一阶电路的充放电时间常数t
一阶rc电路时间常数与重放电速度关系
一阶rc电路时间常数与重放电速度关系
RC一阶电路电容充放电的速度由时间常数时数T=R*C来决定。
根据公式可知，当R*C越大，时间常数越大，积分电路充放电就慢。
反之，当R*C越小，时间常数越小，积分电路充放电就快。
一个电容（固定电容）越大，充电时间的肯定长。
电阻决定的充电时的初始电流，电阻越小，充电电流就越大，充得就越快。
同时还可以看出电容上电压衰减的快慢取决于其大小仅取决
于电路结构与元件的参数。
因为时间常数有一个公式：时间常数T=1.4R*C
单相整流电路输出电压为脉动直流电压，含有较大的谐波分量。
为降低谐波分量，使输出电压更加平稳，需要加滤波电路。
滤除脉动直流电压中交流分量的电路称为滤波电路，利用电容器的充放电特性可实现滤波。
当u2 为第一个正半周时，二极管VD1、VD3导通，电容C被充电。
因二极管导通电阻很小，充电时间常数T=RC小.
电容滤波后，输出电压变化更加平滑，谐波分量大大减小，输出电压平均值得到提高。
一阶电路三要素法
R0 6 / /3 2k
uC
R0C 2
18 (5
103 2106
4
1
8
)e
t 41 0
3
4
103
18 3
s 9mA
6e250
t
R 6k
3k
恒流源除源
1）求电容电压
uC 18 (
uC;
54
1
8
)e
t 41 0
3
54V
uC
2）求电流 iC、 i;2
18V
iC
C duC dt
①确定 uC (0 ) uC (0 ) 54 V
②确定 uC ()
由换路后稳态电路求稳态值 uC ()
uC
(
)
9
10
36 63 3来自10318 V
③由换路后电路求时间常数
9mA R
6k
t=0 S
uC
+ _
iC
2F
C
i2
3k
9mA
R 6k
+
uC
(
) _
3k
换路后，储能元件两端求等效电阻R0
t∞ 电路
对一阶电路的求解，只需求出初始值 f (、0稳) 态值 要素，代入通用表达式即可直接写出电压或电流的通解
f和(换)路后的时间常数三个
——三要素法
例1：电路如图，S闭合前电路已处于稳 态。t=0时合上开关S，试求
1）电容电压 u;C
2）电流 iC 、 i;2
3）画出 uC、 iC、 i变2 化曲线。
2 、三要素法求解暂态过程要点
（1）求初始值、稳态值、时间常数
1）初始值 f (0 )的计算
实验四 一阶电路响应研究
实验四一阶电路响应研究1.一. 实验目的通过实验, 掌握用简单的R-C一阶电路观测零输入响应、零状态响应和完全响应的实验方法。
2.学习电路时间常数的测量方法。
3.掌握有关微分电路和积分电路的的概念。
二. 实验仪器设备仿真软件平台(Multisim 10)；硬件基础电路实验箱。
双踪示波器、直流稳压电源、万用表、直流电流表、电压表。
三. 实验原理一阶电路的零输入响应零状态响应和完全响应分别按指数规律衰减和增长, 其变化的快慢决定于电路的时间常数τ, 实验电路如图4-1所示。
四. 实验内容1..Multisi.平台上连接电路并进行瞬态分析观.R.低通和高通一阶电路响应，记录.形；根据所绘出的响应曲线求出时间常数.，与理论计算值进行比较.2.以下内容要求先进行仿真实验, 然后在实验室物理平台上按以下步骤完成实验。
3.连接一个能观测零输入响应、零状态响应和完全响应的电路图（参考图4-1）。
分别观测该电路的零输入响应、零状态响应和完全响应的动态曲线。
a.零输入响应先连接K2.K3, 使+5V直流电源对电容C 充电, 当充电完毕后, 断开K3 连接K4, 用示波器观测Uc（t）的变化。
b. 零状态响.先连接K4, 使电容两端的电压放电完毕, 然后断开K4 连接K3.K1, 用示波器观测15V直流电压向电容C的充电过程。
c. 完全响.五．先连接K4, 使电容两端电压通过R-C回路放电, 一直到零为止。
然后连接K3.K2, 使5V电源向电容充电, 待充电完毕后, 将短路帽连接K1, 使15V 电源向电容充电, 用示波器观测Uc（t）的完全响应。
六．3.用示波器观.R.低通一阶电路的响应.用信号发生器输出的方波来模拟阶跃激励信号, 即利用方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号；利用方波的下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号。
只要选择方波的.复周期远大于电路的时间常.., 一般要求方波的周.T＞10., 那么电路在这样的方.序列脉冲信号的激励下, 它的响应就和直流电接通与断开的过渡过程是基本相同的. 观.R.低通一阶电路的响应；改.R.（R=10.., C=0.01..）, 输入方波信号...=3..f=1K..）, 在示波器的屏幕上观察到激励与响应的变化规律, 请测算出时间..., 并用方格纸.1:.的比例描绘波形。
一阶电路
S闭合后， 闭合后， 闭合后 i2 (0 − ) = i2 (0 + ) = 4 A 由换路定律得： 由换路定律得： uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = 8V
因此初始状态的等效电路为： 因此初始状态的等效电路为：
S i2 i1 i3 3Ω Ω 4Ω Ω 20V C 2Ω Ω L i1(0+) i3(0+) 20V + 8V 4Ω Ω i2(0+) 2Ω Ω 4A
1Ω Ω R3 L 1H
R1 R2
R3
uL
2A
uL
u L (0 ) = −iL (0 )[ R1 // R2 + R3 ] =−4V
+
+
t=0+时等 效电路
第二步:求稳态值 第二步 求稳态值
2Ω Ω R1 IS K R2 Ω t=0 2Ω 1Ω Ω R3
u L (∞)
R1 R3 L 1H R2
uL
求稳态值举例
t=0 t =0 + 10V 3k C 4k 4k 2Ω Ω 3Ω Ω
iL
3Ω Ω L
uc
4mA
3 uC (∞) = ×10 3 + 4 // 4 = 6V
3 iL (∞) = 4 × 3+3 = 2 mA
“三要素”的计算（之三) 三要素”的计算（之三)
时间常数 原则: 原则 的计算: τ 的计算 要由换路后的电路结构和参数计算。 换路后的电路结构和参数计算 τ 要由换路后的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的 τ 是一样的 是一样的) 同一电路中各物理量的
i2(0+) i1 (0+)
=
iL(0+)
一阶RC低通滤波电路时间常数设定
一阶RC 低通滤波电路时间常数设定吕勇松时域上的思考一阶RC 低通滤波器的结构如图1所示，其中输入电压为V in (t)，输出电压为V out (t)，则该电路的微分方程为)()()(t V dt t V RCt V out out in +=（1）对式（1）求解可得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-RC t in out e t V t V 1)()(（2）图1阶RC 低通滤波电路式（2）即为一阶RC 低通滤波电路在时域上的解，滤波电路的主要作用是将不需要的噪声尽可能的滤除，同时使有用信号尽可能小的畸变。
当V in (t)为阶跃信号时，从公式（2）可以看出，随着时间t 的增大，V out (t)趋近于V in (t)。
从下表可以看出，当时间为3倍RC 时间常数时，V out (t)为输入电压Vin(t)的95.02%，而当时间为5倍RC 时间常数时，V out (t)为输入电压的99.33%，基于与输入电压V in (t)相等。
表1V out (t)/V in (t)随时间的关系假设输入电压V in (t)的波形如图2所示，该电压信号为占空比为20%，频率为10KHz （周期T=100us ）的矩形波，同时在上升沿和下降沿叠加了高频振荡干扰噪声。
为了滤除干扰，并使波形尽可能小的畸变，则一阶RC 低通滤波电路的时间常数不应过大，否则波形将发生大的畸变。
现在要求经过滤波后的信号从低电平上升到95%高电平的时间小于整个高电平时间的25%，即st r μ51002.025.0=⨯⨯≤（3）因此RC 时间常数小于t r 的1/3，即st RC r μ67.13=≤（4）图2叠加噪声的输入电压频域上的思考将式（1）变换到频域后，传递函数见式（3）11)()()(+⋅==ωωωωj RC j V j V j G in out （5）因此幅值函数为()11)(2+⋅=ωωRC j G （6）相角函数为()RC j G ωωarctan )(-=∠（7）表2一阶RC 低通滤波电路幅频相频特性表图3一阶RC 低通滤波电路幅频特性曲线图4一阶RC 低通滤波电路相频特性曲线图2所示的信号中，有用信号的频率为10KHz ，高频干扰信号的频率为4.8MHz ，要求使干扰信号的幅值衰减为10%以下，即10≥RC p ω（8）上式中ωp 为需要滤除的角频率，即ωp =2πf p ，f p =4.8MHz ，因此s f RC p p μππω33.0108.45210106=⨯==≥（9）图5a,5b 分别为根据式（9）和式（4）确定的RC 时间常数的滤波效果图5a 4.8MHz 噪声滤波效果（R=1K 时，C=0.33nF ）图5b 4.8MHz 噪声滤波效果（R=1K 时，C=1.67nF ）如果输入信号如下图所示，有用信号的频率还是10KHz ，但是干扰信号的频率为500KHz ，要求使干扰信号的幅值衰减为10%以下，同样10≥RC p ω上式中ωp 为需要滤除的角频率，即ωp =2πf p ，f p =500KHz ，因此s f RC p p μππω18.3100055210103=⨯==≥（10）图6a,5b 分别为根据式（10）和式（4）确定的RC 时间常数的滤波效果图6a 500KHz 噪声滤波效果（R=1K 时，C=3.18nF ）图6b500KHz噪声滤波效果（R=1K时，C=1.67nF）。
RC一阶电路分析
优化策略
动态调整
根据电路的工作状态和环境变化，动态调整元件 参数或工作模式，以实现最优性能。
集成化设计
将多个RC一阶电路集成在一个芯片上，实现小型 化、高效化和低成本化。
智能化控制
引入人工智能和机器学习技术，实现对RC一阶电 路的智能控制和优化。
应用前景
通信领域
RC一阶电路在通信系统中有着广泛的应用，如信号处理、 调制解调等，其改进和优化将有助于提升通信系统的性能 和稳定性。
动态响应
RC一阶电路的动态响应表现为电容两端电压随 时间的变化规律，通常用微分方程描述。
3
应用
RC一阶电路在电子工程、控制系统等领域有广 泛应用，用于模拟一阶动态系统的行为。
02
RC一阶电路的响应
瞬态响应
定义
瞬态响应是指RC一阶电路在输入信号激励下，从初始状态到最终 稳态状态的变化过程。
特点
瞬态响应具有振荡和衰减特性，其变化规律与时间常数相关。
滤波器
总结词
RC一阶电路可以构成低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器等不同类型的滤波器。
详细描述
低通滤波器允许低频信号通过，抑制高频信号；高通滤波器允许高频信号通过，抑制低频信号；带通滤波器允许 特定频段的信号通过，抑制其他频段的信号。这些滤波器在信号处理、通信和控制系统中有着广泛的应用。
04
RC一阶电路的仿真分析
1. 连接电路
将电源、电容器、电 阻器和信号发生器按 照正确的极性连接起 来，形成RC一阶电 路。
2. 调整参数
根据实验要求，调整 电容器和电阻器的参 数，如电容值和电阻 值。
3. 启动实验
开启电源，使电路正 常工作。
4. 观察波形
使用示波器观察电容 器两端电压的波形变 化。
时间常数对一阶动态电路响应的影响实验
时间常数对一阶动态电路响应的影响实验
实验目的：
探究时间常数对一阶动态电路响应的影响。
实验器材：
电源、电位器、电容、电阻、示波器、万用表。
实验步骤：
1. 按照电路图连接好实验电路，其中电容C和电阻R的取值可根据实际需要进行调整。
2. 将示波器探头分别接到电容C的正端和负端，并调节示波器，使其显示电容C上的电压波形。
3. 依次设置不同的电容C和电阻R取值，并记录下电容C充电过程中电压随时间的变化曲线。
4. 根据记录到的实验数据，绘制出各组电容C和电阻R取值下电压随时间的变化曲线，并分析时间常数对电路响应曲线的影响。
实验注意事项：
1. 实验前需仔细检查实验器材的连接，确保电路连接正确、无短路或断路等问题。
2. 在更换电容C和电阻R取值时，需先断开电源并等待电容C中电荷放电完毕再进行操作。
3. 实验过程中应保持实验环境的稳定，避免因外界因素干扰实验结果。
实验总结：
根据实验结果可以发现，时间常数越大，电路响应曲线的变化越缓慢，反之电路响应曲线变化越快。
因此，在设计一阶动态电路时应根据实际需要选择合适的时间常数，以满足电路响应的要求。
一阶动态电路分析
第3章电路的暂态分析【教学提示】暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。
本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。
最后讨论了RC的实际应用电路一-积分和微分电路。
【教学要求】了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念理解电路的换路定律和时间常数的物理意义了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法掌握一阶电路暂态分析的三要素法了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件3.1暂态分析的基本概念暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1•稳态在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态( steady state)。
2•换路当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。
把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路(switching circuit )。
3•暂态换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。
这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态( transient state)。
4•激励激励(excitation )又称输入，是指从电源输入的信号。
激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5•响应电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。
按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：(1)零输入响应(zero input response):零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
(2)零状态响应(zero state respo ns©:零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。
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一阶电路的充放电时间常数τ Ξ
宋文玉
(山东师范大学学报编辑部,250014,山东省济南市)
摘 要 从电路方程推导出一阶电路充放电时间常数τ,并论证了τ的物理意义和几种计
算方法.
关键词 一阶电路 零输入响应 零状态响应 特征频率 时间常数
分类号 O453
根据动态元件的伏安关系和电路的约束关系,可以对给定的一阶电路列写其动态方程式[1].例如,对图1所示R C电路,由基尔霍夫电流定律KCL得
i C+i R=i S.(1)
代入元件的伏安关系V A R,整理得
d v d t +
1
R C
V(t)=
i S
C
(2)
对于RL电路(图2),由基尔霍夫电压定律KV L得
v L+v R=v S.(3)代入元件伏安关系VAR,整理得
d i
d t+R
L
i=
v S
L
.(4
)
图 1 图 2
可以看出,(2)式给出的是R C电路中电容电压及其导数与电路参数、激励源之间的动态第22卷 第1期
1996年1月
曲阜师范大学学报
Journal of Qufu Normal University
Vol.22 No.1
Jan.1996
Ξ收稿日期:1995—01—09
关系(R C 电路动态方程),(4)式给出的是RL 电路中电感电流及其导数与电路参数和激励源之间的动态关系(RL 电路动态方程)所决定.它们都是线性常系数一阶常微分方程,其一般表示式为
d y d t
+αy (t )=f (t ),t ≥0.(5)由高等数学知识可知,一阶微分方程的解等于该方程的特解与对应的齐次微分方程的通解之和[2],即
y (t )=y x (t )+y f (t ),
(6)其中,y x (t )=y (0)e -αt 是一衰减的指数函数,它与输入激励无关,仅取决于电路的初始状态y (0)和电路的结构,又称为输入激励为零时,由初始状态引起的响应(零输入响应);y f (t )=∫t 0e -α(t -τ)f (τ
)d τ是输入激励f (t )的积分,与初始状态无关,仅仅由输入激励所引起的响应(零状态的响应)所决定.
比较式(2)与式(5),得α=1/(R C ),它是由电路参数所决定的.因为电路的零输入响应y x (t )=y (0)e -αt =y (0)e -t RC ,是随时间衰减的指数函数,其中指数项e -αt =e -t
RC 必然是无量纲
的.因此R 和C 的乘积具有时间的量纲[R ][C ]=欧姆・法拉=伏特安培・库仑伏特=库仑安培
=秒.所以在电路理论中α=τ=1/(R C );在RL 电路中则α=τ=L /R ,它们统称为一阶电路的充放电时间常数.
从高等数学中可以得到,反映电路参数的时间常数τ实际上是一阶微分方程特征根S 的倒数的相反数(S =-R C ),因此,S 具有时间倒数或频率的量纲,称为电路的固有频率.在电路理论中,固有频率代表电路的固有性质,在R C 和RL 电路中固有频率都是负实数,表明电路的零输入响应是按指数规律衰减的,而衰减的快慢由τ的大小所决定.
一阶电路的零输入响应是由电路初始状态所引起的响应,或者说是由于在t =0时刻电容或电感贮能而引起的电路响应.由于电阻R 的存在,在没有外施电源条件下(f (t )=0),原有的贮能必然要衰减到零.即在R C 电路中,电容电压v c 由初始值v (0)单调地衰减到零,其时间常数τ=R C ;在RL 电路中,电感电流由初始值i (0)单调地衰减到零,其时间常数τ=L /R.还应当指出,在R C 和RL 电路中各元件电压、电流与状态变量v C 、i L 有的是受代数关系约束(如R ),有的是受微分或积分关系约束(如C 和L ),而一个指数函数的导数或积分仍然是一个指数函数,只是其系数不同而已.因此,R C 、RL 电路中其它各元件电压、电流也是按指数规律衰减的,并且具有同样的时间常数,只是初始值各不相同而已.
由y x (t )=y (0)e -
t/τ,将一阶电路的零输入响应随时间按指数规律衰减的变化趋势列表如下:
附 表
t
0τ2τ3τ4τ5τ...∞y x (t )y (0)0.368y (0)0.135y (0)0.050y (0)0.018y (0)0.007y (0) 0
19第1期 宋文玉:一阶电路的充放电时间常数τ
由附表可以看出,在t =τ时,y (t )衰减到y (0)的0.368倍.因此可得:时间常数τ为一阶电路零输入响应中状态变量衰减为原来值的36.8%所需要的时间.当不知道电路中电阻、电容(或电感)的大小时,可用实验的方法测出电容电压或电感中电流随时间变化的曲线,在初始时刻(t =0)做y (0)的切线,使其与y (∞)时的值相交,相交点在时间轴上的投影即为该电路的时间常数τ[3].
在零输入状态下电路的响应曲线是按指数规律衰减的(图3),在零状态下电路的响应曲线是按指数规律增长的(图4).电路在y (0)(≠0)、f (t )(≠0)共同作用下的完全响应又分两种情况:当y (∞)>y (0)时表示电路变量y (t )在f (t )激励下,最终值大于初始值(图5),电路状态变量仍按指数规律增长;当y (∞)<y (0)时,表示电路状态变量按指数规律由y (0)衰减到y (∞)(图6)
.
图3 电路的零输入响应图4
电路的零状态响应
图5 y (∞)>y (0)时电路的完全响应图6 y (∞)<y (0)时电路的完全响应我们以图5为例,证明y (t )在t =0时刻的切线与y (∞)数值的相交点在时间轴上的投影即为电路的时间常数τ.因为
tg α=d y (t )
d t t =0=d d t
y (∞)+[y (0)-y (∞)]e -t/τt =0=1τ[y (∞)-y (0)].(7)tg α=y (∞)-y (0)
ab
,(8)则ab =τ.(9)
在相同初始条件下,对应电路的不同时间常数,电路状态变量的变化曲线各不相同.图7
29
曲阜师范大学学报(自然科学版) 1996年
给出了当τ3>τ2>τ1时,电路状态变量的变化曲线.
在R C 电路中,对应相同的初始条件,C 越大,贮存的能量越多(W C =(1/2)Cv 20),而R 越大,电路中电流越小(i =v C R e -t/τ),放电持续时间越长.因此,τ正比于R C 乘积.在RL 电路中,对应于相同的初始条件,L 越大,贮存能量越多(W L =(1/2)L i 2(0)),而R 越小,电阻消耗的功率越小(P =i 2R ),电阻上能量的变化越慢(P =d w /d t ),放电时间越长,因此,在RL 电路中τ=L /
R.
图7 电路状态变量的变化曲线
在电路理论中,改变电路的时间常数,不仅可以延长或缩短电路的充放电时间,还可以组成微分电路、积分电路,以及耦合电路、加速电路等.
参考文献
1 郭根生,宋文玉.一阶电路的完全响应.山西师大学报,1994,2:29
2 同济大学数学研究室编.高等数学(下).北京:高等教育出版社,1980.251
3 邱关源主编.电路.北京:人民教育出版社,1984.310
THE NATURAL TIME CONSTANT OF A FIRST -OR DER CIRCUIT
S ong Wenyu
(Editorial Department of Journal ,Shandong Teachers University ,250014,Jinan ,Shandong )
Abstract The natural time constant of a first-order circuit from the equation of the circuit is given ,and the physics meaning and several calculating methods of τare discussed.
K ey w ords first-order circuit zero-input response zero-state response natural frequen 2cy time constant 39第1期 宋文玉:一阶电路的充放电时间常数τ 。