圆的切线性质及判定
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
4.
如图，△ABC 内接于⊙O，点 D 在 OC 的延长线上，sin B 1 ＝ ，∠D＝30° . 2 (1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若 AC＝6，求 AD 的长．
解：(1)证明：如图，连接 OA， 1 ∵sin B＝ ，∴∠B＝30° ， 2 ∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60° ， ∵∠D＝30° ， ∴∠OAD＝180° －∠D－∠AOC＝90° ， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA＝OC，∠AOC＝60° ， ∴△AOC 是等边三角形，∴OA＝AC＝6， ∵∠OAD＝90° ，∠D＝30° ， ∴AD＝ 3AO＝6 3.
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判
6. 如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA
到 E，使AE＝AB，连接ED.
(1)求证：直线ED是⊙O的切线； (2)连接EO交AD于点F，求证： EF＝2FO.
解：(1)证明：连接 OD. ∵四边形 ABCD 为正方形， AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD， ∠EAD＝∠DAB＝90° . ∴∠EDA＝45° ，∠ODA＝45° . ∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90° . ∴直线 ED 是⊙O 的切线． (2)作 OM⊥AB 于 M. ∵O 为正方形的中心，∴M 为 AB 的中点． ∴AE＝AB＝2AM，AF∥OM. EF AE ∴FO＝AM＝2，∴EF＝2FO.
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线判定1.1 引入：通过实际问题引入圆的切线判定定理。
1.2 讲解：讲解圆的切线判定定理，即圆外一点与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
1.3 例题：讲解几个典型的圆的切线判定例题，让学生理解并掌握切线判定定理。
1.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线判定定理进行解答。
第二章：圆的切线性质2.1 引入：通过实际问题引入圆的切线性质。
2.2 讲解：讲解圆的切线性质，即切线与半径垂直，切线长度等于半径长度。
2.3 例题：讲解几个典型的圆的切线性质例题，让学生理解并掌握切线性质。
2.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线性质进行解答。
第三章：圆的切线方程3.1 引入：通过实际问题引入圆的切线方程。
3.2 讲解：讲解圆的切线方程的求法，即利用切点坐标和半径长度求解切线方程。
3.3 例题：讲解几个典型的圆的切线方程例题，让学生理解并掌握切线方程的求法。
3.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线方程进行解答。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 引入：通过实际问题引入圆的切线与圆的位置关系。
4.2 讲解：讲解圆的切线与圆的位置关系的判定方法，即切线与圆相切、相离、相交的判定。
4.3 例题：讲解几个典型的圆的切线与圆的位置关系例题，让学生理解并掌握切线与圆的位置关系的判定。
4.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线与圆的位置关系的判定进行解答。
第五章：圆的切线综合应用5.1 引入：通过实际问题引入圆的切线综合应用。
5.2 讲解：讲解圆的切线在实际问题中的应用，如求解几何问题、设计图案等。
5.3 例题：讲解几个典型的圆的切线综合应用例题，让学生理解并掌握切线在实际问题中的应用。
5.4 练习：给出一些练习题，让学生运用切线综合应用进行解答。
第六章：圆的切线与圆的切点6.1 引入：通过实际问题引入圆的切线与圆的切点。
6.2 讲解：讲解圆的切线与圆的切点的关系，即切线与圆的切点是切线与圆的唯一交点。
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解切线的定义和特点展示圆的切线示意图，让学生理解切线与圆的关系1.2 圆的切线判定条件讲解圆的切线的判定条件通过示例和练习，让学生掌握如何判断一条直线是否为圆的切线第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质介绍圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等展示切线性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质2.2 圆的切线定理讲解圆的切线定理，如切线定理、切线长定理等通过示例和练习，让学生掌握切线定理的应用和证明方法第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义和特点讲解圆的切线方程的定义和特点展示切线方程的示意图，让学生理解切线方程的形式和含义3.2 圆的切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程通过示例和练习，让学生掌握求解切线方程的方法和技巧第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切讲解圆的切线与圆相切的情况和特点展示切线与圆相切的示意图，让学生理解切线与圆的切点、切线与半径的关系4.2 圆的切线与圆相离讲解圆的切线与圆相离的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与圆的位置关系第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线与圆的切点应用讲解如何利用切点性质解决问题，如求解切线长度、切线与半径的关系等通过示例和练习，让学生掌握切点性质的应用方法5.2 圆的切线与圆的方程应用讲解如何利用切线方程解决问题，如求解切线方程、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线方程的应用方法第六章：圆的切线与圆的交点应用6.1 圆的切线与圆的交点性质讲解圆的切线与圆的交点的性质，如切线与圆的交点与圆心连线垂直、交点到圆心的距离等于半径等展示切线与圆的交点性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质6.2 圆的切线与圆的交点应用讲解如何利用切线与圆的交点解决问题，如求解交点坐标、判断交点与圆的关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的交点的应用方法第七章：圆的切线与圆的切线应用7.1 圆的切线与圆的切线相交讲解圆的切线与圆的切线相交的情况和特点展示切线与切线相交的示意图，让学生理解切线与切线的交点、切线与半径的关系7.2 圆的切线与圆的切线平行讲解圆的切线与圆的切线平行的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与切线的位置关系第八章：圆的切线与圆的切线综合应用8.1 圆的切线与圆的切线相切讲解圆的切线与圆的切线相切的情况和特点展示切线与切线相切的示意图，让学生理解切线与切线的切点、切线与半径的关系8.2 圆的切线与圆的切线综合应用讲解如何利用切线与切线综合解决问题，如求解切线与切线的交点、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与切线综合的应用方法第九章：圆的切线与圆的应用实例9.1 圆的切线与圆的切割应用实例讲解圆的切线与圆的切割应用实例，如切割线段、切割角度等展示切割应用实例的示意图，让学生理解切割原理和应用9.2 圆的切线与圆的轨迹应用实例讲解圆的切线与圆的轨迹应用实例，如轨迹方程、轨迹图形等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的轨迹的应用方法第十章：圆的切线综合练习10.1 圆的切线综合练习题提供一系列圆的切线综合练习题，让学生巩固所学知识通过解答练习题，让学生提高解题能力和综合运用能力10.2 圆的切线综合练习解答提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握解题方法通过练习解答，让学生巩固知识，提高学习效果重点和难点解析一、圆的切线定义和判定（第一章）重点关注内容：圆的切线的定义和特点，以及如何判断一条直线是否为圆的切线。
圆的切线知识点总结
圆的切线知识点总结一、切线的定义在欧式几何中，对圆的切线有以下几种定义：1. 如果一条直线与圆相交于两点，那么这条直线就被称为圆的切线。
2. 一条直线与圆相交于圆上的一点，那么这条直线就是圆的切线。
3. 一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的切线。
这三种定义表达了切线与圆的位置关系，指出了切线与圆的相交情况以及位置特征。
二、切线的性质1. 切线与半径垂直圆的半径与切线的交点处相互垂直。
2. 切线定理若直线l与圆相切于点P，直线l与直径所夹的角为直角。
3. 切线长度相等过圆外一点作一切线与圆相交于A、B两点，连接线A、B，若CA=CB，则线段CA与线段CB构成圆的切线。
4. 切线的判定若直线l经过圆外一点，分别与圆上两点A、B相连，若线段AB的中点恰好是圆心O，那么直线l即为圆的切线。
5. 切线的唯一性圆外一点到圆的切线唯一。
以上是切线的主要性质，这些性质在解题时常常起到重要的作用，特别是在证明几何问题时，能够帮助我们理解和应用切线的知识。
三、切线与圆的位置关系1. 内切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，但直线上的其他点都在圆的内部，那么这条直线就是圆的内切线。
2. 外切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的外切线。
3. 相切线如果一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的相切线。
切线与圆的位置关系在解题时十分重要，通过分析切线和圆的位置关系，可以帮助我们求解许多几何问题。
四、切线的判定方法1. 切线与圆的位置关系我们可以通过切线与圆的位置关系来判断一条直线是否为圆的切线，如切线的定义所述，可以分析直线与圆的相交情况以及位置特征来判定切线。
2. 对于圆外一点到圆的切线的判定，我们可以利用中位线作图，利用几何思维判定出直线是否为圆的切线。
3. 切线定理的应用切线定理是判定切线的重要原理之一，通过利用切线定理，可以判定一条直线是否为圆的切线。
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
(2)推论1：经过圆心且 垂直于切线 的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且 垂直于切线 的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法 (1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需
添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线， 从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解， 或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1. AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，
若DA＝DC，求证：AB＝2BC.
∠BOD 是 BD 所对的圆心角，
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠P的度数； (2)求D切点，∴OC⊥PC，△POC 为直角三角形． ∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2， OC 1 ∴sin ∠P＝ PO＝ .∴∠P＝30° . 2 (2)∵BD⊥PD，∴在 Rt△PBD 中， 由∠P＝30° ，PB＝PA＋AO＋OB＝3， 3 得 BD＝ . 2 连接 AE.则∠AEB＝90° ，∴AE∥PD. ∴∠EAB＝∠P＝30° ，∴BE＝ABsin 30° ＝1， 1 ∴DE＝BD－BE＝ . 2
切线的定义和判定定理
切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。
以下是关于这个主题的详细解释。
一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。
在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。
切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。
切线与经过切点的半径垂直。
切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。
二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。
这是最直接的判定方法，也是最常用的。
判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。
这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。
判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。
这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。
在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。
同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。
在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。
在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。
通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。
此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。
因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。
切线的判定方法三种
切线的判定方法三种
三种判定方法：
1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆的切线的判定定理和性质定理
圆的切线的判定定理和性质定理教学目标：知识与技能目标：（1）能判断一条直线是圆的切线。
（2）会过圆上一点画已知圆的切线。
（3）能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题。
过程与方法目标：通过直线和圆位置关系，以关系中的“d=r推出直线和圆相切”为依据，探究切线的判定定理和性质定理。
情感、态度与价值观：经历探究圆与直线的位置关系，掌握图形的基础知识和基本技能，并解决简单的问题。
教学重点：探索圆的切线的判定定理和性质定理；并能运用它解决问题。
教学难点：探究圆的切线的判定定理。
教具准备：自制教具，课件教学活动设计：距离3，引出切线的教学活动二：教学新知一，探究切线的判定定理1，实验,：在纸上做圆的切线。
讨论判断的条件是什么？2，教师总结出切线的判定定理：经过半径的外端垂直于这条半径的直线是圆的切线。
板书在黑板上。
,3，引导结合图形学生用数学符号表述。
进行对定理的内容进行分析，强调两个条件：①经过半径的外端，②垂直于半径。
4，教学例题：（教材）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB,CA＝CB,求证：直线AB是⊙O的切线。
教师引导学生实验观察，、分析。
让学生自己画图探究圆的切线的判定定理。
学生分组讨论，总结出圆的切线判定定理的运用是：见切点连圆心，构造直角。
让学生自己动手实验，总结。
激发学生的学习兴趣。
通过例题教学引导学生运用知识。
小组讨论的合作学习模5，巩固练习：式，培养学生互助，合作的精神。
及时的巩固加深对知识的理解。
活动三：教学新知二，切线的性质定理⒈引导学生分析出切线的性质：已知：直线CD经过⊙O上的切线，切点为B,那么半径OB与直线CD垂直吗？学生回答问题，教师补充。
教师归纳出切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
教师板书在黑板上。
指导学生结合图形运用数学符号叙述定理。
对定理的内容进行分析，加深对切线性质的理解。
得出推论：①、经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。
②、经过切点垂直于切线的直线必经引导学生运用圆的轴对称性将圆对折，直线CD在OA的两边的部分重合，因此，∠OAC﹦∠OAD,所以，OA⊥CD教师指导思路，学生独立完成，教师板书解题格学生通过折纸上画的圆，观察现像，得出结论；或用反证法证明，加深对性质定理的理解。
切线的性质及判定
一、切线的性质及判定1．切线的性质2．切线的判定3． 切线长和切线长定理切线的性质及判定（）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．（）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．（）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（）证明圆切线辅助线的方法：①若给出直线与圆有公共点：连半径、证垂直；②若没给直线与圆的交点：做垂直、证半径；（）圆中证明角相等的方法：①同角（或等角）余角相等；爱智康2018/06/121122⇒AB AB M AB ⊥l ⇒AB AB ⊥l AB M ⇒AB ⊥l AB M AB 1231212②圆周角定理；③半径相等出等腰三角形；④平行线出同位角或内错角相等；⑤全等或相似三角形中的对应角相等；⑥在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等（常见于弧的等分点）。
（）给出圆的切线，作辅助线，连接过切点的半径，则半径垂直于切线．爱智康 2018/06/123。
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引导学生回顾圆的定义，理解圆上所有点到圆心的距离相等。
引入切线的概念：与圆相切且与圆心的连线垂直的直线。
1.2 圆的切线判定条件利用几何图形和实际情境，引导学生理解切线的判定条件。
判定条件1：直线过圆外一点，且与圆的切点在圆的直径上。
判定条件2：直线过圆内一点，且与圆的切点在圆的半径上。
第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质1：切线与半径垂直通过几何证明和实际情境，引导学生理解切线与半径垂直的性质。
引导学生运用性质1解决相关问题。
2.2 圆的切线性质2：切线与圆心连线垂直通过几何证明和实际情境，引导学生理解切线与圆心连线垂直的性质。
引导学生运用性质2解决相关问题。
第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义引导学生理解切线方程的概念：描述切线位置和方向的方程。
3.2 圆的切线方程的求法引导学生运用点斜式和一般式求解切线方程。
引导学生运用判定条件和性质求解切线方程。
第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切引导学生理解圆的切线与圆相切的概念。
引导学生运用判定条件和性质判断圆的切线与圆相切。
4.2 圆的切线与圆相离引导学生理解圆的切线与圆相离的概念。
引导学生运用判定条件和性质判断圆的切线与圆相离。
第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线长度引导学生理解圆的切线长度的概念。
引导学生运用切线性质和几何证明求解切线长度。
5.2 圆的切线与弦的关系引导学生理解圆的切线与弦的关系。
引导学生运用切线性质和几何证明解决相关问题。
第六章：圆的切线与圆的切点6.1 圆的切线与圆的切点的定义引导学生理解圆的切线与圆的切点的概念。
强调切线与圆的切点是切线与圆的唯一交点。
6.2 圆的切线与圆的切点的性质引导学生理解圆的切线与圆的切点的性质。
性质1：切线与圆的切点，圆心与切点的连线垂直。
性质2：切线与圆的切点，切线与半径的交点在圆心与切点连线上。
圆的切线判定和性质(教案)
圆的切线判定和性质(教案)章节一：圆的切线判定教学目标：1. 理解圆的切线的定义2. 学习圆的切线的判定方法教学内容：1. 圆的切线的定义2. 圆的切线的判定方法教学步骤：1. 引入圆的切线的定义，引导学生理解圆的切线与圆的关系。
2. 讲解圆的切线的判定方法，引导学生通过实例进行理解和掌握。
教学活动：1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的定义。
2. 组织学生进行小组讨论，探讨圆的切线的判定方法。
教学评价：1. 通过测试题检查学生对圆的切线的定义的理解。
2. 通过解答题检查学生对圆的切线的判定方法的掌握。
章节二：圆的切线性质教学目标：1. 理解圆的切线的性质2. 学习圆的切线的性质的证明和应用教学内容：1. 圆的切线的性质2. 圆的切线的性质的证明和应用教学步骤：1. 引入圆的切线的性质，引导学生理解圆的切线的性质。
2. 讲解圆的切线的性质的证明和应用，引导学生通过实例进行理解和掌握。
教学活动：1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的性质。
2. 组织学生进行小组讨论，探讨圆的切线的性质的证明和应用。
教学评价：1. 通过测试题检查学生对圆的切线的性质的理解。
2. 通过解答题检查学生对圆的切线的性质的证明和应用的掌握。
章节三：圆的切线方程教学目标：1. 理解圆的切线的方程2. 学习圆的切线的方程的求法教学内容：1. 圆的切线的方程2. 圆的切线的方程的求法教学步骤：1. 引入圆的切线的方程，引导学生理解圆的切线的方程的概念。
2. 讲解圆的切线的方程的求法，引导学生通过实例进行理解和掌握。
教学活动：1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的方程的概念。
2. 组织学生进行小组讨论，探讨圆的切线的方程的求法。
教学评价：1. 通过测试题检查学生对圆的切线的方程的理解。
2. 通过解答题检查学生对圆的切线的方程的求法的掌握。
章节四：圆的切线与圆的位置关系教学目标：1. 理解圆的切线与圆的位置关系2. 学习圆的切线与圆的位置关系的判定方法教学内容：1. 圆的切线与圆的位置关系2. 圆的切线与圆的位置关系的判定方法教学步骤：1. 引入圆的切线与圆的位置关系，引导学生理解圆的切线与圆的位置关系的概念。
圆切线的定理
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
圆的切线垂直于经过切点的半径。
圆的切线，切线的性质定理，圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
切线的性质定理的推论（1）经过切点垂直于切线的线段必是此圆的直径或半径。
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
线段DA垂直于直线AB BA为圆o的切线切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．关于圆的定理1、切线定理垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线长定理从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
3、切割线定理圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有pC^2=pA·pB 设ABP 是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT ²=PA·PB 4、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这
一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。
人教版高中数学选修4-1《2.3圆的切线的性质及判定定理》
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O B
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2） 过切点；（3）过圆心。
直线经过切点
切线垂直于半径
经过圆心
垂直于切线
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 直线经过切点
练一练
按图填空： (1). 如果AB是⊙O的切线， 那么 OA ⊥ AB. (2). 如果OA⊥AB，那 么AB是 ⊙O的切线
A
O
D E
.
B
F
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
几何语言：∵ l 相切⊙O于Ａ, A是切点, OA是⊙O的半径 ∴l ⊥OA. 提示：切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据; 作过切点的半径是常用辅助线之一.
圆的切线的性质及判定定理 课件
证明：连接OQ. ∵QR是⊙O的切线， ∴OQ⊥QR. ∵OB＝OQ， ∴∠B＝∠OQB. ∵BO⊥OA， ∴∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ， ∠PQR＝90°－∠OQP， ∴∠RPQ＝∠PQR， ∴RP＝RQ
1．分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间 的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件 中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点； ③过圆心．于是，在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切 点的半径．
PA=AO=OB=1. (1)求∠P的度数. (2)求DE的长. 解析：(1)如图，连接OC. ∵点C为切点， ∴OC⊥PC，△POC为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin∠ p OC 1 ,
PO 2
∴∠P=30°
(2)∵BD⊥PD, ∴在Rt△PBD中，由∠P=30°， PB=PA+AO+OB=3,得BD= 3 .
A．∠1＝∠2＝∠3 B．AM·CN＝CM·BN C．CM＝CD＝CN D．△ACM∽△ABC∽△CBN
5．如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E、 F、G，P是 EG 上任意一点，则∠EPF的度数等于( C )
A．120° B．90° C．60° D．30°
6．如图所示，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°， AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等 于( A )
解析：连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在 Rt△AOP 中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝ 3. 答案： 3
9．PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝5，在劣弧 AB上取一点 C，过C作⊙O的切线， 分别交PA、PB于D、E两点，则△PDE
圆的切线的性质及判定定理 课件
[解题过程] (1)证明：依据题意，得 a＋b＝c＋4，ab＝4(c＋2)， 则 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2×4(c＋2)＝c2， 所以△ABC 是直角三角形．
(2)∵∠C＝90°，tan A＝ab＝34， ∴不妨设 a＝3k，b＝4k，则 c＝5k(k>0)， 代入 a＋b＝c＋4，得 k＝2. ∴a＝6，b＝8，c＝10. 连接 OE，得 BC∥OE. ∴OBCE＝AAOB，即O6E＝10－10OE.解得 OE＝145. 在 Rt△AOE 中，tan A＝OAEE＝34，∴AE＝5.
[规律方法] 用切线的性质定理求解线段的长度时，应注 意哪些问题？
(1)如果已知三边的一元二次方程，可利用韦达定理建立起 三角形的三边之间的关系；
(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解 时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的 方法．
(江苏高考)AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB
[思路点拨]
[解题过程] 如图所示，连接OA、OB、OC．
∵PA和PB分别切⊙O于点A和B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∴∠AOB＝180°－∠APB＝140°. ∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
又∵∠PAO＝90°， 在 Rt△CDO 与 Rt△ADO 中， 有 OD＝DO，CO＝AO， ∴△CDO≌△ADO.
∴∠COD＝∠AOD＝12∠COA． 同理可证，∠COE＝∠BOE＝12∠COB．
∴∠DOE＝12(∠COA＋∠COB)＝12×140°＝70°.
[规律方法] (1)如何利用切线性质定理及推论求解有关角 的问题？