高等数学 傅里叶级数

sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么?
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
若有
f
(x)
a0 2
(ak
t x,
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
正交 : 任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos
nxdx
0,
sin
nxdx
0,
(n 1,2,3,)
n 2k, k 1,2,
所求函数的傅氏展开式为
u(t)
4Em
sin(2n 1)t
n1 (2n 1)
( t ;t 0,,2,)
注意: 对于非周期函数,如果函数 f ( x) 只在 区间[, ] 上有定义,并且满足狄氏充
分条件,也可展开成傅氏级数.
作法:
周期延拓(T 2) F ( x) f ( x) (, )
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
a0 2
cos nxdx
[ak
cos
kx
cos
nxdx
bk
sin
kx
cos
nxdx
]
k 1
an cos2 nxdx an,
an
1
f
( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
(3) 求bn .
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
[ak
cos
kx
sin
nxdx
bk
an
1
f ( x)cos nxdx
1
0
(
x)cos
nxdx
1
0
x
cos
nxdx
2 n2
(cos
n
1)
2 n2
[(
1)
n
1]
(2k
4
1)2
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
bn
1
f ( x)sin nxdx
1
0
(
x)sin
nxdx
1
0
x
sin
端点处收敛于1[ f ( 0) f ( 0)] 2
例2
将函数
f
(
x
)
x,
x,
x0 0 x
展开为傅立叶
级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在 [, ]
y
收敛于f ( x) .
2 0 2 x
a0
1
f ( x)dx
1
0
(
x)dx
1
0
xdx
,
(2)当x 是 f ( x)的间断点时,收敛于 f ( x 0) f ( x 0) ; 2
(3) 当x 为端点x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形 u
u(t ) EEmm, ,
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
sin
kx
sin
nxdx]
bn,
k 1
bn
1
f
( x)sin nxdx
(n 1,2,3,)
傅里叶系数
an
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
0 t t 0
Em
o
t
将其展开为傅立叶级数. Em
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点t k(k 0,1,2,)处不连续.
收敛于 Em Em Em ( Em ) 0,
2
2
当t k时, 收敛于u(t). 和函数图象为
an
1
u(t)cos ntdt
Em
u
1
0
(Em ) cos ntdt
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
傅里叶级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
问题:
f
(x)
条件?
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
nxdx 0, (n 1,2,3,)
所求函数的傅氏展开式为
f
(x)
2
4
n1
1 (2n 1)2
cos( 2n
1)x
(
x
)
利用傅氏展开式求级数的和
o
Em
t
1
0 Em cos ntdt
0
(n 0,1,2,)
bn
1
u(t)sin ntdt
1
0
(
Em
)
sin
ntdt
1
0 Em sin ntdt
2Em (1 cos n) 2Em [1 (1)n ]
n
n
4Em (2k 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
3
5
(7 t , t 0)
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f (t) A0 An sin(nt n ) 谐波分析
n1
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt)
n1
令
a0 2
A0 ,
an An sin n , bn An cos n ,
k 1
cos kx
Hale Waihona Puke Baidu
bk
sin kx)
(1) 求a0 .
f
( x)dx
a0 2
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 dx 2
ak cos kxdx k 1
bk sin kxdx k 1
a0 2, 2
a0
1
f
( x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx