线性代数期末模拟试题H(参考答案)

1）当 b ≠ ±1 时，该方程组有唯一解，且解为
x=
−2 5−b 2(b − 1) ,y= ,z = 。 b +1 b +1 b +1
（7）
1 1 2 1 1 1 2 1 2）当 b = 1 时， 1 1 3 1 → 0 0 1 0 ， 1 1 4 1 0 0 0 0
（4）
单位化：
γ1 = ，γ 2 = 。 0 1
（6）
四、证明（每小题 7 分，共 21 分） 1．证明，设有数 k1 , k2 , k3 ，使得
k1 (2α1 + α 2 ) + k2 (α 2 + 5α 3 ) + k3 (2α 3 + 3α1 ) = 0
整理得
(2k1 + 3k3 )α1 + (k1 + k2 )α 2 + (5k2 + 2k3 )α 3 = 0
系数矩阵与增广矩阵秩相同，有无穷解，通解为
−1 1 k 1 + 0,k ∈ R 。 0 0
（10）
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1 −1 2 1 1 −1 2 1 3）当 b = −1 时， 1 −3 3 1 → 0 −2 1 0 ， 1 −1 2 −3 0 0 0 −4
系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩为 3，无解。 （13）
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（4）
由于向量 α1 , α 2 , α 3 线性无关，必有
2 0 3 2k1 + 3k3 = 0 k1 + k2 = 0 ，而 1 1 0 = 19 ≠ 0 ， 5k + 2k = 0 0 5 2 3 2
从而
k1 = k2 = k3 = 0 。
（7）
2．证明：因为 A 、 B 为对称矩阵，故有 A = A, B = B 。
（5）
7 1 0 0 6 → 0 1 0 −1 1 0 0 1 − 2
6．解：正交化： β1 = α1 = ，
2 3 − 3 2 −1 2 。 1 0 2
（6）
2 0
β2 = α2 −
2 4 2 0 (α 2 , β1 ) β1 = − = 。 ( β1 , β1 ) 3 4 0 3 1 0
。
( A − E)B = 2E
A − E −1 ) 2
−1
有 B=(
（4）
1 1 = 2 −1 1 1 −1 = 1 1
则 （法二） 有 由于
| B |= 2 。 ( A − E)B = 2E
（6）
| A − E || B |=| 2 E |= 4
又
（4）
| A − E |=
则
1 1 =2 −1 1
（6）
| B |= 2 。
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4．解：
x + (−1) + 2 = 1 + y + (−1) xi(−1)i2 = 1i y i(−1) x +1 = y ， 2x = y x =1 。 y = 2
（4）
则有
（6）
3 2 1 1 0 0 5．解：矩阵 ( A | E ) = 3 1 5 0 1 0 3 2 3 0 0 1 3 2 1 1 0 0 → 0 −1 4 −1 1 0 0 0 2 −1 0 1 3 0 1 3 2 −4 → 0 −1 0 1 1 −2 0 0 2 −1 0 1
T T
充分性：若 AB = BA ，则 ( AB ) = B A = BA = AB ，
T T T
即 AB 为对称阵。 必要性：若 ( AB) = AB ，则 AB = ( AB ) = B A = BA ，
T T T T
（4 ）
即 A 、 B 可交换。 3．证明：因为 A, B, C 均为正交矩阵，故有
（7）
AT = A−1 , BT = B −1 , C T = C −1
故
（2）
( AT BC −1 )T = (C −1 )T BT ( AT )T = CB −1 A = ( AT BC −1 ) −1
五、综合（共 1 小题，13 分）
（7）
1
解：系数行列式
b
2
1 2b − 1 3 = (b − 1)(b + 1) ， 1 b b+3
3 1 1．解： 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 0 1 1 2 =6 1 1 0 3 1 0
τ ( n , n −1, 2,1)
0 0 2 0
0 0 0 2
（5）
= 6 × 8 = 48 。
2．解： Dn = (−1)
（6） （4） （6）
= (−1)
3．解： （法一） 由
n ( n −1) 2
线性代数试卷参考答案及评分标准
一、填空（每小题 3 分，共 15 分） 1．2；2．
1 1 2 2 2 ；3． ；4． y1 + y2 − y3 ；5． β1 + k ( β 2 − β1 ) ( k ∈ R ) 。 8 64
二、单项选择（每小题 3 分，共 15 分） 1． （A） ；2． （B） ；3． （D） ；4． （C） ；5． （D） 。 三、计wenku.baidu.com（每小题 6 分，共 36 分）