝＝5．故答案为：5；（2）如图，AD即为所求；（2）如图，△PBQ即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．17．（2021•思明区校级二模）如图，已知△ABC．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝BC＝3，CD＝．求证：AB⊥BD．【考点】作图—复杂作图；勾股定理的逆定理．【专题】作图题；推理能力；应用意识．【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD即可；（2）证明△DBC∽△BAC，推出，可得，，再利用勾股定理的逆定理证明即可．【解答】（1）解：如图，点D为所作；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠A＝∠C，由（1）点D在BC的垂直平分线上，∴∠DBC＝∠C，∴∠DBC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△DBC∽△BAC，∴，∴BC2＝AC⋅DC，∴，∴，∵，AB＝3，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°，∴AB⊥BD．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2021•思明区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，点O为边AB中点，且AB ＝10，AC＜BC．（1）请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；（不写作法，保留痕迹）（2）在（1）的条件下，连接OD，若OD＝，求Rt△ABC的面积．【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】（1）在BC延长线上截取CE＝AC，然后作BE的垂直平分线交BC于点D，即可解决问题；（2）连接AE，OD，证明OD是△AEB的中位线，可得AE＝2OD＝6，根据等腰直角三角形可得AC＝6，利用勾股定理可得BC＝8，进而可以解决问题．【解答】解：（1）如图，点D即为所求；（2）如上图，连接AE，OD，∵OA＝OB，DB＝DE，OD＝，∴OD是△AEB的中位线，∴AE＝2OD＝6，∵∠ACE＝90°，AC＝CE，∴AC＝AE＝6，∵AB＝10，∴BC＝＝8，∴S△ABC＝6×8＝24．∴Rt△ABC的面积为24．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．19．（2021•福建模拟）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，直线AB交直线CM与点Q，求证：P，D，Q三点共线．【考点】作图—复杂作图；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】作图题；证明题；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．【分析】（1）记AP与CD交于点N，在AD上截取AR＝DN，连接CR交AP于点M，即可在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°；（2）根据菱形的性质证明△CAQ∽△PCA，可得，由AC＝AD＝CD，所以，再由∠QAD＝∠DCP＝60°，证明△QAD∽△DCP，可得∠AQD＝∠CDP，进而可得∠QDP＝180°，即得Q，D，P三点共线．【解答】解：（1）如图，点M即为所求；（可以尺规作出△ABC的外接圆与AP的交点M；还可以记AP与CD交于点N，在AD 上截取AR＝DN，连接CR交AP于点M）．（2）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°∴∠ACB＝60°，AC＝AD＝CD，∵∠AMC＝120°，∴∠3＝60°，∴∠1+∠2＝60°，又∠ACB＝60°，∴∠1+∠CP A＝60°，∴∠2＝∠CP A，∵AC为对角线，∴∠CAQ＝∠PCA＝120°，∴△CAQ∽△PCA，∴，∵AC＝AD＝CD，∴，∵∠QAD＝∠DCP＝60°，∴△QAD∽△DCP，∴∠AQD＝∠CDP，在△QAD中，∠AQD+∠QDA＝120°，∴∠CDP+∠QDA＝120°，∴∠CDP+∠QDA+∠ADC＝180°，∴∠QDP＝180°，∴Q，D，P三点共线．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△QAD∽△DCP．20．（2021•武汉模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在所给的网格中完成下列画（画图过程用虚线，画图结果用实线）：（1）△ABC的周长为9+；（2）如图1，点D，P分别是AB与竖格和横格线的交点、画出点P关于过点D竖格线的对称点Q；（3）在图1中画△ABC的角平分线BE；（4）将边AB绕点B逆时针旋转∠ABC的度数得到线段BF，在图2中画出点F．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图—应用与设计作图；旋转的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得结论．（2）连接CD交网格线于Q，点Q即为所求作．（3）取格点E，作射线BE即可．（4）取格点P，作射线CP，取格点M，N连接MN交CP于C′，作射线BC′，取格点Q，K，作直线QK交射线BC′于点F，点F即为所求作．【解答】解：（1）∵AB＝＝5，AC＝＝，BC＝4，∴△ABC的周长＝9+，故答案为：9+．（2）如图1中，点Q即为所求作．（3）如图2中，射线BE即为所求作．（4）如图2中，点F即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

2024天津中考数学二轮重难题型专题训练题型三第18题网格作图题 (含答案)

2024天津中考数学二轮重难题型专题训练题型三第18题网格作图题类型一面积问题典例精讲例1如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上．例1题图(Ⅰ)AB 的长等于________；(Ⅱ)在△ABC 的内部有一点P ，满足S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA ＝1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.【思维教练】(Ⅱ)∵S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA ＝1∶2∶3，∴S △P AB ＝16S △ABC ，S △PBC ＝13S △ABC ，S △PCA ＝12S △ABC ，利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，利用面积的倍数关系，分别取AC 的一个六等分点、AC 的一个三等分点，构造AB 、BC 的平行线即可．针对演练1.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．第1题图(Ⅰ)△ABC 的面积等于________；(Ⅱ)若四边形DEFG 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法(不要求证明)______________________.2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．第2题图(Ⅰ)sin∠ABC的值为________；(Ⅱ)点D，F分别为AB，AC上的点，点A关于DF的对称点为E，且DE∥AC，连接DE，EF分别交BC于点H，G，当S△ADF＝15S△EHG时，请利用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，F，并简要说明点D，F的位置是如何找到的(不要求证明)________________.3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点P也在格点上，点C是两个同心圆的圆心．第3题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)以点C为旋转中心，将△ABC绕点C旋转，点A，B的对应点分别是点D，E，当△PDE的面积取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，并简要说明点D，E的位置是如何找到的(不要求证明)_____________________________________. 4.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．第4题图(Ⅰ)计算AC2＋BC2的值等于____________；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2＋BC2，并简要说明画图方法(不要求证明)____________________________. 5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B都在格点上．第5题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)在如图所示的网格中，以AB为底边作一个面积为5的等腰三角形ABQ，并简要说明你是怎么画出点Q的(不要求证明)_________________________________________.类型二线段问题典例精讲例2如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．例2题图(Ⅰ)线段AC的长等于________；(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝A C.请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.【思维教练】(Ⅱ)要满足AP＝AC，利用线段垂直平分线的性质，先构造AC的平行线，再利用平行线的性质和直径所对圆心角为90°构造三角形及三角形底边的垂直平分线即可．针对演练1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P ，A ，O 均在格点上，半圆O 的半径为3，PT 与半圆O 相切于点T .第1题图(Ⅰ)∠PTO 的大小＝________(度)；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PT ，并简要说明点T 的位置是如何找到的(不要求证明)__________________________________________________________.2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在格点上．第2题图(Ⅰ)∠ACB 的大小为________(度)；(Ⅱ)在如图所示的网格中，P 是BC 边上任意一点．以A 为中心，取旋转角等于∠BAC ，把点P 逆时针旋转，点P 的对应点为P ′.当CP ′最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点P ′，并简要说明点P ′的位置是如何找到的(不要求证明)______________________________________.3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B在网格线上，且AB ＝53.第3题图(Ⅰ)线段AC 的长等于________；(Ⅱ)以BC 为直径的半圆与边AC 相交于点D ，若P ，Q 分别为边AC ，BC 上的动点，当BP ＋PQ 取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，Q ，并简要说明点P ，Q 的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________________.4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．第4题图(Ⅰ)AE的长等于________；(Ⅱ)若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AB为以点C为圆心的半圆的直径，点A，B，C，P都在格点上，PC交半圆于点D.第5题图(Ⅰ)PD的长等于________；(Ⅱ)点F是半圆上一点(点F不与点A，B重合)，PF与半圆相切于点F，点Q为半圆外一点，QD与半圆相切于点D，且QD＝16．．．的直尺在网格中画出符合条件的点F，Q.5，请用无刻度并简要说明点F，Q的位置是如何找到的(不要求证明)__________________________.6.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．第6题图(Ⅰ)AB的长等于________；(Ⅱ)M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN.当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________. 7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心，OA长为半径的圆交OB于点C.第7题图(Ⅰ)线段BC的长等于________；(Ⅱ)若BD切⊙O于点D，P为OA上的动点，当BP＋DP取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，P，并简要说明点D，P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________. 8.如图①，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．(Ⅰ)线段AB的长为________；(Ⅱ)点P是线段AC上的动点．当AP＋5PB最短时，请你在图②所示的网格中，用无刻度．．．的直尺画出点P的位置(保留画图痕迹)，并简要说明画图的方法(不要求证明)________________________________________________________________________.第8题图类型三角度问题典例精讲例3如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．例3题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)____________________________.【思维教练】(Ⅱ)要确定点P的位置，根据已知∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，且点A，B在⊙O 上，从而根据圆的对称性，只需在⊙O上确定点Q，使得点Q与点A关于BO对称，点Q 与点B关于AO对称，再根据∠ABC及∠A的度数确定∠PBC的度数，从而得到点P的位置．针对演练1.如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．第1题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出一个格点P ，使∠ABP ＝45°并简要说明画图方法(不要求证明)_________________________________________________________.2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，P 分别为正方形边的中点，B 在格点上．第2题图(Ⅰ)线段AB 的长等于________；(Ⅱ)请用无刻度．．．的直尺，在线段AB 上画出一个点Q ，使得点Q 满足∠PQA ＝3∠PQB ，并简要说明点Q 的位置是如何找到的(不要求证明)_______________________________________.3.“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN ，设∠α＝13∠MAN .第3题图(Ⅰ)当∠MAN ＝69°时，∠α的大小为________(度)；(Ⅱ)如图，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB ＝2.5cm.现要求只能使用带刻度．．．的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明作法(不要求证明)_________________________________.4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点B ，C 均落在格点上，点A在网格线上，且AC ＝52.(Ⅰ)线段AB 的长等于________；(Ⅱ)以AB 为直径的半圆与边BC 相交于点D ，在圆上有一点P ，使得BP 平分∠ABC ，请用无刻度．．．的直尺在如图所示的网格中画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明)_______________________________________________________.第4题图拓展类型其他问题针对演练1.如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点．第1题图(Ⅰ)线段AB的长度等于________；(Ⅱ)点P是△ABC内切圆与AB的切点，请你借助给定的网格，用无刻度．．．的直尺画出点P，并简要说明你是怎么找到点P的(不要求证明)________________________________.2.(2021河东区一模)如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点，C为网格线的三等分点，过点B，C的⊙O与线段AB交于点D.第2题图(Ⅰ)线段AC的长等于________；(Ⅱ)请借助无刻度．．．直尺在给定的网格中画出圆心O，并简要说明你是怎么画出点O的(不要求证明)______________________________________________________________________. 3.如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上.第3题图(Ⅰ)线段AB的长为________；(Ⅱ)在AB上找E点使CE⊥AB，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的(不要求证明)____________________________________.4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．第4题图(Ⅰ)△ABC的面积为________；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的(不要求证明)___________________.参考答案类型一面积问题典例精讲例1(Ⅰ)17；【解析】由勾股定理得AB ＝42＋12＝17.(Ⅱ)如解图，AC 与网格线相交，得点D ，E ；取格点F ，连接FB 并延长，与网格线相交，得点M ，N ，连接DN ，EM 交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，则点P 即为所求．例1题解图【解析】∵S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA ＝1∶2∶3，∴S △P AB ＝16S △ABC ，S △PBC ＝13S △ABC ，S △PCA ＝12S △ABC ，作NF ∥AC ，DN ∥BC ,EM ∥AB ，且AE ＝16AC ，CD ＝13AC ，∴S △EAB ＝S △P AB ＝16S △ABC ，S △DBC ＝S △PBC ＝13S △ABC ，∴S △PCA ＝S △ABC －13S △ABC －16S △ABC ＝12S △ABC .针对演练1.(Ⅰ)6；【解析】S △ABC ＝12×4×3＝6.(Ⅱ)如解图，将点B 绕点C 顺时针旋转90°得到点P ，连接PC ，过点A 作PC 的平行线，与BC 交于点Q ，连接PQ 与AC 相交于点D ；过点D 作CB 的平行线，与AB 相交于点E ，分别过点D 、E 作PC 的平行线，与CB 相交于点G 、F .则四边形DEFG 即为所求．第1题解图【解析】找到格点P 的位置，点P 可以看成点B 绕点C 顺时针旋转90°所得，且PC ＝BC ；连接PC ，过点A 作PC 的平行线交BC 于点Q ，连接PQ 交AC 于点D ，此时以D 为顶点很容易作出一个矩形DEFG ，∵∠DQG ＝∠PQC ，∠DGQ ＝∠PCQ ＝90°，∴△DGQ ∽△PCQ ，∴DG ∶PC ＝DQ ∶PQ ，∵四边形DEFG 为矩形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE ∶BC ＝AD ∶AC ，而AD ∶AC ＝DQ ∶PQ ，∴DG ∶PC ＝DE ∶BC ，∵PC ＝BC ，则DG ＝DE ，可得矩形DEFG 即为所求的面积最大的正方形．2.解：(Ⅰ)35；【解析】∵AC ＝3，BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝35.(Ⅱ)如解图①，取格点M ，N ，连接MN 交网格线于点O ，取格点L ，连接OL 交AC 于点F ，取格点K ，连接KC 交AB 于点D ，则点D ，F 即为所求．图①图②第2题解图【解析】画草图如解图②，∵点A ，E 关于DF 对称，∴DA ＝DE ，∠ADF ＝∠EDF ，∵DE ∥AC ，∴∠EDF ＝∠AFD ，∴∠ADF ＝∠AFD ，∴AD ＝AF ，设AD ＝AF ＝x ，则DE ＝x ，BD ＝5－x ，DH ＝BD ·sin ∠CBD ＝35(5－x )，∴HE ＝DE －DH ＝85x －3，∵∠E ＝∠A ，∴HG ＝HE ·tan E ＝43×(85x －3)，∴S △HEG ＝12HE ·GH ＝23×(85x －3)2，∵S △ADF ＝12AF ·AD ·sin A ＝12x ·45x ＝25x 2，∴25x 2＝15×23(85x －3)2，解得x ＝157或53，∵HE ＝85x －3＞0，∴x ＝157，即AD ＝157，BD ＝207.∴BD ∶AD ＝4∶3，在如解图①中，∵BK AC ＝BD AD ＝43，∴点D 的位置即为所求．∵OF LF ＝123＝16，∴AF ＝2＋17＝157，∴点F 的位置即为所求．3.(Ⅰ)5；【解析】AB ＝42＋32＝5.(Ⅱ)如解图①，取格点F ，G ，H ，I ，分别连接FG ，HI ，与网格线分别交于点J ，K ，作直线JK 分别与小圆、大圆交于点D ，E ，则点D ，E 即为所求．第3题解图①【解析】如解图②，连接CD 、CE 、PE 、PD ，∵△ABC 旋转后点A 、B 的对应点为点D 、E ，∴AB ＝DE ＝5，设点P 到直线DE 的距离为h ，则S △PDE ＝12h ·DE ＝52h ，∴当h 取最小值时△PDE 的面积最小，当DE ⊥CP 时h 最小，即S △PDE 的值最小，则点D ，E 即为所求．第3题解图②4.(Ⅰ)11；【解析】AC ＝12＋12＝2，BC ＝3，∴AC 2＋BC 2＝(2)2＋32＝11.(Ⅱ)如解图，取格点D ，E ，连接AD ，DE ，BE ，取格点H ，I ，连接HI ，交网格线于点J ，取格点K ，连接JK ，交AD 于点M ，取格点O ，P ，连接OP ，交网格线于点Q ，取格点R ，连接QR ，交BE 于点N ，连接MN ，则四边形AMNB 即为所求．第4题解图【解析】如解图，取格点D ，E ，连接AD ，DE ，BE ，构造正方形ADEB ，∵AB ＝12＋42＝17，∴正方形ADEB 的面积为17，且AD ＝BE ＝17，要使以AB 为一边的矩形的面积为11，则矩形的另一边长为111717，则在AD ，BE 上分别截取AM ＝BN ＝111717，则AM DM ＝BN NE＝116＝5.53，取格点H ，I ，连接HI ，交网格线于点J ，取格点K ，连接JK ，交AD 于点M ，则AM DM ＝AJ KD ＝5.53，取格点O ，P ，连接OP ，交网格线于点Q ，取格点R ，连接QR ，交BE 于点N ，则BN NE ＝BQ RE ＝5.53，连接MN ，则四边形AMNB 即为所求．5.(Ⅰ)26；【解析】AB ＝12＋52＝26.(Ⅱ)如解图，取格点C ，E ，F ，连接AC ，EF ，AC 与EF 相交于点M ，取格点D ，S ，T ，连接BD ，ST ，BD 与ST 相交于点N ，连接MN ，取格点L ，P ，连接LP 交MN 于点Q ，连接AQ ，BQ ，则△ABQ 即为所求．第5题解图【解析】如解图，AC ＝BD ＝26，可证CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴AC ∥BD .∵EC ∥AF ，∴△EMC ∽△FMA ，∴CM AM ＝EC FA ＝85，∴AM ＝513AC ＝52613∵SD ∥BT ，∴△SND ∽△TNB ，∴ND NB ＝SD TB ＝85，∴BN ＝513BD ＝52613.∴AM ＝BN ，∴四边形AMNB 为矩形，易得LP 与AB 互相垂直平分，∴点Q 是MN 的中点，且QA ＝QB ，∴S △ABQ ＝12S 矩形AMNB ＝12AB ·AM ＝5.∴△ABQ 即为所求．类型二线段问题典例精讲例2(Ⅰ)5；【解析】AC ＝12＋22＝5；(Ⅱ)如解图，设BC 与网格线相交于点D ，连接OD 并延长交半圆O 于点E ，连接AE 交BC 于点G ，延长BE ，AC 交于点F ，连接FG 并延长交AB 于点P ，则点P 即为所求．例2题解图【解析】如解图，由BC与网格线相交于点D，得CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠AEO＝∠CAE.∵AO＝EO，∴∠OAE＝∠AEO.∴∠CAE＝∠OAE，∴AE平分∠FAB.∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BF.∵AE平分∠FAB，∴直线AE垂直平分BF，∴∠FGE＝∠BGE，∴∠PGA＝∠CGA，∵AE平分∠FAB，AG＝AG，∴△APG≌△ACG，∴AP＝AC.针对演练1.(Ⅰ)90；【解析】∵PT是⊙O的切线，∴∠PTO＝90°.(Ⅱ)如解图①，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．第1题解图①【解析】如解图②，取格点H，连接OC，OT，可知PC＝PO＝5，∴△PCO是等腰三角形，∵等腰三角形两个腰上的高相等，∴OT＝CH＝OA＝3，∴PT⊥TO，∴PC是⊙O的切线．第1题解图②2.(Ⅰ)90；【解析】∵AC2＝32＋32＝18，BC2＝42＋42＝32，AB2＝72＋12＝50，∴AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°.(Ⅱ)如解图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC的延长线于点P′，则点P′即为所求．第2题解图【解析】∵FC ＝22，AC ＝32，∴AF ＝AC ＋CF ＝52，∴AF ＝AB ，∴以点A 为中心，∠BAC 为旋转角，将△ABC 逆时针旋转后点F 即为点B 的对应点．∵点G 为MN 的中点，∴CG ＝322，又∵BC ＝42，AC ＝32，∴FC BC ＝CG AC ＝12，又∵∠ACB ＝∠GCF ＝90°，∴△FCG ∽△BCA ，∴∠F ＝∠B ，∠CGP ′＝∠A ，∴线段FG 即为边BC 旋转后对应边的一部分，∴点P 旋转后的对应点P ′在直线FG 上，∵点T 为AB 的中点，AB 为Rt △ACB 的斜边，∴TC ＝TB ，∴∠TCB ＝∠B ，又∵∠GCP ′＝∠TCB ，∴∠B ＝∠GCP ′，∴∠GCP ′＋∠CGP ′＝∠A ＋∠B ＝90°，∴∠GP ′C ＝90°，即CP ′⊥GF .根据垂线段最短的性质，CP ′即为所求．3.(Ⅰ)13；【解析】AC ＝22＋32＝13.(Ⅱ)如解图①，取格点M ，N ，连接MN ，连接BD 并延长，与MN 相交于点B ′，连接B ′C ，与半圆相交于点E ，连接BE ，与AC 相交于点P ，连接B ′P 并延长，与BC 相交于点Q ，则点P ，Q 即为所求．第3题解图①【解析】如解图②，延长NM 交网格线于点G ，取格点I ，设MN 与直线CI 交于点K ，易知KI ＝23，∴CK ＝1＋23＝53，∵AC ∥MN ，AG ∥CK ，∴四边形CKGA 为平行四边形，∴AG ＝CK ＝53，∵AB ＝53，∴AB ＝AG ，∴BD ＝B ′D ，∵BC 为直径，∴∠BDC ＝90°，∠BEC ＝90°，∴CD 垂直平分BB ′，BE ⊥CE ，∴BP ＝B ′P ，点P 为△BB ′C 的垂心，∴BP ＋PQ ＝B ′P ＋PQ ，B ′Q ⊥BC ，∴BP ＋PQ 的最小值为B ′Q 的长，即点P ，Q 即为所要求的点．第3题解图②4.(Ⅰ)5；【解析】AE ＝22＋12＝ 5.(Ⅱ)如解图，AC 与网格线相交于点P ；取格点M ，连接AM 并延长与BC 相交于点Q .连接PQ ，则线段PQ 即为所求．第4题解图【解析】若以A 为原点建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (6，32)，E (1，2)，F (5，72)，∴直线AE 的解析式为y AE ＝2x ，直线BF 的解析式为y BF ＝－2x ＋272，设P (m ，2m )，Q (n ，－2n ＋272)(0＜m ＜n ＜6)，∴AP 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2，PQ 2＝(m －n )2＋(2m ＋2n －272)2，BQ 2＝(n －6)2＋(－2n ＋12)2＝5(n －6)2，∵AP ＝PQ ＝BQ ，∴5m 2＝5(n －6)2，5m 2＝(m －n )2＋(2m ＋2n －272)2，由5m 2＝5(n －6)2得m ＝6－n ，m ＝n －6(舍去)，把m ＝6－n 代入5m 2＝(m －n )2＋(2m ＋2n －272)2，得n ＝92或n ＝632(舍去)，∴P (32，3)，Q (92，92)．5.(Ⅰ)2；【解析】PC ＝32＋42＝5，又∵CD ＝3，∴PD ＝PC －CD ＝2.(Ⅱ)如解图，取格点E ，S ，H ，T ，G ，连接BE 交半圆点F ，连接TD ，SH 并延长交于点Q ，则点F ，Q 为所求点．第5题解图【解析】如解图，连接PE ，CF ，设BE 与CP 交于点R ，∵EG BG ＝86＝43，PB CB ＝43，∴EG BG ＝PB CB.∵∠EGB ＝∠PBC ＝90°，∴△EGB ∽△PBC ，∴∠EBG ＝∠PCB .∵∠EBG ＋∠CBE ＝90°，∴∠PCB ＋∠CBE ＝90°，∴∠CRB ＝90°.∵CF ＝CB ，∴∠PCF ＝∠PCB .∵PC ＝PC ，∴△PFC ≌△PBC ，∴∠PFC ＝∠PBC ＝90°，∴PF 与半圆相切于点F .∵CD ＝CB ，∠PCB ＝∠TCD ，CP ＝CT ，∴△PCB ≌△TCD ，∴∠CDT ＝∠CBP ＝90°，∴QD 与半圆相切于点D .∵HP ∥SC ，HP ＝SC ，∴四边形HPCS 为平行四边形，∴SH ∥CP ，∴TC SC ＝TD QD ，∴54＝4QD.解得QD ＝165.6.(Ⅰ)5；【解析】AB ＝12＋22＝ 5.(Ⅱ)如解图①，取格点T ，连接BT 交△ABC 的外接圆于点P ，则点P 即为所求．第6题解图①【解析】如解图②，连接PC ，由题意知，PN BN ＝CM BM ＝2，∴MN ∥PC ，MN ＝13PC ，∴当PC 取最大值时，MN 取得最大值，∴当PC 是直径时，MN 的值最大，由作图知BP ⊥BC ，∴PC 是圆的直径，则点P 即为所求．第6题解图②7.(Ⅰ)13－3；【解析】BC＝BO－OC＝22＋32－3＝13－3.(Ⅱ)如解图①，取格点E，连接AE与⊙O的交点即为点D，取格点F，连接DF，与OA的交点即为点P.第7题解图①【解析】如解图②，连接BD，OD，设AE与OB交于点M，∵OD＝OA＝3，OM＝OM，又∵OB⊥AE，∴∠DMO＝∠AMO＝90°，∴△DMO≌△AMO(HL)，∴∠DOM＝∠AOM.∵OB ＝OB，∴△DOB≌△AOB(SAS)．∵AB⊥OA，∴BD⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴BD为⊙O 的切线；∵点F是点B关于OA的对称点，点P在OA上，∴BP＋DP＝DP＋PF，当点D、P、F三点共线即DP＋PF＝DF时有最小值，此时BP＋DP取得最小值，则点D，P即为所求．第7题解图②8.(Ⅰ)17；【解析】AB＝12＋42＝17.(Ⅱ)如解图①，取格点D并连接AD交网格线于点E，连接BE交AC于点P，则点P即为所求．第8题解图①【解析】如解图②，取格点M ，连接CM ，CM 与网格线交于点J ，可知J 为CM 的中点，连接AJ 与BE 交于点I ，可知BE ⊥AJ ，∵J 为MC 的中点，∴CJ ＝MJ ＝12CM ，∵MC ⊥AC ，AC ＝MC ，∴sin ∠JAC ＝JC AJ ＝55，∴PI AP ＝55，∴PI ＝55AP ，∵AP ＋5BP ＝5(55＋PB )＝5(PI ＋PB )≥5BI ，∴点P 即为所求作．第8题解图②类型三角度问题典例精讲例3(Ⅰ)172；【解析】AB ＝22＋（12）2＝172.(Ⅱ)如解图①，取圆与网格线的交点E ，F ，连接EF 与AC 相交，得圆心O ，设AB 与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交⊙O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B ，O 的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠PAC ＝∠PBC ＝∠PCB .例3题解图①【解析】如解图②，取圆与网格线的交点E 、F ，连接EF 交AC 于点O ，∵∠EAF ＝90°，∴EF 为圆的直径，由题意知过点A 、B 的圆的圆心在边AC 上，∴点O 为该圆的圆心，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接AQ，BQ，QC，OB，QC的延长线交OB于点P，交AB 于点M，∵点D为AB的中点，∴OD⊥AB，∵∠OAB＝30°，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB ＝120°，∴∠AQB＝60°，∵OD为AB的垂直平分线，∴AQ＝QB，∴△AQB为等边三角形，∴∠QAB＝60°，∵∠CAB＝30°，∴∠QAC＝∠BAC，∴点O为△AQB三个角的平分线的交点，∴∠OBQ＝∠OBA＝30°，∠QOC＝∠BOC＝60°，易得△QOC≌△BOC，∴∠OQC＝∠OBC，∵∠CBA＝50°，∴∠PBC＝∠CBA－∠OBA＝50°－30°＝20°，∴∠OQC＝20°，∴∠PQB＝30°－20°＝10°，∵∠QDM＝90°，∴∠QMD＝90°－20°＝70°，∵∠QMD＝∠ABC ＋∠PCB，∴∠PCB＝70°－50°＝20°，∴∠PCB＝∠PBC，∵∠OBQ＝∠OBA，易得△PBA≌△PBQ，∴∠PAB＝∠PQB＝10°，∴∠PAC＝30°－10°＝20°，∴∠PAC＝∠PBC＝∠PCB＝20°，则点P即为所求．例3题解图②针对演练1.(Ⅰ)5；【解析】AB＝32＋42＝5.(Ⅱ)如解图，取格点P，点P即为所求．第1题解图【解析】如解图，连接PA，PB，由格点P的位置知，PA⊥AB，PA＝AB，则△PAB是等腰直角三角形，则∠ABP＝45°，则点P即为所求．2.(Ⅰ)532；【解析】AB＝12＋（72）2＝532.(Ⅱ)如解图，取格点M，N，连接MN交网格线于点T，连接PT交线段AB于点Q，则点Q 为所求点.第2题解图【解析】如解图，取格点C ，D ，E ，F ，CE ，DF 交于点S ，连接PS ，则PS ⊥AB ，且PS ＝AB ，连接TS ，则TS ⊥PS ，TS ＝PS ，连接PT ，则△PST 为等腰直角三角形，∴∠PTS ＝45°.∵PS ⊥AB ，TS ⊥PS ，∴AB ∥TS ，∴∠PQB ＝∠PTS ＝45°，∴∠PQA ＝135°，∴∠PQA ＝3∠PQB .3.(Ⅰ)23；【解析】∠α＝13∠MAN ＝13×69°＝23°.(Ⅱ)如解图①，让直尺有刻度的一边过点A ，设该边与过点B 的竖直方向的网格线交于点C ，与过点B 的水平方向的网格线交于点D ，保持直尺有刻度的一边过点A ，调整点C 、D 的位置，使CD ＝5cm ，画射线AD ，此时∠MAD 即为所求的∠α.第3题解图①【解析】如解图②，取CD 的中点E ，连接BE ，∵△CBD 是直角三角形，CD ＝5cm ，∴AB ＝BE ＝DE ＝2.5cm ，∴∠BAE ＝∠BEA ＝2∠BDE ，∵BD ∥AM ，∴∠BDE ＝∠DAM ，∴∠DAM ＝13∠NAM .第3题解图②4.(Ⅰ)652；【解析】如解图①，在Rt △AEB 中，AE ＝12，BE ＝4，由勾股定理得AB ＝BE 2＋AE 2＝652.第4题解图①(Ⅱ)如解图①，取AB与格线交点为N，取格点M，G，连接MG与格点交于点H，连接HN 与半圆交于点P，则点P即为所求．【解析】如解图②，连接PB，HC，取格点Q，L，∵AC＝52，∴点A为格线的中点．∵N为AB的中点，AB为半圆的直径，∴点N为半圆的圆心，NL＝12AE.∵点H为MG的四等分点，∴HQ＝NL＝12AE，∴HC∥NB，HC＝NB，∴四边形HCBN是平行四边形，∴HN∥CB，∴∠NPB＝∠PBD，∵PN＝BN，∴∠NPB＝∠NBP，∴∠DBP＝∠NBP，∴BP平分∠ABC，则点P即为所求．第4题解图②拓展类型其他问题针对演练1.(Ⅰ)52；【解析】AB＝12＋72＝5 2.(Ⅱ)如解图，取格点D，E，连接DE交AB于点P，则点P即为所求．第1题解图【解析】由勾股定理得：AC ＝32，BC ＝42，∵AC 2＋BC 2＝18＋32＝50＝AB 2,∴△ABC是直角三角形，且∠ACB ＝90°，设△ABC 内切圆的半径为r ，则有12(AC ＋BC ＋AB )r ＝12AC ·BC ，∴r ＝2，设△ABC 内切圆与AC 的切点为G ，则CG ＝2，根据切线长定理，得AG ＝AP ，∵AG ＝AC －CG ＝22∴AP ＝22，∴BP ＝AB －AP ＝32，∴AP ∶BP ＝2∶3，∴取点A 正下方两格的格点D ，取B 点正上方三格的格点E ，连接DE 交AB 于点P ，则点P 即为所求．2.(Ⅰ)1453；【解析】AC ＝32＋（83）2＝1453；(Ⅱ)如解图，取圆与格线的交点M ，N ，K ，连接MN ，DK ，MN 与DK 的交点O 即为所求作．第2题解图【解析】∵格点D ，K 分别是⊙O 与格线的交点，∠DBK ＝90°，∴DK 是⊙O 的直径，同理知∠MHN ＝90°，∴MN 也是⊙O 的直径，∴MN 与DK 的交点O 即为所求的圆心O .3.(Ⅰ)13；【解析】AB ＝32＋22＝13.(Ⅱ)如解图①，取格点D ，连接DC 并延长与AB 交于点E ，则点E 即为所求．第3题解图①【解析】如解图②，取格点H ，连接BH ，可知AB ⊥BH ，由作图可得DE ∥BH ，∴DE ⊥AB .则点E 即为所求．第3题解图②4.(Ⅰ)6；＝【解析】由题图可判断△ABC为直角三角形，直角边为AC，BC分别长为3,4，则S△ABC1×3×4＝6.2(Ⅱ)如解图，取格点D，连接BD交AC于点M，则点M即为所求．第4题解图【解析】如解图，取格点E，可知A，D，E三点共线，可知AD＝DE，∵AB＝BE＝5，∴BD 是∠ABC的角平分线，∴点M到直线AB的距离等于点M到直线BC的距离即CM，即以M 为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，则点M即为所求．。

2020中考数学总,网格型问题+图形的变化+解直角三角形的实际应用+全等三角形

小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若
抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛
物线的“内接格点三角形”．以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直
角坐标系，若抛物线与网格对角线 OB 的两个交点之间的距离为 3 2，
且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶
C. 3π 2
D. 5π 2
解析：由图知∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，
半径为 5，∴A︵C的长＝90π× 5＝ 5π，故选 D.
180
2
答案：D
【预测演练 1－3】如图 38－4，在长方形网格中，每个小长方形
的长为 2，宽为 1，A，B 两点在网格格点上．若点 C 也在网格
格点上，以 A，B，C 为顶点的三角形面积为 2，则满足条件的
选项
B
中三角形是直角三角形，且较小角的正切恰为1，∴它 2
与△ABC 相似．
答案：B
【预测演练 1－2】如图 38－3，在 6×6 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，其中 A，B，C 为格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则A︵C的长等于 ( )
图 38－3
A. 3π 4
B. 5π 4
【精选考题 1】 (2012·湖北咸宁)如图 38－1①，在矩形 MNPQ 中，点 E，F，G，H 分别在 NP，PQ，QM，MN 上．若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．图 38－1②，图 38－1③，图 38－1④中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB＝4，BC＝8. 理解与作图： (1)在图 38－1②，图 38－1③中，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH；

中考数学题型训练网格作图

中考题型训练——网格作图1.（07.云南）（6分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）作出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1; (2)作出△A1B1C1绕点B1顺时针方向旋转90°后的△A2B1C2；（3）求△A2B1C2的周长；（第1题）（第２题）2.（06.云南）（7分）在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都是1, △ABC与△A1B1C1构成的图形是中心对称图形. (1)画出此中心对称图形的对称中心O; (2)画出将△A1B1C1沿直线DE方向向上平移５格得到的△A2B２C2；（３）要使△A2B２C2与△CC1C2重合，则△A2B２C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（不要求证明）３．（05.云南）（7分）如图，梯形ABMN是直角梯形.(1)请在图中拼上一个直角梯形,使它与梯形ABMN构成一个等腰梯形;(3)将补上的直角梯形以点M为旋转中心,逆时针方向旋转180°,再向上平移一格,画出这个直角梯形(不要求写作法)（第3题）（第4题）4.(07.安徽) △ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示:(1)将△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,则点A1 、B1的坐标分别为和.（２）将△ABC绕点S按顺时针方向旋转90°,画出旋转后的图形.5.(07.江苏)如图,网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度.(1)请在所给的网格内画出以线段AB,BC为边的菱形ABCD;(2)填空:菱形ABCD的面积等于 .（第5题）（第6题）6.(07.福州)如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后, △ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,-1).(1)把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标;(2)以原点O为对称中心,再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B２C2,并写出点C2的坐标.7．（07.哈尔滨）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（１）作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C；（２）将△ABC向下平移３个单位长度，画出平移后的△A2B２C2.（第７题）（第8题）８.（07.辽宁）如图, 在平面直角坐标系中,图○1与图○2关于点P成中心对称.(1)画出对称中心P,并写出点P的坐标;(2)将图形○2向下平移4个单位,画出平移后的图形○3,并判断图形○3与图形○1的位置关系.(直接写出结果)9.(07.安徽)如图,在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7,1)、B(8,2)、C(9,0).(1)请在图中画出△ABC的一个以点P(12,0)为位似中心,相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧);(2)求线段BC的对应线段B′C′所在直线的表达式.（第9题）（第10题）10.(07.长沙)如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分,请你帮他完成余下的工作: (1)作出关于直线AB的轴对称图形;(2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°;(3)发挥你的想象,给得到的图案适当涂上阴影,让图案变得更加美丽.11.(07.海南)在如图的方格纸中，△ABC的顶点坐标分别为A(-2,5)、B(-4,1)和C(-1,3).(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A、B、C的对称点A1、B1、C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点A、B、C的对称点A2、B2、C2的坐标；（3）试判断：△A1B1C1与△A2B2C2是否关于y轴对称（只需写出判断结果）（第11题）（第12题）12.（07.青海）如图所示，图○1和图○2中的每个小正方形的边长都为1个单位长度.(1)将图○1中的格点△ABC(顶点都在网格线交点的三角形叫格点三角形)向在平移2个单位长度得到△A1B1C1,请你在图中画出△A1B1C1;(2)在图○2中画一个与格点△ABC相似的格点△A2B2C2,且△A2B2C2与△ABC的相似比为2:1.13.(07.广西)如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC 向右平移5格，得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1按顺时针方向旋转90°,得到△A2B2C2.(1)请在网格中画出△A1B1C1和△A2B2C2(不要求写画法)(2)画出△A1B1C1和△A2B2C2后,填空:∠C1B1C2= 度, ∠A2= 度.（第13题）14.(06.成都)如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为(-1,-1).(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1并写出点B1的坐标;(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C,画出△A2B2C并写出点B2的坐标;(3)把△ABC以点A为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为1:2,画出△AB3C3.（第14题）15.(06.广东)如图,图中的小正方形是边长为1的正方形,△ABC与是关于O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.(1)画出位似中心点O;(2)求出△ABC与的位似比;(3)以点O为位似中心,再画一个△A1B1C1,使它与△ABC的位似比为1.5;。

中考数学专题复习格点作图题(三)

中考数学专题复习格点作图题（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．已知：△ABC 在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是__________；(2)以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1；四边形AA 2C 2C 的面积是__________平方单位．2．如图，已知△ABC（1）以△ABC 为基本图案，借助旋转、平移或轴对称在图1中设计一个图形，使它是中心对称图形，但不是轴对称图形．（2）以△ABC 为基本图案，借助旋转、平移或轴对称在图1中设计一个图形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形．3．（1）图1是44⨯的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形并涂上阴影，使图中阴影部分是一个中心对称图形；（2）如图2，在正方形网格中，以点A 为旋转中心，将ABC ∆按逆时针方向旋转90︒，画出旋转后的11AB C ∆；（3）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、O 都是格点，作ABC ∆关于点O 的中心对称图形111A B C ∆．4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中以AB为边画Rt△BAC，点C在小正方形的顶点上，使△BAC＝90°，tan△ACB＝23；（2）在（1）的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的△DEF，点D在小正方形的顶点上，连接CD、BD，使△BDC是锐角等腰三角形，直接写出△DBC的正切值．5．图△，图△均是边长为1的小正方形组成的4×3的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图．（1）在图1中，作△ABC的中线CD；（2）在图2中，作△ABC的高线AH．6．图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，点D 为边AC 的中点．分别在图①、图②中ABC 的边AB 上确定点,P 并作出直线DP ，使ADP △与ABC 相似．要求：（1）图①、图②中的点P 位置不同．（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．7．如图△、图△、图△均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，ABC 的顶点、、A B C 均在格点上仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法.（1）在图△中，找一个格点,D 使以点A B C D 、、、为顶点的四边形是平行四边形；（2）在图△中，画出线段,EF 使EF 垂直平分,AB 且点E F 、在格点上；（3）在图△中，在边AC 上确定一点,P 使ABC 被BP 分成的两个三角形的面积比为1:2．8．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形．（1）使三角形三边长为3，8，5；（2）使平行四边形有一锐角为45︒，且面积为6．9．图△、图△、图△均是8⨯8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图△、图△、图△中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．（1）在图△中画出ABC的中线BD．（2）在图△ABC的边AB上找到一点E，将AB分成2：3两部分．（3）在图△ABC的边BC上找到一点F，使:2:3ABF ACFS S∆∆=10．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫格点．已知点A在格点，请在给定的网格中按要求画四边形，使四边形的四个顶点都在格点．（1）以A为顶点在图甲中画一个面积为21的中心对称图形且满足72tanA=；（2）以A为顶点在图乙中画一个周长为20、面积为15的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形．参考答案：1．(1)画图见解析，（2，–2）；(2)画图见解析，7.5．【解析】【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可；根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，四边形AA2C2C的面积是=1151527.522⨯⨯+⨯⨯=．故答案为（1）（2，﹣2）；（2）7.5．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解答本题的关键．2．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）将△ABC绕着一点旋转180°，即可得到所求的图形；（2）将△ABC进行多次轴对称变换，即可得到所求的图形．【详解】解：（1）如图1所示，由两个三角形组成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形．（2）如图2所示，由四个三角形组成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换或平移变换设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可以设计出美丽的图案．利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的定义，画出图形，即可；（2）以点A为旋转中心，将ABC∆按逆时针方向旋转90︒的对应点画出来，再顺次连接起来，即可；（3）作ABC∆各个顶点关于点O的中心对称后的对应点，再顺次连接起来，即可得到答案．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示；【点睛】本题主要考查中心对称图形和图形的旋转变换，掌握中心对称图形的定义，是解题的关键．4．(1)见解析；（2）图见解析，△DBC的正切值＝5【解析】【分析】（1）作△BAC=90°，且边AC=32，才能满足条件；（2）根据△BDC是锐角等腰三角形即可确定点D的位置，作出图形即可.【详解】解：（1）如图所示，Rt△BAC即为所求；（2）如图所示，△DEF和△BDC即为所求；△DBC的正切值=CGBG＝5．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理．三角形的面积、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）如图，利用矩形中心对称的性质得到AB的中点，连接点C和AB的中点即为所求；（2）连接AG，交BC与点H，构造全等三角形，从而得AG△BC，则AH即为所求．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，【点睛】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握三角形的高线、中线的定义以及全等三角形的应用．6．答案见解析【解析】【分析】（1）找到格点N、M，连接NM交AB于点P，过P点和D点作直线PD，P点即为所求，理由是：找到格点Q，连接NQ交AB于点T，连接TP，根据三角形相似的判定和性质，得到PT和AP的长，根据勾股定理和中点的性质，计算AD的长，再根据相似三角形的判定方法即可解决.（2）找到格点K、L，连接KL与AB变动边的交点即为所求P点，理由为：根据三角形全等的判定和性质，证明P点为AB边的中点，然后根据中位线的意义和性质，结合三角形相似的判定方法，即可得出△APD△△ABC；解：（1）如图：找到格点N、M，连接NM交AB于点P，过P点和D点作直线PD，此时△APD△△ACB.理由如下：找到格点N、M、Q，连接NM交AB于点P，连接NQ交AB于点T，连接TP，由图可知，△NTP=△NQM，△QNM=△TNP，△△TNP△△QNM，△16TP NTQM NQ==，△16TP=，△113266AP=+=，△222313AC=+=，D为AC的中点，△132AD=，1313236ADAB∴==，13136613APAC==，在△APD和△ACB中，△DAP=△BAC，136AD APAB AC∴==，△△APD△△ACB.（2）如图：找到格点K，L，连接KL，交AB于点P，过P点和D点作直线PD，此时△ABC△△APD.理由如下：找到格点W、G，连接WG，KW，GL，由图可知，KW△GL，△△KPW=△LPG，△KWP=△LGP，又△KW=LG，△△KWG△LGP，△WP=GP，△P为WG的中点，△AW+WP=BG+GP，△AP=BP，△P为AB的中点，△D点为AC的中点，△PD为△ABC的中位线，△PD△BC，△△APD△△ABC.【点睛】（1）本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握相似三角形的判定方法，能够根据三角形相似得到相应线段的比例式.（2）本题考查了相似三角形的判定，中位线的意义和性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握相似三角形的判定方法和中位线的性质. 7．（1）如图见解析；（2）如图见解析；（3）如图见解析．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定解决问题即可．（2）利用线段垂直平分线的判定解决问题即可．（3）利用面积法，数形结合的思想，求出BP的三等分点解决问题即可【详解】解：（1）如图（2）如图．（3）如图.【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计，平行四边形的判定，线段的垂直平分线以及三角形面积的求法等知识．8．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别作出三角形三边，即可得出答案；（2）可先找出一个直角边为2的等腰直角三角形，然后据此即可画出所求的平行四边形．【详解】（1）如图：2222822,521=+=+（2）如图：【点睛】本题主要考查作图，掌握勾股定理是解题的关键．9．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】如图△所示找出以AC为对角线的正方形，然后连接此正方形的另一条对角线，两对角线交于点D，根据正方形的性质即可得出结论；如图△所示，找出格点G、H，GH与AB交于点E，证出AGE△BHE，即可得出结论；如图△所示，找到格点M、N，MN与BC 交于点F，证出BNF△CMF，根据相似三角形的性质和等高时，三角形面积比等于底之比即可得出结论．【详解】解：如图△所示，找出以AC为对角线的正方形，然后连接此正方形的另一条对角线，两对角线交于点D，根据正方形的性质，点D即为AC的中点，连接BD，BD即为所求；如图△所示，找出格点G、H，GH与AB交于点E，由图易知AG△BH，AG=2，BH=3△AGE△BHE△23 AE AGBE BH==△点E即为所求；如图△所示，找到格点M、N，MN与BC交于点F，由图易知BN△MC，BN=2，CM=3△BNF△CMF△23BF BN CF CM == △::2:3ABF ACF S S BF CF ∆∆==△点F 即为所求【点睛】此题考查的是正方形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握利用正方形的性质和相似三角形的判定及性质找出所求点是解决此题的关键．10．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）可画一个底为3，高为7的平行四边形，作法：沿水平格线作AB =3，在AB 上取一点E ，使得AE =2，过点E 作DE △AB ，且使DE =7，再沿水平格线向左作CD =3，连接AD 、BC ，则四边形ABCD 即为所求；（2）可画一个边长为5，高为3的菱形，作法：沿水平格线作AB =5，再将AB 向上平移3各单位，向右平移4个单位得到CD ，连接AC ，BD ，则四边形ABDC 即为所求.【详解】解：（1）（2）.【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握菱形、平行四边形的性质是解题关键．。

数学中考专题网格作图题复习

初中数学课件
网格作图题
中考题型
1.(2015昆明中考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,4),B(1,1),C(4,3). (1)请画出△ABC关于x轴对称的△DEF，并写出点的坐标； (2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转900后的； (3)求出中C点旋转到F点所经过的路径长(结果保留根号和)．
二、典例分析规律总结
1.(2015昆明中考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,4),B(1,1),C(4,3). (1)请画出△ABC关于x轴对称的△DEF，并写出点的坐标； (2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转900后的； (3)求出中C点旋转到F点所经过的路径长(结果保留根号和)．
规律总结：1. 2.
三、巩固提高归纳提升
1.在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy， △ ABC 的三个顶点都
在格点上，点 A 的坐标，，请解答下列问题：
画出△
关于 y 轴对称的△
，并写出点、、的坐标；
将△
绕点 C 逆时针旋转，画出旋转后的△
，并求出点 A 到
的路径长．
2.已知坐标平面内的三个点，，，，，，把△ 3 个单位再向右平 2 个单位后得△ ．
直接写出 A、B、O 三个对应点 D、E、F 的坐标；求△ 的面积．
向下平移
3.如图所示，在△ 中，点 A 的坐标为，，点 C 的坐标为，，
点 A 关于 x 轴的对称点的坐标______ ；点 C 关于 y 轴的对称点的坐标______ ；如果要使△ 与△ 全等，那么点 D 的坐标是 ______ ．
4.如图，△ 三个顶点的坐标分别为，，，，，
请画出将△ 向左平移 4 个单位长度后得到的图形△