切线的性质和判定
切线的性质与判定
P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
切线的判定和性质
切线的判定和性质
切线的性质与判定
1.主要性质
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
其中（1）是由切线的定义得到的，（2）是由直线和圆的位置关系定理得到的，（6）是由相似三角形推得的，也就是切割线定理。
2.判定
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。
圆切线的性质及判定
圆切线的性质及判定一．切线的判定方法：⑴．切线的定义：与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线。
⑵．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二．辅助线规律：（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直简称：“有点，连接，证垂直”。
即当条件中已知直线与圆有公共点时，利用“⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。
（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径简称：“无点，作垂线，证（等于）半径”。
即当条件没有告诉直线与圆有公共点时，利用“（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；”证明。
三．例题讲析：例1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB求证：直线AB是⊙O的切线。
例2. 如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米求证：AB与⊙O相切例3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°.求证：DC是⊙O的切线。
例4. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB。
例5. 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD求证：DC是⊙O的切线。
例6. 如图，A是⊙O外一点，连OA交⊙O于C，过⊙O上一点P作OA的垂线交OA于F，交⊙O于E，连结PA，若∠FPC=∠CPA.求证：PA是⊙O的切线例7. 如图，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E求证：DE与⊙O相切例8. 如图，已知AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=EB，E点在BC上。
求证：PE是⊙O的切线。
四．练习：1、如图7，AB为⊙O直径，PA、PC为⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°（1）求∠P大小。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
切线的判定与性质
解：连接OC
∵ CB切⊙O于C ∴ OC ⊥ BC
O D
B
在Rt△BOC中∠B＝30°OB＝6
C
∴ OC=3
3 3 ∴ BC= OB2 OC2 = 注：在已知圆的切线时常 连接过切点的半径
挑战自我
如图在直角梯形ABCD中∠B=90°AD∥BC ∠C= 30° AD=1AB=2. 试猜想在BC是否存在一点P使得⊙P与 线段CD、AB都相切如存在请确定⊙P的半径;如不存在 请说明理由
小结
例1与例2的证法有何不同
D
B
O
连接OC A
O 过O作OE⊥AC
交点C已给出
A
B
C
E
于E交点E未给出
C
1如果已知直线与圆有公共点则连接这点和圆心得
到辅助半径再证所作半径与这直线垂直简记为：有
交点连半径证垂直用判定定理证
2如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点则过圆 心作直线的垂线段为辅助线再证垂线段长等于半径 长简记为：无交点作垂直证半径用数量法d=r证
垂直于这条半径的的外直端线点是A 圆的切线
条件二：直线l 垂直于半径OA
切线的判定定理 经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何符号表达：
∵ OA是半径 OA⊥l 于A ∴ l是⊙O的切线
O l
A
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线 × 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线 × 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ×
2、数量法d=r ： 圆心到 直线的距离等于半径的 直线是圆的切线
相切 d=r
切线具有什么性质
１、切线和圆只有一个 公共点 ２、圆心到切线的距离 等于半径
切线的性质和判定最新课件
段，再证明这条垂线段等于圆旳半径。（作垂直，证半径）
3. 圆旳切线性质定理：圆旳切线垂直于圆旳半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
总结：
1.切线和圆只有一种公共点. 2.切线和圆心旳距离等于半径. 3.切线垂直于过切点旳半径. 4.经过圆心垂直于切线旳直线必过切点. 5.经过切点垂直于切线旳直线必过圆心.
∴AC与⊙O相切
课堂小结
1. 鉴定切线旳措施有哪些？
与圆有唯一公共点
l是圆旳切线
直线l 与圆心旳距离等于圆旳半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆旳切线 l是圆旳切线
2. 常用旳添辅助线措施？
⑴直线与圆旳公共点已知时，作出过公共点旳半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆旳公共点不拟定时，过圆心作直线旳垂线
A
O
E C
小结
例1与例2旳证法有何不同?
O A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)假如已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。
(2)假如已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线旳垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
∵ AB为直径
A
∴ OB=OA， ∵BP=PC， ∴OP∥AC。
O
E B PC
又∵ PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0旳切线。
例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
D
B
人教版九年级上册切线的判定和性质
分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ AB⊥OC ∵ OC是☉O的半径 ∴ AB是☉O的切线
O
A
C
B
例2 如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以 O为圆心，OD为半径作☉O. 求证：☉O与AC相切.
分析：已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点，可过圆心作这条直线 的垂线段，再证明垂线段的长等于半径.
直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
情境引入
生活中常看到切线的实例，转动雨伞时飞出的雨滴， 用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿切线方向飞出的.
如何判断一条直线是否为切线呢？
探究新知
连半径，作垂线
问题：已知☉O上一点A，你能过这一点作出☉O的切线吗？
切线的判定定理 归纳 简记为：有交点，连半径，证垂直.
如图，AB是☉O的直径，直线l1、l2是☉O的切线，A、B是切点，直线l1、l2有怎样的位置关系？ 如2题图，点B在☉O上，若∠O=68.
∴ 直线l是☉O的切线
O l
A
注意 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
方法归纳
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
A
T
小试牛刀
2.如图，点B在☉O上，若OB=5, AO=13, AB=12，则直线AB和☉O 相切吗？
B
O
A
3.如2题图，点B在☉O上，若 ∠O=68.5°,∠A=21°30′，则直线 AB和☉O相切吗？
典例精讲
例1 如图，直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是☉O的切线，下列选项，能使过
中考专题复习之切线的判定与性质
中考专题复习之切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：【例1】如图，AC 为⊙O 的直径，B 是⊙O 外一点，AB 交⊙O 于E 点，过E 点作⊙O 的切线，交BC 于D 点，DE ＝DC ，作EF ⊥AC 于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）EM ＝FM 。
分析：（1）由于AC 为直径，可考虑连结EC ，构造直角三角形来解题，要证BC 是⊙O 的切线，证到∠1＋∠3＝900即可；（2）可证到EF ∥BC ，考虑用比例线段证线段相等。
证明：（1）连结EC ，∵DE ＝CD ，∴∠1＝∠2 ∵DE 切⊙O 于E ，∴∠2＝∠BAC ∵AC 为直径，∴∠BAC ＋∠3＝900∴∠1＋∠3＝900，故BC 是⊙O 的切线。
（2）∵∠1＋∠3＝900，∴BC ⊥AC 又∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BC∴CDMFAD AM BD EM == ∵BD ＝CD ，∴EM ＝FM【例2】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是⊙O 的切线。
分析：由于⊙O 与AC 有无公共点未知，因此我们从圆心O 向AC 作垂线段OE ，证OE 就是⊙O 的半径即可。
证明：连结OD 、OA ，作OE ⊥AC 于E∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴AO 是∠BAC 的平分线 ∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB 又∵OE ⊥AC ，∴OE ＝OD∴AC 是⊙O 的切线。
【例3】如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，OA ＝r 。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求OC AD ⋅的值；（3）若AD ＋OC ＝r 29，求CD 的长。
切线的性质和判定
┐
l
2、直线和圆相切 3、直线和圆相交
d = r
d < r
．ｏ d r ┐
l
．O d r ┐
l
O
l
A
O l A
上图中直线是不是圆的切线？
切线的判定定理
经过半径的外端,并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
∵AB是⊙O的直径,直线 CD经过A点,且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是：
A
B
O
C
D
已知AB是直径，BC是切线，AC交圆 O于点D，点E是BC的中点。 求证：DE是圆O 的切线
D C E B
A
●
O
作业：
课本101 3、4、10Leabharlann 学案第二课时内容B
●
O
直线和圆相切。 的另一种说法。
d=r
C
A
D
切线的判定方法(三种)：
①直线与圆有唯一公 共点； ②直线到圆心的距离 等于该圆的半径 ③切线的判定定理．
直线AB经过圆O上的C，并且 OA=OB，AC=BC 求证：直线AB是圆O 的切线
O
A
B
C
２．如图,已知：OA=OB＝５,
AB＝８，以Ｏ为圆心，以３为半径 的圆与直线AB 相切吗？为什么？
Ｏ
Ａ
Ｃ
Ｂ
练习1
AB=AC，∠C=45°，
以AB为直径作⊙O ，
求证：AC是⊙O的切线
B
O
C
A
切线的性质定理
圆的切线垂直于 经过切点的半径
推理 格式
.
O
切点
∵L是⊙ O 的切线
∴OA⊥L
A
切线判定定理与性质定理
. 600
600
B
D
已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线 上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°,求证： DC是⊙O的切线.
证明：连OC、BC，
∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°, ∴∠BOC＝60°. ∴△BOC是等边三角形. ∴BD＝OB＝BC， ∠D＝∠BCD＝30°. ∴∠DCO＝90°. ∴DC⊥OC. ∴DC是⊙O的切线.
C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC， 只要证明AB⊥OC即可。
B
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
证明：连结OC。 ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ AB⊥OC(三线合一) ∵ OC是⊙O的半径 ∴ AB是⊙O的切线。
A
C
B
例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一 点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作
C A O B D
例题
如图,AB为⊙O的直径, C为⊙O上一 点，AD⊥CD且AC平分∠DAB . 求证: CD是⊙O切线
D C
1 3
证明:
∵ AC平分∠DAB A
2
B O ∴ ∠1=∠2 ∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 ∴OC∥AD ∴∠D+∠DCO=180° 又∵AD⊥CD, ∴∠D=90° ∴ ∠DCO=90° 即 OC⊥CD 又∵ OC是⊙O的半径
1、如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线． 证明：连接OD． ∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°. 又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线.
切线的判定和性质(三)
切线的判定和性质(三)在前两篇文章中，我们讨论了切线的判定和一些基本性质。
在本文中，我们将继续探讨切线的一些特性，并介绍如何通过方程和图形来确定曲线的切线。
让我们继续深入研究吧！1. 曲线方程和切线要确定曲线上某点的切线，我们首先需要知道曲线的方程。
对于一条平面曲线，我们可以用一般方程y=f(x)或者参数方程x=g(t),y=ℎ(t)来表示。
这两种表示方法都可以用来确定切线。
方法一：使用一般方程y=f(x)我们可以将曲线方程y=f(x)对x求导，得到斜率函数f′(x)。
然后，我们可以将给定点的横坐标x0代入斜率函数，得到切线斜率m0=f′(x0)。
接下来，我们使用点斜式方程y−y0=m0(x−x0)，其中(x0,y0)是曲线上给定点的坐标，m0是切线斜率。
通过将m0和坐标代入方程，我们可以得到切线的方程。
方法二：使用参数方程x=g(t),y=ℎ(t)对于参数方程，我们需要先求得参数t对应的切线斜率。
我们可以通过求导x=g(t)和y=ℎ(t)得到x和y对t的导数 $\\frac{{dx}}{{dt}}$ 和$\\frac{{dy}}{{dt}}$ 。
然后，我们可以计算斜率函数 $m(t) = \\frac{{dy}}{{dx}} =\\frac{{\\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\\frac{{dx}}{{dt}}}}$ 。
接下来，我们可以用给定点的参数值t0代入斜率函数m(t)，得到切线斜率m0=m(t0)。
然后，我们继续使用点斜式方程y−y0=m0(x−x0)来得到切线的方程，其中(x0,y0)=(g(t0),ℎ(t0))是曲线上给定点的坐标。
2. 切线的特性除了切线的方程，我们还可以通过其他方式来确定和研究切线的性质。
(1) 切线与曲线的关系切线是曲线上某一点的局部近似。
为了更好地理解这一点，我们可以将切线和曲线在相邻点处的表现进行比较。
•当给定点处的切线与曲线相切时，切线和曲线在该点处重合。
切线的判定和性质
切线的判定和性质以下是关于切线的判定和性质，希望内容对您有帮助，感谢您得阅读。
切线的判定和性质（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么·关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．·图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
切线的判定与性质
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直
这条半径的直线是圆的切线。
对定理的理解：
O l
A
切线必须同时满足两条：①经过 半径外端；②垂直于这条半径．
定理的数学语言表达：
01
O
02
r
03
l
04
A
05
∵ OA是半径， l ⊥OA于A ∴ l是⊙O的切线
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星， 均沿着圆的切线的方向飞出．
二．方法：判定一条直线是圆的切线的三种方法：
1. 根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. 2. 根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆
的切线． 3. 根据切线的判定定理来判定．
① 其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中 之一．
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切 点的半径。 小结： O A l
⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
DB
A
O
EC
例1与例2的证法有何不同?
D
B
O
A
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到
辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点， 连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆 心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：
24.2.2
人教版九年级上册
切 线 的 判 定 定 理
目 直线与录圆的
位置关系
相交
相切
相离
图 壹形
公共点个数
交 公共点名点称
圆的切线的性质及判定定理 课件
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即 DE 是⊙O 的切线．
(2)过 D 作 DG⊥AB， ∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在 Rt△ODG 中，OG＝ 52－32＝4， ∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB，∴DBFG＝AAGB. ∴B3F＝190，∴BF＝130.
【自主解答】 (1)如图所示，连接 BC. ∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CD. 又 AD⊥CD，
∴OC∥AD.
(2)∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又 AD⊥CD，∴∠ADC＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴AADC＝AACB，∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝52.
1．“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的 直径”这句话对吗？为什么？
【提示】 正确．如图 AB、CD 分别切⊙O 于 E、F， 连接 EO 并延长交 CD 于 F′，∵AB 是⊙O 的切线，∴OE
⊥AB.∵AB∥CD，∴OF′⊥CD，∴F′为切点，∴F′与 F
重合，即 EF 是⊙O 的直径．
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质定理及推论
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过 切点的半径．
如图 2－3－1，已知 AB 切⊙O 于点 A，则 OA⊥AB.
(2)推论 1：经过圆心且 垂直于切线的直线 必经过切点． (3)推论 2：经过切点且 垂直于切线的直线 必经过圆心．
图 2－3－1
2．切线的判定定理 经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半径的直线是圆的 切线．
如图 2－3－2 所示，已知
AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切 于点 C，AC 平分∠DAB，AD⊥CD.
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切线的性质和判定练习
一•解答题(共11小题)
1. (2018?宿迁)如图，AB AC分别是。
O的直径和弦，ODLAC于点D.过点A 作的切线与
0D的延长线交于点P, PC AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是O 0的切线；
(2)若/ ABC=60, AB=1Q 求线段 CF的长.
2. (2018?常德)如图，已知。
0是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在 CD的延长线上有一点 F,使DF=DA AE// BC交CF于E.
(1)求证：EA是O 0的切线；
(2)求证：BD=CF
3. (2018?官渡区二模)如图，AB是。
0的直径，AM和BN是。
0的两条切线，点 D是AM上一点，连接0D过点B作BE// 0D交O 0于点E,连接DE并延长交BN 于点C.
(1)求证：DE MO 0的切线；
(2)若AD=l，BC=4求直径AB的长.
AD V
4. (2018?洪泽区一模)如图，已知 AB为。
0的直径，AD BD是O O的弦，BC是O O 的切线，切点为B，OC AD BA CD的延长线相交于点E.
(1)求证：DC是O O的切线；
(2)若O0半径为4,/ OCE=30,求厶OCE勺面积.
5. (2018?淅川县二模)如图，已知O O的半径为1, AC是O O的直径，过点C作O O的切线BC，E是BC的中点，AB交O O于D点.
(1) __________________________________直接写出ED和EC的数量关系：;
(2)DE是O O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
(3) __________________ 填空：当BC= 时，四边形AOED1平行四边形，同时以点 O D E、
C为顶点的四边形是 ______ .
6. (2018?东河区二模)已知如图，以 Rt△ ABC的AC边为直径作O O交斜边AB 于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D,作OF// AB交BC于点F，连接EF.
(1)求证：OH CE
(2)求证：EF是O O的切线；
(3)若O O的半径为3，/ EAC=60,求AD的长.
7. (2018?海淀区二模)如图，AB是。
0的直径，M是0A的中点，弦CDLAB于点
M 过点D作DEL CA交CA的延长线于点E.
(1)连接 AD,则/ OAD _________ °
(2)求证：DE与O 0相切；
(3)点 F 在BC±,Z CDF=45, DF交 AB于点 N.若 DE=3 求 FN的长.
8. (2018?朝阳区二模)AB为。
0直径，C为。
0上的一点，过点 C的切线与AB 的延长线相交于点D, CA=CD
(1)连接BC，求证：BC=0B
(2)E是儿中点，连接CE BE若BE=2求CE的长.
9. (2018?苏州)如图，AB是。
0的直径，点C在。
0上, AD垂直于过点C的切线，垂足为D, CE垂直AB垂足为E.延长DA交。
0于点F,连接FC, FC与AB 相交于点G,连接0C
(1)求证：CD=CE
(2)若AE=GE求证：△ CEC是等腰直角三角形.
10. (2017?黄石)如图，。
O是厶ABC的外接圆，BC为的直径，点E为厶ABC 的内心，连接AE并延长交O O于D点，连接BD并延长至F,使得BD=DF连接CF BE
(1) 求证：DB=DE
(2) 求证：直线CF为O0的切线.
11. (2018?长沙)如图，在△ ABC中, AD是边 BC上的中线，/ BAD" CAD CE// AD, CE交BA的延长线于点E，BC=8 AD=3
(1)求CE的长；
(2)求证：△ ABC为等腰三角形.
(3)求厶ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.
切线的性质和判定参考答案与试题解析
一•解答题（共11小题）
1. （2018?宿迁）如图，AB AC分别是。
O的直径和弦，ODLAC于点D.过点A 作的切线与
0D的延长线交于点P, PC AB的延长线交于点F.
（1）求证：PC是O 0的切线；
【分析】（1）连接0C可以证得厶OAP^A OCP利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：/ OCP=9°即OC L PC即可证得；
（2）先证△ OBC是等边三角形得/ COB=6°再由（1）中所证切线可得/ OCF=90, 结合半径OC=5可得答案.
【解答】解：（1）连接OC
v ODL AC, OD经过圆心O,
••• AD=CD
••• PA=PC
在厶OAP ffiA OCF中，
f OA=OC
•••P4PC,
PP 二OP
•••△ OAP^A OCP( SSS,
•••/ OCP M OAP
••• PA是半。
O的切线，
:丄 OAP=9O.
:丄 OCP=9Q
即 OCL PC
••• PC是O O的切线.
(2)v OB=OC / OBC=6Q
•••△ OBC是等边三角形，
•••/ COB=6Q
••• AB=10
••• OC=5
由(1)知/ OCF=90,
•••CF=OCtai£ COB=5 '：.
【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题.
2. (2018?常德)如图，已知O O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在 CD的延长线上有一点 F,使DF=DA AE// BC交CF于E.
(1)求证：EA是O O的切线；
(2)求证：BD=CF。