线性代数与解析几何试题(附解析)-中国科技大学

合集下载

中国科学技术大学2017年线性代数与解析几何考研试题及解答

2.
设直线
l:
1−x 3
=y+1=
3−z 2
在平面
x−y+z
=2
上的投影为
l1,
则
l1
的方程为
,l
绕 l1 旋转所得的曲面方程是 .
101
3. 矩阵 1 1 = −1 1
3 + a1b1 a1b2
,
行列式
det
a2b1
3 + a2b2
a1b3
a2b3
=
.
a3b1
a3b2 3 + a3b3
3 −2 1
2. (15分) 考虑二阶复方阵 M (C) 组成的复线性空间, 方阵 A = 7 2 以及线性变换 B : 37
M2(C) → M2(C) 满足 B(X) = AX − XA, 其中 X 为任意 2 阶方阵, 试证明: B 是可对角化的线性变换.
3. (20分) 设 V 是由次数不超过 3 的实系数多项式组成的线性空间. 对于任意的 f (x), g(x) ∈
解得
a
=
3 5
.
2. 设 l 与平面的交点为 (1 − 3t, t − 1, 3 − 2t), 由交点在平面上得 1 − 3t − t + 1 + 3 − 2t = 2, 解得
t
=
1 2
,
于是交点为
−
1 2
,
−
1 2
,
2
. l1 的一个方向向量为 (−3, 1, −2) × (1, −1, 1) × (1, −1, 1) =
就马上得到结论. 至于上面例题的证明可以翻书查阅, 书上给了两种证明, 第二种证明与证明惯性定理类似.

线性代数与空间解析几何及其应用课后习题1.1

1.11. 图1-1表示了B 省的3个城市123,,B B B 与C 省的3个城市123,,C C C 的交通连接图，称为一个交通网络.每条线上的数字表示此通路上不同的运路(公路，铁路，水路，空路)数目.若以(,1,2,3)ij a i j =表示从i B 到j C 的运路数，试写出矩阵()ij a =A.图1-1解：111213212223313233042213430a a a A a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 当22812x y u u z x ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭时，,,,x y z u 各取何值？解由2,2,1,82x u y u z x ===-=可得，4,1,1,2x y z u =-=-==-.. 3. 写出即是上三角形矩阵又是下三角行矩阵的n 阶矩阵的一般形式.解112200000nn a a A a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭4. 下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些不是？（1）321400010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;（2）321401560245⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）321401060010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（4）321400000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 解(1),(3)是，(2),(4)不是.5. 下列矩阵哪些是行简化的阶梯形矩阵，哪些不是？1021102011101101(1)0101;(2)0100;(3)0000;(4)0011.0010000100010000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解(1),(3)不是，(2),(4)是. 6. 写出线性方程组12n x x x b +++=的系数矩阵和增广矩阵，增广矩阵的行和列是多少？它是不是行阶梯形矩阵？是不是行简化阶梯形矩阵？解系数矩阵A =111000000n n⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵(1)11100000000n n b ⨯+⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭A .增广矩阵n 行，1n +列，它是行阶梯形矩阵，也是行简化的阶梯形矩阵习题1.21. 已知A =131023⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, B =202111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, C =122113-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.求：2+C A ;-+A B C ; 32-++A B C .解 1723243-⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭C A ;251241⎛⎫ ⎪-+=- ⎪⎪-⎝⎭A B C ;913211136-⎛⎫ ⎪-++=- ⎪ ⎪--⎝⎭A B C .2. 已知两个线性变换112321233123x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=+-⎨⎪=-+⎩及1123212332323245y z z z y z z z y z z =++⎧⎪=--+⎨⎪=+⎩，把它们分别表示为矩阵形式，并求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.解 111122223333111123111;124;111051x y y z x y y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222333111123058111124056111051290x z z x z z x z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪=---=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即 12322331258,56,29.x z z x z z x z z =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ 3. 已知矩阵1321⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，3012⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，381204⎛⎫= ⎪⎝⎭C .求：-AB BA ；BC ；CB ；22+A B ；T C A .解 3303-⎛⎫-=⎪-⎝⎭AB BA ；9243789⎛⎫= ⎪⎝⎭BC ；CB 无意义；22160511⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ；7782491T ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭C A .4. 设310121342⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭A ，102111211⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，且矩阵X 满足方程32-=A X B ，求X . 解 341251127115222⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X . 5. 设101λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，求2A ,3A ,nA (n 为正整数). 解 21021λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ,31031λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,101n n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .6. 某机械公司生产甲、乙、丙三种型号的机械，2000年和2001年的年产量如表1-1表1-1 表2-2型号产量甲乙丙2000年70 50 60 2001年80 60 70这三种机械的本价与销售价如表2-2所示，求两年的总成本和总销售额.解设67705060,7880607089⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B ,则6770506012501430788060701460167089⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭C AB . 即2000年的总成本是1250，销售总额是1430；2001年的总成本是1460，销售总额价格型号单位成本价销售价甲6 7 乙7 8 丙8 9是1670.7. 已知()1,2,3T=α，11(1,,)23T =β，设T =A αβ，求nA .解 1()()()()()()()Tn T TTT T TT Tn n ==A αβA αβαβαβαβαβαβαβαβ－个个＝，而111(1,,)23233T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭βα)，所以111333n n T n T n ---===A αβαβA . 8. 1143011-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求23456()()+-+-+-+A E E A A A A A A . 解原式=1043012-⎛⎫⎪-⎝⎭，2114114103011301101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E ,34567,,,,=====A A A E A A A E A A ，原式=71043012-⎛⎫+=+= ⎪-⎝⎭A E A E9. 设A 为m 阶对称矩阵，B 为m n ⨯矩阵，证明：TB AB 为n 阶对称矩阵. 证 ()()TTTT TT===B A B A B B B A BB A B，即T B AB 为对称矩阵. 10. 设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明ΑΒ为反对称矩阵的充分必要条件是=ΑΒΒΑ.证充分性,T T ==-A A ΒB ,又=ΑΒΒΑ，所以()T T T==-=-ΑΒΒΑΒΑΑΒ，即ΑΒ为反对称矩阵.必要性由()T=-AB AB ，又T T T ==-AB B A BA （），所以=ΑΒΒΑ. 习题1.31. 用分块矩阵计算下列矩阵乘积：(1) 321021201102240110104003-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(2) 11001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.解 (1) 设111221223210201124011040-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭A A A A A ，112121021003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭B B B ，则 1112111111122121222121112221+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A B A B A B AB A A B A B A B ，而1111322167200242⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B ， 1221101010110313--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B .则111112217735⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B A B .同理211122214921-⎛⎫+= ⎪-⎝⎭A B A B ，故原式77354921⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭AB . (2) 11112122212211001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A B A A B B 00 11112111222122220⎛⎫=⎪+⎝⎭A B A B A B A B 2000400010000056⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. 2. 设34004300,0024002⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭A 求2k A . 解设123424,4302⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A ，则2134342504343025⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，24221112250025⎛⎫==⋅⋅⋅⎪⎝⎭A A A ，，由数学归纳法可得21250025kkk ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,同理可得1224404kk kk k +⎛⎫= ⎪⎝⎭A .于是，有221212250000025000044004kk k kk k k k k +⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .3. 设A 为m n ⨯实矩阵，若,T=A A 0则=A 0.证将A 按列分块：12=(,,,)n ⋅⋅⋅A βββ，则12T T TT n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββA β，于是1111212212221212(,,,)T T T T n T T T T Tn n T T T Tn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββββββββββββββA A ββββββββββ，由,T =A A 0得0(1,2,,)T i i i n ==ββ,又因A 为实矩阵，故(1,2,,)0i i n ==β，故=A 0.4. 设120000=00n a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，其中当i j ≠时i j a a ≠(,1,2,,)i j n =.证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵.证设1111n n nn b b b b ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 与A 可交换，即 11111111110000000000n n n n nn n nn n a b b b b a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11111211111212122122222121222212211222n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1,,n a a 互异，比较非对角元素得i ij j ij a b a b = 即0i j ij a a b =(-)，于是0()ij b i j =≠,故与A 可交换的矩阵1122000000000000nn b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭B 为对角阵. 5. 当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出一组矩阵1,,k x x ，它们给出卫星在不同时间里的位置与计划轨道的比较.设()12,,,k k =X x x x ,矩阵Tk k k=G X X 需要在雷达分析数据时计算出来，当1k +x 到达时，新的1k +G 必须计算出来.因数据矩阵高速达到，所以计算负担很重，而分块矩阵的计算在其中起了很大的作用.试写出从k G 计算1k +G 的矩阵形式. 解由于()12,,,k k =X x x x ,所以()11,k k k ++=X X x ,又Tk k k=G X X ,因此 ()1111111,T TT T k k k k k k k k k k T k +++++++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭X G X X X x X X x x x . 习题1.41. 设A 是三阶方阵，将A 的第1列与第2列变换得到B ，再把B 的第2列加到第3 列得到C ，以满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为( ).01001001001()100;()101;()100;()100101001011001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 分析 C 是对A 实行两次初等列变换得到的，因此C 可由A 与初等矩阵的乘积表示.解 −−−−→A B 初等列变换，即为010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B A ，−−−−→B C 初等列变换，即为100011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C B ，所以010100011100011100001001001C A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此应选()D .2. 把下列矩阵化为行最简形矩阵：10210231(1)2031;(2)0343;30430471--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 11343231373354112024(3);(4)22320328303342123743----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭.解 10050105(1)0013;(2)0013;00000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11023102020012201103(3);(4)00000000140000000000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 设111213113112321333212223212223313233313233333,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，问B 是A 经过哪种类型的初等变换得到的？并写出相应的初等矩阵.解 111213212223313233103(3(3),1)010001a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B E A . 4. 设201413411234⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A .(1) 求(1(2),2)E A ; (2) (2,3)E A ; (3) (3(2))E A .解 10020142014(1)(1(2),2)01013411341201123452512⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 1002014201(2)(2,3)00113411234010********⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 100201421(3)(3(2))0101341134100212342468⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A. 5. 把矩阵4321⎛⎫=⎪⎝⎭A 表示成初等矩阵的乘积.解 12212432121214301r r r r ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−→−−−→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1121220100101r r r ⨯-⎛⎫⎛⎫−−−→−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E即(1,2)(1(2),2)(2(1),1)(1(2))=A E E E E习题1.51. 设航线图如图1-3所示，(1) 写出邻接矩阵；(2) 求出顶点3V 到1V 长为3条航线的条数；(3) 是否存在从顶点4V 到2V 的长为3的航路？图1-3解（1）0100001111011000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ；（2）2条：3241V V V V →→→；3231V V V V →→→；.（3）不存在 32101121122120011⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 2. 设{}123456,,,,,X x x x x x x =表示6个人的集合.用R 表示他们彼此之间的相貌相像的程度,如表1-3，表中i x 行和j x 列交叉处的数字表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度，则R 是X 上的Fuzzy 关系，其隶属函数(,)R i j x x μ就是i x 行与j x 列交叉处的数字，又(,)R i i x x μ=1表示任何个人自身与自身完全相象，(,)(,)R i j R j i x x x x μμ=表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度与j x 和i x 的相像程度相同，写出这个Fuzzy 矩阵，并求出它的合成.解 10.8210.820.200.850.350.650.82100.900.120.120.20010.120.850.250.850.900.1210.250.200.350.120.850.251⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，210.820.820.200.820.350.8210.850.350.850.350.820.8510.200.900.350.200.350.2010.250.850.820.850.900.2510.350.350.350.350.850.351⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .复习题一1. 若1122125212111231c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭C ，则=C _________. 解由415a +-=，得110,4a c ==;又由1261b -++=-，得223,7b c =-=-. 答案4517⎛⎫⎪--⎝⎭.2. 设α为3行的列矩阵，若111111111T -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭αα，则=ααT_________.解设(,,)T x y z =α,则222Tx xy xz xyy yz xz yzz ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αα，故2221x y z ===.因而 2223T x y z =++=αα.答案为3.3. 设111213122223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B ,1010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,2100010101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则必有__________.(A )12=AP P B ; (B)12P P A =B ;(C)21AP P =B ;(D)21P P A =B .解解法一选(B).首先，用初等矩阵右乘A 表示A 作行变换，故可排除(A),(C).2P A 表示将A 的第1行加于第3行，12()P P A 表示再将1,2两行变换.解法二此题考察矩阵的初等变换和初等矩阵，比较矩阵A 和B ，可发现把矩阵A 的第一行加到第三行，再把第二行与第一行互换，则可得到矩阵B ,而对矩阵做初等行变换，就相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵，故上述过程恰相当于先对A 左乘2P ，再左乘1P ，即12P P A =B ，应选(B).4. 设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b ==αβ，求(1) ,TTαβαβ；(2) 令求T=γαβ，求kγ.解 (1) 12121122(,,,)Tn n n n b ba a a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪⎝⎭αβ，()1111212212221212n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ. (2) ()()()kTTT =γαβαβαβ ()()()T T T T =αβαβαβαβ11()nTk i j i a b-==∑αβ11()nk Ti j i a b -==∑αβ11()nk i j i a b -==∑γ.5. 设()12=+A B E ，证明：2=A A 当且仅当2=B E . 证先证必要性设2=A A ，因为()()()2221112242⎡⎤=+=++==+⎢⎥⎣⎦A B E B B E A B E ，即 ()22222++=+=+B B E B E B E ，所以2=B E .再证充分性设2=B E ，则有()()()2211122442=++=++=+=A B B E E B E B E A . 6. 任意一个n n ⨯矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证任一n n ⨯矩阵都可以表示为：22T T+-=+A A A A A ，因为 222T T T⎛⎫+++== ⎪⎝⎭A A A A A A ，即2T +A A 为对称矩阵，又222TT T T ⎛⎫---==- ⎪⎝⎭A A A A A A ，即2T-A A 为反对称矩阵. 7. 证明：如果A 是实对称矩阵且=A 20，那么=A 0.证设111nn n nn a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ,因为T=A A ,所以 2221112122222122222212******nnn n nn a a a a a a a a a T⎛⎫+++⎪+++⎪=== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A AA AA , 又因为=A 20，所以222120,12,i i in a a a i n+++==,,.由于()12,,;12,,ij a i n j n ==,,均为实数，故有120i i in a a a ===，12,,i n =,.即=A 0.8. 设,A B 均为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是A 与B 可变换.证由于,A B 是对称的，故,T T==A A B B ，如果=AB BA ，则可得()TT T ===AB B A BA AB ，即乘积AB 是对称的.反之，若AB 是对称的，即()T =AB AB ,则()TT T===AB AB B A BA ，即A 与B是可变换的.9. 设A 是任一方阵，证明,T T +A A AA 均为对称矩阵. 证 ()()()(),TTTTT TTT T T TT +=+=+==A AA A A A A AAA A A. 10. 设111222333⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求24100,,A A A .解 ()121,1,13⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,所以()()()()2111121,1,121,1,1261,1,1621,1,163333⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦A A ,同理34100996,6==A A A A .11. 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，试计算mA ，其中m 为正整数. 解为简化高阶幂mA 的计算，首先将其分解为一个列向量与一个行向量的乘积，为此令()()1212,,,,,,,Tn n a a a b b b ==αβ，则=A αβ，且1212(,,,)n n i i i n a a b b b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑βα 为一个数.为方便计算，令λ=βα,则()()()()()()1111.mmm m m m λλ----======βαA αβαβαβαββαβαβαβαβαββααβαβA 个12. 设11r r a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭E A E ，其中当i j ≠时i a ≠j a (),1,2,i j n =，i E 是i n 阶单位矩阵，1ri i n n ==∑.证明：与A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵1r ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭A A ，其中i A 是i n 阶矩阵.证设1112112r r r rr ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B B B B B B B 与A 可变换，其中B 与A 分块方式相同， 111211112111111212r r r r r r rr r r rr r r a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B B B B B B E E E B B B B B B E ，即111112111112121121112r r r r r r r r rr r r r rr a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B B B B B BB B B B B ,由于12,r a a a 互异，比较非对角块元素得i ij j ij a a =B B ，即()0i j ij a a -=B ，于是()0ij i j =≠B ，因此与A 可交换的矩阵1122rr ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B B B B 是准对角矩阵.。

中科大历年考研数学真题

直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对

线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大

线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ，由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ，于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.）（6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.）（13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分）同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*）记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ，解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L，解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ，其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ，其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ，其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ，故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。

2013-2014线性代数与空间解析几何试卷及答案A

试卷编号：A20140106一、单项选择题 (将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分) 1、设A 、B 为n 阶方阵，且满足等式AB =0，则必有（ C ）．)(A 0=A 或0=B )(B 0=BA)(C 0=A 或 0=B )(D 0=+B A2、直线182511:+=--=-z y x l 与平面132:=++z y x π的关系为（ A ）． (A )l ∥π (B ) l 在π内 (C ) l ⊥π (D )不是前面三种关3、设n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则（B ）． )(A A 的列向量组线性无关 )(B A 的列向量组线性相关 )(C A 的行向量组线性无关)(D A 的行向量组线性相关4、 n 阶方阵A 能与对角矩阵相似的充分必要条件是( C)A A )(是实对称矩阵 AB )(有n 个特征值互不相等 AC )(有n 个线性无关的特征向量 )(D A 的特征向量两两正交.5、设31212322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=为正定二次型，则t 的取值范围是（ C ）．)(A 22<<-t )(B 2<t )(C 22<<-t )(D 2>t二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=421321B ,则=TAB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-7052． 2、A 为3阶矩阵，且满足3=A ,则13-A = 9 .3、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=30511132a A ，且R (A )=2，则a =6-．4、利用施密特正交化方法将向量组T α）（2,2,11-=T α）（1,0,12--=正交化得1β=Tα），，（2211-=，2β=T )1,2,2(31-5、yoz 面上双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z b y 绕 y 轴旋转所得的旋转曲面方程为122222=+-c z x b y ．三、（8分）计算行列式：1122111115003300----=D .解：D 2211111100510033)1(2-----…………………………… 3分22115133-⋅--=………………………………………………………6分48)4()12(=-⨯-=………………………………………………………… 8分四、(8分) 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111123121A 的逆矩阵．解 41c c ↔32c c ↔分2100111010123001121)(ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛM ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=E A五、(8分) 已知BP P =A ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=300002010P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010001B ，求100A ． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−--10103001348000112113123r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−-101030310410001121323r r 分48311200310410621901313323ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−-+r r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⨯32411211003104106219011213r 分63241121100310310100414100122349ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−-+r r r r q 分832411213103104141ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∴1-A解由BP A P =得BP P A 1-=…………………………………………… 2分故P B P A 1001100-=……………………………………………………… 5分E P P EP P ===--11…………………………………………… 8分六、(8分) 已知两直线方程为130211:1--=-=-z y x l , 12122:2zy x l =-=+，求过1l 且平行于2l 的平面方程．解：所求平面的法向量)2,3,2(12210121-=-=⨯=k jis s n ……………………………… 3分因所求平面过1l ，故过点(1,2,3). …………………… ………… 5分由平面的点法式方程得所求平面方程为0)3(2)2(3)1(2=-+---z y x即02232=-+-z y x ……………………………… 8分七、(8分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11212α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12313α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14624α的秩及其一个极大无关组．解线()ααααA ,,,4321=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛---−−→−+42104210211112r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛---−−→−-+0000421021112423r r r r所以且为其一个极大无关组. …………………………………… 8分八、（10分）求下列非齐次线性方程组的通解：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+-=+-+=+-+.1522,311452,042432143214321x x x x x x x x x x x x 解：对方程组的增广矩阵（A b ）施以初等行变换，化为行最简形矩阵：)2(1522131145204211)(分ΛΛΛΛΛΛΛΛΛM ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=b A )4(000001101013201000001101004211分ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→---- 由此可知，,2)()(==b A r A r M 所以方程组有无穷多解，由此可得到原方程组的同解方程组⎩⎨⎧--=-+=424311321x x x x x令自由未知量043==x x ,得原方程组的一个特解 )6()0,0,1,1(0分ΛT r -=原方程组的导出组通解方程组为⎩⎨⎧-=-=4243132x x x x x令自由未知量，，分别取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100143x x 可得导出组的一个基础解系分6000053004210211134ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−↔r r ()分73,,,4321ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=ααααR ααα,,321)8(1,0,1,301,0,221分）（，），（ΛΛΛΛΛΛΛΛTT ξξ--==于是，原方程组的通解为分）（为任意常数10),(2122110ΛΛc c ξc ξc r x ++=九、( 10分 ) 利用正交变换法将二次型322322213212334),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形．解：二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310130004A ……………………………………………… 1分2)4)(2(310130004λλλλλE λA --=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-所以A 的特征值为21=λ，432==λλ， ………………………………… 3分当21=λ时，解方程组 0)2(=-x E A 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110110002321x x x ，得基础解系T ξ)110(1-=，，，单位化得Tp )21210(1-=，，……………………………………… 5分当432==λλ时，解方程组 0)4(=-x E A 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110110000321x x x ，得基础解系T ξ)001(2，，=，T ξ)1,1,0(3= . 因32,ξξ正交，单位化得T p )001(2，，=T p )21,21,0(3=.……………8分取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102121021010),,(321p p p P ， ……………………………………………9分线订装专业年级及班级姓名学号则正交变换Py x =将二次型化为标准形232221442y y y f ++= …………… 10分。

中科大：线性代数与解析几何试题期末试题

考试试卷册考试科目线性代数出卷教师使用班级中国科学技术大学教务处中国科学技术大学考试科目:线性代数得分: 学生所在系:姓名:学号:一．填空题（每空4分，共20分）（1）设3阶方阵)3,,2(),,(αγβγβα==B A ，，其中γβα,,为3维列向量。

若1det =A ，则=B det（2）设B A ,为n 阶可逆方阵，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1n I BA （3）设A 为n 阶方阵，3det =A ，*A 为A 的伴随方阵，则=*det A（4）设321,,e e e 为线性空间V 的一组基，则从基132,,e e e 到基213,,e e e 的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（5）设实二次型3121232221321 22),,(x x t x x x x x x x x Q ++++=是定正的，则t 的取值范围是二．下列命题是否正确，并简要说明理由。

（每题5分，共20分）（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1152376412A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=020000301B 相抵。

（2） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010111A 和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100110011B 相似。

（3）任意n 阶实方阵B A ,满足BA AB rank rank =。

（4）不存在n 阶实方阵B A ,使得n I BA AB =-。

三．（15分）实数λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=++221321321321x x x x x x x x x λλλλ无解，有唯一解，或有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其通解。

四．（15分）设3维实线性空间3R 上线性变换✌将向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32010121αα，，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5303α分别映到向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122320021321βββ，，。

求✌在基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001100010321γγγ，，下的矩阵。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2019科大

线性代数期末试卷（一）一、填空题（每小题3分）（4）设12243311t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，=AB 0，则t =_________.解：3-.若||0≠A ，则A 可逆，由=AB 0知，=B 0，与B 为非零矩阵矛盾，故有||0=A . 122||0811(8)77117(3)077t t t -==-=-⋅+⋅=+-A 行，所以 3t =-.二、选择题（每小题3分）（4）设111122232333,,a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，则三条直线1110a x b y c ++=2220a x b y c ++= （其中220,1,2,3i i a b i +≠=）3330a x b y c ++=交于一点的充要条件是（A ）123,,ααα线性相关；（B ）123,,ααα线性无关；（C ）秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα；（D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. 解：（D ）正确.11221233(,)a b a b a b ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A αα，111222123333(,,)a b c a b c a b c -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ααα 三条直线交于一点的充要条件是方程组3x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A α有唯一解，当且仅当()()r r =A A ，且r n =时成立，即()()2r r ==A A ，这说明12,αα线性无关，123,,-ααα线性相关，也就是123,,ααα线性相关，12,αα线性无关，故选（D ）.仅123,,ααα线性相关，不足以保证()()r r =A A ，可能无解，故（A ）不对. 123,,ααα线性无关，()2()3r r =<=A A ，无解，（B ）不对.当12312(,,)(,)r r =ααααα，说明方程组有解，但无法确保解唯一，故（C ）不对.七、（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分）（1）设B 是秩为2的54⨯的矩阵，T T12(1,1,2,3),(1,2,4,1),==--αα T 3(5,1,8,9)=--α是齐次线性方程组=Bx 0的解向量，求x =B 0的解空间的一个标准正交基.解：因秩()2r =B ，故解空间的维数为422-=. 又 12,αα线性无关，故12,αα是解空间的基. 取 T11(1,1,2,3)==βα，2122111(,)(,)=-αββαβββT T 1(1,1,4,1)(1,1,2,3)3=---T 4210(,,,2)333=--，故T T 122,3),2,1,5,3)==--εε 即是所求的一个标准正交基.（2）已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ是矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量.（i ）试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值；（ii ）问A 是否相似于对角阵？说明理由. 解：（i ）由2121()5310.121a b --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=---= ⎪⎪ ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭I A ξλλλλ即 2120,530,120,a b -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪---=⎩λλλ解得 3,0,1a b =-==-λ.（ii ）由3212212533,||533(1),102102---⎛⎫⎪=--=-+-=+ ⎪ ⎪--+⎝⎭A I A λλλλλ 知1=-λ是A 的三重特征值.但秩312()5232101r r --⎛⎫⎪--=--= ⎪ ⎪⎝⎭I A ，从而1=-λ对应的线性无关特征向量只有一个，故A 不能相似于对角阵.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .解（1）因||0≠A 及||||0=-≠B A ，故B 可逆.（2）记ij E 是由n 阶单位矩阵的第i 行和第j 行对换后所得到的初等矩阵，则ij =B E A . 因而 11111()ij ij ij ij -----====ABA E A AA E E E .线性代数期末试卷（二）试卷（二）一、填空题（每小题3分）（5）已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t =-==-ααα的秩为2，则t =__________. 解： 3 .13212111211045204522000422t t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭行ααα121104520030t -⎛⎫ ⎪−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭行由向量组123,,ααα秩为2，知3t =.三、（6）（本题满分5分）已知111011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2-=A AB I ，其中I 是三阶单位矩阵，求矩阵B .解：由2()-=-=A AB A A B I ，及||10=-≠A ，知1--=A B A ，即 1-=-B A A ，又 1112011001---⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A .从而 111112021011011000001001000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B .四、（本题满分8分）λ取可值时，方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪=-=-⎩λλ无解，有唯一解或有无究多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解.解法1 原方程组的系数行列式2211154(1)(54),455-∆=-=--=-+-λλλλλλ 故当1≠λ，且45≠-λ时，方程组有唯一解. 当1=λ原方程组为12312312321,2,455 1.x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：211103331112111245510999---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111201110000-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].当45=-λ时，原方程组的同解方程组为 12312312310455,45510,4551,x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩对其增广矩阵施行行初等变换：1045510455455104551045510009----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，由此可知当45=-λ时，原方程组无解.解法2 对原方程组的增广矩阵施行行初等变换：2112111122103455165506--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭λλλλλλ211210354009-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝⎭λλλλ.于是，当45=-λ时，原方程组无解，当1≠λ且45≠-λ时，原方程组有唯一解，因此，当1=λ时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,().x x k x k k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩为任意实数[或T T T123(,,)(1,1,0)(0,1,1)x x x k =-+（k 为任意实数）].线性代数期末试卷（三）一、填空题（每小题3分）（4）若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是__________.二次型的矩阵为210112012t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1阶顺序主子式为1, 2阶顺序主子式为2110,311=>阶顺序主子式为21021111022201122tt tt =2202t -=>，故220t ->，即t <<二、选择题（每小题3分）（3）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A ）122331,,++-αααααα （B ）1223123,,2++++ααααααα （C ）1223212,2,3+++αααααα（D ）123123123,2322,355++-++-ααααααααα解：（C ）正确对于（A ）向量组：考虑线性式112223331()()()k k k ++++-=αααααα0即 112233123(,,)k k k ⎛⎫ ⎪++-= ⎪ ⎪⎝⎭αααααα0112323101()110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ααα0因为123,,ααα线性无关，所以123101110011k k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0.因为101110011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故上式有非零解，故（A ）向量组线性相关，故（A ）不正确. 因此向量组是否线性无关由对应的矩阵是否可逆而定，对于（B ）有1223123(,,2)++++=ααααααα123101(,,)112011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ααα，因为101112011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭不可逆，故（B ）向量组线性相关. 对于（C ）有122321(2,2,3)+++=αααααα 123101(,,)220033⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ααα，对于（D ）有123123123(,2322,355)++-++-=ααααααααα 123123(,,)1351225⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ααα. 因为（D ）中矩阵1231351225⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭不可逆，而（C ）中矩阵101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是可逆阵，故（C ）正确. （4）设,A B 为同阶可逆矩阵，则（A ）=AB BA ；（B ）存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ；（C ）存在可逆矩阵C ，使T=C AC B ；（D ）存在可逆矩阵P 和Q ，使=PAQ B . 解：（D ）正确因为,A B 是同阶可逆矩阵，不妨设阶数为n ，于是它们都与n 阶单位阵E 等价，故A 与B 等价. （A ）说的是,A B 可交换；（B ）说的是,A B 相似（C ）说的是,A B 合同显然,A B 同阶且可逆不能保证上述三种结论成立. （D ）说的恰是,A B 等价，故选（D ）.九、（本题满分6分）设A 为n 除非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 T *T 0,,||b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭IA P Q AA ααα 其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。

09级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案

《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(100221)一、单项选择（每小题2分，共10分）1.C2.A3.B4.D5.C 二、填空题（每小题2分，共12分）1.800,2.O,3. 4,4. 20y z +=,5. 4I -,6. 5. 三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 123111111111001/2(,,,)022102210101/2110102120011A αααβ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==→→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6 分向量组秩为3，8 分 1231122βααα=-+ 10分2.解 2111||432(1)(3)003I A λλλλλλ+---=-=---，特征值为1231,3λλλ===4 分21121011,422001,2(0)0020000I A k k λξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-→=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时特征向量，6 分 411101/213,3402013,6(0)0000002I A k k λξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=→-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时特征向量，8 分 A A 只有两个线性无关的特征向量，因此不可与对角矩阵相似。

10 分3.解二次型对应的矩阵11212t A t -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭１５3 分 212110,10||11t P P t t t =>==->⇔<，5 分311412(54)005125t P tt t t -==-+>⇔-<<-8 分故二次型为正定的充要条件为405t -<<。

10 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解 22(23)()2||||3||||9u v a b a b a a b b ⋅=+⋅-=+⋅-=-,222||||()()||||2||||3v a b a b a a b b =-⋅-=-⋅+=, ⋅=-=Pr j ||||v u v v u (3+3+2)2.解 110(1,1,2)111i j ks ==---,3 分 1(0,3,1)n = , 1112(5,1,3)031i j kn s n =⨯=--=-6 分所求的平面方程 5360x y z -+-=。

10级《线性代数与空间解析几何》试题A参考答案

1《线性代数与空间解析几何》试题(A)参考答案与评分标准(20110117)一、单项选择（每小题2分，共10分） 1.C 2.A 3.B 4.D 5.B二、填空题（每小题2分，共12分）1、I ,2、11121x y z --==-, 3、(4,2,2)-, 4、16-, 5、n , 6、3. 三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 1234100210021002011101110111(,,,)000100010021111000210001T T T TA αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，6分向量组的秩为4，8分最大无关组 1234,,,.αααα10分(写成矩阵不得分)2.解 21111(1)(2)11λλλλλ=-+，4分 12,5λλ≠≠-当且时方程组有唯一解分2λ=-当时，方程组无解7分(结论1分，过程1分)1λ=当时，方程组有无穷多解,8分通解12111010001x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10分3.解设α对应特征值为λ，则 21211115311,2,3121110a a ab b b λλλλλ-=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪=+==-⎨⎨ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪----+=-=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎩即(262)++分四、计算题（每小题8分，共16分）1.解142=⨯=⨯=||||2分5分8分S u v a b2.解 213(8,1,5)122i j kn =-=--,5分(2+3) 所求的平面方程 8560x y z +-+=。

8分五、计算题（每小题8分，共16分）1.解二次型对应的矩阵320230002A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭2分 A 的特征值为1231,2,5λλλ===，4分1211011,0,1010ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6分 01/01/010P ⎛- = ⎪⎝⎭7分故二次型的标准型22212325y y y ++。

线性代数期末试卷及解析(4套全)2016科大

·207·线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可化成标准形216f y =，则a =__________. 解：a = 2 .二次型f 的矩阵为222222a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A222||22(4)(2)22a E A a a a a----=---=---+---λλλλλλ 故A 的特征值为4a =+λ及2a =-λ的二重根经正交变换22221122331,6f y y y y ==++=x Py λλλ 所以有12360===λλλ，由此 4620a a +=⎧⎨-=⎩推出 2a =二、选择题（每小题3分）（4）设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（A ）（B ）（C ）（D ）解：（B ）正确.由于线性方程组123,1,2,3i i i i a x a y a z b i ++==， ()()23r A r A ==<，所以方程组有解，并且无穷多解.（A ）表示三个平面有唯一的交点，说明线性方程组有唯一解，此时()()3r A r A ==，故（A ）不对.·208· （C ）表示三个平面两两相交，但三个平面无公共点，说明线方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（C ）不对.（D ）表示三个平面中有两个平行平面，与第三个平面相交，但三个平面无公共点，说明线性方程组无解，此时()2()3r A r A =<=，故（D ）不对. （B ）中三个平面相交于同一直线，说明方程组有解，且无穷多解，因此必有()()3r A r A =≠，又三平面既不是重合平面，又不是平行平面，故()2r =A ，即（B ）正确.九、（本题满分6分）已知4阶方阵12341234(,,,),,,,=A αααααααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=Ax β的通解.解法1 令1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x ，则由12123434(,,,)x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ax ααααβ得112233441234x x x x +++=+++αααααααα，将1232=-ααα代入上式，整理后得12213344(23)()(1)x x x x x +-+-++-=ααα0. 由234,,ααα线性无关，知12134230,0,10.x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解此方程组得01320110k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，其中k 为任意常数.解法2 由234,,ααα线性无关和123420=-+αααα，故A 的秩为3，因此=Ax 0的基础解系中只包含一个向量.由 12342-++=αααα0·209·知1210⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为齐次线性方程组=Ax 0的一个解，所以其通解为12,10k k ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数.再由 123412341111(,,,)1111⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭βααααααααA知1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为非齐次线性方程组=Ax β的一个特解，于是=Ax β的通解为11121110x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数.十、（本题满分8分）设,A B 为同阶方阵，（1）如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立. （3）当,A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立. 证：（1）若,A B 相似，那么存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故 111|||||λλλ----=-=-=E B E P AP P EP P AP B ，故11|()|||||||λλ--=-=-P E A P P E A P 1||||||||.λλ-=-=-P P E A E A（2）令0100,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，那么2||||λλλ-==-E A E B ，但,A B 不相似. 否则，存在可逆矩阵P ，使 1-==P AP B 0，·210· 从而1-==A PBP 0，矛盾.（3）由,A B 均为实对称矩阵知，,A B 均相似于对角阵.若,A B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为1,,n λλL ，则有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ， B 也相似于1n λλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭O ，即存在可逆矩阵,P Q 使111n λλ--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P AP Q BQ O. 于是111()()---=PQ A PQ B .由1-PQ 为可逆矩阵知，A 与B 相似.·211·线性代数期末试卷二一、填空题（每小题3分）（5）矩阵022222222--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是__________.解： 4 .设 022222222--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A232222||2220222222r r +-=--===--λλλI A λλλλλ3222000(4)224c c -====--λλλλλ故非零特征值为4.二、选择题（每小题3分）（5）设向量组123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（A ）12312,,,k +αααββ线性无关（B ）12312,,,k +αααββ线性相关（C ）12312,,,k +αααββ线性无关（D ）12312,,,k +αααββ线性无关解：（A ）正确因为123,,ααα线性无关，1β可由123,,ααα线性表示，所以1231,,,αααβ线性相关；2β不能由123,,ααα线性表示，所以1232,,,αααβ线性无关.取0k =，说明（B ）、（C ）不对，而仅当0k =时，（D ）才成立，故（D ）不对，现证（A ）正确.易见12k +ββ不能表成123,,ααα的线性组合，如若不然，存在常数123,,l l l 使 12112233k l l l ++++ββααα则 21122331l l l k =++-βαααβ （1）而1β可由123,,ααα线性表示，即存在常数123,,k k k ，使1112233k k k =++βααα （2）（2）代入（1）2111222333()()()l kk l kk l kk =-+-+-βααα·212· 这与2β不能由123,,ααα线性表示矛盾. 可见12312,,,k +αααββ线性无关，当然也可以用线性无关的定义来证明该结论.十一、（本题满分6分）已知,A B 为3阶矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 是3阶单位矩阵. （1）证明：矩阵2-A E 可逆；（2）若120120002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求矩阵A .解（1）由124-=-A B B E 知24--=AB B A 0，从而 (2)(4)8--=A E B E E ，或 1(2)(4)8-⋅-=A E B E E .故2-A E 可逆，且11(2)(4)8--=-A E B E .（2）由（1）知128(4)-=+-A E B E ，而 111104432013(4)1200,880021002--⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭B E 故 020110002⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A .十二、（本题满分6分）同试卷（一）九.·213·线性代数期末试卷三一、填空题（每小题3分）（3）设三阶矩阵122212304-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，三维列向量T (,1,1)a =α，已知A α与α线性相关，则a =__________.解：1a =-.122212123304134a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α由A α与α线性相关，故k =A αα，即2334a ka a k a k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故1a =-二、选择题（每小题3分）（3）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()=AB x 0 （A ）当n m >时仅有零解. （B ）当n m >时必有非零解. （C ）当m n >时仅有零解. （D ）当m n >时必有非零解. 解：（D ）正确因为A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，所以AB 是m m ⨯方阵，故x 为1m ⨯列向量线性方程组()=AB x 0可写成()=A B x 0，这说明=Bx 0的解一定是()=AB x 0的解.当m n >时，=Bx 0必有非零解，所以()=AB x 0必有非零解，故（D ）正确，而（C ）错误.当n m >时，取B 为零阵时，x 为任意m 维向量=Bx 0，()=AB x 0故（A ）不正确.当n m >时，取10100,0101011⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 时，2,()==AB E AB x 0仅有零解，故（B ）错误.事实上只要选择,A B 使AB 满秩阵即知（B ）不对. （4）设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量是·214· （A ）1-P α. （B ）T P α. （C ）P α. （D ）1T ()-P α. 解：（B ）正确.由已知条件=A αλα因A 是对称阵，故1T T T 1T T T 1()()()---==P AP P A P P A P . 因此有T T 1T T T T ()()()-⋅===P A P P αP AαP λαλP α这说明T P α是1T ()-P AP 属于特征值λ的特征向量，故（B ）正确. 本题的关键是与向量α左乘的矩阵是T P 才能与T 1()-P 消掉，（A ）、（C ）、（D ）不具备此形式. 九、（本题满分8分）设齐次线性方程组1231231230,0,0.n nn ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L L其中0,0,2a b n ≠≠≥. 试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 解：方程组的系数行列式1||[(1)]()n a b b bb a b ba nb a b b b a b b b b a-==+--A L LLM M M M L. （1）当a b ≠且(1)a n b ≠-时，方程组仅有零解. （2）当a b =时，对系数矩阵A 作行初等变换，有111100000000a a a a aa a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L K L L M M M M M M M M LL. 原方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L其基础解系为T T T 121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-αααL L L L . 方程组的全部解是·215·112211n n c c c --=+++x αααL （121,,,n c c c -L 为任意常数）.（3）当(1)a n b =-时，对系数矩阵A 作行初等变换，有(1)(1)(1)(1)n bb b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=→- ⎪⎪ ⎪-⎝⎭A L L L M M M M M L100011111101001111110010111111000111111100000nn n n -⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭L L L L L L M M MM M M M M M M L L L 原方程组的同解方程组为121,,.n nn n x x x x x x -=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩L L 其基础解系为T (1,1,,1)=βL . 方程组的全部解是c =x β(c 为任意常数).十、（本题满分8分）设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件22+=A A 0，已知A 的秩()2r =A . （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k +A E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 解法1 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则 ()λ=≠A ααα0 22λ=A αα. 于是22(2)(2)λλ+=+A A αα. 由条件2(2)+=A A α0推知 2(2)λλ+=α0. 又由于≠α0，故有·216· 220λλ+=，解得2,0λλ=-=.因为实对称矩阵A 必可对角化，且()2r =A ，所以2~20-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A Λ. 因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0λλλ==-=.（2）矩阵k +A E 仍为实对称矩阵. 由（1）知，k +A E 的全部特征值为 2,2,k k k -+-+.于是，当2k >时矩阵k +A E 的全部特征值大于零. 因此，矩阵k +A E 为正定矩阵.解法2 （1）同解法1.（2）实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P ，使得 1-=P AP Λ， 1-=A P ΛP . 于是11k k --+=+A E P ΛP PP 1()k -=+P ΛE P ，所以~k k ++A E ΛE . 而22k k k k -⎛⎫ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭ΛE .k +ΛE 为正定矩阵，只需其顺序主式式均大于0，即k 需满足 2220,(2)0,(2)0k k k k ->->->. 因此，当2k >时，矩阵k +A E 为正定矩阵.·217·线性代数期末试卷四一、填空题（每小题3分）（3）设矩阵211,3223-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭A B A A E ，则1-=B __________解：1-=B 10211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭. (2)()=--B A E A E110121212220-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以||2=B*110101222||211-⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭B B B . （4）设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式__________.解：0abc ≠因为123,,ααα线性无关，故123|,,|0≠ααα00200a cb c abc a b=≠. 即0abc ≠.二、选择题（每小题3分）（3）设,A B 为n 阶矩阵，**,A B 分别为,A B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎛⎫= ⎪⎝⎭A CB 00，则C 的伴随矩阵*=C （A ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A A B B 00. （B ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B B A A 00. （C ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭A B B A 00. （D ）**||||⎛⎫ ⎪⎝⎭B A A B 00. 解：（D ）正确*||=AA A I·218· *||=BB B I||||||⎛⎫== ⎪⎝⎭A C A B B 00，设*,⎛⎫= ⎪⎝⎭G C G H 00、H 是n 阶方阵 *⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A G AG CCB H BH 000000 2|||||||||||n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭A B I A B I A B I 00 因此有 ||||||||n n =⎧⎨=⎩AG A B I BH A B I 所以应有*||=G B A*||=H A B于是***||||⎛⎫= ⎪⎝⎭B AC A B 00，恰为（D ）故（D ）正确当然此题通过直接计算选择正确答案也是一种行之有效的作法.九、（本题满分8分）设四元齐次线性方程组（I ）为123123230,20.x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩ 由已知另一四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为 T T 12(2,1,2,1),(1,2,4,8)a a =-+=-+αα.（1）求方程组（I ）的一个基础解系；（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.解法1 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有2310105312110132--⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A . 得方程组（I ）的同解方程组13423453,32.x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(5,3,1,0),(3,2,0,1).=-=-ββ·219·（2）由题设条件，方程组（II ）的全部解为112212112231212422(2)4(8)x k k x k k k k x a k k k a k x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭αα ① （12,k k 为任意常数）.将上式代入方程组（I ），得112(1)0,(1)(1)0.a k a k a k +=⎧⎨+-+=⎩ ② 要使方程组（I ）与（II ）有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组②有非零解. 因为210(1)1(1)a a a a +=-++-+，所以，当1a ≠-时，方程组（I ）与（II ）无非零公共解. 当1a =-时，方程组②有非零解，且12,k k 为不全为零的任意常数. 此时，由①可得方程组（I ）与（II ）的全部非零公共解为12123421121417x x k k x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k 为不全为零的任意常数）.解法2 （1）对方程组（I ）的系数矩阵作行初等变换，有23102310.12113501---⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A 得方程组（I ）的同解方程组31241223,35.x x x x x x =+⎧⎨=+⎩ 由此可得方程组（I ）的一个基础解系为T T 12(1,0,2,3),(0,1,3,5)==ββ.（2）设方程组（I ）与（II ）的公共解为η，则有数1234,,,k k k k ，使得 11223142k k k k =+=+ηββαα.由此得线性方程组·220· （III ）1342341234123420,20,23(2)40,35(8)0.k k k k k k k k a k k k k k a k -+==⎧⎪--+=⎪⎨--+++=⎪⎪--+++=⎩ 对方程组（III ）的系数矩阵作行初等变换，有10211021011201122324001035180001a a a a ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭由此可知，当1a ≠-时，方程组（III ）仅有零解，故方程组（I ）与（II ）无非零公共解.当1a =-时，方程组（III ）的同解方程组为1342342,2,k k k k k k =-⎧⎨=-+⎩ 令3142,k c k c ==，得方程组（I ）与（II ）的非零公共解为1221121417c c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭η （12,c c 为不全为零的任意常数）.十、（本题满分8分）设实对称矩阵 111111a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角形矩阵，并计算行列式||-A E 的值. 解：矩阵A 的特征多项式211||11(1)(2)11aa a a aλλλλλλ----=--=---+--E A . 由此得矩阵A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-. 对于特征值121a λλ==+，可得对应的两个线性无关的特征向量 T T 12(1,1,0),(1,0,1)==αα.·221· 对于特征值32a λ=-，可得对应的特征向量 T 1(1,1,1)=-α.令矩阵1231111(,,)101,10112a a a -+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P αααΛ，则1112a a a -+⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.11||||---=-A E P ΛP PP 1||||||-=⋅-⋅P ΛE P0000003a a a =-2(3).a a =-。

线性代数与解析几何复习题.docx

《钱性代就鸟解祈入何》第习龜—、矩阵部分(一) 填空题.1.设 a = ( 1 2 3 ),0 = (1,寺,*), A = a T/3, B = /3a T,则 4" = _____________________提示：A 3= a T/3a Tpa Tp = a\pa Tpa T}[i = 3a T p2. _____________________________________________________________ 设方阵A 满足"+4-4心0,其中为单位矩阵，，贝IJ (A-/)T= _____________________________ 提示：A 2+A-4I=0-A 2+A-2I-2I=0-(A-I)(A+2I)=2I-(A-I)(A+2I)/2=l3. _____________________________________________ 设方阵人满足A 2-2A-37 = 0,贝IJA -1 = ______________________________________________ 提示：A 2-2A-3I=0 〜 A(A-2A)=3I提示：对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。

(a a 1、5.设A= a 1 a ,则当。

满足条件 ________________ 时，A 可逆.、1 a ci 丿提示：矩阵A 的行列式detA^0时，矩阵可逆。

匚)选择题 1.设n 阶矩阵A,B,C 满足则位絢阵，贝泌有⑷ ACB = I (B) BCA = J (C) CBA = I CD) BAC = I 提示：A 的逆矩阵为BCQ 2 3、2. 已知屋三I 址非零矩阵込则,3 12,提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解,P 非零,Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=01 0 £=011 0(A) AP }P 2 = B (B) AP 2P } = B (C) P }P 2A = B (Q) P 2P }A = B-1 1-I -21 -1,则 r(A)-31 1 0 -3 11、 -14.设 A =-1 1 ,QP = 0. t =(A) -1 (B)(C) -2 (£>) 2 a 22 a 23_0 1 o - a \2如1 0 0 °32 +。

线性代数与空间解析几何试卷答案

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷编号：A20130116一、单项选择题 (将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分) 1、设*A 是n 阶可逆方阵A 的伴随矩阵，下列结论中不正确的是( C ))(A 1-*=n AA )(B A AA 1)(1=-* )(C **=kA kA )( )(D T T A A )()(**= 2、设A 为m 阶可逆方阵，B 为n 阶可逆方阵，下列结论中不正确的是( D ))(A B A BA =00 )(B B A BA mn )1(00-=)(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1110000B A B A )(D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000111B A B A 3、方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是 ( B )()A A 的行向量组线性无关， ()B A 的列向量组线性无关， ()C A 的行向量组线性相关， ()D A 的列向量组线性相关 .4、直线182511:1+=--=-z y x l 与直线⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l 的夹角为（ C ） )(A 6π )(B 4π )(C 3π )(D 2π 5、对二次曲面，下列说法不正确的是（ D ）)(A 方程2222y x z +=表示旋转抛物面； )(B 方程22222y x z +=表示圆锥面； )(C 方程x y =2表示抛物柱面；)(D 方程19141222=--z y x 表示单叶双曲面。

二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、交换矩阵A 1、2两行得到矩阵B ,若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0638527411B,则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0368257142、向量)4,3,4(-=α在向量)1,2,2(=β上的投影=αβj Pr 23、设4元线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3)(=A R ,321,,ηηη均为此方程组的解，且,)6,4,0,2(21T=+ηη,)2,1,2,1(31T -=+ηη则方程组b Ax =的通解为T T k x )4,3,2,1()3,2,0,1(+=4、已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型，则参数λ的取值范围为35<<-λ5、二次曲面4222222=++++++yz xz bxy z ay x 经过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ζηξP z y x 化为椭圆柱面：4422=+ζη，则=a 3，=b 1.三、（10分）计算行列式：1023*********102=D解、1021023123113101610260236231631064321=+++c c c c D 5分212313121621203130121031016141312----=-------r r r r r r 8分00500501216231312=-----r r r r 10分四、(10分) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=654321,1121B A ，又B XA =，求矩阵X解： 1=A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-11211A 5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-16111074311216543211BA X 10分五、(10分)设m ααα,,,21K 是两两正交的非零向量组，证明m ααα,,,21K 线性无关。

线性代数与解析几何习题讲解

（3）0 a b 0 0ba0 b00a
解：原式 (1) (1234) a11a22a33a44 (1) (1324) a11a23a32a44 (1) (4231) a14a22a33a41 (1) (4321) a14a23a32a41 (1)0 a4 (1)1a2b2 (1)5b2a2 (1)6 b4 (a2 b2)2
a13 L a23 L
0L MO
a1n a2n a3n
M
a1n a2n a3n L
0
0
a12
a13 L a1n
a12 0
a23 L a2n
(1)n a13 a23 0 L a3n
M M MO M
a1n a2n a3n L 0
n是奇数
D
D 0
14 计算下列行列式：
a11 a12 a13 a14 （2）a21 a22 a23 a24
10 用行列式的定义计算下列行列式： a1 a2 K K an 1 0 KK0
（5）0 1 K K 0 MO O O M 0K01 0
解：原式 (1) (n12L (n1)) a1na21a32 L an,n1 (1)n1an 11L 1 (1)n1an
11 利用行列式的性质计算下列行列式： 13 23 33 43
0 1 10 87 r4+2r3
0 1 10 87
200
200
0 0 -25 1364
0 0 -25 1364
0 0 51 572
0 0 1 3300
1 23 33
43
1 23 33
43
r3+25r 4
0 1 10
200
87 r3r 4
0 1 10

中国科学技术大学2020年线性代数与解析几何考研试题及解答

E −b 01
Ab bT 1
E0
A − bbT 0
=
,
−bT 1
01
E0 −bTA−1 1
Ab bT 1
E −A−1b
A
0
=
.
01
0 1 − bTA−1b
于是可以得到 1 − bTA−1b > 0.
充分性. 根据上面的两个矩阵等式可得结论.
2
3. 我不认可这道题, 因为二次型是指多项式, 而不是矩阵.
4. 常规题目, 把基放在一起找出最大线性无关组的个数得维数.
5. A 的特征多项式为 x(x − 2)2, 由于可对角化, 最小多项式为一次因式的乘积并且要包含所有的特征值, 于是最小多项式为 x(x − 2). 因此 A(A − 2E) = 0, 解得 a = −1.
2. (15分) 设 A 是 n 阶复方阵且不可对角化, 试证明存在非零矩阵 B, 使得 AB = BA 且 Bn = 0.
3. (20 分) 在 M2(C) 上定义线性变换 A : X → AX, A = 1 2 , 求 A 的特征值和特征向 01
量, Jordan 标准型.
4. (20分) 给定行向量集合 S : (具体表达式不详), 试求它的极大线性无关组并给出证明.
二. 1. 与 2017 年解答题第一题没有多大区别, 按照那里的做法去做就行了.
2. 由 Jordan 标准型的理论知道, 存在可逆矩阵 P, 使得 P −1AP = J, 其中 J 为 A 的 Jordan 标准型, 记 J0 为把 J 的对角线上元素全换为零所得的矩阵. 那么, 由于 A 不可对角化, 则 J0 = 0. 又由于 J J0 = J0J, 故取 B = P J0P −1 即可.

线性代数--中国科技大学3

二. 三阶行列式与体积
1. 三元一次方程组的几何意义
可写成其中
方程两边同时与作内积消去 y, z , 得到
当
时得
类似地可以得到 y, z 的表达式。
2. 三阶行列式 — 平行六面体体积从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使
则
就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作
4. 利用基本性质计算三阶行列式
(2.1) 当 i,j,k 中有两个相等时，
这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两两不相等的项。(2.1) 变成
(2.2)
我们有类似地有
又
类似地有代入(2.2), 得
三. n 阶行列式的引入
n 阶行列式
其中
是由
决定的 “n 维体积”
谢谢
2. n 阶行列式的定义
将 n 个数 aij (i,j = 1,2,…,n) 排成 n 行n列的形式, 按如下方式计算：
得到一个数，称为 n 阶行列式。上面的式子中的求和号的排列求和。表示对所有
五. n 元线性方程组
可以写成
(5.1)
将 (5.1) 两边与外的所有未知数, 在
点乘,可以消去除
(3.1) 当 i1,i2,…,in 中有两个相等时，这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成为:
(3.2)
以下只须对每个排列
求
将排列中任意两个数相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式中的互换了位置，其值变为原来值的相反数。进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列变成标准排列 (12…n), 相应地将变成

中科大线性代数 A1 期中考试

是
．
二、解答题．第 6-7 题各 12 分，第 8-9 题各 13 分，共 50 分．需给出详细解答过程．
x1 + x2 + x3 = a2
6.
求解
C
上的线性方程组
xx11
+ +
ax2 + x3 = a x2 + a2x3 = 1
，其中 a ∈ C．
7. 设 n 阶整数方阵 A = −01
1
0 ...
=
(a
−
1)2(a
+
1)．
1 1 a2
当 a ̸= ±1 时，A 可逆，方程组有唯一解 x = (1 + a + a2, −a, −1)．
(3 分) (3 分)
当 a = 1 时，方程组化为 x1+ x2 + x3 = 1，解得 x = (1 − s − t, s, t)．
当
a
=
−1
时，方程组化为
x1 x1
3. 设 A = IInn
In O
O In
，则
det(A)
=
，A−1 = O In In来自4. 设 A = 14
2 5
36，则 rank(A) =
，rank(A∗) =
789
A 在 Z3×3 中的 Smith 标准形为
．
(k ∈ N)．．
．
，
5. 设 A ∈ Fn×p, B ∈ Fm×p．矩阵方程 XA = B 有唯一解 X ∈ Fm×n 的充分必要条件
线性代数 A1 期中考试
2019 年 4 月 30 日 9:45—11:45
姓名
学号
得分

线性代数与空间解析几何(电子科技大)课后习题答案第三单元

{}12 3.11.:(1)(1,1,1):-2-10;(2)(1,2,0)(2,1,1):10;(3)2-0.3:(1),2,1,1,,:2(1)(1)M x y z M M y x z x y n x y ππππ++=--=+==----+-习题写出下列平面的方程过点且平行于平面过点和且垂直于平面过轴且与平面的夹角为解所求平面与平行故其法向量由点法式方程所求平面方程012(1)0,:220(2):,{1,1,0}{1,1,1},110111,(1)(2)0,30z x y z n n n i j kM M n i jx y x y π--=-+-==-=-∴=-=+--+-=+-=即法一设所求平面的法向量为则由已知条件垂直于平面的法向量与由点法式方程所求平面方程为即法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M 0{,,}20{1,1,0}2001 ,0,31 0,30.3(3),0,A B C A B D n A B C D A B A B D C D x D y D x y z A x B y ππ++=⎧⎪=-+++=⎨⎪-+=⎩-=-=-+=+-=+= 12,M 的坐标代入,且由向量与平面的法向量垂直得方程组解得所求平面方程为1-即3因平面过轴故可设其方程为因其与已知平面的夹角为00022,3{,,0}{2,1,,31cos ,32||||||||1 61660,33303-0.2.?.n A B n n n n n A A B BA B Bx y x y ππ∴==⋅∴===⋅∴+-==-∴+== 其法向量与已知平面的法向量的夹角为即或平面或为所求下列图形有何特点画出其图形 (1)230;(2)0;(3)340.:(1),.z y x y z xO y -==+-=解平面平行于面图形如下图00000000000000000 (2),. (3),.3.,(,,),.:(,,){,,},, :()()()0, xO z x y z x y z x y z x x x y y y z z z x x y y z -+-+-=++与面重合图形如下图平面过原点其图形如下图由原点向平面作垂线垂足为求此平面的方程解连结点与原点的向量可作为平面的法向量由平面的点法式方程得即2220000.4.(2,3,0),(1,1,2)(4,5,1),.:{3,4,2},45114531,34214(2)5(3)310 14z x y z A B n A B i j kn a A B i j k x y z =++--==-∴=⨯==---+---=为所求平面方程平面过点且与向量a 平行求此平面的方程解法一平面的法向量与与a垂直由点法式方程得即531430.:0,,,-230{,,}20,45014435 .433143:1453143x y z A x B y C z D A B A B D A B C a A B C D A B C A D B D C D x y z --+=+++=++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩--+=解法二设平面的一般式方程为将坐标代入并由其法向量与垂直可得方程组解得由此得平面方程0.5.1.:,,,,1 ||,6x y z abcO A B C O A B C V abc A B C O d ++===求以平面与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积解法一设原点为平面与坐标轴的三个交点为则四面体的体积平面上的高为到平面的距离3 :(,0,0),(0,,0),(0,0,),{,,0},{,0,},111||||0||2220A B C V S d A a B b C c AB a b AC a c ABC i j kS AB AC a b bci a c ∴∆===-=-∆=⨯=-=-的面积解法二设所求平面与三个坐标轴的交点为则则的面积1212||6.(2,0,8)2470,35230,.:,,124161411,352ac j ab k M x y z x y z n n n i j kn n n i j k ππ++=--+-=+-+=∴=⨯=-=-++-平面过点且与二平面都垂直求的方程解法一所求平面的法向量与两已知平面的法向量都垂直由点法12 16(-2)-14-11(8)0,16-14-11-1200.:0,,,2802403520x y z x y z Ax By C z D M n n A A C D A B C A B C +==+++=-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩式方程得所求平面方程为即解法二设所求平面的一般式方程为将点的坐标代入由其法向量与两已知平面的法向量垂直可得方程组解得1612014120111201614111200D B DC D x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴---=所求平面方程为127.:3250:3230.:(,,), ::x y z x y z x y z ππ-+-=--+==求由平面与所成二面角的平分面方程解法一设平面上任一点的坐标为则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得从而得所求平面方程为121212 2380,4520.:, (3)(23)(21)350.,,,.x y z x y z x y z n ππλλλλππππ+-+=-+-=+-++-+-=或解法二过平面的交线的平面束方程为由于它为的平分面因此其法向量与的法向量有相等的夹角得|(3)3(23)2(2-1)||3(3)2(23)(21)|11,,4-5-202-380.x y z x y z λ+++++++--==-+=++=解得或因此所求平面方程为或12121212112 3.41.1250 :12,:230(1)://;(2);(3).:(1){1,2,1}, x x y l y l y z z l l l l l l l s l λλλ=+⎧--=⎧⎪=-+⎨⎨-+=⎩⎪=⎩=习题对于直线与证明求与的距离求与所确定的平面方程解的方向向量的方向向量221121222 210{2,4,2},2,012 //,//.(2):(1,-3,0), (1)2(3)0,250, i j k s s s s s l l l A l x y z x y z =-==-∴-+++=+++=得法一在上找一点过该点作垂直于的平面即1112 12450,2 ,3172(,-,-).333 ||.:(1,1,0),l l B A B AB l C l λλλλ+-+++==-=-将的参数方程代入解得从而得平面与的交点则与的距离所求法二在上找一点上找111121(1,-3,0),, cos sin |||||||| ||||sin (3):(1,1,0),(1,-3,0), A AC l s AC s AC d AC l C l A n s θθθθ⋅===-=⋅==-=一点设与的夹角为则而则所求距离法一在上找一点上找一点则平面的法向量12121{2,0,2},22(-1)-20,--10. :(1,1,0),(0,3,1),(1,3,0)i j kA C x z x z l C D l A ⨯==--==----由点法式方程得即为所求法二在上找两点上找一点120,,,30 0030 10.2.:233020 ::10210760Ax By C z D A C D A B D A D A B D B B C D C D x z x y z x y l l x y x z +++=-+==-⎧⎧⎪⎪-+==⎨⎨⎪⎪--+==⎩⎩--=-++=-=⎧⎧⎨⎨+-=+-=⎩⎩设平面的一般式方程为将的坐标代入得方程组解得从而得平面方程证明二直线与1212111122212 ,,.:213{30,3,21},{10,1,7},110(21,0,15),{1,2,7}, (0,0,6) l l l l i j k l s s l A l s l B l l l =-=-=--=-相交并求出与的交点夹角以及与所确定的平面解法一的方向向量取在上找一点的方向向量上找一点从而得与的参数式方程12121212121212121221102110:,:2,215767 2,1,,(1,2,1),1919cos ,cos ,,,arccos ,3030x x y l y z z l l l l l l s s l l λλλλλλλλλλλλ=-=⎧⎧-=⎧⎪⎪==⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-+=-⎩⎩==-<>=<>=∴<>= 令解得分别代入的参数方程得为的交点12121212121221 {21,63,21}{1,3,1},(-21)3(15)0,3-60.:,,,,,,0,,//, ,1,n s s n x y z x y z s s A B s s AB l l s s l l l l λ=⨯=---=+++=++=⎡⎤=∴⎣⎦=平面的法向量取得平面方程即解法二同上则由知与共面而与相交将的参数式方程代入的第一个方程解得从 (1,2,-1),.而得交点坐标其余同解法一3. 3.2-3-6140,5.:2-3-60, 5,35,236350:(,,), x y z x y z D d D x y z A x y z O A +=+====±∴--±=求与平求与平面平行且与坐标原点的距离为的平面方程解法一由已知条件可设平面的一般式方程为原点到平面的距离得平面方程为解法二设原点到平面垂线的垂足为由与已知平面法向量平行可设5{2,3,6},||||7||5,,7101530 ,,,777 101530 2()-3()-6()0,2-3-6350.77741204.(3,1,4):2O A k k k O A k k A x y z x y z x y z M l x y =--===±⎛⎫∴± ⎪⎝⎭±±=±=--+=-+-由得的坐标为由点法式方程得平面方程即求点关于直线.230:(,,),114{6,6,3}212{2,2,1},:2(-3)-2(-1)(4)0, 2-20.(-5,7,0),2- z i j kA x y z l s s M l x y z x y z lB l x πλ⎧⎨+=⎩=--=--=-++=+==的对称点解法一设对称点的坐标为的方向向量取过作垂直于的平面为即在上找一点得的参数式方程58,,273158311548(,,),,,,333232323158(,,),333311548,,,232323y x y z M A M A x y z πλλππ⎧=⎨=-+⎩++-===++-===代入平面得从而l与的交点为的中点即从而l与的交点为的中点即从而7728 (-,,).33331-4:(,,),(,,)222442{2,2,1}2221,2207377728 ,(,,).33332835.(3,1,2)x y z A x y z M A l M Ax y z l s x y z x y z x y z P ++--=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪-+=⎩⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩得对称点坐标解法二设对称点为由的中点在上及与的方向向量垂直可得方程组解得得对称点为求点1:3,1,1,.:,3(-3)(-1)(-2)0,123-120,9-11-120,1136123(,,)||11111111:(3,1,1)l x t y t z t P P l d P l x y z x y z l t t t t P P l d PP l A t t t '==-=+++=++=+++=='==-+在直线上的投影并求点到的距离解法一过点作垂直于的平面其方程为即将的参数式方程代入得解得得投影点的坐标及到的距离解法二设上任一点的坐标为,,12||,1136123(,,).11111111P A PA t P l d ====则的距离当时此距离取得最小值即为到的距离从而得投影点坐标6.2350:.220:123{1,7,5},{1,7,5}.21111(0,1,1),.175:7-10,7-1005-x y z l x y z i j k l s s x y z l A l z x y x y xO y z l y x +--=⎧⎨-++=⎩=-=---=--+-==+=+=⎧⎨=⎩求直线的标准方程和在三个坐标面上的投影解的方向向量为取取上一点得直线标准方程法一在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得11-10,5--1005-7-120,5-7-120:(21)(2)(-3)(2-5)0,{0,0,1},3,7-10,7-1z x z xO z y l x y z y z yO z x l x y z xO y k x y l xO y x y λλλλπλπ==⎧⎨=⎩==⎧⎨=⎩++-+++===+=+=从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影法二过的平面束为其中与面垂直的平面的法向量与垂直得从而得的方程从而得在面上的投影05--10,,00571200x z xO z yO z z y y z x =⎧⎧⎨⎨==⎩⎩--=⎧⎨=⎩同样方法可得其在面上的投影在面上的投影121211112211127.:125721;;,234322.1273:,23,22,541212730,23222(1,x y z x y z l l x x l l y y z z l l l λλλλλλλλλλλλλ-+----====--=+=+⎧⎧⎪⎪=--=+⎨⎨⎪⎪=+=-⎩⎩+=+=⎧⎧⎨⎨--=+=-⎩⎩证明直线与位于同一平面内并求这平面及两直线间的夹角解法一的参数式方程为解方程组得将代入的参数式方程得与的交点1212121212122,5),234{2,16,13},3222-16-13310,8cos ,cos(,)-8,arccos .:,(1,2,5),(7,2,1),[,i j k l l n x y z l l s s l l l l A B s s -∴=-=--+=<>==⎛⎫∴<>=-⎝-与共面,平面的法向量由点法式方程得平面方程两直线间的夹角为其方向向量的夹角解法二在上分别取两点121,]0,,0,,,231-25016720,,31234013312-16-13310,.A B l l A x B y C z D A B l A D A B C D A B C D B D A B C C D x y z =∴+++=⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+++==-⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎪⎩+=与共面设平面一般式方程为将坐标代入且由其法向量与的方向向量垂直得方程组解得得平面方程其余与法一同1221121212128.7432152::342641(1):;(2).:(1):,7321644,54,322732164454289289x y z x y z l l l l l l x x y y z z λλλλλλλλλλλλ+++-+-====---=-+=+⎧⎧⎪⎪=-+=--⎨⎨⎪⎪=--=-⎩⎩-+=+⎧⎨-+=--⎩⎧=⎪⎨=-对于直线与证明它们不在同一平面上写出过且平行于的平面方程解法一的参数式方程为解得1212121212121212212,,,,.//,.:,(7,4,3),(21,5,2)342,,6415070,.2815(2):(21,-5,2),34l l l l l l l l l l A B s s AB l l l B i j kn s s λλ⎪⎪⎪⎩∴-----⎡⎤=--=-≠∴⎣⎦-=⨯=-将代入的参数式方程知无公共交点而与不在同一平面上法二上分别取一点则与不共面法一取上点平面的法向量212{12,9,36},{4,3,12}6414312930(21,5,2),(27,9,1).0,,,21520 2790,3420493n x y z l B C Ax By C z D B C s A B C D A B C D A B C A =---=--++-=--+++=-++=⎧⎪-++=⎨⎪+-=⎩=-取由点法式方程得平面方程在上取两点设平面的一般式方程为将的坐标代入且其法向量与垂直可得解得1,.431293031431D B D x y z C D ⎧⎪⎪⎪=-++-=⎨⎪⎪=-⎪⎩代入得平面方程22221.,,||||1,,,4||||||||lim:||||cos ||||,42()2||||||||limlim(||||||||)(||||||||)2||||22.22,,x x x a b b a b a xb a xa b a a a xb aa bx xb a x a xb a x a xb a a r a i j k j ππ→→→=<>=+-⋅=⋅=+-⋅+∴====++++=--复习题三设均为非零向量且求解原式设向量与共线与成锐角||||15,.:,{,2,2},||||3||15.5,,5,{5,10,10},3.368,||||2,.:,68{0,8,6},||||10|r r r a r k k k r k k r j k r p q i j k x p p p q x p q i k jp k k p ==--===±∴=-=-=++=∴⨯=-+∴=-=且求解由于与共线设得由与成锐角取得设向量和向量与轴都垂直且求向量解由于与和轴都垂直平行于设123123123123123123123186|2,,{0,,}.5554.,,,:||||4,||||2,|||| 3.().:,,,,,0()||||||||k k p ααααααααααααααααααααα==±=±===⨯⋅∴<⨯>=∴⨯⋅=⨯⋅得从而设向量两两垂直且符合右手系规则计算解由于两两垂直且符合右手系规则12312121||||||||||||sin24.25.(1,1,1)(0,1,1)0,.:,{1,0,2}{1,1,1}.1022,2--0.111:M M x y z n M M n i j k n i j k x y z παααπππ=⋅⋅⋅=-++==--=∴=--=--=平面过和且与平面垂直求的方程解法一由已知条件平面的法向量与和均垂直由点法式方程得平面方程解法二设120,,00,0A x B y C z D M M A B C D B C D A B C π+++=+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩的一般式方程为将的坐标代入由的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组12212220:2--0.6.:2310:0,.:,(21)(13)(1)03211-31-0,,2 8-A B C BD x y z x y z x y z x y z x ππππππππλλλλπλλλλπ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩=--+=++=++-+-+=+++==解得从而得的方程平面过与的交线且与平面垂直求的方程解法一过的平面束方程为且由其法向量与的法向量垂直得解得从而得的方程1211227-30.112:,235{2,3,5},235{8,7,1},1118730.::0,,(1,1,2),(1,2,3),,y z x y z ij k s n s n x y z Ax By C z D ππππππππππ+=++-==-=-=⨯=-=----+=+++=---解法二化的交线为标准方程其方向向量的法向量由点法式方程得的方程解法三设的一般式方程为在的交线上找两点将其代入的方程且由与垂直可83--207230301387303127.(1,-2,1):.234A D ABCD A B C D B D A B C C D x y z x y z A l π⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪+-+==-⎨⎨⎪⎪++=⎩⎪=-⎪⎩--+=+-+==-得方程组解得从而得的方程求点到直线的距离32:::1324(1,2,1)(32,13,24):,:,2(-1)-3()4(-1)02(-1)x t l y tz t A l t t t d d A l A l x y z z x =-+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩--+--+====++=解法一将写成参数方程点到上一点的距离为最小值为此即点到的距离法二过点做一平面与垂直平面方程为求平面与直线的交点1-3(2)4(-1)0,:2,31222341238.(1,2,3)(4,3,1),:211.::4(1)3(-2)(x y z y x y z z d x y z A l l A x y z αα=-⎧++=⎧⎪⎪=-+-+⎨⎨=-=⎪⎪=⎩⎩==-+--===+++解得故距离为求过点与向量垂直并与直线相交的直线方程解关键是求出待求直线与已知直线的交点法一过点且与向量垂直的平面方程为-3)0:4(1)3(-2)(-3)05510,(,,)123333211123:.8111:(12,2,3),0,(22,-4,)(4,3,1)04(22)3(-4)0l x y z x y z x y z t t t A t t t t t t αα=+++=⎧⎪-⎨-+-==⎪⎩+--==--+-++++=⇒++++=⇒此平面与的交点应满足求得交点为故待求直线方程为法二设待求之交点为此交点与的连线应与向量垂直即连线向量与之内积为即15510(,,)3333123:.8111t x y z =⇒-+---==-交点为故待求直线方程为。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

中国科学技术大学 2005—2006学年第2学期考试试卷
考试科目:
线性代数得分: 学生所在系:
姓名:
学号:
一、判断题（30分，每小题6分）。

判断下列命题是否正确，并简要说明理由。

1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。

2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。

3. 设n m ⨯阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关，
并且B 的行向量也线性相关。

4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则
满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。

5. 设B A ,为方阵，且⎪⎪⎭⎫
⎝⎛B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。

二、计算题（62分）。

1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325
432154321334536223231
2. （15分）设n 阶实方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=211
211
2O O A n ，求n A det 和1
4-A 。

3. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。

在定义内积Y X Y X '=tr ),(后，
V 成为一个欧氏空间。

现定义V 上的变换X X X '+ : A 。

（1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000,0100,0010,0001下的表示矩阵；
（3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。

4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(x z z y y x z y x f -+-+-=为标准形；并判
断三维欧氏空间中的曲面3)()()(222=-+-+-x z z y y x 是哪一类曲面。

三、证明题（8分）。

以下两小题任选一题。

1. 设n m R A ⨯∈，m n R B ⨯∈，I 是n 阶单位方阵。

证明：
（1）)rank(0rank AB n B I
A
+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-。

（2）n B A AB -+≥)rank()rank()rank(。

2. 设实对称方阵A 满足3A A =，证明：A 正交相似于对角形⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-0s
r
I I 。

2005—2006学年第2学期第1页（共1页）
参考答案及评分标准
一、判断题（30分，每小题6分，判断命题是否正确2分，说明理由4分。

）
1．正确。

c b,a,共面⇔使得0=++c b a z y x 有非零解0)()(=++⋅++⇔c b a c b a z y x z y x
有非零解0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇔z y x c c b c a c c b b b a b c a b a a a 有非零解0det =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇔c c b c a c c b b b a b c a b a a a
（把c b,a,当作数组向量，扣2分）
2．正确。

00420)2(=⇒='⇒'=''⇒=⇒=-x x x x x x x x x x A A A I A 。

3．正确。

B 有非零列向量⇒='⇒0A ββA 的行向量线性相关。

A 有非零列向量⇒='⇒0
B ααB 的行向量线性相关。

4．正确。

集合关于加法、数乘封闭。

5．正确。

⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛B A 正定对称()y x y x y x ,0∀>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⇒，B A 不全为零 B A B A ,0000⇒≠∀>'≠∀>'⇒y y y x x x ，；，正定对称。

二、计算题（共62分）
1．（15分）写出方程组的矩阵形式或增广矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--b a 1
3345
362210
31123
111111 （3分）
对其作初等行变换⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→-----20
00000
3
62210
251101b a （6分）当2,0==b a 时，方程组有解。

（3分）通解⎩⎨⎧+---=-++=3
6222554325431x x x x x x x x
（3分） 2．令n n A det =∆，则有212--∆-∆=∆n n n
（4分）由3,221=∆=∆，
（2分）得11211+=∆==∆-∆=∆-∆---n n n n n n ，
（3分）由*det 1
1
A A
A =
-，或经初等变换，
（3分）
求得⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-43
21
36422463
123414
51A （3分） 3．（17分）（1）A 保持向量的加法和数乘。

（3分）（2）由基的象得A 的表示矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=21
1112
A （4分）（3）所有特征值为2、2、2、0
（3分）
所有特征向量分别为“2阶非零对称实方阵”和“2阶非零反对称实方阵” （3分）（没有考虑特征值重数，扣2分；没有考虑特征向量非零，扣2分）
（4）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00
100000
00012
12
12
12
1，，，（4分）
（基向量没有标准化，扣2分；基向量没有写成2阶方阵形式，扣1分）
4．（15分）二次型的表示矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------2
11
121
112
A （3分） A 的特征值为3、3、0
（3分） A 的特征向量，，，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=
--1113
132116
120112
11ααα
（3分）令()()P z y
x
w v u =，()321ααα=P ，得2233),,(v u z y x f +=
（3分）曲面为圆柱面（回答椭圆柱面，扣1分）
（3分）
三、证明题（8分）。