高等数学(经管类)(上)第1章

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高等数学(上册)知识点的细分目录

高等数学（上册）知识点的细分目录高等数学（上册）知识点的细分目录第一章函数、极限与连续(01)（注：以下括号内的时间为建议的视频讲课时间，不包括讲习题的时间）0101 函数（80分钟）010101 函数的概念（两个要素）010102 函数的解析表示和几个函数的例子（绝对值函数、符号函数、取整函数、分段函数、狄利克雷函数）010103 函数的几种特性010104 反函数与反三角函数010105 函数的四则运算和复合运算010106 基本初等函数与初等函数010107 双曲函数（反双曲函数可暂时从略）0102 数列极限的概念（40分钟）010201 数列的概念010202 数列极限的描述性定义010203 数列极限的精确定义010204 数列极限的几何解释010205 数列极限的例子0103 收敛数列的性质（40分钟）010301 唯一性010302 有界性010303 保号性*010304 收敛数列与其子数列的关系0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念（40分钟）010401 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 010402 自变量趋于无穷大时函数极限的精确定义010403 自变量趋于无穷大时函数极限的几何解释及曲线的水平渐近线0105 自变量趋于有限值时函数极限的概念（40分钟）010501 自变量趋于有限值时函数极限的直观描述 010502 自变量趋于有限值时函数极限的精确定义010503 自变量趋于有限值时函数极限的几何解释010504 左右极限及其与极限存在的关系0106 函数极限的性质（40分钟）010601 唯一性010602 局部有界性010603 局部保号性*010604 函数极限与数列极限的关系0107 无穷小与无穷大（40分钟）010701 无穷小的定义及例子010702 无穷小与极限的关系010703 无穷大的定义及例子010704 无穷大与无穷小的关系010705 铅直渐近线0108 极限的运算法则（30分钟）010801 极限的四则运算法则010802 复合函数极限的运算法则（变量代换法则）010803 极限的保序性0109 极限存在准则两个重要极限（60分钟）010901 极限存在的夹逼准则（几何说明，可不证明) 010902 重要极限及其在求极限中的应用举例010903 数列的单调有界收敛准则（只几何说明）010904 重要极限其在求极限中的应用举例0110 无穷小的比较（30分钟）011001 无穷小阶的概念011002 等价无穷小的概念与常见的等价无穷小011003 两个无穷小等价的一个充要条件011004 等价无穷小在求极限中的应用举例0111 函数的连续性（20分钟）011101 函数连续的实例与直观描述011102 函数在一点处连续的两个等价定义011103 函数在一个区间上连续的定义0112 函数的间断点（30分钟）011201 函数间断点的实例与直观描述011202 函数间断点的定义（三种情况）011203 间断点的分类及举例0113 连续函数的运算（30分钟）011301 连续函数的四则运算（主要用例子说明）011302 反函数的连续性011303 复合函数的连续性0114 初等函数的连续性（20分钟）011401 基本初等函数与初等函数的连续性011402 分段函数在分段点处的连续性0115 闭区间上连续函数的性质（40分钟）011501 有界性与最大值最小值定理（用图形和例子说明）011502 零点定理与介值定理（用图形和例子说明）011503 用二分法求方程的根011504 应用实例0116 单元小结（60分钟）0117 单元测试（60分钟）第二章导数与微分(02)0201 导数的概念（60分钟）020101 引例（切线问题、速度问题）020102 导数的定义020103 左右导数及其与可导的关系020104 在一个区间上的可导性，可导函数020105 导数的几何意义020106 函数可导性与连续性的关系020107 导数作为变化率的实际意义（根据专业选例）0202 函数的求导法则（60分钟）020201 函数求导的四则运算法则020202 反函数的求导法则020203 复合函数的求导法则020204 基本初等函数的导数公式表0203 高阶导数（30分钟）020301 高阶导数的概念020302 高阶导数的计算020303 几个基本初等函数的高阶导数公式0204 隐函数的求导法（30分钟）020401 隐函数的概念020402 隐函数的求导法则020403 隐函数求导的几何应用举例0205 由参数方程所确定的函数的导数（30分钟）020501 由参数方程所确定的函数的概念020502 由参数方程所确定的函数的求导法020503 参数方程求导的应用实例0206 相关变化率（30分钟）020601 相关变化率的概念与计算020602 相关变化率的应用实例0207 函数的微分（40分钟）020701 微分的概念020702 可微与可导的关系020703 微分的几何意义020704 基本初等函数的微分公式与微分运算法则020705 基本初等函数的微分公式表020706 微分在近似计算中的应用（误差估计、函数的线性近似）0208 单元小结（60分钟）0209 单元测试（60分钟）第三章微分中值定理和导数的应用(03)0301 罗尔定理（30分钟）030101 罗尔定理及其几何意义030102 罗尔定理的证明030103 罗尔定理的应用举例0302 拉格朗日定理（40分钟）030201 拉格朗日定理及其几何意义030202 拉格朗日定理的证明030203 拉格朗日公式的几种形式030204 在区间I上恒为零的充要条件030205 拉格朗日公式的其他应用举例0303 柯西中值定理（20分钟）030301 柯西中值定理及其几何意义030302 柯西中值定理与拉格朗日定理的关系030303 柯西中值定理的应用举例0304 洛必达法则（50分钟）030401 型未定式的洛必达法则030402 型未定式的洛必达法则030403用洛必达法则求型和型未定式的极限030404 用洛必达法则求型未定式的极限030405 不能用洛必达法则求解的未定式的例子0305 泰勒定理（50分钟）030501 多项式逼近函数与泰勒公式030502 具有佩亚诺余项的泰勒定理030503 具有拉格朗日余项的泰勒定理030504 常用函数的麦克劳林公式及其应用举例0306 函数的单调性（30分钟）030601 函数单调性的判别法030602 函数单调性的应用举例0307 函数曲线的凹凸性（40分钟）030701 曲线凹凸性的定义和几何解释030702 曲线凹凸性的判别法030703 拐点的定义和几何解释030704 拐点的判别法0308 函数的极值（30分钟）030801 函数极值的概念030802 函数极值点的必要条件030803 函数极值点的第一充分条件030804 函数极值点的第二充分条件0309 函数的最值（30分钟）030901 函数最大值最小值的求法030902 函数最值的应用实例0310 函数图形的描绘（30分钟）031001 借助导数描绘函数图形的步骤031002 函数作图举例*031003 利用软件函数作图0311 平面曲线的曲率（50分钟）031101 弧微分及其计算公式031102 曲率的概念031103 曲率的计算公式031104 曲率圆与曲率半径031105 曲率的应用举例0312 方程的近似解（30分钟）031201 利用两分法求方程的近似解031202 利用切线法求方程的近似解*031203 利用软件求方程的近似解0313 单元小结（60分钟）0314 单元测试（60分钟）第四章不定积分（04）0401 原函数与不定积分的概念（40分钟）040101 原函数的定义040102 原函数概念的两点说明1.若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数；2.f(x)的任意两个原函数相差一常数。

《高等数学》(经管类专业适用) 教案第一章 1.1.1教学设计

课题 1.1.1初等函数教学目标知识目标1）深刻理解函数的意义，特别是函数的两要素；理解分段函数的概念特征，会求简单函数的定义域和函数值；2）理解反函数的概念特征，会求简单函数的反函数；3）熟练掌握基本初等函数的图形、性质与变化趋势； 4）理解复合函数的概念特征，会分析复合函数的复合过程。

能力目标通过函数知识的教学活动，训练学生对现实生活中事物之间和现象的正确分析，准确判断，使学生体会量与量之间的关系，提高实际应变能力，发展学生思维，培养学生分析解决问题的能力。

教学重点函数的概念和两要素，复合函数的分解式教学难点求函数的反函数。

教法学法以问题来引入课题的讲授法和以理解和巩固概念的练习法教学反思函数概念在初中数学教学已经引入，这里注重实际应用，特别在经济上的应用，如何提高学生数学应用的能力，为以后章节学习以及后期专业课程的学习，打下坚实基础。

教学过程设计意图一、知识回顾圆的周长、面积公式二、情境引入问题1：设某公司每天最多能生产某产品200吨，固定成本为30000元，每生产该产品1吨成本增加1200元，那么该公司每天生产该产品的总成本C 与产量Q 有什么关系？这种变量C 和Q 的对应关系（C=1200Q+30000）便是函数关系。

三、合作探究问题2：给出圆半径R 与圆边长L 与圆面积S 之间的关系式？设x 和y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一个数x ，按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称y 是x的函数，记作 )(x f y =，D x ∈ ，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量，f 是函数的对应法则．如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作000|()x x y y f x ===.函数值的集合{}D x x f y y M ∈==),(|称为函数的值域.2y x =与y x =是相同的函数；而函数()2lg f x x =与()2lg f x x=是不相同的二个函数（二者定义域不同）. 问题3：函数的只能用数学公式来表示吗？函数通常有三种表示方法：解析法、列表法、图像法；问题4：由用解析式表示的函数的定义域一般如何求得？求函数的定义域时，应注意如下条件： ①分式函数的分母不能为零；②偶次根式的被开方式必须大于等于零； ③对数函数的真数必须大于零；引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备设置问题情境，引入如何用数学式子表示量与量之间的关系，为给出变量量之间的函数关系做准备。

高等数学经管类上册教材答案

高等数学经管类上册教材答案第一章：函数与极限第一节：函数的概念与性质函数是数学中一个重要的概念，它被广泛应用于经济管理及其他相关领域中。

在经管类上册教材中，函数的概念和性质是我们学习的首要内容。

函数是一种变量之间的关系，它将自变量的取值映射到一个确定的因变量的取值。

函数通常用符号表示，例如f(x)或y=f(x)。

第二节：函数的运算与初等函数在高等数学经管类上册教材中，我们将学习不同类型的函数及其运算。

初等函数是一类常见的函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数在经济管理中具有广泛的应用，可以帮助我们研究和解决实际问题。

第三节：极限的概念与性质极限是高等数学中一个重要的概念，它被广泛应用于经济管理及其他相关领域中。

极限可分为函数极限和数列极限两种类型。

在经管类上册教材中，我们将学习极限的概念和性质，掌握极限的计算方法和应用技巧。

第二章：导数与微分第一节：导数的概念与性质导数是函数的重要属性之一，它描述了函数曲线在某一点上的切线斜率。

导数的概念和性质对于我们理解函数变化的趋势以及优化问题的求解具有重要意义。

在高等数学经管类上册教材中，我们将学习导数的定义、导数的计算方法以及导数的应用。

第二节：常用函数的导数在经济管理中，我们经常会遇到一些常用函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

熟练掌握这些函数的导数计算方法，对于我们求解实际问题具有重要意义。

在高等数学经管类上册教材中，我们将学习这些函数的导数及其性质，掌握导数计算的方法和技巧。

第三节：高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的进一步推广，它描述了函数变化的更多属性。

在高等数学经管类上册教材中，我们将学习高阶导数的概念和性质，掌握高阶导数的计算方法和应用。

隐函数求导是一种特殊的求导方法，它在实际问题中的应用非常广泛。

我们将学习隐函数求导的基本原理和计算方法，掌握隐函数求导的技巧。

第三章：微分中值定理与导数应用第一节：拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

高等数学经管类第一册习题答案

高等数学经管类第一册习题答案第一章答案§1.1.1 --§1.1.3函数、函数的性质、初等函数一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1. x -5x +11;2. 1;3. [0,1]2三、计算下列函数的定义域。

1. (-∞,2]⋃[3, +∞);2. (-∞,0)⋃(3, +∞);3. [2,3)⋃(3, +∞);4. [0,1] 四、(1)y =u 2, u =sin v , v =ln x . (2) y =u 2, u =ln t , t =arctan v , v =2x .⎧sin x +1, x ≥1⎧五、 f (x )=⎧sin x -1,0≤x⎧-sin x -3, x§1.2.1 数列的极限一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1.111;2. ;3. 22311三、计算下列极限1. . 2. . 3. 1. 4.23§1.2.2 函数的极限⎧2⎧⎧. 5. 10 ⎧3⎧4一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1. a =4, b =-2;2. 1;3.三、计算下列极限1. 2. 2. 6 . 3. 2x . 4.1. 5. 1 33α;3. ;4. 05β§1.2.3---§1.2.5 无穷小与无穷大; 极限的运算法则和极限存在准则；两个重要极限一、选择题1.AB;2.C;3. C 二、填空题1. -1;2.⎧3⎧6三、计算下列极限1. e . 2. ⎧ . 3. e .4.⎧2⎧-6205. e 2§1.2.5--§1.2.6 两个重要极限；无穷小的比较一、选择题1.C;2.B;3.A 二、填空题1.1;2. k >0;3. 高. 21-1-22三、计算下列极限1. 1. 2. . 3. e . 4. e 2. 5. e4§1.3.1 函数的连续性与间断点一、选择题1.B;2.C;3.A 二、填空题1. x =0, ±1;2. 三、求下列函数的不连续点并判别间断点的类型。

《高等数学》第一章(上)

25
1 005
5
超过 35 000 元至 55 000 元的部分
30
2 755
6
超过 55 000 元至 80 000 元的部分
35
5 505
7
超过 80 000 元的部分
45
13 505
第一节函数的概念
个人所得税=(工资-五险一金-个税起征点)×税率-速算扣除数，用分段函数可表示为
3%x ，
y0 y |xx0 f (x0 ) ．
函数 y f (x) 的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是由对应法则 f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域 D 和对应法则 f 所确定的．通常称函数的定义域 D 和对应法则 f 为函数的两要素．只要函数的定义域相同，对应法则也相同，它们就是相同的函数，而与变量用什么字母或符号表示无关．
第一节函数的概念
三、函数的概念
函数的记号通常记作 y f (x) ，在后续内容或后续课程中可能有下列记号，也表示函数．例如
y F(x)，y g(x) ，y G(x) ，y (x) ， s s(t)，v v(t) ，a a(t) ，r r( ) ．
又如，经济学中的成本函数就是表示企业总成本与产量之间关系的公式，它分为短期成本函数和长期成本函数，其中，短期成本函数 C C(q) 可分为固定成本 b 与可变成本 f (q) ，即 C b f (q) ．经济学中除了成本函数外，还有收入函数 R R(q) 和利润函数 L L(q) ，其中， L R C ，这里 q 表示产品的数量．
y f (x) ，x D ．其中，变量 x 称为自变量，变量 y 称为因变量，集合 D 称为函数的定义域， f 称为函数的对应法则．

应用高等数学(经管类) 第1章函数

的函数
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展.
第1章函数
1．函数的定义
1.1.2 函数的概念
在某一过程中始终保持固定数值的量称为常量,常用a、b、c 等符号表示;而在过程进行中可以取不同数值的量称为变量,常用x、y、z 等符号表示.
第1章函数
1.2.1 需求量、供给量和价格之间的关系
在经济与管理学中,常见的需求函数有以下几种类型: 线性需求函数：Q=a-bp(a>0,b>0),一般适用于非必需品或存在替代品的商品. 二次需求函数：Q=a-bp-cp2(a>0,b>0,c>0). 指数需求函数：Q=ae-bp (a>0,b>0),一般适用于奢侈品.
3.市场均衡(marketequilibrium)
使某商品的市场需求量与供给量相等的价格p0 称为均衡价格，此时需求关系和供给关系达到某种平衡,即需求量Q 和供给量S 相等,即
Q(p0)=S(p0)=q0 市场需求量与供给量一致时的商品数量q0 称为均衡数量．显然, (p0,q0)是需求曲线Q=Q(p)和供给曲线 S=S(p)的交点．
第1章函数
1.2.1 需求量、供给量和价格之间的关系
在经济与管理学中,常见的供给函数有以下几种类型: 线性供给函数:S=c+dp(c>0,d>0) 二次供给函数:S=a+bp+cp2(a>0,b>0,c>0) 指数供给函数:S=aebp (a>0,b>0)
第1章函数
1.2.1 需求量、供给量和价格之间的关系
第1章函数

《高等数学》(经管类)教学大纲

《高等数学》（经管类）教学大纲大纲说明课程代码：4915001总学时：128学时(讲课128学时)总学分：8分课程类别：必修适用专业：经管类本科一年级学生预修要求：初等数学一、课程性质、目的、任务本课程是本科经管类各专业的一门公共基础课，教学内容主要有一元与多元微积分；级数；常微分方程初步。

本课程教学目的是使学生获得从事经济管理和经济研究所必需的微积分方面的知识；学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；培养抽象思维和逻辑推理的能力；树立辩证唯物主义的观点，同时，本课程也是后继经济应用数学（如概率统计等）的必要基础。

二、课程教学的基本要求：1、正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：函数、极限、无穷小、连续、导数、微分、不定积分、定积分、曲面的方程、偏导数、全微分、二重积分、常微分方程、无穷级数的收敛与发散性、边际、弹性。

2、正确理解下列基本定理和公式并能正确应用：极限的主要定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、定积分作为变上限的函数及其求导的定理、牛顿—莱布尼兹公式。

3、牢固掌握下列基本公式：基本初等函数的导数公式、基本积分公式、函数e x 、sinx 、cosx 、α)1(x +、ln(1+x)的幂级数展开式。

4、熟练运用下列法则和方法函数的和、差、积、商求导法则与复合函数的求导法则、隐函数的求导法、反函数的求导法、直接积分法、换元积分法、分部积分法、二重积分计算法、级数收敛性的比较判别法，达朗贝尔判别法、莱布尼兹判别法、幂级数收敛半径的求法、变量可分离的一阶微分方程的解法、一阶线性微方程的解法、二阶常系数线性微分方程的解法、拉格朗日乘数法、最小二乘法。

5、会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的经济问题。

6、在学习过程中，逐步培养熟练的运算能力，抽象的思维能力，逻辑推理能力、空间想象能力。

知识的获得与能力的培养是同一过程的两个侧面，知识是发展能力的内容，能力是掌握知识的条件，我们既努力获得新知识，同时也注意不断提高分析问题和解决问题的能力。

高数经管类上册

高数经管类上册高等数学（一）第一章函数与极限1.1 函数及其图象1.1.1 函数的概念函数是数学中的重要概念，广泛应用于经济学、管理学等各个领域。

函数的定义及其性质对于经管类学生来说非常重要。

1.1.2 基本初等函数及其图象在经济学和管理学中，经常会遇到常见的函数类型，例如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

初等函数及其图象的性质在解决实际问题时具有重要作用。

1.2 三角函数与反三角函数1.2.1 三角函数的定义与性质三角函数在统计学、金融学等领域具有广泛应用。

了解三角函数的定义及其性质对于经管类学生来说非常重要。

1.2.2 反三角函数的定义与性质反三角函数在微积分中经常使用，对于经管类学生学习高等数学提供了更多的工具与方法。

1.3 一元函数的极限与连续1.3.1 函数的极限概念在经济学中，经常需要研究函数在某些条件下的极限，以得出一些重要的经济定律或结论。

因此，掌握极限概念及其计算方法对于经管类学生非常重要。

1.3.2 函数极限的性质与运算法则函数极限具有一些特殊的性质和运算法则，在经济学研究中会经常涉及到。

掌握这些特性以及运算法则可以为经济学问题的解答提供便利。

1.3.3 函数连续的概念与性质连续函数是经济学研究中常用的数学模型之一。

理解连续函数的概念及其性质对于经管类学生来说非常重要。

第二章导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义与几何意义导数是微积分中的重要概念，在经济学和管理学中经常被用来衡量经济变量间的关系。

理解导数的定义以及几何意义对于经管类学生非常重要。

2.1.2 导数的基本运算法则与计算方法对于经济学和管理学中的问题，需要掌握导数的基本运算法则以及计算方法，以便解决实际问题。

2.2 微分中值定理与高阶导数2.2.1 微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的重要定理，通过该定理可以获得函数的一些重要性质，对于经管类学生学习高等数学具有指导意义。

2.2.2 高阶导数及其计算方法在实际问题中，有时需要计算高阶导数以得出更准确的结论。

高等数学经管类上教材答案

高等数学经管类上教材答案[章节一：导数与微分]一、选择题1. D2. B3. C4. A5. D二、填空题1. 92. -33. 0.54. 25. 10三、解答题1. (a) 因为y=f(x)在点x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续。

又因为y=g(x)在点x=a处可导，所以g(x)在x=a处连续。

所以f(x)和g(x)在x=a处连续。

(b) 由(a)可知，f(x)和g(x)在x=a处连续，所以存在极限lim(f(x),x→a)和lim(g(x), x→a)。

由于f(x)和g(x)在x=a处可导，所以存在极限lim(f'(x), x→a)和lim(g'(x), x→a)。

因此，lim(f(x) - g(x), x→a) = lim(f(x), x→a) - lim(g(x), x→a) = lim(f(x), x→a) - lim(f(x), x→a) = 0。

所以f(x) - g(x)在x=a处连续。

综上所述，f(x) - g(x)在x=a处连续，即f(x)和g(x)是在x=a处连续的两个函数的差函数同样在x=a处连续。

2. 根据函数的定义可知，f(x)在x=0处不连续的充要条件是lim(f(x), x→0)不存在。

所以我们需要分别求出左极限和右极限。

(a) 当x→0+时，由于分母中的sinx趋于0，分子中的x趋于0，所以lim(f(x), x→0+)存在，即右极限存在。

所以f(x)在x=0右侧连续。

(b) 当x→0-时，由于分母中的sinx趋于0，分子中的x趋于0，所以lim(f(x), x→0-)存在，即左极限存在。

所以f(x)在x=0左侧连续。

综上所述，f(x)在x=0处连续。

[章节二：微分中值定理]一、选择题1. C2. A3. B4. D5. C二、填空题1. 22. -43. 04. 35. -1三、解答题1. (a) 根据题意，由Rolle定理可知，在[a, b]上函数f(x)连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)。

《高等数学》(经管类专业适用) 教案第一章 1.4教学设计

课题1.4复利与贴现教学目标知识目标 1）理解单利、复利、连续复利、贴现等金融操作的数学意义； 2）会解决类似的简单案例题。

能力目标通过教学活动使学生体会连续与实际生活的联系，通过对现实生活中事物和现象的正确分析，准确判断，提高实际应变能力，发展学生思维，培养学生分析解决问题的能力。

教学重点复利概念教学难点贴现计算。

教法学法探究式问题教学法、小组学习法教学反思从现实生活中存在的连续现象，通过案例进行教学，在教学中如何发展学生的数学思维能力，提高学生的数学素养，提高学习数学的兴趣。

教学过程设计意图一、知识回顾复习函数的连续性概念二、情境引入问题1：张先生把10万元借给某公司5年，约定以复利计息，年利率为5%，那么5年末他的本利和为多少？假设一年按平均12期计息，那么5年末他的本利和为多少？假设计息间隔无限缩短，5年末他的本利和又为多少？三、合作探究复利计息，指的是将第一期的利息与本金之和作为第二期的本金，然后反复计息。

设本金为0A ，年利率为r ，一年末的本利和为1A ，则10(1)A A r =+第二年把1A 作为本金存入，第二年末的本利和为2210(1)(1)A A r A r =+=+依此类推，第n 年末的本利和为 0(1)nn A A r =+这是以年为期的复利公式。

引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备设置问题情境，引导学生分析如何用数学方法来解决问题。

从具体到抽象，从特殊实例归纳出一般结论的过程，降低学习难度，学生很自然地学习了新的知识。

如果一年按平均t 期计息，且以rt为每期的利息，则n 年末的本利和为0(1)ntn r A A t =+这是一年t 期的复利公式.假设计息间隔无限缩短，当∞→t 时，利用（1.1）式得到连续复利计算公式00lim (1)nt nr n t rA A A e t→∞=+=上述公式中，现有本金0A 称为现在值， n 年末的本利和n A 称为未来值. 2.问题探究利用公式(1.3),(1.4),(1.5)，可以计算的问题引入：（1）按年计息，5年末他的本利和为5510(15%)A =+=12.7628（万元）（2）一年按平均12期计息，5年末他的本利和为 6055%10(1)12A =+=12.8592（万元）（3）计息间隔无限缩短，5年末他的本利和为 55%510A e ⨯==12.8403（万元）3.学习新知问题2：国债分为储蓄型与交易型的，记账式国债就是交易型的，期限短的有3个月、半年，长的有20年、30年期的，这种国债可以在非节假日的交易时间段内且在法律规定的交易地点随时交易买卖.黄先生由于急需现金，将20年到期国债120万元在到期10年之际进行交易，假定年贴现率为6%，并且一年贴现一次，那么从票面金额中扣除未到期期间的利息后，应该付给黄先生多少现金？已知现在值0A ，确定未来值n A ，这是复利问题，与之相反的问题，仔细讲解例子，让概念从感性上升至理性的认知过程，突出重点。

《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）

《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)，若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。

高等数学（经管类）教案

高等数学（经管类）教案第一章极限与连续一、教学目的1.复习函数的定义及有关性质.2.理解极限的定义，无穷大、无穷小的概念，闭区间上连续函数的性质；掌握极限的性质及四则运算法则，并会利用它们求极限.3.掌握无穷小的比较，用两个重要极限求极限.二、教学重点1.极限的概念及其运算，连续的概念及性质.2.无穷大与无穷小的概念及比较.3.两个重要的极限公式.三、教学难点1.极限的定义及连续的概念.2.两个重要的极限公式.四、课时安排约12学时1.1 函数◆1.1.1函数概念◆1.1.2函数的几种特性◆1.1.3反函数与复合函数◆1.1.4基本初等函数◆1.1.5 内容小结1.1.1函数概念定义1.1.1设x ，y 是两个变量，若当变量x 在非空数集D 内任取某一数值时，变量y按照某一规则f 总有一个确定的数值与之对应则称y 为x 的函数,简记为(),y f x x D =∈其中x 称为自变量, D 称为定义域.y 称为因变量，y 值的集合称为函数的值域.例1 求函数412--=x xy 的定义域. 解要使函数有意义, 必须0x ≠, 且240x -≥.解不等式得2x ≥. 所以函数的定义域为{2}D x x =|≥, 或(,2][2,)D =-∞+∞例2 函数 2y =. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为{2}R =图形为一条平行于x 轴的直线.例 3 函数<-≥==0 0 ||x x x x x y . 称为绝对值函数. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为[0,)R =+∞.例4 函数??<-=>==01000 1s g n x x x x y . 称为符号函数. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为{1,0,1}R =-.例5 设x 为任意实数不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[]x .函数[]y x =称为取整函数. 其定义域为(,)D =-∞+∞, 值域为R Z =. 例如：0]75[=, 1]2[=,[]3,[1]1,[ 3.5]4π=-=--=-. 例6 产某种产品的固定成本为48000元，每生产一件产品成本增加2400元，则该种产品的总成本y 与产量x 的函数关系可表为240048000y x =+定义1.1.2在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例7 函数>+≤≤=1110 2x x x x y , 其定义域为[0,1](1,)[0,)D =+∞=+∞ . 当01x ≤≤时, x y 2=; 当1x >时, 1y x =+ . 例如2212)21(==f ; 2 1 2)1(==f ;(3)134f =+=. 1.1.2 函数的几种特性1.函数的有界性设函数()y f x =的定义域为D .如果存在正数M 使对任一x D ∈, 有()f x M ≤, 则称函数()f x 在D 上有界; 如果这样的M 不存在, 则称函数()y f x =在D 上无界.注意1：函数的有界与否和讨论的区间密切相关.注意2：函数如果有界，其界不唯一.2.函数的单调性设函数()y f x =的定义域为D , 区间I D ?. 如果对于区间I 上任意两点 1x 及2x ,当12x x <时, 恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的.如果对于区间I 上任意两点1x 及2x , 当12x x <时, 恒有 12()()f x f x >, 则称函数()y f x =在区间I 上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.3.函数的奇偶性设函数()f x 的定义域D 关于原点对称 (即若x D ∈, 则x D -∈).如果对于任意的x D ∈, 有()()f x f x -=, 则称()f x 为偶函数.如果对于任一x D ∈, 有()()f x f x -=-, 则称()f x 为奇函数.偶函数的图形关于y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称.4.函数的周期性设函数()f x 的定义域为D . 如果存在一个正数l , 使得对于任意x D ∈有()x l D +∈, 且 ()()f x l f x +=，则称()f x 为周期函数.l 称为()f x 的周期.注意：一个函数如果有周期，其周期不唯一.我们把所有周期中的最小正值称为最小正周期，简称周期.周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.1.1.3反函数与复合函数定义 1.1.3设函数对每个()y f D =, 有唯一的x D ∈, 使得()f x y =，于是有 1()f y x -=，1f -为函数f 的反函数.由于人们习惯上自变量用x 表示, 因变量用y 表示, 于是()y f x =,x D ∈的反函数记成1()y f x -=,()x f D ∈.若f 是定义在D 上的单调函数,容易证明1f -也是()y f D =上的单调函数.定义 1.1.4设函数()y f u =的定义域为1D ,函数()u g x =在D 上有定义且1()g D D ?, 则由下式确定的函数[()],y f g x x D =∈ 称为由函数()u g x =和函数()y f u =构成的复合函数, 它的定义域为D , 变量u 称为中间变量.1.1.4.基本初等函数常数函数：a y = (a 为常数)；幂函数:(y x R μμ=∈是常数);指数函数: (01)x y a a =>≠且;对数函数:log (0,1a y x a a =>≠,特别当a e =时, 记为ln y x =);三角函数:sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======;反三角函数:arcsin ,arc s ,arc ,arc y x y co x y tgx y ctgx ==== .统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.1.1.5 内容小结1.函数的概念2.函数的性质3.反函数与分段函数4.基本初等函数1.2 函数的极限◆1.2.1数列的极限◆1.2.2函数的极限◆1.2.3内容小结1.2.1数列的极限定义1.2.1对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的常数A , 则称常数A 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛于A . 记为lim n n x A →∞=. 如果数列没有极限, 则称数列是发散的.例1. 观察下列数列并指出其极限.(1)lim n c →∞{}=. (2)lim 1n n n →∞{}=+ 1(3)lim{}2n n →∞= 解：观察数列在n →∞时的变化趋势，有(1)lim n c c →∞{}= (2)lim lim 1n n n n u n →∞→∞{}={}=1+ 1(3)lim{}lim{}02n n n n u →∞→∞==1.2.2函数的极限1.当x →x 0 时函数的极限定义1.2.2若x 无限接近于x 0 时, 函数f (x )的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x 0 时, f (x )以A 为极限. 记作 0lim x x →f (x )=A 或f (x )→A (当x →0x ). 定义1.2.3若x →x 0- 时, f (x )无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f (x )当x →x 0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0. 定义1.2.4 若当x →x 0+ 时, f (x )无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f (x )当x →x 0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0.左极限和右极限统称为单侧极限.例2 设函数≥<=0,10,)(x x x x f ，求)(lim 0x f x -→和)(lim 0x f x +→. 解：)(lim 0x f x -→＝0lim 0=-→x x )(lim 0x f x +→＝11lim 0=+→x 定理1.1 当0x x →时，函数)(x f 极限存在的充分必要条件是当0x x →时，函数)(x f 的左、右极限都存在且相等，即A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000 例3 讨论函数>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f 当x →0时的极限不存在.解：这是因为, 1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x , )(lim )(lim 00x f x f x x +-→→≠. 所以0lim ()x f x →不存在. 2.当x →∞时函数的极限定义1.2.5设f (x )当|x |大于某一正数时有定义.如果当x 的绝对值无限增大时函数f (x )无限趋近于常数A , 则称常数A 为函数f (x )当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f (x )→A (x →∞).类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim . 注意: A x f x =∞→)(lim ?A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim . 例4. 考察1lim x x→∞=？. 解当x 无限变大时，分式的分母越来越大而分子的值不变，故知1lim 0x x →∞=1.2.3 内容小结1.数列的极限2.函数的极限1.3极限的运算◆1.3.1极限的四则运算◆1.3.2两个重要的极限◆1.3.3 内容小结1.3.1极限的四则运算定理1.2 在某个变化过程中，如果 lim f (x )=A , lim g (x )=B , 则有(1) lim [f (x )±g (x )] = lim f (x ) ±lim g (x ) =A ± B ;(2) lim f (x )?g (x ) = lim f (x ) ? lim g (x ) =A ?B ; (3)BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim (B ≠0). 推论1 如果lim f (x )存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x )]=c lim f (x ).推论2 如果lim f (x )存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x )]n =[lim f (x )]n .特别地，法则1、2可以推广到有限个函数的情形.例1. 求)12(lim1-→x x . 解： 11121lim 21lim 2lim )12(lim1 1 1 1=-?=-=-=-→→→→x x x x x x x . 例2. 求351lim 23 2+--→x x x x . 解： )35(lim )1(lim 351lim 223223 2+--=+--→→→x x x x x x x x x 3l i m l i m 5l i m 1l i m l i m 2222232→→→→→+--=x x x x x x x x 325)lim (1)lim (2232+?--=→→x x x x 3731021223-=+--=. 例3. 求93lim 2 3--→x xx . 解： 31lim )3)(3(3lim 93lim 3 32 3+=+--=--→→→x x x x x x x x x 61)3(lim 1lim 3 3=+=→→x x x . 例5 求357243lim 2323-+++∞→x x x xx . 解：先用x 3 去除分子及分母, 然后取极限: 73357243lim 357243lim 332323=-+++=-+++∞→∞→x x x x x x x x x x .例6求52123lim 232+---∞→x x x xx . 解：先用x 3 去除分子及分母, 然后取极限: 020512123lim 52123lim 332232==+---=+---∞→∞→x x x x x x x x x x x . 例7 求12352lim 223--+-∞→x x x xx . 解：因为052123lim 232=+---∞→x x x xx , 所以∞=--+-∞→12352lim 223x x x xx . 归纳上述情况，我们有分式函数的极限>∞=<=+???+++???++--∞→mn m n b a mn b x b x b a x a x a m m m n n n x 0 lim 00110110例8 求)1211(lim 21---→x x x 解当1→x 时，11-x 与122-x 的极限都不存在，不能直接运算极限的运算法则，可先通分化简再计算极限，即2111lim 121lim )1211(lim 12121=+=--+=---→→→x x x x x x x x1.3.2 两个重要的极限1.1sin lim 0=→xx x . 例9 求xx x tan lim 0→. 解: x x x tan lim 0→x x x x cos 1sin lim 0?=→1cos 1lim sin lim 00=?=→→xx x x x . 例10 求20cos1lim xx x -→. 解: 20cos1lim x x x -→=220220)2(2sin lim 212sin 2lim x x x x x x →→= 2112122sin lim 21220=?=????? ??=→x x x .2.x x x)11(lim +∞→＝e . 若令xt 1=，则∞→x 时，0→t .于是，有e t t t =+→1)1(lim 例11求x x x)11(lim -∞→. 解: )1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x x x 11])11(lim [---∞→=-+=e xx x . 例12 求x x x 511lim ??? ?+∞→ 解 55511l i m 11l i m e x x x x x x =+=??? ??+∞→∞→ 例13 求x x x x 211lim ??-+∞→ 解x x x x 211l i m ??-+∞→＝x x x x 21111lim ?????? ??-+∞→＝x xx x x 221111lim ??? ??-??? ??+∞→＝422e e e =- 例14求xx x 20)31(lim -→ 解 x x x 20)31(lim -→＝6310)]3(1[lim --→-+x x x ＝6-e 1.3.3 内容小结1.极限的四则运算2.两个重要的极限1.4 无穷小与无穷大◆1.4.1 无穷小◆1.4.2 无穷大◆1.4.3 无穷小的比较◆1.4.4 内容小结1. 4. 1无穷小。

经管专业高等数学教材

经管专业高等数学教材高等数学是经管专业的重要学科之一，它在培养学生的数学思维能力和解决实际问题能力方面起着重要的作用。

为了更好地满足经管专业学生的需求，我们编写了一本经管专业高等数学教材，旨在为学生提供系统、全面、易于理解的数学知识。

第一章导数与微分1.1 实数与函数1.2 极限与连续1.3 导数的概念1.4 导数的运算法则1.5 高阶导数与隐函数求导1.6 微分的几何应用第二章积分与定积分2.1 不定积分与定积分2.2 定积分的性质与应用2.3 定积分的计算方法2.4 微积分基本定理第三章无穷级数与幂级数3.1 数项级数与其收敛性3.2 常数项级数收敛的判定方法3.3 幂级数与收敛半径第四章一元函数的应用4.1 函数的极值与最值4.2 函数的凸性与拐点4.3 泰勒展开与近似计算4.4 微分方程与其应用以上是本教材的大致结构与内容，我们在编写教材时特别考虑了经管专业学生的实际需求。

教材以解决实际问题为导向，强调数学知识与实际应用的结合，将抽象的数学理论与实际问题相结合，使学生能够更好地应用数学知识解决实际经济管理中的问题。

为了提升学生的学习兴趣和参与度，本教材采用了多种教学手段。

除了传统的文字解释和例题分析外，还配有大量的图表、实例和思考题，以帮助学生更好地理解和掌握知识。

同时，我们还提供了习题集和参考答案，供学生进行自主学习和巩固知识。

本教材编写过程中，注重了语言的通俗易懂，逻辑性强。

每个概念和知识点的介绍都尽量避免使用过于抽象的数学术语，力求用简练明了的语言进行解释。

同时，教材的排版美观整洁，注重版面设计的合理性和易读性。

总之，经管专业高等数学教材是为经管专业学生量身定制的教材，旨在帮助他们理解和应用高等数学知识。

通过系统、全面、易于理解的内容和多样化的教学手段，我们相信这本教材能够有效提高学生的学习效果和实际应用能力，为他们今后的学习和工作打下坚实的数学基础。

经管类高等数学第一章

由于数学在各个领域的应用不胜枚举，正如我国著名的华罗庚教授对数学的精辟阐述：“宇宙之大，火箭之速，画工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学．”
பைடு நூலகம்
第二节如何学好高等数学
一、高等数学中强调概念的理解二、加强建模意识及能力的培养
一、高等数学中强调概念的理解
极限、导数及积分称为高等数学中三大重要概念，它不仅给予学习者一个结论的名称和定义，更是予以了一种数学的思想，一个哲学道理，一种解决问题的方法．极限和定积分的概念，都是量变到质变哲学思想的最好体现.
极限概念的引入为导数和微分奠定了极其重要的基础，铺垫了极为坚实的基石. 导数概念的出现解决了一大批变化率的问题．定积分则是求和问题的最简洁最有效的方法．三个概念可谓是三足鼎立，支撑起了微积分的几乎全部的内容．构成了一条天衣无缝的知识链，衔接的如此完美是任何学科都无法比拟的．
为了更好地掌握概念，应把握好以下四条原则：
第一章学习高等数学的作用与意义
第一节高等数学的作用与意义第二节如何学好高等数学
第一节高等数学的作用与意义
一、天文离不开数学二、生活需要数学三、数学是研究经济工作的基础
一、天文离不开数学
我们都知道海王星是环绕太阳运行的第八颗行星，也是太阳系中第四大天体（直径上）。海王星在直径上小于天王星，但质量比它大。
2、作非均速运动的物体，其经过的路程 S 与时间 t 的关系是 S ( t ) , 求其在运动过程中在某一时刻的 t0 的瞬时速度，即是求 S ( t ) 在点 t0 的导数.
三、数学是研究经济工作的基础
你也许还没有真正体会到以下说法的真谛：〔1〕高等数学已经成为现代经济理论和管理的语言．