第13讲 最小方差调节器和自校正调节器

y(k+d/k)统计无关且期望值为零
1 最小方差调节器(4/6)
当P=1,j=d时,由第十三讲中的定理1可知,输出y(k)的d步最 优预报和最优预报误差分别为 y(k+d/k)=[Gy(k)+BFu(k)]/C (5) y~(k+d/k)=Fw(k+d) 故,系统的最小方差调节律为 u(k)=-[G/(BF)]y(k) 此时,最小方差调节误差为 y(k)=y~(k/k-d)=Fw(k)=w(k)+f1w(k-1)+...+fd-1w(k-d+1) (6)
自适应控制篇目录(2/2)
自适应控制篇(续)
第19讲 模型参考自适应系统的数学模型表示 第20讲 基于李氏稳定性理论的状态空间模型参考自适应控制 第21讲 基于李氏稳定性理论的输入输出方程模型参考自适应 控制 第22讲 基于Popov稳定性理论的状态空间模型参考自适应控 制 第23讲 神经网络自适应控制
(10)
3 STR(3/7)
式中y(k+d/k)为如下最优预报 y(k+d/k)=Gy(k)+BFu(k)
(11)
当被控系统的参数,即多项式A(z-1)和B(z-1)的系数未知时, 则可根据(10)式的形式设定一个与k时刻系统输入u(k)和输 出y(k)统计独立的随机扰动 (k)=F(z-1)w(k). 因此,由(10)式和(11)式,有如下预报模型 y(k+d)=G(z-1)y(k)+(z-1)u(k)+(k+d) 其中 (z-1)=B(z-1)F(z-1)=0+1z-1+...+ β nβ z nβ, n=nb+d-1 (13) (14)
2 最小方差调节系统的闭环稳定性质(2/4)
因此,当B为稳定多项式时,上式中分子和分母中的多项式 B可以对消,于是利用恒等式(8)可得 y(k)=Fw(k) (9)
2 最小方差调节系统的闭环稳定性质(3/4)
不难看出,最小方差调节系统的实质,就是利用调节器(2)的极 点去对消被控系统的零点. 实际上,由于 存在建模误差使得系统模型的极点并不完全与实际 系统的极点相等(即存在模型误差), 且在控制过程中计算工具和计算方法存在计算误差 (如舍入误差和截断误差)等原因, 要能实现用调节器的极点去精确对消被控系统的零点而不至 于产生不稳定的数值计算,这就要求B(z-1)的全部零点都在 单位圆外,即要求系统具有逆稳定的性质.
这时,这种调节律就是渐近最优的了.
欲讨论参数未知时能调节系统输出方差至最小的STR,需先引 入参数已知时调节系统输出方差最小的最小方差调节器.
第十二讲 最小方差调节器和STR(3/3)
最小方差调节的基本思想是: 由于系统称中信道存在着d步时滞,这就使得当前的控制作 用u(k)要到d个采样周期后才能对输出产生影响. 因此,要获得输出方差最小,就必须对输出量提前d步进行 预报,然后根据预报值来计算适当的调节作用u(k). 这样,通过不断的预报和调节,就能始终保持输出量的稳态 方差为最小. 下面,我们将顺序讨论:
一、 渐消记忆ELS法
ˆ (k ) θ ˆ (k - 1) K (k - 1)[ y (k ) -β ˆ (k - 1)] ˆ 0u (k - d ) -φ τ (k - d )θ θ 1 P(k - 1) [I - K (k - 1)φ τ (k - d )]P(k - 2), P(-1) 2 I λ P(k - 2)φ (k - d ) K (k - 1) λ φ τ (k - d )P(k - 2)φ (k - d ) (16) (17) (18)
那么,在最优指标函数
J=E{[y(k+d)]2} 下,其最小方差调节律和最小方差调节误差分别为 (1)
u(k)=-[G/(BF)]y(k)
y(k)=Fw(k)=w(k)+f1w(k-1)+...+fd-1w(k-d+1) 其中F和G满足当P(z-1)=1时的丢番图方程,即
(2)
(3)
C=AF+z-dG
3 STR(1/7)
3 自校正调节器(STR)
前面我们讨论了被控系统在参数已知时的随机离散系统的最 小方差调节规律,而STR主要解决被控系统参数未知或慢时变 时的最小方差调节问题. 对STR问题,与自适应预报类似,亦有直接法和间接法. 所谓间接法,即在每一控制(采样)周期先系统模型,然 后基于实时辨识模型求解丢番图方程,计算最小方差 调节律及相应的在线控制量.
第十二讲 最小方差调节器和STR(2/3)
STR是以RLS参数估计方法在线估计最优预报模型,并在此基 础上以输出方差最小为调节指标的一种可以适应参数未知或 慢时变的自适应控制系统. 当被估计参数收敛时,则根据估计参数而推得的输出方差 最小调节律将收敛于被控系统参数已知时的输出方差最 小调节律.
0
n u (k n )]
1 最小方差调节器(6/6)
例1 求解被控系统 (1-0.9z-1)y(k)=0.5u(k-2)+(1+0.7z-1)w(k) 的最小方差调节律. 解 该算例与第十二讲中的算例为同一被控系统. 因此 , 由定理 1 和第十一讲中求出的输出 y(k) 的 2 步最优预 报式,可得如下最小方差调节律 传递函数型控制器
3 STR(4/7)
因此,由定理1可得如下最小方差调节律 u(k)=-[G/(BF)]y(k) 其中G和F满足如下丢番图方程 1=AF+z-dG 基于预报模型(13),类似于前一讲中讨论的自适应预报,我们可 以递推估计预报模型(13)的未知参数.
3 STR(5/7)
为了保证预报模型(13)在闭环下的参数可辨识性的要求,可以 设定多项式(z-1)的首项系数0为一合理的估计值^0,则由式 (13)可列写出如下自回归方程 y(k+d)-^0u(k)=τ(k)+(k+d) (15) 其中
1 最小方差调节器(3/6)
证明 设y(k+d/k)和y~(k+d/k)分别为y(k+d)在k时刻的d步最优预 报和最优预报误差. 因此,被控系统输出量的方差为 J=E{[y(k+d)]2}=E{[y(k+d/k)+y~(k+d/k)]2} =E{[y(k+d/k)]2}+E{[y~(k+d/k)]2}+2E{y(k+d/k)y~(k+d/k)} =E{[y(k+d/k)]2}+E{[y~(k+d/k)]2} E{[y~(k+d/k)]2} (4) 要使(4)式所示的输出量的方差为最小,即把上式的不等式 取等式即可.因此,令 y(k+d/k)=0 可求得最优调节律. 最优预报误差y~(k+d/k)与最优预报
1.44 y (k ) u (k ) 0.5 0.8z 1 或在线递推计算型控制器 u(k)=-2.88y(k)-1.6u(k-1)
1 最小方差调节器(7/6)
此时的输出误差的方差为 E{[y(k+2)]2}=E{[Fw(k+2)]2} =E{[(1+1.6z-1)w(k+2)]2} =(1+1.62)2=3.562
第十二讲 最小方差调节器和STR(1/3)
第十二讲 最小方差调节器和自校正调节器
自校正调节器(Self-tuning Regulator, STR)最早是由Astrom和Wittenmark 于 1973 年首先提出来的 , 其结构如 图1所示.
u(k) y(k)
被控系统 控制器
控制器参数计算 (自适应机构) 参数估计器 图 1 自校正控制方法原理
(7)
(证毕).
1 最小方差调节器(5/6)
对于Astrom的最小方差调节器,有两种实现方法: 一为用数字器件实现的传递函数型控制器,如
G( z 1 ) u (k ) y (k ) 1 1 B( z ) F ( z )
另一为可用数字计算机实现的在线递推计算型控制器,如
G ( z 1 ) u (k ) y (k ) 1 (z ) 1 [ g 0 y (k ) ... g ng y (k ng ) 1u (k 1) ...
二、 SA法
ˆ (k ) θ ˆ (k - 1) φ (k - d ) [ y (k ) -β ˆ (k - 1)] (19) ˆ 0u (k - d ) -φτ (k - d )θ θ r (k - 1) r (k - 1) r (k - 2) φτ (k - d )φ (k - d ) r (-1) 0 (20)
自适应控制篇目录(1/2)
自适应控制篇
第10讲 自适应控制概述 第11讲 最优预报和自适应预报 第12讲 最小方差调节器和自校正调节器 第13讲 最小方差控制器与自校正控制器 第14讲 极点配置调节器与极点配置自校正调节器 第15讲 自校正PID调节器 第16讲 多变量自适应控制 第17讲 自适应信号处理与滤波 第18讲 模型参考自适应控制概述
2 最小方差调节系统的闭环稳定性质(1/4)
2 最小方差调节系统的闭环稳定性质
由被控系统模型 Ay(k)=Bu(k-d)+Cw(k) 和最小方差调节律 u(k)=-[G/(BF)]y(k) 可得调节系统的闭环框图如图2所示.
w(k) C A z B + A
-d
u(k) -
+
y(k)
G 由图 2 可以导出最小方差调 BF 节系统的闭环方程 C/A 图2 最小方差调节器系统框图 y (k ) w(k ) d 1 z BG/BFA BFC w(k ) (8) d BFA z BG
1. 被控系统时滞时间d以及时滞算子z-1的多项式A、B和C的 阶次的上界以及系数都已知;
2. 被控系统为逆稳定系统,即多项式B(z-1)的所有零点都在单 位圆外;
1 最小方差调节器(2/6)
3. C(z-1)为稳定多项式,即它的所有零点都在单位圆外; 4. {w(k)}为白色噪声序列,且E{w2(k)}=2.
θ [ g 0 - ... g ng β 1 ... β nβ ]τ φ (k ) [ y (k ) ... y (k - ng ) u (k - 1) ... u (k - nβ )]τ
自回归方程(15)的未知参数向量可由如下带遗忘因子的渐消 记忆ELS法和SA法来估计:
3 STR(6/7)
最小方差调节律、
最小方差调节闭环系统的稳定性问题, STR,以及
最小方差调节与自校正调节的计算机仿真.
1 最小方差调节器(1/6)
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1 最小方差调节器
在最小方差调节器的研究中,所讨论的被控系统的模型为 A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+C(z-1)w(k)
对该系统,有如下关于其最小方差调节律的定理. 定理1 对被控系统 A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-d)+C(z-1)w(k), 假设
2 最小方差调节系统的闭环稳定性质(4/4)
否则,闭环系统内部将隐含有不稳定极点的环节使得闭环 系统在受到外界扰动时不稳定,或由计算机递推计算控制 量u(k)时由于计算误差扩散使得系统的输出y(k)和控制量 u(k)不稳定. 要求被控系统为逆稳定系统,对许多离散化的工程系统达 不到,这就在一定范围内限制了最小方差调节器的应用(对 许多离散化过程,将增加临界不稳定的零点).
所谓直接法,则直接辨识系统的输出预报模型,以避免 在每一控制周期求解丢番图方程和计算最小方差调 节律.
3 STR(2/7)
下面主要介绍STR的直接法. STR的基本思想如图1所示.
下面,将讨论Astrom和Wittenmark最初提出的STR算法.
对被控系统
Ay(k)=Bu(k-d)+Cw(k), Astrom 和 Wittenmark 的 STR 算法考虑的是 C(z-1)=1 时，即系统所 受到的扰动可用白噪声建模的输出调节问题。 因此，系统输出y(k)的最优预报为： y(k+d)=y(k+d/k)+Fw(k+d)