2018年丰台高三一模文科数学试题及答案

北京市丰台区2018届高三3月综合练习（一模）数学（文）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数21i =+(A) 1i-+(B) 1i--(C) 1i+(D) 1i-(2）已知命题p：∃x <1，21x≤，则p⌝为(A) ∀x ≥1,21x(B)∃x <1,21x(C) ∀x <1,21x (D) ∃x ≥1,21x （3）已知0a b<<，则下列不等式中恒成立的是(A) 11a b>(B) <(C) 22a b>(D) 33a b>（4）已知抛物线C的开口向下，其焦点是双曲线2213yx-=的一个焦点，则C的标准方程为(A) 28y x=(B) 28x y=-(C) 2y=(D) 2x=（5）设不等式组05,05xy≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D，在D中任取一点(,)P x y满足2x y+≥的概率是(A) 1112(B)56(C) 2125(D)2325（6）执行如图所示的程序框图，那么输出的a值是(A)12-(B)1-(C) 2(D)12，否是开始结束?输出a（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 (A) 43(B) 4(C) 83(D)（8）设函数π()sin (4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值是 (A)π2(B)3π4(C)5π4(D) π第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则A B =U ． （10）圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是 ．（11）在△A B C 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． （12）已知点(2,0)A ，(0,1)B ，若点(,)P x y 在线段A B 上，则x y 的最大值为____． （13）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，2()(1)1f x x =--+．①当[1,0]x ∈-时，()f x 的取值范围是____；②当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，x 的取值范围是 ． （14）已知C 是平面A B D 上一点，A B A D ⊥，1C B C D ==．①若3A B A C=，则A B C D ⋅=____；①若A P A B A D =+，则||AP 的最大值为____．三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数()2c o s (sin c o s )1f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]π上的单调递增区间．侧视图俯视图在数列{}n a 和{}n b 中，1=1a ，12n n a a +=+， 13b =，27b =，等比数列{}n c 满足n n n c b a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若6m b a =，求m 的值．（17）（本小题共14分）如图所示，在四棱锥P A B C D -中，平面P A B ⊥平面A B C D ，//A D B C ，=2A D B C ，90D A B A B P ∠=∠=︒． （Ⅰ）求证：A D ⊥平面P A B ； （Ⅱ）求证：A B ⊥P C ；（Ⅲ）若点E 在棱P D 上，且C E ∥平面P A B ，求P E P D的值．某地区工会利用 “健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；（Ⅱ）从当天步数在[11,13)，[13,15)，[15,17)的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；（Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．（19）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的一个焦点为)0,3(F ，点(2,0)A -在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线A D ，A E 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．（20）（本小题共13分）已知函数1()ln ()exf x a x a =+∈R ．（Ⅰ）当1ea =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围．参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）{|23}x x -≤≤ （10） 22(1)2x y -+= （11） 14- （12）12（13）[1,0]-；1,0+-∞（）（1,）U （14）34-；2注：第13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2()2s in c o s 2c o s 1f x x x x =+- ……………………1分sin 2co s 2x x =+ ……………………3分πin (2)4x =+． ……………………5分所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． ……………………6分（Ⅱ）由πππ2π22π242k x k -+≤+≤+()k ∈Z ， ……………………8分得3ππππ88k x k -+≤≤+()k ∈Z ． ……………………10分当[]0,πx ∈时，单调递增区间为π[0,]8和5π[,π]8． ……………………13分（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为12n n a a +-=，且1=1a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列． ……………………2分所以1(n a nn =+-⋅=，即21n a n =-． ……………………4分因为13b =，27b =，且11a =，23a =， ……………………5分所以1=2c b a =-，222=4c b a =-． ……………………7分因为数列{}n c 是等比数列， 所以数列{}n c 的公比212c q c ==， ……………………8分所以111222n n nn c c q--=⋅=⨯=，即2nn c =． ……………………9分（Ⅱ）因为2nn n b a -=，21n a n =-，所以2nn b n =+-． ……………………10分所以6622b =+． ……………………11分令21=75m -， 得=38m ． ……………………13分（17）（本小题共14分） （Ⅰ）证明：因为90D A B ∠=︒，所以A D ⊥AB ． ……………………1分因为平面P A B⊥平面A ， ……………………2分且平面P A B I平面，……………………3分=A B C D A B所以A D⊥平面P A B．……………………4分（Ⅱ）证明：由已知得A D⊥A B因为A D B C∥，所以B C⊥A B．……………………5分又因为90∠=︒，A B P所以P B⊥A B．……………………6分因为I……………………7分P B=所以A B⊥平面P B C……………………8分所以A B⊥P C．……………………9分（Ⅲ）解：过E作E F A D∥交P A于F，连接B F．……………………10分因为A D B C∥，所以E F B C∥．所以E，F，B，C四点共面．Array……………………11分又因为C E∥平面P A B，且C E⊂平面B C E F，且平面B C E F I平面=P A B B F，所以C∥，……………………13分所以四边形B C E F为平行四边形，所以=E F B C．在△P A D 中，因为//E F A D ， 所以1===2P E E F B C P DA DA D， ……………………14分即1=2P E P D．（18）（本小题共13分）解：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[3,5)内的人数为0.022100040⨯⨯=；健步走的步数在[5,7)内的人数为0.032100060⨯⨯=； 健步走的步数在[7,9)内的人数为0.0521000100⨯⨯=； 健步走的步数在[9,11)内的人数为0.0521000100⨯⨯=；4060100100300+++=．所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人． …………………4分（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[11,13)内应抽取3人，记为1a ，2a ，3a ，每人的积分是90分；在[13,15)内应抽取2人，记为1b ，2b ，每人的积分是110分； 在[15,17)内应抽取1人，记为c ，每人的积分是130分； ……………………5分从6人中随机抽取2人，有12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，1a c ，23a a ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共15种方法． (7)分所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有11a b ，12a b ，1a c ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共12种方法． (9)分设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A ，则124()155P A ==． ……………………11分所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为45．（Ⅲ）中位数为373． ……………………13分（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）依题意，c =. ……………………1分点(2,0)A -在椭圆C 上．所以2=a ． ……………………2分所以21b a =-． ……………………3分所以椭圆C的方程为1422=+yx． ……………………4分离心率23==a c e ． ……………………5分（Ⅱ）因为D ，E 两点关于原点对称，所以可设(D mn，(,)E m n --，(2)m ≠± ……………………6分所以1422=+nm ． ……………………7分直线A D ：(2)2n y x m =++．当=x 时，22+=m n y ，所以)22,0(+m n M ． ……………………8分直线A E ：(2)2n y x m -=+-+．当=x 时，22+--=m n y ，所以)22,0(+--m n N ． ……………………9分设以MN 为直径的圆与x 轴交于点0(,0)G x 和0(,0)H x -,（00x >）， 所以，2(,)2nG M xm =-+，02(,)2n G N x m -=--+， ……………………10分所以220244nG M G N x m-⋅=+-．因为点G 在以MN 为直径的圆上， 所以0G MGN⋅=，即2202404nx m-+=-． ……………………12分因为1422=+nm ，即2244m n-=，所以22202244144nm x mm-===--，所以01x =． ……………………13分所以(1,0)G ，(1,0)H -．所以2G H =．所以以MN 为直径的圆被x轴截得的弦长是定值2． ……………………14分 （20）（本小题共13分） 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ……………………1分导函数1e ()eexxx a a x f x x x -'=-+=． ……………………3分（Ⅰ）当1ea =时，因为11(1)0eef '=-+=，1(1)ef =， ……………………5分所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为11 1e y =． ……………………6分（Ⅱ）e ()(0)e x x a xf x x x -'=>，设函数()f x 在定义域内不单调时．．．．，a 的取值范围是集合A ； ……………………7分函数()f x 在定义域内单调时．．．，a 的取值范围是集合B ，则R A B =ð． 所以函数()f x 在定义域内单调．．，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立， 即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立，等价于e x xa ≤恒成立或e x x a ≥恒成立． ……………………8分 令()(0)e x x g x x =≥，则1()e x xg x -'=， ……………………9分由()0g x '>得 01x <<，所以()g x 在(0,1)上单调递增； ……………………10分由()0g x '<得 1x >，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减． ……………………11分因为(0)0g =，1(1)e g =，且0x >时，()0g x >， 所以1()e g x ∈，． ……………………12分 所以1{|0,}e B a a a =≤≥或， 所以1{|e A a =<． ……………………13分。