选修2-3教案2.2.2 事件的独立性
高中数学人教A版选修2-3教学案2.2.2 事件的相互独立性 Word版含解析
．．事件的相互独立性预习课本～，思考并完成以下问题．事件的相互独立性的定义是什么？性质是什么？．相互独立事件与互斥事件的区别？事件的相互独立性，则称事件与事件相互独立．()定义：设，为两个事件，如果()＝()()()性质：与是相互独立事件，则(\\(与\(),\()与,\()与\()))也相互独立．[点睛]相互独立事件与互斥事件的区别．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()不可能事件与任何一个事件相互独立．( )()必然事件与任何一个事件相互独立．( )()如果事件与事件相互独立，则()＝()．( )()“()＝()·()”是“事件，相互独立”的充要条件．( )答案：()√()√()√()√．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为．和．．那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为．答案：．．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为, 第二道工序的次品率为,则该产品的正品率为．答案：(－)(－)．已知，是相互独立事件，且()＝，()＝，则()＝，()＝．答案：!错误事件独立性的判断[典例] 判断下列事件是否为相互独立事件．()甲组名男生，名女生；乙组名男生，名女生，现从甲、乙两组中各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出名女生”．()容器内盛有个白乒乓球和个黄乒乓球，“从个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”．[解]()“从甲组中选出名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．()“从个球中任意取出个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的个球中任意取出个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．两个事件是否相互独立的判断()直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．()定义法：如果事件，同时发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率的积，则事件，为相互独立事件．()条件概率法：当()>时，可用()＝()判断．[活学活用]把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？()＝{掷出偶数点}，＝{掷出奇数点}；()＝{掷出偶数点}，＝{掷出的倍数点}；()＝{掷出偶数点}，＝{掷出的点数小于}．解：()∵()＝，()＝，()＝，∴与不是相互独立事件．。
高中数学选修2-3优质学案：2.2.2 事件的相互独立性
2．2.2 事件的相互独立性[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．[知识链接]1．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？答因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立．2．互斥事件与相互独立事件有什么区别？答两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．[预习导引]1．相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．要点一 相互独立事件的判断例1 从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K ”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解 由于事件A 为“抽得老K ”，事件B 为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到老K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 即为“既抽得老K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K 或方块老K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )·P (B )＝P (AB )，因此A与B 互为独立事件．规律方法 对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥．一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪演练1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( ) A ．相互独立但不互斥 B ．互斥但不相互独立 C ．相互独立且互斥 D ．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥 [答案] (1)A (2)B[解析] (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}． 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件． 要点二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率．解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B 发生)．根据题意，事件A B 与A B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A B )＋P (A B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解． 跟踪演练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．解 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A ，B 相互独立，从而A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A B ，则 P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·[1－P (B )] ＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件(A B )∪(A B )， 又A B 与A B 互斥，则P ((A B )∪(A B ))＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (4)“至多一人能破译”为事件(A B )∪(A B )∪(A B )，且A B ，A B ，A B 互斥，故 P ((A B )∪(A B )∪(A B )) ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＋(1－13)×(1－14)＝1112. 要点三 相互独立事件概率的综合应用例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A B C表示P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A BC)∪(A B C)∪(AB C)表示．由于事件A BC，A B C和AB C两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C) ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.规律方法求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．跟踪演练3某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：(1)两件产品都是正品的概率；(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件正品的概率．解用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C＝(A B)∪(A B)，D＝C∪(AB)．(1)由题意知，A与B是相互独立事件P(B)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95，P(A)＝0.96，所以两件都是正品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.(2)由于事件A B与A B互斥，所以恰有一件是正品的概率为P (C )＝P [(A B )∪(A B )] ＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (3)由于事件AB 与C 互斥， 所以P (D )＝P [(AB )∪C ] ＝P (AB )＋P (C ) ＝0.912＋0.086＝0.998.1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( ) A ．互斥的事件 B ．相互独立的事件 C ．对立的事件 D ．不相互独立的事件[答案] D[解析] ∵P (A 1)＝35.若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，∴A 1与A 2不是相互独立事件．2．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( ) A.160B.25C.35D.5960 [答案] C[解析] 用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，且P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝45×23×34＝25.∴此密码被译出的概率为1－25＝35.3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A ．p 1p 2 B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1) C ．1－p 1p 2 D ．1－(1－p 1)(1－p 2)[答案] B[解析] 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．故选B.4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710. (1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为 P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－45×35×710＝83125.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)。
高二数学 2.2.2事件的相互独立性教案 新人教版选修2-3
§2．2．2事件的相互独立性教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： ()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与BJ至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习： 1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) ()A 320 ()B 15 ()C 25()D 920 2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
人教版高中数学选修2-3：2.2.2 事件的相互独立性教案设计
练习：（1）甲乙两人各掷一枚硬币
事件A：甲掷一枚硬币，正面向上；
事件B：乙掷一枚硬币，正面向上；
事件C：乙掷一枚硬币，反面向上。
（2）将一枚骰子连续掷两次，
事件A：第一次掷得的点数是6；
1、本节课重点学习相互独立事件的概念及同时发生的概率求法；
2、解决问题的关键：分清事件类型；分解复杂问题为基本的互斥事件与独立事件。
3、我的改编题：
例2的变式
变式1加入第四个问题：4、至多有一人投中的概率.
变式2甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，甲投中的概率为0.6,乙投中的概率为0.7.其余问题不变。
教师给出一组练习，对事件独立性概念加以巩固。
通过案例研究得出结论1：A和B独立时，A和 ， 和 ， 和B，也相互独立
教师提问，引导学生思考第一枚硬币正面向上和第二枚硬币正面向上两件事的关系，进而得到结论
让学生分析其中的各个事件的关系，通过类比猜想得到
100个相乘
教师可以引导学习利用古典概型的知识加以验证，肯定猜想是正确的。然后推广到n个相互独立事件都发生的概率公式。
（四）
总结升华
（五）
布置作业
（六）
板书设计
问题1：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？
诸葛亮一人组成的团队PK臭皮匠三人组成的团队，他们解决同一个问题的概率分别为：诸葛亮解决问题的概率为0.85；臭皮匠老大解决问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3,要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人解决问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大？
例1的设置时为了让学生更好的理解定义
高中数学 第二章《事件的独立性》教案2 新人教A版选修2-3
2.2.2事件的独立性（第二课时）教学目标：了解两个事件相互独立的概念及简单应用教学重点：了解两个事件相互独立的概念及简单应用教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即 (|)()P A B P A =. 称A 与B 独立二、讲解新课：1、多个事件的独立性对n 个事件，除考虑两两的独立性以外，还得考虑其整体的相互独立性. 以三个事件A , B , C 为例.定义 若()()()()()()()()()P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⋅⎫⎪=⋅⎬⎪=⋅⎭(1)且 ()()()()P ABC P A P B P C = (2)则称A , B , C 相互独立. (1)式表示A , B , C 两两独立，所以独立包含了两两独立. 但A , B , C 的两两独立并不能代替三个事件相互独立，因为还有(2)式. 那么(1)式是否包含(2)式呢？回答是否定的，有例如下：例 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面为白色，第三面为黑色，第四面红白黑三色都有. 分别用A , B , C 记投一次四面体时底面出现红、白、黑的事件. 由于在四面体中有两面出现红色，故1()2P A =；同理,1()()2P B P C ==；同时出现两色或同时出现三色只有第四面，故 1()()()()4P AB P AC P BC P ABC ====,因此 ()()()P AB P A P B =⋅, ()()()P AC P A P C =⋅， ()()()P BC P B P C =⋅，(1)式成立，A , B , C 两两独立. 但 11()()()()48P ABC P A P B P C =≠⋅⋅=, 即(2)式不成立.2、例子一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性. 现有两系统都由同类电子元件A , B , C 、D 所组成.每个元件的可靠性都是p ，试分别求两个系统的可靠性.解 以R 1与R 2分别记两个系统的可靠性，以A , B , C 、D 分别记相应元件工作正常的事件，则可认为A , B , C 、D 相互独立，有1(())()R P A B C D P ABD ACD ==()()()P ABD P ACD P ABCD =+-()()()()()()()()()()P A P B P D P A P C P D P A P B P C P D =+-3 (2)p p =-,2()()()()()()R P AB CD P AB P CD P AB P AC P ABCD ==+=+-22 (2)p p =-.显然21R R >. 可靠性理论在系统科学中有广泛的应用，系统的可靠性的研究具有重要意义.课堂小节：本节课学习了事件相互独立的简单应用课堂练习：课后作业：。
下学期高二数学人教A版选修2-3第二章2.2.2事件的相互独立性课件
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│课堂互动│
2.2.2 事件的相互独立性
【训练 2】 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收
【迁移2】 (变换所求)例1条件不变，求2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为 P＝P(A－ B－)＋P(AB－)＋P(A－B) ＝P(A－)·P(B－)＋P(A)·P(B－)＋P(A－)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
│新课引入│
2.2.2 事件的相互独立性
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？所求随机事件的概率是多 少？
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少;
(2)某P同( A学1 A投2 A篮3 )3次 C，33每 (次16命)3 中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
P(
A1
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
│学习目标│➯│新课引入│➯│课本预习│➯│预习评价│➯│知识导出│➯│课堂互动│➯│课堂小结│
│新课引入│
引例2：分析下面的实验，它们有什么共同特征？
2.2.2 事件的相互独立性
(1)将一个质地均匀的骰子投掷3次，出现3次点数6的概率是多少; (2)某同学投篮3次，每次命中的概率为0.6 ，求命中1次的概率;
(2)“2 人各射击 1 次，恰有 1 人射中目标”包括两种情况：
①甲射中、乙未射中(事件 A B－发生)，
人教版高中数学选修(2-3)-2.2《事件的相互独立性》参考教案1
2.2.2事件的相互独立性学习目标1．掌握乘法公式及其应用。
2.掌握一般两个或n个事件独立的条件及其在概率计算中的应用学习重点与难点：1.乘法公式的内涵及其应用。
（乘法公式是用来计算两个或两个以上事件同时发生的概率）2.n个事件独立与两两独立之间的关系。
在独立的条件下，尽可能将一些事件和的概率转化成一些相关事件积的概率进行计算。
教学过程设计一、回顾与引入条件概率公式及乘法公式二、两个事件的相互独立性1.相互独立性定义设A、B是两事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)则称A、B为相互独立事件。
2 、逆事件的相互独立性定理若四对事件A与B，与B，A与和中有一对是独立的事件，则另外各对事件也是相互独立的事件。
3 相互独立与互不相容的区别和关系相互独立与互不相容是两个不同的概念。
两事件互不相容是指两事件A,B 不能同时发生，即AB=φ,它描述的是两事件之间互不包含的关系。
一般地，若AB=φ,则有：0=P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)故若P(A)>0 (或P(B)>0)则P(B|A)=0(或P(A|B)=0)反之，若P(A)>0(或P(B)>0)且P(B|A)=0(或P(A|B)=0)则有P(AB)=0。
在古典概型（即样本点有限）下有AB=φ，即A与B互不相容。
若P(A)>0（或P(B)>0)且P(B|A)>0(或P(A|B)>0)则A、B两事件必能同时发生，而A、B必不是互不相容的。
三、三个事件间的两两独立性设A、B、C为三事件，如果具有等式P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C) （5.2)P(CA)=P(C)P(A)则称三事件A、B、C为两两独立的事件。
三个事件间的相互独立性设A,B,C为三事件，若同时满足(5.2)与(5.3)式，则称A,B,C为相互独立事件。
易见，A,B,C相互独立，则A,B,C必两两独立，反之不然。
高中数学选修2-3精品教案2：2.2.2 事件的相互独立性教学设计
2.2.2事件的相互独立性一．教学目标（一）教学知识点1.相互独立事件的意义.2.相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（二）能力训练要求1.理解相互独立事件的意义，注意弄清事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概率.2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式.（三）德育渗透目标1.培养学生分析问题、解决问题的能力.2.提高学生的科学素质.二．教学重点1.相互独立事件的概念：若事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.2.事件之间的“互斥”与“相互独立”的区别：互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.A与也是相互独立事件.3.若事件A与B是相互独立事件，那么A与B，A与B，B4.相互独立事件同时发生的概率乘法公式：如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P（A1·A2·……·A n）=P（A1）·P（A2）·…·P（A n）三．教学难点事件的“相互独立性”的判定.四．教学过程1.复习回顾请同学回忆一下有关互斥事件的主要内容.互斥事件：不可能同时发生的事件.对立事件：不可能同时发生，且必有一事件发生.若A与B为互斥事件，则A、B中有一个发生的概率P（A+B）=P(A)+P（B）.若A与A为对立事件，则P(A)+P（A）=1.2.讲授新课现在，请同学们来看这样一个问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，若从这两个坛子里分别摸出1个球，则它们都是白球的概率是多少？（引导学生分析）首先，我们发现，这一试验与我们前面所研究的试验有所不同的是：这里有两个坛子，从中分别取一球；可视为做一次试验，需分两步完成，且从一个坛子中取一球是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出一球是白球还是黑球没有任何影响.若记：“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”为事件A，记：“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”为事件B，则事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，也就是说事件A（或B）的发生是独立的，不受事件B（或A）的发生与否的限制.那么，我们不妨将象这样的事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件.例如，在上述问题中，事件A是指“从甲坛子中摸出1个球，得到黑球”，事件B是指“从乙坛子中摸出1个球，得到黑球”，不难判断，事件A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都是相互独立的.看来，若记：“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，那么它的发生，就是事件A、B同时发生，不妨记作A·B.于是想要研究事件A·B发生的概率P（A·B），则需研究上述两个相互独立事件A、B同时发生的概率.请同学们根据我们所掌握的知识，试着分析……（也可分组讨论）从甲坛子中摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子中摸出1个球，有4种等可能的结果.于是从两个坛子里各摸出1个球，根据分步计数原理，可知共有5×4种等可能的结果,表示如下（其中每个结果的左、右分别表示从甲、乙坛子里取出的球的颜色）：（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）在上面的5×4种结果中，从甲坛子里摸出白球的结果有3种，从乙坛子里摸出白球的结果有2种，同时摸出白球的结果有3×2种.因此，从两坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率P （A ·B ）=4523⨯⨯. 而，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P (A )=53，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率P （B ）=42. 不难发现，32534523⨯=⨯⨯.即：P （A ·B ）=P (A )·P （B ）. 也就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.进而可知：一般地，如果事件A 1，A 2，…,A n 相互独立，那么这几个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·P （A 2）·…·P （A n ）例如，在上面的问题中，“从两个坛子里分别摸出1个球，都是黑球”这一事件的发生，就是事件A ，B 同时发生，可记作A ·B ，其概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）512152=⨯=. “从甲坛子里摸出1个球，得到黑球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”同时发生的概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=512152=⨯. “从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到黑球”同时发生的概率 P （A ·B ）=P (A )·P （B ）=1032153=⨯ “从两个坛子里分别摸出1个球，得到1个白球和1个黑球”的概率为：P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得到两个白球或两个黑球”的概率为： P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得不到两个白球”的概率为 P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）1075110351=++= 或1－P （A ·B ）=1－107103=. 3.课堂练习（回答）.“在先摸出白球的情况下，再摸出白球”，是从装有1个白球，2个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为31；“在先摸出黑球的情况下，再摸出白球”，是从装有2个白球，1个黑球的口袋中摸出1个白球，这时事件B 的概率为32. 这就是说，事件A 发生与否对事件B 发生的概率有影响，因此事件A 与B 不相互独立.4.课堂小结要学会对事件的“相互独立性”的判定.要会用相互独立事件同时发生的概率公式求一些事件的概率.5.课后作业（一）课本P 134习题10.7 1、2、3（二）1.预习：课本P 130~P 132五．板书设计六．教后记：。
人教版高中选修(B版)2-32.2.2事件的独立性课程设计
人教版高中选修(B版)2-32.2.2事件的独立性课程设计一、课程目标本课程主要旨在通过对2-32.2.2事件的分析，让学生深入了解独立性原则在审计中的应用，培养学生审计工作中的独立性意识和独立性判断能力，提高学生的综合思维能力和实际操作能力。
二、课程内容2.1 事件背景讲解2-32.2.2事件的核心问题，介绍出现此类事件的原因。
2.2 独立性原则通过讲解独立性概念，解释独立性原则在审计中的重要性，以及如何应用独立性原则来确保审计结果的可靠性。
2.3 独立性问题的判断通过讲解独立性问题的判断方法，培养学生对于独立性问题的敏感度和判断能力。
2.4 独立性相关法律法规介绍相关法律法规，让学生更全面地了解独立性的规定和制度。
2.5 独立性问题的处理方法通过实例分析及讨论，让学生掌握处理具体独立性问题的方法和技巧。
三、教学方法3.1 理论授课教师主讲，通过PPT、教材等多种形式，让学生了解理论知识。
3.2 课堂讨论让学生在教师的指导下，结合独立性问题的判断和处理方法，展开讨论和思考，提高学生的独立思考能力。
3.3 实例分析让学生通过真实的案例，演练处理独立性问题的方法和技巧。
3.4 视频演示通过视频演示，让学生亲身体验审计工作中的实际操作。
四、教学评估4.1 作业评估通过布置相关作业，考察学生对于独立性概念的理解程度和对于独立性问题的判断能力。
4.2 课堂表现评估通过观察学生在课堂上的讨论和思考，考察学生的独立思考能力和表达能力。
4.3 课外阅读评估要求学生针对课程内容，阅读相关文献，考察学生的综合分析能力和独立思考能力。
五、总结与展望通过本次课程设计，我们可以更加深入的了解审计工作的独立性问题，并通过实践演练和案例分析，提高了学生的实际操作能力，培养了学生独立思考的能力和对于独立性问题的敏感度，为更好的开展审计工作奠定了坚实基础。
人教版高中数学选修2-3：2.2.2 事件的相互独立性教案
(一) 复习引入问题1：三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？诸葛亮一人组成的团队PK臭皮匠三人组成的团队，他们解决同一个问题的概率分别为：诸葛亮解决问题的概率为0.85；臭皮匠老大解决问题的概率为0.5,老二为0.4,老三为0.3,要求臭皮匠团队成员必须独立解决，三人中至少有一人解决问题就算团队胜出，问臭皮匠团队与诸葛亮团队谁的胜算比较大？臭皮匠团队的亲友团做了如下的解释，设事件A：臭皮匠老大能解决问题；事件B：臭皮匠老二能解决问题；事件C：臭皮匠老三能解决问题；则臭皮匠团队能胜出的概率为P=P（A）+P（B）+P（C）=0.5+0.45+0.4=1.35，所以臭皮匠团队必胜。
你认为这种计算方法合理吗？教师提问，让学生利用已有知识对臭皮匠亲友团的回答做出是否正确的判断。
将我们的俗语改编成题，激发学生学习兴趣，同时引出本节主要内容：事件的独立性。
课题2.2.2 事件的相互独立性课时 1 授课时间主备人：教学目标知识与技能了解相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断某些事件是否相互独立，能区分互斥事件与相互独立事件。
了解相互独立事件同时发生的概率的乘法公式，会运用此公式计算一些简单的概率问题。
过程与方法：经历概念的形成及公式的探究、应用过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力，培养学生自主学习的能力与探究问题的能力。
情感态度与价值观：通过设置恰当而有趣的课前引例，激发学生学习本小节知识的兴趣，通过小组合作学习让学生体会合作学习的乐趣教学准备ppt重点难点教学重点：了解相互独立事件的概念，如何求相互独立事件都发生的概率。
教学难点：公式的推导与应用。
教师活动学生活动设计意图。
数学选修2-3教案：2.2.2事件的独立性
高中数学课程12.2.2 事件的独立性【教学目标】①了解两个事相互独立的概念，掌握相互独立事件的概率公式，并能应用公式解决简单的问题；②通过相互独立事件及其概率的计算，进一步熟悉概率的计算方法，提高运用数学解决实际问题的能力.【教学重点】 独立事件同时发生的概率【教学难点】 有关独立事件发生的概率计算一、 课前预习1.复习回顾：①不可能事件：______________________________②必然事件：________________________________③随机事件：________________________________④互斥事件（或互不相容事件）:______________________________________ ⑤对立事件：___________________________________⑥事件A 与B 的交（或积）：______________________2.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率_________,即______________,则称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.3.当事件A ，B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.4.两个相互独立事件同时发生的概率公式为：._________)( B A P推广：____________________________________________________________二、 课上学习高中数学课程2 例1、甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率;（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？三、课后练习1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率为___________2.加工某一零件需在流水线上经过两道工序，两道工序分别出次品的概率为0.02与0.03，则这条流水线上出来的产品是次品的概率是____________.3.甲射击命中目标的概率为21，乙命中目标的概率为31，丙命中目标的概率为41，现在三人同时射击目标，则恰有一人击中目标的概率为_________,目标被击中的概率为_____________.4.如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是___________。
《事件的相互独立性》教案(人教B版选修2-3)
2．2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例 2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？ 解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72． （2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件，，．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ 0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2． （1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。
(完整版)2.2.2事件的相互独立性
答:事件A的发生会影响事件B发生的概率
思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三名 同学依次有放回地抽取，问：最后一名去抽的 同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的 影响吗？
设A为事件“第一位同学没有中奖”；
B为事件“最后一名同学中奖”。
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。 P(B | A) P(B)
应用公式的前提： 1.事件之间相互独立 2.这些事件同时发生.
例题举例
例1、假使在即将到来的2016年奥运会上，我国 乒乓球健儿克服规则上的种种困难，技术上不断 开拓创新，在团体比赛项目中，我们的中国女队 夺冠的概率是0.9,中国男队夺冠的概率是0.7,那 么男女两队双双夺冠的概率是多少?
解：设事件A：中国女队夺冠; 事件B：中国男队夺冠．
人教版高中数学选修2-3 第二章《随机变量及其分布》
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
相互独立的概念
设A，B为两个事件，如果 P (1)互斥事件:两个事件不可能同时发生 (2)相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响
判断两个事件相互独立的方法 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率
（2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认 为是条件概率。
思考与探究
思考1：三张奖券有一张可以中奖。现由三名 同学依次无放回地抽取，问：最后一名去抽的 同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的 影响吗？
人教版高中选修(B版)2-32.2.2事件的独立性教学设计
人教版高中选修(B版)2-32.2.2事件的独立性教学设计一、教学目标1.知识目标：了解什么是事件的独立性，以及如何计算事件的独立性。
2.技能目标：能够运用事件的独立性计算方法，解决相关问题。
3.情感目标：培养学生对事件的独立性的兴趣和探究精神。
二、教学重难点1.教学重点：让学生掌握事件的独立性概念和计算方法。
2.教学难点：让学生能够应用事件的独立性解决实际问题。
三、教学方法采用课堂讲授、讨论、练习等多种教学方法，提高学生的主动性和参与度。
四、教学内容第一节事件的独立性概述1. 事件的概念事件是指问题所涉及的某种结果或情况。
2. 事件的独立性概念在概率论中，两个事件A和B是独立的，当且仅当A发生不会影响到B发生的概率。
3. 事件的独立性计算方法•如果两个事件A、B独立，则P(A∩B)=P(A)×P(B)。
•如果两个事件A、B相互依存，则P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
第二节事件的独立性练习1. 练习一某座23层的高楼，电梯每层停留的概率是相等的，如果电梯每次上升一层停一次，问从1楼到第23楼，电梯停靠次数的期望是多少次？2. 练习二某公司有两个售货员A、B，他们的产品销售情况如。
如果顾客购买的商品已知，问售货员A、B相互独立的概率是多少？销售情况销售情况五、教学设计第一节事件的独立性概述1.通过扫描二维码获取PPT，展示“事件的概念”“事件的独立性概念”“事件的独立性计算方法”三个板块；2.引导学生思考“事件的独立性”在生活中的应用；3.提问检查学生对“事件的独立性概念”“事件的独立性计算方法”的掌握情况。
第二节事件的独立性练习1.展示一个“某座23层的高楼电梯停靠次数期望”的问题（练习一）；2.分组讨论，学生给出自己的解法，老师进行点评；3.展示“售货员销售情况”的问题（练习二）；4.学生独立解决问题并汇报答案，老师进行点评。
六、教学评估1.课后布置一份与课堂讲授、讨论、练习内容相关的习题作业；2.采用学生自评和教师评估相结合的方式，评定学生的学习效果。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.2.2 事件的独立性》
2．事件的相互独立性一、三维目标：1知识与技能1理解相互独立事件的定义及意义．2掌握相互独立事件概率的乘法公式．2．过程与方法通过进行一些与事件独立有关的概率的计算，掌握相互独立事件概率问题．3．情感、态度与价值观通过实例的分析，学会进行简单的应用，提高数学的学习兴趣．二、教学重点：相互独立事件的概率．三、教学难点：利用相互独立事件同时发生的概率公式求概率．四、教学过程〔一〕、复习引入：1.什么叫做互斥事件？不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件2.什么叫做对立事件？3.条件概率设事件A和事件B，且PA>0,在事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率记作PB |A4.条件概率计算公式:〔二〕、讲解新课：思考1：3张奖券只有一张中奖，现分别由三名同学无放回地地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券〞,事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券〞,事件A的发生会影响事件B发生的概率吗假设把“无放回〞改为“有放回〞呢？问题1 事件A的概率是多少？答：问题2 事件B的概率是多少？答：问题3 事件A的发生影响事件B发生的概率吗？答：影响思考2假设把“无放回〞改为“有放回〞呢？问题4 事件A的概率是多少？答：问题5 事件B的概率是多少？答：问题6 事件A的发生影响事件B发生的概率吗？答：不影响问题7 事件A的对立事件是什么？答：第一名同学抽到中奖奖券问题8:事件A的发生与否对事件B发生的概率有没有影响？答：没有（三）概念讲解1 事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果 PAB=PAPB,那么称事件A与事件B 相互独立2直观解释如果事件A的发生与否不会影响事件B发生的概率，事件B的发生与否不会影响事件A发生的概率，那么事件A与事件B相互独立可以证明，如果事件A与B相互独立，那么一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P〔A1·A2……An〕=P〔A1〕·P〔A2〕……P〔An〕（四）例题讲解例1 某家庭中有2名小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．讨论A与B的独立性分析：有直观定义进行分析事件A与事件B 的关系也可以通过定义进行计算答：解法1：从直观意义上来看如果事件A发生,那么事件B一定也发生；如果事件B不发生，事件B也会发生，那么事件A 与事件B不具有相互独立性。
高中数学选修2-3精品教案6：2.2.2 事件的相互独立性教学设计
2.2.2 事件的相互独立性整体设计教材分析概率论是研究和揭示随机现象规律性的数学分支．它的理论和方法渗透到现实世界的各个领域，应用极为广泛．而在概率论中，独立性是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算．相互独立事件同时发生的概率与前面学习的等可能性事件、互斥事件有一个发生的概率，是三类典型的概率模型．将复杂问题分解为这三种基本形式，是处理概率问题的基本方法．因此，本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决现实问题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材．在本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景，为下一节起铺垫作用．课时分配1课时教学目标知识与技能理解两个事件相互独立的概念，能进行与事件独立性有关的概率的计算．过程与方法通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观通过对实例的分析，问题的探究，学会合作，提高学习数学的兴趣．重点难点教学重点：独立事件同时发生的概率．教学难点：有关独立事件发生的概率计算．教学过程引入新课我们知道求事件的概率有加法公式：若事件A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．那么怎么求A与B的积事件AB呢？回顾旧知：1．事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件，记为A∪B(或A＋B)；2．事件A 与B 都发生的事件叫做A 与B 的积事件，记为A ∩B (或AB )；如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )． 提出问题：甲果盘里有3个苹果，2个橙子，乙果盘里有2个苹果，2个橙子，从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率是多少？活动结果：不妨设事件A ：“从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”；事件B ：“从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果”．“从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作AB .(简称积事件)从甲果盘里摸出1个水果，有5种等可能的结果；从乙果盘里摸出1个水果，有4种等可能的结果．于是从这两个果盘里分别摸出1个水果，共有5×4种等可能的结果．同时摸出苹果的结果有3×2种．所以从这两个果盘里分别摸出1个水果，它们都是苹果的概率P (AB )＝3×25×4＝310. 探究新知提出问题：大家观察P (AB )与P (A )、P (B )有怎样的关系？活动结果：从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (A )＝35，从乙果盘里摸出1个水果，得到苹果的概率P (B )＝24.显然P (AB )＝P (A )P (B )． 继续探究：事件A 、B 是否互斥？(不互斥)可以同时发生吗？(可以)事件A 是否发生对事件B 发生的概率有无影响？(无影响)探究结果：显然，事件A “从甲果盘里摸出1个水果，得到苹果”对事件B “从乙果盘里摸出1个球水果，得到苹果”没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是：P (B |A )＝P (B )，又P (B |A )＝P (AB )P (A )，易得：P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )． 将上述问题一般化，得出如下定义：1．相互独立事件的定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)．理解新知事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫做相互独立事件．若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．简证：若A 与B 是相互独立事件，则P (AB )＝P (A )P (B )．所以P (A B )＝P (A )－P (AB )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )P (B )；P (A B )＝P (B )－P (AB )＝P (B )－P (A )P (B )＝(1－P (A ))P (B )＝P (A )P (B )；P (A B )＝P (A )－P (A B )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )(1－P (B ))＝P (A )P (B )； 即A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立．教师指出：定义表明如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，反之亦然．2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )．即两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．类比：若事件A 与B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．提出问题：该结论能否推广到一般情形？P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．活动结果：一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．运用新知例1已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？设计意图：题目富有趣味性，激发学生兴趣，使其创造力得到进一步发挥．解：设“臭皮匠老大解出问题”为事件A，“老二解出问题”为事件B，“老三解出问题”为事件C，“诸葛亮解出问题”为事件D，则三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为1－P(A B C)＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P(D)．所以，合三个臭皮匠之力解出问题的把握就大过诸葛亮．例2甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A 与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为：P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72，∴2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26，∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人不中”两种情况，其概率为P ＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(法2)：“2人至少有一个射中”与“2人都未射中”为对立事件，2人都未射中目标的概率是P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，∴2人至少有1人射中目标的概率为P＝1－P(A B)＝1－0.02＝0.98.(4)(法1)：“至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”，故所求概率为：P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.(法2)：“至多有1人射中目标”的对立事件是“2人都射中目标”，故所求概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－0.72＝0.28.变练演编在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．解：分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式1：如图添加第四个开关J D与其他三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．([1－P(A B C)]·P(D)＝0.973×0.7＝0.681 1)变式2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．方法一：P(A B C)＋P(A BC)＋P(A B C)＋P(ABC)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.847.方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除J C开且J A与J B至少有1个开的情况．则1－P(C)[1－P(AB)]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.达标检测已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率．解：(1)设“敌机被第k 门高炮击中”为事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1A 2A 3A 4A 5 .∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P (A 1A 2A 3A 4A 5 )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)P (A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5. ∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)设至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机，仿照(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ，∴令1－(45)n ≥0.9.∴(45)n ≤110. 两边取常用对数，得n ≥11－3lg2≈10.3. ∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．点评：逆向思考方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便．课堂小结1．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)互斥事件 相互独立事件 定义不可能同时发生的两个事件 事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响 概率公式 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) P (AB )＝P (A )P (B ) 2．解决概率问题的关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件．补充练习基础练习1．袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率是( )A.12B.25C.35D.1102．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( )A.160B.25C.35D.59603．两个篮球运动员在罚球时命中概率分别是0.7和0.6，每人投篮3次，则2人都恰好进2球的概率是________．【答案】1.D 2.C 3.0.190 512拓展练习某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1,2,3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1A 2A 3，于是所求概率为P (A 1A 2A 3)＝910×89×18＝110； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1A 2＋A 1A 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2A 3)＝110＋910×19＋910×89×18＝310.。
高中数学选修2-3优质学案：2.2.2 事件的相互独立性
2.2.2 事件的相互独立性[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝______________，则称事件A与事件B相互独立．思考1不可能事件与任何一个事件相互独立吗？思考2必然事件与任何一个事件相互独立吗？知识点二相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．思考如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？题型一相互独立事件的判断例1从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.反思与感悟对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A 为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练1(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥题型二相互独立事件同时发生的概率例2甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．反思与感悟解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A 与B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．题型三 相互独立事件概率的综合应用例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率． (3)用X 表示甲、乙、丙三人计算机考试获合格证书的人数，求X 的分布列．反思与感悟 求较复杂事件概率的一般步骤如下：(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． (1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (3)求ξ的分布列．1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A ．p 1p 2 B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1) C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2)2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( ) A.1425B.1225C.34D.353．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A.13B.23C.12D ．1 4．两个相互独立的事件A 和B ，若P (A )＝12，P (B )＝14，则P (AB )＝________.5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)提醒：完成作业 2.2.2[答案]精析知识梳理 知识点一 P (A )P (B )思考1 相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响． 思考2 相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响． 知识点二思考 正确．如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． 题型探究例1 解 (1)由于事件A 为“抽到K ”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件： 抽到K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥，由于P (A )＝113≠0，P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件． 跟踪训练1 (1)A (2)B[解析] (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}． 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．例2 解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件． (1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B 发生)．根据题意，事件A B 与A B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋[P (A B )＋P (A B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.跟踪训练2 解 甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14，1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516.(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元，0元，所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516.例3 解 (1)记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则 P (A )＝45×12＝25，P (B )＝34×23＝12，P (C )＝23×56＝59.因为P (C )>P (B )>P (A )，所以丙获得合格证书的可能性大．(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则 P (D )＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130. (3)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝35×12×49＝215，P (X ＝2)＝P (D )＝1130，P (X ＝3)＝25×12×59＝19，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)－P (X ＝3) ＝1－215－1130－19＝718.所以X 的分布列为跟踪训练3 解 (1)分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08，xy (1－z )＝0.12，(1－x )(1－y )(1－z )＝0.12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5.所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，所以P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z )＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A 的概率为0.24.(3)根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P (ξ＝0)＝0.24.根据分布列的性质，知P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)＝0.76. 所以ξ的分布列为当堂检测 1．B2．A [设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，根据题意知，P (A )＝810＝45，P (B )＝710，且A 与B 相互独立．故他们都命中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝45×710＝1425.]3．C [设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件A 和B 相互独立， 且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ， 则C ＝A B ∪A B ，且A B 和A B 互斥． 故P (C )＝P (A B ∪A B ) ＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－12×13＝12.] 4.18 5.370。
人教B版选修2-3事件的独立性
2.2.2事件的独立性【学习目标】1. 了解两个事件相互独立的概念，把握相互独立事件的概率公式，并能利用公式解决简单的问题。
2. 通过本节的学习，体会相互独立事件的概率在实际生活中的应用。
【学习过程】1. 依次抛掷两枚硬币，第一枚硬币正面向上（事件A ）对第二枚硬币正面向上（事件B ）有影响吗？先利用经验给出你的判断，再尝试分别计算P （B/A ）和P （B ），看他们是否相等？象上例这样，事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即P （B/A ）= P （B ）这时我们称两个事件A 、B ，并把这两个事件叫做 。
注1：当事件A 、B 相互独立时，A 与B ，A 与B ，A B 与也相互独立。
请对上例进行计算验证。
注2：两个相互独立事件发生的概率，等于 。
即 （用公式表示），试证明公式。
注3：如果事件12A A ，，…，n A 相互独立，则这n 个事件都发生的概率等于 ，即并且上式中任意多个事件i A 换成其 后等式仍然成立，试写出其中一个： 。
注4：在实际问题中，我们通过对事件本质进行分析或者经验就可知道事件是否相互独立，而不是通过计算去验证。
【典型例题】例1：甲乙两名运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率分别是0.6、0.7，计算（1）两人都投中的概率；（2）恰有一人投中的概率；（3）至多有一人投中的概率。
例2：三个开关并联，只要其中一个闭合，线路就能正常工作。
假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.8，计算在这段时间内线路正常工作的概率是多少？【变式】如果开关串联，则线路不能正常工作的概率是多少？【自学总结】1.相互独立事件与互斥事件的区别是什么？2.相互独立事件同时发生与互斥事件有一个发生的概率公式分别是什么？【当堂检测】1.三人独立地破译一个密码，每人破译的概率分别是111，，，则密码破译的概率534为。
2.甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，从每袋中任取1球，则至少取到1个红球的概率为。
高中数学选修2-3优质学案6：2.2.2 事件的相互独立性
2．2.2 事件的相互独立性[学习目标]1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．自主预习[新知提炼] 1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与，A 与，A 与B 也都相互独立． [注意]事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P (A )·P (B )． (1)充分性：由定义知P (AB )＝P (A )·P (B )时，事件A ，B 相互独立．(2)必要性：由A ，B 相互独立得P (B |A )＝P (B )，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )． [自我尝试]1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 2.若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0B.116C.14D.123.下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A 表示“第一次为正面”，B 表示“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数为偶数”D ．A 表示“一个灯泡能用1 000小时”，B 表示“一个灯泡能用2 000小时”讲练互动探究点1 相互独立事件的判断例1：判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”；(2)掷一枚骰子一次，事件A ：“出现偶数点”；事件B ：“出现3点或6点”；(3)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M ：“第一次摸到白球”，事件N ：“第二次摸到白球”．[跟踪训练]一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩． (2)家庭中有三个小孩．探究点2 相互独立事件同时发生的概率例2：甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率．[互动探究][变问法]在本例条件下，求： (1)恰有1个人译出密码的概率； (2)至少1个人译出密码的概率．[跟踪训练]某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．探究点3 相互独立事件的综合应用例3：在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率．(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．[跟踪训练] 一个箱子中原来装有大小相同的5个小球，其中3个红球，2个白球，规定：进行一次操作是指“从箱子中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱子中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱子中”．(1)求进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的概率；(2)求进行第二次操作后，箱子中红球个数ξ的分布列．当堂检测1．(2018·云南曲靖一中期中)某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.4D ．0.32．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( ) A.524B.512C.124D.383．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．课堂知识小结巩固提升[A 基础达标]1．(2018·广州综合测试)投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B .12 C.712D.342．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为( )①A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出奇数点}； ②A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3点}； ③A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3的倍数点}； ④A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出的点数小于4}； A ．1 B ．2 C ．3D ．43．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A.12B.13C.23D.344．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率5．(2018·重庆外国语学校高二期末)已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ＋AB ＋AB )＝0.44，则P (B )＝( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.66．某自助银行设有两台A TM 机．在某一时刻这两台ATM 机被占用的概率分别为13，12，则客户此刻到达需要等待的概率为________．7．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (BC )＝18，P (ABC )＝18，则P (B )＝________，P (AB )＝________．8．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是________．9．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率．10．如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每次都能投中)，记“投中最左侧3个小正方形区域”为事件A ，“投中最上面3个小正方形区域”为事件B .(1)求P (AB )，P (B |A )；(2)试判断事件A 与事件B 是否相互独立.[B 能力提升]11．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，89 B.⎣⎡⎦⎤19，59 C.⎣⎡⎦⎤23，89D.⎣⎡⎦⎤0，49 12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．13．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．14．(选做题)一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：从第一个学生开始买饭时计时．(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率； (2)X 表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X 的分布列．——★ 参 考 答 案 ★——自主预习[新知提炼] 1． P (A )P (B ) 2．B B [自我尝试]1.[[答案]](1)√ (2)√ (3)√2. B3. A讲练互动探究点1 相互独立事件的判断例1：[解](1)二者不可能同时发生，所以M 与N 是互斥事件． (2)基本事件Ω＝{1，2，3，4，5，6}， 事件A ＝{2，4，6}，事件B ＝{3，6}， 事件AB ＝{6}，P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，故事件A 与事件B 相互独立，A ，B 不是互斥事件．(3)事件M 是否发生对事件N 发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件． [方法归纳]判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子P (AB )＝P (A )P (B )来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A ，B 相互独立，这是定量判断. [跟踪训练]解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件． 于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的． 探究点2 相互独立事件同时发生的概率例2：[解]记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码“为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为： P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”， 所以至多1个人译出密码的概率为： 1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.[互动探究][变问法]解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件， 所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”， 所以至少1个人译出密码的概率为：1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.[方法归纳]相互独立事件概率的求解方法(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤： ①确定各事件是相互独立的； ②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求其积．(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法，即三个公式的联用：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)，P (A )＝1－P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )(A ，B 相互独立)．[跟踪训练]解：记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ， 显然事件A ，B ，C 相互独立， 则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)， (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率： P 2＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大． 探究点3 相互独立事件的综合应用例3：[解](1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”， 则P (A )＝C 12C 23＝23，=P (B )＝C 24C 35＝35.因为事件A 与B 相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P (AB )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415.(或P (AB )＝C 12·C 34C 23·C 35＝415)．(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，因为X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (ABC )＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (ABC )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075，P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (A －BC )＋P (A B －C ) ＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，所以X 的分布列为[方法归纳]概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A )＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．[跟踪训练] 解：(1)进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的对应事件为两次操作恰好一次白球一次红球，所以概率为：P ＝35×25＋25×45＝1425.(2)由题意进行第二次操作后，箱子中红球个数ξ的可能取值为3，4，5， P (ξ＝3)＝35×35＝925，P (ξ＝4)＝35×25＋25×45＝1425，P (ξ＝5)＝25×15＝225，所以箱子中红球个数ξ的分布列为：当堂检测1．[[解析]]选D.由相互独立事件同时发生的概率可知， 问题由乙答对的概率为P ＝0.6×0.5＝0.3，故选D.2．[[解析]]选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A 、B 分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB 为两班派出的都是三好学生，则P (AB )＝P (A )P (B )＝936×636＝124.3．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1A 2＋A 1－A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 巩固提升[A 基础达标]1．[[解析]]选C.因为P (A )＝12，P (B )＝16，所以P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，所以P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.所以A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.2．[[解析]]选A.①P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝0，所以A 与B 不独立．②P (A )＝12，P (B )＝16，P (AB )＝0，A 与B 不独立．③P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16，P (AB )＝P (A )P (B )，所以A 与B 独立． ④P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝16，P (A )P (B )≠P (AB )，所以A 与B 不独立．3．[[解析]]选B.因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B.4．[[解析]]选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．[[解析]]选A.因为A ，B 是相互独立事件，所以A ，B 和A ，B 均相互独立．因为P (A )＝0.2，P (AB ＋AB ＋AB )＝0.44，所以P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.44，所以0.2P (B )＋0.8P (B )＋0.2[1－P (B )]＝0.44，解得P (B )＝0.3. 6．16[[解析]]客户需要等待意味着这两台ATM 机同时被占用，故所求概率为P ＝13×12＝16.7．12 13[[解析]]因为P (AB C －)＝P (AB )P (C )＝16P (C )＝18，所以P (C )＝34，即P (C )＝14.又P (BC )＝P (B )·P (C )＝18，所以P (B )＝12，又P (AB )＝16，则P (A )＝13，所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝(1－13)×12＝13.8．725[[解析]]设“任取一本书是文科书”为事件A ，“任取一本书是精装书”为事件B ， 则A ，B 是相互独立事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，所以P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.9．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ， 则P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率为 p 1＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为p 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC )＝13×0.5×0.6＋13×0.6×0.9＋13×0.5×0.9＝0.43.10．解：(1)根据几何概型，得P (AB )＝19，P (A )＝13，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1913＝13.(2)根据几何概型，得P (B )＝13，所以有P (B |A )＝P (B )，即P (B )＝P （AB ）P （A ），因而P (A )P (B )＝P (AB )．由独立事件的定义，得事件A 与事件B 相互独立． [B 能力提升]11．[[解析]]选D.设事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－x )·(1－y )＝19，即1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy ，当且仅当x ＝y 时取“＝”，所以xy ≤23或xy≥43(舍去)，所以0≤xy ≤49.所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈⎣⎡⎦⎤0，49. 12．34[[解析]]设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”， 则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.13．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为45×56×(1－23)＝29，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为45×(1－56)×23＝445，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为(1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为(1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.14．解：设Y 表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如表：(1)A 表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，则事件A 对应三种情形： ①第一个学生买饭所需的时间为1分钟， 且第二个学生买饭所需的时间为3分钟； ②第一个学生买饭所需的时间为3分钟， 且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟．所以P (A )＝P (Y ＝1)P (Y ＝3)＋P (Y ＝3)P (Y ＝1)＋P (Y ＝2)P (Y ＝2) ＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22. (2)X 所有可能的取值为0，1，2，X ＝0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P (X ＝0)＝P (Y ＞2)＝0.5，X ＝1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟或第一个学生买饭所需的时间为2分钟， 所以P (X ＝1)＝P (Y ＝1)P (Y ＞1)＋P (Y ＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49， X ＝2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟．所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X 的分布列为。
2012高中数学人教新课标选修2-3第二章《事件的独立性》教案1
高中数学选修2-3修订教案2.2.2事件的独立性（第一课时）教学目标：了解两个事件相互独立的概念教学重点：了解两个事件相互独立的概念教学过程一、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）二、讲解新课：1、引例：盒中有5个球其中有3个绿的2个红的，每次取一个有放回的取两次，设,,,,A B ==第一次抽取取到绿球第二次抽取取到绿球 则3()()5P B A P B ==2、两个事件的独立性 事件B 发生与否可能对事件A 发生的概率有影响，但也有相反的情况，即有时没有 (|)()P A B P A =. (1)这时，()()(|)()()P AB P B P A B P A P B ==⋅. 反过来，若()()()P AB P A P B =⋅, (2)则 ()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===.这种情况称A 与B 独立. 当()0P B >时，(1)式与(2)式是等价的，一般情况下独立的定义来用(2)式，因为在形式上它关于A 与B 对称，且便于推广到n 个事件. (2)式也取消了()0P B >的条件. 事实上，若B =∅, 则()0P B =, 同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有(2)式，亦即任何事件都与∅独立. 同理任何事件也与必然事件Ω独立.注：1）实际应用中，如何判断两事件的独立性？实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断。
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§2.2.2 事件的独立性
教学目标
（1）理解两个事件相互独立的概念；
（2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算．
教学重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率． 教学过程
一．问题情境
1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次．
在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？
2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响． 二．学生活动
设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知
()12P A =
，()12P B =，()1
4
P AB =， 所以()
()()
1
2
P AB P A B P B =
=
． 即()()
P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率． 三．建构数学
1．两个事件的独立性
一般地，若事件A ，B 满足()
()P A B P A =，则称事件A ，B 独立． 当A ，B 独立时，若()0P A >，因为()
()()()P AB P A B P A P B =
=，
所以 ()()()P AB P A P B =，反过来()
()()
()P AB P B A P B P A =
=，
即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即
()()()P AB P A P B =．（*）
若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件
A ，
B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定．
事实上，若B φ=，则()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立. 2． 个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立，
则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A = ．
3． 立与互斥
回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发 时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件. 区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
事实上，当
()0
P A >，
()0
P B >时，若,A B 互斥，则AB φ=，从而
()0
P AB =，
但()()0P A P B >，因而等式()()()P AB P A P B =不成立，即互斥未必独立．若
,A B 独立，则()()()0P AB P A P B =>，从而,A B 不互斥（否则，()0P AB =，
导致矛盾）．
例如从一副扑克牌（５２张）中任抽一张，设A =“抽得老Ｋ”B =“抽的红牌”，C =“抽到Ｊ”，判断下列事件是否相互独立？是否互斥，是否对立？ ①A 与B ； ②A 与C 4
四．数学运用 1．例题：
例1．求证：若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立．
证：因为()()()P AB P AB P A += 所以()
()()P AB P A P AB =-． 因为A ，B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =， 于是()
()()()P AB P A P A P B =-
图2-3-2
()()()1P A P B =- ()()
P A P B =．
因此，事件A 与B 相互独立．
结论：若事件A 与B 独立则A 与B ，B 与A ，A 与 B 都独立． 例2．如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元 件连接成系统N ．当元件,,X Y Z 都正常工作 时，系统N 正常工
作．已知元件,,X Y Z 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 正常工作的概率P ．
解：若将元件,,X Y Z 正常工作分别记为事件,,A B C ，则系统N 正常工作为事件
ABC ．
根据题意，有()0.80P A =，()0.90P B =，()0.90P C =． 因为事件,,A B C 是相互独立的，所以系统N 正常工作的概率
()P P ABC = ()()()P A P B P C =
0.800.900.90=⨯⨯ 0.648=，
即系统N 正常工作的概率为0.648P =．
例3．加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3﹪，5﹪ ，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？ 分析：解决问题的过程可用流程图表示：（图234--）
图2-3-4
解法1 设A 表示事件“加工出来的零件是不合格品”，12,A A 分别表示事件“第一道工序出现不合格品”和“第二道工序出现不合格品”．因为依常理，第一道工序为不合格品，则该产品为不合格品，所以
112A A A A =+，
因为各道工序互不影响，所以
()()112P A P A A A =+()()
112P A P A A =+ ()()
()112P A P A P A =+
0.030.970.05=+⨯0.0785=．
解法2 因为12A A A =，所以
()()
12P A P A A = ()()
12P A P A =
()()1211P A P A =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()10.0310.05=--0.9215=， ()()
110.92150.0785P A P A =-=-=．
答：加工出来的零件是不合格品的概率是7.85﹪．
思考：如果A 和B 是两个相互独立的事件，那么()()1P A P B -表示什么？ 2．练习：第59页练习第1,2,3题．
五．回顾小结：
1．当A ，B 独立时，B ,A 也是独立的，即A 与B 独立是相互的． 2．当A ，B 独立时
()()
P A B P A =；()()P B A P B =；
或()()()P AB P A P B =
或A 事件的发生不影响事件B 的发生概率。