系统的能控性、能观测性、稳定性分析
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五、程序源代码
1.(a)了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；
gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian矩阵
num=[6 -0.6 -0.12];
den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125];
Ctrbf:对线性系统进行能控性分解
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
三、实验环境
1、计算机120台；
2、MATLAB6.X软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤
1、系统能控性、能观性分析
设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
H=tf(num,den,'Ts',0.1)
Lc=gram(ss(H),'c')
H = 6 z^2 - 0.6 z - 0.12
-------------------------------------
z^4 - z^3 + 0.25 z^2 + 0.25 z - 0.125
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
Lc =10.7651 7.8769 3.6759 -0.0000
7.8769 10.7651 7.8769 1.8379
3.6759 7.8769 10.7651 3.9385
-0.0000 1.8379 3.9385 2.6913
Ctrb：计算矩阵可控性
（d）求系统 源自文库最小实现。
（2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为： ，试对系统闭环判别其稳定性
（b）根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。
（c）Bode图法判断系统稳定性
0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000
1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000
ans =
3
Obsv:计算可观察性矩阵
A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]
B=[6 9;4 6;4 4;8 4];
Ro =
4
Lyap:解lyapunov方程
A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];
B=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
X=lyap(A,B)
X =
-3.2833 -3.9000 -0.1167
-5.5000 -8.6500 -0.4000
0.2833 -0.0000 -0.0333
实 验 报 告
课程线性系统理论基础实验日期年月日
专业班级姓名学号同组人
实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分
批阅教师签字
一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；
2、系统的稳定性分析；
3、系统的最小实现。
C=[1 2 3 4];
Qo=obsv(A,C);
Ro=rank(Qo)
A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000
0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000
0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000
1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000
二、实验内容
（1）能控性、能观测性及系统实现
（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf,minreal；
（b）已知连续系统的传递函数模型， ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c）已知系统矩阵为 ， ， ，判别系统的能控性与能观测性；
状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为：
（2-1）
状态能控性判别式为：
（2-2）
系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t0时刻存在ta，t0<ta< ，根据[t0,ta]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。
A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]
B=[6 9;4 6;4 4;8 4];
Tc=ctrb(A,B);
rank(Tc)
A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000
0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000
状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：
（2-3）
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。
1.(a)了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；
gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian矩阵
num=[6 -0.6 -0.12];
den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125];
Ctrbf:对线性系统进行能控性分解
已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为
用Bode图法判断系统闭环的稳定性。
（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO稳定。
三、实验环境
1、计算机120台；
2、MATLAB6.X软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤
1、系统能控性、能观性分析
设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
H=tf(num,den,'Ts',0.1)
Lc=gram(ss(H),'c')
H = 6 z^2 - 0.6 z - 0.12
-------------------------------------
z^4 - z^3 + 0.25 z^2 + 0.25 z - 0.125
Sample time: 0.1 seconds
Discrete-time transfer function.
Lc =10.7651 7.8769 3.6759 -0.0000
7.8769 10.7651 7.8769 1.8379
3.6759 7.8769 10.7651 3.9385
-0.0000 1.8379 3.9385 2.6913
Ctrb：计算矩阵可控性
（d）求系统 源自文库最小实现。
（2）稳定性
（a）代数法稳定性判据
已知单位反馈系统的开环传递函数为： ，试对系统闭环判别其稳定性
（b）根轨迹法判断系统稳定性
已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。
（c）Bode图法判断系统稳定性
0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000
1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000
ans =
3
Obsv:计算可观察性矩阵
A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]
B=[6 9;4 6;4 4;8 4];
Ro =
4
Lyap:解lyapunov方程
A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];
B=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];
X=lyap(A,B)
X =
-3.2833 -3.9000 -0.1167
-5.5000 -8.6500 -0.4000
0.2833 -0.0000 -0.0333
实 验 报 告
课程线性系统理论基础实验日期年月日
专业班级姓名学号同组人
实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分
批阅教师签字
一、实验目的
加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；
2、系统的稳定性分析；
3、系统的最小实现。
C=[1 2 3 4];
Qo=obsv(A,C);
Ro=rank(Qo)
A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000
0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000
0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000
1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000
二、实验内容
（1）能控性、能观测性及系统实现
（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf,minreal；
（b）已知连续系统的传递函数模型， ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c）已知系统矩阵为 ， ， ，判别系统的能控性与能观测性；
状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
输出能控性判别式为：
（2-1）
状态能控性判别式为：
（2-2）
系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t0时刻存在ta，t0<ta< ，根据[t0,ta]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的任意初始状态x0，则称系统在t0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t0,ta]区间上能观测。
A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]
B=[6 9;4 6;4 4;8 4];
Tc=ctrb(A,B);
rank(Tc)
A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000
0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000
状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：
（2-3）
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。