求轨迹方程知识点梳理

知识点梳理

轨迹方程

动点的轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。

1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；

3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

巩固练习

已知直线l：y=kx+1与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1相交于A，B两点．

(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；

(2)若O为坐标原点，S(k)表示△OAB的面积，，求f(k)的最大值．

解：（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），

∵MN与MC所在直线垂直，∴，（x≠0且x≠2），

当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，

∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y+3=0，．（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵S△OAB=S△ONB-S△ONA，且|ON|=1，∴

将y=kx+1代入方程（x-2）2+（y-3）2=1得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，

∵，

∴4S△OAB2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1•x2=，

∴=，（10分）

∵由，∴，∵△＞0得，

∴时，f（k）的最大值为．（14分）

已知圆C：x2+(y-1)2=5，直线l：mx-y+2-m=0

(1)求证：不论m取何实数，直线与圆总有两个不同的交点；

(2)求弦AB中点M的轨迹方程．

解：（1）直线lmx-y+2-m=0即m（x-1）-（y-2）=0

过定点P（1，2），且12+（2-1）2＜5，点P在圆C内，

故直线l与圆C必有两个交点．（4分）

（2）设M（x，y），则有CM⊥AB，

∴，（x，y-1）•（x-1，y-2）=0，

即∴x2+y2-x-3y+2=0，即为点M的轨迹方程．（8分）

已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4，

(1)直线l1过定点A (1，0)．若l1与圆C相切，求l1的方程；

(2)直线l2过B(2，3)与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．