【华师大二附中_范端喜】历年复旦、交大自主招生数学试题详解与应试指导-第6讲：函数(2)
2012年上海市华师大二附中自主招生试题
一、选择题1、按照原子核外电子排布规律，各电子层最多容纳的电子数为2n2（n为电子层数，其中最外层电子数不超过8个，次外层电子数不超过18个）。
1999年发现了核电荷数为118的元素，其原子核外电子排布是A 2、8、18、32、32、18、8B 2、8、18、32、50、8C 2、8、18、32、18、8D 2、8、18、32、50、18、82、从中药麻黄中提取麻黄素可作为平哮喘药使用，为确定麻黄素的分子式（已知它是由碳、氢、氮和氧四种元素组成的），把10g麻黄素完全燃烧可得26.67gCO2和8.18gH2O，同时测得麻黄素中含氮8.48%，由此可推得麻黄素的分子式为A C20H30NOB C20H30N2OC C10H15NOD C10H15N2O53、多硫化钠Na2Sx（x>2）在酸性溶液中生成一种臭鸡蛋味的气体和浅黄色沉淀；Na2Sx + 2HCl=2NaCl + H2S +（x-1）S，向a gNa2Sx加入过量盐酸可得0.672a g沉淀，则x的值是A 6B 5C 4D 34、氧化铜与氢气反应后得到的Cu中常常混有少量Cu2O。
Cu2O与硫酸反应的化学方程式为：Cu2O + H2SO4=CuSO4+ Cu +H2O。
现将5gCu与Cu2O的混合物放入足量的稀硫酸中充分反应，过滤得到4.8g固体，则原混合物中含单质铜的质量为A 4.8gB 4.72gC 4.64gD 4.6g5、某温度下，Na2SO3的溶解度是Sg/100g水。
此温度下一定量的Na2SO3溶液中加入agNa2SO3恰好达到饱和。
若用Na2SO3·7H2O代替Na2SO3，使原溶液达到饱和，则需加入的Na2SO3·7H2O 质量为A 2agB 200a/（100-S）gC a（200+S）/100D a（50+S）/50g6、某混合物由Na2SO4和Na2SO3组成，已知其中氧元素的质量分数为40%，则钠元素的质量分数为A 24.62%B 25.09%C 35.38%D 无法确定二、计算题7、在100ml稀盐酸中加入混合均匀的NaHCO3和KHCO3固体粉末，充分反应后使气体全部逸出，右图是加入粉末的质量与产生CO2体积的关系。
2013华二附中自主招生数学试题与答案
已知：2222411b a b a +=+D 'A 'EADCB7.1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,7.1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,……..,第2013个数是_____________. 2013华二附中华二附中自主招生自主招生数学试题与参考答案（部分）数学试题与参考答案（部分）1.在,,90b AC a AB A ABC Rt ==°=ÐD ，中，在AC 上有一点E ，在BC 上有一点F ，x AE EF BE =^,， ,y SEFC =D 求x y 与的函数关系。
关系。
2.定义○1111=*，○2()1111+=+**n n ，求=*1n3.()()()()41128231)(22-+++--++++=a x a x a a x a x a x f 定义域为D,0)(>x f 在定义域D 内恒成立，求a 的取值范围？的取值范围？4.，求20132012÷øöçèæ+÷øöçèæb a a b =__________. 5.如图，有如图，有棋子棋子摆成这样，求第n 幅图有_________颗棋子。
颗棋子。
∙∙∙∙∙∙(3)(2)(1)6.如图，在矩形ABCD 中，2AE=BE,将=а=ÐD D ECB EA D EC BE DEC ABE ，求翻折，、分别沿、15''____. 8.已知：y x 、4B10室，室，详细答案咨询上海牛人数学工作室，有偿提供详细答案咨询上海牛人数学工作室，有偿提供1. 2.n 3. .7216157216151-<+>=a a a 或或4.2,0 5.)2(+n n6.37.5°7.63 8.(3/2,3) 为有理数，且满足,33421y x +=+求._________),(=y x上海牛人数学工作室主要从事“新知杯”“初“初高中数学高中数学联赛”“美国数学竞赛AMC8/10/12,AIME ，PUMAC(普林斯顿数学竞赛)”名校”名校自主招生自主招生考试，“大同杯”“大同杯”物理物理竞赛研究和辅导，提供疑难问题解答，各种竞赛资料，各种竞赛资料详细解答，疑难问题致电135********刘老师，****************,QQ2640199717,福州路567号。
上海华东师范大学第二附属中学高一数学理联考试卷含解析
上海华东师范大学第二附属中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则（）A. 1B. －1C.2D. －2参考答案：A2. 设集合，集合B={2,3,4}，则A∩B=( )A.（2,4）B.{2.4}C.{3}D.{2,3}参考答案：D3. 已知、、为△的三边,且,则角等于( )A. B. C. D.参考答案：B4. 已知1,a1,a2,9四个实数成等差数列， -1,b1,b2,b3, -9五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)的值为（）A. 8B.-8 C.8 D.参考答案：B略5. 若当时，均有意义，则函数的图像大致是（）参考答案：B6. 已知单位向量与单位向量的夹角为，=3+4，则||等于（）A．5 B．6 C．D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积与单位向量的概念，求出模长即可．【解答】解：单位向量与单位向量的夹角为，∴?=1×1×cos=，又=3+4，∴=9+24?+16=9×1+24×+16×1=37，∴||=．故选：C．7. 对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△ABC为“V类三角形”．“ V类三角形”一定满足（）．A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°参考答案：B【分析】由对称性，不妨设和为锐角，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【详解】解：由对称性，不妨设和为锐角，则A，B，所以：+＝π﹣（A+B）＝C，于是：cos C＝sin＝sin（+）＝sin C，即：tan C＝1，解得：C＝45°，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于中档题．8. 在△ABC中，，，E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足，则的值为（）A. B. 1 C. D.参考答案：D【分析】根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.【详解】为中点和为等腰三角形，同理可得：本题正确选项：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.9. 已知直线l1：x+2y+t2=0和直线l2：2x+4y+2t﹣3=0，则当l1与l2间的距离最短时t的值为（）A．1 B．C．D．2参考答案：B【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用平行线之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵直线l2：2x+4y+2t﹣3=0，即x+2y+=0．∴直线l1∥直线l2，∴l1与l2间的距离d==≥，当且仅当t=时取等号．∴当l1与l2间的距离最短时t的值为．故选：B．10. y=（m2﹣2m+2）x2m+1是一个幂函数，则m=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】据幂函数的定义：形如y=xα的函数为幂函数，令x前的系数为1，求出m的值．【解答】解：令m2﹣2m+2=1，解得：m=1，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 比较大小：.参考答案：略12. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.参考答案：分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，直线过点，直线的方程为：. 故答案为：.点睛：1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， （1）若l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． （2）若l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.13.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别参考答案：31，26 14. 已知函数,分别由下表给出:则当时,.参考答案：3 略15. 若，则的取值范围为________________.参考答案：16. 直线xsin α﹣y+1=0的倾角的取值范围 ．参考答案：[0，]∪[）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线斜率的范围，再由正切函数的单调性求得倾角的取值范围．【解答】解：直线xsin α﹣y+1=0的斜率为k=sin α，则﹣1≤k≤1，设直线xsin α﹣y+1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则﹣1≤tanθ≤1， ∴θ∈[0，]∪[）．故答案为：[0，]∪[）．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，训练了由直线斜率的范围求倾斜角的范围，是基础题．17. 函数的定义域为参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略上海华东师大二附中 范端喜 200241自从2006年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校高考改革试验“破冰”以来，各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台，全国自主招生高校不断增多，而且各高校自主招生比例也在增大. 2010年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试，如清华大学等5所高校实行“五校联考”. 2011年自主招生呈三足鼎立之势：以清华大学为首的7所高校自主招生称为“华约”；以北京大学为首的13所高校自主招生称为“北约”；9所工科院校组成的自主招生联盟称为“卓越联盟”. 这引起教育界人士和家长们的高度关注，更引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣.2012年的自主招生考试难度不减. “华约”、“北约”的自主招生考试中，教材基本内容大约占60%，其余内容涉及竞赛的相关知识. 2012年自主招生考试热点知识为：三角、方程的根的问题、排列组合、二项式定理、概率、解析几何、平面几何、组合、导数、不等式等.1. 试卷特点分析1.1基础知识、基本技能仍是考查的重点没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水、无本之木. 基础知识、基本技能是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提.纵观清华大学、北京大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，大部分的题目仍是比较基础的问题. 以复旦大学为例，其笔试30道左右的选择题中，也多半是考查学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点.1.2考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及高中数学教学大纲的所有内容，如函数、集合、数列、复数、三角、排列组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等.然而，高校自主招生考试命题是由大学教授完成的，试题侧重考查高等数学与初等数学的衔接. 仍以复旦大学为例，以下是几个在近几年该校自主招生考试中出现的频率较高的知识点：三角、函数和方程问题、排列组合和概率统计、不等式等.1.3注重数学知识和其他科目知识的整合，考查学生应用知识解决问题的能力例如，2010年清华大学等“五校联考”有这样一个问题：已知基因型为AA Aa aa 、、的比例为:2:,2 1.u v w u v w ++=且（1）求子一代AA Aa aa 、、的比例；（2）子二代与子一代比例是否相同？这是一道与生物学知识有密切联系的数学问题，若考生缺乏有关生物学方面的知识，则肯定不能解决此问题. 这道题目在考生中引起了强烈的反响，它考查了学生应用数学解决问题的能力. 本题详细解答见《名牌大学自主招生高效备考 数学》的第十讲，为了简便，下称本书.2011年“华约”又考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：有一个圆柱形水杯，质量为a 克（底面质量不计），重心在中轴线中点，装满水时，水的质量为b 克.（1）若3b a =,求水装到一半时，重心到底面的距离与整个水杯高度之比；（2）水的质量是多少时，整体重心最低？2012年复旦大学也考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：某船从B 点出发，以速度v 匀速向东航行，观察者在B 点正南距离为s 的A 点进行观察，当观察者感觉速度是B 处速度的14时，观察者的视线跟随行船偏转的角度为( ). A. 30 B. 60 C. 45 D. 2251.4突出对思维能力和解题技巧的考查近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，难度上有时与全国高中数学联赛一试试题相当.例如，2007年上海交通大学冬令营自主招生试题中有这样一个问题：设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，横有0()0.f x ≠这两小问解决的策略和方法是：换一个角度，将函数看成一个关于a 的一次函数. 该题的详解见本书第四讲.又如，对解决学习型问题的能力的考查，一直是高中数学教学大纲中提到的对学生能力要求较高的问题. 学习型问题要求对过去没有学习过的概念、公式、定理或方法，在当前情景下通过阅读理解，即时学习，并运用其解决与之相关的问题.学习型问题对培养学生的阅读理解问题、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力都是大有裨益的，在平时的学习中应适当加以训练.2007年清华大学自主招生考试中有这样一个学习型问题（见本书第一讲）：对于集合2M ⊆R (2R 表示二维点集)，称M 为开集，当且仅当0,0,P M r ∀∈∃>使得{}20.P PP r M ∈<⊆R判断集合{}{}(,)4250(,)0,0x y x y x y x y +->≥>与是否为开集，并证明你的结论.2010年复旦大学自主招生考试32道试题中，有六七道题涉及此方面的问题，例如：设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点. 用Z 表示整数集，则在下列集合{}1(1),0,(2)\0,(3),0,1n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫∈≥∈≠⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭Z R Z (4)Ζ整数集中，以0为聚点的集合有（ ）. A (2)(3) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(1)(2)(4).该题的详细解答请参考本书的第一讲.“开集”、“聚点”等是高等数学中非常重要的概念，同学们以后会在数学分析、拓扑等课程中学习到.1.5 考试题量大、对考生熟练程度要求极高由于自主招生考试只是针对少数特长生、优秀精英学生的考试，无论是“北约”、“华约”，还是“卓越联盟”、复旦大学“千分考”等，对考生的解题速度都有很高的要求.2012年，“北约”考试题型是文理科各7道（文科1-7题，理科3-9题），全部是解答题，语、数、外三科合在一起，考试时间共计3小时；“卓越联盟”试卷有6道解答题、6道填空题，考试时间是90分钟；“华约”试卷有10道选择题、5道解答题，考试时间是90分钟；复旦大学“千分考”十门共计200道选择题，其中数学题32道，考试时间为3小时，平均每道题54秒.2. 应试和准备策略针对自主招生试题的上述特点，大家在复习时应注意以下几点：2.1注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，知识一般都是靠平时积累，剩下的就是个人的临场发挥. 数学需要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩.另外，对有些平时不太注意或高考不一定考的知识点，如矩阵、行列式等也不能忽视.2.2适当做一些近几年的自主招生考试的真题俗话说，知己知彼，百战百胜. 同学们可适当地训练自己报考的或其他高校近几年自主招生考试的试题，熟悉一下题型是有益的.自主招生考试中有一些题是前几年的考试真题改编，甚至是原题，例如前面提到的2007年上海交通大学冬令营的问题，其实在2004年上海交通大学冬令营中就已出现过类似问题（见本书第四讲）：已知432()(58)69.f x ax x a x x a =++-+-试求出：当实数x 取何值时，（1）总有()=0f x ；（2）总有()0f x ≠.又如，下面两题是同一类问题：（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）求：cos ()2sin y θθθ=∈+R 的值域. （2005年复旦大学，本书第十二讲）求：1sin 2cos x y x +=+的最大值. 再如，下面3道都是姊妹题：（2012年复旦大学，本书第十七讲） 记2012=1232012⨯⨯⨯⨯！为从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是 .A.504B.503C.502D.501（2003年上海交通大学，本书第十七讲）100！的末尾有 个连续的零.（2006年上海交通大学，本书第十七讲）2005！的末尾有 个连续的零.大家留意一下2012年苏州大学自主招生的最后一道压轴题（见本书第七讲）：已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166,n n n b a b +=+ 且112,4,,.n n a b a b ==求其实，这道题就是2004年复旦大学自主招生的试题.2.3注重知识的延伸全国重点院校自主招生考试试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍易.有些问题有一定的深度，这就要求考生平时要注意知识点的延伸.例如，2012年复旦大学“千分考”的第128题（见本书第七讲）：{}101101______.2211A. B. D.332n n n n x x x x x x -++===设，，，则数列的极限为 这道题实际上是利用特征方程特征根求数列通项公式.又如，2012年复旦大学“千分考”的第113题（见本书第十五讲）：设1234,,,P P P k P k (1,2,3)(2,4,1)(1,,5)(4,+1,3)是空间直角坐标系中一个体积为1的四面体的四个顶点，其中k 是实数，那么k 的值为 .A.-B.-C.-D.- 1或2 1或2 3或4 6或12这道题实际上是要用到用四阶行列式表示四面体的体积公式，是教材中三阶行列式表示三角形面积公式的一个推广.再如，2008年复旦大学“千分考”的第88题（见本书第十五讲）：123312323131220x x x x x x x x x x x x x x ++=设、、是方程的三个根，则行列式=( ). A.4 B.1 C.0 D.2--此题要用到两个课本之外的知识点，即三次方程的韦达定理和公式3332223()().a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---三次方程的韦达定理虽不难推导，但平时同学们对三次方程比较陌生. 而该公式对于参加过数学竞赛的同学并不陌生.再看一下2010年“五校联考”中有这样一个问题：在三角形ABC ∆，H 为垂心，O 为外心，中线AD 交OH 于G ，求AGH OGDS S ∆∆. 参加过数学竞赛的同学都清楚，这实际上是一道与欧拉线有关的问题，若平时接触或了解欧拉线的知识，则做这道题就不费吹灰之力.2.4 关注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容；注重教材之外、课本中没有出现的知识 自主招生与高考大约有60%-70%的知识点是重合的，如数列、解析几何、不等式等，这些知识点无论是高考还是自主招生都是重点，但下面几个知识点要提醒考生注意：（1）三角：高考对三角的要求比较低，高考中一般出现在解答题的第一或第二题，属于送分题. 但在自主招生中，三角所占的比例比较高，尤其是三角变换，而积化和差、和差化积公式在自主招生考试中是“家常便饭”. 大学教授对三角比较重视是有道理的，这是因为大学里很多内容，比如：微积分、复变函数、傅里叶级数等都要用到三角.以下两题分别是2012年“卓越联盟”和“北约”自主招生试题，都有相当的挑战性.（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）设()sin()(0,)f x x ωφωφ=+>∈R ，设)0(<T T ，若存在T ，使)()(x Tf T x f =+恒成立，则ω的范围为 .（2012年“北约”，本书第十二讲）有唯一解的sin4sin2sin sin3求使得在[)-=x x x x a0π，.a（2）平面几何：这块内容是高中数学联赛加试中必考的，但除了少数省市，如北京市、江苏省等在高考中还没涉及平面几何内容，大多数省市高考不考平面几何.显然，初中也学习过平面几何，但由于时间长，多数同学早已忘得一干二净，所以平面几何得分率很低，多数同学在考试中碰到平面问题时，往往不知所措.以下两道题是2012年“北约”自主招生考试中与平面几何中圆有关的真题：（2012年“北约”，本书第十九讲）求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形.∆的外接圆圆心为O，求O到三角形三边的距离比（用三角形的（2012年“北约”）如果锐角ABC角和三角函数表示）.（3）组合：熟悉和学习过数学竞赛的同学知道，组合是全国高中数学联赛加试中必考的内容之一（联赛加试共四道），2012年“华约”和“北约”分别考到一道组合问题，其中“北约”的组合问题带有数论的味道，下面是2012年“华约”和“北约”自主招生真题：n n≥位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比（2012年“华约”，本书第十八讲）有(2)赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能值.，，，中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，（2012年“北约”，本书第十八讲）在122012最多能取多少个数？2.5 加强运算能力的训练，提高解题速度前面提到，自主招生考试中对考生解题速度要求极高，在此提醒同学们注意的是，平时少用计算器，尤其是上海的考生. 首先我要说的是适当的使用计算器并不是坏事，但确实有不少学生过分依赖计算器，而自主招生考试中是禁止使用计算器的，所以习惯使用计算器的不少上海学生，在自主招生考试中会手忙脚乱，不知所措.（注：本文是根据作者编著《名牌大学自主招生高效备考数学》（华东师范大学出版社）一书改编）。
2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。
自主招生资料-自主招生历年试题
自主招生资料：浅谈上海高三毕业生应对高校自主招生的考试策略（一）——自主招生考试物理试题解析姜建锋（作者原为华师大二附中物理教师现为ok学习网创办人）由于学校工作的需要，近十年来，我一直担任高三毕业班和理科实验班的物理教学工作。
我所在的华师大二附中，每年都有很多学生参加高校的自主招生考试，并且取得了非常好的的成绩，所以，近些年来，我一直对自主招生非常关注，也参与了部分自主招生考试的考前辅导工作。
每年高三一开学，就陆续有学生打听自主招生的相关政策以及考试内容。
由于各高校自主招生考试的没有固定的考试大纲，考试过后试卷又不对外公开，所以，外界很难了解到考试的具体内容，这给学生备考带来较大的困难。
作为老师，一方面我很理解高校的这一做法，它有利于打破应试教育的怪圈；但同样作为老师，我又想很想了解高校自主招生的试题，希望在关键的时候能给学生有效的指导。
以免学生在应对自主招生的过程中过于盲目，花费过多不必要的时间和精力。
为了获取准确、完整的资料，每年各高校的自主结束后，我都会找来参加考试的考生，向他们了解、打听考试的题型和题目，平时我也注意通过互联网或从同事处获取相关资料并加以研究。
所以，我对近些年部分高校自主招生考试的内容和风格有了一个较为准确、全面的了解。
自主招生试卷完全由大学老师命题，针对的又是全国各地的优秀高中生，所以出题难度和范围并不严格受高考考纲限制。
就难度而言，大部分高校自主招生的物理试卷比高考略难，不少题目接近全国中学生物理竞赛预赛卷的水平。
不过，从近些年的命题趋势看，考试难度总体而言是逐年降低的。
这也许跟自主招生选拔的范围和人数逐年扩大、增多有关。
有些学校更注重考查学生的综合素质和创新实践等能力，笔试的难度已经和高考相当了，对很多没有竞赛经历的同学而言，高校自主招生考试并非遥不可及。
特别值得注意的是考试范围。
由于基本上同一所高校的自主招生试卷是全国统一的，所以对于上海的同学而言，一定要注意上海高考考纲与全国高考考纲的差异性，对某些知识点要有针对性地进行补充，才能有的放矢，在短时间内做些有效的准备。
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．4．（3分）关于x、y的方程组有组解．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为40．【解答】解：∵当x＝2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×27+b×25+22+2+12＝﹣8，∴a×27+b×25＝﹣26．当x＝﹣2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×（﹣2）7+b×（﹣2）5+（﹣2）2+（﹣2）+12＝﹣a×27﹣b×25+22﹣2+12＝﹣（a×27+b×25）+4﹣2+12＝26+14＝40．故答案为40．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东60度的方向沿直线前往B处救援．【解答】解：如图，连接BC．由题意，可知∠BAS＝90°，AB＝10海里，∠SAC＝30°，AC＝10海里．∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝120°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴∠NCB＝90°﹣∠BCD＝60°．故答案为60．4．（3分）关于x、y的方程组有2组解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程x x﹣y＝y x+y得y﹣2（x﹣y）＝y x+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是2．【解答】解：（a+b+c）2﹣b2﹣c2+2bc＝20，（a+b+c）2＝（b﹣c）2+20，∵（b﹣c）2≥0，∴（b﹣c）2+20≥20，∵（a+b+c）2≥20．且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥2，既a+b+c的最小值是2．故答案为：2．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为y≥69．【解答】解：∵当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，a＞0，∴x＝﹣＝≤﹣2，∴p≤﹣8，∴当x＝p时，y＝2p2﹣p2+5＝p2+5，∴对应的y的值的取值范围为：y≥69．故答案为：y≥69．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：设DE，DF分别交AC于N，M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△AMD∽△CMF，∴，∵F是BC的中点，∴AD＝BC＝2FC，∴＝2，同理：△AEN∽△CDN，∵E是AB的中点，∴＝2，∴AN＝MN＝CM＝AC，∵S△ACD＝S正方形ABCD＝×1＝，∴S△DMN＝S△ACD＝×＝，S△ADM＝S△ACD＝×＝，∵，∴S△CFM＝×＝，同理：S△AEN＝，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEN﹣S△CFM﹣S△DMN＝1﹣﹣﹣＝．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝16．【解答】解：设EF＝x，BF＝y，∵FE+EO＝8，∴OE＝8﹣x，而AB＝16，O为边AB的中点，∴OF＝8﹣y，∵EF⊥AB，∴∠OFE＝90°，∴OE2＝OF2+EF2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+x2，∴16x＝16y﹣y2，又∵∠ABC＝∠BAD＝90°，即AD∥EF∥BC，∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，∴，，∴①，②，①+②得，，∴AD+BC＝16x •＝16，故答案为：16．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为，，，…，．【解答】解：根据题意，得1 2 34操作次数变化点重合点11由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为，．所以原题答案为，，…，．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．【解答】解：依题设≥M，x≥M，y+≥M，∴，，M，∴M2≤2，y＝，y+＝，∴M＝，M的最大值是．故答案为：．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．【解答】解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：（x1+x2+x3+x4）÷x2＝1+（x1+x3+x4）÷x2＝N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2＝N﹣1，因为他们的首位数字相同，所以N﹣1应该在3附近，又因为x2＜x3＜x4，所以（x1+x3+x4）÷x2＝4，同理（x1+x2+x4）÷x3＝3，（x1+x2+x3）÷x4＝2；则4x3＝5x2＝3x4；由5x2＝3x4可得2x2＝3（x4﹣x2），因为x4和x2的首位数字相同，所以x4﹣x2最大为99，即x2最大为148，且由4x3＝5x2＝3x4可以知道，x2应该能被12整除，故x2可以为108，120，132，144；进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；所以x2只能取为x2＝108，从而x3＝135，x4＝180，x1＝117，即这四个数是117，108，135，180．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．【解答】解：连接OB、OC、OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°，而AH⊥OP，∴∠PHA＝90°，∴Rt△P AH∽Rt△POA，∴P A：PO＝PH：P A，即P A2＝PH•PO，又∵PBC为⊙O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PH•PO＝PB•PC，∴△PBH∽△POC，∴∠PBH＝∠POC，＝，即＝①，∴点H、B、C、O四点共圆，∴∠HOB＝∠HCB，∴△PBO∽△PHC，∴＝，即＝②，由①②得＝，即＝，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∵在Rt△OAP中，∠APO＝30°，则OP＝2OA，∴＝．。
上海市华师大二附中历年复旦、交大自主招生应试策略与高三物理试卷解读
历年复旦、交大自主招生应试策略与物理试卷解读〔华师大二附中姜建锋〕————————————————————————————————————————————一、“三个一定不能〞一定不能盲目！一定不能毫无准备！一定不能让高考总复习和应对自主招生考试之间的关系失衡。
二、了解才能应对由于自主招生试卷完全由大学教师命题，针对的又是全国各地的优秀高中生，所以出题难度和范围并不严格受高考考纲限制。
就难度而言，大局部高校自主招生的物理试卷比高考略难。
但从近些年的命题趋势看，考试难度总体而言是逐年降低的。
特别值得注意的是考试范围，由于同一所高校的自主招生试卷全国是统一的，所以对于某某的同学而言，一定要注意某某高考考纲与全国高考考纲的差异性，对某些知识点要有针对性的进展补充，才能有的放矢，在短时间内做些有效地准备。
三、试卷解读2008年复旦选拔测试试卷物理局部有16题，共80分，占总分的8%。
考察的知识点涉与：理想气体的状态方程〔两题〕、牛顿运动定律〔两题〕、匀减速直线运动、机械波、双缝干预实验、光电效应、光的折射〔两题涉与〕、动量定理、静电平衡状态〔两题〕、波尔的原子理论、变力作功、内能等参照2008年某某的高考大纲，至少有7道题目属超纲题，约占44%。
知识点覆盖呈现出很大的随意性！某某交大2008年冬令营物理考试物理局部也是16题，但为一张独立考试卷，总分为100分。
考察的知识点设涉与：胡克定律、变力作功、简谐振动的图像、多普勒效应、密立根油滴实验、电磁感应、电动势的物理意义、洛伦兹力〔两题涉与〕、电容器、玻尔的原子理论、气体的液化、功能原理、爱因斯坦光电效应方程、平动平衡与转动平衡的综合应用、宇宙速度、人造地球卫星、能量的转化与守恒、水的饱和蒸汽压、道尔顿分压定律等参照2008年某某的高考大纲，至少有12道题目属超纲题，约占75%。
由于题型丰富，可以明显看出，交大试卷的知识覆盖面更广。
四、两个例子例1〔某某交通大学2008年冬令营物理考试第7题〕：如下列图，质量为m ，带电量为q 的粒子，在重力作用下由静止下落h 高度后垂直进入一高度为L 的匀强磁场区域，磁感应强度方向垂直纸面向内，大小为B 。
最新华师大二附中考自主招生数学试题
众上所述，我们认为：我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。
标题：大学生“负债消费“成潮流2004年3月18日
但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富，李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人，他们的成功表述一个简单的道理：如果你有能力，你可以从身无分文变成超级富豪；如果你无能，你也可以从超级富豪变成穷光蛋。我们认为：创业是一个整合的过程，它需要合作、互助。大学生创业“独木难支”。在知识经济时代，事业的成功来自于合作，团队精神。创业更能培养了我们的团队精神。我们一个集体的智慧、力量一定能够展示我们当代大学生的耐心.勇气和坚强的毅力。能够努力克服自身的弱点，取得创业的成功。
他们的成功秘诀在于“连锁”二字。凭借“连锁”，他们在女孩们所喜欢的小玩意上玩出了大名堂。小店连锁，优势明显，主要有：
（一）现的□上网□
上海市华东师范大学第二附属中学2022届高三上学期9月月考数学试题(详解版)
一、填空题
1 计算 _____________．
2 已知全集 ， ， ，则 =_______
3.复数 的虚部为___________．
4.不等式 的解集是___________.
5.已知 的展开式的常数项为60，则 ______.
6.已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对称，若 ，则 __________．
9.已知函数 的图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，且 在 上恰有3个零点，则 ___________.
10.已知无穷等比数列 ，公比 满足 ， ，求实数 的取值范围________
11.设数列 满足 ， ， ，数列前n项和为 ，且 （ 且 ），若 表示不超过x的最大整数， 数列 的前n项和为 ，则 _____________．
【详解】由题意，函数
=
，
因为函数 的图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
要使 在 上恰有3个零点，
则 与 恰有3个交点，
当 时， ，此时 ，
则 ，即 .
故答案为： .
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
【答案】 .
【分析】利用集合的补集和交集运算求解.
【详解】因为全集 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
故答案为： .
3.复数 的虚部为___________．
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．4．（3分）关于x、y的方程组有组解．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为40．【解答】解：∵当x＝2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×27+b×25+22+2+12＝﹣8，∴a×27+b×25＝﹣26．当x＝﹣2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×（﹣2）7+b×（﹣2）5+（﹣2）2+（﹣2）+12＝﹣a×27﹣b×25+22﹣2+12＝﹣（a×27+b×25）+4﹣2+12＝26+14＝40．故答案为40．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东60度的方向沿直线前往B处救援．【解答】解：如图，连接BC．由题意，可知∠BAS＝90°，AB＝10海里，∠SAC＝30°，AC＝10海里．∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝120°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴∠NCB＝90°﹣∠BCD＝60°．故答案为60．4．（3分）关于x、y的方程组有2组解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程x x﹣y＝y x+y得y﹣2（x﹣y）＝y x+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是2．【解答】解：（a+b+c）2﹣b2﹣c2+2bc＝20，（a+b+c）2＝（b﹣c）2+20，∵（b﹣c）2≥0，∴（b﹣c）2+20≥20，∵（a+b+c）2≥20．且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥2，既a+b+c的最小值是2．故答案为：2．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为y≥69．【解答】解：∵当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，a＞0，∴x＝﹣＝≤﹣2，∴p≤﹣8，∴当x＝p时，y＝2p2﹣p2+5＝p2+5，∴对应的y的值的取值范围为：y≥69．故答案为：y≥69．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：设DE，DF分别交AC于N，M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△AMD∽△CMF，∴，∵F是BC的中点，∴AD＝BC＝2FC，∴＝2，同理：△AEN∽△CDN，∵E是AB的中点，∴＝2，∴AN＝MN＝CM＝AC，∵S△ACD＝S正方形ABCD＝×1＝，∴S△DMN＝S△ACD＝×＝，S△ADM＝S△ACD＝×＝，∵，∴S△CFM＝×＝，同理：S△AEN＝，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEN﹣S△CFM﹣S△DMN＝1﹣﹣﹣＝．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝16．【解答】解：设EF＝x，BF＝y，∵FE+EO＝8，∴OE＝8﹣x，而AB＝16，O为边AB的中点，∴OF＝8﹣y，∵EF⊥AB，∴∠OFE＝90°，∴OE2＝OF2+EF2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+x2，∴16x＝16y﹣y2，又∵∠ABC＝∠BAD＝90°，即AD∥EF∥BC，∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，∴，，∴①，②，①+②得，，∴AD+BC＝16x •＝16，故答案为：16．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为，，，…，．【解答】解：根据题意，得1 2 34操作次数变化点重合点11由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为，．所以原题答案为，，…，．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．【解答】解：依题设≥M，x≥M，y+≥M，∴，，M，∴M2≤2，y＝，y+＝，∴M＝，M的最大值是．故答案为：．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．【解答】解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：（x1+x2+x3+x4）÷x2＝1+（x1+x3+x4）÷x2＝N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2＝N﹣1，因为他们的首位数字相同，所以N﹣1应该在3附近，又因为x2＜x3＜x4，所以（x1+x3+x4）÷x2＝4，同理（x1+x2+x4）÷x3＝3，（x1+x2+x3）÷x4＝2；则4x3＝5x2＝3x4；由5x2＝3x4可得2x2＝3（x4﹣x2），因为x4和x2的首位数字相同，所以x4﹣x2最大为99，即x2最大为148，且由4x3＝5x2＝3x4可以知道，x2应该能被12整除，故x2可以为108，120，132，144；进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；所以x2只能取为x2＝108，从而x3＝135，x4＝180，x1＝117，即这四个数是117，108，135，180．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．【解答】解：连接OB、OC、OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°，而AH⊥OP，∴∠PHA＝90°，∴Rt△P AH∽Rt△POA，∴P A：PO＝PH：P A，即P A2＝PH•PO，又∵PBC为⊙O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PH•PO＝PB•PC，∴△PBH∽△POC，∴∠PBH＝∠POC，＝，即＝①，∴点H、B、C、O四点共圆，∴∠HOB＝∠HCB，∴△PBO∽△PHC，∴＝，即＝②，由①②得＝，即＝，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∵在Rt△OAP中，∠APO＝30°，则OP＝2OA，∴＝．。
2019华东师范大学第二附属中学数学自主招生试卷
第1页共3页
9. ABC 中，a、b、c 均为自然数且 a b c ， a2 b2 c2 ab ac bc 13 ，求周长小 于 30 的 ABC 有多少个？
x, 若x为无理数
10.
f
(x)
q
1 , 若x p
q p
,
p, q
N*,
且p, q互质, q
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参考答案
1. a 3 ， b 6 ， a b 2 3 6
3
6
6
2. (a b 1)2 2c2 ， | a b 1| 2 | c | ， a b 1 ， c 0 ， a b c 1
3. a 1 ， b 0 ， c 1 ，答案为 0 或 2
4. 设直径为 d， (d 40)2 3d 2 13.75 240 d 20 ，边长为 60 4
，求
4x
4z
1
.
第2页共3页
14. 锐角 ABC 中，D、E 是 BC 上的点， ABC 、 ABD 、 ADC 外心为 O、P、Q， 求证：（1） APQ ∽ ABC ；（2）若 EO⊥PQ，则 QO⊥PE. 15. 函数 4x 5 y 20 与 x、y 轴相交于 A、B，l 与 AB、OA 交于 C、D 且平分 SAOB ，求 CD2 的最小值.
2019 年华二附中自招数学试卷
1.
f (x)
1x 2
x
1 3
，函数最大值为
a
，最小值为 b ，求
a
b
.
2. 有理数 a、b、c， a2 b2 1 2(c2 ab b a) ，求 a b c .
3. a 是最大负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 的倒数是 c，求 a2017 2018b c2019 .
历年复旦、交大自主招生数学试题详解与应试指导
2009年北京大学自主招生试题(2009-01-03 17:22:16)语文试题一.写出两个成语,要求曲解它的意思(例：度日如年：日子过得很好，每天都像在过年;文不加点：文章不加标点)二.从语法角度分析下列病句错在何处1.我们都有一个家,名字叫中国2.素胚勾勒出青花笔锋浓转淡三.对联博雅塔前人博雅(注：博雅塔是北大校园内一处景物）三.翻译古文(20分)吴人之归有绮其衣者衣数十袭届时而易之而特居于盗乡盗涎而妇弗觉犹日炫其华绣于丛莽之下盗遂杀而取之盗不足论而吾甚怪此妇知绮其衣而不知所以置其身夫使托身于荐绅之家健者门焉严扃深居盗乌得取唯其濒盗居而复炫其装此其所以死耳天下有才之士不犹吴妇之绮其衣乎托非其人则与盗邻盗贪利而耆杀故炫能于乱邦匪有全者杜袭喻繁钦曰子若见能不已非吾徒也钦卒用其言以免于刘表之祸呜呼袭可谓善藏矣钦亦可谓善听矣不尔吾未见其不为吴妇也附原文：书杜袭喻繁钦语后[1]·（清）林纾吴人之归，有绮其衣者[2]，衣数十袭[3]，届时而易之。
而特居于盗乡，盗涎而妇弗觉[4]，犹日炫其华绣于丛莽之下[5]，盗遂杀而取之。
盗不足论，而吾甚怪此妇知绮其衣，而不知所以置其身。
夫使托身于荐绅之家[6]，健者门焉，严扃深居，盗乌得取？唯其濒盗居而复炫其装[7]，此其所以死耳。
天下有才之士，不犹吴妇之绮其衣乎？托非其人，则与盗邻，盗贪利而耆杀[8]，故炫能于乱邦，匪有全者。
杜袭喻繁钦曰：“子若见能不已[9]，非吾徒也。
”钦卒用其言，以免于刘表之祸[10]。
呜呼！袭可谓善藏矣，钦亦可谓善听矣。
不尔，吾未见其不为吴妇也。
四.阅读理解是一篇选自鲁迅《野草》的文章,要求指出很多意像的象征意义求乞者我顺着剥落的高墙走路，踏着松的灰土。
另外有几个人，各自走路。
微风起来，露在墙头的高树的枝条带着还未干枯的叶子在我头上摇动。
微风起来，四面都是灰土。
一个孩子向我求乞，也穿着夹衣，也不见得悲戚，近于儿戏；我烦腻他这追着哀呼。
复旦附中自招真题解析
D
sin DAQ
立
APO OEB BOE AOP AO AP x ，
智
24 ， 25
立 方
【解析】 （1） cos DAB cos B
52 52 62 7 2 52 25
上
y
sin DAQ AQ AO AP 2
k 2 k 2 2 2 k 1 4 2 k 1 2k 2 2k 5 k 2 为完全平方数， 2 2
k 4 、 3 、 1 ，验证成立，于是 m 2 、
两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为____________．
部 资
A
料
， 严
13. 设 n n 10 个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何
1
2
O 60
3
立 方
内
1
5
O B 【答】5 【解析】首先有五架飞机在 O 降落是可以构造的，只需 O 为正五边形 ABCDE 的中心， 其他飞机场在较远处即可． 其次证明不可能有六架飞机在 O 降落， 如图，对于任意一个飞机场 O 考虑它 60 夹角方向，若区域内有 A 、 B 两飞机场， 则 AOB 60 ，若 A 、 B 同时飞往 O ，则 AO AB ， BO AB ， AB 为 AOB 最大边， AOB 为最大角矛盾； 于是对飞机场 O ，在夹角为 60 的区域内最多有一架飞机． 若存在六架 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 飞机飞到点 O ，以 OA 为边界将点 O 的圆周角 6 等分，则形成如图五块区域，每块区域内最多一架飞机，与六架飞机飞到点 O 矛盾．
【华师大二附中 范端喜】历年复旦、交大自主招生数学试题详解与应试指导-第5讲：函数(1)
第五讲：函数
授课教师：范端喜
第一部分概述
函数是自主招生的一个非常重要内容！
⏹就近几年来，本人作了一个统计，复旦和交大自主招生中有关函数的内容大约占20%
—30%。
⏹其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（
值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、
简单的函数方程、方程的不动点问题、函数的图像及解析式等。
而其中特别提醒同学们注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
第二部分：知识补充：
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
结论：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数y=f(x)零点的判断方法：
1、方程法：解方程f(x)=0，得函数y=f(x)的零点。
2、图象法：画出函数y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标就是y=f(x)的零点。
3、定理法：函数在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a) 〃f(b)<0。
例1：若函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1的两个零点中，一个在0和1之间，另一个在1和2之间，求k的取值范围。
三次方程的韦达定理
第三部分：真题精析1、方程根的问题。