冗余驱动过约束并联机构受力分析
冗余驱动并联机构的驱动力同步协调控制
冗余驱动并联机构的驱动力同步协调控制刘晓飞;姚建涛;赵永生【摘要】为了解决冗余驱动并联机构的驱动协调问题,提出一种基于模型的驱动力同步协调控制方法.以冗余驱动并联机构6PUS+UPU为研究对象,推导了该机构的动力学模型,并分析了预定运动轨迹下的机构驱动力协调机理;在力位混合驱动的基础上,提出一种驱动力同步协调控制策略,并设计了协调控制算法.通过仿真与样机实验,验证了所提方法的有效性.【期刊名称】《计算机集成制造系统》【年(卷),期】2018(024)009【总页数】10页(P2140-2149)【关键词】驱动力同步协调;力位混合驱动;冗余驱动;并联机构;动力学模型【作者】刘晓飞;姚建涛;赵永生【作者单位】燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛 066004;燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛 066004;燕山大学先进锻压成形技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛 066004【正文语种】中文【中图分类】TP242.20 引言冗余驱动并联机构与传统非冗余驱动并联机构的区别在于，其驱动数目大于机构自由度数目。
冗余驱动可以降低传统并联机构的奇异位形，增加有效工作空间[1-3]，并改善机构动力学特性[4-6]。
此外，通过优化驱动力分配，冗余驱动可以有效提高刚度、增加承载力[7-8]、消除关节间隙[8-10]等。
虽然冗余驱动并联机构具有很多优点，但要充分发挥这些优势，还要依赖于控制方法的实现。
对于冗余驱动并联机构的控制问题，国内外相关研究较多。
Ganovski等[11]基于分段控制的方法对平面冗余驱动并联机构进行了控制，并采用计算力矩方法，基于机构动平台的加速度反馈设计了闭环控制器。
3RPS-SPS并联机构的力位混合冗余驱动控制
第 54 卷第 9 期2023 年 9 月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University (Science and Technology)V ol.54 No.9Sep. 20233RPS-SPS 并联机构的力位混合冗余驱动控制张氢，赵伯伦，陈文韬，秦仙蓉，孙远韬(同济大学 机械与能源工程学院，上海，201804)摘要：为了提升冗余并联机构的运动精度和承载能力，以新型3RPS-SPS 冗余并联机构为对象，研究并联机构的驱动控制策略。
首先，对该并联机构运动学进行研究，根据螺旋理论分析了机构自由度；其次，运用解析法获得并联机构位置反解和位置正解的解析表达式；第三，根据位置反解表达式，求导得到速度、加速度模型，并通过拉格朗日法建立并联机构的动力学模型；最后，提出冗余驱动控制方式下的驱动力分配方法，设计了力位混合控制策略，并搭建了基于Simulink 的联合仿真系统进行仿真实验。
研究结果表明：该机构具有2个转动自由度和1个移动自由度，在2个转动自由度上，机构旋转运动的角度最大误差分别为5.66´10-4 rad 与3.45´10-4 rad ，在移动自由度机构平移运动的位移最大误差为4.01´10-2 mm ；所提出的力位混合控制策略的最大驱动力(66 N)小于传统位置控制策略的最大驱动力(190 N)，并且机构驱动支链驱动力在力位混合控制策略下的分配更均衡。
设计的控制策略使3RPS-SPS 并联机构具有了较高的运动精度和较强的承载能力。
关键词：并联机构；冗余驱动；力位混合控制；联合仿真；运动学；动力学中图分类号：TP112 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7207（2023）09-3481-12Force/position hybrid control of 3RPS-SPS redundant parallelmechanismZHANG Qing, ZHAO Bolun, CHEN Wentao, QIN Xianrong, SUN Yuantao(College of Mechanical and Energy Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China)Abstract: In order to improve the motion accuracy and load-bearing capacity of redundant parallel mechanisms, the new 3RPS-SPS redundant parallel mechanism was taken as the research object and the drive control strategy of parallel mechanisms was studied. Firstly, kinematic analysis was conducted on the parallel mechanism, and the freedom degree was analyzed according to the screw theory. Secondly, the analytical expressions of the inverseposition solution and the positive position solution of the parallel mechanism were obtained by using the analytical收稿日期： 2022 −10 −15； 修回日期： 2022 −12 −01基金项目(Foundation item)：上海市科委重大科研计划资助项目(19DZ1100202) (Project(19DZ1100202) supported by theCommittee of Science and Technology of Shanghai Municipality)通信作者：张氢，博士，教授，从事重载机械装备、大型工程结构与设备开发与监控技术研究；E-mail ：*****************.DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2023.09.010引用格式： 张氢, 赵伯伦, 陈文韬, 等. 3RPS-SPS 并联机构的力位混合冗余驱动控制[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2023, 54(9): 3481−3492.Citation: ZHANG Qing, ZHAO Bolun, CHEN Wentao, et al. Force/position hybrid control of 3RPS-SPS redundant parallel mechanism [J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2023, 54(9): 3481−3492.第 54 卷中南大学学报(自然科学版)method. Thirdly, according to the inverse position solution expression, the velocity and acceleration models were obtained. The dynamic model of the parallel mechanism was established by the Lagrangian method. The driving force distribution method in the redundant driving control mode of the mechanism was analyzed. Finally, a force/ position hybrid control strategy was designed on the basis of kinematics and dynamics analysis. Simulation experiments were conducted on a co-simulation system based on Simulink. The results show that the mechanism has two rotational degrees of freedom and one moving degree of freedom. The maximum angle errors of the mechanismon two rotational degrees of freedom are 5.66´10-4 rad and 3.45´10-4 rad, respectively. The maximum displacement error of the mechanism on the translational degree of freedom is 4.01´10-2 mm. Meanwhile, the maximum driving force(66 N) of the proposed force/position hybrid control strategy is smaller than the maximum driving force(190 N) of the traditional position control strategy. The distribution of the driving force of the mechanism driving branch chain is more balanced with the force/position hybrid control strategy. The designed control strategy makes the 3RPS-SPS parallel mechanism have higher kinematic accuracy and stronger bearing capacity.Key words: parallel mechanism; redundant drive; force-position hybrid control; co-simulation; kinematics; dynamics并联机构具有结构紧凑、运动精度高、机构刚度大和承载能力强[1]等优点。
冗余驱动2spr-2rpu并联机构的运动静力学及奇异性研究
异和运动学反解奇异，但具有 2 个运动学混合奇异，且 2 个混合奇异位形可通过合理设计机构杆件尺寸进行规避。研
究结果可为实际工程应用中冗余驱动并联机构的研究提供一定的理论基础。
关键词：冗余并联机构；静力学；驱动力分布；奇异性
中图分类号：TP 24
文献标志码：A
文章编号：1006-754X（2019）05-0619-08
Research on kinematic statics and singularity of redundant drive 2SPR-2RPU parallel mechanism
WANG Xiao-ming1，CUI Guo-hua1，2，HOU Hong-juan1，LIU Jian1
（1. College of Mechanical and Equipment Engineering，Hebei University of Engineering，Handan 056038，China； 2. Intelligent Robot Research and Development Center，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620，China）
收稿日期：2019-03-22
修订日期：2019-05-29
本刊网址·在线期刊：/gcsjxb
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51775165）；上海市地方高校能力建设计划项目（18030501200）
Abstract：Aiming at the application requirements of heavy-duty robots for grinding and polishing, a new redundant drive 2SPR-2RPU parallel mechanism was proposed. The degree of freedom of the 2SPR-2RPU parallel mechanism was calculated by using the screw theory, and the inverse kinematics and Jacobian matrix of the parallel mechanism were solved. Considering the gravity factor of 2SPR-2RPU parallel mechanism, the statics analysis of the mechanism was carried out by the method of dismantling the bar, and its statics model was established. Aiming at the characteristics of drive redundancy, the Lagrangian multiplier method was used to construct the target function with the minimum driving force, and the driving force was distributed and solved. The driving force variation trend of the 2SPR-2RPU parallel mechanism with the given motion track was obtained. According to the velocity Jacobian matrix, the singularity of 2SPR-2RPU parallel mechanism was analyzed. It was concluded that the mechanism had no forward kinematics singularity and inverse kinematics singularity, but only two mixed kinematics singularities, and the two singularities could be avoided by reasonable design of the rod size. The research results can provide a theoretical basis for the study of redundant drive parallel mechanism in practical engineering applications.
冗余驱动并联机构运动学分析与驱动优化研究的开题报告
冗余驱动并联机构运动学分析与驱动优化研究的开题报告题目：冗余驱动并联机构运动学分析与驱动优化研究一、研究背景并联机构是一种重要的机构形式，具有很多优点，如结构简单、负载能力高、刚度大等。
但在实际工程应用中，由于平台姿态受到机构结构的限制，机构的运动空间和工作空间存在局限性。
为了解决这个问题，人们提出将冗余自由度引入并联机构中，能够扩展其运动自由度和工作空间，提高其性能和适用范围。
此外，在机构设计中驱动方式的选择也对机构性能和适用范围有着重要的影响。
因此，对冗余驱动并联机构的运动学分析和驱动优化进行研究，对于提高并联机构的性能和适用范围具有重要的理论意义和工程应用价值。
二、研究内容1.冗余驱动并联机构运动学分析：分析冗余驱动并联机构的运动学特性和数学模型，确定控制参数，分析驱动方式的影响，并建立数学模型。
2.冗余驱动并联机构驱动优化：研究冗余驱动并联机构的驱动方式和控制策略，优化驱动方案和参数，提高机构的性能和适用范围。
三、研究方法1.理论研究：分析冗余驱动并联机构的运动学特性和数学模型，确定控制参数，分析驱动方式的影响，并建立数学模型。
2.仿真模拟：通过ANSYS、ADAMS等仿真软件对冗余驱动并联机构进行模拟，模拟机构的运动学特性和运动轨迹，评估驱动方案和控制策略的优劣。
3.实验研究：设计并搭建具有冗余驱动的并联机构样机，进行实验研究，验证理论分析和仿真模拟结果，提高机构的性能和适用范围。
四、预期成果1. 建立冗余驱动并联机构的数学模型，分析控制参数和驱动方式对机构性能和适用范围的影响。
2.提出优化驱动方案和参数的方法和策略，提高机构的性能和适用范围。
3.设计搭建冗余驱动并联机构样机，验证理论分析和仿真模拟结果，提高机构的性能和适用范围。
五、研究价值本项目的研究成果能够对提高并联机构的性能和适用范围具有重要的理论意义和工程应用价值，能够推进并联机构在工程应用中的广泛使用。
５-UPSPRPU 冗余驱动并联机构的内力分析与协调
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法的正确性.以相应的 ５
UPS/PRPU 冗余驱动并联机床为例,分析了冗余分支驱动刚度的变化对各个
分支内力幅值的影响,进而提出了一种协调内力的方法.通过分析其内 力 随 冗 余 分 支 刚 度 的 变 化 分 布
情况可知,非冗余分支各个驱动螺旋以及冗余分支约束螺旋所对应的内力 幅 值 可 以 通 过 在 一 定 程 度 上
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4-RRR冗余并联机构的动力学分析
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２ ０ １ ７年 ９月
机床 与液压
Ｍ ＡＣＨＩ ＮＥ ＴＯ０Ｌ ＆ ＨＹＤＲＡＵＬ Ｉ ＣＳ
Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０１ ７
第４ ５卷 第 １ ７期 Ｖｏ来自１ ． ４ ５ Ｎｏ ． １ ７
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ － ３ ８ ８ １ ． ２ ０ １ ７ ． １ ７ ． ０ ２ ０
《6PUS-UPU冗余驱动并联机器人的冗余力控制实验研究》范文
《6PUS-UPU冗余驱动并联机器人的冗余力控制实验研究》篇一一、引言随着机器人技术的快速发展，并联机器人因其在高精度、高速度和高负载能力方面的优势，被广泛应用于各个领域。
然而，如何有效地控制并联机器人的运动和力成为了一个重要的问题。
本论文旨在通过实验研究，对6PUS-UPU冗余驱动并联机器人进行冗余力控制，以期实现更高的操作精度和稳定性。
二、6PUS-UPU冗余驱动并联机器人概述6PUS-UPU冗余驱动并联机器人是一种新型的并联机器人，具有六个独立的运动驱动装置和一个额外独立位置的调节器（即“UPU”单元）。
这种结构使得该机器人具有更高的灵活性和更强的冗余性，能够更好地应对各种复杂的工作环境。
三、冗余力控制方法在并联机器人的控制中，冗余力控制是一种重要的方法。
该方法通过引入额外的力控制量，使得机器人在运动过程中能够根据需要调整各个驱动器的输出力，以达到优化性能和增强稳定性的目的。
在6PUS-UPU冗余驱动并联机器人的控制中，我们采用了基于优化算法的冗余力控制方法。
四、实验设计与实施为了验证冗余力控制方法的有效性，我们设计了一系列实验。
首先，我们建立了机器人的数学模型，并利用仿真软件对冗余力控制方法进行了初步验证。
然后，我们设计了一个实验平台，用于实际测试机器人的性能。
在实验中，我们采用了多种不同的任务和场景，以检验机器人在不同条件下的表现。
五、实验结果与分析通过实验数据，我们可以看到采用冗余力控制方法的6PUS-UPU冗余驱动并联机器人在各种任务和场景下均表现出了较高的精度和稳定性。
与传统的并联机器人相比，该机器人在面对复杂的工作环境和任务时，能够更好地调整自身的输出力，以适应不同的需求。
此外，我们还发现，在采用优化算法的情况下，机器人的运动轨迹更加平滑，速度和加速度的波动也得到了有效控制。
六、结论本论文通过实验研究，对6PUS-UPU冗余驱动并联机器人的冗余力控制进行了深入探讨。
实验结果表明，采用冗余力控制方法的机器人具有更高的精度和稳定性，能够更好地适应各种复杂的工作环境和任务。
一种冗余约束并联机构运动学分析
何法与反变换法相结合的方法对一种模块化的六自由度串联机
器人进行了运动学分析并成功求解出了该串联机器人的逆运动
学解析解遥 相对于数值求解方法袁由封闭解法求出的解析解精度
高尧 求解速度快袁 所以封闭解法是机器人运动学求解的常用方
法袁 只有在无法求出解析解的情况下才会采用数值方法对机器
人进行运动学分析遥
针对并联机构的运动学分析袁其难点在于正运动学求解遥 本
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一种冗余约束并联机构运动学分析
一种冗余约束并联机构运动学分析
运蚤灶藻皂葬贼蚤糟泽 粤灶葬造赠泽蚤泽 燥枣 葬 砸藻凿怎灶凿葬灶贼 悦燥灶泽贼则葬蚤灶藻凿 孕葬则葬造造藻造 酝藻糟澡葬灶蚤泽皂
沈南燕 禹 壮 李 静 叶 飞 耿 亮 王梓睿
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由上述并联机构的结构约束条件可知院
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如 图 员 所 示 袁月员尧 月圆尧月猿 分别是支链 员尧支 链 圆尧 支链 猿 三根直动
链与定平台连接副的中
心 点 袁月 为 月员月圆 的 中 点遥 粤员尧粤圆尧粤猿 分别是该 三根直动链与动平台连
接 副 的 中 心 点 关节变量 择蚤渊蚤越员噎猿冤 分 别 为 粤员月员尧粤圆月圆尧粤猿月猿 的 长 度 遥 吟粤员粤圆粤猿 和
图 员 并联机构结构简图
吟月员月圆月猿 为等腰三角形袁其中 月员月猿越月圆月猿袁粤员粤猿越粤圆粤猿遥 月月圆尧月月猿尧 粤粤圆尧粤粤猿 的长度分别为 遭员尧遭圆尧葬员尧葬圆遥 分别在定平台和动平台上 建立坐标系 月原曾赠扎 和 粤原怎增憎袁 其中坐标系 月原曾赠扎 的 曾 轴方向 为 月 指向 月猿袁赠 轴方向为 月 指向 月圆曰坐标系 粤原怎增憎 的 怎 轴方向 为 粤 指向 粤猿袁增 轴方向为 粤 指向 粤圆遥 并且向量 怎员员 和 怎圆员 的方向 分别与支链 员 和支链 圆 的虎克铰的第二个旋转关节的轴线平行袁 向量 则员尧则圆尧则猿 的方向分别与支链 员尧支链 圆尧支链 猿 的旋转副的旋 转轴线平行遥 由库兹贝奇准则可得袁该并联机构有一个自由度袁但 由于其存在两个冗余约束袁所以该并联机构的自由度数为 猿遥 圆 运动学分析 圆援员 并联机构逆运动学分析
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冗余驱动过约束并联机构受力分析郭金伟;许允斗;刘文兰;姚建涛;赵永生【摘要】含有驱动冗余的过约束并联机构具有承载能力大、各向同性良好等特点,但其同时含有主动过约束和被动过约束,受力分析相当复杂.本文以4-PRRR冗余驱动过约束并联机构为对象对该类机构受力的超静定问题进行研究.首先针对主动过约束问题,基于特定的优化目标求解出各驱动力大小.然后针对被动过约束问题,建立各分支过约束力螺旋系的刚度矩阵和机构整体刚度矩阵,分析驱动力在过约束力螺旋系轴线方向产生的耦合变形,采用加权广义逆方法求解得到过约束力螺旋系幅值.联合SolidWorks、ANSYS和ADAMS软件建立机构的刚柔混合模型并进行受力仿真分析,仿真结果与理论值基本一致,验证了理论分析结果的合理性.【期刊名称】《燕山大学学报》【年(卷),期】2018(042)003【总页数】7页(P199-205)【关键词】冗余驱动;被动过约束;并联机构;驱动力分配;过约束力螺旋;耦合【作者】郭金伟;许允斗;刘文兰;姚建涛;赵永生【作者单位】燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004;燕山大学先进锻压成型技术与科学教育部重点实验室,河北秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TH1120 引言根据机构所受约束的性质不同，将过约束并联机构分为3类：冗余驱动(主动过约束)并联机构、被动过约束并联机构和冗余驱动过约束并联机构[1]。
冗余驱动可以有效地改善并联机构的受力特性，避开奇异位形。
而被动过约束并联机构则大大提高了机构的刚度及承载能力。
其中冗余驱动过约束并联机构由于同时存在主动过约束和被动过约束，很好地融合了被动过约束并联机构与冗余驱动并联机构二者的优点，具有承载能力大和各项同性良好等特点，应用潜力很大，但其受力分析相当复杂。
目前，国内外很多文献针对冗余驱动并联机构或被动过约束并联机构进行了研究。
文献[2]应用Kane方法建立了6PUS-UPU冗余驱动并联机构的动力学方程并使用加权最小二乘法对驱动力进行协调分配。
文献[3]提出一种加权系数方法解决了超静定输入机构的驱动力最优分配问题。
文献[4]采用范数求解了一种冗余电缆驱动并联机构的力分布优化问题。
文献[5]提出一种4-RRS冗余球面并联机构，并求解了机构的静力学模型与刚度。
文献[6]揭示了加权广义逆和过约束并联机构受力分析之间的关系，并基于该方法求解了冗余驱动并联机构的驱动力和被动过约束并联机构的过约束力螺旋。
文献[7]对两种过约束机构2-RPU&SPR的运动学特性进行了对比分析。
文献[8]在考虑杆件空间复合弹性变形的情况下，对3-PRRR过约束并联机构进行受力分析。
文献[9]提出变形协调性分析的方法用于二自由度过约束机构的动力学建模。
文献[10]基于考虑和不考虑杆件和运动副的柔性，分别建立了Tripteor X7过约束机构的动力学模型。
文献[11-12]对每个分支只提供单维轴向约束力的过约束并联机构进行了静力学分析。
文献[13-14]基于螺旋理论分别研究了含过约束力的4-R(CRR)并联机构和含过约束力偶的4-UPU并联机构的动力学。
上述这些文献的研究均只涉及冗余驱动并联机构和被动过约束并联机构的主动过约束或被动过约束问题，而没有同时涉及主动过约束和被动过约束。
然而，很多国内外学者研究的冗余驱动并联机构大多为冗余驱动过约束并联机构，如2-RRR+RR二自由度并联机构、4-RRR三自由度并联机构[15-16]等。
因此，本文将以4-PRRR冗余驱动过约束并联机构为例对该类机构的受力分析问题进行研究。
1 4-PRRR冗余驱动过约束并联机构4-PRRR冗余驱动过约束并联机构简图如图1所示，它由动平台、固定导轨和连杆组成。
4根固定导轨均匀分布在锥顶角为2×54.736=109.472°的锥面上。
连接动平台和4根导轨的4条支链结构完全相同，每条支链从动平台到导轨依次由3个转动副和一个移动副连接。
该移动副为驱动，其轴线与所在固定导轨的轴向重合，3个转动副的轴线与移动副的轴线平行。
4条支链中与动平台连接的4个转动副均匀分布在动平台圆周上。
经分析，每个分支施加给动平台两个垂直于所在分支末端转动副轴线的约束力偶作用，所以动平台共受到8个约束力偶作用，显然这8个约束力偶是线性相关的，其最大线性无关数为3，限制了动平台的3个转动自由度。
而该机构有4个驱动，为典型的冗余驱动过约束并联机构。
图1 4-PRRR冗余驱动过约束并联机构简图Fig.1 Schematic diagram of 4-PRRR redundantly actuated overconstrained parallel mechanism建立机构的坐标系如图1所示，各分支与动平台连接的4个连接点均匀分布在原点为O半径为r的圆上。
在动平台中心建立坐标系O-XOYOZO，XO和YO分别指向两个相邻的分支末端坐标系原点。
从动平台到基座依次在分支的转动副中心建立坐标系Oi1-Xi1Yi1Zi1、Oi2-Xi2Yi2Zi2和Oi3-Xi3Yi3Zi3，其中Yi1，Yi2和Yi3分别沿着转动副的轴线方向，Zi1从Oi1指向Oi2，Zi1从Oi3指向，Zi3从Oi3指向移动副中心，其中i=1,2,3,4，X轴由右手螺旋定则决定。
2 冗余驱动过约束并联机构受力分析本文将分别对主动过约束和被动过约束进行求解，并分析二者之间的耦合关系，获得冗余驱动力分配结果和过约束力螺旋解。
2.1 冗余驱动力求解对于主动过约束，其驱动力大小可以根据不同的优化目标(如系统能耗最小或驱动力矩最小等)进行主动分配。
不考虑连杆及动平台重力、惯性力和运动副摩擦力的情况下，建立动平台的受力平衡方程为(1)上式中，Ff=表示作用在动平台上的外力，表示单位驱动力螺旋的幅值，表示fr到Ff的力映射矩阵，均是在参考坐标系O-XOYOZO下的表示。
这里采用加权广义逆方法[6]，选取各驱动力平方和最小为优化目标，则加权系数矩阵W=I，各分支驱动力为当施加在动平台上的外力为Ff=[20 10 -10 0 0 0]T时，根据式(2)可得到驱动力分配情况为fr=(16.577 4 10.453 8 7.917 1 1.793 4)T。
2.2 被动过约束力螺旋求解2.2.1 分支过约束力螺旋系刚度矩阵求解求解分支过约束力螺旋系刚度矩阵首先要根据反螺旋理论分析出各分支提供给动平台的过约束力螺旋系，然后根据力递推法求解各分支在过约束力螺旋系下全部运动副的约束反力，并利用材料力学的知识从分支末端到基座依次求解各分支杆在运动副约束反力作用下产生的分支末端形变，将各个分支杆引起的末端变形叠加便得到了分支末端的总弹性变形。
最后，分支的过约束力螺旋系刚度矩阵即为该分支的过约束力螺旋系幅值大小与该总弹性变形在分支各过约束力螺旋轴线方向的投影之间的映射矩阵[1]。
定义从动平台到基座的各分支连杆长度分别为li1,li2,li3，转动副转动角度分别为θi1,θi2,θi3，以分支1为例，如图2所示。
图2 分支1结构简图Fig.2 Structure diagram of branch 1假设各连杆的横截面参数全部相同，根据反螺旋理论得出动平台受到分支1末端提供的两个约束力偶的作用。
该螺旋系中的单位螺旋在分支末端坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为(3)(4)根据坐标系间的转换关系，坐标系O13-X13Y13Z13、O12-X12Y12Z12和O11-X11Y11Z11之间的齐次变换矩阵分别为(5)(7)在分支末端约束力螺旋作用下，根据力递推法可求得在坐标系O12-X12Y12Z12下表示的连接中间连杆和靠近动平台连杆的转动副的约束反力为(8)在坐标系O13-X13Y13Z13下表示的连接中间连杆和靠近基座连杆的转动副的约束反力为(9)根据材料力学相关知识，每根连杆在其末端运动副的约束反力作用下，可看作是外力作用在悬臂梁的末端。
在其末端坐标系下，各连杆的柔度矩阵为其中，j=1,2,3，l1j表示分支1中各连杆长度，Ix、Iy、Ip表示连杆的横截面惯性参数，E表示弹性模量，G表示切变模量，A表示横截面面积。
在坐标系O13-X13Y13Z13下表示的靠近基座的连杆末端产生的变形为(11)根据坐标系间的位移变换关系，此变形在坐标系O11-X11Y11Z11下表示为(12)同理，可求得在坐标系O12-X12Y12Z12下，中间连杆在末端产生的变形表示为(13)此变形在坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为连接动平台的连杆在分支约束力螺旋系的作用下其末端产生的变形在坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为(15)根据小变形叠加原理，则分支1末端的总变形在末端坐标系O11-X11Y11Z11下可表示为(16)将分支1在坐标系O11-X11Y11Z11下的变形表示分离为柔度矩阵与广义力矢量相乘的形式为(17)则分支1的刚度矩阵为(18)同理可求得分支2，3，4在各自分支末端坐标系下的刚度矩阵K2、K3、K4。
2.2.2 主动过约束与被动过约束之间的耦合关系经分析，对于该4-PRRR冗余驱动过约束并联机构，分支在已知的驱动力螺旋的作用下，分支末端将产生沿过约束螺旋轴线方向的弹性变形，这种机构也称为分支刚度耦合过约束并联机构[17]。
考虑驱动力螺旋，按照2.2.1节步骤求得各分支的约束力螺旋刚度矩阵表示为则柔度矩阵表示为(19)式中，根据力与变形之间的关系，则驱动力在分支末端沿过约束力偶轴线方向产生的耦合变形为即(21)其中，A= li1li2+li1li3+li2li3θi2+li2li3cos(θi2-2θi3)+li1li2cos(2θi2)+li1li3cos(2θi2-2θi3),C= li1li2sinθi2+li2li3sin(θi2-2θi3)+ li2li3sin(θi2)+li1li3sin(2θi2-2θi3),2.2.3 过约束力螺旋系幅值不考虑连杆及动平台的重力和运动副的摩擦力的情况下，4-PRRR机构的变形协调方程和受力平衡方程为(22)(23)又存在fwi=KiXi，(24)式中，X表示在参考坐标系下表示的动平台中心在外力矩作用下产生的变形，Xi 表示在分支i末端坐标系下表示的过约束力偶产生的变形，Fw表示作用在动平台上的外力矩，J=(J1 J2 J3 J4)表示各分支末端受力与动平台所受外力之间的力变换矩阵，fwi表示在分支末端坐标系下表示的分支末端提供给动平台的过约束力螺旋幅值。