导数知识点归纳

高中导数知识点归纳

一、基本概念1. 导数的定义：

设0x 是函数)(x f y 定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ，则函数值y 也引起相应的增量

)()

(00

x f x x f y

；比值x

x f x x f x y )()(00称为函数)(x f y

在点0x 到x x 0之间的

平均变化率；如果极限x

x f x x f x

y

x

x

)

()(lim

lim

00

存在，则称函数

)(x f y

在点0x 处可导，并

把这个极限叫做

)(x f y

在0x 处的导数。

f x 在点0x 处的导数记作

x

x f x x f x f y

x

x x )

()(lim

)

(00

00

2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数)(x f y 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y

在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线

)(x f y

在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是

)(0'

x f ，切线方程为

).

)((0'

x x

x f y y

3．基本常见函数的导数

:

①0;C

（C 为常数）②

1

;

n

n x

nx

③(sin )cos x x ;

④(cos )sin x x ;

⑤();x

x

e e ⑥()ln x

x

a a a ;

⑦1ln x x

; ⑧1l g log a a o x

e x .

二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和

(或差)，

即：

f x

g x f x g x

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数

,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

f x

g x f x g x f x g x

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

).())

(('

'

x Cf x Cf (C 为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以

分母的平方：

2

0f x f x g x

f x

g x

g x g x

g x

。

2.复合函数的导数

形如)]([x f y

的函数称为复合函数。法则：[()]()*()f x f x .

三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数)(x f y

在某个区间),(b a 可导，

如果'

f )(x 0，则)(x f 在此区间上为增函数；

如果'f 0)

(x ，则)(x f 在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有'

f 0)(x ，则)(x f 为常函数。

2．函数的极点与极值：

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('

x f ＞0，右侧)('

x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('

x f ＜0，右侧)('

x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值。函数

)(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。

只可能在区间端点及极求函数)(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数0)('

x f 解出

方程的跟②在区间

],[b a 列出)(),(,'x f x f x 的表格，求出极值及

)()(b f a f 、的值;③比较端点及极

值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、例题插播例1：函数,93)

(2

3

x ax

x

x f 已知3)(x

x f 在时取得极值，则a = ( )

A ．2

B

．3 C ．4

D

．5

[解析]：∵323)(2

/

ax

x

x f ，又3)(x

x f 在时取得极值∴0630)

3(/

a f 则a =5

例2.已知函数d ax bx x x f 2

3

)(的图像过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(f 处的切线方程

为076y x

.（Ⅰ）求函数)(x f y

的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y

的单调区间.

答案：（Ⅰ）解析式是

.

233)

(2

3

x x x

x f （Ⅱ）在)21,21

(内是减函数，在),

21(内是增函数.