课题研究数学家和函数32页PPT
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《函数》PPT课件
函数连续性判断方法
01
02
03
定义法
根据函数在某点连续的定 义，判断函数在该点是否 连续。
极限法
通过计算函数在某点的左 右极限，判断函数在该点 是否连续。
定理法
利用连续函数的性质定理 ，如介值定理、零点定理 等，判断函数的连续性。
闭区间上连续函数性质
01
有界性
闭区间上的连续函数一定有界 。
02
最大值和最小值定理
切线斜率，反映了函数在 该点的局部变化性质。
可导与连续的关系
可导必连续，连续不一定 可导。
基本初等函数求导公式汇总
幂函数
y = x^n（n为实数 ），其导数为 nx^(n-1)。
对数函数
y = log_a x（a>0 且a≠1），其导数 为1/(xlna)。
常数函数
y = c（c为常数） ，其导数为0。
闭区间上的连续函数一定存在 最大值和最小值。
03
介值定理
如果函数在闭区间的两个端点 取值异号，则函数在该区间内
至少存在一个零点。
04
一致连续性
闭区间上的连续函数具有一致 连续性。
04
导数与微分学基础
导数概念及几何意义
导数定义
函数在某一点的变化率， 是函数值随自变量增量变 化的极限。
导数的几何意义
体积计算
运用定积分或重积分求解立体（如由曲面和平面围成的立体）的 体积，需熟悉体积公式及积分方法。
微分方程简介及在物理问题中应用
微分方程基本概念
介绍微分方程的定义、分类及解的概念，为后续应用打下基础。
一阶常微分方程求解
掌握一阶常微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等。
《函数》数学PPT课件
经济领域中常见问题建模为函数关系
供需关系
在经济学中，供给和需求是两个重要的概念，它们之间的 关系可以用函数来表示。供给函数和需求函数的交点即为 市场均衡点。
生产成本与产量的关系
在制造业中，生产成本通常与产量有关。随着产量的增加 ，单位产品的成本可能会降低，这可以通过一个递减的函 数来表示。
投资回报与风险的关系
生活中常见问题建模为函数关系
路程、速度和时间的关系
s = vt，其中s是路程，v是速度，t是 时间。这是一个典型的线性函数关系 。
温度随时间的变化
在一天中，气温随时间变化而变化， 可以建立一个以时间为自变量、气温 为因变量的函数关系。
购物总价与数量的关系
总价 = 单价 × 数量。这也是一个线 性函数关系，可以通过函数图像来表 示。
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数 的定义域、值域及基本性 质。
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的 图像及其特点，如周期性 、振幅、相位等。
三角函数关系
同角三角函数关系式，如 平方关系、倒数关系、商 数关系等。
三角函数诱导公式和周期性质
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等 变换，得到三角函数的诱导公式
当a>0时，二次函数有最小值，无最大值；当a<0时， 二次函数有最大值，无最小值
在实际问题中，可以通过二次函数的最值来解决最优化 问题
03
指数函数与对数函数
指数函数图像与性质
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
指数函数图像
当a>1时，图像在x轴上方，且随 着x的增大而增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着x的增大而 减小。
初中数学《函数》优质课ppt北师大版7
，sin )?
33
如何在直角坐标系中如何作点（
，sin
)?
33
y
P
( 3 , sin 3 )
3
o1 M AO
2
x
3
3
探究一：如何画出比较精确的函数
y =sinx, x[0,2]的图象？ y
2 3
2
3
1
5 6
. .
7
.o1 .
6
..
A
o
1 1
6
32
. 7 6
4 3
3 2
5 3
1 1 6
2
2 5
2
1
o
2
3
2
2 x
函数y=1+sinx, x∈[0, 2π]与函数 y=sinx,
x∈[0, 2π]的图象之间有何联系？ y=1+sinx, x∈[0, 2π]
2y
1
o
2
3
2
2 x
解：（2）按五个关键点列表
x cosx -cosx
0
2
1 0 -1
-1 0 1
3 2
2
01
0 -1
y
1
y= -cosx x[0,2]
1
4 3 2
o
1
2
3 4 x
试一试：你能得到函数y =sinx, x[-2,0]的图象吗？
那么，函数y =sinx, x[-4,-2]的图象呢?
利用诱导公式一：sin(x+2k)=sinx, kZ
只要将函数y=sinx, x[0,2]的图象向左、右平 行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦 函数y =sinx, x∈R的图象.
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• 函数的基本概念 • 函数的图像 • 一次函数 • 反比例函数 • 三角函数
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关 系。
详细描述
函数是数学中一个基本的概念，它描述了两个变量之间的关 系。在一个函数中，每一个自变量的值都有唯一一个因变量 的值与之对应。这种关系使得我们可以通过自变量的变化来 预测因变量的变化。
02
函数的图像
函数图像的绘制
确定函数表达式
首先需要确定函数的表 达式，包括自变量和因
变量。
确定坐标系
选择适当的坐标系，如 直角坐标系或极坐标系
。
描点
根据函数的表达式，在 坐标系上描出对应的点
。
连线
将描出的点用平滑的曲 线连接起来，形成函数
的图像。
函数图像的变换
01
02
03
04
平移
将函数图像沿x轴或y轴方向 平移一定的距离。
伸缩
将函数图像沿x轴或y轴方向 进行伸缩变换，可以放大或缩
小图像。
翻转
将函数图像沿x轴或y轴方向 进行翻转，可以翻转图像的方
向。
旋转
将函数图像绕原点旋转一定的 角度。
函数图像的应用
解决实际问题
通过函数图像可以直观地分析 实际问题中变量之间的关系，
从而解决问题。
比较函数性质
通过比较不同函数的图像，可 以直观地了解函数的性质，如 增减性、极值等。
函数的表示方法
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。
详细描述
函数的表示方法有多种，其中最常见的是解析法，即用数学表达式来表示函数。此外，我们还可以使用表格法和 图象法来表示函数。表格法是通过列出一系列自变量和因变量的对应值来展示函数关系；图象法则是在坐标系中 画出函数的图形，通过图形来直观地展示函数的变化趋势和规律。
• 函数的基本概念 • 函数的图像 • 一次函数 • 反比例函数 • 三角函数
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关 系。
详细描述
函数是数学中一个基本的概念，它描述了两个变量之间的关 系。在一个函数中，每一个自变量的值都有唯一一个因变量 的值与之对应。这种关系使得我们可以通过自变量的变化来 预测因变量的变化。
02
函数的图像
函数图像的绘制
确定函数表达式
首先需要确定函数的表 达式，包括自变量和因
变量。
确定坐标系
选择适当的坐标系，如 直角坐标系或极坐标系
。
描点
根据函数的表达式，在 坐标系上描出对应的点
。
连线
将描出的点用平滑的曲 线连接起来，形成函数
的图像。
函数图像的变换
01
02
03
04
平移
将函数图像沿x轴或y轴方向 平移一定的距离。
伸缩
将函数图像沿x轴或y轴方向 进行伸缩变换，可以放大或缩
小图像。
翻转
将函数图像沿x轴或y轴方向 进行翻转，可以翻转图像的方
向。
旋转
将函数图像绕原点旋转一定的 角度。
函数图像的应用
解决实际问题
通过函数图像可以直观地分析 实际问题中变量之间的关系，
从而解决问题。
比较函数性质
通过比较不同函数的图像，可 以直观地了解函数的性质，如 增减性、极值等。
函数的表示方法
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。
详细描述
函数的表示方法有多种，其中最常见的是解析法，即用数学表达式来表示函数。此外，我们还可以使用表格法和 图象法来表示函数。表格法是通过列出一系列自变量和因变量的对应值来展示函数关系；图象法则是在坐标系中 画出函数的图形，通过图形来直观地展示函数的变化趋势和规律。
初中数学函数教案ppt课件ppt课件
详细描述
详细描述
二次函数的图像是一个完整的抛物线，它 有一个顶点，可以通过配方法或顶点式来 表示。
二次函数的图像在平面坐标系中是一个连 续的曲线，它可以出现在第一、第二或第 三象限。
二次函数的性质
总结词
掌握二次函数的性质
详细描述
详细描述
详细描述
二次函数的最值性质：当 $a>0$时，二次函数有最小值 ；当$a<0$时，二次函数有最 大值。最小值或最大值出现在 顶点处。
一次函数的值域：根 据k和b的值确定。
一次函数的定义域： 全体实数。
一次函数的图像
图像是一条直线，通过坐标系 上的两个点确定。
当k>0时，图像为上升直线； 当k<0时，图像为下降直线。
b值决定了直线在y轴上的截距 ，b>0时，截距为b；b<0时， 截距为-b。
一次函数的性质
01
02
03
斜率
表示函数图像的倾斜程度 ，k值越大，图像越陡峭 。
详细描述
正比例函数具有对称性，其图像关于原点对称。此外，正比 例函数还具有单调性，当 k > 0 时，函数在两个象限内单调 递增；当 k < 0 时，函数在两个象限内单调递减。
05
二次函数
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义
详细描述
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a$、$b$、$c$是常数，且 $a neq 0$。
反比例函数的图像
总结词
直观、形象
详细描述
反比例函数的图像是双曲线，当 k > 0 时，图像为两个分支，分别位于第一象限 和第三象限；当 k < 0 时，图像为两个分支，分别位于第二象限和第四象限。
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微分的概念
3 微分是函数在某一点处的
线性逼近，表示函数值随 自变量微小变化时的近似 值。
Part
04
函数的实际应用
函数在生活中的应用
函数在经济学中的应用
函数可以用来描写经济活动中的各种关系，例如供需关系 、消费和收入的关系等，帮助我们理解经济规律和猜测未 来的趋势。
函数在计算机科学中的应用
计算机程序中的算法和数据结构可以用函数来表示和实现 ，函数是计算机科学中实现复杂功能的基础。
通过分析函数图像的对称性、极值点、单 调性等性质，可以解析出函数的性质。
利用图像解方程
利用图像研究实际问题
通过视察函数图像与x轴的交点，可以解出 函数的方程根。
通过将实际问题转化为数学模型，并利用 函数图像进行分析，可以解决一些实际问 题。
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函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴 方向平移一定的距离。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴 方向上伸缩一定的比例
。
翻转变换
将函数图像沿x轴或y轴 翻折。
旋转变换
将函数图像绕原点旋转 一定的角度。
函数图像的辨认与解析
辨认函数类型
ห้องสมุดไป่ตู้
解析函数性质
通过视察函数图像的形状、趋势和特征， 可以辨认出函数的类型（如一次函数、二 次函数、三角函数等）。
复合函数的单调性
根据复合函数的单调性定理，判 断复合函数的单调性。
函数的导数与微分
导数的概念
导数描写了函数在某一点
1
处的切线斜率，是函数值
随自变量变化的瞬时速度
。
微分的计算
4
通过微分的定义和基本初 等函数的微分公式，计算 函数的微分。
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06
函数的应用
生活中的函数应用
总结词：无处不在
详细描述：函数在日常生活中有着广泛的应用，如计算银行利息、预测天气变化 、分析市场趋势等。通过生活中的实例，学生可以更好地理解函数的概念和意义 。
数学中的函数应用
总结词：基础工具
详细描述：在数学领域，函数是解决各种问题的基础工具。例如，在几何学中，函数可以描述图形之间的关系；在统计学中 ，函数可以用来分析数据和预测趋势。
三角函数的性质和应用
三角函数的性质
三角函数具有周期性、对称性和有界性等性质。这些性质使 得三角函数在解决实际问题时具有广泛的应用。
三角函数的应用
三角函数在物理学、工程学、经济学等领域都有应用。例如 ，在物理学中，三角函数用于描述振动、波动和交流电等现 象；在工程学中，三角函数用于计算角度、长度和面积等。
05
反比例函数和三角函数
反比例函数的定义和图像
反比例函数的定义
反比例函数是一种函数，其函数形式 为f(x)=k/x，其中k是常数且k≠0。 当x取正数时，f(x)为正数；当x取负 数时，f(x)也为负数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像通常在坐标系中表 现为双曲线。当k>0时，图像位于第 一和第三象限；当k<0时，图像位于 第二和第四象限。
二次函数的性质和应用
总结词
二次函数的性质及其在实际问题中的应用。
详细描述
二次函数具有对称性、开口方向、顶点和与坐标轴交点等性质。在实际问题中，二次函数可以用于解决最优化问 题、建模和预测等。例如，在物理学中，二次函数可以用于描述自由落体运动、振动等现象。在经济学中，二次 函数可以用于分析成本、收益和利润等。
b的取值决定了直线在y轴上的 截距，即y轴上的点（0
数学家与函数
数学是门高深的学科，它所涉及到的领域也很广，学好数学可以提高人们的逻辑推理思维能力和形成敏锐的洞察力，在这个世界上，有很多为数学做出贡献的科学家，他们这都是值得我们学习的人。
在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。
纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关。
正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化。
回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的。
最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。
最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如都叫函数。
以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。
1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。
”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。
贝努利所强调的是函数要用公式来表示。
后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上。
只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准。
1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。
由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。
他认为：“函数是随意画出的一条曲线。
”当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度。
他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。
1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。
第八节 函数与方程 课件(共31张PPT)
答案：C
2．函数 f(x)＝4cos2 x2·cosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为________．
解析：f(x)＝2(1＋cos x)sin x－ 2sin x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋ 1)|，x>－1，函数 f(x)的零点个数即为 函数 y1＝sin 2x(x>－1)与 y2＝|ln(x＋1)|(x>－1)的图象的 交点个数．分别作出两个函数的图象如图所示，可知有两 个交点，则 f(x)有两个零点．
x2－2x，x≤0， 1．已知函数 f(x)＝1＋1x，x>0， 则函数 y＝f(x)＋
3x 的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令 f(x)＋3x＝0，
则xx≤2－02，x＋3x＝0或x1>＋01x，＋3x＝0，
解得 x＝0 或 x＝－1，
所以函数 y＝f(x)＋3x 的零点个数是 2.
的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1<a<1 D．0≤a<1 解析：令 f(x)＝2ax2－x－1， ①当 a＝0 时，－x－1＝0，x＝－1 不合适． ②a≠0 时，f(0)·f(1)<0，a>1.验证若 f(0)＝0，此式不成立； 当 f(1)＝0 时，2a－1－1＝0.
a＝1，方程另一根为－12(不合题意)，故 a>1，选 B. 答案：B
考点 2 判断函数零点个数
[例 1] (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数
为( )
A．3
B．2
C．7
D．0
(2)已知函数 y＝f(x)是周期为 2 的周期函数，且当 x∈
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数学家们也感慨：“没有什么比大数的运算更 让数学工作者头痛，更阻碍计算者了，这不仅 浪费时间，而且容易出错。”
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16 2564?096
256 40 91?0648576
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小结
1.对数的发明及实际背景 2.对数的定义 3.指数与对数相互转化 4.常用对数和自然对数 5.对数的性质
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作业
1.教材64页练习1，2，3，4. 2.练习册：65页A组题. 3.预习下节课内容：对数的运算.
24
25
26
27
y 2x
x
2097152 28
4194304 8388608 16777216 33554432
29
30
31
67108864 32
13421772 8
y 2x
268435456 536870912 1073741824 2147483648 4294967296
那么16，从2特56殊到4一09般6 ，参照上4表0， 我93们62 该如7 何6?8
底数
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H.布里格斯 （Briggs,Henry,1561.21630.1.26）英国数学家。
布里格斯的主要贡献是改进了 约翰·纳皮尔发明的对数运算，是最 早认识对数重要价值的科学家。
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《函数》PPT课件
设每个图案的棋子总数为 S.
n2 n3
s4 s8
n4
s 12
n5
s 16
图中棋子的排列有什么规律? S与 n 之间能用 函数解析式表示吗?自变量的取值范围是什么?
问题征答
某中学要在校园内划出一块面积是100平方米 的矩形土地作花圃，设这个矩形的相邻两边的长分 别为x(米)和y(米)。
1.写出y关于x的函数表达式。 2.你能说出自变量的取值范围吗？
用解析法表示函数的基本问题：
1、求函数解析式，即建立函数模型； 2、求函数的自变量的取值范围； 3、已知自变量的值，求相应的函数值； 4、已知函数值，求相应自变量的值. 5、重要数学思想与方法：转化、建模、函数.
20.4 函数的初步应用
导
1．在一个变化过程中，数值发生变化的量称为 变量 ， 数值始终保持不变的量称 常量 ．
当 x = 2 呢?
求函数的解析式时，可以先得到函数与自变量之间 的等式，然后解出函数关于自变量的函数解析式
求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑：
①代数式要有意义
②符合实际
函数的三类基本问题：
①求解析式 ②求自变量的取值范围
③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值 求相应的自变量的值
游泳池应定期换水. 某游泳池在一次换水前 存水936立方米,换水时打开排水孔, 以每时312立方 米的速度将水放出.设放水时间为t时,游泳池内的存 水量为Q立方米.
展
等腰三角形的周长为12cm，设其底边长 为ycm，腰长为xcm. （1）写出y与x的函数关系式，
并指出自变量x的取值范围； （2）画出这个函数的图像.
展 用水收费标准：不超过6m³时，水费按照a元/m³； 不超过6m³时，不超过的部分仍按a元/m³收费， 超过的部分按c元/m³（c>a）收费. 该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如下表：
n2 n3
s4 s8
n4
s 12
n5
s 16
图中棋子的排列有什么规律? S与 n 之间能用 函数解析式表示吗?自变量的取值范围是什么?
问题征答
某中学要在校园内划出一块面积是100平方米 的矩形土地作花圃，设这个矩形的相邻两边的长分 别为x(米)和y(米)。
1.写出y关于x的函数表达式。 2.你能说出自变量的取值范围吗？
用解析法表示函数的基本问题：
1、求函数解析式，即建立函数模型； 2、求函数的自变量的取值范围； 3、已知自变量的值，求相应的函数值； 4、已知函数值，求相应自变量的值. 5、重要数学思想与方法：转化、建模、函数.
20.4 函数的初步应用
导
1．在一个变化过程中，数值发生变化的量称为 变量 ， 数值始终保持不变的量称 常量 ．
当 x = 2 呢?
求函数的解析式时，可以先得到函数与自变量之间 的等式，然后解出函数关于自变量的函数解析式
求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑：
①代数式要有意义
②符合实际
函数的三类基本问题：
①求解析式 ②求自变量的取值范围
③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值 求相应的自变量的值
游泳池应定期换水. 某游泳池在一次换水前 存水936立方米,换水时打开排水孔, 以每时312立方 米的速度将水放出.设放水时间为t时,游泳池内的存 水量为Q立方米.
展
等腰三角形的周长为12cm，设其底边长 为ycm，腰长为xcm. （1）写出y与x的函数关系式，
并指出自变量x的取值范围； （2）画出这个函数的图像.
展 用水收费标准：不超过6m³时，水费按照a元/m³； 不超过6m³时，不超过的部分仍按a元/m³收费， 超过的部分按c元/m³（c>a）收费. 该市小明家今年3月份和4月份的用水量、水费如下表：
课题研究：数学家与函数
实验中学2013届八班数学研究性课题
• 组长： • 副组长： • 图片收集： • 文字收集： • 感受总结： • 修改：
课题研究：数学家与函数
什么是函数：
中国数学家： 祖冲之 李善兰 华罗庚
外国数学家： 笛卡尔 莱布尼茨 欧拉 柯西 狄利克雷
目录contents
函数之美：
叶形线 箕舌线 双纽线 李萨茹曲线 蔷薇线 阿基米德线 耐克线 星形线 其他
张岩、张宇翔的感受：
现实世界是数学的丰富源泉,数学源于生活、寓于生活、用于生 活。数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之 巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描 述。这次活动，让我们体会到了数学的魅力。并深深爱上了这门伟大 的学科。
我们的看法：人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
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课题研究：数学家与函数
狄利克雷
德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析 数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格 丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学， 深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军 事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年 任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
我们的看法：治学严谨的数学家，科学成就斐然。在美国过着优越的生 活，但是心系祖国，新中国成立后，他毅然抛弃优厚的待遇回国支援国家建 设，并带动起一批海外人才的归国热潮，是当代知识分子的榜样。
课题研究：数学家与函数
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笛卡尔
笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡 儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头 脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于 1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成 就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方 法之一。笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其 发展方向。他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来， 通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到 了一起，数轴是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一 次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的 基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几 何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示， 于是代数和几何就这样合为一家人了。
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课题研究：数学家与函数
什么是函数：
中国数学家： 祖冲之 李善兰 华罗庚
外国数学家： 笛卡尔 莱布尼茨 欧拉 柯西 狄利克雷
目录contents
函数之美：
叶形线 箕舌线 双纽线 李萨茹曲线 蔷薇线 阿基米德线 耐克线 星形线 其他
张岩、张宇翔的感受：
现实世界是数学的丰富源泉,数学源于生活、寓于生活、用于生 活。数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之 巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学。这是对数学与生活的精彩描 述。这次活动，让我们体会到了数学的魅力。并深深爱上了这门伟大 的学科。
我们的看法：人总是要死的，但是，他们的功绩永存。
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课题研究：数学家与函数
狄利克雷
德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析 数论的创始人之一。1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于格 丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学， 深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军 事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年 任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。
我们的看法：治学严谨的数学家，科学成就斐然。在美国过着优越的生 活，但是心系祖国，新中国成立后，他毅然抛弃优厚的待遇回国支援国家建 设，并带动起一批海外人才的归国热潮，是当代知识分子的榜样。
课题研究：数学家与函数
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笛卡尔
笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡 儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头 脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于 1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成 就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方 法之一。笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其 发展方向。他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来， 通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到 了一起，数轴是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一 次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的 基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几 何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示， 于是代数和几何就这样合为一家人了。
函数教学 ppt课件ppt课件
总结词
了解函数乘法的几何意义
详细描述
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在相同坐标系下 进行旋转和拉伸。如果一个函数的输入值乘以另一个函数 的输入值，则它们的输出值相乘，对应的点在图像上也会 相应地旋转和拉伸。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念
详细描述
函数的除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输 出值，得到一个新的函数。这个新函数的输入值与原函数 的输入值相同，输出值为两个函数输出值的商。
函数的表示方法
总结词
描述函数的表示方法
详细描述
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。解析法是用数学表达式 来表示函数关系；表格法是用表格列出函数值；图象法则是通过绘制函数图像来 表示函数关系。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。这些性质对于理解和应用函数都非常重要，有助于解决各 种实际问题。
详细描述
函数的加法是指将两个函数的输出值相加，得到一个新的 函数。这个新的函数的输入值与原函数的输入值相同，输 出值为两个函数输出值的和。
总结词
掌握函数加法的运算规则
详细描述
在进行函数加法时，需要确保两个函数的定义域相同，即 输入值范围一致。如果两个函数的定义域不同，则无法进 行加法运算。
总结词
了解函数加法的几何意义
总结词
掌握函数除法的运算规则
详细描述
在进行函数除法时，需要确保除数函数的输出值不为零， 否则会导致除数为零的错误。此外，还需要注意除法的结 合律和交换律。
总结词
了解函数除法的几何意义
详细描述
函数除法的几何意义是将一个函数的图像绕原点进行旋转 和缩放。如果一个函数的输入值除以另一个函数的输入值 ，则它们的输出值相除，对应的点在图像上也会相应地旋 转和缩放。
了解函数乘法的几何意义
详细描述
函数乘法的几何意义是将两个函数的图像在相同坐标系下 进行旋转和拉伸。如果一个函数的输入值乘以另一个函数 的输入值，则它们的输出值相乘，对应的点在图像上也会 相应地旋转和拉伸。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念
详细描述
函数的除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输 出值，得到一个新的函数。这个新函数的输入值与原函数 的输入值相同，输出值为两个函数输出值的商。
函数的表示方法
总结词
描述函数的表示方法
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函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。解析法是用数学表达式 来表示函数关系；表格法是用表格列出函数值；图象法则是通过绘制函数图像来 表示函数关系。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
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函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。这些性质对于理解和应用函数都非常重要，有助于解决各 种实际问题。
详细描述
函数的加法是指将两个函数的输出值相加，得到一个新的 函数。这个新的函数的输入值与原函数的输入值相同，输 出值为两个函数输出值的和。
总结词
掌握函数加法的运算规则
详细描述
在进行函数加法时，需要确保两个函数的定义域相同，即 输入值范围一致。如果两个函数的定义域不同，则无法进 行加法运算。
总结词
了解函数加法的几何意义
总结词
掌握函数除法的运算规则
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在进行函数除法时，需要确保除数函数的输出值不为零， 否则会导致除数为零的错误。此外，还需要注意除法的结 合律和交换律。
总结词
了解函数除法的几何意义
详细描述
函数除法的几何意义是将一个函数的图像绕原点进行旋转 和缩放。如果一个函数的输入值除以另一个函数的输入值 ，则它们的输出值相除，对应的点在图像上也会相应地旋 转和缩放。
数学家的故事PPT幻灯片
数十年间，华罗庚共发表 了152篇重要的数学论文， 出版了9部数学著作、11本 数学科普著作。他还被选 为科学院的国外院士和第 三9 世界科学家的院士。
名言语录
1.任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是 今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟 早总要离开学校的! 2.自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行 路，还是要靠行路人自己。 3.在寻求真理的长征中，惟有学 习，不断地学习，勤奋地学习， 有创造性地学习，才能越重山， 跨峻岭。 4.时间是由分秒积成的，善于利用 零星时间的人，才会做出更大的成 1绩0 来。
该原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列 利发现，比祖暅晚一千一百多年。
4
3、赵爽
赵爽，数学家。东汉末至三国时代吴国人。约生活于公元3 世纪初。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》， 该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》 该书写了序言，并作了详细注释。该书简明扼要地总结出 中国古代勾股算术的深奥原理。
12
图书馆资料员
1953年（20岁）毕业于厦门 大学。
陈景润为了能直接阅读外国 资料，掌握最新信息，在继 续学习英语的同时，又攻读 了俄语、德语、法语、日语、 意大利语和西班牙语。13稿件Fra bibliotek缘（1956年）
陈景润（1933生）
14
华罗庚（1910生）
伟大成就
1966年33岁攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想” 中的(1+2)。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，被广 泛征引。 1978年45岁获得中国自然科学奖一等奖。 1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作报告 的邀请。 1996年（63岁）逝世。
5
4、华罗庚
华罗庚（1910 -1985），国际数 学大师，中国科学院院士，是中 国解析数论、矩阵几何学、典型 群、自安函数论等多方面研究的 创始人和开拓者。他为中国数学 的发展作出了无与伦比的贡献。 被誉为“中国现代数学之父”， “被列为芝加哥科学技术博物馆 中当今世界88位数学伟人之一。 美国著名数学史家贝特曼著文称： “华罗庚是中国的爱因斯坦，足 6够成为全世界所有著名科学院的
名言语录
1.任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是 今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟 早总要离开学校的! 2.自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行 路，还是要靠行路人自己。 3.在寻求真理的长征中，惟有学 习，不断地学习，勤奋地学习， 有创造性地学习，才能越重山， 跨峻岭。 4.时间是由分秒积成的，善于利用 零星时间的人，才会做出更大的成 1绩0 来。
该原理在西方直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列 利发现，比祖暅晚一千一百多年。
4
3、赵爽
赵爽，数学家。东汉末至三国时代吴国人。约生活于公元3 世纪初。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》， 该书是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》 该书写了序言，并作了详细注释。该书简明扼要地总结出 中国古代勾股算术的深奥原理。
12
图书馆资料员
1953年（20岁）毕业于厦门 大学。
陈景润为了能直接阅读外国 资料，掌握最新信息，在继 续学习英语的同时，又攻读 了俄语、德语、法语、日语、 意大利语和西班牙语。13稿件Fra bibliotek缘（1956年）
陈景润（1933生）
14
华罗庚（1910生）
伟大成就
1966年33岁攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想” 中的(1+2)。这一结果国际上誉为“陈氏定理”，被广 泛征引。 1978年45岁获得中国自然科学奖一等奖。 1978年和1982年两次收到国际数学家大会请他作报告 的邀请。 1996年（63岁）逝世。
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4、华罗庚
华罗庚（1910 -1985），国际数 学大师，中国科学院院士，是中 国解析数论、矩阵几何学、典型 群、自安函数论等多方面研究的 创始人和开拓者。他为中国数学 的发展作出了无与伦比的贡献。 被誉为“中国现代数学之父”， “被列为芝加哥科学技术博物馆 中当今世界88位数学伟人之一。 美国著名数学史家贝特曼著文称： “华罗庚是中国的爱因斯坦，足 6够成为全世界所有著名科学院的
数学家与函数
实验中学2013届8班研究性课题活动 届 班研究性课题活动 实验中学
实验中学2013届八班数学研究性课题
• • • • • • 组长：张岩 副组长：张宇翔 图片收集：张龄予、买云婷 文字收集：沈志明、罗大伟 感受总结：李佳奇 修改：陈濮
目录contents
什么是函数： 中国数学家： 祖冲之 李善兰 华罗庚 外国数学家： 笛卡尔 莱布尼茨 欧拉 柯西 狄利克雷 函数之美： 叶形线 箕舌线 双纽线 李萨茹曲线 蔷薇线 阿基米德线 耐克线 星形线 其他 函数之美的调查： 老师的评价： 大家的感受： 张岩 张宇翔 买云婷 张龄予 沈志明 罗大伟 李佳奇 陈濮 总的感受
其别名很多， 其别名很多，如玫瑰曲线等
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祖冲之
他写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代 国子监算数课本，可惜后来失传了。《隋书·律厉志》留下一小段关 于圆周率（π）的记载，祖冲之算出π的真值在3.1415926和 3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，成为 当时世界上最先进的成就。祖冲之入选中国世界记录协会世界第一位 将圆周率值计算到小数第7位的科学家，创造了中国纪协世界之最。 这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。 祖冲之还给出π 的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确 到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。祖 冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算 问题，得到正确的球体积公式。 我们的看法：祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家，而且在世 界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”，是世界闻名 的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家，珍视他们的宝贵遗产。 返回目录
李善兰
实验中学2013届八班数学研究性课题
• • • • • • 组长：张岩 副组长：张宇翔 图片收集：张龄予、买云婷 文字收集：沈志明、罗大伟 感受总结：李佳奇 修改：陈濮
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什么是函数： 中国数学家： 祖冲之 李善兰 华罗庚 外国数学家： 笛卡尔 莱布尼茨 欧拉 柯西 狄利克雷 函数之美： 叶形线 箕舌线 双纽线 李萨茹曲线 蔷薇线 阿基米德线 耐克线 星形线 其他 函数之美的调查： 老师的评价： 大家的感受： 张岩 张宇翔 买云婷 张龄予 沈志明 罗大伟 李佳奇 陈濮 总的感受
其别名很多， 其别名很多，如玫瑰曲线等
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祖冲之
他写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代 国子监算数课本，可惜后来失传了。《隋书·律厉志》留下一小段关 于圆周率（π）的记载，祖冲之算出π的真值在3.1415926和 3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，成为 当时世界上最先进的成就。祖冲之入选中国世界记录协会世界第一位 将圆周率值计算到小数第7位的科学家，创造了中国纪协世界之最。 这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。 祖冲之还给出π 的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确 到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。祖 冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算 问题，得到正确的球体积公式。 我们的看法：祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家，而且在世 界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”，是世界闻名 的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家，珍视他们的宝贵遗产。 返回目录
李善兰
幂函数的和函数课题研究ppt
• 上面是对六种求和函数的方法分别介绍的， 但不是说对于任何一题只要使用其中的一 种方法就可以得出结果，有时候会碰到稍 微复杂的题目，这时可能使用以上任何一 种方法都不能得出结果，而是要综合使用 其中的两种、三种甚至四种方法才可以顺 利解答
四、无穷级数的应用
• 1、近似计算：如计算圆周率、圆的面积。 • 2、医学领域：如药物在体内的残留量。 （几何级数） • 3、工程领域：如在《电工学》、《电工电 子技术》中研究非正弦周期电流电路中电 压电流波的分解。（傅里叶级数） • 4、经济领域：如在债券理论中研究收益率 对价格的影响（泰勒级数）。 • 5、天文领域：（发散级数）
1
;
3）当 =+时，r=0.
缺项幂级数收敛半径的求法
• 法一： • 将原幂级数看成常数项级 数，采用达朗贝尔比值判 别法来求半径。 • 法二： • 作变量变换，将原幂级数 变换成变成标准型幂级数， 再采用达朗贝尔比值判别 法。 • 法四： • 有些级数可以直接求和， 利用和函数的奇点来确定 幂级数的收敛半径。
五、小结
• 1、通过对无穷级数背景的查阅知道了无穷 级数是解决什么实际问题的。 • 2、通过对无穷级数知识点的总结复习基本 掌握了无穷级数的解题思路与方法 • 3、通过对无穷级数实际应用的查阅基本明 白了无穷级数在实际生活中的重要性。 • 4、通过对求幂级数和函数的方法的深入了 解，基本掌握了幂级数和函数的求法。
六种求和函数方法的特点
• 5、微分方程法：所求幂级数的一般项中通常含有阶乘因 子，使用之前先对原来的和函数做一定的变形，求其一阶 导数、必要时还要求其二阶导数、三阶导数，将所得结果 与原来和函数联列。如果容易得到一个微分方程，那么就 可以转化为求解此微分方程的初值问题解：容易求出初值 解，则此解为要求的幂级数的和函数；若不易求初值解， 此法就不再适用。 • 6、柯西方法：这种方法的适用条件比较明显。只要所求 级数的通项可以表示为另外两个级数前 n 项相应乘积之和， 且这两个级数的和函数容易求得，那么就可以使用柯西方 法将已求得的两个和函数相乘而得到所求幂级数的和函数。