高中数学竞赛讲座：圆
【高中数学竞赛】四点共圆专题详解
四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
高中奥林匹克数学竞赛-几个重要定理
竞赛专题讲座－几个重要定理《定理1》正弦定理△ABC中，设外接圆半径为R，则证明概要如图1-1，图1-2过B作直径BA'，则∠A'=∠A，∠BCA'=90°，故即；同理可得当∠A为钝角时，可考虑其补角，π-A.当∠A为直角时，∵sinA=1，故无论哪种情况正弦定理成立。
《定理2》余弦定理△ABC中，有关系a2=b2+c2-2bccosA；（*）b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC；有时也用它的等价形式a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA；（**）c=acosB+bcosA.证明简介余弦定理的证法很多，下面介绍一种复数证法如图建立复平面，则有=（bcosA-c2）+(bsinθ)2即a2=b2+c2-2bccosA，同理可证（*）中另外两式；至于**式，由图3显见。
《定理3》梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截△ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D、E、F. 则本题可以添加平行线来证明，也可不添辅助线，仅用正弦定理来证明。
在△FBD、△CDE、△AEF中，由正弦定理，分别有《定理4》塞瓦定理(Ceva) （塞瓦点）设O 是△ABC 内任意一点，AB 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则证法简介（Ⅰ）本题可利用梅内劳斯定理证明：（Ⅱ）也可以利用面积关系证明同理 ④ ⑤③×④×⑤得《定理5》塞瓦定理逆定理在△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若则AD 、BE 、CE 平行或共点。
证法简介（Ⅰ）若AD∥BE（如图画5-1） 则EACEBD BC =代入已知式：1=⋅⋅FB AF BD BC DC BD 于是 CBDCFB AF =， 故 AD∥CF，从而AD∥BE∥CF（Ⅱ）若AD 、BE 交于O （图5-2），则连CO 交AB 于F’.据塞瓦定理，可得1='⋅⋅B F AF EA CE DC BD 而已知1=⋅⋅FB AFEA CE DC BD 可见FB AF B F F A ='' 则 FBAF AFB F F A F A +='+'' AB FB AF B F F A =+='+' AF F A =' 即F '即F ，可见命题成立《定理6》斯特瓦尔特定理在△ABC 中，若D 是BC 上一点，且BD=p ，DC=q ，AB=c ，AC=b ，则证明简介：在△ABD 和△ABC 中，由余弦定理，得《定理7》托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆BD AC AD BC CD AB •=•+•的充要条件是共圆ABCD《定理7》、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP 。
公开课、竞赛课课件 圆
O
C
练习 如图，劣弧有：__________ 如图，优弧有：______________ 还有其他弧吗？ 还有半圆
A B
O
C
练习 如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧．
优弧
劣弧
练习 如图，圆中有____1____条直径，____3_____条弦，圆中以 A 为 一个端点的优弧有____4______条，劣弧有___4______条 .
练习 1．如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由．
运动的观点 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的图形叫做圆.
画一画
已知AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形： （1）到点A的距离等于2cm的所有点组成的图形. （2）到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形. （3）到点A和B的距离都等于2cm的所有点组成的图形.
圆的历史
到了陶器时代，许多陶器都是圆的， 圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.
圆的历史 我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了.
圆的历史
大约在同一时代，美索不达米亚人做出 了 世界上第一个轮子——圆的木轮。
圆的历史
很早之前，人们将圆的木轮固定在木架上 ， 这样就成了最初的车子.
圆的历史
2 000 多年前，墨子给出圆的定义“一中同长也”， 意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等． 这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早很多年．
例题
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆
上证.明：∵四边形ABCD为矩形
，
D
C
O
A
B
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理
高中数学竞赛的教案：平面几何-第八讲---圆幂定理2第八讲 圆幂定理一、 知识要点：1、 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
即：如图，P A ·PC=PB ·PDC2、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
即：如图，PA 2=P B ·PCP3、 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B 、C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD 。
3二、 要点分析：1、相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理。
其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值），即）定值（22r OP PB PA -=⋅2、相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。
3、相交弦定理揭示了与圆相关的线段的比例关系，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。
三、 例题讲解：例1、已知：如图，在ABC ∆中，AM 、AD 分别是其中线和角平分线，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求证：BL=CN例2、如图，⊙O1与⊙O2相交于M、N,D是NM的延长线上的一点，O2O1延长线交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求证：EM2=E D·EG例3、在Rt ABC中，D在斜边BC上，BD=4DC,一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G,求证：A D⊥BF45例4、如图，AB 是⊙O 中任意一弦，M 为AB 的中点，过M 任作两条弦CD 、EF,连接CE 、DF 分别交AB 于G 、H,求证：MG=MH (蝴蝶定理) A BMCDE F G H6例5、ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD ⊥AC,AC 与BD 的交点为E,点F 在DA的延长线上，连接BF,点G 在BA 的延长线上，使得DG ∥BF,点H 在GF 的延长线上,CH ⊥GF,证明：B 、E 、F 、H 四点共圆。
高中数学竞赛讲义第十章 直线与圆的方程【讲义】
第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
竞赛讲座圆
竞赛讲座09—圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色.圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系.圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何着名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形”将构成圆的综合问题的基础.本部分着重研究下面几个问题：1•角的相等及其和、差、倍、分；2.线段的相等及其和、差、倍、分；3.二直线的平行、垂直；4•线段的比例式或等积式；5.直线与圆相切；6•竞赛数学中几何命题的等价性.命题分析例1.已知A为平面上两个半径不等的O O i和O O2的一个交点，两圆的外公切线分别为RP20Q2, M i、M2 分别为RQ i、P2Q2的中点，求证：NO!AO2 =NM!AM2例2.证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形.例3.延长AB至D，以AD为直径作半圆，圆心为H , G是半圆上一点，• ABG为锐角.E在线段BH 上，Z在半圆上，EZ II BG，且EH ED =EZ2, BT II HZ .求证：TBG 工1 ABG .3例4•求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等.例5 .设.A是厶ABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧，U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点，线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W，直线BV和CW相交于T .证明：AU =TB - TC .例6.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H，在EF与GH上分别作O O切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ II NP .例7.O O1和O O2与厶ABC的三边所在直线都相切，E,F,G,H为切点，并且EG,FH的延长线交于点P .求证：直线PA与BC垂直.例8.在圆中，两条弦AB,CD相交于E点，M为弦AB上严格在E、B之间的点.过D,E,MMB MD NC NE的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F,G .已知如二t，求些（用t表示）.AB EF 例9 .设点D和E是厶ABC的边BC上的两点，使得• BAD 二/CAE .又设M和N分别是△1111ABD、△ ACE的内切圆与BC的切点.求证：— ^二丄•丄.例10.设厶ABC满足.A = 90 , . B <C，过A作厶ABC外接圆W的切线，交直线BC于D , 设A关于直线BC的对称点为E ,由A到BE所作垂线的垂足为X , AX的中点为Y , BY交W于Z 点，证明直线BD 为厶ADZ外接圆的切线.例11 •两个圆M和:2被包含在圆:内，且分别现圆:相切于两个不同的点M和N •丨i经过:2 的圆心.经过M 和丨2的两个交点的直线与〕相交于点A和B，直线MA和直线MB分别与丨i相交于点C和D •求证：CD与:2相切.例12•已知两个半径不相等的O O i和O 02相交于M、N两点，且O O i、O O2分别与O O内切于S、T两点•求证：OM _MN的充要条件是S、N、T三点共线.例13.在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，O O1过A、B且与边CD相切于点P , O O2过C、D且与边AB相切于点Q • O O1和O O2相交于E、F ,求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC II AD •例14・设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，且两对边AB与CD不平行•点P 为线段AB 与CD的垂直平分线的交点，且在四边形的内部•求证：A、B、C、D四点共圆的充要条件为S pAB二S p CD训练题1 •△ ABC内接于O O , ■ BAC ：：： 90，过B、C两点O O的切线交于P , M为BC的中点, 求证：（1）如二cos BAC ；（2）BAM =/PAC •AP2 •已知A,B,C •分别是厶ABC外接圆上不包含A, B,C的弧BC,CA,AB的中点，BC分别和CA \ AB •相交于M、N两点，CA分别和A B、BC •相交于P、Q两点，AB分别和BC、C A相交于R、S两点•求证：MN二PQ二RS的充要条件是△ ABC为等边三角形.3•以△ ABC的边BC为直径作半圆，与AB、CA分别交于点D和E，过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G •线段DG、EF交于点M •求证：AM _ BC •4•在厶ABC中，已知.B内的旁切圆与CA相切于D，■ C内的旁切圆与AB相切于E，过DE 和BC的中点M和N作一直线，求证：直线MN平分△ ABC的周长，且与• A的平分线平行.5•在厶ABC中，已知，过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F •在BC边上取点P使1得3BP 二BC •求证：BFP B •26•半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C,D，交AB于M （ MB ：：：MA, MC ::: MD ）•设K是厶AOC与厶DOB的外接圆除点O外之另一交点•求证：• MKO为直角•7•已知，AD是锐角△ ABC的角平分线，• BAC h、，• ADC = ，且cos二=c c s2一：•求证：2AD 二BD DC •8. M为厶ABC的边AB上任一点，r1,r2,r分别为△ AMC、△ BMC、△ ABC的内切圆半径;匚匚亍分别为这三个三角形的旁切圆半径（在• ACB内部）.求证：L L L L = L .P i P2 P9 •设D是厶ABC的边BC上的一个内点，AD交厶ABC外接圆于X，P、Q是X分别到AB 和AC的垂足，0是直径为XD的圆.证明：PQ与O O相切当且仅当AB=AC .10•若AB是圆的弦，M是AB的中点，过M任意作弦CD和EF ,连CD, DE分别交AB于X,Y ,则MX 二MY.11 •设H为厶ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的一点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与BR交于X •证明：EX II AP .12•在△ ABC中，.C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于明：（1）ID IK —1 •ID IKD和K , I是内切圆圆心•证。
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何2021高中数学竞赛标准讲义：第十二章：立体几何一、基础知识公理1 一条直线。
上如果有两个不同的点在平面。
内．则这条直线在这个平面内，记作：a?a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。
即不共线的三点确定一个平面．推论l 直线与直线外一点确定一个平面．推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。
高中数学高考复习专题讲座——圆
高考复习专题讲座——圆 【拨一拨】[例1]（1）方程y =21x -表示的曲线是 ( )A ．上半圆 Ｂ．下半圆 Ｃ．圆 Ｄ．抛物线（2）方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1=0表示圆，则a 的取值X 围是 （ ）A ．（－∞，－2）∪（23 ，＋∞）B ．（－23 ，0）C ．（－2，0）D ．（－2，23） （3）设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋（a －1）2 =0，若0＜a ＜1，则原点（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．与圆的位置关系不确定（4）过两点P （2，2），Q （4，2），且圆心在直线y=x 上的圆的标准方程是．（5）过三点O （0，0），M （1，1），N （4，2）的圆的方程是.[例2]如图，已知定点A (2，0)，点Q 是圆122=+y x 上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.[例3]设圆满足：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l ：x －2y=0的距离最小的圆的方程。
[例4] 平面内有两定点A （－1，0）、B （1，0），在圆（x －3)2＋(y －4)2=4上求一点P ，使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值．【练一练】1．方程0)4(0)4(222222=-++=-+y x x y x x 与表示的曲线是（ ）A ．都表示一条直线和一个圆B ．都表示两个点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D ．前者是两个点，后者是一直线和一个圆2．设A 、B 两点的坐标分别为)0,2(-A 、)0,2(B ，条件甲：A 、B 、C 三点构成以C 为 直角顶点的三角形；条件乙：点C 的坐标是方程222=+y x 的解.则甲是乙的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件 3．若点（5a ＋1，12a)在圆（x －1)2＋y 2=1的内部，则|a|的取值X 围是（ ）A ．[0，1）B ．[0，15）C ．[0，13）D ．[0，12）4．与x 轴、y 轴都相切，并且过点（1，8）的圆的圆心坐标是 （ ）A ．（5，5）或（6，6）B ．（11，11）或（13，13）C ．（5，5）或（13，13）D ．（6，6）或（11，11）5．过圆034622=-+-+y x y x 的圆心 ，且平行于x +2y +11=0的直线方程是.6．圆0204222=-+-+y x y x 截直线5x -12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值是.7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＋2x －2 3 y=0，则x 2＋y 2的最大值是；x ＋y 的最小值是．8．求过点A （2，－3），B （－2，－5），且圆心在直线x －2y －3=0上的圆的方程．9．已知一个圆的直径端点是A （x 1，y 1)B(x 2，y 2)，证明圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)=010．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0上两点P 、Q 满足：（1） 关于直线kx －y ＋4=0对称；（2） OP ⊥OQ ，求直线PQ 的方程．【经典训练】1．圆x 2＋y 2－2x ＋2y=0的周长是 （ ）A ．2πB ． 2 πC ．2 2 πD ．4π2．方程x 2＋y 2＋2k 2x －y ＋k ＋14=0所表示的曲线关于y ＋2x ＋1=0对称，则k 的值（ ）A B C ．等于 D ．不存在 3．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3=0上到直线y ＋x ＋1=0的距离等于 2 的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．圆x 2＋y 2－a x ＋2y ＋1=0关于直线y －x ＋1=0对称的圆的方程是x 2＋y 2=1，则实数a 的值是．5．已知点P 是曲线P 到点Q （0，－1）距离的最大值是．6．已知圆C ：4)1()3(22=-+-y x 和直线l :x -y -5=0，在C 上求两点，使它们与l 的距离分别是最近和最远.7．已知点A （－1，0），B （1，0）及圆C ：（x －3)2＋(y －4)2=4上一点P ，求AP 2＋BP 2的最小值及取得最小值时点P 的坐标．8．设方程x 2＋y 2－2（m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9=0 ①(1) m 为何值时，方程①表示圆？（2）m 为何值时，方程①表示的圆的半径最小？（3）方程①表示圆时，求圆心的轨迹方程．【课后训练】1．已知圆（x －a)2＋(y ＋b)2=r 2与两坐标轴都相切，则a ，b ，r 满足的关系式是（ ）A ．a=－b=rB ．a=|b|=rC ．a=－b=r 或a=b=rD ．|a|=|b|=r2．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y=0平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值X 围为 （ ）A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[0，12 ]D ．[0，12）3．动点在圆x 2＋y 2=1上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点轨迹方程是 （ ）A ．（x ＋3)2＋y 2=4B ．（x －3)2＋y 2=1C ．（2x －3)2＋4y 2=1D ．（x ＋32 )2＋y 2=124．圆心为（2，－3），一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程是．5．若圆x 2＋(y －1)2=1上任意一点（x,y)都使不等式x ＋y ＋m≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是．6．直线l 1过A （a,0)，l 2过B （－a,0)，它们在y 轴上的截距分别为m,n ，且mn=a 2，求两直线交点的轨迹．7．已知△ABC 三边所在直线方程分别为AB ：x ＋2y ＋2=0,BC ：2x －y －6=0，CA ： x －2y ＋6=0，求△ABC 的外接圆的方程．8．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10=0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by=0的距离为2 2 ，求直线l 倾斜角的取值X 围．【拨一拨】[例1] （1）A ．提示：y≥0．（2）D ．提示：将圆的方程配成标准形式，利用r 2＞0．（3）B ．提示：将（0，0）代入方程，注意到（a －1)2＞0（4）（x －3)2＋(y －3)2=2．提示：可以考虑PQ 的中垂线与y=x 的交点即圆心．（5）x 2+y 2-8x +6y =0．提示：根据已知条件，设出圆的一般方程，用待定系数法求解．[例2]由三角形的内角平分线性质，得21==OA OQMA QM ，∴21=MA QM . 设M 、Q 的坐标分别为(x ,y )、(x ０,y ０)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+⨯+=+⨯+=y y x x y y x x 23123 2110212112210000 ∵Q 在圆122=+y x 上，∴2020y x +＝１， ∴1)23()123(22=+-y x ∴动点M 的轨迹方程为.94)32(22=+-y x 例3、【解法一】设圆的圆心为P （a ,b),半径为r ，则点P 到x 轴y 轴的距离分别为∣b ∣、∣a ∣。
高考数学复习竞赛专题讲座 圆
2008高考数学复习竞赛专题讲座09 圆基础知识如果没有圆，平面几何将黯然失色．圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础．本部分着重研究下面几个问题：1．角的相等及其和、差、倍、分；2．线段的相等及其和、差、倍、分；3．二直线的平行、垂直；4．线段的比例式或等积式；5．直线与圆相切；6．竞赛数学中几何命题的等价性．命题分析例1．已知A 为平面上两个半径不等的⊙1O 和⊙2O 的一个交点，两圆的外公切线分别为2121,Q Q P P ，1M 、2M 分别为11Q P 、22Q P 的中点，求证：2121AM M AO O ∠=∠． 例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形． 例3．延长AB 至D ，以AD 为直径作半圆，圆心为H ，G 是半圆上一点，ABG ∠为锐角．E 在线段BH 上，Z 在半圆上，EZ ∥BG ，且2EZ ED EH =⋅，BT ∥HZ ．求证：ABG TBG ∠=∠31． 例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等． 例5．设A ∠是△ABC 中最小的内角，点B 和C 将这个三角形的外接圆分成两段弧，U 是落在不含A 的那段弧上且不等于B 与C 的一个点，线段AB 和AC 的垂直平分线分别交线段AU 于V 和W ，直线BV 和CW 相交于T ．证明：TC TB AU +=．例6．菱形ABCD 的内切圆O 与各边分别切于H G F E ,,,，在⌒EF 与⌒GH 上分别作⊙O 切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ，求证：MQ ∥NP ． 例7．⊙1O 和⊙2O 与△ABC 的三边所在直线都相切，H G F E ,,,为切点，并且FH EG ,的延长线交于点P ．求证：直线PA 与BC 垂直．例8．在圆中，两条弦CD AB ,相交于E 点，M 为弦AB 上严格在E 、B 之间的点．过M E D ,,的圆在E 点的切线分别交直线BC 、AC 于G F ,．已知t AB AM =，求EFCE （用t 表示）． 例9．设点D 和E 是△ABC 的边BC 上的两点，使得CAE BAD ∠=∠．又设M 和N 分别是△ABD 、△ACE 的内切圆与BC 的切点．求证：NENC MD MB 1111+=+． 例10．设△ABC 满足︒=∠90A ，C B ∠<∠，过A 作△ABC 外接圆W 的切线，交直线BC 于D ，设A 关于直线BC 的对称点为E ，由A 到BE 所作垂线的垂足为X ，AX 的中点为Y ，BY 交W 于Z 点，证明直线BD 为△ADZ 外接圆的切线． 例11．两个圆1Γ和2Γ被包含在圆Γ内，且分别现圆Γ相切于两个不同的点M 和N ．1Γ经过2Γ的圆心．经过1Γ和2Γ的两个交点的直线与Γ相交于点A 和B ，直线MA 和直线MB 分别与1Γ相交于点C 和D ．求证：CD 与2Γ相切．例12．已知两个半径不相等的⊙1O 和⊙2O 相交于M 、N 两点，且⊙1O 、⊙2O 分别与⊙O 内切于S 、T 两点．求证：MN OM ⊥的充要条件是S 、N 、T 三点共线．例13．在凸四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，⊙1O 过A 、B 且与边CD 相切于点P ，⊙2O 过C 、D 且与边AB 相切于点Q ．⊙1O 和⊙2O 相交于E 、F ，求证：EF 平分线段PQ 的充要条件是BC ∥AD ．例14．设凸四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，且两对边AB 与CD 不平行．点P 为线段AB 与CD 的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件为PCD PAB S S ∆∆=．训练题1．△ABC 内接于⊙O ，︒<∠90BAC ，过B 、C 两点⊙O 的切线交于P ，M 为BC 的中点，求证：（1）BAC APAM ∠=cos ；（2）PAC BAM ∠=∠． 2．已知C B A ''',,分别是△ABC 外接圆上不包含C B A ,,的弧⌒⌒⌒AB CA BC ,，的中点，BC 分别和A C ''、B A ''相交于M 、N 两点，CA 分别和B A ''、C B ''相交于P 、Q 两点，AB 分别和C B ''、A C ''相交于R 、S 两点．求证：RS PQ MN ==的充要条件是△ABC 为等边三角形．3．以△ABC 的边BC 为直径作半圆，与AB 、CA 分别 交于点D 和E ，过D 、E 作BC的垂线，垂足分别为F 、G ．线段DG 、EF 交于点M ．求证：BC AM ⊥．4．在△ABC 中，已知B ∠内的旁切圆与CA 相切于D ，C ∠内的旁切圆与AB 相切于E ，过DE 和BC 的中点M 和N 作一直线，求证：直线MN 平分△ABC 的周长，且与A ∠的平分线平行．5．在△ABC 中，已知，过该三角形的内心I 作直线平行于AC 交AB 于F ．在BC 边上取点P 使得BC BP =3．求证：B BFP ∠=∠21． 6．半圆圆心为O ，直径为AB ，一直线交半圆于D C ,，交AB 于M （MD MC MA MB <<,）．设K 是△AOC 与△DOB 的外接圆除点O 外之另一交点．求证：MKO ∠为直角 ．7．已知，AD 是锐角△ABC 的角平分线，α=∠BAC ，β=∠ADC ，且βα2c o s c o s =．求证：DC BD AD ⋅=2．8．M 为△ABC 的边AB 上任一点，r r r ,,21分别为△AMC 、△BMC 、△ABC 的内切圆半径；ρρρ,,21分别为这三个三角形的旁切圆半径（在ACB ∠内部）． 求证：ρρρr r r =⋅2211．9．设D 是△ABC 的边BC 上的一个内点，AD 交△ABC 外接圆于X ，P 、Q 是X 分别到AB 和AC 的垂足，O 是直径为XD 的圆．证明：PQ 与⊙O 相切当且仅当AC AB =．10．若AB 是圆的弦，M 是AB 的中点，过M 任意作弦CD 和EF ，连DE CD ,分别交AB 于Y X ,，则MY MX =．11．设H 为△ABC 的垂心，P 为该三角形外接圆上的一点，E 是高BH 的垂足，并设PAQB 与PARC 都是平行四边形，AQ 与BR 交于X ．证明：EX ∥AP ．12．在△ABC 中，C ∠的平分线分别交AB 及三角形的外接圆于D 和K ，I 是内切圆圆心．证明：（1）CI IK ID 111=-；（2）1=-IK ID ID CI ．。
高中数学圆知识点总结
高中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上到一个定点的距离等于常数的所有点的集合所组成的图形。
这个定点叫做圆心，这个常数叫做圆的半径。
2. 圆的符号表示：我们通常用一个大写字母表示圆心，用小写字母 r 表示半径，从而表示某个圆为原点 O ，半径为 r 的圆为∠O(r) 。
3. 圆的元素：圆由圆心、半径以及圆上的所有点组成，这些点到圆心的距离都等于半径的长度。
二、圆的基本性质1. 圆的直径：圆上任意两点间的最长距离叫做圆的直径，圆的直径等于圆的半径的二倍。
2. 圆周率：圆周率是一个无理数，通常用符号π 来表示，它的近似值是3.14159 ，是圆周长和直径之比的数学常数。
3. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π ，也可以用公式表示为：C=2πr 。
4. 圆的面积：圆的面积等于π 乘以圆的半径的平方，也可以用公式表示为：S=πr^2 。
5. 弧长和扇形面积：圆的一部分叫做圆弧，圆弧的长度叫做弧长，弧长和圆的周长的比值等于弧所对的圆心角的比值；圆的一部分叫做扇形，扇形的面积等于扇形所对的圆心角的比值。
三、圆的相关定理1. 圆心角的性质：圆心角是圆上的一个角，它的顶点在圆心上，它的两条边都是圆的弧。
圆心角的大小可以用角度或弧度表示，弧度是圆的一种度量单位，弧长等于半径乘以圆心角的弧度。
弧长和弧所对的圆心角的关系，用公式表示为：L=rθ 。
2. 弦的性质：弦是圆上的一段线段，它的两端都在圆上，弦也可以看做是圆上的一个弧。
弦的性质包括：两条相等的弧所对的弦也是相等的；圆的直径是圆的最长弦，且它恰好把圆分成两个相等的半圆。
3. 切线的性质：切线是指平面上的一条直线，它只与圆相交于一点，这个点叫做切点。
切线和半径的垂直平分线相交于圆上的切点处成直角，切线和圆心之间的连线是切线的切线长。
4. 正弦定理和余弦定理：这两个定理属于三角形和圆的结合性质，它们可以用来求解三角形和圆的面积。
四、圆的相关应用1. 圆和直线的位置关系：圆和直线的位置关系有着许多重要的定理和知识点，这些知识点在几何、代数和三角等领域都有着广泛的应用，学习和掌握它们对我们解题和理解圆的相关性质是非常重要的。
新课标高中数学人教A版必修一全册课件圆的一般方程 公开课一等奖课件
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，化为 圆的标准方程形式，则圆心、半径 分别是？
2.对方程x2+y2-2x-4y+6=0配方，能化 为圆的标准方程形式吗？
探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么 条件下表示圆？
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
4
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点 (－ D ,－ E ). 22
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
高中数学竞赛解题策略 几何分册 第12章 圆与圆相交(1)
第12章 圆与圆相交在圆与圆相交的问题中，两圆相交是基础．在这一章中，我们重点讨论两圆相交的基本性质及应用①②③④；三圆两两相交问题仅讨论共公共弦的问题．两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理等提供了用武之地． 性质1 相交两圆的连心线垂直平分公共弦．性质 2 以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线段为对边的三角形称为相交两圆的内接三角形．相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值． 推论1 在相交两圆中，内接三角形均相似．事实上，如图12-1，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、A ，AB 、CD 、EF 为过点Q 的割线段，则 PAB PCD PEF QGH △∽∽△∽．（2）AR （1）A R图12-1推论2 如图12-1中字母所设，又设M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则PAC PBD PMN △∽△∽． 证明 参见图12-1，由PAB PCD ∽△，有APC APB CPB CPD CPB BPD ∠=∠-∠=∠-∠=∠，亦即PAM PCN △∽△，从而PB PA PMPD PC PN==，且MPN CPN CPM APM CPM APC ∠=∠-∠=∠-∠=∠．由此APC PBD PMN △∽△∽△．推论3在相交两圆中，若过同一交点的两条割线段的长相等，则以这两条割线段为边的内接三角形全等，且公共弦平分这两条割线所构成的夹角，反之亦真． 事实上，如图12-1，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，若过点Q 的两条割线满足AB CD =，则PAB PCD △≌△，于是PD PB =．联结BD ，则AQP BDP DBP DQP ∠=∠=∠=∠，知PQ 平分AQD ∠． 反之亦真．推论4在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一条边垂直，则另两边必分别为两圆直径．反之亦真． 事实上，如图12-11O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，过Q （或P ）的割线段与PQ 垂直，则由直角所张的弦为直径知PE （或QG ），PF （或QH ）分别为1O ⊙，2O ⊙的直径．反之亦真． 推论5 在相交两圆中，内接三角形的交点顶点（即两圆一相交点）、两非交点顶点以及非交点顶点处的两切线的交点，此四点共圆，或者说，两非交点顶点处的两切线的交点在相交两圆的内接三角形外接圆上，事实上，如图12-1（1），1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，过点Q 的割线段CD 在端点处的切线于点R ，由弦切角定理，有QCR QPC ∠=∠，QDR QPD ∠=∠．于是，PCR PDR PCD QCR QDR CDP PCD ∠+∠=∠+∠+∠+∠=△的内角和180=︒． 故P 、C 、R 、D 四点共圆．或者说点R 在PCD △的外接圆上． 对于图12-1（2），也可类似地证明（略）．性质3 两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段．事实上，如图12-2，1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，设外公切线段为ST ，直线PQ 交ST 于M ，则由22SM MP MQ MT =⋅=，知M 为ST 的中点．①沈文选．相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2010（7）：56-58． ②沈文选．再谈相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2010（11）：56-58． ③沈文选．三谈相交两圆的性质及应用[J]．数学通讯，2011（2）：61- 64． ④沈文选．两圆相交的几个结论[J]．中学教学参考，2011（5）：49-52.S图12-2性质4 以相交两圆的两个交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角之和为180︒．事实上，如图12-2，1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，ST 为两圆外公切线段，连接SP 、SQ 、TP 、TQ ，则由弦切角定理，SQP TSP ∠=∠，TQP STP ∠=∠．从而SPT SQT SPT TSP STP SOT ∠+∠=∠+∠+∠=△的内角和180=︒．性质5两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q 两点，过点Q 的割线段AB 、CD 分别交1O ⊙于点A ，C ，交2O ⊙于点B ，D ，直线AC 与直线BD 交于点S ，则（1）ASB ∠为定值；（2）P ，C ，S ，D 及A ，S ，B ．P v 分别四点共圆；（3）APC BPD △∽△． 证明 如图12-3，联结PQ ．A图12-3从而ASB BSC ∠=∠360SBQ SCQ BQC =︒-∠-∠-∠ 360QPD APQ QD =︒-∠-∠-∠360()QPD PQD AQP AQD =︒-∠-∠+∠-∠ 180180QPD PQD AQP AQD =︒-∠-∠+︒-∠-∠PAQ PDQ αβ=∠+∠=+（定值）． （2）180180180180DPC PCD PDC PAQ PDQ αβBSC ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=︒--=︒-∠， 同理，知P ，C ，S ，D 四点共圆．（3）由180CPD αβAPB ∠=︒--=∠，有APC BPD ∠=∠及PAC PQD PBD ∠=∠=∠即证． 当过Q 的两条割线段AB ，CD 重合时，则有结论：推论6 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 分别交1O ⊙，于A ，交2O ⊙于B ，两圆在A ，B 处的切线交于点S ．则（1）ASB ∠为定值；（2）A ，S ，B ，P 四点共圆， 考虑过Q 的两条割线AB ，CD 端点处的割线时，则有结论：图12-4推论7 设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的两条割线段AB ，CD 分别交1O ⊙于点A 、C ，交2O ⊙于点B 、D ，两圆在A ，B 处的切线交于点E ，两圆在C ，D 处的切线交于点F ，PE PF =的充要条件是AB CD =．证明 如图12-5，联结有关线段如图．设直线AC 与直线DB 交于点R ．图12-5由性质5及推论6，知P ，C ，R ，D 及P ，C ，F ，D 分别四点共圆，于是，有P ，C ，R ，F ，D 五点共圆，由PCF PAC ∠=∠，ARP CRP CFP ∠=∠=∠，知PCF PAR △∽△，有PF PCPR PA=． ① 由PCD PAB △∽△，有PC CD PDPA AB PB==． ② 同理，P ，A ，E ，R ，B 五点共圆．由PRD PEB ∠=∠，PBE PDB PDR ∠=∠=∠，知PRD PEB △∽△，有PD PRPB PE=． ③ 由①，②，③得PF PC CD PD PRPR PA AB PB PE====． 故PE PF PE PR AB CD =⇔=⇔=．性质6 两相交圆为等圆的充要条件是内接三角形为等腰三角形，且以割线段为底边．证明 如图12-6，设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，QB 为过点Q 的割线段，令PAQ α∠=，PBQ β∠=．由正弦定理，有1O ⊙与2O ⊙为等圆(,(0,90))sin sin PQ PQαβa βPAB αβ⇔=⇔=∈︒⇔△为等腰三角形．性质7两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立： （1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等，A图12-6证明 如图12-7，1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ．图12-7（1）设点E 在1O ⊙上，点F 在2O ⊙上，令PEQ α∠=，PFQ β∠=，则由正弦定理，有1O ⊙与2O ⊙为等圆(,(0,90))sin sin PQ PQαβαβαβ⇔=⇔=∈︒︒． （2）设AB ，CD 是过点Q 的两条割线段，联结AC ，BD ，则由正弦定理知，1O ⊙与1O ⊙为等圆sin sin AC BD AC BD AQC BQD⇔=⇔=∠∠． 性质8过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行． 事实上，如图12-8，1O ⊙与2O ⊙交于P ，Q ，割线AB ，CD 分别过P ，Q ，则AC BD ∥．(3)(2)(1)A图12-8性质9 设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，AB 与CD 是过点Q 的两条割线段，直线PQ 与AQD △、CQB △的外接圆分别交于点S ，T 则P 为ST 的中点．证明12-9，联结SD 、BT 、PA 、PC 、PB 、PD 、BD ，则由BTQ BCQ ∠=∠，BDQ BPQ ∠=∠，知BTP BCD △∽△，即有TP BPCD BD=． ① 图12-9同理，由DPS DBA △∽△，有PS DPBA BD =．②①÷②得TP BP CDPS DP BA=⋅．③又PBA PDC ∠=∠，PAB PCD ∠=∠，或由推论1，知PAB PCD △∽△，有BP BADP CD=． ④将④式代入③式，得TP PS =．故P 为ST 的中点．性质10 设1O ⊙与2O ⊙相交于P 、Q ，AB 与CD 是过点Q 的两条割线段，若A 、C 、B 、D 四点共圆O ⊙，则OP PQ ⊥．证明 如图12-10，首先可证B ，O ，P ，C 四点共圆．连接有关线段如图，则对于图12-10（1），由2BPC BPQ CPQ BDC BAC BDC BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠， 对于图12-10（2），由1801802180BPC BPQ CPQ BDC CAQ BDC BOC ∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-∠， 从而B ，O ，P ，C 四点共圆．（1）（2）图12-10然后再证OP PQ ⊥．由B ，O ，P ，C 四点共圆，有OPB OCB ∠=∠． 对于图12-10（1），1902OPQ BPQ OPB BDC OCB BOC OCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒对于图12-10（2），118018018090902OPQ BPQ OPB BDC OCB BOC OCB ⎛⎫∠=∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒ ⎪⎝⎭．性质11 1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，AB 是过点Q 的一条割线段，M 为AB 的中点，N 为12O O 的中点，则NM NQ =．证明 如图12-11，设点1M ，K ，2M 分别为点1O ，N ，2O 在AB 上的射影，由垂径定理，知1M ，2M 分别是AQ ，BQ 的中点．由梯形中位线定理，知K 为12M M 的中点．图12-11不妨设AQ QB >则121122244M M AQ AQ AQ QB AQ QBKQ M Q M K +-=-=-=-=， 244AQ QB AQ QB AQ QBMK MB KQ QB QB ++-=--=--=． 于是，MK KQ =，即K 为MQ 的中点．注意到NK MQ ⊥，故NM NQ =． 性质12 设1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，AB 是过点Q 的割线段，K 为PQ 上异于端点的一点，直线AK 交2O ⊙于C ，D ，直线BK 交1O ⊙于E ，F ，则E ，C ，F ，D 四点共圆于O ⊙，且OQ AB ⊥． 证明 如图12-12，由相交弦定理，有CK KD PK KQ EK KF ⋅=⋅=⋅．图12-12再由相交弦定理之逆定理，知E ，C ，F ，D 四点共圆．设O ⊙的半径为r ，注意到个线定理，则知B 关于O ⊙的幂22BO r BE BF BA BQ =-=⋅=⋅，A 关于O ⊙的幂22AO r AC AD AB AQ =-=⋅=⋅．于是，2222()()()AO BO AB AQ BA BQ AB AQ BQ AQ BQ AQ BQ AQ BQ -=⋅-⋅=-=+-=-． 故由定差幂线定理，知OQ AB ⊥．性质13 两圆1O ⊙于2O ⊙相交于P 、Q 两点，K 为PQ 上异于端点的一点，直线1O K 交2O ⊙于A ，C ，直线2O K 交1O ⊙于B ，D ．若A ，B ，C ，D 四点共圆于O ⊙，则圆心O 在直线PQ 上．证明 如图12-13，由于PQ ，QC ，BD 分别是1O ⊙与2O ⊙，2O ⊙与O ⊙，1O ⊙与O ⊙的根轴，则知K 为其根心．图12-13于是，1OO BD ⊥，2OO AC ⊥，12O O PQ ⊥，即知K 为12OO O △的垂心，因此12OK O O ⊥．又12PQ O O ⊥，且K 在PQ 上，故点O 在直线PQ 上．注：此性质即表明：圆心不共线的三圆两两相交，若其中两圆的圆心在其中两条根轴上，则第三圆的圆心也在第三条根轴上．性质14 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q ，1O ⊙在P 点处的切线PB 交2O ⊙于B ，2O ⊙在P 点处的切线交1O ⊙于A ，M 为AB 的中点，则APQ BPM ∠=∠．证明 如图12-14，延长PM 至P '，使MP PM '=，则四边形PAP B '为平行四边形D图12-14由弦切角与所夹弧上圆角的关系．知APQ PBQ ∠=∠，PAQ BPQ ∠=∠，于是PAQ BPQ △∽△，即知AQP PQB ∠=．联结AQ 并延长交2O ⊙于C ，联结BQ 并延长交1O ⊙于D ，则由推论3，知AC DB =，PB PC =，PA PD =．此时，180PBC PCB BPA PBP '∠=∠=∠=︒-∠，即知P '，B ，C 三点共线． 同理，P '，A ，D 三点共线．注意懂啊PDP B '为等腰梯形，则DPP DBP QPC ''∠=∠=∠． 又推论2中的结论，知DPA BPC ∠=∠．故APQ DPP DPA QPP QPC BPC QPP BPM '''∠=∠-∠=∠=∠-∠-∠=∠．性质15 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，12PO O △的外接圆分别交1O ⊙于R ，交2O ⊙于S ，则点Q 为PRS △的内心或旁心．证明 如图12-15（1），由11212PRQ PO Q PO O ∠=∠=∠及122PO O PRO ∠=∠，有PRQ PRO ∠=∠，即知R ，Q ，2O 三点共线．（1）（2）图12-15对于图12-15（2），11211801802PRQ PO Q PO O ∠=︒-∠=︒-∠及122180PO O PRO =︒-∠，有2PRQ PRO ∠=∠，即知R ，Q ，2O 三点共线．注意懂啊22PO O S =，则在PRS ⊙中，有22PO O S =，即点Q 在PRS ∠的内角（或外角）平分线上． 同理，点Q 在么PSR ∠的内角（或外角）平分线上， 故点Q 为PRS △的内心或旁心．性质16 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 与1O ⊙交于点A ，与2O ⊙交于点B ． （1）设M 为12O O 的中点，则MQ AB ⊥的充要条件是点Q 为AB 的中点；（2）设C ，D 分别为弧AP ,PB 的中点，则PQ CD ⊥的充要条件是点Q 为AB 的中点．证明 （1）作1O G AQ ⊥于点G ，作2O H QB ⊥于点H ，则12MQ AB O G MQ O H MQ ⊥⇔⇔∥∥为直角梯形12O GHO 的中位线GQ QH AQ QB ⇔=⇔=．（2）12-16联结有关点，设AP 与CQ 交于点E ，BP 与DQ 交于点F ，则由AC CP =，知CPE CQP ∠=∠．又PCE QCP ∠=∠，则CPE CQP △∽△，即有CP CECQ CP=，亦即2CP CE CQ =⋅．图12-16同理，2DP DF DQ =⋅．由ACQ QPE △∽△有CQ QE AQ QP ⋅⋅⋅．同理DQ QF BQ QP ⋅⋅⋅． 注意到22()()CP DP CE CQ DF DQ CQ EQ CQ DQ FQ DQ -=⋅-⋅=-⋅--⋅= 2222CQ DQ EQ CQ FQ DQ CQ DQ AQ QP BQ QP --⋅+⋅=--⋅+⋅，则2222PQ CD CP DP CQ DQ BQ QP AQ QP AQ QB ⊥⇔-=-⇔⋅=⋅⇔=．性质17 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于,P Q 两点，离点Q 较近的两圆外公切线切1O ⊙于点A ，切2O ⊙于点B ，则（1）180APB AQB ∠+∠=︒，且较小者1212APB O PO ∠=∠，较大者1211802AQB O PO ∠=︒-∠；（2）PA QAPB QB=． 证明 如图12-17，联结1212,,,PQ PO PO O O ．E图12-17（1）180APB AQB APQ QPB AQB QAB AQB ∠+∠=∠+∠+∠=∠+=︒由180()()AQB APB PAB PBA PAQ PBQ QAB QBA ∠=︒-∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠122112()180180PO O PO O APB O PO AQB =∠+∠+∠=︒-∠+︒-∠有1211802AQB O PO ∠=︒-∠，从而1212APB O PO ∠=∠．（2）设直线PQ 交PAB △的外接圆于点E ，则么EAB EPB QBA ∠=∠=∠．于是AE QB ∥．同理，AQ EB ∥．从而四边形AEBQ 为平行四边形．此时EAQ QBE ∠=∠，由正弦定理，有sin sin sin sin sin sin QA QA QE PEA QBE PEA PAQB QE QB EAQ BEP BEP PB∠∠∠=⋅=⋅==∠∠∠．故结论获证．性质18 两圆，1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的1O ⊙的弦PA 是2O ⊙的切线，过点P 的2O ⊙的弦PB 是1O ⊙的切线．（1）延长AQ 交2O ⊙于点C ，延长BQ 交1O ⊙于点D ，则AC DB =； （2）线段AB 交1O ⊙于点E ，交O ⊙于点F ，与直线PQ 交于点M ，则AM AFBM BE=． 证明 如图12-18．图12-18（1）由题设知PAQ BPQ ∠=∠，APQ PBQ ∠=∠，即有AQP BPQ ∠=∠，从而DQP CQP ∠=∠． 此时，PDA CQP DQP DAP ∠=∠=∠=∠，于是，PD PA =．注意，POB PAC △∽△，则PDB PAC △≌△，故AC DB =．（2）延长PQ 交PAB △的外接圆于点N ，联结AN ，NB ． 注意到sin sin PAN PBN ∠=∠ 知PAN PBN S AM AP AN BM S BP BN ⋅==⋅△△． ① 由PAQ BPQ BAN ∠=∠=∠，APQ ABN ∠=∠，有PAQ BAN △∽△，即有PQ APBN AB=． ②②÷③得AN APBN BP=，将其代入①式得22AM AP AF AB AF BM BP BE AB BE ⋅===⋅． 性质19 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，离点P 较近的外公切新啊1O ⊙于点A ，切2O ⊙于点B ，过点P 的1O ⊙的弦PC 是2O ⊙的切线，过点P 的2O ⊙的弦PD 是1O ⊙的切线．直线AP 交BD 于点T ，交2O ⊙于点F ，直线BP 交AC 于点S ，交1O ⊙于点E ．则（1）A ，S ，Q ，B 五点共圆；（2）当M ，N 分别为AE ，BF 上的点时，Q ，S ，M 及Q ，T ，N 分别三点共线的充要条件是M ，N 分别为AE ，BF 的中点．证明 如图12-19，联结PQ ，AQ ，BQ ．EA X YB M NN 'SCD P ZT FQ图12-19（1）延长DP 交AB 于点X ，则XAP XPA TPD ∠=∠=∠，从而ATB PTB BDP TPD ABP BAP BQP AQP AQB ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，即知A ，Q ，T ，B 四点共圆．同理，A ，S ，Q ，B 四点共圆． 故A ，S ，Q ，T ，B 五点共圆．（2）充分性．当N 为BF 的中点时，延长QP 交AB 于点Y ，则22AY YP YQ YB =⋅=，知Y 为AB 的中点，联结YN 交PB 于点Z ，则YN AF ∥，即有BNY BFA ∠=∠． 注意到ABP BFA ∠=∠，则BNY ABP ∠=∠，从而YBZ YNB △∽△于是，2YZ YN BY YP YQ ⋅==⋅，由此即知P ，Q ，N ，Z 四点共圆，从而PQN BZN BPF ∠=∠=∠． ① 又由A ，Q ，T ，B 四点共圆，知BQT BAT ∠=∠．于是，PQT PQB BQT ABP BAT BPF ∠=∠+∠=∠+∠=∠．② 故PQN PQT ∠=∠，即知Q ，T ，N 三点共线． 同理，Q ，S ，M 三点共线．必要性．当Q ，T ，N 三点共线时，有PQN PQT ∠=∠． 取BF 的中点N '，则同①式的证法有PQN BPF '∠=∠．同样有②式，则PQN PQN '∠=∠，即知N '与N 重合，从而N 为BF 的中点．同理，当Q ，S ，M 三点共线时，M 有AE 的中点．性质20 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，2O ⊙的弦AB 为1O ⊙的切线的充要条件是AB 与1O ⊙的公共点E ，满足APE BQE ∠=∠．证明 如图12-20，注意到P ，Q ，B ，A 四点共圆，则180APE EPQ APQ ABQ ∠+∠=∠=︒-∠． BQE BEQ =∠+∠．图12-20于是，APE BQE EPQ BEQ AB ∠=∠⇔∠=∠⇔与PQE ⊙（即1O ⊙）切于点E ．性质21 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线段AF ，BE 分别交1O ⊙于A ，E ，交2O ⊙于F ，B ，直线EA 与直线FB 交于S ，则ASQ BSP ∠=∠的充要条件是AB EF ∥．证明 如图12-21，由A ，E ，Q ，P 及P ，Q ，F ，B 分别四点共圆，有AEQ QPF QBF ∠=∠=∠，即知S ，E ，Q ，B 四点共圆．FE图12-21同理，S ，A ，Q ，F 四点共圆． 于是，ESQ EBQ PFQ ∠=∠=∠． ① 又QES QPF ∠=∠，知SEQ FPQ △∽△．同理，EQP SQF △∽△，从而QF SFPQ EP=② 充分性．若AB EF ∥，则SB AB PBSF EF EP==， 所以SF SB EP PB =． 故QF SB PQ PB=． 又SBP FQP ∠=∠，则SPB SEQ △∽△． 从而ESQ PSB ∠=∠，即ASQ BSP ∠=∠．必要性．若ASQ BSP ∠=∠，即ESQ PSB ∠=∠，则由①式，有PFQ PSB ∠=∠．又SBP FQP ∠=∠，则PQF PBS △∽△，所以QF SBPQ PB=． 注意到②式，则有SF SB EP PB =．因而EP SFPB SB=． 对SEB △及截线APF 应用梅涅劳斯定理，有1SA EP BFAE PB FS⋅⋅=．因此1SA SF BF AE SB SF ⋅⋅=，从而SA SB AE BF=，故AB EF ∥． 性质22 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，一直线分别交1O ⊙于点B ，E ，交2O ⊙于点F ，C ．设A 为QP 延长线上的一点，直线QF 交AB 于点X ，直线QF 交AC 于点Y ，则XY BC ∥．证明 如图12-22，设直线AP 交BC 于点S ，分别对ABS △及截线FQX ，ASC △及截线EQY 应用梅涅劳斯定理，有1AX BF SQ XB FS QA ⋅⋅=，1AQ SE CYQS EC YA⋅⋅=．A BCA 图12-22上式两式相乘得1AX BF SE CYXB FS EC YA⋅⋅⋅=． （*）又由元幂定理，有SE SB SQ SP SF SC ⋅=⋅=⋅．于是，SE SB SE SF SF SC SE SF ⋅+⋅=⋅+⋅即()()SE SB SF SF SC SE +=+，亦即SE BF SF EC ⋅=⋅，故1BF SEFS EC⋅=．将上式代入（*）式，得1AX CY XB YA ⋅=，即AX AYXB YC=，故XY BC ∥． 性质23 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，直线12O O 分别交1O ⊙于A ，B ，交2O ⊙于CD ，则1290O PO ∠=︒的充要条件是AC ADCB DB=．（即两圆正交的充分必要条件是两圆连心线所在直线与两圆的交点成调和点列．）证明 如图12-23，充分性．当AC ADCB DB=时，11111111AO O C DO AO AC AD CB DB AO O C DO AO ++=⇔=-- A图12-23211111112222AO DO O C O D AO O C AO ⇔=⇔⋅=． 此时，2211111CO O D AO PO ⋅==，即知1PO 识2O ⊙的切线，即1290O PO ∠=︒．必要性．由1290O PO ∠=︒，则122190PO O PO O ∠+∠=︒，即12290APO CDP ∠+∠=︒，亦即，11145APO CDP APO O PC APC ︒=∠+∠=∠+∠=∠，从而知PC 平分APB ∠．由此亦知PD 平分APB ∠的外角．故AC PA AD CB PB DB==． 性质24 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 分别交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，直线AP 交2O ⊙于点C ，直线BP 交1O ⊙于点D ．设PCD △的外心为O ，则OQ AB ⊥． 证明 如图12-24（1），（2），（3），联结PQ ，首先证明AB 平分CQD ∠的外角．（3）（2）（1）B图12-24事实上，对于图12-24（1），BQD APD CPB AQC ∠=∠=∠=∠． 对于图12-24（2），180BQC BPC APD AQD ∠=︒-∠=∠=∠ 对于图12-24（3），BQC BPC APD AQD ∠=∠=∠=∠．其次，作C 关于过点Q 的AB 的垂线的对称点C '，则CC AB '∥，且C '在QD 上，QC QC '=，于是CC Q BQC ''∠=∠（或180BQC '︒-∠）BQD =∠（或180BQD ︒-∠）APD =∠（或180APD ︒-∠）CPD =∠（或180CPD ︒-∠），由此说明点C '在PCD △的外接圆上． 从而OC OC '=．又QC QC '=，因此OQ CC '⊥．故OQ AB ⊥．性质25 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线AB 交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，直线BQ交1O ⊙于点C ，直线AC 交2O ⊙于D ，E 两点．则（1）AC 为定值（不依赖点A 的位置）；（2）BE BD =，且2BO AC ⊥．证明 如图12-25，联结AQ ，PQ ，DQ ，PD ．（1）由于QAB △的三个内角均为定值，从而AQC ∠为定值，故AC 的长为定值．（2）由E BED BQD ∠=∠=∠（对于图（2）BPD ∠）BQP PQD =∠+∠（或APQ QPD ∠+∠） BDP PBD =∠+∠（或ACQ QBD ∠+∠）BDE =∠，知BE BD =． （3）由BE BD =，知2BO DE ⊥，故2BO AC ⊥．（1）（2）图12-25性质26 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，点A 在1O ⊙上，割线段AP ，AQ 交2O ⊙于C ，D ，点B 在2O ⊙上，割线段BP ，BQ 交1O ⊙于E ，F ．直线AF 与直线BD 交于点M ，直线AE 与直线BC 交于点N ，则AMP ANQ ∠=∠，BMP BNQ ∠=∠． 证明 如图12-26，联结PF ，PQ ，PD ，QE ．M图12-26由QBC APQ QFM ∠=∠=∠，知AM CB ∥，则180EQB FAE ENB ∠=∠=︒-∠，于是，知E ，Q ，B ，N 四点共圆，从而ANQ ENQ QBE FBP ∠=∠=∠=∠． 由性质5，知F ，M ，B ，P 四点共圆．从而 AMP FMP FBP ANQ ∠=∠=∠=∠． （*） 注意到APF AQF BQD BPD ∠=∠=∠=∠，则APD APF FPD BPD FPD FPB ∠=∠+∠=∠+∠=∠．又由性质5，知A ，M ，D ，P 四点共圆，则180180AMD APD FPB ∠=︒-∠=︒-∠= 180180FPE FAE ︒-∠=︒-∠，从而AN MB ∥．由（*）式即知BMP BNQ ∠=∠．性质27 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，一条外公切线切1O ⊙于A ，切2O ⊙于D ，过点P 的割线段AB ，CD 分别交2O ⊙于B ，交1O ⊙于C ，设M ，N 分别为AC ，BD 的中点，则PQM PQN ∠=∠． 证明 如图12-27，延长QP 交AD 于点T ，由22AT TP TQ TD =⋅=知T 为AD 的中点．联结TN 交PD 于点E ，则TN AB ∥，从而DNT DBA ADP ∠=∠=∠，于是，TDE TND △∽△，既有DT TENT TD=，亦即有2DT TE TN =⋅，而2DT TP TQ =⋅，由此即知P ，Q ，N ，E 四点共圆．C图12-27于是，PQN DEN DPB ∠=∠=∠．同理，PQM APC ∠=∠．而APC BPD ∠=∠，故PQM PQN ∠=∠．性质28 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线段AB ，CD 分别交1O ⊙于点B ，C ，交2O ⊙于点A ，D ，且A ，B ，C ，D 四点共圆于O ⊙．若过点P 的直线分别交1O ⊙于点E ，交2O ⊙于点F ，交O ⊙于点G ，H ，则GE FH =．证明 如图12-28，设过点O 垂直于直线GH 的直线为l ，令B ，D 关于直线l 对称的点为B '，D '，则知B '、D '均在O ⊙上，且BB D D GH ''∥∥．（1）（2）FQ图12-28此时，对图12-28（1），DB B DAB DAP DFP '∠=∠=∠=∠．对于图（2），180DB B DAB '∠=︒-∠= 180180DAP DFP ︒-∠=︒-∠．因BB PF '∥，则知D ，F ，B '三点共线． 同理，D '，E ，B 三点共线．注意到E ，F 分别为BD '，B D '与直线EF 的交点，所以E ，F 为关于直线l 的对称点．又点G ，H 关于直线l 对称．故GH FH =．性质29 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点P 的割线段AB ，CD 分别交1O ⊙于A ，C ，交2O ⊙于B ，D ．点M ，N 分别在线段AC ，BD 上，且满足BD BNλAC AM==（λ为正常数），直线MN 交PC 于点S ，交PB 于点T ，则P ，S ，Q ，T 四点共圆．证明 如图12-29联结有关线段．则由QDB QPB QCA ∠=∠=∠，BQD BPD APC AQC ∠=∠=∠=∠，知QBD QCA △∽△，即有QB QD BD λQA QC AC ===，且QBN QAM ∠=∠．于是，QNλQM=，且BQN AQM ∠=∠，亦即知NQM BQA DQC △∽△∽△，从而()QBA QNM QDC ∠=∠=∠所以Q ，B ，N ，T 四点共圆，Q ，N ，D ，S 四点共圆．此时，QTB QNB QSP ∠=∠=∠，故P ，S ，Q ，T 四点共圆．图12-29性质30 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB ，E ，F 分别交1O ⊙于A ，E ，交2O ⊙于B ，F ．若点D ，C 分别在AE ，BF 的延长线上，且满足AE BFED FC=，则PDE △的外接圆与PCF △的外接圆的另一交点为直线CD 与直线QF 的交点T ．证明 如图12-30，联结PQ ，PA ，PB ．由PAE PQE PQF PBF ∠=∠=∠=∠，Q 图12-30180180PEA PQA PQB PFB ∠=︒-∠=︒-∠=∠，知PAE PBF △∽△，即有PE EAPF FB=． 结合已知条件，有PE EDPF FC=． （*） 在DPE △和CPF △中，180180DEP PEA PFB CFP ∠=︒-∠=︒-∠=∠，注意到（*）式，知DPE CPF △∽△，即有CPF DAE ∠=∠，PE PDPF PC=． 此时，由上述两角相等导出CPD FPE ∠=∠，结合上述比例式知PCD PFE △∽△，于是PCD PFE ∠=∠，即PCT PFT ∠=∠，所以，P ，C ，F ，T 四点共圆． 又由PCD PFE △∽△知PDC PEF ∠=∠，即有180180PDT PDC PEF PET ∠=︒-∠=︒-∠=∠，从而知P ，D ，E ，T 四点共圆．证毕．性质31 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB 交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，且Q 为AB 的中点，以AB 为直径的半圆交1O ⊙于点C ，交2O ⊙于点D ，直线CD 与直线AB 交于点O ，则OP PQ ⊥． 证明 如图12-31，延长1QO 交1O ⊙于M ，延长2QO 交2O ⊙于N ．由于12O O 垂直平分PQ ，且12O O 是QMN △的中位线，所以知直线MN 过点P ，有MN PO ⊥．下只需M ，N ，O 三点共线即可． 易知MA ，MC ，ND ，NB 均与Q ⊙相切，且MA NB ∥．（1）（2）OD图12-31设MC 与ND 交于点E ，作AD BD '∥交之心啊CD 于D '，则AD C BDO BDN NDO '∠=∠=∠∠11112222BDN EDC BQD DQC BQC BAC AMC =∠∠=∠∠=∠=-∠=∠．而MA MC =，所以，知M 为D AC '△的外心．于是D M MC '=，MD C D CM DCM EDC NDO ''∠=∠=∠=∠=∠，于是知D M DN '∥．注意到MA NB ∥，AD BD '∥，且A ，B ，O 共线，D '，D ，O 共线，则知AD M '△与BDN △为位似形，位似中心为O ，故M ，N ，O 三点共线． 性质32 来个能源1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，过点Q 的割线段AB PQ ⊥，且交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，点C 在劣弧AQ 上，点D 在劣弧QB 上，且AB 为CQD ∠的外角平分线．又直线CQ 交PB 于点F ，直线DQ 交PA 于点E ．设M ，N 分别为CD ，EF 的中点，则P ，N ，M 三点共线． 证明 如图12-32，延长DE 交1O ⊙于点X ，延长CF 交2O ⊙于点Y ．由题设知AP ，BP 分别为1O ⊙，2O ⊙的直径．由AB 平分CQE ∠知，PC 与PX 关于PA 对称，PD 与PY 关于PB 对称．X Y图12-32令PQE PQF α∠=∠=，APQ QBP β∠=∠=，则 sin sin(90)sin(90)sin AQP AXP S QE AQ QP ββEX S AX XP αα⋅⋅︒-===⋅︒-⋅△△． 同理，sin(90)sin sin sin(90)QF ββFY αα︒-⋅=⋅︒-． 即有 QE QF EX FY =． 于是，XY EF ∥．设XY 交AP 于点T ，则CTE XTE FEP EPN ∠=∠=∠=∠，从而TC PN ∥，即有CPN TCP ∠=∠= TXP PXY ∠=∠．同理DPN PYX ∠=∠．所以，sin sin sin sin CPN PXY PY PDDPN PYX PX PC∠∠===∠∠． 因M 为CD 的中点，则由sin 1sin PCMPDMS PC CPM PD DPM S ⋅∠==⋅∠△△，有sin sin PD CPMPC DPM∠=∠． 于是，sin sin sin sin CPN CPMDPN DPM∠∠=∠∠， 故知P ，N ，M 三点共线．性质33 两圆1O ⊙与2O ⊙相交于P ，Q 两点，且1290O QO ∠=︒，过点Q 的割线段AB 交1O ⊙于点A ，交2O ⊙于点B ，且使1O ，2O 分别在AQP ∠，BQP ∠的平分线上，与1O 的距离等于1O 到AQ 的距离的直线1l 交1O ⊙于点C ，E （点C 在AE 上），与2O 的距离等于2O 到QB 的距离的直线2l 交2O ⊙于点D ，F （点D 在BF 上），则CA ，PQ ，DB 三线共点． 证明 如图12-33，设直线1l ，2l ，AB 两两相交于X ，Y ，Z ，联结XQ ，由题设知1O ，2O 分别为XYQ △，XQZ △的内心，且DF QB =，DF ，QB 的中点M ，N 分别为内切圆切点．Y ZX 图12-33于是，11()()22XD XM FM XM QN XQ XZ QZ XQ QZ XZ XQ =+=+=+-++-=．同理，XC XQ =，即知XCD △为等腰三角形． 进而YCA △，ZDB △均为等腰三角形．此时，111180909090222ACD X Y Z ⎛⎫⎛⎫∠=︒-︒-∠-︒-∠=︒-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而1180902ABD DBZ Z ∠=︒-∠=︒+∠．于是A ，B ，C ，D 四点共圆．设直线CA 与直线DB 交于点R ，则RA RC RB RD ⋅=⋅．上式说明点R 在1O ⊙与2O ⊙的根轴上，故CA 、PQ 、DB 三线共线．三圆相交的问题，我们仅讨论如下一种特殊情形：共一条公共弦的问题．三个圆两两相共一条公共弦有如下一系列有趣结论和推论，它们在处理有关平面几何竞赛题中，常发挥要作用． 性质34 三个圆两两相交，共一条公共弦的充分必要条件是三圆的圆心共线． 事实上，这可由相交两圆的连心线垂直平分公共弦及线段的中垂线唯一即证． 推论8 三个圆两两相切，共切点的充分必要条件是三圆的圆心共线， 性质35 三个圆两两相交（或相切），共一条公共弦（或共切点）的充分必要条件是从一交点（或切点）引出的两条直线被这三圆依次截得的两条对应线段成比例．证明 先证必要性．当三圆共一条公共弦PQ （或共切点P ）时．证法1如图12-34，设三个圆的圆心依次为1O ，2O ，3O ．因三个圆有公共弦PQ (或有公切点P )，则由性质34及推论8，知1O ，2O ，3O 共线，过1O ，2O ，3O 分别作直线PZ (P 为三个圆的公共交点或切点，PZ 依次交三圆于X ，Y ，Z )和直线PZ '（PZ '依次交三圆于X '，Y '，Z '的垂线，垂足分别为1H ，2H ，3H ；1H '，2H '，3H '．（4）（3）（2）（1）P Z图12-34易知，12PX PH =，22PY PH =，32PZ PH =，于是12122323H H O O XY YZ H H O O ==．同理，12122323H H O O X Y Y Z H H O O ''''==''''．故XY X Y YZ Y Z''=''． 证法2 仅就如图12-35的情形给出证明（其他情形图的证明留给读者，下同）．1O ⊙，2O ⊙，3O ⊙有公共弦PQ ，直线PZ ，直线PZ '依次交三圆于X ，Y ，Z ；X '，Y '，Z '．P Q图12-35由180180QXY QXP QX P QX Y '''∠=︒-∠=︒-∠=∠，及QYP QY P '∠=∠，知QXY QX Y '△∽△． 同理QYZ QY Z '△∽△．于是，有QX XY QX X Y ='''，QY YZQY Y Z=''． 又QXX QPX QPY QYY ''''∠=∠=∠=∠ 180XX Q YPQ YY Q ''∠=︒-∠=∠，则知QXX QYY ''△∽△，即有QX QXQX QY =''． 于是XY YZX Y Y Z =''''， 即XY X Y YZ Y Z ''=''． 再证充分性．如图12-35，设三个圆的圆心依次为1O ，2O ，3O ，三个圆的公共点为P ，过P 任作两条之心啊分别与三个圆的交点依次为X ，Y ，Z ；X '，Y '，Z '，且满足XY X Y YZ Y Z''='．又设2O ⊙与3O ⊙的另一个交点为Q ，下证1O ⊙也过点Q ．设过P ，Q ，X 的圆O '⊙交直线AZ '于X ''，则由必要性证明，有XY X YYZ Y Z ''=''． 此时，X Y X Y Y Z Y Z '''''=''''，即知X ''与X '重合，亦即知O '⊙与1O ⊙重合．故1O ⊙也过点Q ．亦即1O ⊙，2O ⊙，3O ⊙有公共弦PQ ．推论9 三个圆两两相交（或相切）有公共弦PQ （或公切点P ）时，过点P 的割线段PA ，PB 依次交三个圆于D ，E ，A ；C ，F ，B ．若点M ，N ，L 分别在线段DC ，EF ，AB 上，且满足DM EN ALMC NF LB==，则M ，N ，L 三点共线．证明仅就图12-36的情形给出证明．KP TC F BD E L QANM L'图12-36设直线NM 交直线PA 于点T ，交BP 或延长线于点K ．对PDC △及截线KTM ，对PEF △及截线KTN 分别应用梅涅劳斯定理，有1PT DM CK TD MC KP⋅⋅=；。
新教材高中数学第2章圆的方程：圆的一般方程pptx课件新人教A版选择性必修第一册
整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52．
所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5．
[母题探究]
若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围．
[解]
由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b>0，
解得b<0或b>8，
所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞)．
− 4 2 + 5
＝ 1 − 5，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝ 1 − 5．
法二：化为圆的标准方程求解．
(1)方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0可化为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m．
1
由题意知1－5m>0，即m< ．
5
所以实数m的取值范围是
1
−∞，
5
．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？
知识点
圆的一般方程
(1)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
当D2 ＋E2 －4F>0时，二元二次方程_______________________叫做
将左边配方，得(x－1)2＋
所以是圆心坐标为 1， −
1
2
1 2
+
＝5，
2
4
，半径为 5的圆的方程．
(3)x2＋y2－6x＋10＝0．
[解]
因为原方程可以化为x2－6x＋9＋y2＝－1，
高中数学圆的方程专题讲解
圆的方程考纲解读 1.利用圆的几何要素，求圆的标准方程和一般方程；2.利用代数法、几何法处理圆的问题．[基础梳理]1．圆的定义、方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.[三基自测]1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)答案：D2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：C3．(必修2·习题4.1A组改编)△AOB中，A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，则△AOB外接圆的方程为________．答案：x2＋y2－4x－3y＝04．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1y ≤x 表示的区域面积为________．答案：π2考点一 求圆的方程|方法突破[例1] (1)(2018·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________．(此题可用多种方法求解)[解析] (1)根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0，故选B.(2)法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为(－D 2，－E 2)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－D 2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.[答案] (1)B (2)(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10 [方法提升] 求圆的方程的方法[母题变式]1．本例(2)变为已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：设圆心为C (m,0)(m >0)，因为所求圆与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，所以|3m ＋4×0＋4|32＋42＝2，整理，得|3m ＋4|＝10，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故选A.答案：A2．本例(1)变为经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上，求圆的方程． 解析：法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.考点二 与圆有关的最值问题|方法突破[例2] (1)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞) (2)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. ①求yx 的最大值与最小值；②求y －x 的最大值、最小值； ③求x 2＋y 2的最大值、最小值．[解析] (1)∵直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切， ∴圆心(1,1)到直线的距离为 d ＝|(m ＋1)＋(n ＋1)－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，∴mn ＝m ＋n ＋1≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22.设t ＝m ＋n ，则14t 2≥t ＋1，解得t ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．选D. (2)①原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.②y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.③如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. [答案] (1)D [方法提升]1．与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．与圆有关的参数范围问题常见思路(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围． (2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围． (3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围．[跟踪训练]1．(2018·洛阳模拟)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|－a |>2|2a |>2⇒a <－2，故选A.答案：A2．(2018·聊城模拟)已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点， (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解析：①因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22， 设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|1×2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得：16－210≤t ≤16＋210， 所以，所求的最大值为16＋210.②记点Q (－2,3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有公共点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.考点三 与圆有关的轨迹问题|模型突破[例3] (1)过原点O 作圆x 2＋y 2－8x ＝0的弦OA ，则弦OA 中点M 的轨迹方程为________． (2)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP (O 为坐标原点)，求点P 的轨迹．[解析] (1)法一：(几何法)如图，∵M 为OA 的中点，∴∠OMC ＝∠OAD ＝90°.∴动点M 在以OC 为直径的圆上，圆心坐标为(2,0)，半径为2. ∴所求点的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0.法二：(代入法)设中点M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由中点坐标公式得x 0＝2x ，y 0＝2y ，将点A (x 0，y 0)代入圆的方程，并化简，得x 2＋y 2－4x ＝0.(2)如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋4 2.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求点P 的轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，12 5和⎝⎛⎭⎫－215，28 5(此两点坐标由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ，(x ＋3)2＋(y －4)2＝4解得，是点P 在直线OM 上时的情况)．[答案] (1)x 2＋y 2－4x ＝0 [模型解法]有关圆的求轨迹问题的关键点 (1)设出动点的坐标(x ，y )．(2)根据动点满足的条件，结合圆的定义，几何性质，点、直线与圆的位置关系，利用几何法、定义法、代入法、建立动点满足的等式关系(方程)．(3)化简方程、得出轨迹．[高考类题](2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2＝22. 又P 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.1.[考点二](2014·高考北京卷)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝m 2.由题意知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1与圆O ：x 2＋y 2＝m 2有公共点，所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知|OC |＝5，所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6.选B.答案：B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以(|a |2)2＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.答案：4π3.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解析：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4， 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径 r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12， 圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 4.[考点三](2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解析：(1)由已知得，圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)由题意可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)⎝⎛⎭⎫其中x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22， 将y ＝tx 代入圆C 1的方程，整理得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0. 则有x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2. 因为x 20＋y 20＝9(1＋t 2)2＋9t 2(1＋t 2)2＝9(1＋t 2)(1＋t 2)2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94.又因为方程(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0有两个不相等的实根， 所以Δ＝36－20(1＋t 2)>0，解得t 2<45，所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －3 2 2＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3 .。
高中数学圆、切线、椭圆的方程的应用名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
2. 求圆旳方程时，什么条件下用原则方程? 什么条件下用一般方 程?
3。动点轨迹 4.用坐标法解平面几何旳环节 第一步：建立合适旳坐标系，用坐标和方程表达问题中旳几何元素，
将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：经过代数运算，处理代数问题； 第三步：把代数运算成果“翻译”成几何结论. 5. 弦问题
b2 a2 c2 64 .
所以椭圆方程为：x2 y2 1或 y2 x2 1
100 64
100 64
例3 已知椭圆旳长轴长是短轴长旳2倍，且椭圆过点(-2，-4) ， 求椭圆旳原则方程。
解： 2a 2 2b a 2b
当焦点在 x轴上时，设椭圆方程为
x2 4b2
y2 b2
1，
例2 求适合下列条件旳椭圆旳原则方程：
（1）经过点P（-3，0），Q（0，-2）； （2）长轴长等于20，离心率等于 .
解：（1）由椭圆旳几何性质可知，点P、Q分别为 椭圆长轴和短轴旳一种端点.
a 3，b 2
为所求椭圆旳原则方程 .
(2) 由已知
2a
20 ，e
c a
3 5
，
a 10，c 6 .
性 质
旳
分
鉴
类
定
弧长、扇形面积和圆锥旳侧 面积有关计算
垂径定理：垂直于弦旳直径平分这条弦，而且平分弦所正确两条弧。
（1）平分弦（不是直径）旳直径垂直于弦，而且平分弦所正确两条弧；
（2）弦旳垂直平分线经过圆心，而且平分弦所正确两条弧；
（3）平分弦所正确一条弧旳直径，垂直平分弦而且平分弦所正确另 一条弧。
椭圆过点 (2 ， 4)
4 4b2
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圆
基础知识
如果没有圆，平面几何将黯然失色．
圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系．
圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础．
本部分着重研究下面几个问题：
1．角的相等及其和、差、倍、分；
2．线段的相等及其和、差、倍、分；
3．二直线的平行、垂直；
4．线段的比例式或等积式；
5．直线与圆相切；
6．竞赛数学中几何命题的等价性．
命题分析
例1．已知A 为平面上两个半径不等的⊙1O 和⊙2O 的一个交点，两圆的外公切线分别为2121,Q Q P P ，1M 、2M 分别为11Q P 、22Q P 的中点，求证：2121AM M AO O ∠=∠．
例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形． 例3．延长AB 至D ，以AD 为直径作半圆，圆心为H ，G 是半圆上一点，ABG ∠为锐角．E 在线段BH 上，Z 在半圆上，EZ ∥BG ，且2EZ ED EH =⋅，BT ∥HZ ．求证：ABG TBG ∠=∠3
1． 例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等． 例5．设A ∠是△ABC 中最小的内角，点B 和C 将这个三角形的外接圆分成两段弧，U 是落在不含A 的那段弧上且不等于B 与C 的一个点，线段AB 和AC 的垂直平分线分别交线段AU 于V 和W ，直线BV 和CW 相交于T ．证明：TC TB AU +=．
例6．菱形ABCD 的内切圆O 与各边分别切于H G F E ,,,，在⌒EF 与⌒GH 上分别作⊙O 切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q ，求证：MQ ∥NP ．
例7．⊙1O 和⊙2O 与△ABC 的三边所在直线都相切，H G F E ,,,为切点，并且FH EG ,的延长线交于点P ．求证：直线PA 与BC 垂直．
例8．在圆中，两条弦CD AB ,相交于E 点，M 为弦AB 上严格在E 、B 之间的点．过M E D ,,的圆在E 点的切线分别交直线BC 、AC 于G F ,．已知t AB AM =，求EF CE （用t 表示）．
例9．设点D 和E 是△ABC 的边BC 上的两点，使得CAE BAD ∠=∠．又设M 和N
分别是△ABD 、△ACE 的内切圆与BC 的切点．求证：
NE
NC MD MB 1111+=+． 例10．设△ABC 满足︒=∠90A ，C B ∠<∠，过A 作△ABC 外接圆W 的切线，交直线BC 于D ，设A 关于直线BC 的对称点为E ，由A 到BE 所作垂线的垂足为X ，AX 的中点为Y ，BY 交W 于Z 点，证明直线BD 为△ADZ 外接圆的切线． 例11．两个圆1Γ和2Γ被包含在圆Γ内，且分别现圆Γ相切于两个不同的点M 和N ．1Γ经过2Γ的圆心．经过1Γ和2Γ的两个交点的直线与Γ相交于点A 和B ，直线MA 和直线MB 分别与1Γ相交于点C 和D ．求证：CD 与2Γ相切．
例12．已知两个半径不相等的⊙1O 和⊙2O 相交于M 、N 两点，且⊙1O 、⊙2O 分别与⊙O 内切于S 、T 两点．求证：MN OM ⊥的充要条件是S 、N 、T 三点共线．
例13．在凸四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，⊙1O 过A 、B 且与边CD 相切于点P ，⊙2O 过C 、D 且与边AB 相切于点Q ．⊙1O 和⊙2O 相交于E 、F ，求证：EF 平分线段PQ 的充要条件是BC ∥AD ．
例14．设凸四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，且两对边AB 与CD 不平行．点P 为线段AB 与CD 的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证：A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件为PCD PAB S S ∆∆=．
训练题
1．△ABC 内接于⊙O ，︒<∠90BAC ，过B 、C 两点⊙O 的切线交于P ，M 为BC 的中点，求证：（1）BAC AP
AM ∠=cos ；（2）PAC BAM ∠=∠． 2．已知C B A ''',,分别是△ABC 外接圆上不包含C B A ,,的弧⌒⌒⌒AB CA BC ,，
的中点，BC 分别和A C ''、B A ''相交于M 、N 两点，CA 分别和B A ''、C B ''相交于P 、Q 两点，AB 分别和C B ''、A C ''相交于R 、S 两点．求证：RS PQ MN ==的充要条件是△ABC 为等边三角形．
3．以△ABC 的边BC 为直径作半圆，与AB 、CA 分别 交于点D 和E ，过D 、E 作BC 的垂线，垂足分别为F 、G ．线段DG 、EF 交于点M ．求证：BC AM ⊥．
4．在△ABC 中，已知B ∠内的旁切圆与CA 相切于D ，C ∠内的旁切圆与AB 相切于E ，过DE 和BC 的中点M 和N 作一直线，求证：直线MN 平分△ABC 的周长，且与A ∠的平分线平行．
5．在△ABC 中，已知，过该三角形的内心I 作直线平行于AC 交AB 于F ．在BC 边上取点P 使得BC BP =3．求证：B BFP ∠=∠2
1． 6．半圆圆心为O ，直径为AB ，一直线交半圆于D C ,，交AB 于M
（MD MC MA MB <<,）．设K 是△AOC 与△DOB 的外接圆除点O 外之另一交点．求证：MKO ∠为直角 ．
7．已知，AD 是锐角△ABC 的角平分线，α=∠BAC ，β=∠ADC ，且
βα2c o s c o s =．求证：DC BD AD ⋅=2．
8．M 为△ABC 的边AB 上任一点，r r r ,,21分别为△AMC 、△BMC 、△ABC 的内切圆半径；ρρρ,,21分别为这三个三角形的旁切圆半径（在ACB ∠内部）． 求证：ρρρr r r =⋅2211
．
9．设D 是△ABC 的边BC 上的一个内点，AD 交△ABC 外接圆于X ，P 、Q 是X 分别到AB 和AC 的垂足，O 是直径为XD 的圆．证明：PQ 与⊙O 相切当且仅当AC AB =．
10．若AB 是圆的弦，M 是AB 的中点，过M 任意作弦CD 和EF ，连DE CD ,分别交AB 于Y X ,，则MY MX =．
11．设H 为△ABC 的垂心，P 为该三角形外接圆上的一点，E 是高BH 的垂足，并设PAQB 与PARC 都是平行四边形，AQ 与BR 交于X ．证明：EX ∥AP ．
12．在△ABC 中，C ∠的平分线分别交AB 及三角形的外接圆于D 和K ，I 是内切圆圆心．证明：（1）CI IK ID 111=-；（2）1=-IK ID ID CI ．。