人教版九年级数学上册二次函数应用题分类解析.docx

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专题05二次函数的实际应用(含解析)2023年秋人教版数学九年级上册期中专题复习

专题05 二次函数的实际应用图形问题1．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．小组讨论后，同学们做了以下试验：请根据以上图案回答下列问题：(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为，当为，窗框的面积是______；(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为，试探究长为多少时，窗框的面积最大，最大为多少？(3)经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．2．工匠师傅准备从六边形的铁皮中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，，与之间的距离为2米，米，米，6m AB 1m ABCD 2m 6m AB ABCD 6m ABCDEF AB DE ∥AB DE 3AB =1AF BC ==，．，，是工匠师傅画出的裁剪虚线．当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，最大面积是多少？3．某建筑物的窗户如图所示，上半部分是等腰三角形，，，点、、分别是边、、的中点；下半部分四边形是矩形，，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设米，米．(1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；(2)当为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．图形运动问题4．如图（单位：cm ），等腰直角以2cm/s 的速度沿直线l 向正方形移动，直到与重合，当运动时间为x s 时，与正方形重叠部分的面积为y cm 2，下列图象中能反映y 与x 的函数关系的是（）90A B ∠=∠=︒135C F ∠=∠=︒MH H G GN MH MNGH ABC V AB AC =:3:4AF BF =G H F AB AC BC BCDE BE IJ MN CD ∥∥∥BF x =BE y =y x x x EFG V EF BC EFG V ABCD．．．．．如图，一个边长为的菱形，过点作直线沿线段向右平移，直至经过点时停止，在平移的过程中，若菱形在直线部分面积为，则与直线之间的函数图象大致为（）A ．．．．的边长为，点O 为正方形的中心，出发沿运动，连接的运动速度为260︒A l AB ⊥AB l y y l 2cm BC 2cm/s．．．．销售利润问题．某公司经销一种绿茶，每千克成本为元，市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？8．某公司生产的某种时令商品每件成本为投球问题水平距离竖直高度(1)根据题意，填空：________________；(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；增长率问题(m)x 0123(m)y 0 3.567.5=a x /mx 02461112/m y 2.38 2.62 2.7 2.62 1.721.4213．据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（）A． B ． C ． D ． 14．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．B ．C ．D ．15．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则y 与之间的函数关系式为（）A ．B ．C ．D ．16．目前，随着新冠病毒毒力减弱，国家对新冠疫情防控的政策更加科学化，人们对新冠病毒的认识更加理性．佩戴口罩可以阻断传播途径，在一定程度上能够有效防止感染新型冠状病毒肺炎．某药品销售店将购进一批A 、B 两种类型口罩进行销售，A 型口罩进价m 元每盒，B 型口罩进价30元每盒，若各购进m 盒，成本为1375元．(1)求A 型口罩的进价为多少元？(2)设两种口罩的售价均为x 元，当A 型口罩售价为30元时，可销售60盒，售价每提高1元，少销售5盒；B 型口罩的销量y （盒）与售价x 之间的关系为；若B 型口罩的销售量不低于A 型口罩的销售量的10倍，该药品销售店如何定价？才能使两种口罩的利润总和最高．17．重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是每千克元，售价是每千克元，年销量为万千克多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销．为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金万元，该种蔬菜的年销量将是原年销量的倍，它们的关系如下表：GDP GDP y GDP x y x ()2.412y x =+()22.41y x =-()22.41y x =+()()2.4 2.41 2.41y x x =++++()21801461x -=()21801461x +=()24611180x -=()24611180x +=x y a x ()12y a x =-()21y a x =-()21y a x =-()21y a x =-3005y x =-2310．X m参考答案：，，米，四边形是平行四边形，又，90A B ∠=∠=︒Q AF BC ∴P 1AF BC ==Q ∴ABCF 90A B ∠=∠=︒Q重叠部分为三角形，面积如图，当时，重叠部分为梯形，面积∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为纵观各选项，只有C 选项符合．y =510x <≤12y =⨯，图象开口向上的抛物线的一部分；②当时，如图，③当时，如图，故选：．【点睛】此题考查了动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，解题的关键是不同取值范围内，图象和图形的对应关系，进而求解．6．D21332y x x x =⨯=12x <≤()1133132y x =⨯⨯+-=23x <≤()23323322y x =⨯--=-A∴，由题得，，∴，∵，由题得，∴．故选D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象的应用，求出分段函数的解析式是解题的关键．PE AD ⊥cm BQ t =cm AE PE t ==2cm QE AB ==cm BP BQ t ==212s t =（3）根据，即可作答．【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：，把，代入解析式得：，解得，∴y 与x 的函数关系式为；（2）根据题意，得；当时，，解得：，，∵这种商品的销售价不得高于90元/千克，∴，∴应将销售价定为70元/千克；（3），∵，∴当销售单价时，销售利润w 的值最大，最大值为2450元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键．8．(1)(2)第18天的日销售利润最大为450元(3)，1500元【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式，故可利用待定系数法可求解；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围，进而求解即可．()222340120002852450w x x x =-+-=--+()0y kx b k =+≠()50,140()80,80501408080k b k b +=⎧⎨+=⎩2240k b =-⎧⎨=⎩2240y x =-+()()()250502240234012000w x y x x x x =-⋅=--+=-+-2000w =22340120002000x x -+-=170x =2100x =70x =()222340120002852450w x x x =-+-=--+20-<85x =296m x =-+1a =②不能．当时，，该运动员第一次发球能过网，故答案为：不能；（2）判断：没有出界．第二次发球：，令，则，，解得舍，，，该运动员此次发球没有出界．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是正确求出函数解析式．13．C【分析】根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度季度总值约为元，第三季度总值为元，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意得：关于的函数表达式是：，故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．14．B【分析】利用4月份该厂家口罩产量月份该厂家口罩产量从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9x =()20.0294 2.7 2.2 2.24y =--+=<∴20.02(5) 2.88y x =--+0y =20.02(4) 2.880x --+=17(x =-)217x =21718x =<Q ∴GDP x GDP ()2.41x +GDP ()22.41x +y x ()22.41y x =+2=(1⨯+2)()21801461x +=。

人教版九年级上册数学第十二章二次函数常考应用题总结

人教版九年级上册数学第十二章二次函数常考应用题总结一、销售问题1、某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？2、商场某商品现在售价为每件600元，每星期可卖出3000件，市场调查反映；如果上调价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件400元，设每星期的销量为y件，每件商品的售价为x（x≥600）元．（1）求y与x的函数关系；（2）每件商品的售价为多少时，每星期所获总利润最大，最大利润是多少元？3、某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式（利润＝售价﹣制造成本）；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？4、将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元一个售出时，每天能售出 20 个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润，则应降价多少元？5、某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为3000 元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150 元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元．(1)当每辆车的月租金为3 600 元时，能租出辆；(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?6、某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为多少元（用含x的代数式表示）；（1）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？7.我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．（年利润=年销售总额﹣生产成本﹣投资成本）（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？8. 在创新素质实践行活动中，某位同学参加了超市某种水果的销售调查工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在调查结束后的对话：A：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可以售出300千克；B：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获利750元；C：通过调查验证，我发现每天的销售量与销售单价之间存在一次函数关系．（1）设超市每天该水果的销售量是y（kg），销售单价是x（元），写出y与x的关系；（2）在进货成本不超过1200元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果要使该水果每天的利润不低于600元，销售单价应在什么范围内？二、面积问题1、如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB为多少米时，矩形土地ABCD的面积最大．2、用12m长的栅栏围成一个中间被隔断的鸭舍（栅栏占地面积忽略不计）．(1)如图1，当AB=________m，BC=________m时，所围成两间鸭舍的面积最大，最大值为________m2；(2)如图2，若现有一面长4m的墙可以利用，其余三方及隔断使用栅栏，所围成两间鸭舍面积和的最大值是多少？3、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是 2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米 120 元，边框的价格是每米 30 元，另外制作这面镜子还需加工费 45 元．设制作这面镜子的总费用是 y 元，镜子的宽度是 x 米．（1）求 y 与 x 之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了 195 元，求这面镜子的长和宽．三、图像问题1、如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC=6cm，高 AD=4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，要使矩形 EGFH 的面积最大，求 EG 的长．2、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为多少米．3.如图，足球比赛中，一球员从球门正前方10 m 处将球射向球门．当球飞行的水平距离为6 m 时球到达最高点，此时球离地面3 m．若球运动的路线为一条抛物线,球门的高A B 为2.44 m，球能否被射进球门?4、如图，琪琪的父亲在相距2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的琪琪距较近的那棵树0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米?5.跳绳时，绳甩到最高处时的形状为抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6m，到地面的距离A O 和B D 均为0．9 m．身高为1．4 m 的小丽站在距点O的水平距离为1 m 的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y=ax2+bx+0．9．(1)求该抛物线的解析式；(2)如果小华站在O D 之间，且离点O的距离为3m，当绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1．4 m 的小丽站在O D 之间，且离点O的距离为t m，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t的取值范围：．6、如图：河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB=6m，建立如图所示的坐标系．（1）当水位上升0.5m时，求水面宽度CD为多少米？（结果可保留根号）（2）有一艘游船它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行，若这船宽（最大宽度）2米，从水面到棚顶高度为1.8米．问这艘船能否从桥下洞通过？7.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？。

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初中数学试卷桑水出品二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。

解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1．某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解：（1）因为题中给出了y 是x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式为1x 53x 101y 2++=（2）由题意得S=10y(3-2)-x 10x 5x 2++-=（3）由（2）465)25x (10x 5x S 22+--=++-=及二次函数性质知，当1≤x ≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S 随广告费的增大而增大。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

人教版数学九年级上册二次函数(篇)(Word版含解析)

人教版数学九年级上册二次函数（篇）（Word 版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线L 的对称轴．（2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题．（3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)，∴抛物线的对称轴x ＝﹣42a a-＝2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A(4，0)，∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M((2，﹣2)，M′(2，2)把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a＝12，∴抛物线L′的解析式为y＝﹣12(x﹣2)2+2＝﹣12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，12m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣12(m+2)2+2(m+2)]，∵PQ∥OD，∴12m2﹣2m＝﹣12(m﹣2)2+2(m﹣2)或12m2﹣2m＝﹣12(m+2)2+2(m+2)，解得m＝3±3或1±3，∴P(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)，当OD是平行四边形的对角线时，点P的横坐标为1，此时P(1，﹣32 )，综上所述，满足条件的点P的坐标为(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)或(1，﹣32 )．【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题2．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值3．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）；（2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+，即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263a a -＞0，解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ），当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ，当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．4．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式； ②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a-≥，即可求出n 的取值范围．【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下：由①得1944y x =-+，设点P 为（x ，k x），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+； ∵104-<， ∴当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大．（2）∵()1,2A 、()5,B n ，设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-，当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--； ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大；当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩， ∴不等式组的解集为：2n >；当204n -<时，有 ∴20410524n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n ≤<， ∴综合上述，n 的取值范围为：109n ≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．5．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求2FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+==解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．（1）P 的坐标，C 的坐标；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)（2）△ABP 最大面积s=1927322288⨯⨯=; P （12，﹣34）（3）存在；k=25 【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组211y x y x ⎧=⎨=+⎩﹣即可；（2）设P （x ，x 2﹣1）．过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1），所以利用S △ABP =S △PFA +S △PFB ，，用含x 的代数式表示为S △ABP=﹣x 2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，用k 分别表示点E 的坐标，点F 的坐标，以及点C 的坐标，然后在Rt △EOF 中，由勾股定理表示出EF 的长，假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，设点N 为OC 中点，连接NQ ，根据条件证明△EQN ∽△EOF ，然后根据性质对应边成比例，可得关于k 的方程，解方程即可.【详解】解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x 2﹣1，直线解析式为y=x+1．联立两个解析式，得：x 2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，∴A （﹣1，0），B （2，3）．（2）设P （x ，x 2﹣1）．如答图2所示，过点P 作PF ∥y 轴，交直线AB 于点F ，则F （x ，x+1）．∴PF=y F ﹣y P =（x+1）﹣（x 2﹣1）=﹣x 2+x+2．S △ABP =S △PFA +S △PFB =PF（xF ﹣xA ）+PF （xB ﹣xF ）=PF （xB ﹣xA ）=PF∴S △ABP=（﹣x 2+x+2）=﹣（x ﹣12）2+278 当x=12时，yP=x 2﹣1=﹣34． ∴△ABP 面积最大值为，此时点P 坐标为（12，﹣34）．（3）设直线AB ：y=kx+1与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则E （﹣1k ，0），F （0，1），OE=1k，OF=1．在Rt △EOF 中，由勾股定理得：EF=22111=k k k +⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k=0，即（x+k ）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣k 或x=1．∴C （﹣k ，0），OC=k ．假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN ∽△EOF ，∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k-=，解得：25， ∵k ＞0，∴25．∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=25．考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.8．如图，已知抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中点A的坐标是()1,0，点C的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AC的解析式．（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC∆的面积的最大值及此时点P的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点E，点M为直线AC上的任意一点，过点M作//MN DE交抛物线于点N，以D，E，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+317-)或(1172--，3172)【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)，求出PQ的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M在线段AC上时，点N在点M上方；②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方；分别求出点M的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23bc=-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-． ∴此时点M）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣50)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9 144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F （﹣12，﹣10），B （0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m ＝﹣12﹣35（舍弃）或﹣12+35，∴D （﹣12+35，0）．当点F 在线段AC 上时，同法可得D （﹣3，0），综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF 的面积为30，∴D （﹣3，0），E （0，﹣4），把D ，E 代入y ＝﹣x 2+b′x+c′，可得'493''0c b c =-⎧⎨--+=⎩，解得：13'3'4b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．故答案为：y ＝﹣x 2﹣133x ﹣4．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则11:():():3:222ABD BCD S S AD h DC h AD DC ∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y 轴，∴25CH DC DH OC AC OA ===． ∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH 为等腰直角三角形，∴26355CH DH ==⨯=． ∴64255BH BC CH =-=-=． ∴tan ∠DBC=32DH BH =. （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC=∠FAC ， ∴∠OAB=∠OFA ．∴△OAB ∽△OFA ，∴13OB OA OA OF ==． ∴OF=9，即F （9，0）；设直线AF 的解析式为y=kx+b （k≠0），可得093k b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得133k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AF 的解析式为：133y x =-，将x=2代入直线AF 的解析式得：73y =-， ∴E （2，73-）. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。

人教版数学九年级上册二次函数(篇)(Word版含解析)

人教版数学九年级上册二次函数（篇）（Word 版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y轴的负半轴交于点C ．()1求点B 的坐标．()2若ABC 的面积为6．①求这条抛物线相应的函数解析式．②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（1，0）；（2）①223y x x =+-；②存在，点P 的坐标为1133313++⎝⎭或53715337-+-⎝⎭．【解析】【分析】（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到12(1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可．【详解】解：()1当0y =时，()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C0,a ∴<∴点B 坐标为()1,0．()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,()()116,2a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=．0,a < 3a ∴=-22 3.y x x =+-②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-，∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-则03,k =-3k ∴=．,POB CBO ∠=∠∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC∴直线OP 的函数解析式3,y x =为则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩1112x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩(舍去)，2212x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点的P坐标为1322⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称，则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩1152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)，2252x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P'的坐标为53715337,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭综上可得，点P 的坐标为1133313,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或53715337,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．2．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线'C ．()1求抛物线C 的函数表达式:()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】()12142y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m = 【解析】【分析】（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，利用正方形性质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入21: 42C y x =-+即可求得答案.【详解】解：()142AB =(), 22,0)2,0(2A B ∴-将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++ 8220.8220.4a b c a b c c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩解得1204a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2142y x ∴=-+； ()2如图21:42C y x =-+．关于(),0F m 对称的抛物线为()21:242C y x m '=-- 当C '过点()0,4D 时有()2140242m =-- 解得:2m =当C '过点()2,0B 时有()21022242m =- 解得:22m =222m ∴<<；()3四边形'PMP N 可以为正方形由题意设(),P n n ，P 是抛物线C 第一象限上的点2142n n ∴-+= 解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P如图作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，MK HK ⊥于K四边形PMP N '为正方形易证PHK FKM ≌2FK HP m ∴==-2MK HF ==M ∴为()2,2m m --∴将M 代入21: 42C y x =-+得 ()212242m m -=--+ 解得:126,0m m ==(舍去)∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.3．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点.【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得 396a =+13a ∴=- ∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=()21336233t t t ⎛⎫∴-=--++ ⎪⎝⎭化简得()1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ 13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+,-3)3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD =+=+=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.4．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．【答案】（1）21y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-或12m =- 【解析】【分析】（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式；（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''并进行化简，由1n q -≤<且12,q n <-得21n q -<，则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()max B C ''；（3）依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12m =-．【详解】解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，则21:1C y x =+，（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦ 2204020q q =-+()2201q =-，∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴，∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，min 2q q n ==-，即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-，∴()max 1|B C n ''=-，（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ， ∴221:8C y x =+， ∴21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为： 2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，化简上式得：22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-，∴k m =-为上述方程的一个解，∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 21148m m m -=+∴， ∴231048m m -+=，解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程231048m m -+=的解），故14m =-或12m =-．【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．5．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）【解析】【分析】（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=，设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=，解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=，解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-，解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴22125AC=+=,222425BC=+=，∴222AC BC AB+=，∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°，∴25CF BC==∴AO ACOM CF=，即1525OM=解得：2OM=，∴OC ACFM AF=，即2535FM=解得：6FM=，∴点F为（2，6），且B为（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则2640k mk m+=⎧⎨+=⎩，解得312km=-⎧⎨=⎩，∴直线BE解析式为：312y x=-+；联立直线BE和抛物线解析式可得：231213222y xy x x=-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得：4xy=⎧⎨=⎩或53xy=⎧⎨=-⎩，∴点E坐标为：(5,3)-，∴22(54)(3)10BE=-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0），∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤， ∴﹣b 2≥4a ，∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ），∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，∴c （a+b+c ）＞0， ∴6c （6a+6b+6c ）＞0， ∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0，∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0，∵a≠0，则9a 2＞0，∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， ∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．定义：函数l 与l '的图象关于y 轴对称，点(),0P t 是x 轴上一点，将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分，以x 轴为对称轴翻折，得到新的函数w 的图象，我们称函数w 是函数l 的对称折函数，函数w 的图象记作1F ，函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ，图象1F 和2F 合起来记作图象F ．例如：如图，函数l 的解析式为1y x =+，当1t =时，它的对称折函数w 的解析式为()11y x x =-<．（1）函数l 的解析式为21y x =-，当2t =-时，它的对称折函数w 的解析式为_______；（2）函数l 的解析式为1²12y x x =--，当42x -≤≤且0t =时，求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l 的解析式为()2230y ax ax a a =--≠．若1a =，直线1y t =-与图象F 有两个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）()212y x x =+<-；（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-；（3）当3t =-，1t <≤，5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点．【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F 的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x =+<-（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =，当1x =时，32y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4；a ：当14t -=-时，3t =-，∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点；b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，2123t t t -=--，解得13172t -=，23172t += c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =14t -=，∴55t =∴当31712t -<≤或31752t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点；综上所述：当3t =-，3171t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．（1）P 的坐标，C 的坐标；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C （0，-5）；（2）直线PC 的解析式为y=3x-5，设直线交x 轴于D ，则D （53，0），设直线PQ 交x 轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q ′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-，故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①，则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN ==，解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -，设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．10．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+，3172)或(1172--，3172) 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-．∴此时点M 的坐标为（12-+，32-）或（12-，32+）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．。

人教版九年级上册期末专题复习：二次函数全章热门考点与重点题型解题技巧整理(含解析)

人教版九年级上册期末专题复习：二次函数全章热门考点与重点题型解题技巧整理（含解析）考点1：二次函数的图象与系数的关系考点分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c与图象有着密切的关系：a的取值决定了开口方向和开口大小，a，b的取值影响对称轴的位置，c的取值决定了抛物线与y轴的交点位置，所以a，b，c这三个系数共同决定着抛物线的位置和大小，反之也可以根据二次函数图象情况确定a，b，c的系数符号或大小．题型1 a与图象的关系 1．如图所示，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为( )A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c2．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞n＞0，则开口向上的抛物线是____，开口较大的抛物线是_____．3．抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝bx2如图所示，则不等式－ax＋b＞0的解集是_______．题型2 b与图象的关系1．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所示，则b的值是( )A．－5 B．0 C．3 D．42．当抛物线y ＝x 2－nx ＋2的对称轴是y 轴时，n ______0；当对称轴在y 轴左侧时，n ______0；当对称轴在y 轴右侧时，n ______0.(填“＞”“＜”或“＝”)题型3 c 与图象的关系1．下列抛物线可能是y ＝ax 2＋bx 的图象的是( )点拨：抛物线y ＝ax 2＋bx 的图象一定经过原点2．若将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c －3向上平移4个单位长度后得到的图象如图所示，则c ＝________．题型4 a ，b 与图象的关系1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法中不正确的是( )A ．a ＞0B ．b ＜0C ．3a ＋b ＞0D ．b ＞－2a2．如果抛物线y ＝x 2＋(n ＋2)x －5的对称轴是x ＝－，则(3m －2n )2－的值为m2322n ＋43m ________．题型5 a ，c 与图象的关系1．二次函数y ＝(3－m )x 2－x ＋n ＋5的图象如图所示，试求＋－|m ＋n |的（m －3）2n2值．题型6 a ，b ，c 与图象的关系1．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，则符合条件的图象是( )2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x ＝－，下列结12论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．a ＋c ＝0C ．b ＝2aD ．4a ＋c ＝2b考点2：求二次函数解析式的常见类型考点分析：求二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的解析式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的解析式，往往可以给解题过程带来简便．题型1 由函数的基本形式求解析式方法1　利用一般式求二次函数解析式1．已知一个二次函数的图象经过点A (1，0)，点B (0，6)和点C (4，6)，则这个抛物线的解析式为________．2．一个二次函数，当自变量x ＝－1时，函数值y ＝2；当x ＝0时，y ＝－1；当x ＝1时，y ＝－2.那么这个二次函数的解析式为_____．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2，－4)，O (0，0)，B (2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；(2)若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．方法2　利用顶点式求二次函数解析式1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋62．已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求二次函数解析式．方法3　利用交点式求二次函数解析式1．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数解析式．方法4　利用平移式求二次函数解析式1．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式是_______．2．已知y＝x2＋bx＋c图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图象的解析式为y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．方法5　利用对称轴法求二次函数解析式1．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是_______．2．如图所示，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－.12(1)求抛物线的解析式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．方法6　灵活运用方法求二次函数的解析式1．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数解析式．题型2 由函数图象中的信息求解析式1．如图，是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的解析式是( )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝－x 2－x ＋21212C ．y ＝－x 2－x ＋11212D ．y ＝－x 2＋x ＋22.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD ，线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)，销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系．(1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数解析式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？题型3 由表格信息求解析式1．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋82．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x…－32－1－1212132…y…－54－2－94－2－5474…则该二次函数的解析式为______________．题型4 几何应用中求二次函数的解析式1．如图，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线的解析式．题型5 实际问题中求二次函数解析式1．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S .(1)求S 与x 之间的函数解析式；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．考点3：二次函数图象信息题的四种常见类型方法指导：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质，把握二次函数的特点是解决此类问题的关键．题型1 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号1．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC .则下列结论：①abc ＜0；②＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA ·OB ＝－.其中正确结论的个数是(　)b2－4ac4aca A ．4B ．3C ．2D ．1题型2 利用二次函数的图象比较大小2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图，若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是(　)A ．y 1≤y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1＞y 2题型3 利用二次函数的图象求方程或不等式的解3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则当函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．x ＞3C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞34．如图所示，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( ) A．－1≤x≤9B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9D．x≤－1或x≥95．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____．题型4 根据抛物线的特征确定其他函数的图象1．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( )7．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的解析式．(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．考点4：用二次函数解决问题的三种类型方法指导：利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二次函数解析式实行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的．类型1 建立平面直角坐标系解决实际问题题型1　拱桥(隧道)问题1．有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度是16 m ，跨度为40 m ，现把它的示意图(如图所示)放在坐标系中，则抛物线的解析式为( )A ．y ＝x 2＋xB ．y ＝－x 2－x1255858125C ．y ＝－x 2＋x D ．y ＝－x 2＋x ＋161258512585 2．如图，拱桥呈抛物线形，其函数的解析式为y ＝－x 2，当水位线在AB 位置时，水14面的宽度为12米，这时拱顶距水面的高度h 是________米．3．如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图，点A 和A 1、点B 和B 1分别关于y 轴对称．隧道拱部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8 m ，点B 离路面AA 1的距离为6 m ，隧道宽AA 1为16 m .(1)求隧道拱部分BCB 1对应的函数解析式．(2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m ，装载设备的顶部离路面均为7m ，问：它能否安全通过这个隧道？并说明理由．题型2　建筑物问题1．如图所示，某大学的楼门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面4 m 高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m ，则校门的高约为(精确到0.1 m ，水泥建筑物的厚度忽略不计)( )A ．9.2 mB ．9.1 mC ．9.0 mD ．8.9 m2．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成，为了牢固，每段防护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点到底部距离为0.5 m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为( )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m题型3　物体运动类问题1．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y (米)关于水平距离x (米)的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．1812322．如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B .有人在直线AB 上点C (靠点B 一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM ＝5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)．(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶，网球能不能落入桶内？(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？类型2 建立二次函数模型解决几何最值问题题型1　利用二次函数解决图形高度的最值问题1. 某人从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球的运动时间t (单位：秒)之间的关系式是h ＝9.8t －4.9t 2，那么小球运动中的最大高度为________．2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的高度为________米．题型2　利用二次函数解决图形面积的最值问题1.用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A . m 2B .m 2642543C . m 2 D ．4 m 2832．如图所示，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E ，F 分别从顶点B ，C 同时开始以相同速度沿边BC ，CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，B ，E ，C ，G 在一条直线上．(1)若BE ＝a ，求DH 的长．(2)当E 点在BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．类型3 建立二次函数模型解决动点探究问题1．如图所示，直线y ＝x －2与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，抛物线过点A ，C 和点12B (1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上方的抛物线上有一动点D ，当D 与直线AC 的距离DE 最大时，求出点D 的坐标，并求出最大距离．考点5：函数中的决策问题方法指导：函数中的决策问题通常包括两类：一是利用一次函数进行决策，二是利用二次函数进行决策．其解题思路一般是先建立一次函数(二次函数)模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用一次函数(二次函数)的图象和性质去分析、解决问题．类型1 利用一次函数作决策题型1　购买方案1．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．题型2　生产方案2．某工厂以80元/箱的价格购进60箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生产A产品，甲车间用每箱原材料可生产出A产品12千克，需耗水4吨；乙车间通过节能改造，用每箱原材料可生产出的A产品比甲车间少2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知A产品售价为30元/千克，水价为5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过200吨，那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润w最大？最大利润是多少？(注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费)题型3　运输方案3．荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：鲢鱼草鱼青鱼每辆汽车装鱼量(吨)865每吨鱼获利(万元)0.250.30.2(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式．(2)如果装运每种鱼的车辆不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．类型2 利用二次函数作决策题型1　几何问题中的决策1．如图，有长为24 m的围栏，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍．设鸡舍的一边AB为x m，面积为S m2.(1)求S与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)．(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45 m2更大的鸡舍吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．2.如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？(2)设四边形APQC的面积为y(cm)2，求y关于t的函数解析式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．题型2　实际问题中的决策1．某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y 1(元/台)与采购数量x 1(台)满足y 1＝－20x 1＋1 500(0＜x 1≤20，x 1为整数)；冰箱的采购单价y 2(元/台)与采购数量x 2(台)满足y 2＝－10x 2＋1 300(0＜x 2≤20，x 2为整数)．(1)经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的倍，且空调采购单价不低119于1 200元，问该商家共有几种进货方案？(2)该商家分别以1 760元/台和1 700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个房间每天的定价增加x 元(x 为10的整数倍)．(1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 之间的函数解析式及自变量x 的取值范围；(2)设宾馆一天获得的利润为W 元，求W 与x 之间的函数解析式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少元？考点6：二次函数与几何的应用考点分析：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数解析式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．题型1 二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1，0)，B (0，2)，抛物线y ＝x 2＋bx －2过点C .求抛物线的解析式．122.在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A (0，2)，点C (－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B .(1)求点B 的坐标．(2)求抛物线的表达式．(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外)，使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2 二次函数与平行四边形的综合1．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.(1)求抛物线的解析式．(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数解析式，并写出t 的取值范围．②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．题型3 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合1．二次函数y ＝x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在23y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ，在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n －1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1＝∠A 1B 2A 2＝∠A 2B 3A 3＝…＝∠A n －1B n A n ＝60°，则菱形A n －1B n A nC n 的周长为__4n___．2．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F .(1)图①中，若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE ＝EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．(2)如图②，若点E 在线段BC 上滑动(不与点B ，C 重合)．①AE ＝EF 是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在抛物线y ＝－x 2＋x ＋1上，求此时点F 的坐标．考点7 ：探究二次函数中存在性问题方法指导：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．题型1 探索与特殊几何图形有关的存在性问题1．如图，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋a (a ≠0)与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y ＝x －a 分别与x 轴、y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线MA 相交于N 点．12(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示点M ，A 的坐标．(2)将△NAC 沿着y 轴翻折，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD 的面积．(3)在抛物线y ＝－x 2－2x ＋a (a ＞0)上是否存在点Q ，使得以Q ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．题型2 探索与周长有关的存在性问题2．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，OB ＝OA ，且∠AOB ＝120°.(1)求点B 的坐标．(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式．(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．题型3 探索与面积有关的存在性问题1．阅读材料：如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部的线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC ＝ah ，即三角形的面积等于12水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图②，抛物线顶点为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 对应的函数表达式．(2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB .(3)抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB ＝S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，98请说明理由．2．如图，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为D .(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线沿y 轴平移后经过点C (3，1)，求平移后所得抛物线的解析式．(3)设(2)中平移后的抛物线与y 轴的交点为B 1，顶点为D 1，在此抛物线上是否存在点N ，使△NBB 1的面积是△NDD 1面积的2倍？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．题型4 探索与平行四边形有关的存在性问题1．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴相交于点C，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．(2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．3．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC对应的函数表达式．(2)设点M(3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由．(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．考点7　全章热门考点整合应用方法指导：二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识相结合．有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力．题型1 一个概念——二次函数的定义21．已知函数y＝(m＋3)xm＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？题型2 一个性质——二次函数的图象与性质1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是(　D　)A．函数有最小值B ．对称轴是直线x ＝12C ．当x ＜，y 随x 的增大而减小12D ．当－1＜x ＜2时，y ＞0题型3 两个关系关系1 抛物线的位置与二次函数各项系数的关系1．如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则下列说法：①a ＞0；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c ＞0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0.其中正确的个数为(　C )A ．1B ．2C ．3D ．4关系2 二次函数与一元二次方程的关系2．已知关于x 的函数y ＝(a 2＋3a ＋2)x 2＋(a ＋1)x ＋的图象与x 轴总有交点．14(1)求a 的取值范围；(2)设函数的图象与x 轴有两个不同的交点，分别为A (x 1，0)，B (x 2，0)，当＋＝a 2－3时，求a 的值．1x11x2题型4 三个应用应用1 最大面积的应用1．如图，△ABC 为等边三角形，边长为a ，DF ⊥AB 于D ，EF ⊥AC 于E ，(1)求证：△BDF ∽△CEF .(2)若a ＝4，设BF ＝m ，四边形ADFE 的面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时S 取最大值．应用2 “抛物线”型几何应用1．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距(A 与B 间的距离)为6 m ，到地面的距离AO 和BD 均为0.9 m ，身高为1.4 m 的小丽站在距点O 的水平距离为1 m 的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E .以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋0.9.(1)求该抛物线对应的函数表达式；(不考虑自变量的取值范围)(2)如果小华站在O ，D 之间，且离点O 的距离为3 m ，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；(3)如果身高为1.4 m 的小丽站在O ，D 之间，且离点O 的距离为t m ，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出t 的取值范围．2.某跳水运动员进行10 m 高台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10 m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时，运动员在距水面高度为5 m 以前，必须完成规23定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线对应的函数表达式．(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 m ，问此次跳水会不会出现失误？35。

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人教版九年级数学二次函数实质问题（含答案）一、单项选择题1.在必定条件下，若物体运动的行程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的行程为[ ]A．28米B．48米C.68米D．88米2.因为被墨水污染，一道数学题仅能见到以下文字：y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)求证这个二次函数的图象对于直线x=2对称．，题中的二次函数确立拥有的性质是[ ]A．过点(3，0)B．极点是(2，-1)C．在x轴上截得的线段的长是 3D．与y轴的交点是(0，3)3.某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图，假如抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水漂泊地址B离墙的距离OB是A．2mB．3mC.4mD．5m4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是，则该运第1页,共9页动员此次掷铅球的成绩是[]A．6mB．8m10mD．12m5.某人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔挺滑下，滑下的距离S(m)与时间t(s)间的关系为S=l0t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则这人降落的高度为[]A．72mB．36mC．36mD．18m6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每日赢利y(元)与销售单价x(元)知足关系y=-x2+50x-500，则要想获取最大收益，销售单价为[]A．25元B．20元C．30元D．40元7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从米高（球门距横梁底侧高）入网．若足球运转的路线是抛物线y=ax2+bx+c所示，则以下结论正确的选项是①a<；②<a<0；③a-b+c>0；④0<b<-12a第2页,共9页[]①③①④②③②④8.对于x的二次函数y=2mx2+(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是[]A．m<≥且m≠0C．m=m≠09.某种产品的年产量不超出1000吨，该产品的年产量（吨）与花费（万元）之间函数的图象是极点在原点的抛物线的一部分，如图①所示；该产品的年销售量（吨）与销售单价（万元／吨）之间的函数图象是线段，如图②所示，若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是( )吨时，所获毛收益最大．（毛收益=销售额-花费）①②[]C.A．1000B．750725D．500第3页,共9页10.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，以下图，大门的地面宽度为8m，双侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为（精准到，水泥建筑物的厚度忽视不计）[]A．mB．C．mD．m11.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在如图(1)时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图(2)成立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是[]A. y=-2x2B．y=2x2y=-2x2D．y=x212.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第1秒时的高度相等，则在以下哪一个时间的高度是最高的？[]C.A．第8秒B．第10秒第12秒第4页,共9页D．第15秒二、填空题13.把一根长为100cm的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形，设此中一段长为xcm，两个正方形的面积的和为Scm2，则S与x的函数关系式是()，自变量x的取值范围是()．14.以下图，是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状同样的抛物线落下，成立以下图的坐标系，假如喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25)，则该抛物线的表达式为()．假如不考虑其余要素，那么水池的半径起码要()，才能使喷出的水流不致落到池外．15.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16m，跨度是40m，在线段AB上离中心M处5m的地方，桥的高度是()m.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v o(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的状况下，其上高升度s(m)与抛出时间t(s)知足:(此中g是常数，往常取10m/s)，若v0=10m /s，则该物体在运动过程中最高点距离地面()m三、计算题17.求以下函数的最大值或最小值．(l);(2)y=3(x+l)(x-2).四、解答题18.如图，地道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，成立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，极点E到坐标原点O第5页,共9页的距离为6m．(1)求抛物线的分析式；(2)假如该地道内设双行道，现有一辆货运卡车高为m，宽为m，这辆货运卡车可否经过该地道？经过计算说明．19.某商场以每件30元的价钱购进一种商品，试销中发现，这种商品每日的销量m（件）与每件的销售价x (元)知足一次函数：m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每日的销售收益y与每件的销售价x之间的函数关系式．(2)假如商场要想每日获取最大的销售收益，每件商品的售价定为多少最适合？最大销售收益为多少？能力提高20.以下图，一边靠学校院墙，其余三边用40m长的篱笆围成一个矩形花园，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2(1)写出S与x之间的函数关系式，并求当S=200m2时，x的值；(2)设矩形的边BC=ym，假如x，y知足关系式x：y=y：(x+y)，即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．21.某产品每件成本是 120元，为认识市场规律，试销售阶段按两种方案进行销售，结果以下：方案甲：保留每件150元的售价不变，此时间销售量为50件；方案乙：不停地调整售价，此时发现日销量y(件)是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售状况以下表：(1)假如方案乙中的第四天，第五天售价均为180元，那么前五天中，哪一种方案的销售总利润大？(2)剖析两种方案，为了获取最大日销售收益，每件产品的售价应定为多少元？此时，最大日销售收益S是多少？（注：销售收益=销售额-成本额，销售额=售价×销售量）．22.某医药研究所进行某一抗病毒新药的开发，经过大批的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，第6页,共9页每毫升血液中含药量y微克（1微克=10-3毫克）随时间xh的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相符合．并测得服用时（即时间为0）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2h，每毫升血液中含药量为6微克；服用后3h，每毫升血液中含药量为微克．(l)试求出含药量y微克与服用时间xh的函数关系式；并画出0≤x≤8内的函数图象的示企图；(2)求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．(3)联合图象说明一次服药后的有效时间有多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间．）23.某田户计划利用现有的一面墙再修四周墙，建筑以下图的长方体水池，培养不一样品种的鱼苗，他已备足能够修高为m，长18m的墙的资料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm．（不考虑墙的厚度）(1)若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？(2)求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(3)若想使水浊的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？实践研究24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，假如水位上升3m时，水面CD的宽是10m.(1)成立以下图的平面直角坐标系，求此抛物线的分析式；(2)现有一辆载有一批物质的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽视不计)．货车正以40km/h的速度开往乙地，当行驶1h时，突然接到紧迫通知：前面连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度连续上升（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，严禁车辆通行）．试问：假如货车按本来速度行驶，可否安全经过此桥？若能，请说明原因，若不可以，要使货车安全经过此桥，速度应超出每小时多少千米？25.全线共有地道37座，合计长达米．以下图是庙垭地道的截面，截面是由一抛物线和一矩形组成，其行车道CD总宽度为8米，地道为单行线2车道．第7页,共9页(1)成立适合的平面直角坐标系，并求出地道拱抛物线EHF的分析式；(2)在地道拱的双侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在(1)的平面直角坐标系顶用坐标表示此中一盏路灯的地点；(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与地道拱在竖直方向上高度之差起码有米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为米，该车可否经过这个隧道？请说明原因．26.我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价钱30元／千克收买了这种野生菌1000千克寄存入冷库中，据展望，该野生菌的市场价钱将以每日每千克上升1元；但冷冻寄存这批野生菌时每日需要支出各样花费合计310元，并且这种野生菌在冷库中最多保留160天，同时，均匀每日有3千克的野生菌破坏不可以销售．(1)设x天后每千克该野生菌的市场价钱为y元，试写出y与x之间的函数关系式．(2)若寄存x天后，将这批野生菌一次性销售，设这批野生菌的销售总数为P元，试写出P与x之间的函数关系式．(3)李经理将这批野生菌寄存多少天后销售可获取最大收益W元？（收益=销售总数-收买成本-各样花费）27.在以下图的抛物线型拱桥上，相邻两支柱间的距离为10m，为了减少桥身重量，还为了桥形的雅观，更好地防洪，在大抛物线拱上设计两个小抛物线拱，三条抛物线的极点C、B、D离桥面的距离分别为4m、m、2m．你能求出各支柱的长度及各抛物线的表达式吗？28.某商业企业为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果以下：一件商品的售价M(元)与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示，如图甲，一件商品的成本Q(元)与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，此中6月份成本最高，如图乙．依据图象提供的信息解答下边问题第8页,共9页(1)一件商品在3月份销售时的收益是多少元？（收益=售价一成本）(2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t（月）之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的收益W(元)与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该企业能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算该企业在一个月内最少赢利多少元？29.某工厂生产A产品x吨所需花费为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获收益W（元）对于x（吨）的函数关系式；(2)当生产多少吨这种产品，并所有售出时，赢利最多？这时赢利多少元？这时每吨的价钱又是多少元? 30.某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经检查发现，该台灯每日的销售量w（台）与销售单价x(元)知足w=-2x+80，设销售这种台灯每日的收益为y（元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时．每日的收益最大？最大收益是多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每日还想获取150元的收益．应将销售单价定为多少元？第9页,共9页参照答案1、D2、A3、B4、C5、C6、A7、B8、B9、B10、C11、C12、B13、0<x<10014、y=-（x-1）2+2.2515、1516、717、解：(l),y有最大值，当x=-l时，y有最大值.(2)y=3(x+l)(x-2)=3(x2-x-2)a=3>0，y有最小值，当x=时，y有最小值．18、解：设抛物线的分析式为y=ax2+6，又因为抛物线过点(4，2)，则16a+6=2，，抛物线的分析式为y=+6．(2)当时，y=+6=-1.44+6=4.，故这辆货运卡车能经过该地道．19、解：(l)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860(2)y=-3(x-42)2+432当订价为42元时，最大销售收益为432元20、解：(l)S=x(40-2x)=-2x2+40x,当S=200时，.(2)当BC=y，则y=40-2x①又y2=x(x+y)②由①、②第1页,共4页解得x=20±，此中20+不合题意，舍去，x=20-，y=当矩形成黄金矩形时，宽为20-m，长为m.21、解：(1)方案乙中的一次函数为y=-x+200．第四天、第五天的销售量均为20件．方案乙前五天的总收益为：130×70+150×50+160×40+180×20+180×20-120×(70+50+40+20+20)=6200元．方案甲前五天的总收益为(150-120)×50×500=7元，明显6200<7500，前五天中方案甲的总收益大．(2)若按甲方案中订价为150元／件，则日收益为(150-120)×50=1500元，对乙方案：S=xy-120y=x(-x+200)-120(-x+200)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600，马上售价定在160元／件，日销售收益最大，最大收益为1600元．22、解：(1)图象略．(2)当x=4时，函数y有最大值8．因此服药后4h，才能使血液中的含药量最大，这时的最大含药量是每毫升血液中含有药8微克．(3)图象与x轴两交点的横坐标的差即为有效时间．故一次服药后的有效时间为8h23、解：(l)因为AD=EF=BC=xm，因此AB=18-3x.因此水池的总容积为 1.5x(18-3x)=36，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，因此x应为2或4．(2)由(1)可知V与x的函数关系式为V=1.5x(18-3x)=2+27x，且x的取值范围是：0<x<6．x2+27．因此当x=3时，V有最大值，即若使水池总容积最大，x应为3，最大容积为m3.24、解：(1)设抛物线的分析式为y=ax2，桥拱最高点0到水面CD的高为h米，则D(5，-h)．B(10，-h-3)．因此即抛物线的分析式为y=-.(2)货车按本来速度行驶不可以安全经过此桥．要使货车安全经过此桥，货车的速度应超出60千米／时．25、解：(1)以EF所在直线为x轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，成立平面直角坐标系，明显E(-5，0)，F(5，0)，H(0，3)．第2页,共4页设抛物线的分析式为+bx+c依题意有：因此y=+3．(2)y=1，路灯的地点为（，1）或（一，1）．（只需写一个即可）(3)当x=4时，，点到地面的距离为，因为，因此能经过．26、解：(1)y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）(2)P=(x+30)（1000-3x）=-3 +910x+30000(3)由题意得W=（-3 +910x+30000）-30×1000-310x=（-3x-100）2+30000当x=100时，W最大=30000．100天<160天，寄存100天后销售这批野生菌可获取最大收益30000元．27、解：抛物线OBA过B(50,40),A(100,0)，抛物线OBA的分析式为．当x=20,30,40时，y的值分别为：MC=4(m)，EN=(m)，FQ=50-=(m)，GT=(m)，BR=10(m).G1T1=GT-(m)，PQ1-FQ=(m)．又抛物线CE过极点C(10,46),E(20，)，分析式为y=-(x-10)2+46．而抛物线PD过极点D(85,48),P(70，)．分析式为y=-(x-85)2+48．x=80求得y=．KK1=50--，KK1-LL1=(m)．综上：三条抛物线的分析式分别为：从左往右各支柱的长度分别是：4m，m，m，m，10m，m，10m，m，m，m，m28、解：(1)一件商品在3月份销售时收益为：6-1=5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t（月）的二次函效，由图象可知，抛物线的极点为(6,4),第3页,共4页由题知t=3,4,5,6,7．(3)由图象可知，M(元)是t（月）的一次函数，此中t=3,4,5,6,7∴当t=5时，W∴因此该企业一月份内最少赢利元29、解：（1）当x=150吨时，收益最多，最大收益2000元．当x=150吨时，Q=+45=40（元）．30、解：(1)y=（x-20）（-2x+80）=-2+120x-1600y=-2+120x-1600=-2（x-30）2+200当x=30时，最大收益为y=200元．2+200=150解得x=25，x=35．(3)由题意，y=150，即-2（x-30）l2又销售量w=-2x+80随单价增大而减小，故当x=25时，既能保证销售量大，又能够每日获取150元的收益．第4页,共4页。

专题04 二次函数文字题、应用题重难点题型(解析版)-初中数学上学期重难点题型高分必刷题(人教版)

专题04 高分必刷题-二次函数的文字题、应用题重难点题型分类（原卷版）专题简介：本份资料包含二次函数的文字题和应用题两类题型，从各名校期中、期末试题中逐类选取代表性较强的优质试题，适合于给学生进行专题复习时使用，由于初三的各次考试也经常考查二次函数的利润问题应用题，因此本专题也适用于初三学生在每一次考试前临阵磨枪之用。

题型一：二次函数的文字题二次函数的六种解析式①2ax y =；②c ax y +=2；③2)(h x a y -=；④顶点式k h x a y +-=2)(；⑤一般式c bx ax y ++=2；⑥交点式（两根式）))((21x x x x a y --=．1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （3，0）和点B （4，3）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标．（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线．2．已知：二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 和y 满足下表：x … 0 1 2 3 4 5 … y…3﹣1m8…（1）可求得m 的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0＜x ＜3时，则y 的取值范围为．3．关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）点M是抛物线在第一象限内图象上的任意一点，求当△BCM的面积最大时点M的坐标．5．如图：已知直线y＝x+2与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D．（1）求点A、B的坐标；（2）求△OAB的面积；（3）试判断△OAB的形状并证明．6．已知：抛物线y＝x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y＝kx+b与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）若抛物线对称轴上存在一点P，使得△P AC的周长最小，求P点坐标及△P AC周长的最小值．题型九二次函数的应用题考向1：面积问题7．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），这时要使得花园面积为180m2，求x的值．8.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．考向2：利润问题9．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？考向2：利润问题9．某商场销售A，B两款书包，已知A，B两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场用3600元的资金购进A，B两款书包共100个．（1）求A，B两款书包分别购进多少个．（2）市场调查发现，B款书包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+90（60≤x≤90）．设B款书包每天的销售利润为w元，当B款书包的销售单价为多少元时，商场每天B款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？10．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，请回答：（1）写出售价为50元时，每天能卖樱桃千克，每天获得利润元．（2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？（3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？11．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a ≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．12．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，则该漆器笔筒销售单价x的范围为．13．某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现这件产品在未来两个月（60天）的日销量m（件）与时间t（天）的关系图象如图所示（第一个月，第二个月销量与时间满足一次关系）．未来两个月（60天）该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝根据以上信息，解决以下问题：（1）请分别确定1≤t≤30和31≤t≤60时该产品的日销量m（件）与时间t（天）之间的函数关系式；（2）请预测未来第一个月日销售利润W1（元）的最小值是多少？第二个月日销售利润W2（元）的最大值是多少？（3）为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a元，有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润W3（元）随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．。

2020最新人教版九年级上册二次函数题型分类总结

2020最新人教版九年级上册二次函数题型分类总结二次函数题型分类总结题型1：二次函数的定义二次函数的定义要求二次项系数不为0，且表达式必须为整式。

下列函数中，是二次函数的是：①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；⑥y=mx2+nx+p；若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为多少？已知函数y=(m－1)x/(m2＋1)+5x－3是二次函数，求m的值。

题型2：二次函数的对称轴、顶点、最值二次函数的对称轴、顶点、最值是常考点。

解析式为顶点式y=a(x－h)2+k时，最值为k；解析式为一般式y=ax2+bx+c 时，最值为4ac-b2/4a。

下面是一些例题：1.抛物线y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝。

2.抛物线y＝x2＋3x的顶点在（）。

3.若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）。

4.若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向和对称轴的情况是（）。

5.已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_。

6.抛物线y=x2+2x－3的对称轴是（）。

7.若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m ＝（）。

8.已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值，则m＝（）。

9.已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.10.已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝（）。

题型3：函数y=ax2+bx+c的图象和性质抛物线的图象和性质也是常考点。

下面是一些例题：1.抛物线y=x2+4x+9的对称轴是（）。

2.抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是（），顶点坐标是（）。

3.写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y 轴的交点坐标为（，3）的抛物线的解析式。

4.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：11注意：文章中出现的一些符号可能无法正确显示，如有需要，请以纯文本形式查看。

专题11 二次函数的实际应用-九年级数学上册(解析版)

专题11二次函数的实际应用考点1：拱桥问题；考点2：抛球、喷泉问题；考点3：面积问题；考点4：利润问题。

1．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y=−125x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．答案：C．2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC ⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16940米B．174米C．16740米D．154米题型01拱桥问题解：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y=−1400（x﹣80）2+16=−1400（﹣10﹣80）2+16=−174，∴C（﹣10，−174），∴桥面离水面的高度AC为174m．答案：B．3．（易错题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．43米B．52米C．213米D．7米解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+32，∴a=−350，∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，−3625），∴−3625b）2，∴x1=b，x2=−b，∴MN＝4，+b﹣（b）|＝4∴m=−925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y=−92，∴−92925（x﹣b）2，∴x1=b，x2∴单个小孔的水面宽度＝|+b）﹣（+b）|＝52（米），答案：B．4．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．解：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，则由对称性可知OA＝BC，故从B到C也花10秒，故从O到C一共花26+10＝36（秒），答案：36．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加到26米，答案：26米．6．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，2=1222，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−19，∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x2+43x；∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=−19x2+43x；解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．7．（易错题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=−124，∴y1=−124x2，当x＝12时，y1=−124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1②设彩带的长度为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（−124x2）=182−+4=18(−4)2+2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2m．8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：4+=836+=0，解得=−14=9，∴抛物线解析式为y=−14（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，答案：A．9．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）题型02抛球、喷泉问题A．2米B．3米C．4米D．5米解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+403，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a=−103，∴抛物线解析式：y=−103（x﹣1）2+403．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3米．答案：B．10．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，答案：C．11．（易错题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a=−23，b=23，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y=−23x2+23x+h，将（4，0）代入可得−23×42+23×4+h＝0，解得h＝8．答案：8．12．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答案：2．13．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=−112x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10米．解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点A（0，53），点B（8，53），代入y=−112x2+bx+c，得：==−112×82+8+，解得=23=53．∴y=−112x2+23x+53，当y＝0时，0=−112x2+23x+53，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．∴该学生推铅球的成绩为10m．答案：10．14．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=−112，∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．15．（易错题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞910；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，答案：66；（2）①∵a=−150，b=910，∴y=−150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=−150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a=−150，∴y=−150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即−150×752+75b+66＞21，解得b＞910，答案：b＞910；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=−2125，∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y=−2125×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．16．（易错题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；（2）求出y2与x之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则+=35=30，解得：=5=30，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，∵y2的图象是过原点的抛物线，设y2＝ax2+bx，∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，∴+=3536+6=60，解得：=−5=40，∴y2＝﹣5x2+40x，答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，①1＜x≤6时，y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x−72）2+1254∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，又∵1＜x≤6，∴当x=72时，y的最大值为1254；②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x−72）2−1254，∵a＝5＞0，∴抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x=72，∴当x＞72时，y随x的增大而增大，∵6＜x≤8，∴当x＝8时，y的最大值为70，∵1254＜70，∴高度差的最大值为70米．题型03面积问题17．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方）案是（A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，=12•AC•BH，∵S△ABC；∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为12×4×4＝8方案3：半圆的半径=8米，∴此时菜园最大面积=H(8)22=32米2＞8米2；答案：C．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193B．194C．195D．196解：∵AB＝m米，∴BC＝（28﹣m）米．则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，≥628−≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S＝195，最大值即花园面积的最大值为195m2．答案：C．19．（易错题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝（6−12x）m，∴AD＝CE=3BE＝（63−32x）m，AB＝AE+BE＝x+6−12x＝（12x+6）m，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63−32x）338x2+33x+183=−338（x﹣4）2+243，＝243．∴当x＝4时，S最大即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；答案：C．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，答案：75．21．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．解：设AB＝xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）=−32（x2﹣300x）=−32（x﹣150）2+33750∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，∴AB＝150m，答案：150．22．（易错题）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．解：如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=−14x+10，3a=−34x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（−34x+30）x=−34x2+30x，∵a=−14x+10＞0，∴x＜40，则S=−34x2+30x（0＜x＜40）；∵S=−34x2+30x=−34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−34＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．答案：300．23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，∵﹣3＜0，∴当x =72时，总种植面积有最大值为1474m 2，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为1474m 2．24．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A ．5元B ．10元C ．0元D ．36元解：设每件需降价的钱数为x 元，每天获利y 元，则y ＝（135﹣x ﹣100）（100+4x ）即：y ＝﹣4（x ﹣5）2+3600∵﹣4＜0∴当x ＝5元时，每天获得的利润最大．答案：A ．25．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y =14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间解：设每天的利润为W 元，根据题意，得：W ＝（x ﹣28）（80﹣y ）﹣5000＝（x ﹣28）[80﹣（14x ﹣42）]﹣5000=−14x 2+129x ﹣8416=−14（x ﹣258）2+8225，∵当x ＝258时，y =14×258﹣42＝22.5，不是整数，∴x ＝258舍去，∴当x ＝256或x ＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，题型04利润问题又∵想让客人得到实惠，∴x＝260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．答案：B．26．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，9+3+=0.816+4+=0.925+5+=0.6，解得=−0.2=1.5=−1.9，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−2=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．答案：C．27．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．答案：1264．28．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：10+=2020+=10，解得=−1=30，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，答案：121．29．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为0＜a＜6．解：设未来30天每天获得的利润为y，y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−42×(−4)＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．30．（易错题）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)，答案：w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．31．（易错题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m 为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y ＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A 产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．。

九年级上册数学二次函数(篇)(Word版含解析)

九年级上册数学二次函数（篇）（Word 版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是；（4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >- 【解析】【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =-（2）当0m >时，,(3)F m m -此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0 当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△解得：m=0（舍去）或29m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．2．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解；（3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标．【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，）解得：b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x =∴11M 22+（，第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去）∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或1122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．（1）若b ＝1，a ＝﹣12c ，求证：二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）若a <0，c ＝0，且对于任意的实数x ，都有y ≤1，求4a +b 2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，且2a +3b +6c ＝0，试确定二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）240a b +≤ ；（3）12323b a <-< 【解析】【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y 1）和（1，y 2）分别代入函数解析式，由y 1•y 2＞0，及2a +3b +6c ＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【详解】解：（1）证明：∵y ＝ax 2+bx+c （a≠0），∴令y ＝0得：ax 2+bx+c ＝0∵b ＝1，a ＝﹣12c ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝1﹣4（﹣12c ）c ＝1+2c 2， ∵2c 2≥0，∴1+2c 2＞0，即△＞0， ∴二次函数的图象与x 轴一定有两个不同的交点；（2）∵a ＜0，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx ，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x ，都有y≤1，∴顶点纵坐标214b a-≤， ∴﹣b 2≥4a ，∴4a+b 2≤0；（3）由2a+3b+6c ＝0，可得6c ＝﹣（2a+3b ），∵函数图象上两点（0，y 1）和（1，y 2）满足y 1•y 2＞0，∴c （a+b+c ）＞0，∴6c （6a+6b+6c ）＞0，∴将6c ＝﹣（2a+3b ）代入上式得，﹣（2a+3b ）（4a+3b ）＞0，∴（2a+3b ）（4a+3b ）＜0，∵a≠0，则9a 2＞0，∴两边同除以9a 2得，24()()033b b a a ++<， ∴203403b a b a ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或203403b a b a ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， ∴4233b a -<<-， ∴二次函数图象对称轴与x 轴交点横坐标的取值范围是：12323b a <-<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．如图，若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝x ﹣3经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点M ，连接PC ．①线段PM 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P 运动的过程中，是否存在点M ，恰好使△PCM 是以PM 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：32 cb=-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94，∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝32时，PM最大值为：94；②存在，理由：PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；MC2＝（x﹣3+3）2+x2；（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，解得：x＝0或2（舍去0和2），故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42，故点P （3﹣2，2﹣42）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与坐标轴的交点为()30A -,，()10B ,，()0,3C -，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式．（2）若E 为第二象限内一点，且四边形ACBE 为平行四边形，求直线CE 的解析式．（3）P 为抛物线上一动点，当PAB ∆的面积是ABD ∆的面积的3倍时，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-；（2）33y x =--；（3）点P 的坐标为()5,12-或()3,12．【解析】【分析】（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解．【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点为()30A -,，()10B ,，()0,3C -，∴93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+-．（2）如图，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，则由平行四边形的对称性可知1AH OB ==，3EH OC ==．∵3OA =，∴2OH =，∴点E 的坐标为()2,3-．∵点C 的坐标为()0,3-，∴设直线CE 的解析式为()30y kx k =-<将点()2,3E -代入，得233k --=，解得3k =-，∴直线CE 的解析式为33y x =--．（3）∵2223(1)4y x x x =+-=+-，∴抛物线的顶点为()1,4D --．∵PAB ∆的面积是ABD ∆的面积的3倍，∴设点P 为(),12t ．将点(),12P t 代入抛物线的解析式223y x x =+-中，得22312t t +-=，解得3t =或5t =-，故点P 的坐标为()5,12-或()3,12．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．（1）P 的坐标，C 的坐标；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE ＝43， ∴E （113，0）或E ′（193，0），则直线PE 的解析式为：y ＝﹣6x +22，∴Q （92，﹣5），直线PE ′的解析式为y ＝﹣65x +385， ∴Q ′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+，3172)或(1172--，3172)【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=117-+或t=117--． ∴此时点M 的坐标为（117-+，317-）或（117--，317+）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1），（1172-+，3172-）或（117--，317+）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．8．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点A 、B 、C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的“三点矩形”．在点A ，B ，C 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG ，矩形IJCH 都是点A ，B ，C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．如图2，已知M （4，1），N （﹣2，3），点P （m ，n ）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，面积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．【答案】（1）①18,18；②或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为或；（3）,或.【解析】【分析】（1）①根据题意，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积②先求出和的值，再根据m=1以及M、N、P的“最佳三点矩形”的面积是24，可分析出此矩形的邻边长分别为6、4进而求出n的值（2）①结合图形，易得M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值，分别将对应的值代入y=-2x+4即可求出m的取值范围②当M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形时，易得边长为6，将对应的值代入y=-2x+4即可求出P点坐标（3）根据题意画出图像，易得抛物线的解析式【详解】解：（1）①如图，过P做直线AB平行于x轴，过N做直线AC平行于y轴，过M做MB平行于y轴，分别交于点A（-2,4）、C（-2,1）、B（4,1）则AC=BM=3，AB=CM=6故周长=（3+6）=18，面积=3=18故M、N、P的“最佳三点矩形”的周长和面积分别为18,18；②∵M（4,1），N（-2,3）∴，又∵m=1，点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积为24∴此矩形的邻边长分别为6，4∴n=-1或5（2）如图1，①易得点M、N、P的“最佳三点矩形”的面积的最小值为12；分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为，结合图象可知：②当点M、N、P的“最佳三点矩形”为正方形，边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+4，可得分别为，点P的坐标为（，7）或（，-3）（3）如图2，y=+或y=+【点睛】此题比较灵活，读懂题意，画出图像求解是解题关键10．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交与点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．(1) 求一次函数解析式；(2)求顶点P的坐标；(3)平移直线AB使其过点P，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan2OAM∠=，求点M坐标；(4)设抛物线的对称轴交x轴与点E，联结AP交y轴与点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，联结QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3(2)顶点P的坐标为（1，4）(3) M点的坐标为：15,2(,39⎛⎫-⎪⎝⎭或23-）（4）最小值为5 5【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，根据垂线段最短求出QD+QN的最小值．【详解】(1)∵A（-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA，∴B（0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+∵直线3y x b =+过P （1，4）∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M - 23-） (4)作点D 关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N ⊥PD 于点N当-x 2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，∴A （-1，0），P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2，令x=0，可得y=2，∴D （0，2），∵D 与D′关于直线x=1对称，∴D′（2，2）．根据ND′⊥PD ，设ND′解析式为y=kx+b ，则k=-12，即y=-12x+b ，将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b ，解得b=3，可得函数解析式为y=-12x+3，将两函数解析式组成方程组得：13 222y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得25145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214,)55，由两点间的距离公式：d=22214452255⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴所求最小值为45【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．。

2022-2023学年人教版九年级数学上册二次函数专题含解析

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》解答综合练习题（附答案）1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x… ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …y … ﹣ 0 0 ﹣ …（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出此二次函数的图象；（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x ＜0时，y 的取值范围．2．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 经过点（5，），（0，﹣1）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．（2）点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在抛物线上，且x 2＝x 1+3，若y 1，y 2始终小于0，求x 1的取值范围．3．如图，已知抛物线过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），且3AB ＝4OC ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的关系式，并求出这个二次函数的最大值．4．平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝a 2+bx +c 的顶点为（，﹣），它的图象与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x＜5时，写出该二次函数y的取值范围；（3）将抛物线向上平移m个单位长度，当抛物线与坐标轴有且只有2个公共点，求m 的值；（4）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．5．已知：二次函数y＝x2﹣（a+3）x+a+2（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点（非原点），求a的值；（2）若该函数图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜x2，与y轴相交于点C（0，c），c＞0，且满足x12+x22﹣x1x2＝7．①求抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P AC是以AC为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于D点．（1）当点B、D都在坐标系的正半轴，且△BOD为等腰三角形，求二次函数解析式；（2）当m＝﹣2时，将函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω．当直线y＝2x+n与图象Ω仅有两个公共点时，求实数n的取值范围．7．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象经过怎样的一次平移，可使平移后所得图象与坐标轴只有两个交点？8．已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．9．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C 点，且CD∥x轴，求抛物线解析式．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣m交x轴于点B，交y轴于点C，且OA＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第三象限抛物线上一点，连接BP、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点C作CD∥x轴交BP的延长线于点D，连接AD，若∠ADB+∠DCB＝180°，求t的值．11．已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式．12．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．13．抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，已知OA＝2OB＝2OC＝4．（1）求抛物线解析式：（2）若腰长为4的等腰直角三角形BDE的一直角边在x轴上，请问抛物线平移后能否同时经过D，E两点？若能，请说明平移方式；若不能，请说明理由．14．抛物线y＝ax2﹣2ax+m经过点A（﹣1，0），与x轴另一交点为B，交y轴负半轴于C 点，且S△CAB＝6（1）求抛物线的解析式；（2）若在y轴右侧的抛物线上有一点M，使△AMC的面积为9，请求出M点的坐标．15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于C．（1）求抛物线解析式；（2）求P为对称轴上一点，要使P A+PC最小，求点P的坐标．16．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为．17．已知y关于x的二次函数y＝x2﹣bx+b2+b﹣5的图象与x轴有两个公共点．（1）求b的取值范围；（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6﹣2m，求m，n的值；（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．18．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．（1）当b＝﹣2时，①若c＝4，求该函数最小值；②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．19．已知抛物线F：y＝x2+bx+c（b、c为常数）．（1）当b＝﹣2，c＝2，且m≤x≤m+1时，求函数y的最小值和最大值（用含m的代数式表示）；（2）若抛物线过（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，函数的最小值为﹣4，求函数解析式；（3）当c＝b2，且b≤x≤b+3时，最小值为21，求函数解析式；（4）若抛物线过点A（0，﹣2）、B（3，1），设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点D纵坐标t的取值范围；（5）把函数F沿着直线y＝c翻折，得到的函数x＜0的部分记作F1，原函数F的x≥0的部分记作F2，F1和F2合起来组成函数W，若b＝﹣4，且c﹣1≤x≤c时函数W的最大值为1，则c的值为．20．已知二次函数y＝x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c＝3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c＝4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．21．已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）试说明该函数的图象与x轴始终有交点；（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．22．已知二次函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1（m为常数）．（1）若函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，则关于x的方程4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的根是；（2）若不论m取何值，该函数图象的顶点都在一个新的二次函数图象上，求此新函数的解析式；（3）若该函数的顶点纵坐标的取值范围是﹣5≤y＜﹣2时，求m的取值范围．23．已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t 的取值范围．（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC 于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．参考答案1．解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵二次函数经过点（﹣2，），∴﹣3a＝，∴a＝﹣，∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，顶点为（﹣1，2），描点、连线，画出图形如图所示：（3）观察函数图象可知：当﹣4≤x＜0时，y的取值范围是﹣≤y≤2，故答案为：﹣≤y≤2．2．解：（1）把点（5，），（0，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax+c得：，解得：，∴y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣）；（2）y＝x2﹣x﹣1＝（x2﹣2x﹣8）＝（x﹣4）（x+2），∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且x2＝x1+3，∴y1＝（x1﹣4）（x1+2），y2＝（x2﹣4）（x2+2）＝（x1﹣1）（x1+5），∵y1，y2始终小于0，∴（x1﹣4）（x1+2）＜0，（x1﹣1）（x1+5）＜0，∴﹣2＜x1＜4，﹣5＜x1＜1，∴﹣2＜x1＜1．3．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵3AB＝4OC，∴OC＝3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝﹣＝1时，y最大值＝＝4．4．解：（1）由题意得＝，即x A+x B＝3，x A﹣x B＝5，联立方程，解得，∴点A坐标为（4，0），点B坐标为（﹣1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣）2﹣，把（4，0）代入得0＝a﹣，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y取最小值为﹣，∵5﹣＞﹣（﹣1），∴当x＝5时，用取最大值，把x＝5代入y＝x2﹣3x﹣4得y＝6．故答案为：﹣≤y＜6．（3）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴有2个交点，与y轴有一个交点，∴抛物线向上移动至顶点落在x轴上满足题意，∴﹣+m＝0，解得m＝，抛物线向上移动至经过原点时满足题意，即﹣4+m＝0，解得m＝4，综上所述，m＝或m＝4．（4）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x与x+4所对应y值相等时，＝，∴x＝﹣，∴x＞﹣满足题意．5．解：（1）∵抛物线与y一定有一个交点，而抛物线与坐标轴只有两个交点，∴抛物线与x轴只有一个公共点，∴△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝0，整理得a2+2a+1＝0，解得a1＝a2＝﹣1，即a的值为﹣1；（2）①根据根与系数的关系得x1+x2＝a+3，x1•x2＝a+2，而x12+x22﹣x1x2＝7，∴（x1+x2）2﹣3x1•x2＝7，∴（a+3）2﹣3（a+2）＝7，整理得a2+3a﹣4＝0，解得a1＝﹣4，a2＝1，而c＞0，即a+2＞0，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；②存在．当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则A（1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则C（0，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），如图，AC＝＝，当AP＝AC时，P1（2，3）；当CP＝CA时，CP2＝，而CP1＝2，则P2P1＝＝，则P2（2，3+），同样方法得到P1P3＝，所以P3（2，3﹣），∴满足条件的P点坐标为（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．6．解：（1）令y＝0得x2﹣2mx+m2﹣4＝0，解得x1＝m﹣2，x2＝m+2，∴A（m﹣2，0），B（m+2，0），D（0，m2﹣4），∵点D在y轴正半轴，∴m2﹣4＞0，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，则BO＝OD，即|m+2|＝m2﹣4，①当m+2＞0时，m2﹣4＝m+2，解得m＝3或m＝﹣2（舍去）；②当m+2＜0时，m2﹣4+m+2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（都舍去）；③当m+2＝0时，点O、B、D重合，不合题意，舍去；综上所述，m＝3．故二次函数解析式为：y＝x2﹣6x+5．（2）当m＝﹣2时，y＝x2+4x，则A（﹣4，0），B（0，0）顶点为（﹣2，﹣4），因为直线y＝2x+n与图象Ω有两个公共点，则当直线y＝2x+n过A点时n＝8，当直线y＝2x+n过B（0，0）时，n＝0，当直线y＝2x+n与y＝﹣x2﹣4x只有一个公共点时，n＝9，根据图象，可得0＜n＜8或n＞9．7．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，由题意，得∴0＝a（3﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．（2）∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝1，当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点是（﹣1，0）或（3，0）∴由抛物线的图象特征可以得出将抛物线向左平移3个单位时，抛物线对称轴的右侧经过原点；所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向右平移1个单位时，抛物线的对称轴左侧经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移3个单位时，抛物线经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移4个单位时，抛物线的顶点在x轴上，所得图象与坐标轴只有两个交点．8．解：（1）当m＝﹣2，n＝﹣4时，y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5∴当x＝1时，y最小值＝﹣5；（2）当n＝3时，y＝x2+mx+3，令y＝1，则x2+mx+3＝1，由题意知，x2+mx+3＝1有两个相等的实数根，则△＝m2﹣8＝0，∴m＝；（3）由3m+4＜0，可知m，∴m≤x≤m+2，抛物线y＝x2+mx+m2的对称轴为x＝，∵m，∴，∴对称轴为x＝，∴在m≤x≤m+2时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+2，y有最小值为13，∴（m+2）2+m（m+2）+m2＝13，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，而m，∴m＝﹣3，此时，y＝x2﹣3x+9．9．解：如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点，∴a﹣4a+b＝0，∴b＝3a，由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b），∵CD∥x轴，∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b，∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2，∴D（﹣4，b），∵点D在直线y＝﹣x﹣1上，∴b＝4﹣1＝3，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6与y轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∵直线y＝x﹣m交y轴于点C，∴﹣m＝﹣6∴m＝6，∴直线y＝x﹣6，∴当y＝0时，x＝6，∴点B（6，0），∴OB＝6∵OA＝OB，∴OA＝7，∴点A（﹣7，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）如图1，过点P作PH∥AB交BC于点H，∵点P的横坐标为t，∴点P（t，t2+t﹣6）∴t2+t﹣6＝x﹣6，∴x＝t2+t∴S＝×6×（t2+t﹣t）＝t2﹣t；（3）如图2，作抛物线的对称轴交x轴于E，BF平分∠ABC，交对称轴于点F，连接AF，DF，∵点C（0，﹣6），点A（﹣7，0），点B（6，0），∵OB＝6，OC＝6，AB＝13，∴∠OBC＝60°，∵DC∥AB，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∴∠DCB＝120°，∵∠ADB+∠DCB＝180°，∴∠ADB＝60°，∵抛物线y＝x2+x﹣6的对称轴为x＝﹣；∴点E坐标为（﹣，0），AF＝BF，BE＝＝AE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝30°，且AF＝BF，∴∠F AB＝30°，EF⊥AB，∴∠AFB＝180°﹣∠F AB﹣∠FBA＝120°，EF＝，BF＝，∴∠AFB＝2∠ADB∴点D在以点F为圆心，BF为半径的圆上，设点D（x，﹣6）∴DF＝BF∴（﹣﹣x）2+（6﹣）2＝（）2，∴x＝﹣4，∴点D（﹣4，﹣6），且点B（6，0）∴BD解析式为：y＝x﹣，∴解得（舍去），∴t＝﹣11．解：∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵函数有最大值为2，∴抛物线的顶点坐标为（，2），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把（，2）代入得a×（+2）（﹣3）＝2，解得a＝﹣，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）•（x﹣3）＝﹣x2+x+．12．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，得，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，∵y＝2x2﹣x﹣3＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）；（2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x＝，∴N（1，y2）关于直线x＝的对称点为（，﹣2），∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2，∴﹣≤x1≤1．13．解：（1）∵OA＝2OB＝2OC＝4，∴OB＝OC＝2，∴A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2），将A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入抛物线y＝ax2+bx+c得：，解之得a＝﹣，b＝﹣，c＝2，∴y＝﹣，（2）抛物线平移后能同时经过点D、E两点，理由如下：∵BD＝BE＝4，∴E（2，4），D（6，0），设抛物线平移后的解析式为；y＝，将E、D坐标代入得，解之得m＝2，k＝4，∴平移后抛物线顶点为（2，4），∵原抛物线顶点为（﹣1，），∴将原来抛物线向右平移3个单位，再向上平移个单位后能同时经过D、E两点．14．解：（1）设B的坐标为（x，0），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+m，A（﹣1，0），当y＝0时，ax2﹣2ax+m＝0，∴﹣1+x＝2，∴x＝3，∴B（3，0），∴AB＝1+3＝4，∵S△CAB＝×4•×OC＝6，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+m得：，解得：a＝1，m＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设M的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分别过点A、M作y轴的平行线，过C作x轴的平行线，交前面平行线于D、E，连接AM，如图所示：则△AMC的面积＝梯形ADEM 的面积﹣△ACD的面积﹣△CEM的面积＝（3+x2﹣2x﹣3+3）（1+x）﹣×3×3﹣x （x2﹣2x﹣3+3）＝9，解得：x＝（负值舍去），∴x2﹣2x﹣3＝，∴M点的坐标为（，）．15．解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∵点A与点B是抛物线的对称点，而AB＝2，∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3；（2）连接BC，交直线x＝2于点P，则P A＝PB，∴P A+PC＝PB+PC＝BC，∴此时P A+PC最小，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣3），B（3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝2时，y＝x﹣3＝2﹣3＝﹣1，∴P点坐标为（2，﹣1）．16．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．17．解：（1）由题意知，Δ＞0，即，∴﹣4b+20＞0，解得：b＜5；（2）由题意，b＝4，代入得：y＝x2﹣4x+3，∴对称轴为直线，又∵a＝1＞0，函数图象开口向上，∴当m≤x≤时，y随x的增大而减小，∴当x＝时，y＝n＝；当x＝m时，y＝6﹣2m＝m2﹣4m+3，m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）；∴m＝﹣1，n＝；（3）∵，∴对称轴为x＝0.5b，开口向上，∴①当b≤0.5b≤b+3，即﹣6≤b≤0时，函数y在顶点处取得最小值，有b﹣5＝，∴b＝（不合题意，舍去）；②当b+3＜0.5b，即b＜﹣6时，取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝b+3时，y最小值＝，代入得：，b2+16b+15＝0，解得：b1＝﹣15，b2＝﹣1（不合题意，舍去），∴此时二次函数的解析式为：；③当0.5b＜b，即b＞0时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y最小值＝，代入得：，b2+4b﹣21＝0，解得：b1＝﹣7（不合题意，舍去），b2＝3，∴此时二次函数的解析式为：．综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或．18．解：（1）①由题意，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴函数的最小值为3．②∵y＝x2﹣2x+c，∴对称轴是直线x＝1，∵2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，∴x＝2时，y＝5，∴5＝4﹣4+c，∴c＝5．（2）当c＝2b时，y＝x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+2b＝2b2+2b最小值，∴2b2+2b＝12，解得，b1＝﹣3（舍去），b2＝2；②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，∴x＝﹣，y的值最小，∴b2﹣+2b＝12，方程无解．③当﹣＞b+2，即b＜﹣，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+2时，y＝（b+2）2+b（b+2）+2b＝2b2+8b+4为最小值，∴2b2+8b+4＝12．解得，b1＝﹣2+2（舍去），b2＝﹣2﹣2；综上所述，满足条件的b的值为2或﹣2﹣2．19．解：（1）∵b＝﹣2，c＝2，∴y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，开口向上，对称轴为x＝1，①当m+1＜1时即m＜0，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（m+1）＝m2+1，②当0≤m＜时，1≤m+1＜，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（1）＝1，③当＜m≤1时，＜m+1≤2，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（1）＝1，④当m＞1时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（m）＝m2+2m+2，（2）∵抛物线过（﹣3，0），∴9﹣3b+c＝0，∵当﹣3≤x≤0时函数最小值为﹣4，抛物线对称轴为，∴（﹣3，0）点在对称轴的左侧，不能在对称轴的右侧，①当﹣3＜＜0时，即0＜b＜6时，y min＝f（）＝+c＝﹣4，∴b＝2，c＝﹣3，y＝x2+2x﹣3，②当＞0时，即b＜0，y min＝f（0）＝c＝﹣4，∴b＝（不符合舍去），故函数解析式为y＝x2+2x﹣3，（3）∵c＝b2，∴y＝x2+bx+b2，抛物线对称轴为，①当b+3≤时，即b≤﹣2，∴y min＝f（b+3）＝3b2+9b+9＝21，∴b＝﹣4，c＝16，y＝x2﹣4x+16，②当b＜＜b+3时，即﹣2＜b＜0时，∴f（b）＝3b2，f（b+3）＝3b2+9b+9，f（b+3）＞f（b），f（b）＝21，b＝（舍去），f（b+3）＜f（b），f（b+3）＝21，b＝﹣4或者b＝1（舍去），∴y＝x2﹣4x+16，③当b＞时，即b＞0时，∴y min＝f（b）＝3b2＝21，∴b＝或（舍去），∴c＝7，y＝x2+x+7，∴综上所述解析式y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，故函数解析式为y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，（4）∵抛物线过A、B点，∴b＝﹣2，c＝﹣2，y＝x2﹣2x﹣2，∵点B和点C关于原点对称，B（3，1），∴C（﹣3，﹣1），∴设D（1，t），CD所在的直线为L CD，①L CD过点B（与G刚好有交点），设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），B（3，1）代入y＝kx+b，得y＝x，∴t＝，②L CD与G相切，即与图象只有一个交点，设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），D（1，t）代入y＝kx+b，得y＝x+，联立直线和抛物线解析式得，得x2﹣＝0，∴Δ＝﹣4×＝0∴t＝﹣33﹣16，∴（﹣33﹣16）≤t≤，故答案为：（﹣33﹣16）≤t≤，（5）∵b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，抛物线对称轴x＝2，则函数W仍为原函数，①当c＜2时，y max＝f（c﹣1）＝1，∴c＝1，②当2＜c＜3时，f（c﹣1）＝c2﹣5c+5，f（c）＝c2﹣3c，f（c﹣1）＞f（c），c＜，f（c﹣1）＝1，c＝1或c＝4（舍去），f（c﹣1）＜f（c），c≤，f（c）1，c＝（舍去），③c≥3，y max＝f（c）＝1，∴c＝或c＝（舍去），∴综上所述c＝1 或者c＝，故答案为：1或者．20．解：（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴x＝﹣1在﹣2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为﹣4，（Ⅱ）y＝x2+2bx+3，的对称轴为x＝﹣b，①若﹣b＜0，即b＞0时，当x＝0时，y有最小值为3，②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0时，当x＝﹣b时，y有最小值﹣b2+3；③若﹣b＞4，即b＜﹣4时，当x＝4时，y有最小值为8b+19，（Ⅲ）当c＝4b2时，二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x＝﹣b的抛物线，①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，∴当x＝2b时，y＝（2b）2+2b×2b+（2b）2＝12b2为最小值，∴12b2＝21，∴b＝或b＝﹣（舍）∴二次函数的解析式为y＝x2+x+7，②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，当x＝﹣b时，代入y＝x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，∴3b2＝21∴b＝﹣（舍）或b＝（舍），③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，∴当x＝2b+3时，代入二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，∴12b2+18b+9＝21，∴b＝﹣2或b＝（舍），∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+16．综上所述，b＝或b＝﹣2，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16 21．解：（1）∵函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），∴△＝（m﹣1）2+4m＝（m+1）2≥0，∴该函数的图象与x轴始终有交点；（2）y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x﹣）2+，把x＝代入y＝（x+1）2得：y＝（+1）2＝，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）设函数z＝，当m＝﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m＝﹣2时，z＝；当m＝3时，z＝4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤≤4．22．解：（1）∵抛物线y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，∴x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的解为x＝﹣1或x＝，由4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0得（2x）2+2（m﹣1）•2x﹣4m﹣1＝0，∴2x＝﹣1或2x＝，∴x1＝﹣，x2＝．故答案为：x1＝﹣，x2＝．（2）∵y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝x2+2（m﹣1）x+（m﹣1）2﹣（m﹣1）2﹣4m﹣1＝（x+m﹣1）2﹣m2﹣2m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（﹣m+1，﹣m2﹣2m﹣2），令﹣m+1＝x，﹣m2﹣2m﹣2＝y，则y＝﹣x2+4x﹣5，∴抛物线顶点所在抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣5．（3）由题意得﹣5≤﹣m2﹣2m﹣2＜﹣2，∵令y＝﹣m2﹣2m﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为值m＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1），把y＝﹣5代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣5＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝1或m＝﹣3，把y＝﹣2代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝0或m＝﹣2，∴﹣5≤y＜﹣2时，﹣3≤m＜﹣2或0＜m≤1．23．（1）证明：∵抛物线C1的解析式为y1＝a（x﹣h）2+2，∴抛物线的顶点为（h，2）．当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，∴直线l恒过抛物线C1的顶点．（2）解：∵a＞0，h＝1，∴当x＝1时，y1＝a（x﹣h）2+2取得最小值2．又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，∴，∴﹣2≤t≤1．（3）解：令y1＝y2，则a（x﹣h）2+2＝k（x﹣h）+2，解得：x1＝h，x2＝h+．∵线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，∴＞1或＜﹣1．∵k＞0，∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0．又∵1≤k≤3，∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．24．解：（1）法一：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法二：依题意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），将C（0，4）坐标代入得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法三：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，延长DM交x轴于点H，∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y轴交AC于点M，∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，∵DN⊥AC于点N，∴∠AMH＝∠DMN＝45°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴．设直线AC的解析式为y＝kx+b'（k≠0），将A（4，0）、C（0，4）两点坐标代入得，解得，所以直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，DM最大值为4，此时D（2，6），∵△DMN是等腰直角三角形，∴△DMN周长＝，∴△DMN周长的最大值为，此时D（2，6）．（3）如图2，设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），∴．设直线OP的解析式为y＝kx（k≠0），将Q（m，﹣m+4）点代入得，∴直线OP的解析式，将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入得，，所以，化简得，∴，∵∴当n＝2时，的最大值为1．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．∴当x＝1时，a﹣2a﹣1＝﹣2，解得：a＝1．∴y＝x2﹣2x﹣1；（2）由（1）知，抛物线为y＝（x﹣1）2﹣2．∵当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，∴y不能取最小值﹣2，即n，n+1在对称轴x＝1的同侧．分两种情况讨论：①n+1＜1，即n＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+4，解得：n＝﹣1或n＝5，当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+1，解得：n＝﹣1或n＝3，∵n＜0，∴n＝﹣1．②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+1，整理得：n2﹣4n﹣2＝0．当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+4，整理得：n2﹣2n﹣6＝0．∵n2﹣4n﹣2＝0与n2﹣2n﹣6＝0不一致，∴不合题意，舍去．综上所述，当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4时，n＝﹣1．。

-九年级数学上册二次函数应用题讲义 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学试题

二次函数应用题（讲义）课前预习回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题：1. 理解题意，梳理信息．梳理信息的主要手段有．2. 建立数学模型．建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑； ③最大利润、最省钱、运费最少、最小值……，考虑．3. 求解验证，回归实际．主要是看结果是否．知识点睛1. 理解题意，梳理信息二次函数应用题常见类型有：实际应用问题，最值问题．梳理信息时需要借助表格、图形．实际应用问题要将题目中的数据转化为图中对应的线段长，确定关键点坐标，求出抛物线解析式．最值问题要确定函数表达式及自变量取值X 围．2. 建立数学模型常见数学模型例如：问“当售价为多少元时，年利润最大？”确定售价为自变量 x ，年利润为因变量 y ，年利润=（售价-进价）×年销量，用 x 表达年销量，从而确定 y 与 x 之间的函数关系． 3. 求解验证，回归实际求解通常借助二次函数的图象和性质；结果验证要考虑是否符合实际背景及自变量取值X围要求．精讲精练1.如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上的落点为B．有人在直线AB上的点C处（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行的最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为米，高为0.3 米．以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系．（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）（1）当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？MPQAO C ByMPQAO CBD x2.某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的平面直角坐标系中经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023 米，入水处距池边的水平距离为4 米．运动员在距水面的高度为5 米之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 3.6 米，则此次跳水会不会失误？y3m AOx 10m跳台1mB 水面3.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在 5~50（单位：cm）之间．每X薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例；每X薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据：（2）已知出厂一X边长为 40 cm 的薄板，获得的利润为 26元．（利润=出厂价-成本价）①求一X薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一X薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】4.某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件．如果该商品的销售单价每上涨 1 元，则每月销量减少 10 件（每件售价不能高于65 元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值X围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2 200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么X围时，每个月的利润不低于2 200 元．【分析】5.我市高新技术开发区的某公司，用 480 万元购得某种产品的生产技术，并进一步投入资金 1 520 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品每件成本费为40元．经过市场调查发现：该产品的销售单价定在 150 元到 300 元之间较为合理，销售单价x（元）与年销售量y（万件）之间的变化可近似地看作是下表所反映的一次函数：的取值X围．（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损额是多少？（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利 1 790 万元？若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由．【分析】【参考答案】课前预习1.列表、画图2.方程；不等式（组）；函数3.符合实际背景精讲精练1. （1）网球不能落入桶内；（2）当竖直摆放8 个、9 个、10 个、11 个或12 个圆柱形桶时，网球可以落入桶内．2. （1）y 25x210x；（2）会失误，理由略．6 33. 设一X薄板的边长为x cm，出厂价为y元，利润为w 元．（1）y=2x+10（5≤x≤50）；（2）①w125x2 2x 10 （5≤x≤50）；②当边长为25 cm时，出厂一X薄板所获得的利润最大，最大利润是35元．4. （1）y=-10x2+110x+2 100（1≤x≤15，且x为整数）；（2）每件商品的售价定为55 元或56 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2 400 元；（3）每件商品的售价定为51 元或60 元时，每个月的利润恰为2 200 元，每件商品的售价m 满足51≤m≤60 且m 为整数时，每个月的利润不低于2 200 元．5. （1）y110x30（150≤x≤300）；（2）投资的第一年该公司亏损，最少亏损310 万元；（3）不能，理由略．。

人教版九年级数学上册二次函数(篇)(Word版含解析)

人教版九年级数学上册二次函数（篇）（Word 版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣b ＜0．【解析】【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣b a， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a-）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，∴点（2b a -，2ba -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2ba -＝21221b a a ++∴﹣b ＝221a a ≤+a∴0＜﹣b ≤4，∴﹣4≤b ＜0，即b b ＜0．【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标；（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）根据题意直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解；（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN ＝32时，则NHON＝32，即4343mmm---＝32，进行分析即可求解；（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）设点M（m，12m2﹣32m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即：4343mmm---＝32，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝∠OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝BO OAHB HA'=，即：2444x x=++，解得：x＝83，则点H（﹣83，0），．则直线AH的表达式为：y＝﹣34x﹣2③，联立①③并解得：x＝32，故点P（32，﹣258）；③当∠PAB＝∠OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝32，故点H（32，0），则直线AH的表达式为：y＝43x﹣2④，联立①④并解得：x＝0或173（舍去0），故点P（173，509）；当点P在AB下方时，同理可得：点P（3，﹣2）；综上，点P的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．3．如图，过原点的抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ．得040c b b c =⎧⎨-++=⎩，∴02c b =⎧⎨=⎩． ∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）．（2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形．如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ． ∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）．当点O′在y=12-x 2+2x 上．则−12m 2+2m ＝m ．解得：12m =，20m =（舍去）． ∴m=2．当点C′在y=12-x 2+2x 上，则12-×(32m )2+2×32m ＝12m ，解得：1209m =，20m =（舍去）． ∴m=209（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）．如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（103，109），点B（2，2）．∴点A′（83，89）．∴点A″的坐标为（83，289）．设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39k=，解得：k=76．∴直线OA″的解析式为y=76 x．将y=2代入得：76x=2，解得：x=127，∴点B′得坐标为（127，2）．∴n=2122 77 -=．∴存在n=27，抛物线向左平移．【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（32m，2m）以及点B′的坐标是解题的关键．4．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t-，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=151515-+-舍)或y=151515+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．5．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣32）2+94即可求解；②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：9303b cc++=⎧⎨=-⎩，解得：32 cb=-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3），①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：94； ②存在，理由：PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2；PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2；MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2，解得：x ＝0或2（舍去0），故x ＝2，故点P （2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或3±2（舍去0和3+2），故x ＝3﹣2，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣42，故点P （3﹣2，2﹣42）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．6．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．7．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：43x =±抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）求直线AC 的函数解析式；（3）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）y=﹣23x 2﹣43x+2；（2）223y x =+；（3）存在，(35,22-) 【解析】【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；（2）先确定C 点坐标，设直线AC 的函数解析式y=kx+b ，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N ，然后求出△ACP 面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩解得2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2；（2）∵当x=0时，y=2，∴C（0，2）设直线AC的解析式为y kx b=+，把A、C两点代入得0=32k bb-+⎧⎨=⎩解得232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的函数解析式为223y x=+；（3）存在．如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N设点P坐标为（m，n）,则n=224233m m--+），PN=-m，AO=3当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，∴点C的坐标为（0,2），OC=2∵PAC PAO PCO ACOS S S S=+-212411322()3223322m m m⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯⎪⎝⎭=23m m--∵a=-1<0∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯- ∴当m=32-时，S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35,22-）．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．9．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）．【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258，将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258，解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++；（2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，即点C 坐标为（0，2），同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1），设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12），则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ＝2﹣（﹣12a2+32a+2）＝12a2﹣32a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，∴∠FQ′P＝∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，'''Q C Q PCO FQ=，即213222'a aaQ F-=，∴Q′F＝a﹣3，∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝22223213CO OQ+=+=，此时a＝13，点P的坐标为（13，93132-+）．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．10．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a的图象与x轴负半轴交于点A（-1，0），与y轴正半轴交与点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．(1) 求一次函数解析式；(2)求顶点P的坐标；(3)平移直线AB使其过点P，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan2OAM∠=，求点M坐标；(4)设抛物线的对称轴交x轴与点E，联结AP交y轴与点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，联结QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．【答案】(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3(2)顶点P的坐标为（1，4）(3) M点的坐标为：15,2(,39⎛⎫-⎪⎝⎭或23-）（4）最小值为5【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B （0，3），根据OB=3OA ，可求出OA 的长，也就得出了A 点的坐标，然后将A 、B 的坐标代入直线AB 的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A 点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a 的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P 点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M 点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M 作x 轴的垂线设垂足为E ，在构建的直角三角形AME 中，可用M 点的坐标表示出ME 和AE 的长，然后根据∠OAM 的正切值求出M 的坐标．（本题要分M 在x 轴上方和x 轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D 关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N ⊥PD 于点N ，根据垂线段最短求出QD+QN 的最小值．【详解】(1)∵A （-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA ，∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3(2)∵二次函数22(0)y ax ax c a =-+<的图象与x 轴负半轴交与点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B （0，3），∴c=3,a=-1∴二次函数的解析式为：223y x x =-++∴抛物线223y x x =-++的顶点P （1，4）(3)设平移后的直线的解析式为：3y x b =+∵直线3y x b =+过P （1，4）∴b=1∴平移后的直线为31y x =+∵M 在直线31y x =+，且3tan 2OAM ∠=设M （x,3x+1）① 当点M 在x 轴上方时，有31312x x +=+，∴13x = ∴11,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当点M 在x 轴下方时，有31312x x +-=+，∴59x =- ∴25(,9M - 23-）(4)作点D关于直线x=1的对称点D’，过点D’作D’N⊥PD于点N当-x2+2x+3=0时，解得，x=-1或x=3，∴A（-1，0），P点坐标为（1，4），则可得PD解析式为：y=2x+2，令x=0，可得y=2，∴D（0，2），∵D与D′关于直线x=1对称，∴D′（2，2）．根据ND′⊥PD，设ND′解析式为y=kx+b，则k=-12，即y=-12x+b，将D′（2，2）代入，得2=-12×2+b，解得b=3，可得函数解析式为y=-12x+3，将两函数解析式组成方程组得：13222y xy x⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得25145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N（214 ,) 55，由两点间的距离公式：d=2221445 2255⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴所求最小值为45【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、函数图象的平移等知识点．同时考查了应用轴对称和垂线段最短解决线段和的最小值问题．。

(word版)人教版初三数学二次函数知识点总结与经典习题含答案,文档

-二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc〔a，b，c是常数，a0〕的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数yax2bxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式二次函数根本形式：yax2的性质：的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00，0x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．a00，0x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．yax2c的性质：上加下减。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00，c x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a00，c x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.y ax h 2的性质：左加右减。

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，0X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减xh时，y有最小值0．小；a0向下h，0X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．24. y ax h k的性质：---a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质ah ，kx h 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 随向上X=hx 的增大而减小；xh 时，y 有最小值k ．a 0h ，kx h 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 随向下X=hx 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式 2h ，k ；yaxhk ，确定其顶点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)22向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)+k平移规律在原有函数的根底上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞．四、二次函数yax 2k 与y ax 2 bx c 的比拟hy ax2k 与y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得从解析式上看， hb24ac b 2b，k4acb2到前者，即yax，其中h．2a4a2a4a六、二次函数yax 2 bx c 的性质b，顶点坐标为b ，4acb 21.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x．2a2a 4a当xb 时，y 随x 的增大而减小；2a当xb 时，y 随x 的增大而增大；2a当xb 时，y 有最小值4acb 2 ．2a4a---2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为b，4acb2．当xb时，2a2a4a2ay随x的增大而增大；当x b时，y随x的增大而减小；当xb时，y有最大值4acb2．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax2bx c〔a，b，c为常数，a0〕；2.顶点式：y a(x h)2k〔a，h，k为常数，a0〕；3.两根式〔交点式〕：y a(xx1)(x x2)〔a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标〕.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数只有抛物线与x轴有交点，即b解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a⑴当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．〔同左异右b为0对称轴为y轴〕常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x轴交点情况〕：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bx c当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当24ac0时，图象与x轴交于两点A x1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二b次方程ax2bx c0a0的两根．.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线y ax2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；---二次函数对应练习试题一、选择题二次函数yx24x7的顶点坐标是()A.(2,－11)B.〔－2，7〕C.〔2，11〕D.〔2，－3〕2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是〔〕A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函数y kx2k和yk(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.二次函数y ax2bx c(a0)的图象如下图,那么以下结论:①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4a b0④当y2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()个个 C.3个 D.4个5.二次函数y ax2bx c(a0)的顶点坐标〔-1，〕及局部图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2bx c0的两个根分别是x1和x2〔〕Ａ．－１.３6.二次函数y ax2bx c的图象如下图，那么点(ac,bc)在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2xx22的正根的个数为〔〕x个个个.3个8.抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.那么这条抛物线的解析式为A.yx2x2B.y x2x2C.yx2x2或y x2x2D.y x2x2或yx2x2 ---二、填空题9．二次函数y x2bx3的对称轴是x2，那么b_______。

人教版九年级上册二次函数和动点题型整理(解析版)

授课类型C专题( 二次函数动点问题)授课日期及时段教学内容C专题——二次函数动点问题专题导入1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（D）A．19cm2 B．16cm2 C．12cm2 D．15cm22. 如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（D ）3．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（C）．A．B．C．D．4．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则△PAQ的最大面积是（B）A．8cm2 B．9cm2 C．16cm2 D．18cm25．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A 出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（B）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（ A ）A．B．C．D．B．7．如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积（厘米）与时间（秒）之间的函数关系式为________．8．二次函数的函数图象如图,点位于坐标原点,点在y轴的正半轴上,点在二次函数位于第一象限的图象上,,, 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形,则的斜边长为_____20（自己做的）_______.9．如图，已知 A 、B 是线段MN 上的两点，MN4，MA1，MB1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使MN 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB x.（1）则x 的取值范围是____1<x<2_____；（2）△ABC 的最大面积是__22_______. C10．如图，将二次函数2714y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像向上平移m 个单位得到二次函数2y 的图像，且与二次函数()2124y x =+-的图像相交于A ，过A 作x 轴的平行线分别交1y ，2y 于点B ， C ，当12AC BA =时， m 的值是______1643____．11.如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，-6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=44直角边CD在y 如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，-6），点B（6,0）.RT△CDE，∠CDE=90°，CD=4，DE=3轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．12．如图1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠BCA=∠FDE=90°，AB=4，EF=8．点A、C、D、E在一条直线上，等腰Rt△DEF静止不动，初始时刻，C与D重合，之后等腰Rt△ABC从C出发，沿射线CE方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当A点与E点重合时，停止运动．设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接写出线段AC、DE的长度；（2）在等腰Rt△ABC的运动过程中，设等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，当线段AB与线段EF相交时，设交点为点M，点O为线段CE的中点；是否存在这样的t，使点E、O、M三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．（课堂精粹）在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：ED CBAF ED A BC D FEDCBAh45︒D CBA1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到．2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---.所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得． 3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=-++-++-+4. 如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．专题导入（画竹必先成竹于胸！）1.已知二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图像过点E（2，3），对称轴为x＝1，它的图像与x轴交于两点A10,)0(),0,(22212121=+xxxxxBx＜且。

九年级数学上册二次函数(篇)(Word版含解析)

九年级数学上册二次函数（篇）（Word 版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）；（2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+，即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263a a -＞0，解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m ），当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ，当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤，显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥，∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥，显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,330,33-或，理由见解析【解析】【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值.(3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点.【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得 396a =+13a ∴=- ∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+-设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯= 22231991919813222222228PBA S n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G ,则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-= )21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭ 化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ 13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD ++=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠= 设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m += ∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便；(2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.3．如图，若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y ＝x ﹣3经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 于点M ，连接PC ．①线段PM 是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P 运动的过程中，是否存在点M ，恰好使△PCM 是以PM 为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2) 【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94即可求解； ②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3，故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：32c b =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3），①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：94； ②存在，理由：PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2；PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2；MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2，解得：x ＝0或2（舍去0），故x ＝2，故点P （2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或（舍去0和），故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，故点P （3，2﹣）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．4．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0 【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求2FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+ 则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM = ∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．5．定义：函数l 与l '的图象关于y 轴对称，点(),0P t 是x 轴上一点，将函数l '的图象位于直线x t =左侧的部分，以x 轴为对称轴翻折，得到新的函数w 的图象，我们称函数w 是函数l 的对称折函数，函数w 的图象记作1F ，函数l 的图象位于直线x t =上以及右侧的部分记作2F ，图象1F 和2F 合起来记作图象F ．例如：如图，函数l 的解析式为1y x =+，当1t =时，它的对称折函数w 的解析式为()11y x x =-<．（1）函数l 的解析式为21y x =-，当2t =-时，它的对称折函数w 的解析式为_______；（2）函数l 的解析式为1²12y x x =--，当42x -≤≤且0t =时，求图象F 上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l 的解析式为()2230y ax ax a a =--≠．若1a =，直线1y t =-与图象F 有两个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）()212y x x =+<-；（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-；（3）当3t =-，1t <≤，5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点．【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F 的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F 的解析式，然后分14t -=-、点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x =+<-（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =，当1x =时，32y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4； a ：当14t -=-时，3t =-，∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点；b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，2123t t t -=--，解得1317t -=，2317t += c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =14t -=，∴55t =∴当3171t -<≤或3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点；综上所述：当3t =-，31712t -<≤，3175t +<<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点.【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．（1）P 的坐标，C 的坐标；（2）直线1上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q （92，﹣5），直线PE ′的解析式为y ＝﹣65x +385， ∴Q ′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，直线3y x 与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0，解得x=-3，令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3），∴OA=OC=3，∵tan ∠CBO=3OC OB=， ∴OB=1，∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得， 93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：243y x x =++，∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1，∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0），∴AB=-1-（-3）=2，∵OA=OC ，∠AOC=90°，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴，∠BAC=45°，∵B （-1，0），D （-2，-1），∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ， ∴AB AC BP BA =，即22BP =，解得，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②A B和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=3222=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．8．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P′的坐标为（﹣y，x）．（1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x的图象上，则k= ；（2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为，∠BOB′的大小是度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，m=12+或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2．故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90．（3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）．将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：1211311322m m +-==，（不合题意，舍去）．所以113m +=． ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12321321m m +-==，（不合题意，舍去）．所以3212m +=．综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m =1132+或m =3212+．（4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(12-+，32)或(12--，32) 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M在直线AC上，点N在抛物线上，∴设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)．①当点M在线段AC上时，点N在点M上方，则MN=(-t2-2t+3)-(-t+1)=-t2-t+2．∴-t2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M的坐标为（0，1）．②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方，则MN=(-t+1)-(-t2-2t+3)=t2+t-2．∴t2+t-2=2，解得：t=117-+或t=117--．∴此时点M的坐标为（1172-+，3172-）或（1172--，3172+）．综上所述，满足条件的点M的坐标为：（0，1），（1172-+，3172-）或（117--，317+）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．10．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）求直线AC的函数解析式；（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）y=﹣2 3 x2﹣43x+2；（2）223y x=+；（3）存在，(35,22-)【解析】【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩解得2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x2﹣43x+2；（2）∵当x=0时，y=2，∴C（0，2）设直线AC的解析式为y kx b=+，把A、C两点代入得0=32k bb-+⎧⎨=⎩解得232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的函数解析式为223y x=+；（3）存在．如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N设点P坐标为（m，n）,则n=224233m m--+），PN=-m，AO=3当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，∴点C 的坐标为（0,2），OC=2∵PAC PAO PCO ACO S S S S =+-212411322()3223322m m m ⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯ ⎪⎝⎭ =23m m --∵a=-1<0∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯- ∴当m=32-时，S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35,22-）．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．。

人教版九年级数学上册小专题(三)求二次函数解析式.docx

初中数学试卷桑水出品小专题(三)求二次函数解析式类型1已知二次函数解析式，确定各项的系数如果二次函数解析式中只有1个字母，只需要找到函数图象上1个点的坐标代入即可；如果二次函数解析式中有2个字母，则需要找到函数图象上2个点的坐标；如果二次函数解析式中有3个字母，通常需要找到函数图象上3个点的坐标．1．(泉州中考)已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．类型2利用“三点式”求二次函数解析式如果已知函数图象上三点的坐标，通常设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c.2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2 cm ，点A ，C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线经过点A ，B 和D(4，－23)．求抛物线的表达式．3．(广东模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(0，2)，(3，2)，(2，3)．(1)请在图中画出△ABC 向下平移3个单位的像△A′B′C′；(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A′B′C′的三个顶点，求此二次函数的关系式．类型3利用“顶点式”求二次函数解析式如果已知二次函数顶点和图象上另一点，则设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k.如果已知对称轴、最大值(最小值)或者二次函数的增减性也考虑利用“顶点式”．4．(普陀区一模)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，6)，对称轴为直线x＝2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．5．(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．①y随x的变化的部分数值规律如下表：②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax＋bx＋c；③函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．类型4利用“交点式”求二次函数解析式如果已知二次函数图象与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，那么设二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x －x2)．6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点；(1)求此函数解析式；(2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知二次函数对称轴为x＝2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴交点为(0，－2)，求此二次函数的解析式．类型5利用“平移规律”求二次函数解析式已知移动后的抛物线的解析式，求移动前抛物线的解析式．可先求移动后抛物线的顶点坐标，再反向移动还原原抛物线的顶点坐标，利用a不变求出原抛物的解析式．8．如图所示，已知抛物线C0的解析式为y＝x2－2x.提示：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－b2a，4ac－b24a)，对称轴x＝－b2a.(1)求抛物线C0的顶点坐标；(2)将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1，C2，C3，…，C n(n为正整数)．①求抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标；②试确定抛物线C n的解析式．(直接写出答案，不需要解题过程)参考答案1.(1)∵抛物线y ＝a(x －3)2＋2经过点(1，－2)，∴a(1－3)2＋2＝－2.解得a ＝－1. (2)由(1)得a ＝－1<0，抛物线的开口向下，在对称轴x ＝3的左侧，y 随x 的增大而增大．∵m<n<3，∴y 1<y 2. 2.设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c.由题意得A(0，－2)，B(2，－2)，因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，B ，D 三点，将三点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－2，16a ＋4b ＋c ＝－23，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16，b ＝－13，c ＝－2.所以抛物线的表达式为y ＝16x 2－13x －2.3.(1)图略．(2)由题意得A′，B ′，C ′的坐标分别是(0，－1)，(3，－1)，(2，0)，设过点A′、B′、C′的二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，9a ＋3b ＋c ＝－1，4a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，c ＝－1.∴二次函数的关系式为y ＝－12x 2＋32x －1.4.设二次函数解析式为y ＝a(x －2)2＋k ，把A(1，0)，C(0，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝－2.则二次函数解析式为y ＝2(x －2)2－2＝2x 2－8x ＋6，二次函数图象有最低点，即顶点坐标为(2，－2)．5.(1)答案不唯一，以选择条件③为例，由图象可知：二次函数图象的顶点坐标为(1，4)，则可设二次函数解析式为y ＝a(x －1)2＋4.∵图象经过点(－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝0，代入解析式，得a(－1－1)2＋4＝0，解得a ＝－1.∴二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1；与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)；与y 轴的交点为(0，3)；顶点坐标为(1，4)；当x<1时，y 随x 的增大而增大；当x>1时，y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，二次函数有最大值y ＝4.6.(1)因为二次函数图象经过A(－1，0)、B(3，0)，所以设y ＝a(x ＋1)(x －3)．把C(0，－3)代入，得－3＝－3a.解得a ＝1.所以此函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.(2)不在．因为该函数的开口向上，最小值为－4，所以点M(m ，－5)不在这个二次函数的图象上． 7.∵抛物线的对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得的线段长为6，∴抛物线与x 轴两交点为(－1，0)，(5，0)．∴设二次函数解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)．将点(0，－2)代入上式，得－2＝a(0＋1)(0－5)，∴a ＝25.因此二次函数解析式为y ＝25(x ＋1)(x －5)．即y ＝25x 2－85x －2.8.(1)∵y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴抛物线C 0的顶点坐标为(1，－1)．(2)①当y ＝0时，则有x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.∴抛物线C 0与x 轴的交点坐标为(0，0)，(2，0)．∵将抛物线C 0向右平移2个单位，得到抛物线C 1，∴此时抛物线C 0与x 轴的交点(0，0)、(2，0)也随之向右平移2个单位，∴抛物线C 1与x 轴的交点A 1、A 2的坐标分别为：A 1(2，0)、A 2(4，0)． ②抛物线C n 的解析式为：y ＝x 2－(4n ＋2)x ＋4n 2＋4n.。

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解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。

例1．某公司生产的A 种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

例2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成a 4b ac 4)a 2b x (a y 22-++=的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？析解：（1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2(70-x)]千克，每千克获利为(x-30)元。

根据题意得6500x 260x 2500)]x 70(260)[30x (y 2-+-=--+-=（30≤x ≤70）。

（2）1950)65x (26500)x 130x (2y 22+--=---=。

顶点坐标为（65，1950），草图略，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000元；当销售单价最高时，可获总利221500元。

故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500元。

三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。

这类问题建模要求高，有一定难度。

例3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm ，抛物线顶点处到边MN 的距离是4dm ，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm ？析解：由“抛物线”联想到二次函数。

如图4，以MN 所在的直线为x 轴，点M 为原点建立直角坐标系。

设抛物线的顶点为P ，则M（0，0），N （4，0），P （2，4）。

用待定系数法求得抛物线的解析式为x 4x y 2+-=。

设A 点坐标为（x ，y ），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y 。

于是2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 2AB 2l 2++-=-+=+=8x 12x 2)4x 2(2)x 4x (2)4x 2(2y 2AD 222-+-=-++-=-+=+。

且x 的取值范围是0<x<4（x ≠2）。

若l=8，则88x 12x 22=-+-，即08x 6x 2=+-。

解得4x 2x 21==，。

而0<x<4（x ≠2）。

故l 的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm 。

注：本题还可在其它位置建立直角坐标系。

例4..某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y (万件)与销售单价x (元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z (万元)(不含进价)与年销量y (万件)存在函数关系z =10y +42.5. (1)求y 关于x 的函数关系式;(2)度写出该公司销售该种产品年获利w (万元)关于销售单价x (元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x 为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元? .解:(1)由题意,设y =kx +b ,图象过点(70,5),(90,3), ∴570,390.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1,1012.k b⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y =110-x +12.…………………………………………3分 (2)由题意,得w =y (x -40)-z =y (x -40)-(10y +42.5)=(110-x +12)(x -10)-10(110-x +12)-42.5=-0.1x 2+17x -642.5=110-(x -85)2+80.当85元时,年获利的最大值为80万元. ……………………………………………………6分 (3)令w =57.5,得-0.1x 2+17x -642.5=57.2. 整理,得x 2-170x +7000=0. 解得x 1=70,x 2=100.由图象可知,要使年获利不低于57.5万元,销售单价应在70元到100元之间.又因为销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于57.5万元,销售单价应定为70元.………………………………10分二次函数应用练习题1．如图，已知抛物线l 1：y=x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D.(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值 .2．已知，二次函数21y mx+3(m )x+4(m 0)4=-＜与x 轴交于A 、B 两点，（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，且∠ACB=90°.(1)求这个二次函数的解析式.(2)矩形DEFG 的一条边DG 在AB 上，E 、F 分别在BC 、AC 上，设OD=x ，矩形DEFG 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式. (3)将(1)中所得抛物线向左平移2个单位后，与x 轴交于A’、B’点(A’在B’的左边)，矩形D'E’F’G’的一条边D’G’在A ，B’上(G ，在D’的左边)，E’、F’分别在抛物线上，矩形D'E’F’G’的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 3．阅读材料，解答下列问题：求函数y=1x 3x 2++(x>-1)中的y 的取值范围．解．∵y =1x 121x 11)2(x 1x 3x 2++=+++=++ ∵ 01x 1>+∴y>2在高中我们将学习这样一个重要的不等式：xy 2yx ≥+(x 、y 为正数)；此不等式说明：当正数x 、y 的积为定值时，其和有最小值．例如：求证：x+x1≥2(x>O) 证明：∵1x1x 2x 1x =•≥+∴x+x1≥2 利用以上信息，解决以下问题：(1)求函数：y=1x 1x -+中(x>1)，y 的取值范围． (2)．若x>O ，求代数式2x+x4的最小值．4．如图，已知二次函数y=-21 x 2+4x+c 的图像经过坐标原点，并且与函数y=21x 的图像交于O 、A 两点．(1)求c 的值； (2)求A 点的坐标；(3)若一条平行于y 轴的直线与线段OA 交于点F ，与这个二次函数的图像交于点E ，求线段EF 的最大长度．5．利用图象解一元二次方程x 2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x 2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请再给出一种利用图象求方程x 2-2x-1=0的解的方法(2)已知函数y=x 3的图象(如图)：求方程x 3-x-2=0的解．(结果保留2个有效数字)6．我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数y=3x 2的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是23(2)4y x =+-.类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：（1）将1y x=的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为；（2）函数1x y x +=的图象可由1y x=的图象向平移个单位得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？（3）一般地，函数x b y x a+=+（0ab ≠，且a b ≠）的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样的变换得到？7．已知抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 当x ＜0时的图象； (3)利用抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c ，写出为何值时，y ＞0．8．下表给出了代数式2x bx c ++与x 的一些对应值：x 01 2 3 4 … 2x bx c ++ (3)－13…（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y =2x bx c ++，则当x 取何值时，y ＞0？（3）请说明经过怎样平移函数y =2x bx c ++的图象得到函数2y x =的图象.9．已知抛物线2y ax bx c =++经过53(33)0P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC （如图13）．是否存在点Q ，使得△OPC 与△PQB 相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形△OPC ，△PQB ，OQP ，△OQA 之间存在怎样的关系？为什么？10．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m ，宽为2 m ，隧道最高点P 位于A B 的中央且距地面6 m ，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式；(2)一辆货车高4 m ，宽2 m ，能否从该隧道内通过，为什么? (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么?11．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m 。

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