RS译码BM算法及IBM算法
RS编译码入门知识
RS编译码入门知识1. 概述RS 码的纠错能力非常强,尤其是对那些突发性成片的干扰特别有效，在这里对其进行简要说明。
RS 码是一类非二元BCH 码，它有两个重要性质，其一，它是真正的最小距离与设计距离总是相等的码；其二，在其码字内的任何k 个位置都可用作信息集合。
在一个 ( n , k) RS 码中,码长度为n，输入信息长度为k，校验长度为n-k。
由于RS的编译码是基于一组符号而不是单独的0或1 ,而一个符号由m个bit组成，因此，（n，k）码有如下参数，其中v为纠错个数：码长 n = 2 m–1 符号或 m(2 m - 1) 比特信息段 k 符号或 km 比特监督段 n-k = 2v 符号或 m(n - k) 比特最小码距 d = 2v + 1 符号或 m(2v + 1) 比特正是由于它是基于符号而不是比特纠错，使得RS码的纠错能力特别强，并且特别适合于纠突发成片的错误。
2．RS 码的编码由于RS 码是循环码的一种,因此,它的编码方法与一般循环码的编码方法完全一致. 用信息码多项式升位后去除生成多项式g(x) ,所得余式r(x) 为监督多项式,将监督多项式置于升位的信息多项式之后,就形成RS 码. 因此RS码的编码变成用除法求余的过程,由于纠v 个符号错误的生成多项式为：其中，a 是有限域GF(2m ) 的元素. 设输入信息码为m( x ) ,编码后的码组为c ( x ) ,则3．RS 码的译码差错控制编码中译码的好坏是应用的关键,而译码算法通常比编码复杂. 相比之下,RS 码的译码算法又要比其它译码复杂得多,这是因为RS 码是一种非二元循环码,它不再具备特征为2 的域的运算等性质. 并且RS 码的译码不仅要找出错误位置,而且还要找出对应错误位置的错误大小,因此增加了译码的难度. RS 码的译码也是从计算接收码字的伴随式入手。
通常包括如下步骤：3.1 计算多个伴随式值S k；3.2 由伴随式值确定差错定位多项式；3.3 求出错误位置值；3.4 由所得的错误位置值计算错误值；3.5 对所标的差错位置及错误值进行纠正。
rs码的译码算法
rs码的译码算法一、引言RS码（Reed-Solomon code）是一种常用的纠错码，广泛应用于数字通信、存储介质等领域。
它具有较高的纠错能力和编码效率，能够在数据传输过程中检测并纠正一定数量的错误。
本文将介绍RS码的译码算法，包括译码流程、错误定位、错误估计和纠错等内容。
二、RS码概述1. RS码的定义RS码是一种具有多项式特征的线性块编码。
它由两个部分组成：生成多项式和校验多项式。
生成多项式确定了编码方式，而校验多项式则用于检测和纠正错误。
2. RS码的参数RS码有两个参数：符号数n和信息数k。
其中n表示每个符号包含的比特数，k表示信息符号数。
3. RS码的性质RS码具有以下性质：（1）高纠错能力：可以检测并纠正一定数量的错误。
（2）高编码效率：可以通过增加校验符号来提高编码效率。
（3）可逆性：可以通过解调器进行解调和解编操作，保证数据传输正确。
三、RS译码算法流程1. 接收到数据后，将接收到的数据按照编码方式进行解码，得到n个符号。
2. 对接收到的n个符号进行错误定位。
3. 根据错误定位结果，估计出错误位置和错误值。
4. 对错误位置和错误值进行纠错操作，得到正确的信息符号。
5. 将纠错后的信息符号输出作为解码结果。
四、RS译码算法实现1. 错误定位RS码中的错误定位采用Berlekamp-Massey算法。
该算法可以在O(n^2)时间复杂度内求出最小多项式，并通过最小多项式求出根（即错误位置）。
2. 错误估计在确定了错误位置之后，需要对每个错误位置进行估计。
RS码中采用Forney算法对每个错误位置进行估计。
该算法可以在O(n^2)时间复杂度内求出每个错误位置对应的系数，并通过系数求出每个错误位置对应的值（即实际上的误差）。
3. 纠错操作在完成了错误估计之后，需要对每个误差进行纠错。
RS码中采用Chien搜索算法和BM算法对误差进行纠正。
Chien搜索算法可以在O(n)时间复杂度内找到所有根，并通过根求出所有误差位置；BM算法可以在O(n^2)时间复杂度内求出所有误差值，并通过误差值进行纠错。
RS编译码
一．RS 码RS 码是有限域GF （p^m ）上，码长为n=p^m-1的本原BCH 码，它是多进制的BCH 码。
RS 码不但可以纠正随机错误、突发错误以及二者的组合，而且可以用来构造其它码类。
在计算机中数据是以二进制的形式存在，所以p 通常取值为2。
RS 码的参数：符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码的定义如下： 符号大小m ．表示符号比特数为m 位。
码块总长度为n 个符号，其中信息长度k 个符号，校验位长度K=n —k 个符号。
RS 码的纠错能力是出码块中的冗余数据校验码的长度K 决定的。
在码块中的错误位置事先并不知道的情况下，RS(n ，k)码可以纠正t=K ／2个错误符号。
显然t 值越大，RS 码的纠错能力越强，但与之相对应的是更复杂的算法，更长的运算时间，更低效的数据传输率。
RS 码既可以纠随机错又可以纠突发错。
但RS 码中采用符号这一特性使得它特别适用于产生突发错的场合。
因为不论一个符号中错了多少位，在RS 解码过程中。
它只会被认为是产生了一个符号错。
一个可以纠t 个符号的RS 码，它至少可以纠一个(t-1)m+1个连续比特组成的突发错，而当随机错恰好都不在同一个符号中时只能纠正t 个比特的随机错。
二．RS 码编码对于GF(2^m)来说，若域中非零元素a 的级是2^m-1，则将a 称为本原域元素。
设符号取自GF(2^m)，纠t 个错的RS(n,k)码,它的最小距离d=2t+1，则由本原域元素a 的2t 个连续根 ,0αm ，α120-+t m 作为g(x)的根来构造生成多项式g(x)=(x+αm 0)(x+α10+m ))(012αm t x +-+通常情况下取通常取m 0 = 0或m 0 = 1只要将信息码多项式m(x)=m m x m x k k 0111+++-- 乘以x k n -次，然后以g(x)为模，求出余式q(x)便可以得到系统码。
q （x ）= m(x) x k n -modg(x)=q q x q x k n k n 0111+++---- C(x)= m(x) x k n -+ q （x ）例 构造能纠正2个错误，码长为15符号的RS 码n=15，t=2可得m=4，k=11，d=5．因此RS 码为(15，11)码，生成多项式为g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4) =αααα103263134++++x x x x假设待发送的信息码组为m(x)=x x m x x ααα963102)(++=则编码后的码组多项式为C(x)= m(x) x k n -+ m(x) x k n -modg(x)=ααααα133359103142+++++x x x x x编码的实现：1）首先构造有限域，RS 码的性质和运算法则均定义在Galois 域上，Galois 域是能进行加减乘除运算的有限个元素的封闭集合，它的加减运算符合结合律、交换律和分配律。
RS码简介与编译码算法综述
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
∗
PGZ译码算法
——算法总结
∗
BM译码算法
——引入 1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
背景知识
——线性分组码
分组：将码字分为许用码字和禁用码字 两组 线性：许用码字的线性组合还是许用码 字
∗
BCH码
——引入 BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随 机错误，它是1959年由Bose、Chaudhuri及 Hocquenghem各自独立发现的线性循环码， 人们以他们的名字字头命名为BCH码。 BCH码打破了一般线性分组码先编码再验证性 能的模式，能够根据实际纠错需求进行编码。
BCH码
——定义
∗
BCH码
——有限域
∗
∗
∗
BCH码
——设计准则
RS码
——引入 RS编码起源于1960年MIT Lincoln实验室的S. Reed和G. Solomon在Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics上发表的 一篇论文：Polynomial Codes over Certain Finite Fields(某些有限域上的多项式码)。经历 了数十年的发展，RS码成为了研究最详尽， 分析最透彻，应用最广泛，研究成果最多的 码类之一。
基于改进iBM算法的高速RS译码器设计
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ＲＳ Ｄｅ ｃ ｏ ｄ ｉ ｎ ｇ ；ｉ ＢＭ Ａｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ；Ｈｉ ｇ ｈ Ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ Ｄｅ ｃ ｏ ｄ ｅ ｒ
率、 低 资 源 消 耗 的 译 码 算 法 。本 文 对 制 约 译 码 速
１ 引 言
１ ９ ６ ０年 ， Ｒ ｅ ｅ ｄ和 Ｓ ｏ ｌ ｏ ｍ ｏ ｎ应 用 Ｍ Ｓ多 项 式 构 造的 Ｒ Ｓ码 是 一 种 具 有 很 强 纠 错 能 力 的 多 进 制
率 的关键 模 块 —— 关 键 方 程 求 解 ， 提 出 了适 用 于 高速 译码 器 的改 进 的 ｉ Ｂ Ｍ 算法 ： 使 用 串行 迭代 方 式， 只需要 三 个 有 限域 乘 法 器 就 可 以 实 现 关 键 方 程求 解 ， 另外 设 计 了一 种 三 级 流 水 线 的结 构 来 实 现Ｒ Ｓ 译码 ， 译码 速度 可达 到 系统钟 的 ８倍 。
ｏ ｆ ｈ ａ ｒ ｄ ｗ ａ ｒ ｅ ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｏ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ，ｔ ｈ ｅ Ｆ Ｐ ＧＡ ｐ ｉ ｐ ｅ ｌ ｉ ｎ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｃ ｏ ｎ ｃ ｅ ｐ ｔ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｈ ｉ ｓ ｈ ｓ ｐ ｅ ｅ ｄ ｄ ｅ ｃ ｏ ｄ ｉ ｎ ｇ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｅ ｓ ｔ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｃ ｏ ｄ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｓ ｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｔ ｈ ｅ
RS码简介与编译码算法综述
BM译码算法
——算法基础
BM译码算法
——算法原理
BM译码算法
——迭代的具体实现
j -1 0 1 2 3a 4 5 6 1 1 1+αx 1+α11x 1+α8x+α8x2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 1+α6x+αx2 0 1 1 1+α6x 1+α10x 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 1+α11x+α5x2 0 0 1 1 2 2 2
E(x)
计算S2t
计算βi
PGZ译码算法
——算法总结
PGZ译码算法
——算法总结
BM译码算法
——引入
1965年E.R.Berlekamp提出了由伴随式求σ(x)的 迭代译码算法，极大地加快了求σ(x)的速度， 实现时比较简单，且易于用计算机完成译码， 因而从工程上解决了BCH码的译码问题。1969 年J.L.Massey指出，迭代译码算法与序列的最 短线性移位寄存器的综合之间的关系，并进 行了简化，自此以后把这种算法成为BM迭代 译码算法。
RS码简介
熊竹林
背景知识
RS码是一种BCH码 BCH码是一种循环码 循环码是一种线性分组码 线性分组码是一种信道编码
背景知识
——信道编码
信道的非理想性 传输差错 香农告诉我们要纠错必须增加冗余 信道编码就是一门增加冗余的学问 亡羊补牢：反馈重传 未雨绸缪：前向纠错 线性分组码就是前向纠错码的一种
RS编码
——编码器设计
最小距离为d的本原RS码的生成多项式为 g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为 m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1 编码器主要有三种类型： 1.基于乘法形式的编码器 2.基于除法形式的编码器 3.基于校验多项式形式的编码器
BM模式匹配算法图解
Boyer-Moore 经典单模式匹配算法BM模式匹配算法-原理（图解）由于毕业设计（入侵检测）的需要，这两天仔细研究了BM模式匹配算法，稍有心得，特此记下。
首先，先简单说明一下有关BM算法的一些基本概念。
BM算法是一种精确字符串匹配算法（区别于模糊匹配）。
BM算法采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。
BM算法的基本流程: 设文本串T，模式串为P。
首先将T与P进行左对齐，然后进行从右向左比较，如下图所示:若是某趟比较不匹配时，BM算法就采用两条启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来计算模式串向右移动的距离，直到整个匹配过程的结束。
下面，来详细介绍一下坏字符规则和好后缀规则。
首先，诠释一下坏字符和好后缀的概念。
请看下图：图中，第一个不匹配的字符（红色部分）为坏字符，已匹配部分（绿色）为好后缀。
1）坏字符规则（Bad Character）：在BM算法从右向左扫描的过程中，若发现某个字符x不匹配，则按如下两种情况讨论：i. 如果字符x在模式P中没有出现，那么从字符x开始的m个文本显然不可能与P匹配成功，直接全部跳过该区域即可。
ii. 如果x在模式P中出现且出现次数>=1，则以该字符所在最右边位置进行对齐。
用数学公式表示，设Skip(x)为P右移的距离，m为模式串P的长度，max(x)为字符x在P中最右位置。
可以总结为字符x出现与否，将max(x)=0作为初值即可。
例1：下图红色部分，发生了一次不匹配。
计算移动距离Skip(c) = m-max(c)=5 - 3 = 2，则P向右移动2位。
移动后如下图：2）好后缀规则（Good Suffix）：若发现某个字符不匹配的同时，已有部分字符匹配成功，则按如下两种情况讨论：i. 如果在P中位置t处已匹配部分P'在P中的某位置t'也出现，且位置t'的前一个字符与位置t的前一个字符不相同，则将P右移使t'对应t方才的所在的位置。
RS的BM迭代译码算法
BM迭代译码算法的基本原理时域上的RS译码的关键在于求解错误位置多项式,1966年伯利坎普（Berlekamp）提出了可以由伴随式计算错误位置多项式的迭代译码算法，这极大地加快了求解错误位置多项式的速度，该方法简单且易于实现，从而从工程上解决了RS译码的问题；1969年梅西（Massey）指出了该算法与序列的最短线形移位寄存器综合之间的关系，并进行了简化，因此，此译码算法就称为BM迭代译码算法。
如果由接收码组已经求出了伴随式S=［S1,S2,…,S2t］,其中，t为RS码的纠错距离,记S(x)=1+上式即为求解错误位置多项式的关键方程，且它其实说明了S(x)σ(x)的最高次数不会大于2t。
在上式中，S(x)是已知的，因此，可以利用上式进行迭代。
先人为设定σ(x)和ω(x)的初始值，然后以此初始值表示下一次迭代的结果，并使得下一迭代结果的次数不减，如此反复迭代求出满足(1)式的方程即可。
由于每一次迭代都使得σ(x)和ω(x)的次数不减，故迭代至第j步时，应有：通常，满足(2)式的每一步迭代都不是唯一的，因此必须对迭代过程加以条件限制。
在m进制无记忆离散对称信道中，如果信道转移概率p<1/m，则信道产生错误个数少的可能性最大，即σ(x)次数越低的可能性越大。
故如果每一次迭代都能保证求的σj(x)次数最低，且满足此时的译码结果就是满足译码错误概率最小的最大似然译码，并且此时的解是唯一的。
其中i是j前面的某一行，且满足最大，这样能保证每次迭代总是使σ(x)的次数最小化。
因此，令j=-1和0，得到两组初始值，利用(3)式求出d j，再结合(４)式和(５)式即可得到下一步的结果。
迭代步骤如下：否则，由(4)式和(5)式求出σj+1（x)、ωj+1 (x)，然后进行下一次迭代。
FPGA实现及调试1.FPGA实现电路该算法的FPGA实现电路如图1所示。
其中，Syndrome模块主要完成伴随式的计算，Dj和Di模块分别完成dj和dj/di的计算，Iterater模块则完成迭代的更新及计算，Sj和Oj分别为需要求出的σj(x)和ωj(x)。
RS编译码原理
1.除法电路实现的RS 系统典型编码算法设)2(m GF 域上的待编码的信息矢量为),...,,(021m m m k k --，可用多项式表示为如下的形式：012211...)(m x m x m x m x m k k k k ++++=---- (1-1) 首先确定)2(m GF 上的一个本原域元素α，构成生成多项式： ))...()(()(121000-++---=t m m m x x x x g ααα(1-2)其中，t 为设计的纠错符号个数，0m 为任意非负整数 。
把)(2x m x t 除以)(x g ，所得余式是一个次数小于等于12-t 次多项式)(x r ，计算式如下：))(mod()()(2x g x m x x r t ≡ (1-3) 于是)()()(2x r x m x x C t -=能被)(x g 整除，故是一个码多项式。
这样的RS 码字中，信息集中在码字的高k 位，称这种码为系统RS 码。
系统RS 码编码可采用k n -级除法电路来实现，电路结构如图1.1所示。
图1.1 系统RS 码的编码电路图编码器工作过程如下：（1）寄存器1210,....,,-t D D D 的初始状态全为0，门开，开关置于2，然后进行移位。
送入信息序列的系数，高次位系数先进入电路，它一方面经开关输出，一方面自动乘以tkn x x 2=-后进入)(x g 除法电路；（2）k 次移位后，信息元全部进入电路，完成了除法运算，此时寄存器中保留了余式的系有限域乘法 有限域加法12门数，即校验元；（3）此时，门关、开关置于1；再经过k n -次移位后，寄存器中校验元全部输出，与原先的k 位信息元组成了一个码长为n 的码字；（4）门开，开关置2，送入第二组信息组重复上述过程。
此编码算法满足大多数应用，若无法满足速率的要求，可以参考脉动RS 编码算法，这里不做介绍。
2.RS 译码算法上述已得到一个码长为n ，信息序列长度k ，校验元为k n -的RS 码，为了对此RS 码进行译码，我们需要使用与二进制BCH 码译码相同的三个步骤；此外们还需要计算错误数值的第四个步骤。
最新RS码编码及译码 (优选.)
wo最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本--------------------- 方便更改rdRS码的编码和译码算法的实现摘要：RS码是对突发错误具有良好纠错能力的通信信道编码。
本文主要讨论了RS码的编码和译码，主要推导了伽罗华域的生成方法和BM迭代译码算法。
关键词：RS码；伽罗华域；编码；BM译码1 RS码的基本介绍RS码是一类有很强纠错能力的BCH码，也是一类典型的代数几何码[1]，是由里德和索罗蒙于1960年构造出来的。
RS码是非二进制BCH码的一个重要子类，是一类最大距离可分组码。
RS码已经被广泛应用于通信和存储系统中，以进行差错控制。
的q进制的BCH码是q进制BCH码中最重要的一个子类。
这一子类的编码被称为里德—所罗门(Reed-Solomon,RS)码。
令α为GF(q)中的本原元。
符号取自GF(q)、纠正t个错误的RS码，其生成多项式g(x)以α，，…，为其全部的根。
由于是GF(q)中的元素，因此其最小多项式(x)即为。
因此，得到+其中GF(q)，由于α，，…，是-1的根，因此-1能够被g(X)整除。
所以，g(X)将生成恰好具有2t个奇偶校验符号、长度为n = q – 1的q 进制循环码[2]。
符号取自GF(q)、纠正t个错误的RS码具有如下参数：分组长度：n = q - 1奇偶校验符号数: n – k = 2t维数: k = q – 1 – 2t最小距离: = 2t + 1于是，我们看到RS码具有如下特性：（1）码的长度比码字母表的大小少1；（2）最小距离比奇偶校验符号数多1。
最小距离比奇偶校验符号数多1的编码称为极大最小距离可分（Maximum Distance Separable，MDS）码。
2 伽罗华域元素和二进制代码表的生成伽罗华域是以q=为元素的有限域，p为素数，m为正整数。
其特征是域中各元素可以用基本元素及其表达式来表示，并且域中各元素经过域内运算，其结果仍为域内元素。
BM算法概念
BM算法概念BM算法是一种精确字符串匹配算法（区别于模糊匹配）。
BM算法采用从右向左比较的方法，同时应用到了两种启发式规则，即坏字符规则和好后缀规则，来决定向右跳跃的距离。
BM算法思想1、三个shift函数：d1,d2,d3，函数的作用是决定当匹配不成功时窗口的移动位数。
2、假设一个情况：已经读入了一个既是搜索窗口中的文本的后缀，同时也是模式串后缀的字符串u,并且读入的下一个文本字符σ与模式串的下一个字符a不相等。
3、窗口安全移动是指窗口移动意味着读入新的字符，放弃上一个窗口的前面几个字符，要保证放弃的字符确实无法参与匹配。
窗口移动方向是从前向后。
算法的核心思想是对于模式串，可能至少有2个相同部分，这些部分肯定有一个在模式串的后缀，其它的部分可能在模式串的中间，也可能在模式串的前缀，在后缀搜索时，发现了文本串和模式串的部分匹配X，此时，如果模式串除了后缀外，其它部分还含有X，则使文本串和模式中发生不匹配的读入的字符加上原来的匹配的X形成的部分有可能与模式串其它部分的X发生匹配（如果与模式串所有的X不匹配，则说明这个窗口内不可能发生匹配），安全地向后移动窗口，放弃的部分肯定不会发生匹配了。
1） d1:后缀u在模式串p中的另一个位置是最右出现位置是j（不包括在模式串尾的出现）,文本串的窗口安全移动方法是将窗口移动m-j字符，使文本中的 u与模式串中最右边的u的出现位置相对齐。
对模式中的每个后缀，计算它到它的下一个出现之间的距离，即shift的d1，如果P的后缀u不在P中重复出现，则d1(u)被置为模式串长度m2）d2:后缀u不出现在p中的任何其他位置。
但u的后缀v可能是模式串p的一个前缀，需要对模式串所有的后缀计算第二个函数d2。
对于P的每个后缀u,d2(u)表示既是P的前缀，同时也是u的后缀的最长字符串v的长度.3）d3:在搜索窗口中从后向前搜索时，在文本字符σ处不能成功匹配。
保证下一次验证时文本字符σ一定与模式串中的一个字符σ相对应（即：使上次匹配不成功的那个字符能在模式串的第二个 X部分匹配成功，在模式串中找到这个字符，该字符是X的前面一个字符），对每个字母表中的每个字符σ，d3(σ)表示σ在模式串的最右出现位置到模式串末尾的距离，如果σ不在P中，d3为m4、读入文本字符串u并在字符σ上不匹配时，进行如下几次比较：1）第一次：取 d1(u)和d3(σ)中较大值。
RS码译码算法及其实现的研究
RS码译码算法及其实现的研究RS码译码算法及其实现的研究摘要：纠错编码在信息传输中起到了至关重要的作用，其中纠错码是最常用的一种编码方式。
RS码作为一种具有高纠错能力的纠错码，被广泛应用于存储介质、数字通信和数据传输等领域。
本文将详细介绍RS码的编码和译码原理，以及RS 码译码算法的研究进展和实现方法。
一、引言在现代通信系统中，由于信道和介质的不完美性，信息传输过程中常常伴随着噪声和错误，导致数据传输错误率的增加。
为了提高数据传输的可靠性和冗余性，人们引入了纠错码，用于在数据传输过程中对错误进行修正。
二、RS码的原理RS码全称为Reed-Solomon码，是一种基于有限域的纠错码。
RS码利用了有限域GF(q)上的多项式编码理论，通过在数据流中引入冗余位进行编码和译码，从而实现错误的检测和纠正。
1. 编码原理RS码的编码原理是将信息数据流进行多项式编码，然后再添加纠错码，生成一个较长的编码后数据流进行传输。
具体编码流程如下：（1）将n个信息符号划分为m个长度为t的子串，其中m = n / t，t为RS码的最小距离；（2）将每个子串看作一个特定的数字，代入t-1次幂相乘的多项式中；（3）将每个子串多项式求模，得到t-1阶多项式；（4）在多项式后方添加r个纠错码位，使整个编码构成一个长度为t+r的新多项式；（5）重复以上步骤，直到对所有信息子串进行编码处理。
2. 译码原理RS码的译码原理是利用多项式除法实现。
译码时，首先接收到一个由编码器生成的编码后数据流，然后通过解码器进行解码，恢复原始信息数据流。
具体译码流程如下：（1）通过接收到的数据流计算相应的符号多项式；（2）使用Berlekamp-Massey算法，计算出多项式的最小生成多项式，从而确定修正多项式；（3）对错误位置进行定位，然后使用Forney算法计算纠错多项式；（4）使用译码器获得纠正后的数据流。
三、RS码的译码算法研究进展1. 经典的译码算法目前，根据实际应用需求，已经提出了许多RS码译码算法。
龚政辉-RS码及其编译码算法
RS码及其编译码算法指导教员：雷 菁姓 名：龚 政 辉第一章 引言本文介绍符号取自)GF里的里德-所罗门码（Reed-Solomon(qCode，以下简称RS码)。
RS码是非二进制BCH码的一个最常用的子类，而BCH码是大家所熟悉的。
虽然RS码属于BCH码，但是它却是由Reed和Solomon于1960年采用完全不同的方法独立构造出来的。
RS码的最小距离等于它的奇偶校验符号数加一。
RS码在纠正随机符号错误和随机突发错误方面非常有效，因此被广泛应用于通信和数据存储系统中以便进行差错控制，应用领域涵盖从深空通讯到高密度磁盘等多方面。
以RS码作为外码，简单二进制码作为内码的级联方式在降低译码复杂度的同时，能够提供很高的数据可靠性。
但与二进制BCH码不同，RS码的译码需要同时确定符号错误的的位置和取值，所以它的译码更为复杂而编码算法是大体一致的。
第二章 循环纠错码的基本理论2.1 有限域(Galoias 域)基本概念及相关结论有限域(Galoias 域)就是域中元素的个数是有限的，元素的个数称为域的阶。
q 阶有限域，用()GF q 表示。
如果q 为一个素数，则集合{}0,1,2,,1q − 在模q 加法和乘法下，构成一个q 阶有限域()GF q 。
有限域在编码理论中具有重要的地位，下面给出Galoias 域的几个基本概念和相关结论。
定义1 在域()GF q 中，满足0ne =的最小正整数n 称为域的特征，e 为域的单位。
定义2以q 为特征的域是()m GF q ，1,2,m =…，称()GF q 是()m GF q 的基域，()m GF q 为()GF q 的扩域。
域中一切非零元素的特征都等于域的特征，且域的特征一定为素数。
非零元素构成的乘法群的阶定义为域中该元素的级。
若α为域()GF q 中的n 级元素，则称α为n 次单位原根。
若某一元素α的级为1q −，则称α为本原域元素。
域的特征表明了域中加法运算的循环性，而域的级则表明了域中乘法运算的循环性。
RS码译码算法对比研究
))
( 10) ( 11)
))
=
! i ∋ GF 1 2
q
k= 1 m
#p
m
ak i | y j * m+ k
( 12)
式中 a i a i . . . a i 矩阵为: 34
∋ ! i 。由此可 得到可信 度
K V 代数软判决译码采用的复杂度 s= 25。
设计与研发
图 4 是 K V 代数软判决译码在不同复杂度下 的性能仿真曲线。结果表明: 在提高算法复杂度 s 的情况下 , 系统的性 能有了明显的 增益。在 F ER 为 9 ) 10 级别 时 , 复 杂 度 s = 120 较 s = 60 有 0. 48dB 的性 能增 益 , 复 杂 度 s = 60 较 s = 30 有
- 5
2009. 9 综上所述 , RS 码是一种具有优良性能的有效 信道纠错码, 而通过选择合适复杂度的代数软判决 译码算法有利于改善系统性能。 参考文献
Abstract : Because of it s gr eat decoding perfo rmance o f error cont ro lling , RS code has been widely used in dat a co mmunications and st or ag e sy st em . In t his paper, t he co mmon used har d decision decoding alg orit hm and alg ebraic sof t decision decoding KV algorit hm w ere discussed com parat iv ely . T hrough t he theoret ical analysis o f bot h algorit hms, w e present t he com put er simulatio n of RS code decoding alg orit hm w it h hard decision and sof t decision. T he result s show t hat bo th alg orit hms ow n go od decoding perf orm ance, w hile the lat er can g et m uch mo re gains. Mo reo ver, w e can im pro ve t he perf ormance of the sy st em by enlarg ing the com plex it y of the sof t decisio n deco ding alg orit hm . KeyWords: RS code; hard decision decoding alg orit hm; alg ebraic sof t decision decoding algo r it hm 技术中应用最为广泛的一种码型, 它能同时用于纠
RS编译码算法的研究与实现
RS编译码算法的研究与实现随着科技的发展,纠错码和差错控制技术在我们的生活里扮演了越来越重要的角色。
利用纠错码可以降低各类数字通信系统以及计算机存贮和运算系统中的误码率,提高通信的质量。
使用纠错码来避免数据的重发的技术称为前向纠错。
RS码就是一类最强大和被广泛使用的前向纠错码。
由于RS码具有同时纠正突发错误和随机差错的能力,且纠正突发错误更有效,因而被广泛应用于各种差错控制方案中。
本论文在综合了国内外近年来在RS 码编译码算法及其实现以及相关技术研究进展的基础上,经过系统深入的研究,最终采用分解的无逆BM迭代算法对RS码的解码算法进行了硬件实现,并下载到Xilinx公司的VirtexⅡ系列xc2v1000器件中,经验证功能正确。
本论文的设计是RS(204,188)码的编解码实现,其最大纠错能力为8,主要展开了以下几个方面的工作: 1、对通用的RS编解码算法进行了分析和比较。
2、对有限域基本算法,包括加法、乘法以及求逆的实现进行了研究,并在Matlab 中进行了软件编程,最终综合了性能及速度等因素,使用了比较简单、易于实现的逻辑运算作为硬件实现的基础。
3、使用上述加法、乘法以及求逆的基本单元对RS编码算法进行了实现。
4、对较复杂的译码算法进行了重点设计,最终采用了分解的无逆BM迭代算法对译码算法进行了实现。
译码算法主要包括求伴随式、关键方程求解、钱搜索以及求错误值等几部分。
采用的算法在硬件实现的面积和时延上较常规算法均进行了优化。
5、所有硬件实现模块使用Top-Down的设计方法,用Verilog代码进行代码编写,并在Xilinx公司的XST软件中进行了综合以及最后的下载验证,下载至xc2v1000器件中,经验证功能正确。
经XST工具综合,编码模块的运算速度可达到162MHz,解码模块的运算速度可达到93MHz,可以满足高速运算的要求。
6、对算法的ASIC实现进行了初步的探讨,这是我们下一步的工作。
RS编译码原理
1 RS码字RS码(Reed-solomon codes)一种低速率的前向纠错的信道编码，是一类具有强纠错能力的多进制BCH码，在线性分组码中，它的纠错能力和编码效率是最高的。
相比于其他线性分组码而言，在同样的效率下，RS的纠错能力是特别强的，特别是在短的中等码长下，其性能接近于理论值，它不但可以纠正随机错误，突发错误及两者的结合，而且可以用来构造其他码型，如级联码。
其编码过程首先在多个点上对这些多项式求冗余，然后将其传输或者存储。
对多项式的这种超出必要值的采样使得多项式超定（过限定）。
当接收器正确的收到足够的点后，它就可以恢复原来的多项式，即使接收到的多项式上有很多点被噪声干扰失真。
1.1RS编码RS码是一类纠错能力很强的特殊的非二进制BCH码。
对于任选正整数S 可构造一个相应的码长为n=q S-1的q进制BCH码，而q作为某个素数的幂。
当S=1，q>2时所建立的码长n=q-1的q进制BCH码，称它为RS码。
当q=2m(m>1)，其码元符号取自于GF(2m)的二进制RS码可用来纠正突发差错，它是最常用的RS码。
一个RS码有以下几个参数：码长：n=2^m-1个符号或者m(2m-1)比特信息段：k个符号或者mk个比特监督段：2t=n-k个符号2mt=m(n-k)个比特最小码距：d min=n-k+1个符号或者md min=m(n-k+1)例如，对RS（204,188）码来说，源数据被分割为188个符号为一组，经过编码变换后，成为204个符号长度的码字。
长度为16个符号的监督为可以纠正码字中出现的最多8个符号错误。
RS编码的框图如图所示：RS编码器的结构RS码的基本思想就是选择一个合适的生成多项式g(x)，并且使得对每个信息段计算得到的码字多项式都是g(x)的倍式，即使得码字多项式除以g(x)的余式为0。
这样，如果接收到的码字多项式除以g(x)的余式不是0，则知道接收码字的余式存在错误；而且通过进一步可以纠正最多t=(n-k)/2个错误。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
RS译码BM算法及IBM算法
1966年，berlekamp利用迭代算法译bch码，避免了矩阵的逆计算，从而大大加快了
译码速度。
1969年，j.l.massey从序列综合的角度重新推导了该算法，给出了迭代译码
算法与序列的最短移位寄存器综合之间的关系。
我们称这一算法为berlekamp-massey算
法(bm算法)。
在介绍RS码的BM算法之前，我们需要介绍RS码的伴随译码算法：让传输的码字多
项式为C（x）？中国？1xn？1.c1x？c0
ll错误个数为t的错误图样多项式为e(x)?etxt?...?e1x1，其中xi称为错误位置数，该位置的错误值是ei。
接收序列多项式r(x)?c(x)?e(x)?rn?1x则伴随式
sj?r(?m0?j?1n?1l?...?r1x?r0
)? e（？m0？j？1）j？1,2,..., D一
?et(?t)lm0?j?1?...?e1(?l1)m0?j?1
L伴随仅取决于传输过程中发生的错误模式，与编码数据无关。
顺序我席（i＝
1,2，…，t）然后Sj？etxtm0？J1.e1x1m0？J1j？1,2,..., D一
我们希望从这d-1个方程求出2t(?d?1)个未知数ei、xi(i?1,2,...,t)定义错误位置
多项式
? （x）？？（1？xxi）？1.1x？？2x2？。
？？txt
i?1t则由?(xi)?0(i?1,2,...,t)，可以得到
? 11?? 1xi？1.2xi？2.伊克西？T0
上式两端同乘以eixim0?j?1?t，我们有
eixim0？J1.TIxim0？J1.T1.2eixim0？J1.T2.teixim0？J1.0
上式对i=1,2,...,t求和得到
? e（xii？1tm0？j？1？ti？1xim0？j？1？t？1？2xim0？j？1？t？2？…？ixim0？j？1）？0
即sj?t??1sj?t?1??2sj?t?2?...??tsj?0由上式可以得到如下递推关系
sj？？（？1sj？1？2sj？2？..？tsj？t）j？T1.D一
此关系式可以用线性反馈移位寄存器表示，如下图2.4
RS码的解码问题变成：已知D？1.伴随，设计一个最小阶的连接多项式
?(x)?1??1x???2x2?...??txt的线性反馈移位寄存器（即最短线性反馈移位寄存器），
生成这个伴随序列。
berlekamp和massey提出的错误位置多项式求解算法如下[1]：
假设线性反馈移位寄存器（LR，？（x））是生成序列S1、S2，是Sr的最短线性反馈移位寄存器，其中LR是线性反馈移位寄存器的长度。
假设一系列最短线性反馈移位寄存
器（L1，x），（L2，x），（LR？1，最短线性反馈移位寄存器（LR，x））。
bm算法：
（r）（1）（2）（r？1）（r）（x）），可以使用BM算法构造一个新的
...、sd?1，?(x)?1b初始条件：已知伴随式s1、s2、(0)(0)(x)?1?(0)(x)?1a(0)?0
它可以通过D-1迭代从以下递归关系中获得？l（r？1）（d？1）（x）：
?r?其中
?? J0（r？1）jsr？i（1.2）
?(r)(x)??(r?1)(x)??rxb(r?1)(x),?(r)(x)??(r?1)(x)??rxa(r?1)(x)
如果R0和2lr？1.R1那么
lr?lr?1,b(r)(x)?xb(r?1)(x),a(r)(x)?xa(r?1)(x)
否则
1(r?1)1(r?1)lr?r?lr?1,b(r)(x)???(x),a(r)(x)???(x)r?r?这样，第r次迭代得到
的最短兴县反馈移位寄存器(lr,?(x))满足：
（r） lr？最大值（lr？1，r？lr？1），lr？？r/2S（x）呢？（r）（x）？？（r）（x）modxr；
迭代结束时，得到的?(d?1)(x)是满足下面性质的最小度数多项式：
a（d？1）0？1.（身份证1）sr？我0（r？ld？1？1，…，d-1；ld-1？？（d？1）
/2？）和
i?0ld?1s(x)?(d?1)(x)??(d?1)(x)modxd?1。
即?(d?1)(x)是我们要求的错误位置多项式，?(d?1)(x)是相应的错误值多项式。
IBM算法[2]
改进的无逆的bm算法(imversionlessbm)，其解码的频率较传统的bm算法有大幅度
的提高。
rs时域解码算法中，关键方程的求解是整个解码过程的关键，其决定了解码器工作的时钟周期。
通常的bm算法求解周期过长，解码数据量较低。
而ibm算法极大的缩短
了关键方程的求解周期，常见的ibm算法分为四个步骤：1.由接收的码字r(x)计算伴随式
s(x);2.根据关键方程计算错误值多项式w(a)和错误位置多项式?(x)；3.钱搜索找到错误
位置，并计算错误值；4.纠正错误。
IBM算法的具体流程如下：
初始化：?0?b0?1,b?1?0,k(0)?0,r(0)?1
? 我（0）？bi（0）？为什么？1,2,... T
r(x)为接收到的码字多项式，?为错误位置多项式系数，b是辅助计算的中间式，k代
表迭代计算的次数
输入：是，我？1,2,..., 2t？1，其中Si是R=0Step1直到2t-1dobegin的伴随公式：
stepibm.1?(r)?sr?0(r)?sr?1?1(r)?...?sr?t?t(r)stepibm.2?i(r?1)??(r)?i(r)??(r)bi
?1(r)stepibm.3if?(r)!?0andk(r)?0
bi（r1）？？i（r）？（r？1）？r（r）
k(r?1)?k(r)?1其中，?(r)为错误位置多项式，?(k)是辅助计算的中间量因为？0，步骤1直到-1do
stepibm.4?i(2t)?si?0(2t)?si?1?1(2t)?...?s0?t(2t)输出：
? 我（2t）我？0,1,..., T
?i(2t)i?0,1,...,t-1;输出为错误位置，和该位置的错误值。
参考：
[1]rs编译码器的设计与fpga实现国防科技大学李宏
[2] 高速并行RS译码器的设计与FPGA实现中国科学院上海技术物理研究所赵明
[3]高速berlekamp．massey算法结构及电路实现东南大学张军，王志功，胡庆生，
肖结等。