圆锥曲线的综合问题(含答案)

课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量

x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．

若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．

若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题

设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝

1＋k 2|x

1－x 2|或

1＋1

k

2|y 1－y 2|.

【热身练习】

1．(教材习题改编)与椭圆

x 212＋y 2

16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－

x 2

3

＝1

B.

y 2

3

－x 2＝1

C.34x 2－38

y 2＝1 D.

34

y 2－

38

x 2＝1

解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－

x 2

b 2

＝1(a ＞0，b ＞0)，

则⎩⎪⎨⎪⎧

a 2＋

b 2＝

c 2，

c

a ＝2，

c ＝2，

得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－

x 2

3

＝1.

2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4

＝1的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定

解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．

3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．

4．过椭圆x 2a 2＋

y 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交

点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．

解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐

标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝6

3.

5．已知双曲线方程是x 2－y 2

2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2

的中点，则此直线方程是________________．

解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由

x 21－

y 21

2

＝1，x 22－

y 22

2

＝1，得k ＝

y 2－y 1x 2－x 1

＝

2x 2＋x 1y 2＋y 1

＝

2×4

2

＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】

1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．

2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】

[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a

2＋

y 2b

2

＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为2

2

.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程；

(2)当△AMN 的面积为10

3

时，求k 的值．

[自主解答]

(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2，

c a ＝2

2，

a 2

＝b 2

＋c 2

，

解得b ＝

2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k x －1，

x 2

4＋y

2

2

＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.

设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则

y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 2

1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，

所以

|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 1

2

＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝

2

1＋k 2

4＋6k 2

1＋2k 2

.

又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2

，

所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.由|k |4＋6k 21＋2k 2＝10

3，解得k ＝±1.

【由题悟法】

研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．