2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第七节 抛物线 理
高考数学一轮复习 抛物线课时跟踪检测 理 湘教版
高考数学一轮复习 抛物线课时跟踪检测 理 湘教版(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·沈阳模拟) 抛物线x 2＝12y 的焦点F 到其准线l 的距离是( )A ．2B ．1 C.12D.142．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A ．2 B ．1 C.12D.143．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．325．(2014·武汉调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点的坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．6．(2013·江西高考) 抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.7．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设FA ·FB ＝89，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．8．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值；(2)如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．2．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．3. (2014·长春三校调研)在直角坐标系xOy 中，点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，点F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)的焦点，线段MF 恰被抛物线C 平分．(1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线FA ，FM ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问k 1，k 2，k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选D 因为2p ＝12，p ＝14，所以由抛物线的定义可知所求的距离为14.2．选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x－3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2，故选A.3．选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知抛物线的焦点坐标为F (p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，将其代入抛物线方程得y 2＝2px ＝2p (y ＋p2)＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.4．选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8.所以△AFK 为直角三角形，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.5．解析：由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以抛物线的方程为y 2＝4x .显然当直线的斜率不存在或为零时不满足题意，故设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，其中k ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－2k ，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋[4k (1－k )－4]x ＋4(1－k )2＝0，显然4k 2－4k ＋42k2＝2，解得k ＝1.故直线l 的方程为y ＝x . 答案：y ＝x6．解析：由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A －12＋p 22，－p 2，B 12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝ 12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝ 12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p2＝32，解得p ＝6. 答案：67．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋4＝0，从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4. 直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2＋x 1(x ＋x 1)， 即y －x 214＝x 2－x 14(x ＋x 1)， 令x ＝0，得y ＝x 1x 24＝1，所以点F 在直线BD 上．(2)因为FA ·FB ＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝8－4k 2， 故8－4k 2＝89，解得k ＝±43，所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2－16＝±473，故直线BD 的斜率为x 2－x 14＝±73，因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )，则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝19或t ＝9(舍去)， 所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19.8．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率为12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4，得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)．故b 的取值范围为(2，＋∞)． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋b 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2. ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA ·OB ＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)． 2．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x ＞0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上一点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．3．解：(1)由题得抛物线C 的焦点F 的坐标为0，14m ，线段MF 的中点N 1，18m －14在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)． 设直线l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋12＝k x －2，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0，Δ＝16k 2－4(8k ＋2)＞0，∴k ＜2－62或k ＞2＋62.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8k ＋2，假设k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2. 而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 2x 214＋x 1x 224－x 2－x 1x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 24－1x 1＋x 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k ＋24－1·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－12－12－0＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0， 解得k ＝－12(符合题意)或k ＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.∴k 1，k 2，k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0.。
高考数学一轮复习精品教学案8.7 抛物线(教师版) 新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案8.7 抛物线【考纲解读】1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
方程()022>=p px y 叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2px -= ；2．抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： 标准方程22(0)y px p =>22(0)y px p =->22(0)x py p =>22(0)x py p =->图形焦点坐标 (,0)p(,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥0y ≤o Fx ylox yF lx yo Fl对称性 x 轴 x 轴y 轴y 轴顶点(0,0) (0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e = 1e = 1e = 1e = 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。
山东高考数学一轮总复习学案设计-第八章第七讲抛物线含答案解析
第七讲 抛物线知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0)F (－p2，0)F (0，p2)F (0，－p2)离心率 e ＝__1__准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝ x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p2|PF |＝ y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p2重要结论抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的是( CD )A ．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B ．方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4C ．AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋pD ．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点F 的距离为1，则点M 的纵坐标是( B )1616C ．78D ．0[解析] y ＝4x 2⇒x 2＝14y ⇒抛物线准线方程为y ＝－116.设M 点坐标为(x 0，y 0)，则由抛物线定义可知y 0＋116＝1，∴y 0＝1516.故选B ．题组三 考题再现4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( D )A ．2B ．3C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为(p2，0)，∴3p －p ＝p 24，∴p ＝8.故选D ．5．(2019·广东广州天河综合测试)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －2)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点，若AF →＝mFB →，则实数m 的值为( B )A ． 3B ．3C ．2D ．32[解析] 由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝3(x －2)得3x 2－20x ＋12＝0，∴x A ＝6，x B ＝23，又AF →＝mFB →且F (2,0)，∴2－6＝m (23－2)，∴m ＝3，故选B ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题例1 (2019·江西赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( D )2C．(1，2) D．(2,2)[解析]如图，过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，所以当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．角度2到准线与到定点距离之和最小问题例2已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为(A)A．41 B．7C．6 D．9[解析]由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圆心C的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d＋|PC|＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度3到两定直线的距离之和最小问题例3(2019·湖南省三湘名校联考)已知直线l1：x＝－1，l2：x－y＋1＝0，点P为抛物线y2＝4x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(B) A．2 B． 2C．1 D．2 2[解析]抛物线y2＝4x，其焦点坐标F(1，0)，准线为x＝－1也就是直线l1，故P到直线l1的距离就是P到F的距离，如图所示，P到l1，l2的距离之和的最小值等于焦点F到直线l2的距离．设P到直线l2的距离为d，则d＋|PF|≥|1－0＋1|2＝2，当且仅当P，E，F三点共线时等号成立，故选B．名师点拨 ☞求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2020·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(2)(角度3)(2019·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( D )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |，因此，|P A |＋|PF |的最小值，即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，此时P (94，3)，且|PF |＝94＋1＝134，故选B ．(2)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选C ．考点二 抛物线的方程及几何性质——自主练透例4 (1)(2019·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m ，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y(2)(2019·江西省九校联考)抛物线y ＝ax 2的焦点是直线x ＋y －1＝0与坐标轴交点，则抛物线的准线方程为( D )A ．x ＝－14B ．x ＝－1C ．y ＝－14D ．y ＝－1(3)(2019·山东菏泽期末)已知等边△AOB (O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)上，且△AOB 的面积为93，则p ＝( C )A ． 3B ．3C ．32D ．2 3(4)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(5)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，故设其方程为x 2＝－2py (p >0)，所以3＋p2＝5，即p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ，故选D ．(2)抛物线焦点在y 轴上，即直线x ＋y －1＝0与y 轴的交点F (0,1)，∴p2＝1，∴抛物线方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1，故选D ．(3)根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设直线OB ：y ＝33x ，与y 2＝2px 联立，解得B (6p ，23p )，故|AB |＝43p .因为△AOB 的面积为93，所以34×(43p )2＝93，解得p ＝32.故选C ． (4)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0，故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．(5)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1．∵BD ∥FG ，∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |，即1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨 ☞1．求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(抛物线焦点在其标准方程中一次项所对应的坐标轴上)(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 〔变式训练2〕(1)(2020·福建漳州质检)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( B )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x(2)(2019·吉林市五地六校适应性考试)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 与圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝16相切，则p ＝( D )A ．6B ．8C ．3D ．4[解析] (1)由抛物线的定义可知p 2＝12，∴p ＝1，∴抛物线方程为y 2＝2x ，故选B ．(2)因为抛物线C ：x 2＝2py 的准线为y ＝－p2，又准线l 与圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝16相切，所以p2＋2＝4，则p ＝4.故选D ．考点三 直线与抛物线的综合问题——师生共研例5 (1)(2019·黑龙江省大庆市模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点，若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( B )A ．3B ．1C ．2D ．12(2)(2019·陕西省汉中市模拟)已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，则|AB |等于( C )A ．12B ．14C ．16D ．28(3)(2019·金华模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)在第一象限内的点P (2，t )到焦点F 的距离为52． ①若N (－12，0)，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；②若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明由．[解析] (1)由于R (2,1)为AB 中点，根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减并化简得y 2－y 1x 2－x 1＝2y 1＋y 2＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1，故选B ．(2)抛物线y 2＝8x ，p ＝4，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为M ，N ，如下图：则|BN |＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BN |， ∴∠NCB ＝π4，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2y 2＝8x得x 2－12x ＋4＝0， ∴x A ＋x B ＝12，∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝16.故选C ． (3)①∵点P (2，t )到焦点F 的距离为52，∴2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2,2)， ∴l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，可解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，∴|QF ||PF |＝5852＝14． ②设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，① 由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0， ∴直线l 2：x ＝ny ＋2，∵圆心M (a,0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n 2， ∴|DE |＝212－(a －2)21＋n 2， 显然当a ＝2时，|DE |＝2，∴存在实数a ＝2，使得|DE |为定值． 名师点拨 ☞(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． 〔变式训练3〕(1)(2020·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点，已知|AF |＝4，CB →＝3BF →，则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2019·合肥模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．①求抛物线C 2的方程；②过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．[解析] (1)过A ，B 分别作准线的垂线交准线于E ，D 两点， 设|BF |＝a ，根据抛物线的性质可知，|BD |＝a ， |AE |＝4，根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |，即a 4＝3a 3a ＋a ＋4，解得a ＝2， 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |，即a p ＝3a4a， 解得p ＝43a ＝83，故选C ．(2)①F 1(1,0)，F 2(0，p 2)，∴F 1F 2→＝(－1，p 2)．F 1F 2→·OP →＝(－1，p 2)·(－1，－1)＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴C 2的方程为x 2＝4y ．②设过点O 的直线为y ＝kx (k <0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x ， 得M (4k 2，4k )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)(k <0)， 从而|MN |＝1＋k 2|4k 2－4k |＝1＋k 2(4k2－4k )， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2， 进而S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2(4k 2－4k ) ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2(k ＋1k －2)(k ＋1k＋1)． 令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)， 当t ＝－2时，S △PMN 有最小值8，此时k ＝－1．即当过原点的直线为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例6 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( D )A ．316B ．38C ．233D ．433 [解析] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为(0，p 2)，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2)，联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ，易知在M 点处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′|x ＝m ＝(12p x 2)′|x ＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，所以m p ＝33，即m ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)． 名师点拨 ☞利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．〔变式训练4〕已知抛物线x 2＝8y ，过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0，－4)D ．(4,1)[解析] 设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∵y ＝x 28，y ′＝x 4， ∴P A ，PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1)，y －y 2＝x 24(x －x 2)， 由y 1＝x 218，y 2＝x 228，可得y ＝x 14x －y 1，y ＝x 24x －y 2， ∵切线P A ，PB 都过点P (b,4)， ∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2， 故可知过A ，B 两点的直线方程为4＝b 4x －y ， 当x ＝0时，y ＝－4，∴直线AB 恒过定点(0，－4)．故选C ．。
高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业 理(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习 8.7 抛物线课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·郑州第三次质量预测)抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线围成的三角形的面积为( )A ．6B ．6 3C ．9D ．9 3解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线方程为y＝±3x ，故所围成的三角形面积为S ＝3·3×3＝9 3.答案：D2．(2013·北京东城综合练习(二))过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由抛物线的定义知点A 与点B 到y 2＝4x 的距离之和为10，故AB 中点到准线的距离为5，因准线方程为x ＝－1，故AB 中点到y 轴的距离为4.答案：D3．(2013·北京西城区高三二模)已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A.34B.32C. 3 D ．2 3解析：由已知可以AD 为x 轴，AD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，易得C (1，－3)，D (2,0)，设抛物线方程为x 2＝ay ＋b ，代入解得x 2＝3y ＋4，故焦点到准线的距离为32. 答案：B4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，选C.答案：C5．(2013·福建质检)设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF |等于( )A ．4 3B ．6 3C ．6D ．12解析：∵PA ⊥l ，△APF 为等边三角形，∴∠FAB ＝30° 在Rt △ABF 中，∵|BF |＝3， ∴|AF |＝6，∴|PF |＝6 答案：C6．(2014·广州中山一中七校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3，∴x 1＝2.∴A 点坐标为(2,22)，则直线AB 的斜率k ＝22－02－1＝2 2.∴直线AB 的方程为y ＝22(x－1)，即为22x －y －22＝0，则点O 到该直线的距离为d ＝223.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝22x －1，消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案：C 二、填空题7．(2013·陕西宝鸡第三次模拟)抛物线顶点在原点，焦点在x 轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝1，则抛物线方程为________．解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，∴|AB|＝1，即2p＝1，∴y2＝x.答案：y2＝x8．(2013·汕头市质量测评(二))上图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽________米．解析：建系如右图，设抛物线方程为x2＝2py，过(2，－2)点得p＝－1，∴x2＝－2y，水面下降2米得y＝－4，解得x＝±22，∴水面宽4 2.答案：4 29．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x －y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析：依题意，抛物线的焦点F (1,0)，过点P 作PN ⊥l ，垂足为N ，过点P 作准线x ＝－1的垂线，垂足为M ，交y 轴于点E ，则d 1＋d 2＝|PN |＋|PE |＝|PN |＋|PM |－1＝|PN |＋|PF |－1≥|FN |－1，当且仅当F ，P ，N 三点共线时等号成立．由于点F 到直线l 的距离为32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1.答案：32－110．(2012·重庆卷)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 解析：F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2. 因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立直线与抛物线的方程得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k2，又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x－3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13，由抛物线的定义得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：56三、解答题11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ， 所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12xy 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8py ＝－4p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p 和(8p ，－4p )．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－8p 2＋p ＋4p 2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .12．已知抛物线方程x 2＝4y ，过点P (t ，－4)作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B .(1)求证：直线AB 过定点(0,4)；(2)求△OAB (O 为坐标原点)面积的最小值． 解：(1)证明：设切点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，切线PB 的方程为y －y 2＝12x 2(x －x 2)，即y ＝12x 2x －y 2，由点P (t ，－4)是切线PA ，PB 的交点可知： －4＝12x 1t －y 1，－4＝12x 2t －y 2，∴过A 、B 两点的直线方程为－4＝12tx －y ，即12tx －y ＋4＝0.∴直线AB ：12tx －y ＋4＝0过定点(0,4)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12tx －y ＋4＝0x 2＝4y得x 2－2tx －16＝0.则x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－16.S △OAB ＝12×4×|x 1－x 2|＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝24t 2＋64≥16.当且仅当t ＝0时，△OAB 的面积取得最小值16. [热点预测]13．(2013·石家庄质检(二))已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p2；若拋物线C ：y 2＝2px (p >0)上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以拋物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 由抛物线定义知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离．所以抛物线上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线l 1的距离． 所以2＝|2p ＋6|5，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设M (x 0，y 0)，由题意知直线l 斜率存在，设为k ，且k ≠0，所以直线l 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入y 2＝4x 消x 得：ky 2－4y ＋4y 0－ky 20＝0. 由Δ＝16－4k (4y 0－ky 20)＝0，得k ＝2y 0.所以直线l 方程为y －y 0＝2y 0(x －x 0)，令x ＝－1，又由y 2＝4x 0得N ⎝⎛⎭⎪⎫－1，y 20－42y 0 设Q (x 1,0)，则QM →＝(x 0－x 1，y 0)，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－x 1，y 20－42y 0 由题意知QM →·QN →＝0， 即(x 0－x 1)(－1－x 1)＋y 20－42＝0，把y 20＝4x 0代入左式，得：(1－x 1)x 0＋x 21＋x 1－2＝0，因为对任意的x 0等式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝0，x 21＋x 1－2＝0.所以x 1＝1即在x 轴上存在定点Q (1,0)在以MN 为直径的圆上．。
2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第七节 抛物线
A. B. C. D.
D
[解析] 抛物线 上一点 到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4， ，解得 ，∴抛物线的标准方程为 .故选D.
（3） 抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线 的一个顶点，则此抛物线的标准方程为________.
5. （2021东北四市高三模拟）若点 为抛物线 上的动点， 为抛物线的焦点，则 的最小值为_ _.
[解析] 由题意知 ，则 ，设 ，则 ，所以当 时， .
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3. （2021山东淄博二模）如图，过抛物线 的焦点 的直线依次交抛物线及准线于点 ， ， ，若 ，且 ，则抛物线的方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 如图，分别过点 , 作准线的垂线，交准线于点 , ，
设 ，则 ，由抛物线的定义得 ，故 ，∴在 中， ， , ， ，解得 ， ， ， ，因此抛物线的方程为 ，故选D.
变式1 若将本例（2）中的“ ”改为“ ”，求 的最小值.
[解析] 由题意可知点 在抛物线的外部， 的最小值即为 , 两点之间的距离, ，即 的最小值为 .
变式2 在本例（2）的条件下，求点 到 的距离与点 到直线 的距离之和的最小值.
[解析] 如图，易知抛物线的焦点为 ，准线是直线 ,
C
[解析] 设焦点为 ，点 的坐标为 ，由抛物线定义得 ,∵点 到 轴的距离为9， ， , .故选C.
（2） 设 是抛物线 上的一个动点， 为抛物线的焦点，若 ，则 的最小值为___.
[解析] 如图，过点 作 垂直于准线，交准线于点 ,交抛物线于点 ,连接 ，则 .又 ,则有 ,即 的最小值为4.
高三数学(理)一轮复习讲解与练习8.7抛物线(含答案解析)
第七节抛物线[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．[探究] 1.当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋p2；若抛物线方程为x2＝2py(y>0)，则|MF|＝y＋p2.2．抛物线的标准方程和几何性质[自测·牛刀小试]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .2．已知d 为抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点到准线的距离，则pd 等于( ) A.12p 2 B ．p 2 C.12D.14解析：选D 抛物线方程可化为x 2＝12p y ，所以d ＝14p ，则pd ＝14.3．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________．解析：由c 2＝9－4＝5得F (－5，0)， 则抛物线方程为y 2＝－45x . 答案：y 2＝－45x4．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.解析：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2py 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 1＝2，∴p ＝2. 答案：25．若抛物线x 2＝ay 过点A ⎝⎛⎭⎫1，14，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 解析：由题意可知，点A 在抛物线x 2＝ay 上，所以1＝14a ，解得a ＝4，得x 2＝4y .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到抛物线的焦点的距离为y A ＋a 4＝14＋1＝54.答案：54[例1] 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[自主解答] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离．∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝2 5.———————————————————抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y(2)8[例2] (1)抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝13，则抛物线方程为y 2＝8x .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)324——————————————————— 求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为12×6×12＝36.[例3] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.——————————————————— 求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，求k 的值．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8k 2－4，x 1x 2＝4.又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4得2(x2＋1)x2＝4，解得x2＝1(x2＝－2舍去)，将x2＝1，x1＝4代入x1＋x1＝8k2－4得k2＝89，由已知k>0，所以k＝223.4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2＝p2 4；(3)y1y2＝－p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.创新交汇——圆锥曲线中的实际应用题1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现．2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题．[典例](2012·陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．[解析]以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y ＝－3，代入抛物线方程得x ＝±6，所以此时水面宽为26米．[答案] 2 6 [名师点评]1．本题有以下创新点(1)命题形式的创新：以实际应用题的形式考查圆锥曲线的性质．(2)命题内容的创新：本题不是直接考查抛物线的性质，而是巧设背景，以实际应用问题为载体来考查抛物线．考查学生的应用意识．2．解决本题的关键点解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．3．在解决以圆锥曲线为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点(1)注意解实际应用问题的四个解题步骤，同时对有关圆锥曲线的基本知识必须要熟练掌握，以便能及时提取运用．(2)注意观察实际生活中一些形状与圆锥曲线的形状接近的事物，如截面为抛物线形的拱桥、探照灯，截面为双曲线形的烟筒，斜截圆柱得椭圆形状的截面等．[变式训练]海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图所示．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝1249x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝1249x 2，得P的纵坐标y P ＝3.由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时． (2)设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2，整理得v 2＝144⎝⎛⎭⎫t 2＋1t 2＋337. 因为t 2＋1t2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立．所以v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝⎛⎭⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32. 2．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝12|AB ||OF |＝12×4×1＝2. 3．直线y ＝x ＋1截抛物线y 2＝2px 所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝6xC ．y 2＝－2x 或y 2＝6xD ．以上都不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝2px ，得x 2＋(2－2p )x ＋1＝0.x 1＋x 2＝2p －2，x 1x 2＝1. 则26＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2·(2p －2)2－4.解得p ＝－1或p ＝3，故抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝6x .4．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．5．(2013·湛江模拟)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是( )A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y 2＝2p 1x 或x 2＝－2p 2y ，则(－3)2＝2p 1或1＝6p 2，得2p 1＝9或2p 2＝13，故抛物线方程为y 2＝9x 或x 2＝－13y ，则y 2＝9x 或y ＝－3x 2.6．(2013·衡水模拟)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4. 得a ＝±8故抛物线方程为y ＝±8x .二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．以抛物线x 2＝－4y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是______________．解析：抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为2，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝4. 答案：x 2＋y 2＝48．(2013·厦门模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．(2012·安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：如图，设A (x0，y 0)(y 0<0)，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以y 0＝－2 2.故点A (2，－22)．则直线AB 的斜率为k ＝－22－02－1＝－2 2，直线AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－22x ＋22，y 2＝4x ，消去y 得2x 2－5x ＋2＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为12.再由抛物线的定义得|BF |＝12－(－1)＝32. 答案：32三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知圆C 过定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．解：(1)由题意，点C 到定点F ⎝⎛⎭⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x 后， 整理得ky 2＋y －k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1. 设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1,0)．∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2|＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4. ∵S △OAB ＝10，所以12 ⎝⎛⎭⎫1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16. 11．若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的上顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1. 则椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，所以p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x . ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2， 当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0， 则Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12．(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝⎛⎭⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹方程C ；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202， 所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．1．抛物线y ＝x 2上一点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，14B ．(1,1) C.⎝⎛⎭⎫32，94 D ．(2,4)解析：选B 法一：设抛物线上任一点为(x ，y )，则由点到直线的距离得d ＝|2x －y －4|5＝|2x －x 2－4|5＝|(x －1)2＋3|5＝(x －1)2＋35≥35. 当x ＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)．法二：设2x －y ＋m ＝0与y ＝x 2相切，则x 2－2x －m ＝0.Δ＝4＋4m ＝0，得m ＝－1，此时x ＝1，故点的坐标为(1,1)．法三：(导数法)y ＝x 2的导数为y ′＝2x ，设所求点为P (x 0，y 0)，则2x 0＝2，得x 0＝1，故P (1,1)．2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF |＝|AF |＝2.答案：23．如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点为A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*) ∵直线l 与抛物线相切，∴Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0.∴b ＝－1.(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0.解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A (2,1)．∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切，∴r ＝|1－(－1)|＝2.∴圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.。
某师大附中2013届高考数学第一轮复习 抛物线(文理)
抛物线(教案)A一、 知识梳理： 1. 抛物线的定义定义的理解:定点在直线上,轨迹是: . 2. 抛物线的标准方程及性质(见下表) 标准方程图 形 顶 点 对称轴 焦 点 准 线 离心率焦半径 焦点弦公式()022>=p px yxyOFl()0,0x 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2px -=1=e02x pPF += )(21x x p l ++= ()022>-=p pxyxyOFl()0,0 x 轴 ⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p2p x =1=e 02x pPF -= )(21x x p l +-=()022>=p py x()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=1=e02y pPF +=)(21y y p l ++=()022>-=p pyx()0,0y 轴⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =1=e02y pPF -=)(21y y p l +-=3、焦半径公式=2px (p>0) ， M(,)为抛物线上任意一点。
F 为抛物线的焦点，|MF|=+（2）、n= , m=+=4、若抛物线过焦点的弦AB，设A（）B（），则有下列结论：（1）、|AB|=p++（2）、|AB|=( =2px (p>0), |AB|=( =2py (p>0))（3）、|AB|=( =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)（4）、= ,=-（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p（6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：=|AB||ON|=|OF|||=|OF|||（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切（8）、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？以为例说明特例：当弦xAB⊥轴时，则点P的坐标为在准线上．证明:当弦AB过焦点F，设()11,yxA、()22,yxB则过A点的切线方程是：()11xxpyy+=①过B点的切线方程是：()22xxpyy+=②由①－②可得：()()2121xxpyyy-=-即：()p y y p y y y 2222121-⋅=-∴221y y y +=代入①式可得：px y y 221=⋅∵弦AB 过焦点弦，由焦点弦性质可知221p y y -=，∴x=，即交点P 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,221y y p ． 结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。
2013届高三数学一轮复习课时训练(人教A)9.8抛物线
第8讲 抛物线随堂演练巩固1.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】抛物线22y px =的准线为2p x =-,因为其与圆相切,所以|32p--|=4,解得p =2(因为p >0).2.直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点,且与抛物线交于A 、B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( ) A.212y x = B.28y x = C.26y x = D.24y x =【答案】B【解析】设1122()()A x y B x y ,,,,由抛物线定义可得1x +2x p +=8,又AB 中点到y 轴的距离为2,∴124x x +=.∴p =4.3.在抛物线22y x =上有一点P ,若使它到点A(1,3)的距离与它到抛物线焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是( ) A.(-2,1) B.(1,2)C.(2,1)D.(-1,2)【答案】B【解析】如图所示,直线l 为抛物线22y x =的准线,F 为其焦点，1PN l AN l ⊥,⊥,由抛物线的定义知,|PF |=|PN |,∴|A P |+|PF |=|A P |+|PN |≥|1AN |,当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号.∴当所求距离之和最小时,P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1,又点P 在抛物线上,∴P 点坐标为(1,2).4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y 轴上,抛物线过点(4,-2),则抛物线的标准方程是 . 【答案】28x y =-【解析】设抛物线方程为22(0)x py p =->,因抛物线过点(4,-2),所以242(2)4p p =-⨯-,=.所以抛物线方程为28x y =-.5.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点1(1)4P ,在抛物线上,过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线,垂足为Q ,若抛物线的准线与对称轴相交于点M ,则四边形PQMF 的面积等于 . 【答案】138【解析】由点1(1)4P ,在抛物线上,得18p =,故抛物线的标准方程为24x y =,其焦点为F (0,1),准线为y =-1,所以|FM |=2,|PQ |51144=+=,|MQ |=1,则直角梯形PQMF 的面积等于5131(2)1248⨯+⨯=.课后作业夯基 基础巩固1.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【答案】D【解析】依题意知,点P 到直线x =-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P 的轨迹是抛物线. 2.在抛物线22y px =上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】由抛物线的定义得452p+=,故p =2. 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线24y x =仅有一个公共点,则这样的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】C【解析】结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x =0,过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x =0).4.已知点P 在抛物线24y x =上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( )A.1(1)4,-B.1(1)4,C.(1,2)D.(1,-2) 【答案】A【解析】点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离,如图|PF |+|PQ |=|PS |+|PQ |,故最小值在S ,P ,Q 三点共线时取得,此时P ,Q 的纵坐标都是-1,此时点P 坐标为1(1)4,-.5.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A.若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A.24y x =± B.28y x =± C.24y x = D.28y x =【答案】B【解析】抛物线焦点F 坐标为(0)4a ,,故直线l 的方程为y =2()4a x -,因此其与y 轴交点坐标为(0)2a A ,-,因此12OAFS=⨯|4a |⨯|2a |=4⇒2648a a =⇒=±,即抛物线方程为2y =8x ±.6.已知过抛物线26y x =焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( )A.6π或56πB.4π或34πC.3π或23πD.2π 【答案】B【解析】设弦为AB ,则由焦点弦长公式有|AB |22sin p θ=,即2612sin θ=,∴sin θ=.∴4θπ=或34π.7.已知抛物线24y x =上两个动点B 、C 和点A(1,2),且90BAC ∠=,则动直线BC 必过定点( )A.(2,5)B.(-2,5)C.(5,-2)D.(5,2)【答案】C【解析】设221212()()44y y B y C y BC ,,,,的中点为00()D x y ,,则1202y y y +=,直线BC 的方程为211222121444y x y y y y y y --=,-- 即012420x y y y y -+=; ①又AB AC ⋅=0,∴120420y y y =--,代入①式得2(x -5)-0(2)0y y +=,由此可知动直线BC 恒过x -5=0与y +2=0的交点(5,-2).8.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点A(0,2). 若线段F A 的中点B 在抛物线上,则点B 到该抛物线准线的距离为 .【解析】由已知得(1)4p B ,,将其代入22y px =,得124pp =⨯,∴0)p p =>,则B 点到准线的距离为24p p +=34p= 9.已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,直线y =x 与抛物线C 相交于A,B 两点.若P (2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 . 【答案】24y x =【解析】设抛物线方程为22y px =,将直线y =x 代入抛物线方程可得220y py -=,解之,得y =0或y =2p .由AB 的中点坐标为(2,2)可得2p =4,即p =2,∴抛物线C 的方程为2y =4x .10.(2012山东泰安月考)已知点M 是抛物线24y x =上的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆C:22(4)(1)1x y -+-=上,则|MA |+|MF |的最小值为 . 【答案】4【解析】依题意得|MA |+|MF |(≥|MC |-1)+|MF |=(|MC |+|MF |)-1,由抛物线的定义知|MF |等于点M 到抛物线的准线x =-1的距离,结合图形不难得知,|MC |+|MF |的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x =-1的距离,即为5,因此所求的最小值为4.11.一抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线22221(0y x a a b-=>,b>0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,又此抛物线与双曲线的一个交点为3(2,求该抛物线与双曲线的方程.【解】由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,∴p =2c. 设抛物线方程为24y c x =⋅.∵抛物线过点3(2,∴3642c =⋅.∴c=1.故抛物线方程为24y x =.又双曲线22221y x a b -=过点3(2,∴229614a b -=.又2221a b c +==,∴2296141aa -=-.∴214a =或29(a =舍).∴234b =.故双曲线方程为224413y x -=. 12.已知一动圆过定点P (1,0),且与定直线l :x =-1相切,点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程.(2)设过点P ,且斜率为的直线与曲线M 相交于A 、B 两点,问△ABC 能否为正三角形?若能,求出C 点的坐标,若不能,说明理由.【解】(1)依题意,曲线M 是以点P 为焦点,直线l 为准线的抛物线,所以曲线M 的方程为24y x =.如图所示.(2)由题意得,直线AB 的方程为1)y x =-,由 21)4y x y x ⎧=-,⎪⎨=,⎪⎩ 消y 得231030x x -+=.解得1((33A B ,,-.若△ABC能为正三角形,设C(-1,y),则|AC|=|AB|=|BC|,即2222222211(1))(3)331(31))(3)3yy⎧++=-+,⎪⎪⎨⎪++=-+,⎪⎩①②①组成的方程组无解,因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.13.已知定点F(0,1)和直线1l:y=-1,过定点F与直线1l相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线2l交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线1l于点R,求RP RQ⋅的最小值.【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到直线1l的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点1l,为准线的抛物线.∴所求轨迹的方程为24x y=.(2)由题意设直线2l的方程为y=kx+1,与抛物线方程联立消去y,得2440x kx--=.设1122()()P x y Q x y,,,,则121244x x k x x+=,=-.∵直线PQ的斜率0k≠,易得点R的坐标为2(1)k-,-,RP RQ⋅112222(1)(1)x y x yk k=+,+⋅+,+121222()()(2)(2)x x kx kxk k=+++++21212224(1)(2)()4k x x k x xk k=++++++22222414(1)4(2)44()8k k k kk k k=-+++++=++,∵2212k k+≥,当且仅当21k =时取到等号,∴RP RQ ⋅42816≥⨯+=,即RP RQ ⋅的最小值为16. 拓展延伸14.如图,过点F (1,0)的直线l 与抛物线C:24y x =交于A 、B 两点.(1)若|AB |=8,求直线AB 的方程;(2)记抛物线C 的准线为l ′,设直线OA 、OB 分别交l ′于点N 、M ,求OM ON ⋅的值. 【解】(1)设1122()()A x y B x y ,,,,|AB |=8,即128x x p ++=, 又p =2,∴126x x +=.∵|AB |>2p ,∴直线l 的斜率存在,设其方程为y =k (x -1).由方程组24(1)y x y k x ⎧=,⎨=-,⎩ 消去y ,得2222(24)0k x k x k -++=,∴212224k x x k++=, 即22246k k+=,得1k =±. ∴直线AB 的方程是x -y -1=0或x +y -1=0. (2)当直线l 的斜率不存在时,12121OM ON OA OB x x y y ⋅=⋅=+=-4=-3.当直线l 的斜率存在时,由(1)知12121x x y y ,=,==-4, 设34(1)(1)M y N y B O M -,,-,,,,三点共线,∴3223221y y y y x x =⇒=--. 同理可得141y y x -=. ∴12343412(1)(1)113y y OM ON y y y y x x ⋅=-,⋅-,=+=+=-. 综上3OM ON ,⋅=-.。
高考数学总复习 第八章第7课时 抛物线课时闯关(含解析)
（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第7课时 抛物线课时闯关（含解析）[A 级 双基巩固]一、填空题1．在抛物线y 2＝2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为________． 解析：由题意4＋p2＝5，∴p ＝2. 答案：22．(2010²高考湖南卷改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：由题意知P 到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P 到抛物线焦点的距离也是6.答案：63．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝2，则BF ＝________.解析：因为AF ＝2，所以x A －(－1)＝2. 所以x A ＝1，所以A (1，±2)．又F (1,0)， 所以BF ＝AF ＝2. 答案：24．当a 为任何值时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的标准方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0－x －y ＋1＝0，得定点P (－2,3)，∵抛物线过定点P ，当焦点在x 轴上时，方程为y 2＝－92x ，当焦点在y 轴上时，抛物线方程为x 2＝43y .答案：y 2＝－92x 或x 2＝43y5．若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以(2,0)为焦点，以x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．解析：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2.又曲线x 2－y 2＝2的左准线为x ＝－1.故有－p2＝－1，∴p ＝2.则抛物线方程为y 2＝4x ， ∴焦点坐标为(1,0)． 答案：(1,0)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．解析：由已知，可知抛物线的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2.答案：28．(2012²南京调研)已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，P 点的坐标是________．解析：过P 作PK ⊥l (l 为抛物线的准线)于K ， 则|PF |＝|PK |，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PK |，∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋|PK |最小，此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x 得x ＝－14.即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1时，|PA |＋|PF |最小． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 二、解答题 9.如图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |＝17，|AN |＝3，且|NB |＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)(x A ≤x ≤x B ，y >0)，其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p ＝|MN |，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.由|AM |＝17，|AN |＝3，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋p 22＋2px A＝17，①⎝⎛⎭⎪⎫x A －p 22＋2px A＝9.② ①②联立解得x A ＝4p，代入①式，并由p >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x A ＝2.因为△AMN 为锐角三角形，所以p2>x A ，故舍去⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x A ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1.由点B 在曲线C 上，得x B ＝|BN |－p2＝4.综上，曲线C 的方程为y 2＝8x (1≤x ≤4，y >0)．10．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为12.(1)试求抛物线C 的方程；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解：(1)∵焦点F 到准线的距离为12，∴p ＝12.故抛物线C 的方程为x 2＝y .(2)设P (t ，t 2)，Q (x ，x 2)，N (x 0，x 20)，则直线MN 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．令y ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0， ∴k PM ＝t 2t －x 02＝2t 22t －x 0，k NQ ＝x 20－x2x 0－x ＝x 0＋x .∵NQ ⊥QP ，且两直线斜率存在，∴k PM ²k NQ ＝－1，即2t 22t －x 0²(x 0＋x )＝－1， 整理，得x 0＝2t 2x ＋2t1－2t2.①又Q (x ，x 2)在直线PM 上，则MQ →与MP →共线，得x 0＝2xt x ＋t，②由①②，得2t 2x ＋2t 1－2t 2＝2xtx ＋t (t >0)， ∴t ＝－x 2＋13x ，∴t ≥23或t ≤－23(舍去)．∴所求t 的最小值为23.[B 级 能力提升]一、填空题1．(2012²无锡质检)已知抛物线y ＝2x 2上任意一点P ，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离的最小值为________．解析：设P (x 0，y 0)，则点P 到直线x ＋2y ＋8＝0的距离d ＝|x 0＋2y 0＋8|5.又点P 在抛物线y ＝2x 2上，所以y 0＝2x 20，所以d ＝15|4x 20＋x 0＋8|，所以当x 0＝－18时，d min ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪4²⎝ ⎛⎭⎪⎫－182－18＋8＝127580. 答案：1275802．若过点P (2,1)的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，且OP →＝12(OA →＋OB →)，则直线l 的方程为________．解析：由OP →＝12(OA →＋OB →)，则P 为AB 中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴l 斜率为2、l 的方程为y －1＝2(x －2)． 即2x －y －3＝0. 答案：2x －y －3＝03．已知抛物线y 2＝2x ，直线AB 交抛物线于A ，B 两点，交x 轴正半轴于点M (m,0)．若OA →²OB →＝0(O 为坐标原点)，则m 的值是________．解析：设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2. 由OA →²OB →＝0，得y 21²y 224＋y 1²y 2＝0.当直线AB 的斜率存在时，设为k (k ≠0，m >0)， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k x －m ， 得ky 2－2y －2km ＝0，而Δ＝4＋8k 2m >0恒成立，所以满足条件． 又y 1²y 2＝－2m ，所以m 2－2m ＝0，则m ＝2或m ＝0(舍去)，所以m ＝2.当直线AB 的斜率不存在时，则A (m ，2m )，B (m ，－2m )． 由OA →²OB →＝0，则m 2－2m ＝0，所以m ＝2或m ＝0(舍去)， 所以m ＝2.综上，得m ＝2. 答案：24．(2010²高考湖南卷)过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C .若梯形ABCD 的面积为122，则p ＝________.解析：依题意，抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y －p2＝x ，代入抛物线方程得，y 2－3py ＋p 24＝0，故y 1＋y 2＝3p ，|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ， 直角梯形有一个内角为45°，故|CD |＝22|AB |＝22³4p ＝22p ，梯形面积为12()|BC |＋|AD |³|CD |＝12³3p ³22p＝32p 2＝122，p ＝2.答案：2 二、解答题5．(2010²高考福建卷)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ²1，所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. ∵直线l 与抛物线C 有公共点，∴Δ＝4＋8t ≥0，解之得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，∴t ＝±1. ∵－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)．故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 6.如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA ＝MB .(1)若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；(2)若M 为动点，N (a,0)(其中a ∈R )是x 轴上一点，求|MN |的最小值．解：(1)证明：设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，则直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20 ，y 2＝x ， 消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝ 1－ky 02k2. 同理，y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝－ 1＋ky 0 2k 2.∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k 1－ky 0 2k 2－ 1＋ky 0 2k 2＝2k －4ky 0k2＝－12y 0(定值)． 所以直线EF 的斜率为定值． (2)设M (x 0，y 0)，则y 20＝x 0(x 0≥0)．|MN |＝ x 0－a 2＋y 20＝ x 0－a 2＋x 0＝x 20－ 2a －1 x 0＋a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－2a －122＋a －14，∵x 0≥0，∴当2a －12≤0，即a ≤12时，|MN |min ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－2a －122＋a －14＝|a |； 当2a －12>0，即a >12时， |MN |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12－2a －122＋a －14＝a －14.|MN |min＝⎩⎪⎨⎪⎧|a | ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≤12， a －14 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12.。
2013高考数学(文)一轮复习课件：8-7
一个结论 焦半径：抛物线y p 距离|PF|＝x0＋2. 两种方法 (1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的 值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值， 这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发， 焦点在x轴的，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2＝ by(b≠0)．
4．(2012· 西安月考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4， 则点P到该抛物线焦点的距离是( A．4 B．6 C．8 D．12 解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x＝－2，又由点P 到y轴的距离为4，可得点P的横坐标xP＝4，由抛物线定义可知 p 点P到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF|＝xP＋ 2 ＝xP＋2 ＝4＋2＝6. 答案 B )．
答案
3 2 (1)y ＝－8x或x ＝－y (2) 4
2 2
(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判 断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由 于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线 的标准方程． (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图 形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线 的问题更是如此．
3 5 7 A.4 B．1 C.4 D.4 [审题视点] 由抛物线定义将|AF|＋|BF|转化为线段AB的中点到 准线的距离即可．
解析
设抛物线的准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛
物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴 1 1 5 的距离为2(|AA1|＋|BB1|)－4＝4. 答案 C
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(1)将点A(1，－2)代入y2＝2px，得p＝2，故所求抛物线
高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第七节 抛物线习题
第七节抛物线[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.在同一坐标系下,下列曲线中,右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是()A. =1B. =1C. =1D. =11.D【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),而A中椭圆的半焦距c=,B中椭圆的半焦距c==2,C中双曲线的半焦距c=,D中双曲线的半焦距c==1,且焦点在x轴上,满足题意.2.(2015·天水一模)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=()A.1B.2C.3D.42.A【解析】∵x2=2y,∴y'=x,∵抛物线C在点B处的切线斜率为1,∴B,∵x2=2y的焦点F,准线方程为y=-,∴直线l的方程为y=,∴|AF|=1.3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()A.3B.C.6D.63.A【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线=1的两条渐近线y=±x所围成的三角形的面积等于×2×3=3.4.(2015·滨州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C. +1 D. -14.C【解析】由题意可得=a2+b2,且在双曲线上,则=1,即=1, =1,化简得b2=2ac,则c2-2ac-a2=0,e2-2e-1=0,e>1,解得e=+1.5.(2015·湖南雅礼中学月考)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是()A.B.C.D.5.D【解析】∵|AF|==p,c=,∴=2c,又c>b,∴tan θ=>2,∴l的倾斜角所在的区间可能是.6.(2015·赤峰期末)如图所示,设抛物线C:y2=4x的焦点为F,A,B是C上两点,且AF⊥FB,弦AB的中点M在C的准线上的射影为M',则的最小值为()A.B.C.D.6.C【解析】如图所示,设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影点分别为Q,P,连接AQ,BP,由抛物线定义得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MM'|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,又∵ab≤,∴(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2× (a+b)2,得|AB|≥ (a+b),∴,即的最小值为.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2015·河南实验中学质检)若抛物线y2=4x上的两点A,B到焦点的距离之和为6,则线段AB的中点到y轴的距离为.7.2【解析】由|AF|+|BF|=x A+x B+p=x A+x B+2=6,得x A+x B=4,则AB的中点横坐标为=2,即线段AB的中点到y轴的距离是2.8.(2015·湖州二模)设F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,当|AB|=6时,以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是.8.2【解析】过A,B两点和AB的中点D分别向抛物线的准线作垂线,由抛物线定义和梯形中位线知识可得圆心D到y轴的距离d=2,又圆的半径为3,所以以AB为直径的圆与y轴相交所得弦长是2=2.9.若抛物线C1:y2=4x与抛物线C2:x2=2py(p>0)异于原点O的交点A到抛物线C1的焦点的距离为3,则抛物线C2的方程为.9.x2=y 【解析】由点A到抛物线C1的焦点的距离为3,得x A+1=3,解得A点坐标为(2,2),代入x2=2py(p>0),得p=,所以抛物线C2的方程为x2=y.10.(2015·南充月考)若以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=2,则弦AB的中点到准线的距离为.10.【解析】设||=2m,| |=m,m>0,由已知可得x A=2m-1,x B=m-1,则=2,解得m=.由梯形中位线得弦AB的中点到准线的距离为.三、解答题(共10分)11.(10分)如图,直线l与抛物线y2=x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴相交于点M,且y1y2=-1.(1)求证:M点的坐标为(1,0);(2)求证:OA⊥OB;(3)求△AOB的面积的最小值.11.【解析】(1)设M点的坐标为(x0,0),直线l的方程为x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0,①∵y1,y2是此方程的两根,∴y1y2=-x0,∴x0=-y1y2=1,即M点的坐标为(1,0).(2)∵y1y2=-1,∴x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0,∴OA⊥OB.(3)由方程①得y1+y2=m,y1y2=-1,且|OM|=x0=1,于是S△AOB=|OM||y1-y2|=≥1,∴当m=0时,△AOB的面积取最小值1.[高考冲关]1.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在y轴上,若线段FA的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点A的坐标为()A.(0,±2)B.(0,2)C.(0,±4)D.(0,4)1.A【解析】由题意可得x B=,又点B到抛物线准线的距离为,所以,解得p=,抛物线方程为y2=2x,又因为x B=,所以y B=±1,y A=±2,故A(0,±2).2.(5分)(2015·河南实验中学质检)双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,且F2恰为抛物线y2=4x的焦点,设双曲线C与该抛物线的一个交点为A,若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则双曲线C的离心率为()A.B.1+C.1+D.2+2.B【解析】不妨设点A在第一象限,由F2恰为抛物线y2=4x的焦点,得双曲线的c=1,又△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形,则|AF2|=|F1F2|=2,点A也在抛物线上,由抛物线的定义可得A(1,2),F1(-1,0),则|AF1|=2,由双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a=2-2,解得a=-1,所以离心率e==1+.3.(5分)(2015·湖北黄冈中学模拟)过曲线C1: =1(a>0,b>0)的左焦点F1作曲线C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长F1M交曲线C3:y2=2px(p>0)于点N,其中C1,C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则曲线C1的离心率为()A.B. -1 C. +1 D.3.D【解析】设双曲线的右焦点为F2,则F2的坐标为(c,0).因为曲线C1与C3有一个共同的焦点,所以y2=4cx,因为O为F1F2的中点,M为F1N的中点,所以OM为△NF1F2的中位线,所以OM ∥NF2,因为|OM|=a,所以|NF2|=2a,又NF2⊥NF1,|F1F2|=2c所以|NF1|=2b.设N(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,则x=2a-c,过点F1作x轴的垂线,点N到该垂线的距离为2a,由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,解得e= (负值已舍).4.(5分)(2015·长沙三模)已知A,B为抛物线C:y2=4x上的两个动点,且A,B位于x轴异侧,若=5,同时抛物线C的焦点F到直线AB的距离为2,则△AOB的面积为.4.20【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=,x2=,直线AB的斜率k AB==x1x2+y1y2= (y1y2)2+y1y2=5,由A,B位于x轴异侧,得y1y2=-20(舍去正数4),则直线AB的方程为y-y1= (x-x1),化简得y= (x-5),则直线AB恒过点(5,0),又由抛物线C的焦点F(1,0)到直线AB的距离为2,得AB的倾斜角为30°或150°,不妨设为30°,则,得y1+y2=4,则|y1-y2|==8,所以△AOB的面积为×5×8=20.5.(10分)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点Q在y轴上,且PQ⊥y轴,A(2,a),求PQ+PA 的最小值.5.【解析】点A(2,a)可能在抛物线内部,也可能在抛物线的外部,所以要讨论.①当|a|≤2时,点A(2,a)在抛物线内部,直接过点A向y轴作垂线,与抛物线的交点即为PQ+PA最小时的点P,此时(PQ+PA)min=2;②当|a|>2时,点A(2,a)在抛物线外部,由抛物线的定义知PQ=PF-1,得PQ+PA=PF+PA-1,则A,P,F三点共线时,PQ+PA取得最小值,即(PQ+PA)min=|AF|-1=-1.6.(10分)(2015·梅州一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(1)求C的方程.(2)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标. 6.【解析】(1)当点A的横坐标为3时,过点A作AG⊥x轴于点G,∴A(3,),F,|AF|=3+.当点D在焦点F的右侧时,如图所示.∴|FD|=|AF|=3+.∵△ADF为正三角形,∴|FG|=|FD|=.又∵|FG|=|OG|-|OF|=3-,∴3-,∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当点D在焦点F的左侧时,|FD|=|AF|=3+,此时点D在x轴负半轴,不成立,应舍去.∴C的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,∴D(x1+2,0),∴k AB=-.由直线l1∥l,可设直线l1的方程为y=-x+m,联立方程消去x得y1y2+8y-8m=0. ①由l1和C有且只有一个公共点,得Δ=64+32y1m=0,∴y1m=-2,这时方程①的解为y=2m,代入y=-x+m得x=m2,∴E(m2,2m).点A的坐标可化为,直线AE方程为y-2m= (x-m2),即y-2m= (x-m2),∴y=x-+2m,∴y=x-,∴y= (x-1),∴直线AE过定点(1,0).。
2013高考数学一轮同步训练8.8抛物线文新人教A版
第八节 抛物线强化训练当堂巩固1.抛物线214y x =的焦点坐标是( ) A.1(0)16, B.1(0)16, C.(0,1) D.(1,0)答案:C2.已知曲线C:22y x =,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A 观察点B,要使其不被曲线C 挡住,则实数a 的取值范围是( )A.(4),+∞B.(4)-∞,C.(10),+∞D.(10)-∞,答案:D3.如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )A.232y x =B.23y x =C.292y x = D.29y x = 答案:B4.已知抛物线C:24y x =的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A B ,,两点A x 点关于轴的D .对称点为(1)证明:点F 在直线BD 上;(2)设89FA FB ⋅=,求△BDK 的内切圆M 的方程 解:设112211()()()A x y B x y D x y l ,,,,,-,的方程为1(0)x my m =-≠.（1）证明:将x=my-1代入24y x =并整理得2440y my -+=,从而121244y y m y y +=,=. ①直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +-=⋅-,- 即222214()4y y y x y y -=⋅--. 令y=0,得1214y y x ==. 所以点F(1,0)在直线BD 上.(2)由①知,21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-,1112(1)(1)1x x my my =--=.因为1122(1)(1)FA x y FB x y =-,,=-,,121212(1)(1)FA FB x x y y x x ⋅=--+=-1(x +22)1484x m ++=-, 故28849m -=, 解得43m =±. 所以l 的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.又由①知21y y -== 故直线BD 的斜率214y y =-因而直线BD 的方程为330330x x +-=,-=.因为KF 为BKD ∠的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1<t<1),M(t,0)到l 及BD 的距离分别为313154t t |+||-|,. 由313154t t |+||-|=得19t =或t=9(舍去), 故圆M 的半径31253t r |+|==. 所以圆M 的方程为2214()99x y -+=. 课后作业巩固提升见课后作业A题组一 抛物线的定义与性质1.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是( )A.1B.2C.4D.8答案:C解析:抛物线28y x =的焦点为(2,0),准线为x=-2,所以焦点到准线的距离为4.2.已知抛物线C:28y x =的焦点为F,准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线C 上且|AK|=则△AFK 的面积为( )A.4B.8C.16D.32答案:B解析:由抛物线的定义知45AKF ,∠=,则直线AK 的方程为y=x+2,联立方程组228y x y x =+,⎧⎨=,⎩消去y,得2(2)8x x +=,解得x=2,y=4,所以14482AFK S =⨯⨯=. 题组二 数形结合求解抛物线的最值3.已知抛物线22(0)y px p =>,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2答案:B 解析:过焦点(0)2p F ,且斜率为1的直线方程为2p y x =-, 与抛物线方程联立可得2220y py p --=,所以1224y y p +==. 所以p=2,故准线方程为x=-1.4.已知过点C(-2,0)的直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:28y x =相交于A B F ,,两点为抛物线C 的2( )FA FB k .||=||,焦点若则 A.13C.23答案:D 解析:如图:由图可知,BB′=BF,AA′=AF,又|AF|=2|BF|.∴12BC BB AC AA '||||==,'||||即B 是AC 中点. ∴ 222B A B Ax x y y ⎧⎪⎨⎪⎩=-,= 与 2288A A B B y x y x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=,=联立可得(4(1A B ,,,.∴AB k ==选D.5.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点的面积为4,则抛物线方程为( )A.24y x =±B.28y x =±C.24y x =D.28y x =答案:B 解析:抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 的坐标为(0)4a ,,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与y 轴的交点为(0)2a A ,-, 所以△OAF 的面积为12|4a |⋅|2a |=4,解得8a =± 所以抛物线方程为2y =8x ±,故选B.6.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的长为8,则p= .答案:2解析:由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-, 与抛物线方程联立得222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 22304p x px ⇒-+=, 由|AB|82p ==⇒=. 题组三 直线与抛物线的相交问题7.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 2B AF BF ,,||=,||=两点则 .答案:2解析:因为|AF|=2,所以(1)2A x --=.所以1A x =.所以(12)A ,±.又F(1,0),所以|BF|=|AF|=2.8.已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 3FB B AF ,=满足,则弦AB 的中点到准线的距离为 .答案:83解析:设1122()()(10)A x y B x y F ,,,,,,则11AF (1)x y FB =-,-,22(1)x y =-,,∵3FB AF =,∴ 1212343x x y y +=,⎧⎨=-.⎩ ∵2114y x =,∴22294(43)y x =-.又2224y x =, ∴213x =. ∴13x =.故AB 中点到准线的距离为11(23+3+2)83=. 9.已知抛物线C 的顶点为原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点,若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 .答案:24y x =解析:设抛物线方程为2y kx =,与y=x 联立方程组,消去y,得20x kx -=. 设A 、B 两点坐标为1122()()x y x y ,,,,由题意知1222x x k +==⨯,故所求抛物线C 的方程为24y x =.10.过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧),则AF FB ||=|| . 答案:1311.已知m 是非零实数,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F 在直线l :x-my-22m 2=0上, (1)若m=2,求抛物线C 的方程;(2)设直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线,垂足为1A 、1B ,△1AA F 、△1BB F 的重心分别为G 、H,求证:对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外.解:(1)因为焦点(0)2p F ,在直线l 上,得2p m =.又m=2,故p=4.所以抛物线C 的方程为28y x =.(2)证明:因为抛物线C 的焦点F 在直线l 上,所以2p m =.所以抛物线C 的方程为222y m x =.设1122()()A x y B x y ,,,, 由 22222m x my y m x ⎧=+,⎪⎨⎪=,⎩ 消去x 得 23420y m y m --=,由于0m ≠,故64440m m ∆=+>,且有3412122y y m y y m +=,=-.设12M M ,分别为线段11AA BB ,的中点,由于1222M G GF M H HF =,=, 可知112222()()3333x y x y G H ,,,, 所以2421212()6636x x m y y m m m +++==+.31222263y y m +=. 所以GH 的中点为4232()363m m m M +,. 设R 是以线段GH 为直径的圆的半径. 则214R =|GH|22221(4)(1)9m m m =++. 设抛物线的准线与x 轴交点为2(0)2m N -,, 则|MN|24232222()()2363m m m m =+++ 4421(84)9m m m =++ 42221[(1)(4)3]9m m m m =+++ 42221(1)(4)9m m m R >++=. 故N 在以线段GH 为直径的圆外.12.已知抛物线C:22(y px =p>0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O 为坐标原点)的直线l ,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l 若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. 解:(1)将(1,-2)代入22y px =,得2(2)21p -=⋅,所以p=2.故所求的抛物线C 的方程为24y x =,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l ,其方程为y=-2x+t.由 224y x t y x =-+,⎧⎨=,⎩ 得2220y y t +-=. 因为直线l 与抛物线C 有公共点,所以480t ∆=+≥, 解得12t ≥-.另一方面,由直线OA 与l 的距离d ==解得1t =±. 因为111[)1[)22-∉-,+∞,∈-,+∞,所以t=-1舍去. 所以,符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-。
2013版高考数学一轮复习 8.6抛物线精品学案 新人教版
2013版高考数学一轮复习精品学案：第八章 解析几何8.6 抛物线 【高考新动向】 1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
（2）理解数形结合的思想。
（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。
2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。
（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。
有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。
【考纲全景透析】 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线。
2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =-> 22(0)x py p =>图 形性对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标(,0)2p F(,0)2pF -(0,)2pF - (0,)2p F质 准线方程 2p x =-2p x =2p y =2p y =-焦半径 0||2p PF x =+0||2p PF x =-+0||2p PF y =-+0||2p PF y =+范围 0x ≥0x ≤0y ≤0y ≥顶点 (0,0)O(0,0)O离心率e1e = 1e =【热点难点全析】（一）抛物线的定义及应用 ※相关链接※1．抛物线的离心率e =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。
2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。
※例题解析※〖例〗已知抛物线C 的对称轴与y 轴平行，顶点到原点的距离为5。
高考数学一轮复习 8.7抛物线课时作业 理 湘教版-湘教版高三全册数学试题
2016届高考数学一轮复习 8.7抛物线课时作业 理 湘教版一、选择题1．(2013·某某模拟)已知过抛物线y2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2【解析】 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ，得6sin 2θ＝12， ∴sin θ＝22，∴θ＝π4或3π4.【答案】 B 2．已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C: y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223【解析】 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2， 直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2，0)．如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，∴点B 为AP 的中点，连接OB ，又∵点O 是PF 的中点， 则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为()1，22，∴k ＝22－01－（－2）＝223.【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交C ．相切 D ．不确定【解析】 设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， 于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切．【答案】 C4．(2013·聊城模拟)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( ) A ．±23 B ．±32 C ．±34 D ．±43 【解析】 ∵FA →＝－4FB →，∴|FA →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，如图所示，点A 、B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1、B 1，过A 作BB 1的垂线，交线段B 1B 的延长线于点M ，则|BM |＝|AA 1|－|BB 1| ＝|AF |－|BF |＝3t .又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝|AB |2－|BM |2＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43. 由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43. 【答案】 D5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3【解析】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1，0)． 由FA ＋FB ＋FC ＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3， |FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.【答案】 B6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2，22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)【解析】 如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义， 得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMF S △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin （π－∠MAF ）＝3，∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，∴y 204＋1＝3，解得y 0＝±2 2.∴点A 的坐标是(2，±22)． 【答案】 D 二、填空题 7．焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的抛物线的标准方程是________．【解析】 焦点坐标是3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点，即是(－4，0)或(0，3)，故抛物线标准方程为y 2＝－16x 或x 2＝12y .【答案】 y 2＝－16x 或x 2＝12y8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM ＝MB ，则p ＝________．【解析】 如图，由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM ＝MB ，∴M 为AB 的中点． 过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.【答案】 29．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________m.【解析】 设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py 代入点A 得p ＝1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝－2×(－3)，x 0＝±6，所以水面宽度为2 6.【答案】 2 610．已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．【解析】 因为x ＝－1恰为抛物线 y 2＝4x 的准线，所以可画图观察．如图，连接PF ，d 2＝PF ， ∴d 1＋d 2＝d 1＋PF ≥FQ ＝|4×1－3×0＋11|42＋（－3）2＝155＝3.【答案】 3 三、解答题11．(2013·某某模拟)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．【解析】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．12．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)当直线l 与x 轴垂直时，则|MN |＝2p ，∴S △OMN ＝12·2p ·p 2＝p22＝2，即p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)∵直线l 与x 轴垂直时，不满足．设正方形的第三个顶点为P .故可设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，可化简得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.代入直线l 可得MN 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k 2，2k ，且⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则线段MN 的垂直平分线为y －2k ＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2k 2， 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3k ＋2k 3. 又PM ·PN ＝0，则x 1x 2＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0.即x 1x 2＋y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝0，∴1－4－y 0·4k＋y 20＝0，化解得ky 20－4y 0－3k ＝0，由y 0＝3k ＋2k3代入上式，化简得(3k 4－4)(k 2＋1)＝0.解得k ＝±443.∴存在直线l ：y ＝±443(x －1)．13．已知三点O (0，0)，A (－2，1)，B (2，1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足||MA →＋MB →＝||OM →·（OA →＋OB →）＋2. (1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t ＜0)，使得l 与PA ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值．若不存在，说明理由．【解析】 (1)由MA →＝(－2－x ，1－y )，MB →＝(2－x ，1－y )，|MA →＋MB →|＝（－2x ）2＋（2－2y ）2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0，2)＝2y ，由已知得（－2x ）2＋（2－2y ）2＝|2y ＋2|，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y .(2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x－x 204，它与y 轴的交点为N ⎝⎛⎭⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1. ①当－1<t <0时，－1<t －12<12，存在x 0∈(－2，2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意．②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交，分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t 2（x 0＋1－t ），x E ＝x 20＋4t2（x 0＋t －1），则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－（t －1）2，又|NP |＝－x 204－t ，有S△PDE＝12×|NP |·|x E －x D |＝1－t 8·（x 20＋4t ）2（t －1）2－x 20. 又S △QAB ＝12×4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，于是S △QAB S △PDE＝41－t ·（x 20－4）[x 20－（t －1）2]（x 20＋4t ）2＝41－t ·x 40－[4＋（t －1）2]x 20＋4（t －1）2x 40＋8tx 20＋16t2. 对任意x 0∈(－2，2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只须t 满足⎩⎪⎨⎪⎧－4－（t －1）2＝8t ，4（t －1）2＝16t 2， 解得t ＝－1，此时S △QAB S △PQE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.。
高考数学一轮复习 第八章 第七节 抛物线演练知能检测
第七节 抛 物 线[全盘巩固]1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32. 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 解析：选C 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.3．(2013·江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y＝－1联立，得N (4，－1)，由三角形相似知|FM ||MN |＝x M 4－x M ＝15.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA uu u v ＋FB uu u v ＋FC uuuv ＝0，则|FA uu u v |＋|FB uu u v|＋|FC uuu v |＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)，由FA uu u v ＋FB uu u v ＋FC uuuv ＝0知，(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA uu u v |＋|FB uu u v |＋|FC uuu v |＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C 设P (x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF |＝x 0＋2，所以x 0＝32，代入抛物线方程求得y 2＝24，解得|y |＝26，所以△POF 的面积等于12·|OF |·|y |＝12×2×26＝2 3.7．(2013·北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－18．(2014·丽水模拟)设Q 为圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0上任意一点，抛物线y 2＝8x 的准线为l .若抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PQ |的最小值为________．解析：如图由抛物线定义可得，点P 到准线的距离等于其到焦点F 的距离，故问题转化为点P 到焦点的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的知识可知当且仅当点P 为圆心C 和焦点F 的连线与抛物线的交点，Q 取CF 的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m ＋|PQ |≥|CF |－r ＝－3－22＋－4－02－2＝41－2.答案：41－2.9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.答案：4310．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若OA uu u v ·OB uuu v ＋p 2＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋54，①过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②解①②得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由题意知y 0＝y 1.由OA uu u v ·OB uuu v ＋p 2＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－8，③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y 0＝4y 2x 0.④由③④及y 0＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．11．已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE u u u v ⊥AF u u u v ，动点P 满足EP uu u v∥OA uu u v ，FO uuu v ∥OP uuu v(其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM u u u u v ·AN u u uv <0，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )，∵AE u u u v ·AF u u u v＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0， ∴y E ·y F ＝－4，①又EP uu u v＝(x ＋1，y －y E )，FO uuu v ＝(1，－y F )，且EP uu u v ∥OA uu uv ，FO uuu v ∥OP uuu v ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0， ∴y E ＝y ，y F ＝－y x ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，Δ＝42－32k >0，即k <12.令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM u u u u v ·AN u u uv ＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k＋1<0，∴－12<k <0，故实数k 的取值范围为(－12,0)．12．(2014·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程； (2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．[冲击名校]已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，－2)． ∵OP ⊥OQ ，∴当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0. 当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1， 即y x·－2x＝－1，化简得x 2＝2y ，∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)． (2)∵直线l 2与曲线C 相切， ∴直线l 2的斜率存在．设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0. ∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22.点(0,2)到直线l 2的距离 d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4k 2＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1＋3k 2＋1 ≥12×2k 2＋1·3k 2＋1＝ 3.当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立．此时b ＝－1.∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.[高频滚动]1．(2014·宜宾模拟)已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62 B.32C. 3 D ．2 解析：选A 由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1.∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝62. 2．(2014·上海模拟)已知双曲线x 26－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为________．解析：由题意知F 1(－3,0)，设M (－3，y 0)，代入双曲线方程求得|y 0|＝62，即|MF 1|＝62.又|F 1F 2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F 1到直线F 2M 的距离为d ＝|MF 1|·|F 1F 2||MF 1|2＋|F 1F 2|2＝62×664＋36＝65. 答案：65。
届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节抛物线课时规范练理含解析新人教版
第七节 抛物线[A 组 基础对点练]1．已知抛物线y 2＝18 x ，则它的准线方程为( )A ．y ＝－2B ．y ＝2C ．x ＝－132D ．x ＝132解析：因为抛物线y 2＝18 x ，所以p ＝116 ，p 2 ＝132 ，它的准线方程为x ＝－132 .答案：C2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．14解析：因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14. 答案：D3．(2021·河南洛阳模拟)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2，2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，那么M ⎝⎛⎭⎫4－p 2，4 在抛物线上，即16＝2p ⎝⎛⎭⎫4－p2 ，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.答案：D4．过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92 x 或x 2＝43 yB ．y 2＝92 x 或x 2＝43 yC ．y 2＝92 x 或x 2＝－43 yD ．y 2＝－92 x 或x 2＝－43y解析：设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92 ，m ＝43 ，∴y 2＝－92 x 或x 2＝43y .答案：A5．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点P (x 0，2 )到其焦点F 的距离是P 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：根据焦半径公式|PF |＝x 0＋p 2 ，所以x 0＋p 2 ＝3x 0，解得x 0＝p4 ，代入抛物线方程(2 )2＝2p ×p4，解得p ＝2.答案：D6．(2021·河北正定模拟)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33 (x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3 (x －1)或y ＝－3 (x －1) D ．y ＝22 (x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA | ，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项知选项C 正确．答案：C7．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21 －y 2－x 22 ＝( )A ．4B ．6C ．8D ．10。
高考数学(理)一轮复习分层演练：8.7抛物线(含答案)
第7讲 抛物线[学生用书P174]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)A [解析] 抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p ＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1)．2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42xD [解析] 因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8yD [解析] 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .4.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________．[解析] 根据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .[答案] x 2＝4y5．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． [解析] 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .[答案] y 2＝4x抛物线的定义及其应用[学生用书P175][典例引领](1)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．52C ．3D ．2(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)因为FP →＝4FQ →， 所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ， 则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)C (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．[解] 由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2.[通关练习]1．设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B [解析] 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355B ．2 C.115D ．3B [解析] 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)[学生用书P176]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下两个命题角度： (1)求抛物线的标准方程； (2)抛物线性质的研究．[典例引领](1)(2017·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝15x2(2)(2016·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 (1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B ．【答案】 (1)B (2)B(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．[题点通关]角度一 求抛物线的标准方程1．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．[解析] 设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )，即x 2－23px －2pb ＝0，所以x A ＋x B ＝23p ＝3，所以p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y .[答案] x 2＝3y角度二 抛物线性质的研究2．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A.22B ．24 C.12D ．14B [解析] 由题意知， 抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.直线与抛物线的位置关系[学生用书P176][典例引领](2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t .又N 为M 关于点P 的对称点， 故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ， ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[注意] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．[通关练习]1．(2017·重庆适应性测试(二))设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交抛物线于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点M (11，0)，则p ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．12C [解析] 由题意可得直线AB 的方程是y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，化简得3x 2－5px ＋34p 2＝0，则AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫5p 6，33p ，则33p 5p 6－11＝－33，解得p ＝6.2．过点(－2，1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则由k 的值组成的集合为________．[解析] 设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋（2k ＋1）y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. ②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝12，所以k 的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12[学生用书P177])——抛物线中最值问题的求法1．定义转换法(2017·豫南九校联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8，7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 抛物线的焦点为F (0，1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.所以|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋（7－1）2－1＝10－1＝9.【答案】 C与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．2．平移直线法抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 【解析】 法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43. 法二：由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.【答案】 43若抛物线上的任一点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面例2，我们给出第三种解决方法：法三：设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎫x －232＋203＝35⎝⎛⎭⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．【解析】 由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A (3，0)， 则|PQ |≥|P A |－|AQ |＝|P A |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号， 所以当|P A |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|P A |＝（x 0－3）2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|P A |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1.【答案】112－1解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．[学生用书P368(独立成册)]1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12C [解析] 由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.2．(2017·山西省高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△F AB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y A [解析] 由题意得，F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，不妨设A ⎝⎛⎭⎫p ，－p 2，B (－p ，－p 2)，所以S △F AB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A.3．(2017·广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线y ＝112x 2上，且与直线y ＋3＝0相切，则此圆恒过定点( )A ．(0，2)B ．(0，－3)C ．(0，3)D ．(0，6)C [解析] 直线y ＋3＝0是抛物线x 2＝12y 的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y ＝－3的距离与到焦点(0，3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0，3)．4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [解析] 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．(2017·辽宁抚顺部分重点高中一模)已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，以|F A |为半径的圆交准线于B ，C 两点，△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积是1283，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝14xC ．y 2＝16xD ．y 2＝18xC [解析]由题意，如图可得|DF ||BF |＝cos 30°及|DF |＝p ，可得|BF |＝2p 3， 从而|AF |＝2p 3， 由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3， 又因为△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p ＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .6．(2017·湖北七市联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A 、B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝3xC ．y 2＝4xD ．y 2＝xA [解析] 由双曲线方程x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，所以过抛物线焦点F 且与渐近线平行的直线AB 的斜率为±3，不妨取k AB ＝3，则其倾斜角为60°，即∠AFx ＝60°.过A 作AN ⊥x 轴，垂足为N .由|AF |＝2，得|FN |＝1.过A 作AM ⊥准线l ，垂足为M ，则|AM |＝p ＋1.由抛物线的定义知，|AM |＝|AF |.所以p ＋1＝2，所以p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x ，故选A.7．(2017·合肥市第二次质量检测)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为________．[解析] 设M (x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF |＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y Mx M －p 2＝±3p p ＝±3.[答案] ±38．已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○·M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．[解析] 将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又因为抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4. [答案] 12或49．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AFK 的面积是________．[解析] 因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，所以经过F 且斜率为3的直线方程为y ＝3(x －1)，得A 点的横坐标x A ＝3，由抛物线的定义知|AK |＝|AF |＝3＋1＝4，又AK ∥x 轴，所以∠F AK ＝60°，△AFK 的面积是12×4×4×32＝4 3.[答案] 4 310.(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py ，得p ＝1.所以x 2＝－2y .当水面下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，所以x 0＝ 6. 所以水面宽|CD |＝2 6 m. [答案] 2 611．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．[解] 设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． [解] (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.13．(2017·湖南长郡中学月考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线l 的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( )A.33B ．1 C.233D ．2A [解析] 过A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，连接AF 、BF ，由抛物线的定义知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |.所以⎝⎛⎭⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1≤14×⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，所以|MN ||AB |的最大值为33.14．已知抛物线x 2＝2y ，过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．[解析] 由x 2＝2y ，得y ＝12x 2，所以y ′＝x .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以抛物线在P ，Q两点处的切线的斜率分别为x 1，x 2，所以过点P 的抛物线的切线方程为y －y 1＝x 1(x －x 1)，又x 21＝2y 1，所以切线方程为y ＝x 1x －x 212，同理可得过点Q 的切线方程为y ＝x 2x －x 222，两切线方程联立解得⎩⎨⎧x A ＝x 1＋x 22，y A＝x 1x22.又抛物线焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，易知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝mx ＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋12，x 2＝2y ，得x 2－2mx －1＝0，所以x 1x 2＝－1，所以y A ＝－12. [答案] －1215．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．[解] (1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得错误!消元得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.16．(2017·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M .(1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .[解] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎫pk ，－p2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋1，四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13， 即k ＝±3或k ＝±33.。
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第八章 第七节 抛物线
一、选择题
1．已知抛物线x 2
＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2
－x 2
＝2的上焦点，则a 等于 ( ) A ．1 B ．4 C ．8
D ．16
解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a
4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则
有
a
4
＝2, 解得a ＝8.
答案：C
2．抛物线y ＝－4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．－17
16
B ．－1516
C.7
16
D.1516
解析：抛物线方程可化为x 2
＝－y 4，其准线方程为y ＝116
.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定
义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－15
16
.
答案：B
3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )
A.3
4 B ．1 C.5
4
D.74
解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1
2(|AF |＋
|BF |)－14＝32－14＝5
4
.
答案：C
4．已知抛物线y 2
＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切
D ．不确定
解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，
则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝
1
2|AB |＝半径，故相切．
答案：C
5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2
＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( )
A ．4 2
B ．8
C ．8 2
D ．16
解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x －2，y 2
＝8x
，消去y 得x 2
－12x
＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22
－4x 1x 2＝144－16＝8 2.
答案：C
6．在y ＝2x 2
上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )
A ．(－2,1)
B ．(1,2)
C ．(2,1)
D ．(－1,2)
解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2
的准线，F 为其焦点，PN ⊥
l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋
|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.
答案：B 二、填空题
7．(2012·永州模拟)以抛物线x 2
＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．
解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2
＋(y －4)2
＝64.
答案：x 2
＋(y －4)2
＝64
8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．
解析：设抛物线方程为x 2
＝ay (a ≠0)， 则准线为y ＝－a
4
.
∵Q (－3，m )在抛物线上， ∴9＝am .
而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，
∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9
a
代入，
得|9a ＋a
4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18， ∴所求抛物线的方程为x 2
＝±2y ，或x 2
＝±18y . 答案：x 2
＝±2y 或x 2
＝±18y
9．已知抛物线y 2
＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么
| FA | ＋| FB | ＝________.
解析：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x
2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2
－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点
的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB
| ＝
(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7
答案：7 三、解答题
10．根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2
－9y 2
＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．
解：双曲线方程化为x 29－y 2
16＝1，
左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为
y 2＝－2px (p >0)，则－p
2
＝－3，
∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2
＝－12x .
(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2
＝mx 或
x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，
∴所求抛物线方程为y 2
＝8x 或x 2
＝－y .
11．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2
＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线
l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM 与OP 的夹角为π
4
，
求△POM 的面积．
解：设点M (y 214，y 1)，P (y 22
4，y 2)，
∵P ，M ，A 三点共线， ∴k AM ＝k PM ， 即
y 1
y 21
4＋1＝y 1－y 2
y 214－y 224
， 即
y 1
y 21
＋4＝1y 1＋y 2
， ∴y 1y 2＝4.
∴ OM · OP ＝y 2
14
·y 22
4
＋y 1y 2＝5.
∵向量 OM 与 OP 的夹角为π
4
，
∴| OM |·|OP |·cos π
4
＝5.
∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝5
2
.
12．(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线
y ＝－3上，M 点满足 MB ∥ OA ， MA · AB ＝ MB · BA
，M 点的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 解：(1)设M (x ，y )由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．
所以 MA ＝(－x ，－1－y )， MB
＝(0，－3－y )， AB
＝(x ，－2)．
再由题意可知(MA ＋ MB )·AB
＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.
所以曲线C 的方程为y ＝14
x 2
－2.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2
－2上一点，
因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为1
2
x 0.
因此曲线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 2
0＝0.
则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 2
0|x 20
＋4.又y 0
＝14x 2
0－2，
所以d＝1
2
x20＋4
x20＋4
＝
1
2
(x20＋4＋
4
x20＋4
)≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.。