基于小波分析方法的非线性时间序列模型及其应用

[ 收稿日期 ]2005 3 10 [ 作者简介 ]张燕 (1978 — ) ,女 , 江苏溧阳人 ,南京审计学院应用数学系助教 ,河海大学理学院硕士生 ,主要从事数理统计研究 。
·79 ·
p1
∑ φ(1) 0
+
φ ε x + (1)
i
t- i
t
如果 x t- d < λ
i=1
xt =
p2
(3)
∑ φ(2) 0
E0 ( vn) = { m : 存 在 一 个 k ∈Ivn 和 t j 3 ∈Rj 3 , 使 得
|
W ( m) vn ,
k ( tj 3
)|
≥c0 2 - 3 vn/ 2 ,
1 ≤m ≤p} ,
c0 为常数 。
再记
E0 ( vn) 的任意无素 若 E0 ( vn) 不是空集
^d = 0
若 E0 ( vn) 是空集
[3 ]崔锦泰. 小波分析导论 [ M ]. 西安 : 西安交通大学出版 社 ,1995.
[ 责任编辑 :杨凤春 ]
·80 ·
二 、原理及方法
(一) D TA RC H 模型简介 迄今为止 ,人们已提出了许多种非线性时间序 列模型 ,应用较为广泛的是 H. To ng 于 1978 年提 出的门限自回归模型 。其中应用比较成熟的模型为 自激励门限自回归模型 。但是 ,在处理经济数据的 时候 ,此模型具有一定的局限性 ,原因是经济时间序
0. 8 + 0. 2 a2t- 1 + 0. 3 a2t- 2 0. 1 + 0. 3 a2t- 1 + 0. 25 a2t- 2
(5) xt- 2 ≤0. 4
0. 4 < xt- 2
(6)
而对于小波 ,我们相应地选以下小波函数
0. 6495 ( x - 1) 4 ,
1 ≤x ≤2
ψ( x) = - 10. 3287( x + 1) 3 + 9. 7954( x + 1)2 - 2 ≤ x ≤- 1 + 12( x + 1) ,
两个不同门限 ,{εt} 为严平稳的 。
我们知道门限标志着系统从一种状态进入另一
种状态 。而对于经济时间序列 ,条件均值函数和条
件方差函数都会有不同状态 。因此 ,D TA RC H 模
型的这种双门限特点正可以刻画出这种特征 。另
外 ,在模型的门限参数和延时已知的情况下 ,我们可
以给出模型中参数的极大似然估计 :
,
nm , i
= Nn ( sm , i )
。
+∞
其中
ψper v, k
( si )
=∑ n= - ∞
1 ψv , k b- a
si b-
a a
+
n
, ψv , k
( x) = 2 2vψ(2v x - k) , ψ( x) 为给定的小波函数 。
以上均定义在 L2 [ a , b]函数空间上 。
其次 ,我们做出下面假设 ,令
第 2 卷 第 2 期 2005 年 5 月
南京审计学院学报
Jo urnal of Nanjing Audit U niversity
Vol. 2 , No . 2 May , 2005
基于小波分析方法的非线性时间 序列模型及其应用
张 燕
(南京审计学院 应用数学系 , 江苏 南京 210029)
)
( xt-
d)
+
t,
j =1
i =1
(1) yt = E(ε2t | Ft- 1 )
n2 +1
qj
∑ ∑ =
α ( ( j) 0
+
α ε ( j) i
) 2
t- i
I[ j- 1 ,
rj)
( xt-
d)
,
(2)
j =1
i =1
其中 d 为延时 , n1 , n2 分别为门限的个数 ,λj , rj 为
为了简化模型的讨论 ,下面的分析中我们不考
虑系数参数和的估计 ,我们仅讨论此模型中门限和
延时的估计 : 第一步 :识别门限λj 。 首先 ,我们定义经验小波系数如下 :
N
∑ ∑ ψ W ( m) v. k
( tj 3
)
= b- a N i =1
1 per ( s ) n x v , k i
j m , i j ∈N n ( sm , i )
[ 摘 要 ]本文主要探讨了非线性时间序列中的异方差双门限自回归模型 (D TARC H) 的门限和延时的小波辨 识方法 ,并利用相应的股市数据对此模型进行了实证分析 。
[ 关键词 ]非线性时间序列 ;小波分析 ;D TA RC H 模型 [ 中图分类号 ]O211 [文献标识码 ]A [ 文章编号 ]1672 8750 (2005) 02 0079 02
的 D TA RC H 模型 ,这是具有实际意义的 。在 (3) 、
Leabharlann Baidu
(4) 式中我们给出了门限延时已知时模型参数的估
计 。因此 ,估计门限与延时成为 D TA RC H 模型的
关键 。在本文中 ,我们采用的是近年来发展比较迅
速的小波方法来识别模型的门限与延时 。
(二) DTARCH 模型门限与延时的小波辨析方法
m = 1 , 2 , …, p ,
这里 tj 3 ∈R j 3 , N = [ N 1/ p + 2 ] , 且
sm , i = ( tj 3 1 , tj 3 2 , …, tj 3 (m - 1) , si , tj 3 m , …,
t ) j 3 (p - 1) T
,
si
=a
+i
b- a N
进行数值模拟 。
xt =
0. 4 xt- 1 + 0. 26 xt- 2 + at 0. 2 xt- 1 - 4. 2 xt- 2 + at
0. 3 xt- 1 + 0. 6 xt- 2
x t- 2 ≤0. 35 0. 35 < xt- 2 ≤0. 5
xt- 2 > 0. 5
E( a2t | Ft- 1 ) =
1 xj nd, i j ∈N n (sd, i)
2
假设 此 时 d 为 已 知。这 里 tj 3 ∈ Rj 3 , N = [ n1/ 2 p + 2 ] 。且
sm , i = ( tj 3 1 , tj 3 2 , …, tj 3 ( d- 1) , si , tj 3 d , …,
tj 3 (2 p- 1) ) T ,
0,
其他
相应地 ,我们得到门限和延时的估计即分别为 :
λ^ = 0. 35 , ^r = 0. 5 , d = 2 。
最后 , 应 用 SA S 软 件 和 上 述 估 计 的 数 据 对
D TA RC H 模型进行数值模拟 ,发现与实际情形比
较吻合 。因而 ,本文所探讨的 D TA RC H 模型在非
一 、引言
当今社会 ,对股票市场行为的预测一直是广大 投资者的追求目标 。为理解股市的过去和预测其未 来 ,人们千方百计地寻求能够解释股价波动行为的 规律 。然而 ,股票市场正以一个日益复杂的形式展 现在世人面前 。由于股票市场的时变性和随机性 , 日趋成熟和完善的线性时间序列模型已不足以对现 实的情况给出合理而精确的解释 。因此 ,人们需要 研究内容更为丰富和深刻的非线性时间序列模型 , 才能对复杂的经济现象做出更为合理的描述 。
si
=
a+ib N
a,
nd, i
=
N n (sd, i) 。
其次 ,令
E2 ( vn )
= { k :|
W (σ) vn ,
k
( t0j 3
)|
≥c1 2 - vn/ 2 ,
k ∈Ivn } , c1 为常数 。
q 若 E2 ( vn) 不是空集 即为给出的估计 。
^r = o
若 E2 ( vn) 是空集
三 、实证分析
下面我们采用 2001 年 3 月到 2004 年 1 月的上
证指数对上述模型进行实证分析 。
首先 ,采用对数去趋势性 方法得 到时 间序 列
{
x
t
}
1000 t=1
,前
800
个数据作为样本点
,中间
100
个为
确定集 ,后 100 个作为预测 。
其次 ,根据上述讨论的方法 ,我们得到以下模型
列往往具有异方差结构 ,而自激励门限自回归模型
具有恒定的方差结构 。为此 ,我们主要研究 Li 于
1996 年 提 出 的 异 方 差 双 门 限 自 回 归 模
型 ———D TA RC H
n1 +1
pj
∑ ∑ xt =
φ ( ( j) 0
+
φ ε ( j) i
x i- 1 )
I [λj -
1
,
λ
j
线性的经济时间序列的研究中具有一定的实用性 。
[ 参考文献 ]
[ 1 ]杨一文 ,刘贵忠 ,张宗平等. 基于小波网络的非线性时间 序列预测及其在股市中的应用 [J ] . 模式识别与人工智 能 ,2001 , (6) .
[2 ]李元. 时间序列中变点的小波分析及非线性小波估计 [ M ] . 北京 :中国统计出版社 ,2002.
+
φ ε x + (2)
i
t- i
t
如果 x t- d > λ
i=1
q1
∑ α(1) 0
+
α ε (1) 2 i t- i
如果 x t- d < λ
i=1
yt =
q2
(4)
∑ α(2) 0
+
α ε (2) 2 i t- i
如果 x t- d > λ
i=1
在上述 (1) 、(2) 式中我们给出了具有不同门限
则上式即为给出的延时 d 的估计 。
最后
,门限λ1
的估计为
:λ^ l
=
a
+
kl 2vn
(b-
a) 。
第二步 :识别门限 rt 。
同样可定义经验小波函数
W
(σ) v. k
(
tj
3
)
N
∑ ∑ ψ 1 = b - a N i =1
per
(s ) n v, k i
d, i j ∈N n (sd , i)
∑ xj -