4-极值和凹凸性
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用作者：祝红丽 指导老师：邢抱花摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词 凹凸性 导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确.以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.2 凹凸函数及拐点的定义我们已经熟悉函数2y x =和lg y x =的图象.2x lg y =.凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式. 2.1函数凹凸性的定义定义 设函数()f x 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x 和任意实数(0,1)λ∈,总有: 1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-, 则称f 为I 上的凹函数. 反之，如果总有:1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≥+-+(1-,则称f 为I 上的凸函数. 特别地，当λ=12时，满足121211()()()222x x f f x f x +≤+的函数为凹函数，满足121211()()()222x x f f x f x +≥+的函数为凸函数. 如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图1、图2.图1 图2 凹函数（凸函数）的几何意义：连接曲线()y f x =上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）.2.3 拐点的定义设曲线()y f x =在点0,0(())x f x 处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点0,0(())x f x 为曲线()y f x =的拐点.X由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如下图中的M 点.严格地说，拐点都是平面光滑曲线（即切线连续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线”而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知sin y x =有拐点(,0)k π ，k 为整数.2.4 拐点的判别法(1)若()f x 在0x 处连续，在0x 两侧()''f x 反号，则()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点.(2)若()''00f x =，()(3)00f x ≠，则()()00,x f x 是()y f x =的拐点.例题1 求下列函数的拐点 ()1()()2211xf x x =+-； ()2 ()3f x x =. 解 ()1()()()'3211x f x x -+=-，()()()''2421x f x x +=- ， 当()()2,11,x ∈-⋃+∞时，()''0fx >； 当(),2x ∈-∞-时，()''0f x < ，又()529f -=, 所以点52,9⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的拐点. ()2()'23f x x =，()''6f x x =，()'''6f x =，()''00f =，()'''00f ≠，所以点()0,0是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点0x ，检查''()f x 在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧邻近的符号相反时，点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是曲线()y f x =的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：1()f x x x=+在0x =时的情况.易知''32()f x x =，()f x 在0x =处的二阶导数不存在，但是当0x <时，''()0f x <，当0x >时，''()0f x >，所以0x =是()f x 的一个拐点.3 函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进行直观的感知得到的结论，但是人的观察不可避免的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1 定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最基本的判定方法，也是其它判定方法的基础.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2 f ，g 均为I 上的连续函数，证明：(1)若f ，g 均为凹函数，则g f +为凹函数；(2)若f ，g 均为递增非负凹函数，则g f ⋅为凹函数.证明 设任意的1x ，2x I ∈，(0,1)λ∈，(1)、因为f ，g 均为凹函数，所以由定义知：1212[)]()(1)()f x x f x f x λλλλ≤+-+(1-和1212[)]()(1)()g x x g x g x λλλλ≤+-+(1-.两式相加：12[)]f x x λλ+(1-+12[)]g x x λλ+(1-≤12()(1)()f x f x λλ+-+12()(1)()g x g x λλ+-, 即：1212()[)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ+≤++-++(1-， 所以f g +为凹函数.(2)、由题题意得：121212()[)][)][)]f g x x f x x g x x λλλλλλ⋅=⋅+(1-+(1-+(1-1212[()(1)()][()(1)()]f x f x g x g x λλλλ≤+-⋅+-221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ=+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+.下面只要证明：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+12()()(1)()()f g x f g x λλ≤⋅+-⋅即可.采用做差法比较两者的大小：221122()()(1)()()f x g x f x g x λλ+-1122(1)[()()()()]f x g x f x g x λλ+-+-12()()(1)()()f g x f g x λλ⋅+-⋅=1212(1)[()()][()()]f x f x g x g x λλ----0≤. 综上所述，可得1212()[(1)]()()(1)()()f g x x f g x f g x λλλλ⋅+-≤⋅+-⋅.所以f g ⋅是凹函数.例3 ()f x 为区间I 上的可导函数，证明：若对于I 上的任意两点1x ，2x ，有'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 则()f x 为I 上的凹函数.证明 设以1x ，2x 为I 上任意两点，12(1)x x x λλ=+- ， 01λ<< .由'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-， 并利用112(1)()x x x x λ-=--与221()x x x x λ-=-，''1112()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''2221()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.分别用λ与1λ-上列两式并相加，得到：1212()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.所以()f x 为I 上的凹函数.3.2 函数凹凸性的判定定理定理 ()f x 为I 上的函数，若对于I 上的任意三点123x x x <<，总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ， 则()f x 为I 上的凹函数. 证明 在I 上任取两点13,x x 13()x x <，在13[,]x x 上任取一点213(1),(0,1)x x x λλλ=+-∈，则，3231x x x x λ-=-，21311x x x x λ--=- ， 因为 32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- ，所以有： 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.所以有，312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+- ，因为 310x x ->，所以不等式两边同时除以31()x x -有：32212133131()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--. 即213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-又213()[(1)]f x f x x λλ=+-.所以1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.所以()f x 为I 上的凹函数.例题4 设()f x 为区间I 上的函数，若对于00,x I ∀∈∃实数a ，使得x I ∀∈，有00()()()f x a x x f x ≥-+， 证明：()f x 为区间I 上的凹函数.证明 设123x x x <<是区间I 上任意三点，由已知条件，对于2x ，存在实数a ，使得，22()()()f x a x x f x ≥-+， ()x I ∀∈.令1x x = ， 有1122()()()f x a x x f x ≥-+，得到1212()()f x f x a x x -≤-. 再令3x x =， 有3322()()()f x a x x f x ≥-+ ，得到3232()()f x f x a x x -≥-. 综上所述，32123212()()()()f x f x f x f x a x x x x --≥≥-- ，所以()f x 为区间I 上的凹函数. 3.3 函数凹凸性的充要条件充要条件 设函数()y f x =在I 上连续，在I 内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在I 内恒有''()0f x ≥，则()f x 在I 上的图形是凹的；(2)若在I 内恒有''()0f x ≤，则()f x 在I 上的图形是凸的.注意：若在区间I 内的某一子区间上''()0f x ≡，则()y f x =在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明 （1）充分性：因为''()0f x ≥，所以'f 为I 上的增函数，设任意的1x ，2x ∈I ，在以1x ，2x （不妨设12x x <）为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和'f 为I 上的增函数，可得：''2121121()()()()()()f x f x f x x f x x x ξ-=-≥-，即对I 上的任意两点1x ，2x ，有：'21121()()()()f x f x f x x x ≥+-.令312(1)x x x λλ=+-，01λ<<，有，1312(1)()x x x x λ-=--；2321()x x x x λ-=-；所以，''133133123()()()()()(1)()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+--.''233233213()()()()()()()f x f x f x x x f x x x f x λ≥+-=+-.以上两个不等式的两端分别乘以λ与(1)λ-并相加得：12312()(1)()()[(1)]f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-.即()f x 在I 是凹函数；必要性：任取I 上两点()1212,x x x x <及充分小的正数h .由于1122x h x x x h -<<<+，根据()f x 是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：()()()()()()11212221f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-. 由于()f x 是可导函数，令0h +→时可得()()()()21''1221f x f x f x f x x x -≤≤-. 所以()'f x 为I 上的增函数，所以在I 内恒有''()0f x ≥.（2）''()0f x ≤的情况类似的可以证明.例题5 求曲线3()(12ln 10)f x x x =-的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为(0,)+∞，又'22()36ln 18f x x x x =-，''()72ln f x x x =，令''()0f x =，即72ln 0x x =，得到1x =，点1x =把定义域分成两个部分即(0,1]与[1,)∞.在各部分区间内'()f x 与''()f x 的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如下图表：可得：在(0,1]内，''()0f x ≤，因此是曲线的凸区间.在[1,)∞内，''()0f x ≥，因此是曲线的凹区间.所以：点(1,10)-是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标（包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点），再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点. 4 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使某些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难达到预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.4.1.1 利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理 如果()f x 是凸函数⇔对12,,[0,1]n ∀∂∂⋅⋅⋅∂∈，满足121n ∂+∂+⋅⋅⋅+∂=，都有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x ∂+∂+⋅⋅⋅+∂≥∂+∂+⋅⋅⋅+∂. 特别地，当121n n∂=∂=⋅⋅⋅=∂=时，上述不等式称为琴生（Jensen ）不等式. 例题 6 任意n 个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：0i x ∀≥，(1,2,,)i n =⋅⋅⋅， 恒有：1212111n n x x x nnx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时等号成立.证明 考虑函数ln y x =，很容易判断出其是凸函数，有琴生（Jensen ）不等式得到：1212121111lnln ln ln ln()n n n x x x x x x x x x n n n n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=. 即：12ln n x x x n++⋅⋅⋅+≥ln y x =在定义域上是单调递增的.12n x x x n ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 另一方面， ln 12111n nx x x ++⋅⋅⋅+=12111ln n x x x n ++⋅⋅⋅+-121111(ln ln ln )nn x x x ≤-++⋅⋅⋅+=即：12ln 111n nx x x ≤++⋅⋅⋅+又ln y x =在定义域上是单调递增的.所以有：12111nnx x x ≤++⋅⋅⋅+12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.综上所述有：1212111n n x x x n nx x x ++⋅⋅⋅+≤≤++⋅⋅⋅+. 当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立.注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、已知与未知建立联系.4.1.2 凹凸函数不等式的积分形式定理 设()f x 是[,]a b 上的可积函数且()m f x M ≤≤，()t ϕ是[,]m M 上的连续凸函数，则：11(())[()]b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ≥--⎰⎰（如果()t ϕ是凹函数，则不等式反向）. 例题7 设()f x 为[,]a b 上的正值连续函数， 证明：11ln ()ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a≤--⎰⎰. 证明 令()ln t t ϕ=，由上述定理得：11(())ln ()b b a a f x dx f x dx b a b a ϕ=--⎰⎰ ≥1ln ()b af x dx b a -⎰.即得证. 例题8设()f x 在[0,1]上连续可导，'()0,()0f x f x ≥≤.若0()()xF x f t dt =⎰，证明： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 证明 由0()()xF x f t dt =⎰，可得'()()F x f x =，进而得到'''()()F x f x =，所以''()0F x ≤.由函数凹凸性的充要条件知()F x 为凸函数.所以有：[1(1)0](1)(1)(0)F x x x F x F ⋅+-⋅≥⋅+-.又(0)0F =，所以()(1)F x x F ≥⋅.另一方面，由Hadamard 不等式：设函数()f x 是[,]a b 上连续的凸函数，对任意的12,[,],x x a b ∈12x x < ，有：21121221()()1()()22x x x x f x f x f f t dt x x ++≥≥-⎰，得101(0)(1)()102F F F t dt +≥-⎰. 即：10(1)()2F F t dt ≥⎰，又'()()0F x f x =≥，所以()F x 在[0,1]为单调增函数，所以有： (1)()22F F x ≥， 即102()()F t dt F x ≥⎰.综上所述， 即有： 10(1)()2(),(0,1)xF F x F t dt x ≤≤∈⎰. 小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够避免一些繁杂的解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能达到的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造合适的辅助函数，能够使问题和已知的条件联系起来，只有这样才能达到预期的效果.4.2 函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，那么不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以避免繁杂的化简、转化、变形等过程.若能够灵活运用函数的凹凸性解题，可达到事半功倍的效果.例题9 设0(1,2,)k x k n >=⋅⋅⋅，试求 1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值. 解析 如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生（Jensen ）不等式，问题就迎刃而解了.解 设2()f x x =，则'22()f x x =-，''44()0x f x x=>.所以()f x 为凹函数，由琴生（Jensen ）不等式12121()[()()()]n n x x x f f x f x f x n n ++⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅+，得： 121221222()n nn x x x n x x x ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅. 化简整理得：1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+22n ≥， 所以1212222()()n nx x x x x x ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+的最小值为22n . 例题10 设函数()f x 为[,]a b 上的凸函数，则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值. 解 对于任意的[,]x a b ∈，取b x b aλ-=-，（[0,1]λ∈），所以有(1)x a b λλ=+-. 进而有()[(1)]f x f a b λλ=+-，又()f x 为[,]a b 上的凸函数所以有：()[(1)]()(1)()min{(),()}f x f a b f a f b f a f b λλλλ=+-≥+-≥.所以()f x 的最小值为min{(),()}f a f b .记区间[,]a b 的中点为A ，且2a b A +=，设任意的[,]x a b ∈关于A 的对称点为'x 则有 '22x x a b ++=，又()f x 是[,]a b 上的凸函数，所以有： ''()()()()()2222a b x x f x f x f x m f f ++++=≥≥，即：()2()2a b f x f m +≤-）.（其中min{(),()}m f a f b =）.所以()f x 的最大值为 ：2()2a b f m +-，（其中min{(),()}m f a f b =. 注意：此例题可以表述为若函数()f x 在[,]a b 为凸函数，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界.例题11 若,,,a b c d R +∈，且16a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.解 设2()f x x =，则'()2f x x =，''()20f x =>，所以()f x 为凹函数.所以有：1()[()()()()]44a b c d f f a f b f c f d +++≤+++. 即：22222()1()164a b c d a b c d +++≤+++. 化简整理得：222264a b c d +++≥，当且仅当4a b c d ====时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造合适的辅助函数. 4.3 利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变量之间关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求解题途径、获得问题结果的重要工具.但是在实际的解题过程中，并不是所有的函数图形都能够很容易地作出.下面我们就利用函数的凹凸性去解决一些函数作图问题.例题12 作出函数2()[cos(2arccos )]f αα=的图形.解析 题目中的函数解析表达式不够直观，我们考虑将函数做恒等变换，之后再利用函数的凹凸性作出函数图象.解 因为2cos(2arccos )12sin cos arc αα=-，设sin cos x arc α=，[1,1]x ∈- ，所以所给函数的表达式可以写成22()(12)f x x =-，且函数的定义域为[1,1]x ∈-，该函数是偶函数，它的图形关于y 轴对称，因此只需讨论区间[1,0]-上的图形即可.'()8(1)(1)f x x =-，进而得到：''2()4881)f x x =-=-+，在区间[1,0]-上，'()0f x =的解为0x =或x =''()0f x =，的解为x =.用点2x =-和6x =-把区间[1,0]-划分为[1,2--，[,26--，[6-三个部分区间.在各部分区间内'()f x 及''()f x 的符号、相应曲线弧的升降、凹凸性、极值点因而在2x =-处，()f x 取极小值0，再由函数关于y 轴对称，所以在0x =处，()f x 取极大值1，在2x =处，()f x 取极小值0，曲线有两个拐点 4()69-和4)69. 函数的图象如下图所示：小结：利用函数凹凸性作图的步骤： (1)确定函数()f x 的定义域，讨论函数的一些基本性质，如奇偶性、对称性和周期性等，并求出函数的一阶导数'()f x 及二阶导数''()f x .(2)求出方程'()0f x =和''()0f x =在定义域内的全部实根及使'()f x 和''()f x 不存在的点，用以上两种点将函数()f x 的定义域划分成几个部分区间.(3)确定在这些部分区间内'()f x 及''()f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸、极值点和拐点.(4)确定函数图形的水平铅直渐近线.(5)列表并作出函数图象.函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图象的描绘更加的准确.4.4 利用函数的凹凸性判断函数单调性判断函数单调性的一般方法是利用导函数的正负来判断的，但是利用函数的凹凸性来判断函数的单调性，作为判断函数单调性方法的补充，是需要我们了解的.例题13 设()00f =，()f x 在[)0,+∞上为非负的严格凹函数，()()f x F x x=，()0x >.试证明：()(),f x F x 为严格递增的函数.证明 因为()f x 为严格凹函数，()00f =，所以()()()()00f x f x f F x x x -==-为严格递增的.因为()f x 是非负函数，所以对于 0x ∀>，有()()00f x f ≥=.若某点10x >，使得()10f x =，则在[]10,x 上有()0f x ≡ 与()f x 为严格凹函数矛盾. 所以0x ∀>，有()0f x >，最后设120x x <<，则：()()()()()21112111000f x f x f x f f x x x x x -->=>--，得()f x 为严格递增的()0x >.结 束 语本文从函数凹凸性的概念出发，通过具体的实例较系统地介绍了函数凹凸性的常规的判定方法及在证明不等式、求函数最值以及在作函数图象时的应用.把握函数凹凸性在数学中的应用，关键就是在把握函数凹凸性的基本概念、定理的基础上，同时加强此方面的训练和研究.函数凹凸性的应用，拓展了学习和研究的邻域．由于受到各种因素的限制，本文也有一定的不足之处.函数凹凸性的判别方法与应用还有很多，本文只介绍了其中的一部分，还有其它方法与应用可以补充.参考文献[1] 宣立新. 高等数学(上册)[M].高等教育出版社，1999.[2] 华东师范大学数学系[M].数学分析.高等教育出版社，2007.[3] 毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳[M].华中理工大学出版社，2002.[4] 于淑兰.关于曲线拐点的判别法[J].数学的实践与认识，2003，33(1):98-100.[5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第三版）[M].高等教育出版社，1995.[6] 沈家英，方永宏.高等数学(上册)[M].山东大学出版社，1995.[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社，2007.[8] 孙清华，郑小姣.高等数学内容、方法与技巧[M].华中科技大学出版社，2004.[9] Fred Brauer .Fundamentals of Advanced Mathematics[M] .Higher Education Press，2006.[10] 何卫力，缪克英.高等数学方法导引(上)[M].北京交通大学出版社，2004.[11] 盛祥耀.高等数学[M].高等教育出版社，2004.[12] 刘士强.数学分析[M].广西民族出版社，2000.The discrimination approach and application of concave and convex function Author: Zhu Hongli Supervisor: Xing BaohuaAbstract Concave and convex function is one of the important properties in function.It reflects curving direction of the curve on the function image, and it allows you to grasp the curve properties better about the corresponding function. This paper bases on analysis about the concept of convex and concave function, and focuses on exploring the discrimination approach and application of concave and convex function, such as the application in inequality proving and function max/min value, etc. It makes a detailed exposition with relevant examples.Keywords concave and convex derivative inequality application.。
高等数学第四章考研试题
高等数学第四章是关于微积分学的重要章节，是考研数学中的重要考点之一。
在掌握了前三章的基础上，第四章的内容将更加深入和具体。
考研数学中，第四章所考察的内容包括极值、凹凸性、曲率、峰值等方面的知识点。
一、极值问题1. 求函数 $f(x)=x^3-3x^2+5$ 在区间 $[-1,3]$ 上的极值点解：首先求出函数的导数$f'(x)=3x^2-6x$，令其等于0，得到极值点 $x\in \{-1,2\}$。
将 $x=-1$ 和 $x=2$ 代入函数，得到 $f(-1)=7$，$f(2)=3$。
由此可知，$f(x)$ 在$x=-1$ 时取得最大值7，在 $x=2$ 时取得最小值3。
二、曲率问题2. 求椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的凹凸性和曲率半径解：根据椭圆的定义式，求出其一阶导数和二阶导数，得到：$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{b^2}{a^2}\frac{a^2y-b^2x^2}{a^2y^3}$由此可以得出，当 $a^2y>b^2x^2$ 时，$\frac{d^2y}{dx^2}<0$，椭圆是凹的；当$a^2y<b^2x^2$ 时，$\frac{d^2y}{dx^2}>0$，椭圆是凸的。
此外，椭圆的曲率半径为$R=\frac{a^2}{b}$。
三、峰值问题3. 求函数 $f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1$ 的峰值解：首先求出函数的一阶和二阶导数：$f'(x)=4x^3-12x^2+8x$$f''(x)=12x^2-24x+8$令 $f'(x)=0$，解得 $x\in\{0,2\}$。
计算得到 $f(0)=1$，$f(2)=1$，$f(1)=-2$。
故该函数的峰值为-2，达到峰值时的横坐标为1。
4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点
例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
函数的凹凸性与极值点
函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。
通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。
本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。
一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。
假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。
函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。
二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。
如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。
这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。
三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。
对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。
对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。
2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。
推导函数的增减性与凹凸性
推导函数的增减性与凹凸性函数是数学中的基本概念之一，它描述了变量之间的关系。
在分析函数的性质时，我们常常关注函数的增减性和凹凸性，这两个概念在微积分中具有重要的意义。
本文将介绍如何推导函数的增减性和凹凸性。
1. 导数与函数的增减性在推导函数的增减性之前，我们先回顾一下导数的概念。
对于函数f(x)，如果它在某个点x处可导，那么它在该点的导数f'(x)表示函数f(x)在该点的变化率。
如果f'(x)>0，说明函数在该点附近是递增的；如果f'(x)<0，说明函数在该点附近是递减的。
当f'(x)=0时，函数可能存在极值点。
推导函数的增减性时，我们可以通过求导来得到函数的导函数，然后根据导函数的正负来分析函数的增减性。
具体而言，我们可以按照以下步骤进行推导：（1）求导函数f'(x)。
（2）找到导函数f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
（3）根据导函数f'(x)的正负情况，确定函数f(x)的增减性。
当f'(x)>0时，函数递增；当f'(x)<0时，函数递减；在f'(x)=0的点上，可能存在极值点。
2. 导数与函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线在不同部分的弯曲情况。
对于函数f(x)，如果它在某个区间上是凹函数，那么它的曲线在该区间上呈现向上的弯曲；如果它在某个区间上是凸函数，那么它的曲线在该区间上呈现向下的弯曲。
推导函数的凹凸性时，我们可以通过求导函数的导函数来进行分析。
具体而言，我们可以按照以下步骤进行推导：（1）求导函数f'(x)。
（2）对导函数f'(x)再次求导，得到二阶导函数f''(x)。
（3）对二阶导函数f''(x)进行分析。
当f''(x)>0时，函数f(x)为凸函数；当f''(x)<0时，函数f(x)为凹函数；在f''(x)=0的点上，可能存在拐点。
高等数学I(软件)D4_4单调性凹凸性极值与最值
例3 确定函数 f (x) (x 5) 3 x2 的单调区间. 2
解 (1) 定义域 ,
(2) f (x) 3 x2 (x 5) 2 1 5 x 1 2 3 3x 3 3x
令 f ( x) 0 , 得 x1 1, 当 x2 0 时, f ( x)不存在,
(3) 列表:
1
因此
从而
证明 目录 上页 下页 返回 结束
* 证明 x tan x 0
令
则
(x) 1 sec2 x
tan2 x 0,
x
(0,
2
)
从而
即
x tan x 0,
x
(0 ,
2
)
例5 证明不等式 2 x 3 1 (x 1)
x
证明 令 f (x) 2 x (3 1)
x
f (x)
1 x
1 x2
1 x2
(x
x 1)
当 x 1 时, f (x) 0 , 即 f (x)在 [1, )上单增,
当 x 1 时, f (x) f (1) 0,
即 x 1时，2 x 3 1 x
例5 证明:方程 xex =2在(0,1)内有且仅有一个实根
证明 设f (x) xex -2,因f (x)在[0,1]上连续， 且f (0) 2 0, f (1) e 2 0.由零值定理，
o
x
y
y x3
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1) 确定函数 y f ( x) 的定义域;
(2) 求 f (x), 找使 f (x) 0 的点(驻点)和 f (x) 不存在的点;
(3) 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
《函数凹凸性》课件
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
函数的凹凸性与极值探讨
函数的凹凸性与极值探讨函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。
以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。
同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。
●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。
2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。
这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。
●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。
3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。
然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。
●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。
对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。
然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。
●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。
即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
动点M沿着曲线无限远离原点 y
y=ƒ(x)
移动时, 若该动点M到某直线L 的距离无限趋近于零 (如右图),
αM˘• Q •
•
L: y=ax+b
则称此直线L是曲线 y = ƒ(x)
o »α
x
的渐近线.
曲线 y = ƒ(x) 的渐近线按其与 x 轴的位置关系, 可分为
以下三种:
18
1.水平渐近线
定义4.4.5 如果曲线 y = ƒ(x)的定义域是无限区间, 且有
x -
x
两边同除以 x 并取极限有
f (x) lim[ a]0 x x-
或 lim[f(x)a]0 x x
即
f(x) lim a x x-
或 lim f(x) a x x
从而得到求 y = ƒ(x) 的斜渐近线 y = ax + b 的公式为:
a
f (x) lim
x x
或
b
lim[
x
f
( x)
lim
1
x x 1
x x1
所 以 y x 1 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
25
四*. 函数图形的描绘
借助于一阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间 上上升, 在哪个区间上下降, 在什么地方有极值点; 借助于 二阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上为凹, 在哪个区间上为凸, 在什么地方有拐点. 知道了函数图形 的升降、凹凸以及极值点和拐点后, 也就可以掌握函数的 性态, 并把函数的图形画得准确.
ax]
a
f (x) lim
x x
b
lim [
x
f
(x)
ax]
微分学中函数的凹凸性与拐点
微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支，通过研究函数的变化率和曲线的特征，可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。
其中，函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念，它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。
1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。
而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。
2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导，且对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的；若对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。
二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹，或由凹转为凸的点。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。
1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。
04第四节函数的单调性、凹凸性与极值
第四节函数单一性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单一性和某些简单函数的性质，法使用范围狭窄，而且有些需要借助某些特别的技巧，因此不拥有一般性. 工具，介绍判断函数单一性和凹凸性的简易且拥有一般性的方法. 但这些方本节将以导数为散布图示★ 单一性的鉴别法★例 1★ 单一区间的求法★例 2 ★例 3 ★例4★例5 ★例 6 ★例 7 ★例 8 ★ 曲线凹凸的观点★例 9 ★例10★ 曲线的拐点及其求法★例11 ★例12 ★例13★ 函数极值的定义★函数极值的求法★例14 ★例15 ★例16★第二充足条件下★例17 ★例18 ★例19★ 内容小结★ 讲堂练习★习题 3-4 ★ 返回内容重点一、函数的单一性：设函数y f ( x) 在 [a, b]上连续 , 在 (a, b)内可导 .(1) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一增添 ;(2) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一减少 .二、曲线的凹凸性：设 f ( x) 在 [a, b] 上连续 , 在 (a, b)内拥有一阶和二阶导数, 则(1) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凹的 ;(2) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凸的 .三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判断曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)求函数的二阶导数 f ( x) ；(2)令 f ( x) 0 ，解出所有实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3) 对步骤 (2)中求出的每一个点，检查其周边左、右双侧 f (x) 的符号，确立曲线的凹凸区间和拐点.四、函数的极值极值的观点；极值的必需条件；第一充足条件与第二充足条件；求函数的极值点和极值的步骤：（ 1）确立函数 f ( x) 的定义域，并求其导数 f ( x) ;（ 2）解方程 f (x) 0 求出 f (x) 的所有驻点与不行导点;（ 3）议论 f ( x) 在驻点和不行导点左、右双侧周边符号变化的状况，确立函数的极值点;（ 4）求出各极值点的函数值，就获得函数 f ( x) 的所有极值 .例题选讲函数单一性的判断例 1 (E01) 议论函数 y e x x 1的单一性 .解y e x 1. 又 D:( , ). 在( ,0) 内， y 0, 函数单一减少；在 (0, ) 内， y 0, 函数单一增添 .注：函数的单一性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判断，而不可以用一点处的导数符号来鉴别一个区间上的单一性.例 2 (E02) 议论函数 y 3 x2的单一区间 .解 D : ( , ). y2( x 0), 当 x 0 时，导数不存在 .33 x当x 0 时， y 0, 在 ( ,0] 上单一减少；当 0 x 时， y 0, 在 0, 上单一增添；单一区间为 ( ,0] ， [0, ) .注意 : 区间内个别点导数为零不影响区间的单一性. 比如，y x3 , y x 0 0, 可是( , ) 上单一增添 .注：从上述两例可见，对函数 y f ( x) 单一性的议论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域区分为若干个子区间，而后逐一判断函数的导数 f ( x) 在各子区间的符号，进而确立出函数y f ( x) 在各子区间上的单一性，每个使得f (x) 的符号保持不变的子区间都是函数y f ( x) 的单一区间 .求单一区间例 3 (E03) 确立函数 f ( x) 2 x3 9x 2 12x 3 的单一区间 .解 D : ( , ). f ( x) 6 x2 18x 12x 6( x 1)( x 2),解方程 f ( x) 0 得 x1 1, x2 2.当x 1 时， f ( x) 0, f ( x) 在,1 上单一增添；当 1 x 2 时， f ( x) 0, f ( x) 1,2 上单一减少；当 2 x 时， f ( x) 0, f ( x) 在 [ 2, ) 上单一增添；单一区间为 ( ,1], [1,2], [ 2, ).例4求函数y 3 ( 2x a )(a x)2 ( a 0) 的单一区间 .解y 2 2a 3x, 3 3 a )2 (a(2 x x)令 y0, 解得 x2a, 在 x 2a , x 3 a 处 y 不存在 .132在, a内， y 0, 函数单一增添 .在 a, 2 a 内， y0, 函数单一增添 .22 3在 2a, a 内， y0, 函数单一减少 .在 a,内， y0, 函数单一增添 .3例 5 当 x 0 时， 试证 x ln(1 x) 建立 .证 设 f ( x) x ln(1 x), 则 f( x) 1 x .xf ( x) 在 [ 0, ] 上连续，且在 (0,) 内可导， f (x) 0,f (x) 在 [ 0, ] 上单一增添，f ( 0) 0,当 x0 时， x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x). 证毕 .应用单一性证明例 6 (E04) 试证明：当 x0 时 , ln(1 x)x 1 2 .x2证 作协助函数f ( x) ln(1 x)x 1 x 2 ,2由于 f ( x) 在 [ 0, ) 上连续，在 (0,) 内可导，且 f ( x)1x 2 ,1 x1 x1 x当 x 0 时， f (x) 0, 又 f (0) 0.故当 x 0 时， f (x)f (0) 0,所以 ln(1 x)x 1 x 2.2例 7 (E05) 证明方程 x5x 10在区间 ( 1,0) 内有且只有一个实根 .证 令 f ( x)x 5x 1, 因 f ( x) 在闭区间 [ 1,0] 持续，且 f ( 1) 1 0, f (0) 1 0.依据零点定理 f ( x) 在 ( 1,0) 内有一个零点 .另一方面， 关于随意实数 x, 有 f ( x) 5 x 41 0,所以 f ( x) 在 (,) 内单一增添，所以曲线 y f ( x) 与 x 轴至多只有一个交点 .综上所述可知，方程 x5x 1 0在区间 ( 1,0) 内有且只有一个实根 .例 8 证明方程 ln xx 1在区间 (0, ) 内有两个实根 .e证 令 f ( x)ln xx 1, 欲证题设结论等价于证f (x) 在 (0, ) 内有两个零点 .e令 f (x)1 1 0x e. 因 f (e)1, lim f ( x), 故 f (x) 在 (0,e) 内有一零点 .x ex又因在 (0,e) 内 f (x) 0, 故 f ( x) 在 (0, e) 内单一增添，这零点独一 .所以 , f ( x) 在 (0,) 内有且仅有两个零点 , 证毕 .例 9 (E06)判断yx ln(1x) 的凹凸性.解 由于y 1 1 , y 11 (1 x)2x所以，题设函数在其定义域( 1, ) 内是凹的 .例 10 (E07) 判断曲线 y x3的凹凸性.解y 3x2 , y 6x, 当 x 0 时， y 0, 曲线在 ( ,0] 为凸的；当 x 0 时， y 0, 曲线在 [ 0, ) 为凹的；注意到点 (0,0) 是曲线由凸变凹的分界点 .例 11 (E08) 求曲线 y 3 x4 4 x3 1 的拐点及凹、凸区间 .解易见函数的定义域为( , ),y 12x3 12x2 , y2 36x x.3令 y 0, 得 x1 0, x2 2 .3x ( ,0) 0 (0, 2 3) 2/3 (2/3, )f ( x) + 0 －0 +f ( x) 凹的拐点(0,1) 凸的拐点 ( 2/ 3,11/ 27) 凹的所以，曲线的凹区间为( ,0] ,[2 3, ) 凸区间为 [0,2 3] 拐点为(0,1)和(2 / 3,11/ 27) .例 12 求曲线 y sin x cos x( x ( 0,2 )) 的拐点 .解y c o xs si nx, y s i nx c o sx, y c o sx s i nx.令 y 0, 得 x1 3, x2 7 .4 432 0, f 72 0,f4 4在 [0,2 ] 内曲线有拐点为3,0 ,7,0 .4 4注：若 f ( x0 ) 不存在，点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是连续曲线y f (x) 的拐点 .曲线凹凸性判断例 13 (E09) 求函数 y a 2 3 x b 的凹凸区间及拐点 .解y 1 1 , y 2 ,3 3( x b)2 93 (x b )5函数 y 在x b 处不行导，但 x b 时， y 0, 曲线是凸的，x b 时， y 0, 曲线是凹的 . 故点 (b,a 2 ) 为曲线 y a 2 3 x b 的拐点例 14(E10) 求出函数f ( )x3 3x2 9x5的极值 . x解f ( ) 3 2 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,令f (x) 0, 得驻点 x 1 1, x 2 3.x x列表议论以下：x(, 1)1( 1,3)3(3,)f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x)↑极大值↓极小值↑所以 , 极大值 f ( 1) 10, 极小值 f (3)22.例 15 (E11) 求函数 f ( x) ( x 4) 3 ( x 1) 2的极值 .解 (1) 函数 f ( x) 在 (,) 内连续，除 x1 外到处可导，且 f (x)5(x 1) ;33 x 1( 2) 令 f (x)0, 得驻点 x 1; x1 为 f ( x) 的不行导点 ;(3) 列表议论以下 :x( ,1)1( 1,1)1(1,)f ( x)＋ 不存在 － 0 ＋ f ( x)↑极大值↓极小值↑( 4) 极大值为 f ( 1) 0, 极小值为 f (1)33 4.例 16 求函数 f x x3 x22 / 3的单一增减区间和极值.解 求导数 f ( x) 1 x 1/ 3 , 当 x 1 时 f (0) 0, 而 x 0 时 f ( x) 不存在 ,所以，函数只可能在这两点获得极值. 列表以下 :x(,0)(0, 1)1(1,)f ( x)＋ 不存在 － 0 ＋f ( x)↗极大值 0↘ 极小值1↗2由上表可见：函数 f ( x) 在区间 ( ,0), (1, ) 单一增添 , 在区间 (0,1) 单一减少 .在点x 0 处有极大值 , 在点 x1处有极小值 f (1) 1,如图.2例 17 (E12) 求出函数f ( x ) x 33 224 x 20 的极值 .x解f( ) 3 2 6 x 24 3( x 4)( x 2), 令 f ( x) 0, 得驻点 x4, x 2.x x12又 f (x) 6 x 6, f ( 4) 18 0,故极大值 f ( 4) 60, f (2)18 0,故极小值 f (2)48.注意： 1. f ( x0 ) 0 时, f ( x) 在点x0处不必定取极值, 仍用第一充足条件进行判断.2.函数的不行导点 ,也可能是函数的极值点 .例 18 (E13) 求函数 f ( x) ( x2 1)3 1的极值 .解由f ( ) 6 ( 2 1)2 0, 得驻点x 1, x 0, x 1. f ( x) 6(x 2 1)(5x 2 1).x x x31 2因 f (x) 6 0, 故 f ( x) 在 x 0 处获得极小值，极小值为 f (0) 0.因 f ( 1) f (1) 0, 故用定理 3 没法鉴别 .观察一阶导数 f (x) 在驻点 x1 1 及 x3 1左右周边的符号 :当 x 取 1 左边周边的值时, f (x) 0;当 x 取1右边周边的值时, f ( x) 0;因 f (x) 的符号没有改变，故 f ( x) 在 x 1 处没有极值 . 同理， f (x) 在x 1处也没有极值 . 以下图 .例 19 求出函数 f ( x) 1 (x 2) 2/ 3的极值 .2( x 1解 f ( x) 2) 3 (x 2). x 2 是函数的不行导点 .3当 x 2 时 , f ( x) 0; 当 x 2 时 , f (x) 0.f (2) 1 为 f (x) 的极大值 .讲堂练习1. 若f (0) 0, 能否能判断 f (x) 在原点的充足小的领域内单一递加?2.设函数 f ( x) 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 此中x0 (a, b) , 则 (x0 , f (x0 )) 能否一定为曲线 f (x) 的拐点 ?举例说明 .。
3.3函数的单调性、凹凸性与极值
o
x
o
x
22
2.4 导数的应用(118)
如图中曲线弧AB是单增的曲线. 但从A
B
到 C 的曲线是向上凸的; 从 C 到 B 的
曲线是向下凸的. C 恰好是上凸和下凸 的分界点, 我们称为拐点.
A
• C
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向(上凸和下凸)的分界点 对我们研究函数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凸
x0
2.4 导数的应用(118)
16
当 xk
1 1 ( 2k ) 2
时， f ( x k ) 1
4 1 ( 2k ) 2
0
1 当 xk 时， 2 k
f ( xk ) 1 0
注意 k 可以任意大，故在 x0 0 点的任何邻 域内，f ( x ) 都不单调递增．
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]， [0, ).
2.4 导数的应用(118)
15
思考题解答
不能断定.
1 2 x 2 x sin , x 0 x 例 f ( x) 0, x0
1 lim f (0) x0(1 2 x sin ) 1 0 x
1 1 但 f ( x ) 1 4 x sin 2 cos , x x
小结与思考题1
单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.
定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立. 利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个 数和证明不等式.
高数课件14凹凸性
凹凸性与光滑性 的应用：在优化 问题、微分方程 等领域有广泛应 用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐 点
利用极限判断： 如果极限存在且 大于0，则为凹 函数；如果极限 存在且小于0， 则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处 为凸函数
负二阶导数：函数在该点处 为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只 适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数 在某点附近的局部性质，与函数 的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关 凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性 凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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《高数课件14凹凸性》课件
目录
CONTENTS
• 凹凸性的定义 • 凹凸性的判定 • 凹凸性与函数性质 • 凹凸性在数学中的应用 • 总结与思考
01
CHAPTER
凹凸性的定义
凹函数的定义
凹函数
对于函数$f(x)$在区间$I$上，若对于任意$x_1, x_2 in I$，且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
05
CHAPTER
总结与思考
本章重点回顾
凹凸性的定义
凹函数和凸函数的定义及其几何意义。
判定凹凸性的方法
利用导数判定凹凸性的方法，包括凹凸性的判 定定理和推论。
凹凸性的应用
凹凸性在函数极值、不等式证明等方面的应用。
思考题与习题
思考题：如何利用凹凸性 判定定理证明不等式？
$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x$
凹凸性与函数的最值
总结词
函数的凹凸性与其最值有密切关系，了解凹 凸性有助于更好地理解函数的最值。
详细描述
在数学中，如果一个函数在某区间内是凹的 ，那么该函数在此区间内只可能有一个极大 值点和一个极小值点；如果一个函数在某区 间内是凸的，那么该函数在此区间内只可能 有一个极大值点和一个极小值点。因此，了 解函数的凹凸性有助于我们更好地确定函数 的最值。
凹凸性的判定实例
函数$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上 是凸函数，因为其二阶导数$f''(x) = 2 > 0$。
VS
函数$f(x) = x^3$在$mathbf{R}$上 是凹函数，因为其二阶导数$f''(x) = 6x < 0$当且仅当$x < 0$。
极值与凹凸性-文档资料
( 2 ) 若在 ( a , b ) 内 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上是 .
例3 判断曲线 y x 3 的凹凸性. 解
y 3x2,
y 6x
, 曲线在 ( , 0 ] 上是凸的 ; 当x 0时 ， 0 y , 所以
极小值点;
(3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
2 3 ) x ( 1 x ) 例1 求函数 f(x 的极值.
解
函数在其定义域 ( , )内连续.
f ( x ) ,( x 0 , 1 ) 2 3 3 x ( 1 x ) 1 3 x
1 当 x 0 与 x 1 时 , 得驻点 x . 导数不存在; 令 f(x )0 ， 3
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅涉 及函数在一点附近的性质.
定理3.4 (极值的必要条件)
设 f ( x)在点 x 0 处可导, 且在 x 0处取得极值,
则必有 f (x ) 0 . 0
使得导数 f ( x ) 为零的点 , 称为函数 f ( x ) 的驻点.
( x , x ) ( x , x ) (3) 如果当 x 及x 时, 0 0 0 0
(x ) 0 , 则 f ( x) 在 x 0 处取得极小值; 有 f
f ( x) 符号相同,则 f ( x)在 x 0 处无极值.
y
y
o
x0
x
o
x0
x
是极值点情形
y
f( 2 ) 值 3 . f ( 2 ) 6 0 ,故极小
极值、最值和凹凸性
注：凹也叫上凹或下凸；凸也叫下凹或上凸。
2、凹向的判定办法
定理：如果 y f (x) 在 (a,b) 内有二阶导数：
(1)若 f (x) 0 , 则曲线 y f (x) 是凹的；
(2)若f (x) 0 , 则曲线 y f (x) 是凸的；
例：判断曲线 y x3 的凹向。
5
2. 求 y (x 2)3 的凹向与拐点。 3.求 y xex的单调性、极值、凹向与拐点。
x4
x5 x6 x7 b x 极值点极 极小 大值 值点 点
注：1.极值是指函数值，极值点是指自变量的值。 2.极值是一个局部性概念，最值则是整体概念。 3. 极值只能在区间内部取得，不能在区间端点处取 得。 4.容易看出，极值点是单调区间的分界点。
y
y=f(x)
x3
O a x1 x2
x4
可能的 不可导点 极值点驻点(可导)
x5 x6 x7 b x
二、极值的必要条件 费马定理：如果f(x) 在x0处可导，且在x0处取得极值， 则 f ' (x0) . 注：1.可导函数的极值点必定是它的驻点，反之不然。 如： f(x)= x3. 2.不可导点也可能是极值点。如： f(x)=| x |.
y
f (x)>0
f (x)<0
例:求y=x4–2x2+5在[–2,3]上的最值。
练习：求y=ln(x2+1) 在[–1,2] 上的最值。 答案：ymax ln 5 ymin 0 二、两种特殊情形下函数的最值 1.函数f(x)在[a,b]上是单调的，显然它在区间端点 取得最大值和最小值；
2.可导函数的唯一极值 f(x0)一定是最值。 例:证明：当x≠0时，有ex >1+x . 注：利用最大（小）值办法证明不等式的方法：将 不等式写成是f(x)≥0，然后证明f(x)的最小值非负。
4.1_函数的单调性极值及凹凸性拐点
(3)如果当x(x0 , x0)及x(x0, x0 )时, f '(x)
符号相同,则f (x)在x0 处无极值.
y
y
o x0
xox0x(Fra bibliotek极值点情形)y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
(1)求导 f(数 x);
(2)求驻点， f(x即 )0方 的;程 根 (3)检查 f(x)在驻点左,右 判的 断正 极 ;
数,则点x0, f(x0)是拐点的必要条件是f"(x0)0.
证 f(x)二阶,可 f导 (x)存在且连 , 续
又 (x 0,f(x 0))是,拐点 则 f(x)[f(x)]在 x0两边 , 变号 f(x)在 x0取得,极 由可值 导函数取得极值条的件, f(x)0.
方法1: 设函f数 (x)在x0的邻域内二, 阶可导 且f(x0)0, (1 )x 0 两f近 (x )变 ,点 旁 (x 号 0 ,f(x 0 )即 ) 为 ; 拐
证 (1 ) f(x 0 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ) 0,
故 f(x 0 x )f(x 0)与 x 异号，
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
所 以 ， 函 数 f( x ) 在 x 0 处 取 得 极 大 值 ． 同理可证(2).
0
(23,)
f (x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (23,1127)
凹的
凹凸 (,0 区 ] ,[0 ,2 3 间 ],[2 3 为 ,) .
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x5 b
x
4
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
A
B
o
x
26
微分中值定理
作业
习题3.1 (111页)
1.(2)(3) 4.(2) 6.(2) 8.(1)
27
证 令 f (t ) t lnt , (t 0).
f (t ) lnt 1,
f ( t ) 1 0 t
所以曲线在 (0, ) 上是严格向下凸的.
x, y (0,), x y, 有
f ( x) f ( y) x y f 2 2
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线.
23
函数作图的具体步骤可归纳如下:
(1) 确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.
(2) 确定曲线的渐近线, 把握函数的变化趋势.
(3) 求出函数的单调性和极值, 确定曲线的凹凸性
和拐点.
(4) 适当计算曲线上一些点的坐标,如极值, 拐点
的坐标, 注意曲线是否与坐标轴是否有交点.
1 ,0 5
0
不 存 在
(0, )
0
拐点
1 凹的
凹的
18
凸的
1 , 6 3 5 5 25
不是 拐点
x y x y 例5 证明 x ln x y ln y ln , ( x 0, y 0, x y ). 2 2
则曲线 则曲线
有水平渐近线 y b . 有垂直渐近线 x x0 .
若
(或 x x0 或x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
2 1
1 解: lim ( 2) 2 x x 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
3
例如
y
f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 3
为极大点 , 是极大值
2 1
为极小点 ,
注意:
是极小值
o
1 2
x
函数的极值是函数的局部性质.
y
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
1 2(5 x 1) 5 2 2 3 3 , ( x 0) y x x , y 4 3 3 3
9x 在 x 0 处, y, y均不存在 ; 令 y 0, 得 x 1 . 5
x
f ( x )
f ( x)
1 1 , 5 5
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
25
x y y y
4) 求渐近线
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
y
1 2
lim y 0
x
y
1 2
e
x2 2
y 0 为水平渐近线
5) 作图
24
例. 描绘函数
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x 1 xe 2 , y 2
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 y e 2
2 x 2
(1 x 2 )
令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x y y y
设函数 y f ( x ) 在 x0的某邻域 U ( x0 )内连续，
在空心邻域 U ( x0 ) 内 f ( x ) 存在,
(1) 若在x0两侧f ( x)异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ;
(2) 若在x0两侧f ( x)同号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))不是拐点 .
(4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3)
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x
f ( x )
3 y x , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
5
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , x 处取得极大值. 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) ' f 有 ( x ) 0 ，则 f ( x )在x0 处取得极小值. ' (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
10
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定理3(第二充分条件)设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数 , 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' f (1)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' (2)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
且 lim [ f ( x ) ax] b.
x
则 y ax b 就是曲线y f ( x)的一条斜渐近线 .
22
注意: 如果
f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a , 但 lim [ f ( x ) ax] 不存在; x x x
15
定理3.7 设 f ( x )在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 则
(1) 若在 (a, b) 内 f ( x ) 0, 则 f ( x )在[a, b]上是凹的; (2) 若在 (a, b) 内 f ( x ) 0, 则 f ( x )在[a, b]上是凸的.
即
x y x y x ln x y ln y ln . 2 2
19
3.4.3 函数图形的描绘
当曲线 y f ( x ) 上的一动点P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点P到某定直线L 的距离
y f ( x )的 趋向于零, 那么直线L 就称为曲线
一条渐近线.
20
若
(或 x , 或 )
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
( x0 , f ( x0 ))是 若 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0, 则点
曲线 y f ( x ) 的拐点.
17
例4 求曲线 y ( x 1) x 的拐点及凹凸区间.
3 2
解 函数在其定义域 (,) 内连续.
0
y
y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
6
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
7
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
（2）求可疑点，即求驻点和导数不存在的点；
(3) 检查 f ( x) 在可疑点左右的正负号 , 判断极值点 ;
21
斜渐近线
如果 或
x
lim [ f ( x ) (ax b )] 0,
x
lim [ f ( x ) (ax b)] 0, (a , b 为常数)
那么y ax b 就是 y f ( x)的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法
f ( x) a, 若 lim x x
f ( x ) 6 x 6, f ( 4) 18 0, f ( 2) 18 0,
故极大值 f ( 4) 60, 故极小值 f ( 2) 48.
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
12
M
m
注意: f ( x0 ) 0时, f ( x )在点x0处不一定取极值 ,
f ( x)
( ,1) 1
( 1,3)
3
0
极 小 值
( 3, )
0
极 大 值
极大值 f ( 1) 10,
极小值 f ( 3) 22.
9
练习. 求函数
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 3 x ( x 1) 2 3
所以，函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
11
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值. 解