图论(Graph Theory)学习笔记4

图论学习笔记（4）
基本概念
并：若图G与图H不相交，则G与H的并G∪H是一个新的图，它的结点集V(G∪H) = V(G)∪V(H)，边集E(G∪H) = E(G)∪E(H)，因此，G∪H是由图G和图H的副本组成。

和：两个不相交的图G与H的和G+H是指在G∪H的基础上，增加图G的每个结点与图H 的每个结点相连接得到的边。

当n ≥3时，轮W1,n是指K1与Cn的和，即W1,n=K1+Cn。

对图G1,G2,G3,...,Gk的序列和（sequence join）G1+G2+G3+...+Gk是在每个图的副本基础上，再增加连接图Gi和Gi+1任意结点的边，其中1 ≤i ≤k-1。

边的删除：
若要删除图中的边，仅删除边即可，不删除与之关联的结点。

若e是图G的一条边，则G-e是指从图G中删除e。

结点的删除：若v是图G的结点，则G-v是指从图G中删除结点v，并将所有与结点v相关联的边删除。

图G的补图满足V() = V(G)，并且当且仅当uv不属于E(G)时，uv∈E(G)。

当且仅当图G与其补图同构时，称图G为自补图。

超立方体Qn是递归定义的（即在定义了第一个之后，每一个超立方体是由它前一个构造得到的），定义如下：Q1=K2，Qn=K2×Qn-1。

注：|V(Qn)|=2n
网格（grid）：n-网格M(a1,a2,...,an)是由阶数分别为a1,a2,...,an的路的笛卡尔积构成，即M(a1,a2,...,an)=Pa1Pa2,...,Pan。

对任意图G，线图L(G)的结点集是由图G的边组成。

边收缩：设uv是图G的一条边，将结点u,v去掉，并将于这两个结点相关联的边也去掉，然后增加一个结点uv*，uv*与原来和u,v两结点相邻接的结点邻接，如此得到新图G/uv。

基本定理
定理4.1 非连通图的补图是连通图。

定理4.2 若图G为自补图，则它的阶n一定可以表示为4k或者4k+1的形式，其中k为非负整数，且图G有n(n-1)/4条边。

定理4.3
设图G和H的结点集分别为{u1,u2,...,um}和{v1,v2,...,vn},它们的笛卡尔积极做G×H，读作“G叉乘H”，其结点集是由标记(i,j)的mn各节点组成，其中1≤i≤m，1≤j≤n，当且仅当满足下面两条件之一时，(i,j)和(h,k)相邻接：
i=h并且vj和vk在图H中邻接；
j=k并且ui和uh在图G中邻接。

注：
对任意的图G和H，G×H和H×G是同构的，只是标记不同。

对任意的图G、H和K，笛卡尔积满足结合律，即(G×H)×K=G×(H×K)。