(整理版)高中学习资料二元一次不等式组答案
高一不等式(4)二元一次不等式组表示的平面区域与面积
二元一次不等式组表示的平面区域与面积必考点1二元一次不等式组表示的平面区域1. 不等式3x+2y-6<0表示的平面区域是（）A. B. C. D.2. 画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)2x－y－6≥0；(2)2204x yx yx+-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩3. 不等式组36020x yx y-+≤⎧⎨-+>⎩表示的平面区域是()4. 在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是()5. 不等式组表示的平面区域是一个（ ）.A.三角形B.直角三角形C.梯形D.矩形6. 平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．7. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．8. 若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1 B.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1 C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥110. 表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（ ）A. B.C. D.11. 由直线x －y ＋1＝0，x ＋y －5＝0和x －1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≥1B.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y －5≤0x ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －5≥0x ≤1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≤112. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．平面区域的面积1. 在平面直角坐标系中,不等式组,表示的平面区域的面积是（ ）A. B. 4 C. D. 22. 不等式组110220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩表示的平面区域的面积是________．3. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2表示的平面区域的面积为( )A.503 B.253 C.1003 D.1034. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43 D.345. 不等式组20240320x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，表示的平面区域的面积为 .6. 画出不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)求平面区域的面积．7. 已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．8. 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( ) A.72 B.73 C.74 D.129. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域被直线2x ＋y －k ＝0平分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________．10. 已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2表示的平面区域内，求N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面积．必考点2 平面区域点的位置1. 在不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,7) B ．(5,0) C ．(0,1) D ．(2,3)2. 不在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)3. 以下各点中，在不等式组表示的平面区域中的点是（ ） A. B. C. D.4. 原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2) D ．[0,2]5. 已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________． 6. 已知点和在直线的同侧,则直线倾斜角的取值范围是（ ） A. B.C.D.7. 已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系8. 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．9. 设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则实数m 的取值范围是________．10. 若平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）.A.11. 已知点P 在|x |＋|y |≤1表示的平面区域内，点Q 在⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≤1，|y －2|≤1表示的平面区域内．(1)画出点P 和点Q 所在的平面区域； (2)求P 与Q 之间的最大距离和最小距离．12. 由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式组12x y x y +⎧⎨+-⎩确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）. A.18 B.14C. 34D.7813. 在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影.由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则（ ）.A. B. C. D.必考点3 用二元一次不等式组表示实际问题1. 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．P l P l 200340x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩20x y +-=AB AB =462. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：电力/(k W·h) 工人/人该工厂有工人200人，每天只能保证160 k W·h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．3. 某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2 500件，月产Q产品最多有1 200件；而且组装一件P产品要4个零件A,2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A,8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14 000个，B零件最多12 000个．用数学关系式和图形表示上述要求．4. 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．5. 完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是()A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x ，y ∈N * B.⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x y ＝23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x ，y ∈N*D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y <100x y ＝23参考答案二元一次不等式组表示的平面区域与面积必考点11、二元一次不等式组表示的平面区域 1. 【答案】D【解析】根据已知的不等式可知，原点的坐标满足不等式，那么说明区域中含有原点，排除旋下那个A,C,同时要注意到直线的一侧的部分包括整个半平面，因此B 错误，只有选D.2. 【解析】(1)如图，先画出直线2x －y －6＝0，取原点O (0,0)代入2x －y －6中，∵2×0－1×0－6＝－6<0，∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y －6<0，故直线2x －y －6＝0右下方的区域就是2x －y －6>0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．(2)先画出直线x ＋2y －2＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入x ＋2y －2，∵0＋0－2＝－2<0，∴原点在x ＋2y －2≤0表示的平面区域内，即x ＋2y －2≤0表示直线 x ＋2y －2＝0上及其左下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤4表示直线x ＝4上及其左方的点的集合．如图中阴影部分就表示原不等式组表示的平面区域．3. 【答案】C【解析】由x －3y ＋6≤0得y ≥3x ＋2，不等式表示的平面区域在直线y ＝3x＋2的左上方，由x －y ＋2>0得y <x ＋2，不等式表示的平面区域在直线y ＝x ＋2的右下方，故选C.4. 解析：选C 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.5. 【答案】C【解析】作出平面区域如图，所以不等式组表示的区域是梯形.6. 解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形7. 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC ，当5＜a ＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a ＜7时，表示的平面区域为三角形．答案：[5,7)8. 解析：选B 如图，易知直线kx －y ＋1＝0经过定点A (0,1)，又知道关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，且k >0，所以k ·⎝⎛⎭⎫－12＝－1， 解得k ＝2，故选B.9. 解析：选B 由图易知平面区域在直线2x －y ＝0的右下方，在直线x ＋y ＝3的左下方，在直线y ＝1的上方，故选B. 10. 【答案】D【解析】根据图像可知，有三条直线，分别是=0，，，那么根据原点的位置可以带入直线方程中来判定其符号，结合图形的位置可知，那么不等式的组为，故选D.11. 解析：选A 由题意，得所围成的三角形区域在直线x －y ＋1＝0的左上方，直线x ＋y －5＝0的左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0，x －1≥0.12. 解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1)必考点12、平面区域的面积 1. 【答案】B【解析】本题主要考查线性规划问题.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，不等式组所表示的平面区域是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，所以面积为4.2.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图△ABC ，由条件知A (－1,0)，B (1,2)，C (1，－4)．所以S △ABC ＝12·|BC |·d ＝12×6×2＝6.(d 表示A 到直线BC 的距离)．3. [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A的坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，点B 的坐标为(－2，－2)，点C 的坐标为(8，－2)，所以△ABC 的面积是12×[8－(－2)]×⎣⎡⎦⎤43－(－2)＝503.[答案] A4. 解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得A (1,1)， 又B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43，故选C. 5. 解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由320240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得82x y =⎧⎨=-⎩.所以()0,2A，()2,0B ，()8,2C -.直线240x y +-=与x 轴的交点D 的坐标为()4,0.因此112222422ABC ABD BCD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△.故答案为4.6. 【解析】(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方点的集合．x ＋y ≥0表示直线上及右上方的点的集合．x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图所示．由图中阴影部分，可得x ∈5,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，y ∈[－3,8]．(2)平面区域是以55,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3，－3)，(3,8)为顶点的三角形．x+所以面积为S ＝12×(8＋3)×532⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1214.7. 解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫67，107， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45， 所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.8. 解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74.9. [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为12×1×(1＋1)＝1，可知直线2x ＋y －k ＝0与区域边界的交点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫k －13，k ＋23及⎝⎛⎭⎫k2，0，要使直线2x ＋y －k ＝0把区域分成面积相等的两部分，必有12×⎝⎛⎭⎫k2＋1×k ＋23＝12，解得k ＝6－2.10. 解：由题意，得a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ≤2，设n ＝a －b ，m ＝a ＋b ，则a ＝n ＋m 2，b ＝m －n2，于是有⎩⎨⎧n ＋m2≥0，m －n2≥0，m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m ≥0，m －n ≥0，m ≤2，这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB内部(含边界)，其面积为12×(2＋2)×2＝4，即点N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面积为4.必考点13、平面区域点的位置1. 解析：选C 对于点(0,1)，代入上述不等式2×0＋0×1－6<0成立，故此点在不等式 2x ＋y －6<0表示的平面区域内，故选C.2. 解析：选A 将(0,0)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3不成立，故(0,0)不在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(1,1)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(1,1)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(0,2)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(0,2)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(2,0)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(2,0)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，故选A.3. 【答案】A【解析】本题主要考查线性规划的应用.直接代入不等式组中验证可知A 正确.4. 解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －2)<0，解得0<a <2.5. 解析：因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >－12 6. 【答案】D【解析】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域、直线的倾斜角和斜率.因为点和在直线的同侧,所以,解得,所以直线斜率,所以直线倾斜角的取值范围是,故选D.7. 解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.8. 解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，故只有一个公共点(5,0)．答案：19. 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C 的坐标为(m ，－m )，把直线x －2y ＝2转化为斜截式y ＝12x －1，要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则点C 在直线x －2y ＝2的右下方，因此－m <m 2－1，解得m >23，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞10. B 解析 画出不等式组所表示的平面区域如图所示，由，得，由，得.由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点和点时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两直线为满足条件的距离最小的一对直线，即.故选B.11. 解：(1)不等式|x |＋|y |≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，x －y ≥－1，x ≤0，y ≥0，x ＋y ≥－1，x ≤0，y ≤0，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|≤1，|y －2|≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，1≤y ≤3，由此可作出点P 和点Q 所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD 内部(含边界)，四边形EFGH 内部(含边界)．23030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩()1,2A 23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩()2,1B A BAB ==(2)由图易知|AG |(或|BG |)为所求的最大值，|ER |为所求的最小值，易求得 |AG |＝(－1－3)2＋(0－3)2＝42＋32＝5，|ER |＝12|OE |＝22.12. 略13. C 解析 如图所示，PQR △的边界及内部为约束条件的可行域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段R Q ''，也就是线段AB .因为四边形''RQQ R 为矩形，所以R Q =RQ ''，由340x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得(1,1)Q -.由2x x y =⎧⎨+=⎩，得(2,2)R -.22(12)(12)32AB QR ==--++=.故选C.必考点14、用二元一次不等式组表示实际问题1. 【解析】设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，则23142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．2. 【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x t 和y t ，生产x t 甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x ＋8y )k W·h ，根据条件有2x ＋8y ≤160；用煤量为(3x ＋5y )t ，根据条件有3x ＋5y ≤150；需工人数为(5x ＋2y )，根据条件有5x ＋2y ≤200；另外，x ≥0，y ≥0.2综上所述，x ，y 应满足不等式组2816035150522000,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥≥⎩.则甲、乙两种产品允许的产量范围是该不等式组表示的平面区域，即如图中阴影部分(含连界)所示．3. [解] 设分别生产P ，Q 产品x 件，y 件，依题意则有⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ≤14 000，2x ＋8y ≤12 000，0≤x ≤2 500，x ∈N ，0≤y ≤1 200，y ∈N.用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．4. 解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x 和y ，它们满足的数学关系式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．5. 解析：选C 由题意50x ＋40y ≤2 000，即5x ＋4y ≤200，y x ＝23，x ，y ∈N *，故选C.。
高一 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点+例题+练习 含答案
1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有①当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； ②当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) (4)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域．( √ )1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是________．答案 ③解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是________． 答案 2解析 因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22， 其面积为12×AB ×AC ＝2.4．(2015·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 2解析 可行域如图所示．目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0,1)时，z 取得最大值2.5．(教材改编)投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据A B 总数 产品吨数 x y 资金 200x 300y 1 400 场地200x100y900所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的________．(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 (1)③ (2)43解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有③符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.命题点2 含参数的平面区域问题 例2 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是____________________________________________________________． 答案 73解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________． (2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为________．答案 (1)[3，＋∞) (2)1解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只有可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例3 (2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，∴z 的取值范围是(1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0)．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方，(PQ 2)max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2， (PQ 2)min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求线性规划的参数例5 已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 12解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值． (2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足条件．(1)(2015·无锡一模)在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．(2)(2014·安徽改编)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________． 答案 (1)1 (2)2或－1 解析 (1)不等式组⎩⎨⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．(2)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.题型三 线性规划的实际应用例6 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128答案 18解析 设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．8．含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x ＋y ＝m 和直线y ＝－x 平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．解析 显然，当m <2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m ＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A (1,1)．此时z min ＝1－1＝0≠－1. 显然都不符合题意．故必有m >2，此时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A (1,1)，B (m －1,1)，C (m ＋13，2m －13)．由图可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，z 取得最小值， 最小值为m ＋13－2m －13＝2－m3.由题意，得2－m3＝－1，解得m ＝5.答案 5温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来． (2)应注意直线y ＝x －z 经过的特殊点．[方法与技巧]1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题． [失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．2．若点(m,1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________． 答案 m >1解析 由2m ＋3－5>0，得m >1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________． 答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 解析 不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元． 答案 2 800解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________． 答案 1解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.7．(2015·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是________． 答案 1解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x 的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是__________．答案 [－53，5)解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．9．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)． 答案 15解析 设购买铁矿石A 、B 分别为x 万吨，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)， 画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15. 10．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案2513解析 因为a >0，b >0， 所以由可行域得，如图，当目标函数过点(4,6)时z 取最大值，∴4a ＋6b ＝10.a 2＋b 2的几何意义是直线4a ＋6b ＝10上任意一点到点(0,0)的距离的平方，那么其最小值是点(0,0)到直线4a ＋6b ＝10距离的平方，则a 2＋b 2的最小值是2513.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是__________． 答案 (－103，－2)解析 作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3,1)上有两个不同实数解． 令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)>0，f (1)>0，－3<k2<1，Δ＝k 2－4>0⇒－103<k <－2.12．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________． 答案55解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →， 则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →| ＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.13．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x )≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________． 答案 π2解析 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心， 以1为半径的圆及圆的内部， 作出它们表示的平面区域如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形． 由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此，阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.14．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1. 显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.16．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析 作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．。
二元一次不等式(组)测试卷(含答案解析)
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题、基本不等式第Ⅰ卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知x , y ∈R +, x+y ≤4 , 则下列不等式中恒成立的是 ( ) (A)411≤+yx (B) 2≥xy (C)11≥xy(D)111≥+yx【解析】利用基本不等式判断，因为4x y ≥+≥2≤，所以14xy ≥，又111212x y x y xyxy++=≥=≥⨯=，所以选D.【答案】D2. 已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．4m ≥或2m ≤-B ．2m ≥或4m ≤-C ．24m -<<D ．42m -<< 【解析】因为2142(2)1(2)()4448y x x y x y x y x y x y +=+⋅=+⋅+=++≥+=，因为222x y m m +>+恒成立，则2m in 2(2)m m x y +<+，即228m m +<，所以42m -<<。
【答案】D3. 若实数y x ,满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩, 目标函数2z x y =-，则（ ）A ．max 5z =B ．m ax 1z =-C ．m ax 2z =D ．m in 0z =【解析】不等式表示的平面区域所围成的四边形区域，作辅助线，并平移，当直线移动到点（3，1）时，目标函数2z x y =-达到最大，最大为5，当直线移动到点（0，4）时，目标函数2z x y =-达到最小，最小为-4，选A 。
【答案】A 4. 已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -，若11()()4f a f b --+=，则11a b+的最小值为( )A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】函数()2xf x =的反函数为1()f x -为12()log f x x -=，所以11()()4fa fb --+=即为22log log 4a b +=，所以16ab =，所以1112a b +≥=，所以11a b+的最小值为12。
高中数学第三章不等式3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)[答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉D D ．P 1∈D ，P 2∈D[答案] A[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ．3．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8[答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ．O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ．5．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5x ＋y ≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．二、填空题7．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个． [答案] 6[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个． 8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．10．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)、B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析]由题意知直线l 斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0 ∴－1≤k ≤1.一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)[答案] B[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y ＋1≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[答案] B [解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.4．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3.5．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.[答案] 3[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3.6．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．[答案] 6[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×6×2＝6. (d 表示A 到直线BC 的距离．)三、解答题7．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤52x ＋y ≤6x ≥0y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C ．[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则AC ＝1，PC ＝1，OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2，PB ＝4－02＋1－32＝25，得周长C ＝AO ＋BO ＋AP ＋PB ＝8＋2＋2 5.∵S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8，∴面积S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172.8．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＞0，在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断． 不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．。
数学讲义：第3章 3.5 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 Word版含答案(1)
3.5二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域1．二元一次不等式的概念我们把含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，称为二元一次不等式．2．二元一次不等式组的概念我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组．3．二元一次不等式(组)的解集概念满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．4．二元一次不等式表示的平面区域及确定(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0.②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x ，y )的坐标满足ax ＋by ＋c <0.(2)在直角坐标平面内，把直线l ：ax ＋by ＋c ＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．(3)①对于直线ax ＋by ＋c ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y )代入ax ＋by ＋c 所得的符号都相同．②在直线ax ＋by ＋c ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由ax 0＋by 0＋c 的符号可以断定ax ＋by ＋c >0表示的是直线ax ＋by ＋c ＝0哪一侧的平面区域．5．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．1．由不等式3x ＋2y ＋6≤0表示的平面区域(阴影部分)是( )D [把(0,0)点代入3x ＋2y ＋6≤0中可知6≤0不成立，即(0,0)不在3x ＋2y ＋6≤0所表示的平面区域内，结合直线过点(0，－3)和(－2,0)可知D 正确．]2．以下各点在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的是____________． ①(0,0)；②(1,1)；③(0,2)；④(2,0)．①②③ [将点的坐标代入，只有①②③满足上述不等式．3．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m >－12 [因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.](1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.[解](1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x－2y＋4>0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax＋By＋C＝0，取点代入Ax＋By＋C验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1,0)或(0,1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．1．(1)如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为________． (2)画出不等式2x ＋y －4>0表示的平面区域．[解] (1)由截距式得直线方程为x 2＋y1＝1， 即x ＋2y －2＝0.因为0＋2×0－2<0，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式x ＋2y －2<0表示．(2)先画直线2x ＋y －4＝0(画成虚线)．取原点(0,0)代入，得2x ＋y －4＝2×0＋0－4＝－4<0，所以不等式2x ＋y －4>0表示的区域是直线2x ＋y －4＝0右上方的平面区域，如图中的阴影部分所示．(1)⎩⎨⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0；(2)⎩⎨⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.[解] (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方区域；x≥0表示y轴及其右边区域；y≥0表示x轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图所示．(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方区域；x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图所示．1．不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：(1)画线；(2)定侧；(3)求“交”；(4)表示．2．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域． [解] 此不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0.分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)．1．若点P (1,2)，Q (1,1)在直线x －3y ＋m ＝0的同侧，如何求m 的取值范围？ [提示] 直线x －3y ＋m ＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x －3y ＋m ＝0上的点和在直线x －3y ＋m ＝0两侧的点，而在直线x －3y ＋m ＝0同侧点的坐标，使x －3y ＋m 的值同号，异侧点的坐标使x －3y ＋m 的值异号．故有(1－3×2＋m )(1－3×1＋m )>0，即(m －5)(m －2)>0，所以m >5或m <2.2．不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的区域是什么图形？你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？[提示] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC ，该三角形的面积为S △ABC＝12×6×3＝9.若该图形不是规则的图形，我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．3．点(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)在不等式组⎩⎨⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？[提示] 若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等式组表示的平面区域内．经代入检验可知，在(0,0)，(1,0)，(2,1)，(3,4)中只有点(2,1)在不等式组表示的平面区域内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x ＝1，则不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧y >1，y <1，1<4，显然该不等式组无解；再令x ＝2，则原不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y <2，2<4，则0<y <2，又因为y ∈Z ，故y ＝1，所以x＝2时只有一个整点．同样方法x ＝3时，有(3,0)，(3,1)，(3,2)三个整点在该区域内；x ＝4时在该区域内没有整点．总之在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >2，x －y >0，x <4表示的平面区域内，共有4个整点．当然，也可在作图时，利用打网格线的方法寻求．【例3】已知不等式组⎩⎨⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤12.(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求不等式组所表示的平面区域的面积； (3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．[思路探究] (1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？[解] (1)不等式4x ＋3y ≤12表示直线4x ＋3y ＝12上及其左下方的点的集合；x >0表示直线x ＝0右方的所有点的集合；y >0表示直线y ＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图①所示．(2)如图①所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S ＝12×4×3＝6.(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤8 3，∴整点为(1,2)，(1,1)．当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤4 3，∴整点为(2,1)．∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)．如图②.1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[解]设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．1．本节课的重点是二元一次不等式表示的平面区域的判定，难点是二元一次不等式组所表示的平面区域的确定．2．本节课要掌握的规律方法(1)二元一次不等式(组)表示平面区域的确定方法． (2)求二元一次不等式组所表示的平面区域面积的方法．3．本节课的易错点为：画平面区域时，注意边界线的虚实问题．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次不等式x ＋y >2的解有无数多个．( )(2)二元一次不等式(组)的解集可以看成直角坐标系内的点构成的集合．( ) (3)二元一次不等式组中的每个不等式都必须是二元一次不等式．( ) [解析] (1)√.因为满足x ＋y >2的实数x ，y 有无数多组，故该说法正确． (2)√.因为二元一次不等式(组)的解为有序数对(x ，y )，有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．故该说法正确．(3)×.因为在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元一次不等式组． [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．下面给出的四个点中，位于⎩⎨⎧x ＋y －1＜0，x －y ＋1＞0表示的平面区域内的点是 ( )A ．(0,2)B ．(－2,0)C ．(0，－2)D ．(2,0) C [依次将A ，B ，C ，D 四个选项代入验证即可，只有C 符合条件. ]3．下列说法正确的是________．(填序号)①由于不等式2x －1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域； ②点(1,2)在不等式2x ＋y －1＞0表示的平面区域内；③不等式Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域是相同的； ④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示．②④ [①错误．因为不等式2x －1>0虽然不是二元一次不等式，但它表示直线x ＝12右侧的区域．②正确．因为(1,2)是不等式2x ＋y －1>0的解．③错误．因为不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界Ax ＋By ＋C ＝0，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界Ax ＋By ＋C ＝0.④正确．因为第二、四象限区域内的点(x ，y )中x ，y 异号，故xy <0.该说法正确．]4．在平面直角坐标系中，求不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积． [解] 在平面直角坐标系中，作出x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0和x ＝2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示，其面积S＝4×2×12＝4.。
2021年新高考数学总复习：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(附答案解析)
2021年新高考数学总复习：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0， 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 答案：B2．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y 所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：不等式组表示的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为12×2×1＝1，故选A.答案：A3．(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：画出可行域如图中阴影部分所示， 由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z5.设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点A (2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21. 故选C. 答案：C4．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A. 答案：A5．(2020·长沙一中第三次调研)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是( )A ．1B. 2C ．2D ．2 2解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离．所以|OM |min ＝|－2|2＝ 2.答案：B6．(2019·北京卷)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7解析：|x |≤1－y ，且y ≥－1等价于⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤x ≤1－y ，y ≥－1，表示的平面区域如图中阴影部分所示．令3x ＋y ＝z ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5. 答案：C7．(2020·郑州质检)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是( )A ．k ＞12或k ≤－5B ．－5≤k ＜12C ．k ≥12或k ＜－5D ．－5＜k ≤12解析：作不等式组表示的平面区域，如图所示．由于k ＝y ＋1x －3表示动点M (x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率．又k PA ＝4－（－1）2－3＝－5，且直线x －2y ＋4＝0的斜率为12.所以k ＞12或k ≤－5.答案：A8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．1解析：绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，可得交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13， 由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 所以m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.答案：B9．(2019·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为________，最大值为________．解析：作出可行域，如图阴影部分所示．设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z .z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图象可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2，3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1.当直线经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3.答案：－3 110．(2020·河南天一大联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ＋4≥0，－x －y ＋2≤0表示的平面区域的面积为________．解析：依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面区域为△ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (0，2)，C (2，3)， 所以所求面积为12×2×|AC |＝3.答案：311．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为_______．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.答案：312．(2020·马鞍山模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x ，则x 2＋y 2的最大值与最小值之和为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 表示的可行域如图阴影部分所示，x 2＋y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，O 到直线x ＋y －1＝0的距离最小，为12. 可行域内的点B 与坐标原点的距离最大，为22＋12＝ 5. 所以x 2＋y 2的最大值与最小值之和为5＋12＝112.答案：112[B 级 能力提升]13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4的解集记为D ，则“∀(x ，y )∈D ，使x －y≥a 成立”的必要不充分条件是( )A ．a ＜0B ．a ≤－3C ．a ＞0D ．a ≤－2解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4表示的区域D ，如图所示，其中A (2，2)，B (1，2)，C (1，3)．∀(x ，y )∈D ，使x －y ≥a 成立，则a ≤(x －y )min ，平移直线x －y ＝0，易知当直线经过点C (1，3)时，x －y 取得最小值，(x －y )min ＝－2，则a ≤－2.故必要不充分条件可以是a ＜0.答案：A14．(2020·南昌检测)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3≥0，x －2y －4≤0，y ≥1，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最小值为1，则1a ＋1b的最小值为( )A ．7＋2 6B ．7＋2 2C ．3＋2 6D ．3＋2 2解析：作出变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3≥0，x －2y －4≤0，y ≥1表示的可行域如图所示，当直线z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过直线y＝1和2x－y－3＝0的交点(2，1)时，有最小值为1.所以2a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，所以1a＋1b＝(2a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝3＋2ab＋ba≥3＋22ab·ba＝3＋22⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当2ab＝ba时取“＝”.所以1a＋1b的最小值为3＋2 2.答案：D15．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________．解析：设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y 的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图所示．画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4， 即M 的坐标为(4，4)，所以z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．答案：2 800元[C 级 素养升华]16．(多选题)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，3y ≥x ，x ＋y ≤4表示的平面区域为Ω1，不等式(x ＋2)2＋(y －2)2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M 和Ω2中的任意一点N ，则( )A ．Ω1的面积为2B ．|MN |的最小值为 2C ．|MN |的最大值为3 2D ．直线MN 斜率的最小值为－2－ 3解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，3y ≥x ，x ＋y ≤4表示的平面区域Ω1和不等式(x ＋2)2＋(y －2)2≤2表示的平面区域Ω2如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，得点A 的坐标为(2，2)，所以|OA |＝22， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，3y ＝x ，得点B 的坐标为(3，1)，所以|AB |＝ 2. 又x ＋y ＝4与y ＝x 垂直，所以∠OAB 为直角，即△AOB 为直角三角形．故Ω1的面积为S△AOB＝12|OA||AB|＝12×22×2＝2，故A正确；对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是点(0，0)与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2的圆心(－2，2)连线的长度减去半径，即为（－2－0）2＋（2－0）2－2＝2，故B正确；|MN|的最大值是点B(3，1)与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2的圆心(－2，2)的连线的长度加上半径，即为（－2－3）2＋（2－1）2＋2＝26＋2，故C不正确；设过原点O的直线为y＝kx，即kx－y＝0，当直线y＝kx和圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2相切时，即|2k＋2|k2＋1＝2，解得k＝－2－3或－2＋3，由图可知直线MN的斜率的最小值为－2－3，故D正确．答案：ABD。
人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。
高考数学一轮复习课件：二元一次不等式(组)
由x2＋ x＋2yy－ －24＝ ＝00， ， 得A(2，0)． 由42xx－ ＋yy＋ －14＝ ＝00，. 得点B(12，3)， ∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×12－3＝－32. 故z的取值范围是[－32，6]．
【答案】 [－32，6]
x≥0， 若不等式组 x＋3y≥4， 所表示的平面区域被直线y 3x＋y≤4
(1)求z＝x－y的最小值和最大值；
(2)若z＝ x2＋y2，求z的取值范围．
•【审题视点】 明确目标函数z的几何意义， 数形结合找最优解，代入求值．
x≥0， 【尝试解答】 作约束条件 x＋2y≥3，
2x＋y≤3. 域，如图所示为△ABC及其内部．
联立x2＋x＋2yy＝＝33，. 得A(1，1)．
当直线l：y＝－m1 x＋mz 在y轴 上的截距最大时，目标函数取最大值． 平移直线l，当l过点B时，z有最大值．
因此z＝x＋my的最大值zmax＝12＋m2 . 依题意，12＋m2 ＜2(m＞1)，得1＜m＜3. 故实数m的取值范围是(1，3)．
•【答案】 C
•错因分析：(1)忽视条件m＞1，没能准确判 定直线l的斜率范围，导致错求最优解，从而 错得实数m的取值范围．
•【解析】 可行域如图 中阴影部分所示．先画出 直线l0：y＝－3x，平移 直线l0，当直线过A点时z ＝3x＋y的值最大，
由xy＝－2y－，1＝0，得xy＝＝23.， ∴A点坐标为(3，2)．∴z最大＝3×3＋2＝11.
•【答案】 B
x≥1， 3．在平面直角坐标系中，不等式组 x＋y≤0， 表示
•2．解线性规划应用问题的一般步骤是：(1) 分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条 件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结 合求解；(4)作答．
高三数学二元一次不等组表示的平面区域试题答案及解析
高三数学二元一次不等组表示的平面区域试题答案及解析1.不等式组表示的平面区域的面积为______________.【答案】11【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，易求得C（4,0），B（4,2），D（0,3），A(2,3),所以阴影部分面积为12-=11.考点:二元一次不等式组表示的平面区域2.已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围是 .【答案】【解析】由已知得，即答案为.【考点】不等式表示的平面区域.3.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【答案】C【解析】·＝－x＋y，令z＝－x＋y，做出可行域，求线性规划问题．4.若关于，的不等式组（为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 .【答案】3【解析】时，平面区域是一个无限区域，故.作出不等式组表示的平面区域如图所示，易得点，所以.【考点】不等式组表示的平面区域.5.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为()．A．4B．3C．4D．3【答案】C【解析】作不等式组表示的平面区域D，如图所示．又z＝·＝(x，y)·(，1)＝x＋y，∴y＝－x＋z.令l0：y＝－x，平移直线l，当过点M(，2)时，截距z有最大值．故zmax＝×＋2＝46.如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.【答案】【解析】画出可行域，如图所示的阴影部分，直线过定点（1,0），要使得其平分可行域面积，只需过线段的中点（0,3）即可，故.【考点】1、二元一次不等式组表示的平面区域；2、直线的方程.7.在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点，则由点所形成的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，代入得，，画出平面区域，面积为8.【考点】1、映射的概念；2、不等式组表示的平面区域.8.已知实数x,y满足，则z=2|x|+y的取值范围是_________【答案】[-1,11]【解析】作出可行域与目标函数，结合图象可得目标函数经过（0，-1）时，有最小值-1，经过点（6，-1）时有最大值11，所以取值范围是[-1,11]。
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题练习附答案
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B .根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a <24.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1 B.1 C ．3 D ．2解析：选C .如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1，0)． 故z 的最小值为3×1－0＝3. 故选C .3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D .直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D .4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选A .法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A .法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A .211 B.14 C .12D ．34解析：选B .在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)． 目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0， 解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A .13 B.23 C ．1D ．2解析：选D .由选项得m >0，作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示． 设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝103.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C甲48 3乙5510现有A种原料200肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－23x＋z3，这是斜率为－23，随z变化的一族平行直线.z3为直线在y轴上的截距，当z3取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距z3最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x＋5y＝200，3x＋10y＝300，得点M的坐标为(20，24)．所以z max＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
第39讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第39讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题夯实基础 【p 89】【学习目标】会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【基础检测】1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋1≥0所表示的平面区域是( )【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －y ＋1≥0所表示的平面区域在直线x ＝1的左边，在直线y ＝x ＋1的右下方，故选A.【答案】A2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．22【解析】因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0，1)，B (1，0)，C (2，3)， 故|AB|＝2，|AC|＝22，其面积为12×|AB|×|AC|＝2.【答案】C3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z ＝x ＋y 的最大值为________．【解析】如图所示，当直线l ：y ＝－x ＋z 过C (4，2)时，x ＋y 有最大值，最大值为6.【答案】64．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元．【解析】设每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30－x －y )个遥控火车模型，依题意得，实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋12y ＋8（30－x －y ）≤320，30－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝160x ＋180y ＋120(30－x －y )，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤40，x ＋y ≤30，x ≥0，y ≥0，z ＝40x ＋60y ＋3 600，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤40，x ＋y ≤30，x ≥0，y ≥0，表示的可行域(如图所示)：作直线l 0：y ＝－23x －60，将直线l 0向右上方平移过点P 时，直线在y 轴上的截距最大，由⎩⎨⎧x ＋2y ＝40，x ＋y ＝30，得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝10，所以P (20，10)， 此时z max ＝40×20＋60×10＋3 600＝5 000(元)． 【答案】5 000 【知识要点】 1．基本概念(1)二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是__1__的不等式称为二元一次不等式．(2)二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． (3)二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成的有序数对(x ，y)，所有这样的有序数对(x ，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．2．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，平面内的所有点都被直线Ax ＋By ＋C ＝0分成三类： 第一类：在直线Ax ＋By ＋C ＝0上的点；第二类：在直线Ax ＋By ＋C ＝0上方区域内的点； 第三类：在直线Ax ＋By ＋C ＝0下方区域内的点．Ax ＋By ＋C ＞0(＜0)：表示直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，直线l 应画成__虚线__．Ax ＋By ＋C ≥0(≤0)：表示直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0某一侧含边界直线上的所有点组成的平面区域，直线l 应画成__实线__．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x ，y)代入Ax ＋By ＋C ，所得符号都相同，因此只需在直线Ax ＋By ＋C ＝0的同一侧取某个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号就可以断定Ax ＋By ＋C>0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__交集__．3．线性规划中的基本概念(1)约束条件：由x ，y 的不等式(或方程)组成的不等式组．(2)线性约束条件：由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组． (3)目标函数：__关于x ，y 的函数的解析式__，如z ＝2x ＋6y 等． (4)线性目标函数：关于x ，y 的一次解析式． (5)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y)． (6)可行域：所有可行解组成的集合．(7)最优解：使目标函数取得__最大值或最小值__的可行解．(8)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为__线性规划问题__．4．常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．解线性规划问题的一般步骤：审题、设元——__列出约束条件__(通常为不等式组)——建立__目标函数__——作出__可行域__——求__最优解__．典 例 剖 析 【p 90】考点1 平面区域的确定与应用例1(1)变量x ，y 满足⎩⎨⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】直线kx －y ＋2＝0过定点(0，2)，作可行域如图所示(阴影部分)，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18＝0，2x －y ＝0得B (2，4)． 当定点(0，2)和B 点连接时，斜率最大，此时k ＝4－22－0＝1， 则k 的最大值为1. 故选A. 【答案】A(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y>0，3x ＋y<3，x ＋y>a表示一个三角形内部的区域，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫34，＋∞B.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，34 D.⎝⎛⎭⎫－∞，32 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y>0，3x ＋y<3表示的平面区域如图：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y ＝3解得x ＝y ＝34，即A ⎝⎛⎭⎫34，34， 由图可知，a ＜34＋34＝32.故实数a 的取值范围是a ＜32.故选D. 【答案】D【小结】利用几何意义求解的平面区域问题，应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．考点2 简单线性与非线性规划问题例2若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，3x －y ≤6，x －y ≥0，求：(1)z ＝x －2y ＋3的最大值；(2)z ＝y ＋2x ＋3的取值范围；(3)z ＝x 2＋y 2－2x －y ＋1的取值范围．【解析】作出可行域，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －y ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0即A (2，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1即B (1，1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝6，x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3即C (3，3)． (1)由图可知z ＝x －2y ＋3在点A (2，0)处取得最大值，z max ＝5.(2)z ＝y ＋2x ＋3可看作(x ，y )与(－3，－2)连线的斜率的取值范围，在点A (2，0)，C (3，3)处取得最优解，z min ＝0＋22＋3＝25，z max ＝3＋23＋3＝56.所以z ∈⎣⎡⎦⎤25，56.(3)z ＝x 2＋y 2－2x －y ＋1＝(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122－14，(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122可看作点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎫1，12距离的平方， 由图可知d min ＝⎪⎪⎪⎪1＋12－22＝122.所以z min ＝d 2min －14＝18－14＝－18. 在点C (3，3)处取得最大值，z max ＝(3－1)2＋⎝⎛⎭⎫3－122－14＝10.所以z ∈⎣⎡⎦⎤－18，10. 【小结】(1)求线性目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0.将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．(2)求非线性目标函数的最大值或最小值，充分理解目标函数并将目标函数赋予几何意义，如截距、点到直线的距离、过已知点的直线斜率等是本例求解的关键和切入点．考点3 含参数的简单线性规划问题例3(1)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0，若z ＝kx ＋y 的最大值为13，则实数k ＝( )A ．2 B.132 C.94D ．5【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，3)，B (2，0)，C (4，4)，当－k>0时，2k ＋3＝13，k ＝5(舍)；或4k ＋4＝13，k ＝94(舍)，当－k<0时，4k ＋4＝13，k ＝94，选C.【答案】C(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x －2y －4≤0，2x －y ＋4≥0，若z ＝ax －y 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A ．－1B ．2 C.12D ．2或－1【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示． 由z ＝ax －y 得y ＝ax －z ，即直线的截距最小，z 最大．若a ＝0，此时y ＝－z ，此时，目标函数只在B 处取得最大值，不满足条件；若a>0，目标函数y ＝ax －z 的斜率k ＝a>0，要使z ＝ax －y 取得最大值的最优解不唯一，则直线y ＝ax －z 与直线x －2y －4＝0平行，此时a ＝12；若a<0，不满足，故选C.【答案】C【小结】解决含参数的线性规划问题，要对以下问题高度关注： (1)解题时要看清题目，不能忽视或漏掉参数的范围．(2)对于题目中最值条件的确定至关重要，且不能计算出错，如果不能正确解出最值点坐标，那么代入求解就会出错．考点4 线性规划的应用例4(1)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果甲、乙两种产品每吨可获利润分别为3万元、4万元，A.12万元 B ．16C ．17万元 D ．18万元【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为 z ＝3x ＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域，由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z4，平移直线y ＝－34x ＋z 4，由图象可知当直线y ＝－34x ＋z 4经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即B 的坐标为(2，3)，∴z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．【答案】D(2)小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量，那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．【解析】设买科普书x 本与文具y 套，总数为z ＝x ＋y.由题意可得⎩⎨⎧6x ＋10y ≤300，x ≤y （x ，y ∈N ），作出可行域如图中阴影部分所示，将z ＝x ＋y 化为y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x 并平移，使之经过可行域，易知经过点A ⎝⎛⎭⎫754，754时，纵截距最大，但因x ，y 均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z 最大为37.【答案】37【小结】解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答． 【能力提升】例5某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP【解析】(1)依题意得⎩⎨甲乙1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y. 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2，3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5. 所以，当x ＝2，y ＝3时，z 取最大值为2.5.方 法 总 结 【p 91】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法二元一次不等式(组)表示的平面区域，有三种方法判定：第一种：若用y)第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括．2．线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下： ①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；②移：由z ＝ax ＋by 变形为y ＝－a b x ＋z b ，所求z 的最值可以看成是求直线y ＝－a b x ＋zb在y 轴上的截距的最值(其中a ，b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化)，将直线ax ＋by ＝0平移，在可行域中观察使zb最大(或最小)时所经过的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值； ④答：写出最后结论．(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得．(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解．走 进 高 考 【p 91】1．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x ＋2y ＝0并平移，结合图象可知， 当平移后的直线经过点B(2，0)时，直线z ＝3x ＋2y 在y 轴上的截距最大，z 取最大值，即当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0时，z max ＝3×2＋0＝6.【答案】6 2．(2018·北京)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是__________．【解析】解法一：由x ＋1≤y ≤2x 作出可行域如图中阴影部分所示，令z ＝2y －x ，易知z ＝2y －x 在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.解法二：由题意知：⎩⎨⎧x －y ≤－1，2x －y ≥0，则2y －x ＝－3(x －y)＋(2x －y)≥3，所以2y －x 的最小值为3.【答案】3。
高中数学 第三章 不等式 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域课件 新人教B版必修5
界)，且 A(1，1)，B(0，4)，C0，43，直线 y＝a(x＋1)恒过点 P(－1，0)，且斜率为 a，
由斜率公式可知 kAP＝12，
kBP＝4. 若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，
数形结合可得12≤a≤4. 【答案】 (1)(－∞，2)∪(5，＋∞)
(2)12，4
1.若点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的 平面区域内，则 a 的取值范围是________． 解析：因为点 P(a2，a)不在不等式 x＋2y＋1≤0 表示的平面区 域内， 所以 a2＋2a＋1>0，即(a＋1)2>0，解得 a≠－1. 所以 a 的取值范围是{a∈R|a≠－1}． 答案：{a∈R|a≠－1}
2．不等式(x－y)(x＋2y－2)≥0 表示的平面区域的大致图形是 ()
解析：选 B.原不等式等价于xx－ ＋y2≥y－0， 2≥0 或xx－ ＋y2≤y－0， 2≤0. 故原不等式表示的区域由这两个不等式组表示的区域组成．
3.平面直角坐标系中，不等式组23xx＋ －23yy－ ＋14≥ ≥00， ，表示的平面区 x≤2
(1)画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤
(2)求平面区域面积的方法 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根 据区域的形状求面积． ①若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解． ②若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分 成几个规则图形求解．
1.不等式组xx－ ＋yy≤ ≤00，表示的平面区域是(
1．二元一次不等式的概念 (1)二元一次不等式是指含有_两__个___未知数，且未知数的最高次 数为一次的不等式． (2)一般形式为 Ax＋By＋C>0 或 Ax＋By＋C<0.其中 A2＋B2≠ 0.
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三 线性规划中的参数问题
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
高考考点 考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 含答案
1.(2021·福建)若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32 D ．22．(2021·山东)已知x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．(2021·四川)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492 C ．12 D ．164．(2021·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．35．(2021·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该A.12C ．17万元 D ．18万元6．(2021·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．27．(2021·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．(2021·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．29．(2021·安徽)x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－110．(2021·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－1211．(2021·广东)若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．812．(2021·新课标全国Ⅰ)若x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________．13．(2021·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y≤41．(2021·河南郑州模拟)如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．(2021·江南十校模拟)已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2 D. 6553．(2021·江西重点中学模拟)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，若t ≤y ＋2x 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≤13B ．t ≤－5C ．t ≤－13D ．t ≤54．(2021·德州一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1，1]D ．[－1，1)5．(2021·江西赣县模拟)设x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，则ab 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6．(2021·辽宁师大附中模拟)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0，5] C ．[0，5) D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 7．(2021·北京西城模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≤0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，表示的平面区域为D . 则区域D 上的点到坐标原点的距离的最小值是( )A ．1 B.22 C.12 D ．5 8．(2021·黑龙江绥化模拟)已知关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，则ba 的取值范围是________．9．(2021·湖北八校模拟)已知直线l ：x ＝my ＋n (n >0)过点A (53，5)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆直径为20，则n ＝________．10．(2021·山东菏泽一模)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0.表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．11．(2021·河北衡水模拟)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0， 则z ＝|x ＋3y |的最小值________．12．(2021·江西重点中学模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤4，4x ＋3y ≥12所表示的平面区域为D .若圆C 落在区域D 中，则圆C 的半径r的最大值为________．13．(2021·威海一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2，则M (x ，y )所在平面区域的面积为________． 14．(2021·潍坊一模)若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．考点20 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 【两年高考真题演练】 1．A [如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.]2．B [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2，0)，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.]3．A [xy ＝12×2xy ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋y 22≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时，等号成立，把x ＝52，y ＝5代入约束条件，满足．故xy 的最大值为252.]4．B [不等式组表示的区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， ∴m ＋1＝2或－2(舍)，∴m ＝1.] 5．D [设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3)． 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．]6．B [线性目标函数z ＝2x －y 满足的可行域如图所示．将直线l 0：y ＝2x 平行移动，当直线l 0经过点M (5，2)时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，也就是z 取最大值，此时z max ＝2×5－2＝8.]7．B [画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，且z min ＝1＋2×1＝3，故选B.]8．B[约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0满足的可行域如图中的阴影部分所示．由图可知，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取最小值时，最优解为(2，1)．所以2a ＋b ＝25，则b ＝25－2a ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝5a 2－85＋20＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －4552＋4，即当a ＝455，b ＝255时， a 2＋b 2有最小值4.] 9．D 10.D11．B [画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，由图形可知，当l 0经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取最大值，即m ＝2×2＋(－1)＝3；当l 0经过可行域内的点B (－1，－1)时，z 取最小值，即n ＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m －n ＝3－(－3)＝6.故选B.]12．3 [约束条件的可行域如下图，由y x ＝y －0x －0，则最大值为3.]13.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 [作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .要使1≤z ≤4恒成立，则a >0.作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1，0)，B (2，1)处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，解得1≤a ≤32.]【一年模拟试题精练】1．B [不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故答案为B. ]2．D[不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.]3．B[不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，（x －2y ）（x －2y ＋6）≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≥0，x －2y ＋6≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x －2y ＋6≥0画出不等式组表示的平面区域，得到z ＝y ＋2x 的最小值为－5，故t ≤－5.]4．C [作出满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a的可行域，如图△ABC 内部(含边界)，由此可见，必有a ≤1，作出直线x ＋2y ＝－5，由题设△ABC 必定在直线x ＋2y ＝－5的上面，当点A 在直线x ＋2y ＝－5时，a ＝－1，所以－1≤a ≤1，选C.]5．D [由题意作出其平面区域，则由目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为8，a ＋4b ＝8，则由a ·4b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋4b 22得，ab ≤4，(当且仅当a ＝4，b ＝1时，等号成立)．故选D.]6．C [由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x <2，x ＋y －1≥0.作出可行域如图，联立⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)，联立⎩⎨⎧x ＋y －1＝0x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12 经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为u ＝2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为u ＝2×13－2×23－1＝－53，∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0，5)，故选C.]7．B [作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当OQ 垂直直线x ＋y －1＝0时，此时区域D 上的点到坐标原点的距离最小，最小值为原点到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝|－1|2＝22，故选B.]8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－14 9．10 310.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，必须使点A 位于直线x －2y －2＝0的右下侧，所以，m －2(－m )－2>0，∴m >23，所以，答案填：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.]11．6 [作出现行约束条件的可行域，如右图所示：|x ＋3y |＝10×|x ＋3y |10，其中|x ＋3y |10表示可行域内的点到直线x ＋3y ＝0的距离，易知B (3，1)到直线x ＋3y ＝0的距离最小为|3＋3×1|10＝610，所以|x＋3y |的最小值为6.]12．1 [画出平面区域D ，可得到一个直角三角形，要使圆C 的半径r 最大，只要圆C 和直角三角形相内切，由平面几何知识可求得r 的最大值为1.]13．e 2－2 [画出⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，e x－y ≥0，0≤x ≤2对应的平面区域，如图所示．M (x ，y )所在平面区域的面积为⎠⎛02e x d x －S△AOB ＝e x ⎪⎪⎪2－12×2×1＝e 2－e 0－1＝e 2－2.] 14．11 [不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：由z ＝x ＋3y 得：y ＝－13x ＋z 3，它表示斜率为－13，在y 轴上的截距为z3的一组平行直线，并且在y 轴上的截距越大则z 越大；由图可知，当直线经过点A时，截距最大；解方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝3所以当⎩⎨⎧x ＝2y ＝3时，z 取得最大值：11故答案应填：11.]。
方程与不等式之二元一次方程组分类汇编及答案
方程与不等式之二元一次方程组分类汇编及答案一、选择题1．如图，在长方形ABCD 中，放入六个形状、大小相同的小长方形(即空白的长方形)，若16AB cm =，4EF cm =，则一个小长方形的面积为( )A ．216cmB ．22lcmC ．224cmD ．32 2cm【答案】B【解析】【分析】 设长方形的长和宽为未数，根据图示可得两个量关系：①小长方形的1个长3+个宽16cm =，②小长方形的1个长1-个宽4cm =，进而可得到关于x 、y 的两个方程，可求得解，从而可得到小长方形的面积．【详解】设小长方形的长为x ，宽为y ，如图可知，3164x y x y +=⎧-=⎨⎩， 解得：{73x y ==．所以小长方形的面积()23721.cm =⨯=故选B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．2．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为（ ）A ． 4.5112y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩B ． 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩C ． 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩D ． 4.5112y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 【答案】B【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长-木长 4.5=；木长12-绳长1=，据此可列方程组求解． 【详解】设绳长x 尺，长木为y 尺， 依题意得 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 故选B ．【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．3．若（x +y ﹣1）2+|x ﹣y +5|＝0，则x ＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1 【答案】A【解析】【分析】由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 即可.【详解】解：∵（x +y ﹣1）2+|x ﹣y +5|＝0，∴1050x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得：23x y =-⎧⎨=⎩， 故选：A.【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的解法，根据两个非负数的和为零则这两个数均为零得出方程组是解决此题的的关键.4．二元一次方程2x +y ＝5的正整数解有（ ）A ．一组B ．2组C ．3组D ．无数组【答案】B【解析】【分析】由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解．【详解】解：当x=1，则2+y=5，解得y=3，当x=2，则4+y=5，解得y=1，当x=3，则6+y=5，解得y=-1，所以原二元一次方程的正整数解为，．故选B．【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；常常要确定二元一次方程的特殊解．5．若方程组5133x y ax y a-=+⎧⎨+=-⎩的解x与y的差为3，则a的值为（）A．0B．7C．7-D．8【答案】B【解析】【分析】先利用加减消元法解方程组得到37838axay-⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，再根据已知条件列出关于参数a的方程，然后解一元一次方程即可得解．【详解】解：∵51 33 x y ax y a-=+⎧⎨+=-⎩①②②-①×3得，38ay+ =-①+②×5得，378ax-=∴方程组的解为：37838axay-⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩∵方程组5133x y ax y a-=+⎧⎨+=-⎩的解x与y的差为3，即3x y-=∴3733 88a a-+⎛⎫--=⎪⎝⎭∴7a=．故选：B【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组、列一元一次方程并解一元一次方程，能得到关于参数a 的方程是解决问题的关键．6．已知二元一次方程1342x y -=的一组解是x a y b =⎧⎨=⎩，则63a b -+的值为（ ） A ．11B ．7C ．5D ．无法确定 【答案】A【解析】【分析】 把二元一次方程12x-3y=4的一组解先代入方程，得12a-3b=4，即a-6b=8，然后整体代入求出结果．【详解】∵x a y b =⎧⎨=⎩是二元一次方程12x-3y=4的一组解， ∴12a-3b=4， 即a-6b=8，∴a-6b+3=8+3=11．故选：A ．【点睛】此题考查二元一次方程的解，解题的关键是运用整体代入的方法．7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x 人，物品价值y 元，则所列方程组正确的是( )A ．8374y x y x +=⎧⎨-=⎩B ．8374x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．8374x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．8374y x y x -=⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】 根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组：8374x y x y -=⎧⎨+=⎩， 故选C.点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.8．已知方程组5430x y x y k -=⎧⎨-+=⎩的解也是方程3x －2y=0的解，则k 的值是（ ） A ．k=－5 B ．k=5 C ．k=－10 D ．k=10【答案】A【解析】【分析】根据方程组5430x y x y k -=⎧⎨-+=⎩的解也是方程3x －2y=0的解，可得方程组5320x y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解方程组求得x 、y 的值，再代入4x-3y+k=0即可求得k 的值.【详解】∵方程组5430x y x y k -=⎧⎨-+=⎩的解也是方程3x －2y=0的解， ∴5320x y x y -=⎧⎨-=⎩， 解得，1015x y =-⎧⎨=-⎩； 把1015x y =-⎧⎨=-⎩代入4x-3y+k=0得， -40+45+k=0，∴k=-5.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据题意得出方程组5320x y x y -=⎧⎨-=⎩，解方程组求得x 、y 的值是解决问题的关键.9．若方程组32232732x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩的解满足2020x y +=，则k 等于( ) A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】【分析】把两个方程相加，可得5x +5y =5k-5，再根据2020x y +=可得到关于k 的方程，进而求k 即可．【详解】解：32232732x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩①② ①+②得 5x +5y =5k-5，∴x +y =k -1.∵2020x y +=，∴k -1=2020，∴k=2021．故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，依据方程系数特点整体代入是求值的关键．10．若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（）A ．－2B ．2C ．－5D ．5【答案】A【解析】【分析】将等式右边的整式展开，然后和等式左边对号入座进行对比：一次项系数相等、常数项相等，从而得到关于m 、n 的二元一次方程组，解方程组即可得解．【详解】解：∵()()()2215333x mx x x n x n x n +-=++=+++ ∴3315m n n =+⎧⎨=-⎩①② 由②得，5n =-把5n =-代入①得，2m =-∴m 的值为2-．故选：A【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则、两个多项式相等即各项对应相等、解二元一次方程组等知识点，能够得到关于m 、n 的二元一次方程组是解决问题的关键．11．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（）A．11910813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）B．108 91311y x x y x y+=+⎧⎨+=⎩C．91181013x yx y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D．91110813 x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（）【答案】D【解析】【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：91110813x yy x x y=⎧⎨+-+=⎩（）（），故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．12．如图，将长方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大18°．设∠BAE和∠BAD的度数分别为x，y，那么x，y所适合的一个方程组是（）A．1890y xy x-=⎧⎨+=⎩B．18290y xy x-=⎧⎨+=⎩C．182y xy x-=⎧⎨=⎩D．18290x yy x-=⎧⎨+=⎩【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意可得等量关系：①∠BAD-∠BAE 大18°；②∠BAD+2∠BAE=90°，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设∠BAE 和∠BAD 的度数分别为x°和y°，依题意可列方程组：18290y x y x -=⎧⎨+=⎩ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．13．已知点()3,1P -关于y 轴的对称点(),1Q a b b +-，则b a 的值为（ ）A ．9B ．25C ．32D ．16 【答案】B【解析】【分析】根据关于y 轴对称的两点坐标关系:横坐标互为相反数,纵坐标相等,即可求出a 、b ，从而求出b a 的值.【详解】解：∵点P （3，1-）关于y 轴的对称点(),1Q a b b +-，∴311+=-⎧⎨-=-⎩a b b 解得：52a b ìï=-í=ïïïî ∴()2-5=25=b a故选：B.【点睛】此题考查的是求一个点关于y 轴的对称点，掌握关于y 轴对称的两点坐标关系:横坐标互为相反数,纵坐标相等,是解决此题的关键.14．已知关于x ，y 的方程组34{3x y a x y a+=--=，其中－3≤a≤1，给出下列结论：①当a=1时，方程组的解也是方程x ＋y=4－a 的解；②当a=－2时，x 、y 的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④5{1x y ==-是方程组的解，其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④ 【答案】C【解析】【分析】【详解】解：解方程组34{3x y ax y a+=--=，得12{1x ay a=+=-，∵-3≤a≤1，∴-5≤x≤3，0≤y≤4，①当a=1时，x+y=2+a=3，4-a=3，方程x+y=4-a两边相等，结论正确；②当a=-2时，x=1+2a=-3，y=1-a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；③当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，故当x≤1时，且-3≤a≤1，∴-3≤a≤0∴1≤1-a≤4∴1≤y≤4结论正确，④5{1xy==-不符合-5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；故选：C．【点睛】本题考查二元一次方程组的解；解一元一次不等式组．15．学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（）A．104937466x yx y+=⎧⎨+=⎩B．103749466x yx y+=⎧⎨+=⎩C．466493710x yx y+=⎧⎨+=⎩D．466374910x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】【分析】设49座客车x辆，37座客车y辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组.【详解】解：设49座客车x 辆，37座客车y 辆，根据题意得：10 4937466x yx y+=⎧⎨+=⎩故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．16．方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为212xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩的是()A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8【答案】D【解析】试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣8．故选D．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．17．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【答案】B【解析】【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．【详解】设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得120x+90y=1200，则y=4043x-，∵x、y均为正整数，∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种，故选B．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．18．若关于,x y的方程组2315x y ax y+=-⎧⎨-=⎩的解满足3,x y+=则a的值是（）A．4B．1-C．2D．1【答案】D【解析】【分析】①2⨯+②得21x y a +=+，再根据3x y +=，即可求出a 的值．【详解】2315x y a x y +=-⎧⎨-=⎩①②①2⨯+②得3363x y a +=+21x y a +=+∵3,x y +=∴1a =故答案为：D ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．19．如果方程组x 35ax by =⎧⎨+=⎩的解与方程组y 42bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同，则a 、b 的值是（ ）A ．a 12b =-⎧⎨=⎩B ．a 12b =⎧⎨=⎩C ．a 12b =⎧⎨=-⎩D ．a 12b =-⎧⎨=-⎩ 【答案】A【解析】【分析】把34x y =⎧⎨=⎩代入方程中其余两个方程得345342a b b a +=⎧⎨+=⎩，解方程组可得． 【详解】解：由于两个方程组的解相同，所以这个相同的解是34x y =⎧⎨=⎩， 把34x y =⎧⎨=⎩代入方程中其余两个方程得345342a b b a +=⎧⎨+=⎩解得a 12b =-⎧⎨=⎩ 故选A ．【点睛】本题考核知识点：解二元一次方程组.解题关键点：熟练解二元一次方程组．20．某玩具车间每天能生产甲种玩具零件200个或乙种玩具零件100个，甲种玩具零件1个与乙种玩具零件2个能组成一个完整的玩具，怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？设生产甲种玩具零件x 天，生产乙种玩具零件y 天，则有（ ）A ．30200100x y x y +=⎧⎨=⎩B ．30100200x y x y +=⎧⎨=⎩C ．302200100x y x y +=⎧⎨⨯=⎩D ．302100200x y x y +=⎧⎨⨯=⎩ 【答案】C【解析】【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】由题意可得，{x y 302200x 100y +=⨯=，故答案为C【点睛】 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．。
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答案与评分标准一、选择题（共2小题）1、不等式组的解集是{x|x＞2}，则实数a的取值范围是（）A、a≤﹣6B、a≥﹣6C、a≤6D、a≥6考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：先分别解各个不等式求出解集，再结合不等式组的解集是{x|x＞2}，即可求出实数a的取值范围．解答：解：由2x＞4⇒x＞2．3x+a＞0⇒x＞﹣．∵不等式组的解集是{x|x＞2}，∴﹣≤2⇒a≥﹣6．故选B．点评：本题主要考查二元一次不等式组．解决本题的关键在于分别求出各个不等式的解集，再与结果相比较得到结论．2、若集合P={0，1，2}，Q={（x，y）|，x，y∈P}，则Q中元素的个数是（）A、3B、5C、7D、9二、填空题（共10小题）3、如果二次方程x2﹣px﹣q=0（p，q∈N*）的正根小于3，那么这样的二次方程有7个．考点：函数的零点与方程根的关系；二元一次不等式组。
专题：数形结合。
分析：题中条件：“二次方程x2﹣px﹣q=0（p，q∈N*）的正根小于3”转化为函数的零点问题，利用函数的图象解决问题．解答：解：设f（x）=x2﹣px﹣q（p，q∈N*），画出函数f（x）的图象：观察图得：∵f（0）=﹣q＜0，f（3）=9﹣3p﹣q＞0，∴3p+q＜9，又p，q∈N*，∴当p=1时，q=1，2，3，4，5．当p=2时，q=1，2．共7种可能．故填：7．点评：本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质4、设a＞0，a≠1，函数有最大值，则不等式log a（x2﹣5x+7）＞0的解集为（2，3）．考点：二元一次不等式组；函数最值的应用。
分析：函数有最大值，由于lg（x2﹣2x+3）≥lg2，可得a的范围，然后解不等式，可求不等式的解集．5、已知关于x的不等式组1≤kx2+2x+k≤2有唯一实数解，则实数k的取值集合{，1+}考点：二元一次不等式组。
分析：本题考查的知识点是类二次不等式的解法，根据不等式ax2+bx+c≤M（a＜0）有唯一实数解⇔最大值=M；不等式ax2+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解⇔最小值=M可以判断实数k的取值，故本题关键是要对参数K进行分类讨论，以确定不等式的类型，在各种情况中分别解答后，综合结论即得最终结果．解答：解：若K=0，不等式组1≤kx2+2x+k≤2可化为：1≤2x≤2，不满足条件若K＞0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=2时，满足条件解得：k=1+若K＜0，则若不等式组1≤kx2+2x+k≤2，=1时，满足条件解得：k=故答案为：{，1+}点评：不等式ax2+bx+c≤M（a＜0）有唯一实数解⇔最大值=M；不等式ax2+bx+c≤M（a＞0）有唯一实数解⇔最小值=M；6、用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的（k∈N*）．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这件事实中提炼出一个不等式组是．考点：二元一次不等式组。
分析：本题考查的知识点是二元一次不等式组的建立，关键是要从已知的题目中找出不等关系，并用不等式表达出来．解答：解：依题意+＜1，且三次后全部进入，即++≥1，故不等式组为故答案为：点评：在使用不等式解决实际问题时，关键的步骤是仔细分析题意，从题目中找到合适的变量及不等关系，并用不等式（组）将数量间的不等关系正确表达出来，在表达时要注意变量的取值范围，特别在实际问题中，要实际问题实际考虑．7、已知不等式组的解集是不等式2x2﹣9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是（﹣∞，9]．考点：二元一次不等式组；子集与真子集；一元二次不等式的解法。
专题：计算题。
点评：本题是一元二次不等式的解法以及已知一元二次不等式的解集求参数，综合考查了一元二次函数的图象与性质．8、当a＞0时不等式组的解集为当a＞时为∅；当a=时为{}；当0＜a ＜时为[a，1﹣a]．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题；分类讨论。
分析：根据不等式的性质，我们易将原不等式组可化为，然后对参数a进行分类讨论，在每一类中写出不等式的解集，最后综合各种情况，不难给出结果．解答：解：原不等式组可化为：当0＜a＜时，﹣a＜a＜﹣a+1＜a+1此时不等式组的解集为：[a，1﹣a]当a=时，，﹣a＜a==﹣a+1＜a+1此时不等式组的解集为：{}当a＞时，﹣a＜﹣a+1＜a＜a+1此时不等式组的解集为：∅故答案为：当a＞时为∅；当a=时为{}；当0＜a＜时为[a，1﹣a]点评：解含有参数的不等式组时，我们一定要对参数进行分类讨论，由于不等式组的解集是组成不等式组的各个不等式解集的交集，故我们在分类讨论时，分类的标准要根据各个不等式解集的端点来决定，即我们要通过分析不等式解集端点之间的关系，来决定分类标准．9、如果关于x的不等式组有解，那么实数a的取值范围（0，2）．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：⇔，原不等式有解，即a2＜2a，解出即可．解答：解：⇔a2＜x＜2a，所以原不等式有解，即a2＜2a，解得0＜a＜2故答案为：（0，2）点评：本题考查二元一次不等式组、一元二次不等式的求解问题，考查运算能力．10、如果（5，a）在两条平行直线6x﹣8y+1=0和3x﹣4y+5=0之间，则整数a的值为4考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：首先分析点（5，a）在两条平行直线6x﹣8y+1=0和3x﹣4y+5=0之间所表达的涵义，即点（5，a）在函数f（x）=6x﹣8y+1，g（x）=6x﹣8y+10之间，可得到不等式f（5）＜a ＜g（5），然后代入解不等式，求解a．解答：解：因为（5，a）在两条平行直线6x﹣8y+1=0和3x﹣4y+5=0之间，可设函数f（x）=6x﹣8y+1，g（x）=6x﹣8y+10．则有f（5）＜a＜g（5），即30﹣8a+1＜a＜30﹣8a+10．即解得：，又因为a为整数，所以a只能取4，所以答案为4．点评：此题主要考查点与直线的位置关系以及二元一次不等式组的求解问题，这种题型要注意分析不要盲目求解，属于中档题．11、若关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围为a＞3或a＜﹣1．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：要使关于x的不等式组有解既满足不等式x＞2a+4，x＜a2+1的x存在即需2a+4＜a2+1然后解不等式求a的范围即可．点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的关键是要利用关于x的不等式组有解分析出既满足不等式x＞2a+4，x＜a2+1的x存在即2a+4＜a2+1！12、请设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组，答案不唯一．．考点：二元一次不等式组。
专题：开放型。
分析：通过方程组的解，推出解的关系式，乘积是6，和的平方是25，即可得到方程组．解答：解：因为二元二次方程组的解是和，所以满足xy=6，并且（x+y）2=25，所以方程组的解是和，故答案为：，答案不唯一．点评：本题是中档题，考查学生对方程组的理解能力，解的特征是解题的关键，考查计算能力．三、解答题（共8小题）13、已知关于x的不等式组的解集为A．（1）集合B={1，3}，若A⊆B，求a的取值范围；（2）满足不等式组的整数解仅有2，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；二元一次不等式组。
专题：常规题型；计算题。
分析：（1）通过解关于x的一元一次不等式组可得集合A，然后利于A，B的关系，可确定a的取值范围．（2）利用（1）的探讨可知a＞0，结合不等式组的整数解仅有2，可得关于a关系式，即可得到a的范围．（2）由题意A≠∅，所以a＞0此时，∴，解得，1＜a＜2综上，1＜a＜2为所求a的取值范围点评：14、已知不等式组的解集是A，全集U=R（1）求C U A；（2）若集合B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，C={y|y=1﹣2x，x∈A}，求B∩C，B∪C．考点：并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算；二元一次不等式组。
专题：常规题型；计算题。
分析：（1）首先解二元一次不等式组，确定集合A，然后根据全集U=R，求出C U A．（2）根据集合B={y|y=x2﹣2x，x∈A}，C={y|y=1﹣2x，x∈A}分别求出集合B，C．然后求出B∩C，B∪C点评：本题考查交集并集补集的混合运算，其中涉及到考查二元一次不等式组的问题．属于基础题15、设有方程组，求x，y．考点：二元一次不等式组；不定方程和方程组。
专题：计算题。
分析：通过将两个式子相加求出x，将x的值代入一个方程求出y得到不等式组的解集．解答：解：两式相加得x=5将x=5代入①得y=3∴方程组的解为．点评：本题考查在解方程组组时常用的方法是加减消元法与代入消元法．16、若，而a，b，c各不相等，求x+y+z的值．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：本题根据，设出=t，从而将x，y，z用a，b，c，t来表示即可解答：解：设=t，则有x=（a﹣b）t，y=（b﹣c）tz=（c﹣a）t由此可得：x+y+z=（a﹣b）t+（b﹣c）t+（c﹣a）t=0．点评：本题考查了换元的解题思想方法，属于基础题．17、解方程组：．18、关于x的不等式的整数解的集合为{﹣2}，求实数k的取值范围．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：由已知不等式我们易给出x2﹣x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}，而方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为﹣k和﹣．我们分类讨论﹣k和﹣的关系，又由不等式的整数解的集合为{﹣2}，我们不难求出实数k的取值范围．解答：解：由x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1或x＞2．∵的整数解为x=﹣2，又∵方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为﹣k和﹣．①若﹣k＜﹣，则不等式组的整数解集合就不可能为{﹣2}；②若﹣＜﹣k，则应有﹣2＜﹣k≤3．∴﹣3≤k＜2．综上，所求k的取值范围为﹣3≤k＜2．点评：解决参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用，还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．19、求不等式组的解集．故答案为[﹣1，0）∪（5，6]．点评：考查二元一次不等式与绝对值不等式的解法．20、解不等式组其中x、y都是整数．考点：二元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：本题中解是整数，故解题时可将不等式转化为某一变量的不等式组，再由变量为整数，代入整数值验证得出结果．解答：解：原不等式组可化为得﹣＜y＜2，∴y=0或1．当y=0时，解得，当y=1时，，解得综上得，．不等式组（其中x、y都是整数）的解集是{（0，0），（2，0），（1，1）}．点评：本考点是整数解不等式的解法，其特点是解不是一个范围，故在求解时，可根据其可能的情况将相应的整数代入验证求解．本题解法新颖，有启发意义．。