中学数学竞赛讲义——平面向量

中学数学竞赛讲义——平面向量

一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λf

定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作

a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos θ叫做

b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=

22

22

21

2

1

2121y

x y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),

4. a ⇔⊥⇔定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使

21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λ

λ++=

12

1OP OP OP 。由

此可得若P 1，P ，P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2)，则..1121212

121y y y y x x x x y y y x x x --=--=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλλ

定义6 设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=22k h +个单位得到图形'F ，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F 上任意一点，平移

到'F 上对应的点为)','('y x p ，则⎩

⎨⎧+=+=k y y h

x x ''称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】 因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((2

222

2121y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2≥0，又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n )，b=(y 1, y 2, …, y n )，

同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：≥++++++))((2

2221222

21n n y y y x x x ΛΛ (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0，又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1）对n 维向量，a=(x 1, x 2,…,x n ), b=(y 1, y 2, …, y n )，同样有|a ·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

≥++++++))((2

222122221n n y y y x x x ΛΛ(x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2。

2）对于任意n 个向量，a 1, a 2, …,a n ，有| a 1, a 2, …,a n |≤| a 1|+|a 2|+…+|a n |。 二、方向与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1 设O 是正n 边形A 1A 2…A n 的中心，求证：.21OA OA OA n =+++Λ 【证明】 记n OA OA OA +++=Λ21，若O S ≠，则将正n 边形绕中心O 旋转n

π

2后与原正n 边形重合，所以不变，这不可能，所以.=

例2 给定△ABC ，求证：G 是△ABC 重心的充要条件是.O GC GB GA =++

【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D ，E ，F ，延长AD 至P ，使DP=GD ，则

.2==

又因为BC 与GP 互相平分，

所以BPCG 为平行四边形，所以BG //PC ，所以.=

所以.=++=++

充分性。若=++，延长AG 交BC 于D ，使GP=AG ，连结CP ，则.=因为=++，则=，所以GB //CP ，所以AG 平分BC 。

同理BG 平分CA 。 所以G 为重心。

例3 在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=AC 2+BD 2+4PQ 2。

【证明】 如图所示，结结BQ ，QD 。 因为DQ PQ DP BQ PQ BP =+=+,， 所以222

2

)()(+++=+ =BP PQ DP BP 222

2

2

+++·⋅+2

=.2)(222

2

2

2

2

2

++=⋅++++ ① 又因为,,,O QC QA BA QA BQ BC QC BQ =+=+=+ 同理 2

2

2

2

2

2++=+， ②

2

2

2

2

2

2QD QC QA DA CD ++=+， ③

由①，②，③可得)(242

22222QD BQ QA CD BC BA ++=++

2

2

2

2

2

2

4)22(2++=++=。得证。

2．证利用定理2证明共线。

例4 △ABC 外心为O ，垂心为H ，重心为G 。求证：O ，G ，H 为共线，且OG ：GH=1：2。

【证明】 首先AM OA AG OA OG 3

2

+=+=

=)2(31

)(31+++=++

).(31

OC OB OA ++= 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则连结CE 后得CE .BC ⊥