半导体物理学第三章

开 方
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
∴导带底能量状态密度：
(2m ) ( E Ec ) dZ gc ( E ) 4 V dE 3
* 3/2 n 1/2
球形等能面
ⅱ设导带底位于 k k0 处，极值附近为椭球等能面。 等能面方程：
2 E (k ) Ec 2 ( k x k0 x ) 2 ( k y k0 y ) 2 ( k z k0 z ) 2 m1 m2 m3

3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓流 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 一般情况下的载流子分布 3.6 简并半导体 3.7补充材料：电子占据杂质能级的概率
产生和复合
T>0 本征激发 （intrinsic excitation） electron-hole pair 复合:反过程 杂质激发和复合 动态平衡 温度改变：达到新的平衡
dn
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
4 V 则 dZ 3 (2mdn )3/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE dZ 4 V gc ( E ) 3 (2mdn )3/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE
式中： dn s 2/ 3 (m1m2m3 )1/ 3 m
E E dE） 区间的电子浓 （
度dn，然后再由导带底至导带顶积分就得到了导带的电子浓度n。
状态密度
导带和价带是准连续的，定义单位能量间隔内 的量子态数为状态密度g(E)
（ 能带中能量为 E E dE） 无限小的能量间隔内有 dZ 个量子态，则状态密度 为
dZ(E) g(E) dE
球层间的体积
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
由E (k ) 式解出：
* 2mn ( E Ec ) k2 2
微
* (2mn )1/ 2 (E Ec )1/ 2 k 分 * 2mn kdk dE 2 2 两式相乘代入dZ式中：得
* (2mn )3/2 ( E Ec ) 1/2 dZ 4V dE 3
2 2 2 8 ∴k空间的单位体积= L L L V
1 立方体八个顶角的8个点，每个点的 属于该立方体 8 1
∴立方体内的点数为 ∴k 空间状态密度=
8× ＝1 。 8
（个点） 3 1 L / 8 3 V / 8 3 (晶体体积/8 3 ) 8 3 L3
考虑电子的自旋（一个能态允许自旋相反的两个电子） k状态密度为2V / 8 3 →此时每个状态只能容纳一个电子（一
写作：
2 ( k y k0 y ) 2 ( k x k0 x ) ( k z k0 z ) 1 2m1 ( E Ec ) 2m2 ( E Ec ) 2m3 ( E Ec ) 2 2 2 2
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
(k x k0 x ) 椭球标准方程： 2 a
为得到g(E) ，可以分为以下几步：
♦ 先计算出k空间中量子态密度 (k空间单位体积的状态数） ；
♦ 然后计算出k空间能量为E的等能面在k空间围成的体
积，并和k空间量子态密度相乘得到量子态数Z(E)；
♦ 再按定义dZ/dE=g(E)求出g(E)。
§3.1状态密度
⑴ k 空间状态密度 第一章讨论了电子在周期场中的运动规律，而实际 晶体总有一定线度，电子在晶体内部与在边界上的 运动情况不同。因此，电子在晶体中运动应满足一 定的边界条件→波恩－卡门周期性边界条件：
个态一个电 空间，单位能量间隔内的量子态数， 即能量状态密度：g ( E ) dZ / dE
①导带底附近能量状态密度 gc ( E) 。 ⅰ设导带底（k =0）附近，等能面为球面。 2 2 等能面方程： (k ) Ec k E * 2mn 在k空间，E～E+dE内的状态数： dZ = (E～E+dE 对应的k 空间体积）（k 空间状态密度） = k 2dk ) 2V / 8 3 (4
费米能级


EF 称为费米能级或费米能量】
是分布函数的参考能级
由“系统中电子总数恒定”条件来确定 是参考能级，不是真正能级，电子不一定占据 比如：本征半导体费米能级在禁带，但禁带无电子 系统的化学势（chemical potential） 反映了半导体的导电类型，也反映了半导体的掺杂水平

3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓度 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 一般情况下的载流子分布 3.6 简并半导体 3.7补充材料：电子占据杂质能级的概率
费米子和玻色子 泡利不相容原理：（费米系统）不能有两个 同样的粒子处于同一个状态 费米子：服从泡利不相容原理的粒子称为费 米子。如电子、质子、中子等粒子。。 玻色子：不服从泡利不相容原理的粒子称为 玻色子。如介子、 光子。
§3.1状态密度
电子的零级近似波函数为德布洛意平面波，由周期性 边界条件得： k0 ( x) k0 ( x L) Aeikx Aeik ( x L ) Aeikx eikL
eikL 1 kL 2 n k 2 n / L, n 0, 1, 2......，k 只能为分立值。
第三条比前两条低△， 起主要作用的是重合的两条。 在极值附近近似为球形等能面 2 2 (k x2 k y k z2 ) E1.2 (k ) Ev 2m* p 重空穴带m*＝m* p ph 轻空穴带m*＝m* p pl
[111] [100]
mpl mp3
图 Si Ge价带结构
2
( k y k0 y ) 2 b
2
( k z k0 z ) 2 1 2 c
4 4 1 3/ 2 3/ 2 椭球体积为： k abc 3 (8m1m2 m3 ) (E Ec ) 3 3
在E～E+dE间的椭球层的 k 空间体积上式微分得到：
2 d k 3 (8m1m2 m3 )1/2 ( E Ec )1/2 dE

要计算半导体中的导带电子浓度，必须先要知道导带中单位能量间隔内有 多少个量子态（状态密度）。 (E ) g
dZ(E) 从而dE间隔内量子态dZ dE

又因为这些量子态上并不是全部被电子占据，因此还要知道能量为E的量子
态被电子占据的几率是多少（分布函数f(E)）。

将两者相乘后dZ*f(E)除以晶体体积V就得到
费米分布函数

当 T 0K 时

f (E)
1
E EF k0T
若 E EF，则 f ( E ) 1 1 e 若 E EF，则 f ( E ) 0 在热力学温度为0度时，费米能级 EF 可看成量子态是否 被电子占据的一个界限

当 T 0K 时

若 E EF，则 f ( E ) 1/ 2 若 E E，则 f ( E ) 1/ 2 F 若 E E，则 f ( E ) 1/ 2 F 费米能级是量子态基本上被 电子占据或基本上是空的一 个标志
玻色子服从玻色—爱因斯坦统计， 费米子 系统服从费米—狄拉克统计的。
费米统计

根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵 循费米统计律 对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率 为 f (E)
f (E)

1
1 e
E EF k0T
f ( E )称为电子的费米分布函数
空穴的费米分布函数？1 f ( E )
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
设半导体有s个相同的旋
转椭球，则在E～E+dE 间
的椭球层的体积为 sd k ，
所以E～E+dE 间的状态数：
dZ V ( sd k ) 4 V 3 s(8m1m2 m3 )1/2 ( E Ec )1/2 dE 令 s(8m1m2m3 )1/ 2 (E Ec )1/ 2 (2m )3/ 2
§3.1状态密度
在k 空间，给出一组
(nx , ny , nz )
对应
(k x , k y , k z )
代表
k 空间一个点
代表电子 的一个能 量状态
k 空间点的数目＝电子在k 空间的状态数。
k空间状态数 k 空间状态密度＝ k空间体积 ＝单位k 空间状态数
§3.1
在空间三个坐标轴上每隔 1/L 就有一 个代表点 3
mph
在k 空间，E～E+dE内的状态数： dZ1 dZ2 。 dZ 讨论方法与导带情况类似，利用式 E1.2 (k ) 可得
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
4 V 3/2 * dZ1 3 (2m ph ) ( Ev E )1/2 dE 4 V * 3/2 dZ 2 3 (2m pl ) ( Ev E )1/2 dE 3/2 * * 3/2 设 (2m ph ) (2m pl ) (2mdp ) 3/ 2
对于 Si, Ge, m1 m2 mt , m3 ml
mdn s (m ml ) ……
2/ 3 2 t 1/ 3
导带底电子状态 密度有效质量
查看不同材料的导带底电子状态密度有效质量 ②价带顶附近能量状态密度 由第一章知Si,Ge,GaAs价带有三条极值在 k = 0处，
§3.1载流子的统计分布函数及能量状态密度
半导体物理
SEMICONDUCTOR PHYSICS
半导体物理学
一． 二．
半导体中的电子状态 半导体中杂质和缺陷能级
三．
四． 五． 六． 七．
半导体中载流子的统计分布
半导体的导电性 非平衡载流子 pn结 金属和半导体的接触