函数曲线的凹凸性与拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
《高等数学》曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。
例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。
一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。
曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。
因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。
)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。
通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。
当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。
与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。
)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
目录
CONTENT
函数的凹凸性与拐点
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,
x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0
x
则 x0 为极小值点；
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 拐点
拐点
f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点：(0,1)，(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
函数曲线的凹向与拐点
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2
y36x2
24x 36x(x
2) 3
(3)解方程 y0
得x1 0
x2
2 3
(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
下页
•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)
19 函数的凹凸性与拐点
H ( p)
p3
p3 (1
p)3
,0
p 1
预示他所在的党在这届众议院里将得到的席位占总席位数的比率。我们分析一下 House 函
数的凹凸性。有 H ( p) 在 (0, 1 ) 内是凹的，在 ( 1 ,1) 内是凸的， p 1 是拐点。
2
2
2
注 House 函数基本反映了美国众议院席位的实际情形。例如在 1936 年的选举中罗斯福赢
ln
x1
x2
xn n
ln x1
ln x2 ln xn n
1
ln(x1 x2 xn ) n
即n
x1 x2 xn
x1
x2
n
xn
例 10．利用函数图形的凹凸性，证明不等式 e x
ey
x y
e 2 ,(x
y)
2
证 因为 f (x) e x 在 R 内为凹。由凹函数的定义即可得。
得 61%的选票，由 House 函数估计民主党在众议院中分得席位的比率是
H (0.61)
0.613 0,613 0.393
0.793(79.3%)
实际上，当年民主党在众议院获得 333 个席位，占总席位的 78.9%，与预测结果相差无 几。当然，它也并不总是非常准确的。最大的差别出现在 1984 年里根连任时。里根得到了 59%的选票，由 House 函数计算共和党在众议院可以得到约 75%的席位，但实际只得到 48% 的席位，相差 25 个百分点。这是由多方面的原因造成的。
列表:
x
(, 1)
1
( 1 , 0)
0
5
5
5
y
－
0
+
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
微分学中函数的凹凸性与拐点
微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支，通过研究函数的变化率和曲线的特征，可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。
其中，函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念，它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。
1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。
而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。
2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。
若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导，且对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的；若对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。
二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹，或由凹转为凸的点。
具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。
1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。
函数凹凸性和拐点
xxxxxxxxxxx
2
目录
CONTENTS
1
函数的凹凸际应用
3
在数学和优化理论中，函数的凹凸性和 拐点是描述函数形态和变化的重要概念
这些特性对于理解函数的性质，以及寻 找最优解有着至关重要的作用
PART 1
函数的凹凸性
01
在二维平面上，一个函数如果是上凸的(或称为"凹")，那么 它的图形看起来像一个倒置的U型，或者像一个山丘。相反，
PART 3
实际应用
函数的凹凸性和拐点在很多实际应用中都有重要地位。例如，在经济学中，函数的凹凸性可以用来 描述一种商品的需求和价格之间的关系。如果需求对价格是凹的(即需求随着价格的上升而下降得越 来越快)，那么我们可能会观察到价格和需求量之间有单向的关系。相反，如果需求对价格是凸的 (即需求随着价格的上升而下降的速度减慢)，那么价格和需求量之间可能存在一种"非线性"的关系
此外，函数的凹凸性和拐点在图 形和图像处理中也有着广泛的应 用。例如，在计算机视觉中，图 像的边缘检测和特征提取就涉及 到函数的凹凸性和拐点。通过利 用这些特性，我们可以更好地理 解和描述图像的内容
在机器学习中，函数的凹凸性和 拐点也被广泛使用。例如，在神 经网络训练中，损失函数(或目 标函数)的凹凸性可以帮助我们 理解模型的学习过程。如果损失 函数是凸的，那么我们可以利用 这个特性来优化模型参数。如果 损失函数是凹的，那么我们可能 需要采用更复杂的优化策略，如 梯度下降结合线搜索等
01.
拐点是函数凹凸性发生改变的点。具体来说，如果一个函数在某一点的导数由正变为负， 或者由负变为正，那么这个点就是该函数的拐点。在数学上，我们通常用二阶导数的符 号变化来判断拐点的存在
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点
函数的单调性反映在图 形上，就是曲线的上升或下 降，但曲线在上升或下降的 过程中，还有一个弯曲方向 的问题.如图4-9所示的函数 y=f(x)的图形在区间(a,b)内 虽然一直是上升的.
图 4-9
曲线的凹凸性与拐点
但却有不同的弯曲状况.从左 向右，曲线先是向上弯曲，通过点 P后，扭转了弯曲的方向，而向下 弯曲.因此，研究函数图形时，考察 它的弯曲方向及扭转弯曲方向的点 是很必要的.首先给出如下定义.
曲线的凹凸性与拐点
定义2
设函数f(x)在区间I内连续，若对I上任意两点x1，x2， 则称f(x)在I 则称f(x)在I上的图形是凸的.
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸具有明显 的几何意义，对于凹曲线， 当x逐渐增大时，其上每一 点的切线的斜率是逐渐增 大的，即导函数f′(x)是单 调增加的(见图4-10)；
曲线的凹凸性与拐点
综上所述，判定区间I上曲线的凹凸性与求曲线
(1)求函数的二阶导数f″(x). (2)令f″(x)=0，解出方程在区间I内的实根，并求 出区间I内所有使二阶导数不存在的点. (3)对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、 右两侧f″(x)的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.
曲线的凹凸性与拐点
图 4-10
曲线的凹凸性与拐点
而对于凸曲线，当x逐 渐增大时，其上每―点的切 线的斜率是逐渐减小的， 即导函数f′(x)是单调减少 的(见图4-11).于是有下述 判断曲线凹凸性的定理.
图 4-11
曲线的凹凸性与拐点
定理12
(曲线凹凸性的判定定理)设函数f(x)在［a,b］ 上连式(4-14)代入式(4-13)，得
曲线的凹凸性与拐点
一元函数微分学6.4 曲线的凹凸性与拐点
三．曲线凹凸性的意义
若曲线 y f (x)在区间(a,b)内是凸的，则 f (x) 0，由于 f (x) [ f (x)]，所以 f (x) 0表示是 f (x)单调递减，因为 f (x)
表示函数的变化速度，因而曲线是凸的的意义是函数变化的速度越 来越慢.
若曲线 y f (x)在区间(a,b)内是凹的，则 f (x) 0，由于 f (x) [ f (x)]，所以 f (x) 0表示是 f (x)单调递增，因为 f (x)
6.4 曲线的凹凸性与拐点
一. 凹凸性的概念
如下图所示
y f (x)
a
b
c
在区间(a,b)内，函数 y f (x)的图像弯曲时开口向下，此
时我们称曲线是凸的.
在区间(b,c)内，函数 y f (x)的图像弯曲时开口向上，此
时我们称曲线是凹的.
如下图所示，在曲线 y f (x)上任取一点 P ，过点 P 作曲线
（6）求出拐点的坐标.
例 1 判定曲线 y x4 4x3的凹凸性并求其拐点. 解 函数的定义域为(,)；
y 4 x3 12 x2 , y 12 x2 24 x ；
令 y 0 得函数二阶驻点为 x1 0, x2 2 ；
x (,0) 0
(0,2)
2
y
+
0
-
0
y
拐点
拐点
(2, )
+
函数的拐点为 (0,0)与(2,16).
的切线.
y f (x) P
从图像可以看出：在区间 I 内，若曲线 y f (x)是凸的，则 曲线上每一点的切线均位于曲线的上方；若曲线 y f (x)是凹
的，则曲线上每一点的切线均位于曲线的下方.
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
简明微积分曲线凹凸与拐点
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
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例2 求曲线 f(x)x44x32x5的凹凸区间及拐点． 解 (1) 函数的定义域为 (,)
f(x)4x31x 2 22 f(x ) 1x 2 2 2x 4 1x (2 x 2 )
(2) 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 0 ,x 2 2 (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:
从而有 06a2b 即
L L ( 1 )
3 a b 0
(1)式和(2)式联立解得:
a3,b 9 22
L L ( 2 )
3、小结
曲线凹凸性的判定方法：几何法、代数法 曲线拐点的求法
▪弦在弧下方 ▪切线在曲线上方
f
x1
2
x2
f (x1) 2
f (x2 )
f (x) 0
凹
凸
凹
凸
▪弦在弧上方 ▪切线在曲线下方
在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸 性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?
2.曲线凹凸性的判定
y
yf(x) B
A
上图可见：
oa
bx
ห้องสมุดไป่ตู้
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0
yf(x)
y
B
A oa
bx
上图可见：
凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
定理2.12 设函数y = f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数 存在
据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:
(1)求函数y=f(x)的定义域;
(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“ (x)不存在 的点；
(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.
曲线 在[0, )为凹的；
注意到： 点(0,0)是曲线由凸变凹的分 点.界
定义2.7 连续曲线y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点. 曲 线 yx3 的 拐 点 (0,0是 )
注意：拐点一定在曲线上。
函数凹凸性
凹凸区间
凹凸区间分界点（拐点）
怎样判断曲线的拐点呢？
前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0 凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
第四节 导数的应用
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
B
A
y
yf(x)
A
B
o
x
o
x
１.曲线凹凸性的定义
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切
线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲 线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f(x)0的点f或 (x)不存在的
一但 定反 成向 立不
例如 f(x)x4
4
例如 f (x)x3
总，之 曲y线 f(x)的 拐 点f(一 x)0 定 的是 点 或 f(x)不 存 在 ，但的 f(x)点 0的 点 f(x 或 )不 存
的 点 不y 一 f(x)定 的是 拐 点
x f"(x) f (x)
(-∞,0) ＋
凹
0 (0,2) 2
(2, +∞)
0
－
0
＋
拐点 (０，–５)
凸
拐点 （2，–17）
凹
， 例3 已( 1 ,知 3 )为 y a 点 3 x b2 的 x 求 拐 a 和 b 的 点值
解 因为拐点一定在曲线上，所以
3 a b
y3ax22bx y6ax 2b
f
x1
2
x2
f (x1) 2
f (x2 )
f (x) 0
(1)若在(a,b)内 f (x) > 0 ,则曲线 y = f (x) 在区间(a,b) 内是凹的；
(2)若在(a,b)内 f (x)< 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b) 内是凸的。
例1 判断曲 y线 x3的凹凸 . 性
解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0,
曲线 在( ,0]为凸的； 当x0时， y 0,