函数的凹凸性与拐点知识讲稿
函数的凹凸性ppt课件
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
12
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
《曲线凹凸与拐点》课件
曲线凹凸的计算方法
定义法
通过定义凹凸性，利用二阶导数正负来判断。如果二阶导数大于0，则曲线在相 应区间内是凹的；如果二阶导数小于0，则曲线在相应区间内是凸的。
切线法
通过切线斜率判断。在某点处做切线，如果切线斜率在相邻两点之间由负变正， 则该点为拐点。
拐点的计算方法
定义法
根据拐点的定义，即函数在某点的左 右极限不相等，来确定拐点。
具体应用
在气候学中，通过研究气候数据的曲线凹凸性，可以更好地理解气候变化的规律和趋势 。在金融学中，通过研究股票价格的拐点，可以更好地把握股票市场的变化和趋势。
导数符号变化法
通过判断函数在某点附近左右两 侧导数的符号变化来确定是否为
拐点。
二阶导数测试法
通过判断二阶导数的符号变化来确 定是否为拐点。如果二阶导数在某 点处从正变为负或从负变为正，则 该点为拐点。
切线方向变化法
通过观察曲线在某点处的切线方向 是否发生变化来确定是否为拐点。 如果切线方向发生改变，则该点为 拐点。
导数法
通过求函数的二阶导数，并令其为0 ，解出相应的x值，再判断该点是否为 拐点。
曲线凹凸与拐点计算中的注意事项
初始判断
在计算前应先大致判断 函数的形态，以便选择
合适的计算方法。
精确度要求
对于实际应用，应考虑 计算结果的精确度，选 择合适的数学工具和算
法。
拐点判断
在确定拐点时，应同时 考虑左右极限，避免误
拐点是曲线上的一个点，在该点处曲线的切线方向发变符号
在拐点处，曲线的导数由正变负或由 负变正。
拐点处凹凸性改变
拐点处切线方向变化
在拐点处，曲线的切线方向发生变化 ，由上升变为下降或由下降变为上升 。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
《高等数学》曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。
例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。
一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。
曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。
因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。
)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。
通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。
当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。
与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。
)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
数学分析6.5函数的凸性与拐点(讲义)
第六章 微分中值定理及其应用 5 函数的凸性与拐点(讲义)定义I ：设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点x 1,x 2和任意实数λ∈(0,1)总有：f(λx 1+(1-λ)x 2)≤λf(x 1)+(1-λ)f(x 2)，则称f 为I 上的凸函数，反之，若总有：f(λx 1+(1-λ)x 2)≥λf(x 1)+(1-λ)f(x 2)，则为凹函数. 若为严格不等式，则相应的称为严格凸函数或严格凹函数.几何意义：(如图a 和图b)分别是凸函数和凹函数的几何形状： 其中x=λx 1+(1-λ)x 2，A= f(x 1)，B=f(x 2)，C=λA+(1-λ)B.(a)凸函数(b)凹函数若-f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数。
引理：f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点x 1<x 2<x 3，总有23231212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x. 证：[必要性]记λ=1323x -x x -x ，则x 2=λx 1+(1-λ)x 3. 由f 的凸性可知： f(x 2)=f(λx 1+(1-λ)x 3)≤λf(x 1)+(1-λ)f(x 3)=1323x -x x -x f(x 1)+1312x -x x-x f(x 3)，从而有(x 3-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)，即 (x 3-x 2)f(x 2)+(x 2-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)， (x 3-x 2)f(x 2)-(x 3-x 2)f(x 1)≤(x 2-x 1)f(x 3)-(x 2-x 1)f(x 2)， (x 3-x 2)(f(x 2)-f(x 1))≤(x 2-x 1)(f(x 3)-f(x 2))，∴23231212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x ≤. [充分性]在I 上任取两点x 1<x 3，在[x 1,x 3]上任取点x 2=λx 1+(1-λ)x 3,λ∈(0,1), 即λ=1323x -x x -x . 又23231212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x ≤， ∴(x 3-x 2)(f(x 2)-f(x 1))≤(x 2-x 1)(f(x 3)-f(x 2))， (x 3-x 2)f(x 2)-(x 3-x 2)f(x 1)≤(x 2-x 1)f(x 3)-(x 2-x 1)f(x 2)， (x 3-x 2)f(x 2)+(x 2-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)， (x 3-x 1)f(x 2)≤(x 3-x 2)f(x 1)+(x 2-x 1)f(x 3)， ∴f(x 2)≤1323x -x x -x f(x 1)+1312x -x x-x f(x 3)=λf(x 1)+(1-λ)f(x 3)； 即f(λx 1+(1-λ)x 3)≤λf(x 1)+(1-λ)f(x 3). ∴f 为I 上的凸函数.同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对I 上任意三点x 1<x 2<x 3， 有232313131212x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x x -x )f(x -)f(x ≤≤.定理6.13：设f 为I 上的可导函数，则下述论断互相等阶： 1、f 为I 上的凸函数；2、f ’为I 上的增函数； 3、I 上的任意两点x 1,x 2，有f(x 2)≥f(x 1)+f ’(x 1)(x 2-x 1). 证：若1、f 为I 上的凸函数成立，则对I 上任意两点x 1<x 2，取充分小的正数h ，则x 1-h<x 1<x 2<x 2+h ，由h)f(x -h)f(x x -x )f(x -)f(x h h)-f(x -)f(x 22121211+≤≤，又f 可导，令h →0+时可得 f ’(x 1)≤1212x -x )f(x -)f(x ≤f ’(x 2)，∴2、f ’为I 上的增函数得证.若2、f ’为I 上的增函数成立，则在[x 1,x 2]⊆ I 上应用拉格朗日中值定理及f ’的增性，有f(x 2)-f(x 1)=f ’(ξ)(x 2-x 1)≥f ’(x 1)(x 2-x 1)，即3、f(x 2)≥f(x 1)+f ’(x 1)(x 2-x 1)得证. 若3、I 上的任意两点x 1,x 2，有f(x 2)≥f(x 1)+f ’(x 1)(x 2-x 1)成立，则 取x 3=λx 1+(1-λ)x 2,λ∈(0,1), 有x 1-x 3= x 1-λx 1-(1-λ)x 2=(1-λ)(x 1-x 2); x 2-x 3= x 2-λx 1-(1-λ)x 2=λ(x 2-x 1). 又 f(x 1)≥f(x 3)+f ’(x 3)(x 1-x 3)=f(x 3)-(1-λ)f ’(x 3)(x 2-x 1), f(x 2)≥f(x 3)+f ’(x 3)(x 2-x 3)=f(x 3)+λf ’(x 3)(x 2-x 1),∴λf(x 1)+(1-λ)f(x 2)≥λf(x 3)-λ(1-λ)f ’(x 3)(x 2-x 1)+(1-λ)f(x 3)+(1-λ)λf ’(x 3)(x 2-x 1) = f(x 3)=f(λx 1+(1-λ)x 2)，∴1、f 为I 上的凸函数得证.可导凸函数的几何意义是：曲线y=f(x)总是在它的任一切线的上方。
三角函数的像凹凸性与拐点归纳
三角函数的像凹凸性与拐点归纳三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
而像凹凸性和拐点则是研究函数变化趋势的重要概念。
本文将对三角函数的像凹凸性与拐点进行归纳总结，以便更好地理解和应用。
一、正弦函数的凹凸性与拐点正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为y = sin(x)。
我们首先来探讨正弦函数的凹凸性。
对于正弦函数，它的一阶导数是余弦函数，即y' = cos(x)。
通过求出一阶导数的二阶导数，可以得到正弦函数的二阶导数为负的余弦函数，即y'' = -sin(x)。
由此可见，正弦函数在整个定义域上都是凹的，没有凸的区间。
关于正弦函数的拐点，拐点是指函数曲线由凹转为凸或由凸转为凹的点。
通过求解二阶导数为零的点，可以找到正弦函数的拐点。
对于正弦函数来说，当x = (2n+1)π/2，其中n为整数，即π/2、3π/2、5π/2等，这些点即为正弦函数的拐点。
总结起来，正弦函数在整个定义域上是凹函数，没有凸的区间；拐点在x = (2n+1)π/2，其中n为整数。
二、余弦函数的凹凸性与拐点余弦函数是另一个常见的三角函数，表示为y = cos(x)。
同样地，我们来探讨余弦函数的凹凸性。
对于余弦函数，它的一阶导数是负的正弦函数，即y' = -sin(x)。
通过求一阶导数的二阶导数，可以得到余弦函数的二阶导数为负的余弦函数，即y'' = -cos(x)。
由此可见，余弦函数在整个定义域上都是凹的，没有凸的区间。
关于余弦函数的拐点，通过求解二阶导数为零的点，可以得到余弦函数的拐点。
对于余弦函数来说，当x = nπ，其中n为整数，即0、π、2π等，这些点即为余弦函数的拐点。
总结起来，余弦函数在整个定义域上是凹函数，没有凸的区间；拐点在x = nπ，其中n为整数。
三、正切函数的凹凸性与拐点正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为y = tan(x)。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
函数的凸性与拐点解读
函数的凸性与拐点解读第一篇：函数的凸性与拐点解读九江学院理学院《数学分析》教案§ 5 函数的凸性与拐点一．凸性的定义及判定：1．凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对∀x1,x2∈I 和λ∈(0,1)恒有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线 y=f(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线y=f(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1≠x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 y=f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1<x2<x3 , 总有f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x2)≤x2-x1x3-x2定理6.13 设函数f(x)在区间I 上可导, 则下面条件等价:(i)为I上凸函数(ii)为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有f(x2)≥f(x1)+f'(x1)(x2-x1)2．利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内⑴ f''(x)<0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f''(x)>0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对∀x1,x2∈(a,b), 设x0=x1+x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院《数学分析》教案x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有f(x1)=f(x0)+f'(x0)(x1-x0)+f''(ξ1)(x1-x0)2, 2f''(ξ2)(x2-x0)2.2f(x2)=f(x0)+f'(x0)(x2-x0)+其中ξ1 和ξ2在x1 与x2 之间.注意到x1-x0=-(x2-x0), 就有f(x1)+f(x2)=2f(x0)+1f''(ξ1)(x1-x0)2+f''(ξ2)(x2-x0)2, 2[]于是, 若有f''(x)<0, ⇒上式中[Λ]<0, ⇒ f(x1)+f(x2)<2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f''(x)>0, ⇒上式中[Λ]>0, ⇒f(x1)+f(x2)>2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f''(x)>0, 则有f'(x)↗↗.不妨设 x1<x2, 并设 x0=x1+x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有∃ξ1∈(x1,x0), ∍f(x0)-f(x1)=f'(ξ1)(x0-x1), ∃ξ2∈(x0,x2), ∍f(x2)-f(x0)=f'(ξ2)(x2-x0).有x1<ξ1<x0<ξ2<x2, ⇒f'(ξ1)<f'(ξ2), 又由x0-x1=x2-x0>0，⇒f'(ξ1)(x0-x1)⎛x1+x2⎫⎪，f(x)严格下凸.⎝2⎭九江学院理学院《数学分析》教案3．凸区间的分离: f''(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)=xe-x的上凸、下凸区间和拐点.解f的定义域为(-∞, +∞)，f'(x)=e-x(1-2x2), f''(x)=2x(2x2-3)e-x.令f''(x)=0, 解得x1=-2223 , x2=0 , x3=23.2在区间(-∞ , -3333),(- , 0),(0 ,),(, +∞)内f''的符号依次为 222233⎛⎛333-2⎫32⎫⎪⎪- , + , - , +，⇒Λ.拐点为: -2 , -2e⎪ ,(0 , 0), 2 , 2e⎪.⎝⎭⎝⎭倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi∈[a,b], λi>0,i=1,Λ,∑λi=1, 有Jensen 不等式: i=1nf(∑λixi)≤∑λif(xi)，i=1i=1nn且等号当且仅当x1=x2=Λ=xn 时成立.1n证令x0=∑xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk=1前述定理的证明，注意∑(xk=1nk-x0)=0, 即得所证.九江学院理学院《数学分析》教案例2 证明: 对∀x,y∈R, 有不等式 ex+y2≤1x(e+ey).2例3 证明均值不等式: 对∀a1,a2,Λ,an∈R+, 有均值不等式a+a2+Λ+an≤na1a2Λan ≤1.111n++Λ+a1a2ann证先证不等式na1a2Λan ≤ a1+a2+Λ+an.n 取f(x)=lnx.f(x)在(0 , +∞)内严格上凸, 由Jensen不等式, 有1n1n⎛1n⎫⎛1n⎫lnn∏xk=∑lnxk=∑f(xk)≤f ∑xk⎪=ln ∑xk⎪.nk=1nk=1 k=1⎝nk=1⎭⎝nk=1⎭由f(x)↗↗ ⇒ na1a2Λan ≤ na1+a2+Λ+an.n对111，Λ,∈R+用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对∀x1,x2,Λ,xn∈R, 有不等式22x1+x2+Λ+xnx12+x2+Λ+xn ≤.(平方根平均值)nn222例5 设x+y+z=6，证明x+y+z≥12.2解取f(x)=x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinA+sinB+sinC≤33.2解考虑函数f(x)=sinx, 0≤x≤π.f''=-sinx< 0 , 0<x π.⇒ sinx在区间(0 , π)内凹, 由Jensen不等式, 有九江学院理学院《数学分析》教案sinA+sinB+sinCf(A)+f(B)+f(C)π3⎛A+B+C⎫.∴=≤f ⎪=sin=33332⎝⎭⇒sinA+sinB+sinC≤33.2例7 已知a,b,c∈R+, a+b+c=1.求证 33a+7+33b+7+33c+7≤6.解考虑函数f(x)=3x, f(x)在(0 , +∞)内严格上凸.由Jensen不等式, 有3a+7+33b+7+33c+7f(3a+7)+f(3b+7)+f(3c+7)=≤≤f 3⎛3a+7+3b+7+3c+7⎫⎪=f(a+b+c+7)=f(8)=38=2.⇒3⎝⎭ 33a+7+33b+7+33c+7≤6.例8 已知α>0 , β>0 , α3+β3≤2.求证α+β≤2.(解函数f(x)=x在(0 , +∞)内严格下凸.由Jensen不等式, 有33332(α+β)3⎛α+β⎫⎛α+β⎫f(α)+f(β)α+β≤=1, ⇒==f≤=⎪⎪2282⎝2⎭⎝2⎭(α+β)3≤8 , ⇒α+β≤2.)第二篇：二阶导数与函数凹凸性证明证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
《曲线的凹凸与拐点》课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函 数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对 凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题 中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸 性和拐点有助于优化设计，如桥 梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹 凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函 数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函 数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数 的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于 两端点的函数值；在凸函数中， 中点的函数值大于两端点的函数 值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导 数存在且二阶导数改变符 号，则该点为拐点的充分 必要条件是该点连续。
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
导数与函数的凹凸性与拐点
导数与函数的凹凸性与拐点在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
通过导数的概念，我们不仅可以得到函数在某一点的斜率，更可以推测函数的凹凸性和拐点。
本文将介绍导数与函数的凹凸性以及拐点的相关概念和性质。
1. 导数的定义在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化速率。
设函数f(x)在某一点x处可导，则其导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x)) / h]2. 凹凸性与导数在导数的基础上，我们可以通过二阶导数来判断函数的凹凸性。
二阶导数描述了函数的变化率的变化率，其计算公式为f''(x) = (f'(x))'。
当函数f(x)的二阶导数f''(x)大于0时，即f''(x) > 0，表示函数在该点上凸起，称为凸函数；当f''(x)小于0时，即f''(x) < 0，表示函数在该点上凹陷，称为凹函数。
凹凸性与导数之间的关系在微积分中经常被用于优化问题，例如求函数的最大值最小值的问题。
3. 拐点与导数拐点是函数曲线上的一个特殊点，该点处函数的凹凸性发生了变化。
通过导数来推测函数的拐点是常见的方法。
设函数f(x)在某一点x处二阶导数f''(x)存在，则x为函数的拐点的充分条件为f''(x) = 0或f''(x)不存在。
此外，对于使得f''(x) = 0的点，还需要进一步判断该点的左右邻域内二阶导数的符号。
若f''(x) > 0，则函数在x点左邻域内凹，右邻域内凸，此时x为拐点；若f''(x) < 0，则函数在x点左邻域内凸，右邻域内凹，此时x也为拐点。
4. 导数、凹凸性和拐点的应用举例考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，我们可以通过导数、二阶导数来分析其凹凸性和拐点。
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
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( 2 )如 果 f(x ) 0 ,x (a ,b ), 则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是凸的. （证略）
拐点的计算： 1、找出二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点； 2、若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中值定理； 2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P134 3
17
2
定理(极值的第一充分条件)
y
(1) 若x(x0,x0)时,f(x)0,
x(x0,x0)时,f(x)0, o
则x0为极大值点；
y
x0
x
(2) 若x(x0,x0)时,f(x)0,
x(x0,x0)时,f(x)0, o x 0
x
则x0为极小值点；
(3)如 果 在 上 述 两 个 区 间 内 f(x)同 号 ,则 x0 不 是 极 值 点 .
o x1
x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
yf(x)
f(x1) f(x2) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f(x1x2) f(x1)f(x2). f(x1x2)f(x1)f(x2).
2
2
2
2
5
定义 设 f(x)在 (a,b )内连 ,如续 果 (a,b )内 对任
两x1 点 ,x2, x1x2,恒有
f(x1x2)f(x1)f(x2),
2 ()
2
则 称 f( x ) 在 ( a ,b ) 内 的 图 形 是 凹 的 (凸的).
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
o x1
x2 x
6
第五节 函数的凹凸性与拐点
在绘制函数图像时, 仅知道函数的单调性(函数是上升 还是下降）是不够的, 还需知道曲线的弯曲方向.
曲线的弯曲方向也是曲线的基本特性之一.
问题：如何研究曲线的凹凸性? y
曲线的凹凸 性
o
x
1
一、曲线凹凸性的定义
y
yf(x)
y
f(x1) f(x2)
2
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
解
x y
(,
1 )
1
( 1 ,0)
55
5
0 (0, )
0 不存在
y
拐点 非拐点
f(x)的 凹 区 间 为 ( 1
5
,
+
)；凸区间为(
,
1 5
].
拐点： (1,6 1 ).
5 5 3 25
13
例4 求曲线 y3 x的拐.点
解
y
1
x
2 3
,
y
2
x
5 3
,
(x0)
3
9
x0是不,可 y,y均 导不 点 . 存在
解D(,).y52x3
2
1
x3
,
33
y10x13 2x43 （2 5 x 1) ,
99
93 x4
令y 0， x 1 ，又f(0)不存在 .
5
x
(, 1) 1 ( 1 ,0)
55
5
0 (0, )
y
0 不存在
y
拐点 非拐点
12
例3 求 曲 线 y (x 1 )3x 2 的 凹 凸 区 间 与 拐 点 .
二、曲线凹凸性的判定
当曲线是凹的时， f (x)单调增加. 当曲线是凸的时， f (x)单调减少. 曲线凹凸性发生改变的点称为曲线的拐点. 研究曲线的凹凸性与拐点问题相当于研究一阶导函数
f (x) 的单调性与极值问题.
拐点
凹
凸
7
定理（曲线凹凸性的判别法）
设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在 (a, b) 内二阶可导
2
22
令f(t)tlnt，则 f(t)在 (0, )上 连 续 .
f(t)lnt1，f ( t ) 1 0t(0,) t
从 而 f(t)在 (0 , )上 是 凹 的 . 由函数凹性定义，
即 xfln (xx ) y fl(n yy )(fx ( xy)yl)n(xy) 得证.
2 2
22 2
15
3
x (,0)
0
(0, 23)
2 3
(23,)
f (x) 0
0
f (x)
拐点
拐点
f(x)的 凹 区 间 为 (, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [ 0 , 2 ] 3
3
拐 点 ： (0,1)， (23,1127).
11
例3 求 曲 线 y (x 1 )3x 2 的 凹 凸 区 间 与 拐 点 .
Ox
点(0,0)是曲线的拐点. 常见错误： x0是 曲 线 的 拐 点 .
拐点是平面点,有两个坐标.
9
例2 求 曲 线 y 3 x 4 4 x 3 1 的 凹 凸 区 间 及 拐 点 .
解 D(,).
y1x 2 31x 2 2,
y36x224x
36x(x
2 )
.
令y0,
得x1
0,
x2
2. 3
但 (,在 0 ) 内 ,y 0 , 在 (0 ,) 内 ,y 0 ,
点 (0,0)是曲 y3线 x的拐 . 点
14
利用凹凸性证明不等式
例5 证 明 ： xln x ylny (x y )ln (x y) 2
(x0,y0,xy)
证 xlnxylny(xy)ln(xy)
2
xlnxylny(xy)ln(xy)
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
4
定理3(极值的第二充分条件)
设 函 数 f ( x )在 它 的 驻 点 x 0处 二 阶 可 导 , 则
(1)如果f(x0)0,则x0 为极小值点； (2)如果f(x0)0,则x0 为极大值点； (3) 如果f(x0)0,则无法判断. 当第二充分条件失效时, 需用第一充分条件或定义法 进行判断.
若同号则不是拐点.
注意：拐点是平面上的点, 要写出纵坐标.
8
例1 判 断 曲 线 y x 3 的 凹 凸 性 ， 并 求 拐 点 . 解 D(,). y 3 x 2 , y 6x,
当x0时，y 0,
曲 线 在 ( ,0 ]上 是 凸 的 ；
y
y x3
当x0时，y 0,
曲 线 在 [0 , )上 是 凹 的 ；