高数上册第一章第9节

时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
故 Q(h, k ) 与 A 同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
y
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
1 [( Ah B k ) 2 ) ( AC B 2 ) k 2 ] A
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
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当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
f ( x0 , y0 )
①
其中 Rn
)n f ( x , y ) k y 0 0 Rn 1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) 0 0 ( n 1)! x y
②
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p Cm h p k m p p m p ( x0 , y0 ) x y p 0
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定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
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记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y h 2 f x x ( x0 , y0 ) 2hk f x y ( x0 , y0 ) k 2 f y y ( x0 , y0 )
为零或非零
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2
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此时
z 1 Q(h, k ) o( 2 ) 2
因为 Q(h, k ) 0 时, z 的正负号由 o( ) 确定 , 因此 不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .
2
作业
P67 1 , 3 , 4 , 5
第十节 目录
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3 f x y
p 3 p
1 (1 x y ) 2

2! (1 x y ) 3! (1 x y )
4 3
( p 0 ,1, 2 , 3 ) ( p 0 ,1, 2 , 3 , 4)
4 f x y
p 4 p
因此, (h x k y ) f (0, 0) h f x (0, 0) k f y (0, 0) h k
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例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )

1 (h 2! x 1 (h n! x )2 k y
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
(t ) h 2 f x x ( x0 ht , y0 k t )
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二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
(3) 若函数 z f ( x, y ) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f ( x, y ) 常数 .
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(h x 2
)2 k y
f (0, 0)
2
h f x x (0, 0) 2hk f x y (0, 0) k f y y (0, 0) (h k )
3
2
3 f p p 3 p k ) 3 f (0, 0) (h x C3 h k x p y 3 p (0,0) y p 0 2(h k )3 又 f (0, 0) 0 ,将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得 1 2 1 ln(1 x y ) x y ( x y ) ( x y )3 R3 2 3 其中 1 ( x y) 4 R3 (h x k y ) 4 f ( h, k ) h x 4 (1 x y ) 4 ky (0 1)
结束
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) 2 f ( x0 , y0 )
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一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k x p y m p ( x0 ht , y0 k t ) p 0
*第九节
第八章
二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
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一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f (x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
由于 f ( x , y ) 的二阶偏导数在点 ( x0 , y0 ) 连续, 所以 f x x ( x0 h , y0 k ) A
f x y ( x0 h , y0 k ) B f y y ( x0 h , y0 k ) C
则有 z f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 )
1 [ f x x ( x0 h , y0 k ) h 2 2 2 f x y ( x0 h , y0 k ) hk f y y ( x0 h , y0 k ) k 2 ]
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
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说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 h cos k sin (n 1) ! M n 1 n 1 ( cos sin ) (n 1) !
朗日型余项 .
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(0 1)
证: 令 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) (0 t 1),
则
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k )
利用多元复合函数求导法则可得:
0 0
－
+
+
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
2 则 Q(h, k ) 1 ( Ah B k ) 若 A≠0, A
o x Q(h, k )可能
因此当 h , k 很小时 , z 的正负号可由 Q(h , k ) 确定 .
(1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
Q(h, k ) 1 [( Ah 2 2 AB hk B 2 k 2 ) ( AC B 2 ) k 2 ] A
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
Q(h, k ) 1 [( Ah B k ) 2 ) ( AC B 2 ) k 2 ] A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )