大学基础物理学答案(习岗)第10章

129

第十章 量子物理基础

本章提要

1． 光的量子性

· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。

· 在任何温度下都能全部吸收照射到其表面上的各种波长的光（电磁波），的物体称为绝对黑体，简称黑体。

· 单位时间内从物体单位表面积发出的、波长在λ附近单位波长间隔内电磁波的能量称单色辐射本领（又称单色辐出度），用)(T M λ表示

· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率称为辐射出射度，用则M 表示，M 与)(T M λ的关系为

0()d M M T λλ∞

=⎰

2． 维恩位移定律

在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ， T 和λm 满足如下关系：

λm T b =

其中，b 是维恩常量。该式称维恩位移定律。

3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律

· 黑体的辐射出射度M 与温度T 的关系为

4T M σ=

其中，σ为斯忒藩—玻尔兹曼常量。该结果称斯忒藩—玻尔兹曼定律。

· 对于一般的物体

4T M εσ=

ε称发射率。

4． 黑体辐射

· 能量子假说：黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，满足条件E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。这种能量分立的概念被称为能量量子化，

130

每一份最小的能量E hv =称为一个能量子。

· 普朗克黑体辐射公式（简称普朗克公式）为

11

2)(/52-=kT hc e hc T M λλλπ

其中，h 是普朗克常量。由普朗克公式可以很好地解释黑体辐射现象。

· 光子假说：光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。 一个光子具有的能量为

νh E =

动量为 λ

h p =

5． 粒子的波动性

· 实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 与和它相联系的波的频率ν、波长λ满足关系

2E mc h ν==

λ

h p m u ==

这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。 · 和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波，物质波是一种表明粒子在空间概率分布的概率波。

· 位置不确定性越小，则同方向上的动量不确定性越大；也就是说，粒子位置限制的越准确，则动量就越不能准确地确定，这个结论叫做不确定关系。其数学表达为

h p x x ≥∆∆

时间和能量的不确定关系为

h t E ≥∆∆

6．薛定谔方程及其应用

· 微观粒子的运动状态需要用概率波来描述，概率波的数学表达称为波函数，通常以ψ表示。一般来说，ψ是空间和时间的函数，即),,,(t z y x ψψ=。

· 2ψ表示粒子出现在单位体积内的概率，又称概率密度，其满足归一化条件，即

2

d 1V V ψ=⎰ · 描述粒子运动的波函数和粒子所处条件的关系称为薛定谔方程。定态薛定谔方程的非相对论形式为

131

0)(22222222=-+∂∂+∂∂+∂∂ψψψψU E m z y x

其中，m 为粒子的质量，U 为粒子在外力场中的势能函数，E 是粒子的总能量。

· 在无限深方势阱中的粒子能量为 22

222222n k E n m ma

π== 由此可知，粒子能量只能取离散值，称能量量子化，整数n 称为量子数。每一个可能的能量值称为一个能级。

· 在有限势垒的情况下,粒子可以穿过势垒到达另一侧,这种现象叫做隧道效应。

7． 电子运动状态

量子力学给出的原子中电子的运动状态由四个量子数决定：

· 主量子数n

n 的取值为1=n 、2、3、…，表示能量是量子化的，它决定了波函数的径 向分布，也决定了原子能量的大小。

· 角量子数l

角量子数的取值为l = 0、1、2、…、（n －1），它表明电子绕核运动的角动量 是量子化的。l 值不同表明电子云绕核转动的情况不同，一般说来，主量子数n 相同，而角量子数l 不同的电子，其能量也稍有不同。

· 磁量子数l m

磁量子数的取值为=l m 0、±1、±2、…、±l ，它表明电子绕核运动的角动 量在外磁场中的指向是量子化的。由于对于一定的角量子数l ，m l 可取(2l +1)个值。因此，角动量在空间的取向有(2l +1)种可能，这个结论叫角动量的空间量子化。

· 自旋磁量子数s m 自旋磁量子数的取值为21±=s m ，它决定电子自旋角动量矢量在外磁场中的指向。由于它只能取两个值，因此，电子自旋角动量的空间取向只有两个。

思考题

10-1 什么是黑体？为什么从远处看山洞口总是黑的？

答：在任何温度下都能全部吸收外来各种波长的光（电磁波）的物体称为绝对黑体，简称黑体。山洞形成一个空腔，当光从洞口射入山洞后，经过洞壁的多次反射很难再射出洞口。因此，山洞形成了一个绝对黑体，从远处来看，山洞口总是黑的。

10-2 假设人体的热辐射是黑体辐射，请用维恩定律估算人体的电磁辐射中，单色辐出度的最大波长是多少？

答：根据维恩位移定律

132

m T b λ=

可得

m b T

λ= 将人体正常体温的最高值37℃带入上式，可算出人体电磁辐射中对应于最大的单色辐出度的波长值为69.3510-⨯m 。

10-3 所有物体都能发射电磁辐射，为什么用肉眼看不见黑暗中的物体？ 答：可见光的波长范围为400～700nm ，根据

λ

νhc h E == 一般物体的能量相对较低，相应的波长较长，超出了可见光400～700nm 的波长范围。因此，人的肉眼看不见黑暗中的物体。

10-4请用日常生活中所见到的例子说明在物体热辐射的各种波长中，单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小？

答：火焰外焰温度较高，内焰相对温度较低。当观察火焰时，内焰的颜色偏红，外焰的颜色偏蓝，由此可以说明单色辐出度最大的波长随物体温度的升高而减小。

10-5 普朗克提出了能量量子化的概念。在经典物理学的范围内，有没有量子化的物理量，请举出例子。

答：在经典物理学范围内有量子化的物理量，比如，电荷的电量是量子化的。

10-6 什么是爱因斯坦的光量子假说，光子的能量和动量与什么因素有关？ 答：爱因斯坦认为，一束光是一束以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，后来简称光子。不同颜色的光的光子能量不同。若光的频率为ν，一个光子具有的能量为E h ν=，光子的动量为p h /λ=，这就是爱因斯坦的光量子假说。由此可见，光子的能量和动量与光的波长和频率有关。

10-7 “光的强度越大，光子的能量就越大。”这句话对吗？

答：不对。光的强度是单位时间内照射在单位面积上的光的总能量。当频率一定时，光的强度只与光子的数目有关。光的强度越大说明光子数越多，而不能说明光子的能量就越大。

10-8 什么是康普顿效应？

答：当X 射线通过物质向各个方向散射时，在散射的X 射线中，除了存在波长与原有射线相同的成分外，还有波长较长的成分，这种波长改变的散射称为康普顿散射，也称康普顿效应。

10-9 什么德布罗意波粒二象性假设？

答：实物粒子也具有波动性，一个实物粒子的能量E 、动量p 与和它相联系