图论(Graph Theory)学习笔记4
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论(Graph Theory)
第一章 图形理论图形理论有明确的起始点，由瑞士数学家尤拉(Leonhard Euler, 1707-1783)于1736年发表的论文开始。
其研究的主要论点，乃在于解决当时的热门问题，即有名K önigsgerg 的七桥问题。
1.1 定义与例题定义1.1：令 V 为非空集合，且E V V ⊆⨯. 序对(),V E 称为(V 上)有向图(directedgraph or digraph)，其中 V 为顶点(vertex)或节点(node)的集合，E 为边(edge)的集合。
我们记(),G V E =表示此图形。
图1.1为{}, , , , V a b c d e =上有向图的例子，其中()()()(){}, , , , , , , E a a a b a d b c =。
边的方向由边上的有向箭头表示，如图所示对任意边，如(), b c ，我们说此边接合(incident)顶点, b c ；称b 邻接至(adjacent to) c ；或c 邻接自(adjacent from) b 。
此外， b 称为边的原点(origin)或源点(source)， c 称为终点(terminus or terminating vertex)。
边(), a a 为一个循环(loop)， 且顶点e 不与任何边接合，称为孤立点(isolated)。
若不考虑边的方向，此图称为无向图(undirected)。
定义1.2：令, x y 为无向图(), G V E =的顶点(不一定相异)。
G 中的X Y -路(x y -walk)是指选自G 的顶点及边的有限交错序列。
01122311,,,,,,...,,,,n n n n x x e x e x e e x e x y --==其中由顶点 1x 开始，终止于顶点y ，n 个边{}1,,1i i i e x x i n -=≤≤路的长度(length)是指该条路的边数n 。
图论笔记
基本概念图（graph）是数学关系的表示，由非空节点集V和有限边集E组成。
不同节点组成的无序对称作边（edge）。
设图G，若令V={v1,v2,...,v n}是包含n个节点的集合，其m条边的集合E={e1,e2,...,e m}，其中，每一条边都是集合V的二元素子集{v i,v j}，简记为v i v j或v j v i。
集合V(G)中的基数n表示图的阶（rank）。
集合E(G)中的基数m表示图的规模（size）。
若v i∈V(G)，v j∈V(G)，且v i v j组成的节点对v i v j∈E(G)，或者说v i v j 是图G的边，则称v i和v j邻接（adjacency），否则，称v i和v j不邻接（unadjacency）。
结点的度（degree）是指与v邻接的节点数，记作deg(v)，若特指图G的结点v的度就写作deg G(v)。
边v i v j与v i和v j相关联（relevancy）。
度为零的点称作孤立点（isolated point）。
度为1的结点称为端结点（end point），若是一个很像树的图，度为1的结点又称为叶子（leaf）。
图G的最小度（min degree）是指所有结点中的最小度数，记作δ(G)。
图G的最大度（max degree）是指所有结点中的最大度数，记作Δ(G)。
若图G的所有结点有相同的度数，那么δ(G)=Δ(G)，图G称为正则图（regular graph）。
若图G的所有结点的度都是r，则图G称为r-正则图（r-regular graph）。
基本定理欧拉定理在任何图中，结点度的总和等于边数的两倍。
推论在任何图中，结点度的总和是一个非负偶数。
图论(Graph Theory)学习笔记2
图论学习笔记（2）基本概念设图G，u∈V(G)，v∈V(G)，u-v通道（u-v path）是指从结点u出发，经过一个交互的结点和边的序列，最后回到结点v的路径，其中连续的结点和边是关联的。
通道的长度（length）是指通道经过边的数量。
若一个通道中没有重复的边，则称该通道为迹（trace）。
（注：迹中的结点是可以重复的）若迹开始和结束于相同的结点，则称该迹是闭的（closed），称该迹为回路（loop）。
若一个通道中没有重复的节点，则称该通道为路（pathway）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则一个将u和v连接起来的路称为u-v路（u-v pathway）。
注：显然，如果结点不重复，则边必然不重复，所以，一个路也是迹，一个闭路称为圈（circle）。
若图中的任意两个结点间都存在路，则称此图为连通图（connected graph），否则，称之为非连通图（disconnected graph）。
在连通图中，各个分支称为连通分量，严格来说，图的连通分量指的是极大连通子图（[unknown]）。
若u∈V(G)，v∈V(G)，则节点u和v之间的测地线路是指长度最短的u-v路，简称测地线（geodesic）。
注：当你要在最短时间内从u到达v，测地线路是你的最佳选择。
途中可能存在多条测地线路。
测地线路也常被称为最短路。
图G的结点集V(G)，边集E(G)。
当图H满足结点集V(H)的子集，边集E(H)是E(G)的子集，边界对每一条边e=uv∈E(H)，其中u∈V(H)，v∈V(H)，则称图H是G的子图（subgraph），通常称图G为图H的超图（supergraph）。
定义结点都给以标号的图称为标记图（labeled graph），否则，称为非标记图（unlabeled graph）。
注：对标记图G，若S⊆V(G)，并且在标记图G中共有k条边连接了S中的所有结点，那么，G的以S为结点集的子图数为2k。
若V(H)=V(G)，则称子图H是图G的生成子图（spanning subgraph）。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
图论第四章
15
Graph Theory
Example of Blocks
4.1.17
If H is a block of G, then H as a graph has no cut-vertex, but H may contain vertices that are cut-vertices of G.
Hence any path in Bi from every vertex in Bi-{v} to any in V(B1)∩V(B2)-{v} is retained. Since the blocks have at least two common vertices, deleting a single vertex leaves a vertex in the intersection. Paths from all vertices to that vertex are retained, so B1∪B2 cannot be disconnected by deleting one vertex.
2
Graph Theory
Example: Connectivity of Kn
4.1.2
Because a clique has no separating set, we need to adopt a convention for its connectivity.
– This explains the phrase “or has only one vertex” in Definition 4.1.1.
1
Proof: The edges incident to a vertex v of minimum degree form an edge cut; hence ’(G) (G) . It remains to show that (G) ’(G).
图论(Graph Theory)学习笔记3
图论学习笔记（3）基本概念图G中的结点u与v相邻接当且仅当它们在图H中的相应结点也邻接，则称图G与图H是同构的（isomorphic），记作G≈H，否则，称两者为非同构的（nonisomorphic）。
用函数描述同构：图G与图H同构，即存在一个一一映射函数 f : V(G) →V(H)，此时，图G中任何结点对u和v邻接当且仅当f(v)和f(u)在图H中邻接。
函数f 称作从G到H的同构函数（isomorphic function）。
相关推论：令函数 f : V(G) →V(H)为图G与图H的同构函数，那么，对任意结点u∈V(G),都有deg(u)=deg(v)，换句话说，如果两个图同构，则对应的结点有相同的度数。
设图G与H同构，同构函数为 f : V(G) →H(G)。
若在图G中，结点v1与v2间的测地线为v1,v2,v3,...,vk，则在图H中，f(v1),f(v2),f(v3),...,f(vk)是结点f(v1)与f(vk)间的测地线。
含n个结点的图G的度序列（degree sequence）是指按照节点度数排列的n-元非递增序列。
若一个非负整数的非递增序列S可以表示某个图的度序列，则称序列S是可绘的。
注：非递增序列可绘⇒图的结点度数之和是非负偶数。
相关算法：可绘图度序列的判定算法从序列S中删除第一个数k。
如果S的第一个数后的k个数都大于等于1，则将这k个数分别都减去1得到新序列S'；否则，停止，得出元序列不可绘图的结论。
若S'全是0，停止，得原序列为可绘图。
将步骤2得到的序列S'重新排序，得到非递增序列S*。
令S=S*，转不骤1。
图常量是指根据图的某个性质定义的函数，即同构图将具有相同的函数值。
注：如果f 是图常量，而f(G) ≠f(H)，则图G于图H不同构。
用来说明图是否同构的一些量：结点个数连通分量个数边数度序列具有给定唯一度数结点对间的测地线长度图中的最长路具有唯一度数结点的邻接点的度基本定理定理3.1 设S是由以上算法得到的序列，那么当且仅当S'是可绘图序列时，S是可绘图序列。
大一离散数学知识点总结笔记
大一离散数学知识点总结笔记离散数学是计算机科学和信息技术等领域的基础学科，它主要研究离散对象以及离散结构及其关系。
以下是本文对大一离散数学的知识点总结。
1. 集合论（Set Theory）- 集合的定义和表示方法- 集合间的运算：并、交、差、对称差- 集合的基本性质：幂集、空集、全集- 集合的相等和包含关系- 集合的基数和无穷集合2. 命题逻辑（Propositional Logic）- 命题的定义和符号表示- 命题的逻辑运算：非、合取、析取、条件、双条件- 命题之间的等价和蕴含关系3. 谓词逻辑（Predicate Logic）- 一阶逻辑的基本概念：谓词、量词、项、公式 - 一阶逻辑的语义：解释、真值- 一阶逻辑的语法：公式的语法规则- 命题逻辑与谓词逻辑的比较4. 证明方法与技巧（Proof Methods and Techniques） - 直接证明与间接证明- 分情况讨论和归纳法- 反证法和递归法- 等价变换和代入法5. 计数原理（Counting Principles）- 乘法原理和加法原理- 排列和组合：全排列、循环排列、组合数- 二项式系数和三角形数- 鸽笼原理和抽屉原理6. 图论（Graph Theory）- 图的基本概念：顶点、边、路径、环- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接链表- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法7. 关系代数与关系数据库（Relational Algebra and Relational Databases）- 关系代数的基本运算：选择、投影、并、差、笛卡尔积- 关系数据库的基本概念：关系模型、关系实例、关系模式 - 关系数据库查询语言：结构化查询语言（SQL）- 范式理论和函数依赖8. 有限状态自动机（Finite State Automata）- 自动机的定义和表示：状态、转移函数、初始状态、接受状态- 有限状态自动机的类型：确定性有限状态自动机（DFA）、非确定性有限状态自动机（NFA）- 正则表达式与有限状态自动机的等价性- 有限状态自动机的应用：词法分析、编译原理以上是大一离散数学的主要知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
图论(Graph Theory)学习笔记5
图论学习笔记（5）
树
基本概念
若一个图的任何子图都不是圈，则称此图为无圈图。
连通无圈图称为树（tree）。
若一个连通图删除某便后变为非连通的，则被删除的边称为图的桥（bridge），故树的每一条边都是桥。
注：对于非连通图来说，如果删除某边会增加连通分量的数目，则此边也同样称为图的桥。
森林是指所有连通分量都为树的图。
若一棵有根数每个结点的至多有两个孩子，则称该树为二叉树（binary tree）。
若出叶子外的其他所有结点都有两个孩子，则称该二叉树为完全二叉树（complete binary tree）。
若一个图连通且含有一个圈，则称该图为单圈图。
基本性质
P5.1 每个非平凡树至少有两个端结点。
P5.2 删除树的任意一条边都会变为非连通图。
P5.3 对树的任意给定的两个结点x、y，树中存在唯一一条x-y路，故此路为测地线。
换句话说，在图中两结点中没有可供选择的其他路可走。
P5.4 若树有n个结点，q条边，则q = n - 1，故树是最小连通的。
基本定理
定理 5.1 设S为n个正整数组成的序列d1,d2,...,dn，其中d1≥d2≥...≥dn，并且d1+d2+...+dn=2(n-1)，其度序列为S。
定理5.2 对一非平凡树T，度为i的结点数记为ni。
n1=2+n3+2n4+3n5+...。
补充内容
判断树是否同构的方法是比较它们的度序列、最长路的长度和对给定的唯一度数相应结点间
最短的长度。
图论概念定理知识点梳理
图论概念定理知识点梳理图论基本知识点梳理第一部分（基本概念）1.G 连通的充分必要条件是1)(=G ω。
或若k G V 2|)(|=，且对)(G V v ∈?，有k v d ≥)(，则G 是连通图。
4.图G 为二分图当且仅当G 中无奇圈。
5.在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。
6.设G 为简单图，若2)(≥G δ，则G 中有圈。
7. 设G 为简单图，若3)(≥G δ，则G 中有偶圈。
具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。
(2)在-k 正则图G 中，若3≥k ，则G 中有偶圈。
8.简单图G 与其补图c G 不能都不连通。
9.在2的三角剖分中，正常三角形为奇数个。
10.以下等价(1) G 是树（无圈连通图）。
(2) G 中任两顶点间恰有一条轨。
(3) G 无圈，1-=νε。
(4) G 是连通图，1-=νε 。
(5) G 是连通图，且对G 的任意边e ，e G -不连通。
（树每边皆割边）(6) G 无圈，且对任一不在)(G E 的边e ，e G +恰含一个圈。
11. 若G 连通，则1)()(-≥G G νε。
G 的生成树是G 最小的连通生成子图。
12. G 是连通图的充分必要条件是G 有生成树。
13. 2≥ν的树T 至少有两个叶。
14.完全图n K 的生成树个数2)(-=n n n K τ。
15. 图G 可平面嵌入的充分必要条件是G 可以球面嵌入。
（染地球上各国等价于染地图上各国）16. （Euler 公式） G 是连通平面图, 则2=+-φεν.17. 证明：若G 是3≥ν的连通平面图，则63-≤νε。
18. 证明：平面图G 的最小顶点次数5≤δ。
19 3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是G 的平面嵌入的每个面皆三角形。
3≥ν平面图G 是极大平面图的充要条件是63-=νε。
20 G 是平面图当且仅当G 中不含与5K 和3,3K 同胚的子图。
21M 是图G 的最大匹配当且仅当G 中无M 的可增广轨。
GRAPH THEORY 图论
一筆畫問題 (Euler Tour)
哥尼斯堡(Konigsberg)七橋問題
一筆畫問題 (Euler Tour)
中國郵路問題
可以一筆畫
不能一筆畫
更複雜的一筆畫問題
哈密頓（Hamilton）環遊世界問題
如何一次歷遍二十個城市 而不重覆？
這是一個NP Complete的問題
References
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa
一些基本的圖形
Graph (無向圖) Digraph (有向圖)
loop
Multigraph (多圖)
Pseudograph
loop
Path and Cycle
路徑(path):是一個有限非空的點和邊的交錯序列， 其中的點兩兩不相同 迴圈(cycle):起點和終點相同的路徑
E.g.
路徑P=fdabce 迴圈C=abca
The three graphs above are isomorphic 這三個圖表示相同的概念
生活中的一些例子
台大網路架構圖
一些特殊的圖
完整的圖 Complete graphs
任意兩點之間都有一個邊與其相連的圖稱為完整的圖，以 Kn 來表示，n為點數，邊數為 n C 2
图论介绍（GraphTheory）
图论介绍（GraphTheory）1 图论概述1.1 发展历史第⼀阶段：1736：欧拉发表⾸篇关于图论的⽂章，研究了哥尼斯堡七桥问题，被称为图论之⽗1750：提出了拓扑学的第⼀个定理，多⾯体欧拉公式：V-E+F=2第⼆阶段（19~20世纪）：1852: Francis Guthrie提出四⾊问题1856: Thomas P. Kirkman & William R.Hamilton研究了哈密尔顿图1878: Alfred Kempe给出给出四⾊定理证明1890: 希伍德（Heawood）推翻原有四⾊定理证明1891: 彼得森（Petersen 丹麦）给出关于图论的理论知识的第⼀篇论⽂1936: 哥尼格(Dénes Kőnig Hungarian), 写出第⼀本图论专著《有限图与⽆限图的理论》，图论成为了⼀门独⽴学科第三阶段（现代图论）：1941: F. P. Ramsey开创 Extremal graph theory1959: Erd˝os and Rényi 引⼊随机图理论（边的存在的概率为p）1976: Kenneth Appel & Wolfgang Haken使⽤计算机最终证明了四⾊问题1.2 参考教材Graph Theory with Application - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Elsevier, 1976《图论及其应⽤》经典教材，吴望名译，有电⼦版Graph theory - J.A. Bondy and U.S.R. Murty, Springer, 2008《图论》GTM244，可以认为是 “Graph Theory with Application” 的第⼆版，推荐教材Graph Theory, 5th - Reinhard Diestel, Springer, 2017《图论》GTM173，有电⼦版Introduction to Graph Theory, 2nd- Douglas B. West, 2017⼊门教材2 图的初步知识（注：⼀般考虑simple graph (no graph loops or multiple edges), 且阶⼤于等于2）2.1 不规则图Definition: 所有顶点的度都不同的图叫不规则图 (irregular graph)Definition: 只有⼀对顶点的度相同的图叫⼏乎不规则图 (almost irregular graph)Theorem:1）不规则图不存在2）恰好存在两个阶数相同的⼏乎不规则图，且互为补图（顶点相同，边合起来是完全图）3）对于任意最⼤值为n的正整数集合，存在n+1阶的图，使其顶点数正好等于这些整数（以上结论不适⽤于多重图和加权图）2.2 正则图Definition: 所有顶点的度为r的图叫 r-正则图 (r-regular graph)e.g. 单连通的0-regular是单个点，单连通的1-regular是⼀条边的图，单连通的2-regular是⼀个圈，单连通的3-regular称为⽴⽅图Theorem: n阶r正则图存在，只要r, n不都是奇数，且r<=n-1常⽤正则图：Kn: n阶完全图，r = n-1Cn: n(n>=3)阶圈， r = 2Qr: n=2^r阶的超⽴⽅体(r-cube)Kr,r: n=2r阶的⼆分图2.3 ⼆分图（bipartite graph）Definition：顶点被分为两个集合，所有边只在两个集合之间连接的图叫⼆分图Theorem：图G是⼆分图\Leftrightarrow G中⽆奇圈2.4 ⼦图图G，⼦图（subgraph）Hsubgraph ---> spanning subgraph---> induced subgraph ---> vertex-delete subgraphspanning subgraph: ⽣成⼦图，H和G的顶点相同induced subgraph: 诱导⼦图，H = G[S] (从图中去除1个或多个顶点)vertex-delete subgraph: 去顶点⼦图，从图中去除1个顶点Theorem：任意图都可以表⽰为某个正则图的导出⼦图未解问题：给定某⼀图G的所有去顶点⼦图，是否能够重构出唯⼀的图G（同构意义上是唯⼀的）？2.5 距离Definition：连通图（connected），由多个连通分⽀（component）构成的图为不连通图（disconnected）G-v ⽐ G有更多的连通分⽀，则点v称为G的割点（cut-vertex）G-e ⽐ G有更多的连通分⽀，则边e称为G的桥（bridge）Theorem:连通图G，e是桥\Leftrightarrow e不属于G的任何⼀个圈\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过e连通图G，w是割点\Leftrightarrow存在顶点u，v，使得任意路径u-v的路径经过wDefinition：点u, v之间的距离（distance）：u,v之间最短路径的长度d(u,v)点u的离⼼率（eccentricity）：u 与其它点的最⼤距离\epsilon(u)=\max\limits_v d(u,v)最⼩离⼼率为图的半径（radius），达到最⼩离⼼率的点为中⼼点（central vertex）最⼤离⼼率为图的直径（diameter），达到最⼤离⼼率的点为边缘点（peripheral vertex）2.6 TreeDefinition：不包含圈的连通图为树（Tree）Theorem：图G是树\Leftrightarrow G中任意两个顶点都有且只有⼀条连通路径n阶树有n-1条边在G内添加任意⼀条边，就会形成⼀个回路。
4 图论
图论维基百科，自由的百科全书跳转到：导航、搜索一个由6个顶点和7条边组成的图图论（Graph theory）是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法。
图是区域在头脑和纸面上的反映，图论就是研究区域关系的学科。
区域是一个平面，平面当然是二维的，但是，图在特殊的构造中，可以形成多维（例如大于3维空间）空间，这样，图论已经超越了一般意义上的区域（例如一个有许多洞的曲面，它是多维的，曲面染色已经超出了平面概念）。
图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用顶点代表事物，用连接两顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。
图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。
图论的研究对象相当于一维的拓扑学。
目录[隐藏]∙ 1 历史∙ 2 图论问题o 2.1 图的计数o 2.2 子图相关问题o 2.3 染色o 2.4 路径问题o 2.5 网络流与匹配o 2.6 覆盖问题∙ 3 重要的算法∙ 4 参见[编辑]历史柯尼斯堡七桥问题一般认为，于1736年出版的欧拉的关于柯尼斯堡七桥问题的论文是图论领域的第一篇文章。
此问题被推广为著名的欧拉路问题，亦即一笔画问题。
而此论文与范德蒙德的一篇关于骑士周游问题的文章，则是继承了莱布尼茨提出的“位置分析”的方法。
欧拉提出的关于凸多边形顶点数、棱数及面数之间的关系的欧拉公式与图论有密切联系，此后又被柯西等人进一步研究推广，成了拓扑学的起源。
1857年，哈密顿发明了“环游世界游戏”(icosian game)，与此相关的则是另一个广为人知的图论问题“哈密顿路径问题”。
“图”这一名词是西尔维斯特在于1878年发表在《自然》上的一篇论文中提出的。
欧拉的论文发表后一个多世纪，凯莱研究了在微分学中出现的一种数学分析的特殊形式，而这最终将他引向对一种特殊的被称为“树”的图的研究。
由于有机化学中有许多树状结构的分子，这些研究对于理论化学有着重要意义，尤其是其中关于具有某一特定性质的图的计数问题。
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。
图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。
边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。
根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。
在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。
若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。
基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。
子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。
对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。
对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。
3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。
关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。
三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。
图论总结超强大
图论总结超强⼤1.图论Graph Theory1.1.定义与术语Definition and Glossary图与⽹络Graph and Network图的术语Glossary of Graph路径与回路Path and Cycle连通性Connectivity图论中特殊的集合Sets in graph匹配Matching树Tree组合优化Combinatorial optimization1.2.图的表⽰Expressions of graph邻接矩阵Adjacency matrix关联矩阵Incidence matrix邻接表Adjacency list弧表Arc list星形表⽰Star1.3.图的遍历Traveling in graph深度优先搜索Depth first search (DFS)概念求⽆向连通图中的桥Finding bridges in undirected graph⼴度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4.拓扑排序Topological sort1.5.路径与回路Paths and circuits欧拉路径或回路Eulerian path⽆向图有向图混合图⽆权图Unweighted有权图Weighed —中国邮路问题The Chinese post problem Hamiltonian Cycle 哈⽒路径与回路⽆权图Unweighted有权图Weighed —旅⾏商问题The travelling salesman problem1.6.⽹络优化Network optimization最⼩⽣成树Minimum spanning trees基本算法Basic algorithmsPrimKruskalSollin（Boruvka）扩展模型Extended models度限制⽣成树Minimum degree-bounded spanning treesk⼩⽣成树The k minimum spanning tree problem(k-MST)最短路Shortest paths 单源最短路Single-source shortest paths.1.基本算法Basic algorithmsDijkstraBellman-FordShortest?path?faster?algorithm(SPFA)应⽤Applications差分约束系统System of difference constraints有向⽆环图上的最短路Shortest paths in DAG所有顶点对间最短路All-pairs shortest paths基本算法Basic algorithmsFloyd-WarshallJohnson⽹络流Flow network最⼤流Maximum flow基本算法Basic algorithmsFord-Fulkerson methodEdmonds-Karp algorithmMinimum length pathMaximum capability path预流推进算法Preflow push methodPush-relabelRelabel-to-frontDinic method扩展模型Extended models有上下界的流问题最⼩费⽤流Minimum cost flow找最⼩费⽤路Finding minimum cost path找负权圈Finding negative circle⽹络单纯形Network simplex algorithm匹配Matching⼆分图Bipartite Graph⽆权图-匈⽛利算法Unweighted - Hopcroft and Karp algorithm带权图-KM算法Weighted –Kuhn-Munkres(KM) algorithm ⼀般图General Graph⽆权图-带花树算法Unweighted - Blossom (Edmonds)1. 图论 Graph Theory1.1. 定义与术语 Definition and Glossary1.1.1. 图与⽹络 Graph and Network⼆元组(),V E 称为图(graph)。
高中图论知识点总结
高中图论知识点总结图论是离散数学中的一个重要分支，是研究图与网络结构的数学理论。
图论的研究对象是图，图由顶点集合和边集合组成，通过顶点和边的连接关系描述了事物之间的关系。
图论在计算机科学、网络科学、社交网络分析等领域有着广泛的应用。
下面将对高中图论的知识点进行总结。
一、图的基本概念1.1 图的定义图（Graph）是由非空的顶点集和边集组成的一个数学模型。
无向图是边不带方向的图，有向图是边带有方向的图，边上有权值的图称为加权图。
1.2 图的表示图可以通过邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是将图的边关系存储在一个二维数组中，邻接表是将每个顶点的邻接顶点列表存储在链表或数组中。
1.3 图的分类图可以根据边的性质分为简单图、多重图、完全图等不同类型。
二、图的遍历2.1 深度优先搜索深度优先搜索（DFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过递归或栈的方式实现。
DFS从某一顶点出发，访问它的一个邻接点，然后再访问这个邻接点的一个邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
DFS的应用包括路径查找、连通性判断、拓扑排序等。
2.2 广度优先搜索广度优先搜索（BFS）是一种用于遍历图或树的算法，通过队列的方式实现。
BFS从某一顶点出发，先访问它的所有邻接点，然后再依次访问这些邻接点的所有未被访问的邻接点，依次进行下去，直到不能继续为止。
BFS的应用包括最短路径查找、连通性判断等。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，通过维护一个距离数组和一个已访问顶点集合来不断更新到达各顶点的最短路径。
Dijkstra算法适用于边权值非负的加权图。
3.2 Floyd算法Floyd算法是一种用于求解所有顶点对之间的最短路径的算法，通过动态规划的方式实现。
Floyd算法适用于有向图和无向图。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法是一种用于求解无向连通图的最小生成树的算法，通过维护一个顶点集合和一个边集合来逐步构建最小生成树。
graphtheory(精)
������1 ������5 ������2 ������4 ������3
Figure: 例如, “������3 与 ������4 ”是邻接点
王涛 (河南大学) 图 论
������1 ������5 ������2 ������4 ������3
(a) 孤立点: ������5
王涛 (河南大学) 图 论
2010 年 7 月 17 日
6 / 27
与图相关的概念和约定
不与任何点相邻接的点, 称为孤立点. 只有一个顶点的图称为平凡图(trivial graph) ， 否则称为非平凡 图(nontrivial graph) 。 仅由孤立结点组成的图叫零图 。
王涛 (河南大学) 图 论
������ 23
������ 34
2010 年 7 月 17 日
5 / 27
与图相关的概念和约定
不与任何点相邻接的点, 称为孤立点. 只有一个顶点的图称为平凡图(trivial graph) ， 否则称为非平凡 图(nontrivial graph) 。 仅由孤立结点组成的图叫零图 。
王涛 (河南大学)
图 论
2010 年 7 月 17 日
4 / 27
与图相关的概念和约定
一条边的两个端点称为与这条边是关联的(incident) 若两个点与同一条边相关联, 则称两个点是邻接点. 关联于同一点的两条边叫邻接边.
王涛 (河南大学)
图 论
2010 年 7 月 17 日
5 / 27
与图相关的概念和约定
������1 ������5 ������2 ������4 ������3
图论(Graph Theory)学习笔记9
图论学习笔记（9）距离与连通性基本概念设u和v为图G中给定的两个结点，则两者间的距离是指G中任意u-v测地线中边的数目，记作d(u,v)。
图论中的距离函数满足如下公理（这三个公理称为三角不等式）：d(u,v) ≥0，当且仅当u = v 时，d(u,v) = 0。
对任意结点u、v都有d(u,v) = d(v,u)。
对任意结点u、v和w都有d(u,v) ≤d(u,v) + d(w,v)。
设v为图G的给定结点，v的偏心距是指v与和它相距最远的结点间的距离e(v)，用数学公式表示为：e(v) = d(u,v)。
相关结论：对图G的某个结点v若有e(v) = t，则：图G的任意其他结点与v间的距离都不大于t。
图G中至少存在一个结点与v间的距离为t。
若结点w满足d(v,w) = e(v)，则称w为偏心结点。
若两个结点中的任意一个都是另一个的偏心结点，则称它们是互为偏心的。
图G的所有结点中最小偏心距称为G的半径，记作rad(G)。
具有最小偏心距的结点组成的集合称为G的中心，记作C(G)。
图G的边界是指具有最大偏心距的结点组成的集合，记作P(G)。
图G中最大偏心距称为G的直径，记作diam(G)。
非平凡图的边界至少包含一对结点u、v，满足d(u,v) = diam(G)，此对结点称为相对结点对或者径向结点对，其中的一个结点为另一个结点的相对结点。
相对结点总是互为偏心的。
注：其逆命题不成立。
中心结点集中的某个结点与其偏心结点间的测地线称为半径路，其长度必然是rad(G)。
相对结点对间的测地线称为直径路，其长度必然是diam(G)。
图论GraphTheory-中国科学院数学研究所
四色问题
四色问题: 对每个平面图，只用4种颜色对其面着 色,使得任何两个有公共边的面得到不同颜色。
Whitney（Wolf 奖得主，微分拓扑学奠基人）和 Tutte（英国皇家学会会员）在四色问题的研究上 有过合作。
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了 四色问题。数学家们仍在努力寻找纯推理证明。
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论.
欧拉将七桥问题转化为图论问题: 求图中一条 迹(walk), 过每条边一次且仅一次（这种性质 的迹称为欧拉迹）。
欧拉定理: 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为2。
哥尼斯堡七桥问题
欧拉定理
Pyber认为此猜想的解决在目前是不可及的“out of reach at present”。
路分解猜想
Gallai 猜 想 ： n 个 点 的 连 通 图 可 分 解 成 至 多 (n+1)/2条路。
Lovasz定理：n个点的连通图可分解成至多
n/2条路和圈。
Lovasz： 长期从事图论研究，51岁获 Wolf 奖，曾任国际数学联盟主席，多个国家的科 学院院士，曾在微软研究中心任职多年，现 为匈牙利科学院院长。
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen 图
点集：5个元素{a,b,c,d,e}的所有2-子集作为点 边集：两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交
ab
ce
de
ac
cd
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbe
ad bd
bc
ea
图论
图论是离散数学的一个主要分支。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图论学习笔记（4）
基本概念
并：若图G与图H不相交，则G与H的并G∪H是一个新的图，它的结点集V(G∪H) = V(G)∪V(H)，边集E(G∪H) = E(G)∪E(H)，因此，G∪H是由图G和图H的副本组成。
和：两个不相交的图G与H的和G+H是指在G∪H的基础上，增加图G的每个结点与图H 的每个结点相连接得到的边。
当n ≥3时，轮W1,n是指K1与Cn的和，即W1,n=K1+Cn。
对图G1,G2,G3,...,Gk的序列和（sequence join）G1+G2+G3+...+Gk是在每个图的副本基础上，再增加连接图Gi和Gi+1任意结点的边，其中1 ≤i ≤k-1。
边的删除：
若要删除图中的边，仅删除边即可，不删除与之关联的结点。
若e是图G的一条边，则G-e是指从图G中删除e。
结点的删除：若v是图G的结点，则G-v是指从图G中删除结点v，并将所有与结点v相关联的边删除。
图G的补图满足V() = V(G)，并且当且仅当uv不属于E(G)时，uv∈E(G)。
当且仅当图G与其补图同构时，称图G为自补图。
超立方体Qn是递归定义的（即在定义了第一个之后，每一个超立方体是由它前一个构造得到的），定义如下：Q1=K2，Qn=K2×Qn-1。
注：|V(Qn)|=2n
网格（grid）：n-网格M(a1,a2,...,an)是由阶数分别为a1,a2,...,an的路的笛卡尔积构成，即M(a1,a2,...,an)=Pa1Pa2,...,Pan。
对任意图G，线图L(G)的结点集是由图G的边组成。
边收缩：设uv是图G的一条边，将结点u,v去掉，并将于这两个结点相关联的边也去掉，然后增加一个结点uv*，uv*与原来和u,v两结点相邻接的结点邻接，如此得到新图G/uv。
基本定理
定理4.1 非连通图的补图是连通图。
定理4.2 若图G为自补图，则它的阶n一定可以表示为4k或者4k+1的形式，其中k为非负整数，且图G有n(n-1)/4条边。
定理4.3
设图G和H的结点集分别为{u1,u2,...,um}和{v1,v2,...,vn},它们的笛卡尔积极做G×H，读作“G叉乘H”，其结点集是由标记(i,j)的mn各节点组成，其中1≤i≤m，1≤j≤n，当且仅当满足下面两条件之一时，(i,j)和(h,k)相邻接：
i=h并且vj和vk在图H中邻接；
j=k并且ui和uh在图G中邻接。
注：
对任意的图G和H，G×H和H×G是同构的，只是标记不同。
对任意的图G、H和K，笛卡尔积满足结合律，即(G×H)×K=G×(H×K)。